Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher

Verzeichnis derer in dieſem Werk begriffenen Archimediſchen Schrifften. I. Von der Kugel und Rund-Saͤule/ zwey Buͤcher. II. Von der Kreiß- und Scheiben-Meſſung/ ein Buch. III. Von derer Flaͤchen Gleichwichtigkeit/ zwey Buͤcher. IV. Von der Parabel-Vierung/ ein Buch. V. Von denen Kegel- und Kugel-aͤhnlichen Figuren/ ein Buch. VI. Von denen Schnekken-Lineen und Flaͤchen/ ein Buch. VII. Von einer Zahl/ welche groͤſſer iſt als die Zahl alles Sandes/ wor- mit die Hoͤhe des ganzen Firmamentes koͤnnte ausgefuͤllet werden. Verzeichnis der merkwuͤrdigſten Sachen/ welche in bey- gefuͤgten Anmerkungen fuͤrkommen. 1. Eutokij von Aſkalon Erlaͤuterungen/ welche er uͤber die zwey Buͤcher von der Kugel und Rund-Saͤule/ uͤber die Kreiß- und Scheiben-Meſſung/ und uͤber die beyde Buͤcher von denen Gleichwichtigen geſchrieben/ auch aus dem Griechiſchen/ nicht zwar von Wort zu Wort/ ſondern dem Verſtand nach kurz verfaſſet/ und an gehoͤrigem Ort hin und wider mit eingebracht. 2. Euklidis zweytes Buch mit neuen/ allgemeinen/ und doch zugleich augenſcheinlichen Beweißthumen/ bekraͤfftiget/ bey dem XVI. Lehrſatz des I. Buchs von der Kugel und Rund- Saͤule. 3. Eben deſſelben Euklidis V. Buch faſt ganz/ auf gleiche allgemeine und darbey augen- ſcheinliche Weiſe/ und zwar in 4. einigen Lehrſaͤtzen bewieſen/ an erſtbemeldtem Ort. 4. Weitlaͤuffige Behandlung der alten bekannten Aufgab von Erfindung zweyer mittlern gleichverhaltenden Lineen/ bey dem I. Lehrſatz des II. B. von der Kugel und Rundſaͤule/ ꝛc. 5. Ausfuͤhrliche Erklaͤrung derer beruͤhmteſten Erfindungen/ einen Kreiß in eine gerade Lini/ und eine Scheibe in eine Vierung zu verwandeln/ ſambt dem Gebrauch ſolcher Kreiß- Vierung/ ꝛc. am End des Buͤchleins von der Kreiß- und Scheiben-Meſſung. 6. Johannis de Witt, vornehmen Rahts und Penſionarii in Holl- und Weſt-Frießland an- muhtige neue Beweißthume derer fuͤrnehmſten Eigenſchafften der Parabel/ Hyperbel/ und ablangen Rundung/ ꝛc. in der Vorrede von denen Gleichwichtigen. 7. Franciſci van Schooten/ geweſten Profeſſoris zu Leyden drey ſchoͤne Wege/ eine Pa- rabel-Flaͤche in eine Vierung zu verwandeln/ welche von des Archimedis Erfindungen zwar etwas unterſchieden/ jedoch aus denenſelben entſprungen/ aber ſein kurz verfaſſet ſind; am End des Buͤchleins von der Parabel-Vierung. Das uͤbrige wird der goͤnſtige Leſer an ſeinem Ort ſelbſten finden/ und hoffentlich mit die- ſer unſerer geringen/ jedoch wolgemeinten/ Arbeit vor lieb nehmen.

Denen Wol-Edlen/ Geſtrengen/ Fuͤrſichtig- und Hochweiſen Herren/ Hꝛn. Burckhard Loͤffelholz/ von Kolberg. Hꝛn. Georg Chriſtoph Behaim. Hꝛn. Johann Sigmund Haller/ von Hallerſtein. Hꝛn. Georg Paulus Jm Hof. Hꝛn. Andreas Georg Paumgaͤrtner/ von und zu Lonerſtatt in Holenſtein. Hꝛn. Georg Sigmund Fuͤrer/ von Haimendorf. Des aͤltern geheimen Rahts wolverdienten Herren Loſungherꝛn/ Foͤrderſten Land- und Kirchen-Pflegern/ auch des Kriegs- Rahts/ ꝛc. Hꝛn. Friderich Volckamern/ Hoch- erfahrnen Baumeiſtern. Hꝛn. Gabriel Nuͤtzel/ von und zu Suͤndersbuͤhl. Hꝛn. Georg Friderich Behaim. Hꝛn. Hieronymus Wilhelm Schluͤſſel- felder/ von und zu Kirchen-Sittenbach. Vielberuͤhmten Herren Scholarchen. Hꝛn. Wilhelm Jm Hof/ des Waiſen- hauſes wolverordneten Pflegern. Saͤmtlichen Des Jnnern Rahts in Nuͤrnberg. Meinen allerſeits Großgoͤnſtigen/ Gebietenden/ Hoch- geehrten Herren und Befoͤrderern.

Wol-Edle/ Geſtrenge/ Fuͤrſichtige und Hochweiſe/ Hochgeehrte/ Gebietende Herren/ und Hohe Goͤnner!

DEr hohen Gewogenheit/ welche den geringſten Teihl dieſes Werkleins ehdeſſen ſo mild und hoͤchſtgoͤnſtig auf- genommen/ iſt mit recht auch das ganze Werk heim- gefallen; und waͤre billich der undankbarſten Geburten eine zu nennen die jenige/ welche bey erwachſenen Jahren eine andere Gunſt verehren wolte als die/ ſo bey ihrem erſten Auf-Leben ihre mildreiche Naͤhrerinn und Erhalterinn geweſen iſt. Und dieſe einige Urſach wird hoffentlich bey EE. Wol-Edlen Geſtrr. und Herꝛligkk. zu ſattſamer Entſchuldigung dienen meines abermahligen Vornehmens/ Denenſelben dieſe/ meines geringen Verſtandes/ vielleicht noch unreife Frucht an ſtatt eines guͤltigen Opfers zu reichen; dann ob ſchon dieſe meine Kuͤhnheit an ſich ſelbſten ſtraffwuͤrdig ſeyn moͤgte; wird ſie doch von der/ mit ihr vereinigten/ Schuldigkeit etlicher maſſen gerechtfertiget. So neh- met dann/ Jhr hochtheure Landes- und Muſen-Vaͤtter/ in Eu- ren Schutz und hohe Gunſt auf dieſe geringfuͤgige Arbeit/ zum wenigſten wegen des beruͤhmten Nahmens Archimedis/ weilen der meinige ſolches nicht wehrt/ und ohne das kein anderer/ iſt/ als der/ ſo mit mir ſterben wird/ nemlich

EE. Wol-Adel. Beſtrr. und Herꝛligkk. Nuͤrnb. den 12. Martü/ 1670. Unterthaͤnig-verpflichteſter M. Joh. Chriſtoph. Sturm.

Privilegium Impreſſorium.

LEOPOLDUS Divinâ favente clementiâ electus Ro- manorum Imperator ſemper Auguſtus ac Germaniæ, Hungariæ, Bohemiæ, Dalmatiæ, Croatiæ, Sclavoniæ, & c. Rex, Archidux Auſtriæ, Dux Burgundiæ, Styriæ, Ca- rinthiæ, Carniolæ & Wirtembergæ, Comes Tyrolis, & c. Agnoſcimus & notum facimus tenore præſentium univerſis; Luum noſter & Imperii Sacri fidelis dilectus Paulus Fürſt, Civis & Biblio- pola Norimbergenſis nobis humillimè expoſuerit, ſe magno labore & gravibus impenſis in communem omnium, præſertim Mathematices ſtudioſorum utilitatem opera quædam partim Latino, partim Germa- nico idiomate conſcripta, utpote Georgii Andreæ Bœcleri, Architectu- ram curioſam novam; Item Archimedis in Germanicum translata opera Geometrica; Item Tabulas Dimenſionis triangulorum ex Ca- none ſinuum, calculatæ per Sebaſtianum Curtium Mathematicum; Item Jacobi Bartſchi Planiſphærium ſtellarum, ſeu vice-globum Cœle- ſtem in plano delineatum; Item Andreæ Goldmayeri Mathematici opera, ac tandem Habrechti globum Cœleſtem & Terreſtrem, prælo ſuo committenda, inꝙ́ publicum proferenda ſuſcepiſſe, vereri autem, ne eadem opera, poſtquam publicata fuerint, alii etiam quæſtus causâ cum ipſius non levi tetrimento temere æmulentur, ideoꝙ́ nobis demiſſe ſupplicarit, ut ſe adverſus ejusmodi periculum privilegio noſtro Cæſario præmunire clementer dignaremur. Nos cum eos qui ſuo labore ſuo- que ſumptu id efficiunt ut optimi quiꝙ authores quàm emendatiſſimi in lucem prodeant favore & gratia noſtra dignos judicemus, ejus Paulus Fürſt æquiſſimis precibus clementer exauditis, tenore præſentium omnibus & ſingulis Typographis, Bibliopolis aliisꝙ́ quibuscunꝙ́ nego- tiationem librariam exercentibus interdicimus ac vetamus, ne quis prædicta opera per dictum Fürſt excudenda, per decennium â primâ editionis die computandum in toto Romano Imperio Regnisꝙ́ & Pro- vinciis noſtris hæreditariis, ſimili aut alio quopiam charactere vel for- mâ, ſive in toto ſive in parte, ſine expreſsà ipſius Pauli Fürſten inſcri- ptis impetrata licentia, imprimere, aut alibi impreſſum adducere ſeu vendere publicè vel occultè præſumat ſub pœna decem marcarum auri puri Fiſco noſtro Cæſareo fraudis vindici (præter amiſſionem librorum, quos ipſi Paulo Fürſt, ubicunꝙ́ locorum reperti fuerint, per ſe, vel ma- giſtr atus illius auxilio ſibi vendicare inꝙ́ ſuam poteſtatem redigere fas eſto) irremiſſibiliter pendenda. Dummodo tamen prædicti omnes li- bri turpe quidpiam, legibusꝙ́ contrarium non contineant, hujusꝙ́ no- ſtri ſtri privilegii Cæſarei tenorem, pro publicâ cujusꝙ́ cautelâ, in fronte impreſſum exhibeant, & quaterna ad minus exemplaria, ipſius Ty- pographi ſumptibus, ad Cancellariam noſtram Imperialem Aulicam transmittantur. Mandamus proinde univerſis ac ſingulis noſtris & Sacri Imperii Regnorumꝙ́ & Ditionum noſtrarum hæreditariarum ſubditis, cujuscunꝙ́ ſtatus, gradus, ordinis, conditionis, dignitatis aut præeminentiæ exiſtant, tàm Eccleſiaſticis quàm ſæcularibus, præſertim verò iis, qui in Magiſtratu conſtituti vel proprio vel ſuperiorum ſuo- rum nomine & loco juris & juſtitiæ adminiſtrationem exercent, ne quemquam privilegium hoc noſtrum Cæſar. temerè atꝙ́ impunè lædere ac transgredi patiantur, quin potius contumaces, qui forte fuerint, præſcriptâ pœnâ plecti, aliisꝙ́ modis idoneis coerceri curent, quatenus & ipſi eandem mulctam evitare maluerint. Harum teſtimonio litte- rarum manu noſtrâ ſubſcriptarum & ſigilli noſtri Cæſarei appreſſione munitarum. Luæ dabantur in Civitate noſtrà Viennæ ſeptimâ men- ſis Septembris Anno Domini milleſimo ſexcenteſimo ſexageſimo ſecundo, Regnorum noſtrorum Romani quinto, Hungar. octavo, Bohemici verò ſeptimo.

Leopoldus mpp. Vt. W. B. de Walderdorff, mpp.

Ad mandatum Sac. Cæſ. Majeſtat. proprium. J. Walderode, mpp.

Der in Teutſchland wieder lebende und die Teutſchen zu Hoͤher-achtung derer Mathematiſchen Wiſſenſchafften ermahnende Archimedes. JCh weiß/ O Teutſche Welt/ daß unſer hohes Wiſſen/ (Die Meß-Beweg- und Waag- die Bau- und Sternen-Kunſt/ ꝛc.) Bey dir hat lange Zeit verachtet ligen muͤſſen mit andern Kuͤnſten nie genoſſenñ gleiche Gunſt! War Duͤrer ſchon bemuͤht/ das Werk belobt zu machen: fand Apianens Kunſt gleich bey dem Keyſer Gnad/ und Brahe Koͤnigs-Huld: ob andrer hohe Sachen die Teutſche Vorder-Welt wol eh geliebet hat: So hat doch dieſer Zeit die Kunſt die Gunſt verlohren/ und muß/ dem Sprichwort nach/ nach Brod und Betteln gehn; Bey ſonderem Geſtirn muß jezund ſeyn gebohren/ wem die Gedanken heut nach dieſen Kuͤnſten ſtehn! Dem ſchlechten Poͤfel wird/ als eigen zugeſchrieben was weiland Keyſerlich/ was Fuͤrſtlich/ herꝛlich war; Was Atlas/ Julius/ was Koͤnige getrieben des ſchaͤmt der Adel ſich/ das haſſt der Lehrer Schaar: Und bey den Teutſchen nur! Jhr Edle Teutſche Sinnen/ erhebt was euch erhebt! liebt dieſen Tugend-Schein/ Die Kuͤnſte/ die den Stand beruͤhmter machen koͤnnen! Jch ſelbſten kan euch deß ein klares Beyſpiel ſeyn. Sicilien hat mich/ das reichſte Land/ gezeuget; der Haupt- und Koͤnigs-Sitz iſt meine Vatter-Stadt/ Mich hat ein’ Edle Bruſt/ von hohem Stand/ geſaͤuget/ die Bruſt/ ſo Koͤnige zu Blutsverwandten hat/ doch kundt der Koͤnigs-Nahm ſich nicht unſterblich machen/ die Kuͤnſte brachten Jhm des Jmmerlebens Liecht/ Mein Wiſſen riß’ ihn erſt aus des Vergeſſens Rachen. Todt waͤre Hieron/ lebt’ Archimedes nicht. Was wuͤrde wol die Welt von Gelons Krone wiſſen/ die er aus klarem Gold den Goͤttern machen hieß; Wann nicht des Meiſters Liſt der meinen weichen muͤſſen/ ſo daß ſich der Betrug nicht laͤnger bergen ließ? Wer haͤtte/ Syrakus/ du Vatters-Stadt/ beſchrieben/ wie ſchwaͤr du deinen Fall der Roͤmer Macht gemacht? Der Ruhm der Dapferkeit iſt dir allein geblieben/ durch das/ was meine Kunſt zu wegen hat gebracht/ )( )(Die Die Centner-Schleuderſtein/ die ich den Feinden ſchenkte/ Der Pfeile Hagelgſchoß/ die grimme Eiſenhand/ Die manches Krieges-Schiff/ mit leichter Muͤh verſenkte/ die machten/ O Marcell/ dir unſre Macht bekannt; Dir und dem groſſen Rom/ das meine Fauſt gelehret was ſolcher Kuͤnſte Kraft/ wie groß/ wie nuͤtzlich ſey. Diß lerne Teutſchland auch/ wann es dergleichen hoͤret/ und glaube ferner nicht dem falſchen Luftgeſchrey/ So ſie unnutzlich nennt: Es frag’ in andern Landen wie mancher Sieg im Krieg/ wie mancher Stadt Verluſt/ wie reicher Schaͤtze Raub/ auf dieſem Fuß geſtanden: Der Schad lehrt manchen erſt/ was er ſonſt nicht gewuſt: Doch nicht dem Krieg allein dient diß gelehrte Wiſſen/ des Baumes ſuͤſſe Frucht hat auch der Fried geſchmekkt: Oft hat ſich uͤber ſich die Witz verwundern muͤſſen/ wann/ was kaum menſchlich war/ des Menſchen Sinn entdekkt. Wann dieſe meine Hand durch meine Schnekkenwinde was Tauſend nicht vermocht/ vom Land ins Meer gebracht: Wann meine Waſſerſchraub die tiefſten Suͤmpf’ und Gruͤnde Aegyptens ausgeſchoͤpft: Wann eines Mannes Macht viel tauſend Scheffel Korn in freye Luft gehoben: Wann durch ein rundes Glaß ein Wunderbild der Welt des ganzen Himmels Lauf/ was unten geht und oben/ kunſtrichtig allerſeits fuͤr Augen war geſtellt. Diß und noch anders mehr kunnt Hieron bewegen zu glauben was forthin ſein Archimedes wolt; Wann Er auch ſelbſt die Erd in ihrem Punct zu regen nach feſtgegebnen Stand ſich unterfangen ſolt. Auch in des Feindes Herz hat Lieb fuͤr Rach gebohren ſo groſſer Thaten Ruhm: fuͤr dieſes graue Haar/ Fuͤr dieſes Haupt/ das ich/ nach Feindes Recht/ verlohren/ ward ein Verbot geſetzt der grimmen Krieger-Schaar. Die Wut verſchonte mein: die Kunſt nahm mir das Leben/ die/ ſo das Leben mir und meinen Freunden gab. O ſuͤſſe Wiſſens-Luſt/ darinn ich pflag zu ſchweben da ich mir ſterbend grub im Sand mein eignes Grab; Da ich/ mir ſelbſt entruͤkkt/ mich mit Gedanken ſpeiſte und ohn’ Empfindlichkeit in tiefſtem Denken ſaß; Da gleichſam aus dem Leib die freye Seele reiſte/ und Eſſens/ Trinkens/ ja des Lebens gar/ vergaß. Jedoch/ wie kunnt ich auch des Lebens wol vergeſſen/ weil Denken Leben iſt/ und ich auch ſterbend dacht? Hat ſchon die Spitze mich zu toͤdten ſich vermeſſen/ doch hat ſie nur den Leib/ die Seel nicht/ umbgebracht. Mein Geiſt lebt jezund noch/ mein Ruhm iſt nie geſtorben. Sicilien mich begrub; in Teutſchland ſteh’ ich auf. Die Grabſchrifft zeiget dort/ was ich durch Kunſt erworben/ in 3 und 2 beſteht mein ganzer Lebens-Lauf. Recht Recht leben/ Wiſſen iſt: das/ was wir ſonſt beginnen ohn alle Wiſſenſchafft/ iſt auch dem Vieh gemein; Vernunft die Menſchheit macht; in Denken/ Wiſſen/ Sinnen/ nicht in der Nutzbarkeit/ will Menſchen-Weſen ſeyn. Preiſt ſchon der Eigennutz die Werke meiner Haͤnde; Jch ſelbſten achte mehr was bloß im Denken ſteht: Des Kreiſſes Vierung ich mit mehrer Freude faͤnde/ als alles das/ wordurch ich jene Wunder thaͤt. Wolan du Teutſcher Sinn! ſteht deine Luſt im Sinnen/ ſo ſuche deinem Geiſt dergleichen Wiſſenſchafft! Was recht vernuͤnftig macht/ was geiſtig/ iſt hierinnen/ Hier wird dem Menſchen-Seyn Vollkommenheit geſchafft. Jſt dann dein Wiſſen/ nur mit Wiſſen/ nicht vergnuͤget/ und ſuchet dein Gemuͤht des Wiſſens Nutzbarkeit? So glaube dem/ der dir [frag’ Hieron] nicht luͤget: Hier iſt der groͤſte Nutz der ganzen Welt bereit. Was Buͤchs und Schwerdt gewinnt/ was Schiff und Segel bringen der Jndien reiche Schaͤtz/ was Teutſchland reicher macht! Die ganze andre Welt mit ihren feinſten Dingen hat dieſer Kuͤnſte Fleiß in unſre Welt gebracht!

Anmerkungen. Petrus Apianus war Keyſers Maximiliani Hoff-Mathematicus, bey dero Maje- ſtaͤt mit ſeinen Wiſſenſchafften ſo beliebt/ daß/ als Er ſein/ ſo genanntes/ Cæſareum Aſtronomicum (worinnen er durch unterſchiedliche Scheiben und Bewegungen alle Aſtro- nomiſche Aufgaben kuͤnſtlich aufzuloͤſen lehret) unter Handen hatte/ der Keyſer ſelbſten ihme die darzu noͤhtige Figuren mit eigener Hand aufreiſſen helfen. Nehmlich Friderich der II. Koͤnig in Dennemark hat dem Edlen Tychoni de Brahe zu Fortſetzung ſeiner Aſtronomiſchen Wiſſenſchafften das herꝛliche Schloß Uranienburg in der Jnſel Wenen faſt Koͤniglich erbauen/ viel koſtbare Jnſtrumenten bereiten/ und nicht nur fuͤr ihn/ ſondern noch fuͤr 8. oder 10. andere/ welche/ in ſolchen Wiſſenſchafften auch er- fahren/ dem Tychoni an die Hand giengen/ noͤhtigen Unterhalt/ in die 20. Jahr lang ver- ſchaffen laſſen. Auſſer Keyſer Julium/ von welchem wir annoch den verbeſſerten/ dahero ſo ge- nannten Julianiſchen/ Kalender haben/ ſind ſonderlich auch Hadrian, Antonin. Friderich der Dritte/ beyde Maximilianen/ Matthias der Erſte/ Rudolph der Andere/ wie auch Ferdinand der Erſte und Zweyte/ ꝛc. wegen ſonderbahrer hoher Beliebung derer Mathe- matiſchen Wiſſenſchafften/ hoͤchſt beruͤhmet; Aus welchen Keyſer Matthias den bekannten fuͤrtrefflichen Sternweiſen Regiomontanum, fuͤr eine einige/ derer Haft-Sternen Lauff be- treffende/ Tabell mit einem koſtbaren Kleid ſambt noch 800. Ungariſchen Dukaten beſchen- ket hat. Dergleichen ſonderbahre hohe Neigung gegen dieſe Kuͤnſte hat fuͤr vielen andern auch getragen Alphonſus der X. Koͤnig in Caſtilien/ welcher nicht allein ſelbſten darinnen embſig gearbeitet/ ſondern auch auf gruͤndliche Erforſchung des Sternen-Laufs auf die 40000. Dukaten gewendet hat. Dieſes Siciliens Reichthum und Vortrefflichkeit beſtunde fuͤr Alters meiſten- teihls in uͤberfluͤſſigem Getreid und Weinwachs/ weswegen es auch damals dem Weingott Bachus und der Fruͤchtgoͤttin Ceres/ geheiliget/ und von Catone des Roͤmiſchen Volks Kornſcheune/ von Strabone eine Vorrahtkammer allerley herꝛlicher Fruͤchte/ und ſonder- lich des beſten Weins genennet worden. Naͤchſt dieſem hat es auch in dieſem Eyland/ ſon- derlich umb Syrakuſa/ des Archimedis Geburts-Stadt/ eine ſehr geſunde Luft gehabt: da- her dann auch ſo viel tiefſinnige gelehrte Koͤpfe daſelbſten aufgeſtanden/ daß Solinus wol mit recht geſchrieben: Was in dieſem Eyland entweder des Erdbodens/ oder derer Menſchlichen Sinnen Fruchtbarkeit herfuͤr bringet/ wird jederzeit fuͤr das naͤchſte bey dem beſten gehalten. )( )( ij(e) Wer Wer eigentlich unſers Archimedis Eltern geweſen ſeyen/ iſt nicht bekannt. So viel haben wir aus Plutarcho Nachricht/ daß er ſey geweſen ἵερωνι ὠ βασιλ συς ϰ φίλς, des (zu ſeiner Zeit in Sicilien regierenden) Koͤnigs Hierons Freund und Blutsver- wandter/ und alſo auch des Gelons/ dem Er ſeine Sandrechnung zugeſchrieben/ als wel- cher eben dieſes Hierons Sohn geweſen/ und zu ſeines Vatters Lebzeiten bereit nicht nur des Nahmens/ ſondern auch oftmals der Gewalt eines Koͤnigs ſich bedienet/ wie beym Livio im 23. Jahr nach Erbauung der Stadt Rom zu erſehen. So groſſe Ehr aber Archimedes von dieſer Koͤnige Hohheit/ ſeines Urſprungs halber/ gehabt; ſo viel Urſach hat hingegen eben dieſer Koͤnigliche Stamm gehabt/ nicht nur ſeine Ehr/ ſondern auch ſeine ganze Wolfahrt/ des Archimedis tieſſinnigen Erfindungen zu danken. Dann als die Stadt Syrakuſa/ nach vielfaͤltigem verwunderlichen Widerſtand des Archimedis eingenommen/ und dieſer vortreff- liche Kopf/ wider des Feldherꝛn Verbott/ erſtochen worden/ hat Warcellus der Roͤmiſche Feldherꝛ (wie Plutarchus und Livius berichten) nach ſeinen Freunden und Anverwandten fleiſſigſt gefraget/ und denenſelben alle moͤgliche Ehr erwieſen.

Es hatte Koͤnig Hieron (welche Geſchicht Vitruvius im 3. Cap. ſeines IX. Buchs weitlaͤufftig beſchreibet) oder/ wie andere wollen/ Gelon eine Kron von purem Gold einem ſeiner Goͤtzen-Tempel zu widmen/ mit groſſem Koſten auf das zierlichſte bereiten laſſen/ und das hierzu erforderte Gold dem Goldſchmid fleiſſig und genau fuͤrgewogen: welcher nach ſehr kuͤnſtlicher Verfertigung des Werkes das vorige Gewicht zwar juſt gewaͤhret/ aber (wie man aus einigen Merkzeichen geſchloſſen) etwas von dem geliferten Gold entwendet/ und an deſſen ſtatt Silber/ gleiches Gewichtes/ mit untergemiſchet. Als nun der Koͤnig den Betrug/ und wieviel Gold der Meiſter von dem empfangenen Klumpen behalten/ gern eigentlich (und doch ohne Verletzung der kuͤnſtlichen Arbeit) erfahren haͤtte/ hat Er Archimedem/ der Sa- che nachzudenken/ erſuchet. Dieſer nun kam ohngefehr mit dieſen Gedanken in das Bad/ und in dem er/ in einen vollen Waſſer-Zuber ſteigend/ beobachtete/ daß/ je mehr er ſeinen Leib in das Waſſer geſenket/ je mehr Waſſer aus dem vollen Zuber lauffen/ und jenem Raum machen muͤſte/ ſprang er fuͤr Freuden alſo bald aus dem Bad/ welches ihme einen gewiſſen Weg/ des Koͤnigs Begehren zu vergnuͤgen/ gezeiget hatte: ließ ihm alſo balden zur Hand ſchaffen ein Stuͤkk pures und feines Gold/ und ein anders von lauterem Silber/ beyde juſt am Ge- wicht obbeſagter Krone gleich: ſenkte darauf die Krone ſaͤnſtiglich in ein/ hierzu bereitetes/ und mit Waſſer biß oben angefuͤlltes Geſchirꝛ/ und woge das in eine untergeſetzte Schale aus- gelauffene Waſſer auf das allerfleiſſigſte: eben dergleichen That er hernachmals mit dem Gold- und wieder abſonderlich mit dem Silber-Stuͤkk; befande alſo/ daß von dem Silber-Stuͤkk das meiſte/ von dem Gold-Stuͤkk aber (weil nehmlich ein Gold-Stuͤkk/ wegen ſeiner dich- ten Subſtanz jederzeit kleiner iſt als ein Silber-Stuͤkk/ ſo da gleiches Gewichtes iſt) das we- nigſte/ von der Krone aber zwar viel weniger als von dem Silber- jedoch aber etwas mehr als von dem Gold-Stuͤkk ausgefloſſen; wordurch er dann nicht nur den Argwohn des Be- trugs beſtaͤttiget/ ſondern auch die Groͤſſe deſſelben eigentlich beſtimmet hat; welche auch hier leichtlich koͤnnte benennet werden/ wann Vitruvius neben dem Gewicht der Kron auch das Gewicht des jederſeits ausgeloffenen Waſſers mit angemerket haͤtte. Jedennoch aber kan man/ wann beyderſeits etwas gewiſſes nach Belieben geſetzet wird/ aufs wenigſte die Art und Weiſe/ vermittelſt welcher Archimedes die Vielheit des untergemiſchten Silbers end- lich genau berechnet habe/ fuͤr Augen ſtellen.

Nehmlich/ ſo man ſetzet/ daß die Krone (und alſo auch das ganze pure/ ſo wol Gold- als Silber-Stuͤkk) gewogen habe 10. ℔, von dem Gold-Stuͤkk aber abgefloſſen ſey 1. ℔ Waſ- ſer/ von dem Silber-Stuͤkk 1½ ℔, von der Kron endlich 1½ ℔, ſo iſt der Unterſchied zwi- ſchen dem Waſſer des Silber-Stuͤkkes und des Gold-Stuͤkkes ½ ℔, zwiſchen dem Waſſer der vermiſchten Kron aber und dem Waſſer eben beſagten Gold-Stuͤkkes ⅑. Woraus man dann folgender Geſtalt ſchlieſſet: welches in der Krone unter das Gold vermiſchet worden/ alſo daß des Goldes nur 7\frac {7}{9} ℔ darzu kommen.

Durch die Buchſtaben Rechnung oder ſo genannte Analyſin koͤnnte (wem es beliebete) die Sache alſo gleichſam ruͤkklings eroͤrtert werden.

Naͤchſt

Raͤchſt obgeſetztem ſuche ich nur/ wieviel pures Gold noch bey der Kron geweſen (dann daraus iſt hernach leicht zu wiſſen/ wieviel Silber mit untergemiſchet worden) folgender Geſtalt: Jch ſetze fuͤr das Gold in der Kron χ, ſo iſt das beygemiſchte Silber 10. ℔-χ. Hierauf mache ich folgende Schluͤſſe: 10. ℔ Gold geben 1. ℔ Waſſer/ wieviel gibt χ? F. \frac {\chi}{10.} Und 10. ℔ Silber geben 1½ ℔ Waſſer/ wieviel geben 10.℔-χ? Nun ſind dieſe zwey Facit zuſammen ſo viel als das Waſſer/ ſo von der ganzen Kron abge- lauffen/ dann χ und 10.℔-χ ſind das Gewicht der ganzen Kron. Derowegen/ wann ich beyde zuſammen ſetze/ ſo machen \frac {\chi}{10} oder \frac {2.\chi}{20} und \frac {30.\Pfund-3. \chi}{20} ſo viel als Und iſt alſo ſo viel als 1\frac {1}{9}℔, oder/ wann ich beydes mit 20 vervielfaͤltige/ 30. ℔-χ ſo viel als 22\frac {2}{9} ℔, oder/ wann ich beyderſeits χ darzu ſetze/ 30, ℔, ſo viel als \chi + 22\frac {2}{9} ℔, oder/ wann ich beyderſeits 22\frac {2}{9} darvon thue/ 7\frac {7}{9}, ſo viel als χ, d. i. als das Gold in der Krone; und alſo folgends das beyge- miſchte Silber 2\frac {2}{9}℔, wie oben.

Hier iſt wol der Muͤhe werth/ daß wir das jenige/ was von der verwunderlichen Ge- genwehr dieſes einigen Manns Archimedis/ die er in Belaͤgerung ſeiner Vatter-Stadt Sy- rakuſa bewieſen/ bey denen Alten ſo wol Griechiſchen als Lateiniſchen’ Geſchichtſchreibern ge- leſen wird/ dem kunſtliebenden Teutſchen Leſer zu Gefallen/ mit anhaͤngen. Polybius/ welcher ſolchen Geſchichten am naͤchſten (nehmlich ohngeſehr 30. Jahr her- nach) gelebet/ ſchreibet hiervon folgender Geſtalt: Dieſer vorbemeldte Wann (Archi- medes) aber/ nach deme Er unterſchiedliche Geſchuͤtze/ auf jede beliebige Weite ge- richtet und verfertiget/ und die Roͤmer durch ſehr ſtarke und groſſe Steinwerfer oder Schlaͤudern und Pfeilgeſchoß hefftig verwundet/ hat Er den Feind endlich alſo ein- getrieben/ daß er nicht gewuſt hat/ wohin er ſich wenden ſolte. So bald aber ſolche groͤſſere Geſchuͤtze uͤber den annahenden Feind hinaus zu ſtreichen angefangen/ hat er alſobald/ nach Erforderung jedermahliger Weite/ andere kleinere gebrauchet/ und alſo der Roͤmer Anlauf und Naͤherung gaͤnzlich verhindert. Endlich iſt Mar- cellus gezwungen worden mit ſeinen Schiffen zu Nachts heimlich biß auf einen Bo- genſchuß an die Stadt zu rukken: Welchem aber vorbeſagter Wann ſchon auf eine andere Weiſe zu begegnen fertig war. Dann Er hatte hin und wider durch die Mauer/ eines Manns hohe/ aber von auſſen nur einer flachen Hand weite/ Loͤcher brechen laſſen/ und vor dieſelbe innwendig/ viele Bogenſchuͤtzen und Pfeilgeſchoß ge- ſtellet/ wordurch er abermal dem Feind das Ausſteigen verwehret/ und alſo demſel- ben ſo wol in der Naͤhe als Ferne nicht allein alle ſeine Anſchlaͤge zu nicht gemachet/ ſondern auch viel Volk zu ſchanden gerichtet hat. Ferner/ als ſie begunnten Sturm- gezeug aufzurichten/ hatte er ſchon innwendig umb und umb hinter den Mauren ge- wiſſe Geruͤſte und Jnſtrumenten verordnet/ welche die ganze uͤbrige Zeit nicht ge- ſehen wurden/ wann man aber deroſelben benoͤhtiget war/ ſich von innen uͤber die Mauer erhebten/ und mit ihren Spitzen oder Schnaͤbeln weit uͤber die Paſteyen hinaus reicheten/ und teihls zum wenigſten dritthalb-hundert Pfund ſchwaͤre Stei- ne/ teihls groſſe Bleygewichte fuͤhreten. Wann nun die Sturmgezeuͤg ankamen/ lieſſen gedachte/ und durch gewiſſe Zugwerk/ wohin es vonnoͤhten war/ gelenkete/ Kraniche die groſſe Stein oder Bley-Laſt gehling auf dieſelbe hinunter fallen/ alſo daß nicht nur ſolche Sturmgeruͤſte zerſtuͤkket/ ſondern auch zugleich die Schiffe/ ſambt denen/ ſo darinnen waren/ in groſſe Gefahr geſetzet wurden. Wiederumb hatte er auch andere Geruͤſte/ vermittelſt welcher er auf die im Vorderteihl derer Schiffe hinter einer Bruſtwehr/ oder ſonſten fuͤr ſeinen Pfeilen verdekkte/ und zum )( )( iijSturm Sturm ankommende Soldaten Stein und Balken im Bogen hinein werfen kunte/ daß ſie das Vorderteihl des Schiffes verlaſſen/ und zu rukk gehen muſten; Wor- bey er dann zugleich eine eiſerne/ an Ketten beveſtigte Hand herunter lieſſe/ ver- mittelſt welcher der jenige/ ſo den Schnabel beſagten Rüſtzeuges regierte/ das Vor- derteihl des Schiffs/ wo er am fuͤglichſten kunnte/ feſt faſſete/ nachmals/ wann an- dere den hindern Teihl des Jnſtrumentes nidergedrukkt/ und die Schiffe forn in die Hoͤhe gezogen hatten/ die eiſerne Hand ſambt denen Retten durch ein gewiſſes Zug- werk wieder loß machten/ alſo daß ein Teihl Schiffe auf die Seite fielen/ etliche gar umbſtuͤrzten/ etliche vom Waſſer und Schrekken angefuͤllet wurden. Als nun durch dieſe Gegenwehr Archimedis Warcellus gleichſam alles Kahts beraubt war/ und all ſein Beginnen durch die Einwohner der Stadt/ nicht ohne groſſen Schaden/ ver- nichtet ſehen muͤſſen; hat ihn zwar ſolches ſehr verdroſſen/ jedennoch aber beweget/ uͤber Archimedis Handlungen folgender geſtalt zu ſcherzen/ daß er geſagt: Archi- medes pflege mit ſeinen Schiffen als mit Eymern Waſſer zu ſchoͤpffen/ ſeine Maur- brecher und Sturmgezeuge aber/ ſeyen/ nach empfangenen Maulſchellen mit Schimpf aus der Zech geſtoſſen worden. Und dieſes iſt alſo des zu Waſſer verſuchten Sturms Ausgang geweſen. Es hat aber auch Appius ſambt denen Seinigen in gleicher Ge- fahr ſchwebende/ von ſeinem Vornehmen abſtehen muͤſſen/ als deſſen Soldaten gleichfalls in der Ferne durch die groſſe Schleudern und Geſchoſſe (dann es war ſol- cher Geſchuͤtze/ ſo wol der Menge/ als der Wuͤrkung und Nutzbarkeit halben/ ein verwunderlicher Vorraht vorhanden. Worzu hiero die Unkoſten/ Archimedes aber die Kunſt und ſeinen tief ſinnigen Fleiß angewendet hatte) nidergerichtet/ in der Naͤhe aber teihls durch vorgemeldte Mauer-Loͤcher mit Pfeilen verwundet/ teihls aber/ welche unter hier;u gemachten Schirmen mit Gewalt einbrechen wolten/ durch die im Bogen/ gerad auf ihre Koͤpfe hinein geworfene Stein und Balken zer- quetſchet wurden; da dann auch durch die eiſerne Haͤnde derer Hebezeuge nicht ge ringer Schad geſchehen/ wie vorhin ſchon gemeldet worden. Biß hieher Polybius ein Griechiſcher Geſchichtſchreiber/ aus welchem ohne Zweiffel das ihrige haben Plutar- chus/ auch ein Griech/ in ſeinem Marcello/ und Livius ein Lateiner in ſeinem XXIV. Jahr nach Erbauung der Stadt Rom/ bey welchen man eben dergleichen weitlaͤufftig leſen kan. Sonderlich aber iſt noch ſehr nachdenklich auch der jenige Fund Archimedis/ deſſen Ga- lenus und Zetzes gedenken/ daß er nehmlich durch unterſchiedliche/ auf gewiſſe Weiſe zu- ſammgeordnete Brennſpiegel des Marcelli Schiffe in der Ferne/ vermittelſt der Sonnen- ſtrahlen angezuͤndet und verbrandt habe; Welches dann umb ſo viel leichter zu glauben/ weil Athanaſius Kircherus in ſeiner Arte Lucis & Umbræ am 885. Blat des III. Teihls/ derglei- chen Anzuͤndung mit fuͤnf Spiegeln in einer Weite von 100. Schuhen verſuchet zu haben ge- denket. Dieſes iſt zu verſtehen von einem groſſen ungeheuren Schiff/ welches Koͤnig Hiero erbauen laſſen/ und nachmals Ptolomæo dem Koͤnig zu Alexandrien verehret hat/ von ſol- cher Groͤſſe und Schwaͤre/ daß ganz Sicilien ſolches nicht von der Stelle bringen koͤnnen. Archimedes aber hat endlich ſeine Schrauben oder Schnekkenwinde (welcher heutiges Tags die ſo genannte Schraube ohne End nicht gar unaͤhnlich ſeyn ſolle) erdacht/ und vermoͤg dero- ſelben dem Koͤnig ein Jnſtrument zugerichtet/ daß er einig und allein/ die zuvor unbewegliche Laſt vom Land ohne Muͤhe abgetrieben hat/ wie hiervon kan geleſen werden Athenæus lib. V. Δεισοφισῶν. Die Form hiergemeldter Waſſer-Schrauben iſt heutiges Tags gar bekandt/ und aller Orten in der Welt zu finden/ daß aber Archimedes deroſelben erſter Erfinder ſey/ be- zeuget Athenæus in obangezogenem Buch mit dieſen Worten: Der Pfuel aber oder Grund des (obangeregten ungeheuren groſſen) Schiffes/ ob er gleich uͤbermaͤſſig tieff war/ wurde von einem einigen Mann ausgeſchoͤpfet/ vermittelſt der Waſſer-Schraube/ welche Archimedes erfunden hatte. Und Diodorus lib. V. Bibliothec: Und/ welches das allerunglaublichſte iſt/ ſolche ausgelauffene Waſſer erſchoͤpfen ſie durch die ſo genannte Aegyptiſche Waſſer-Schrauben/ welche Archimedes von Syrakuſa (in Aegypten nehmlich/ dahin er ſich nach dem Exempel Pythagoræ, Platonis, und anderer/ ſtudi- rens halber begeben) erfunden hat. Vermittelſt dieſer Schrauben nun ſchoͤpffen ſie das Waſſer von einem Ort zum andern/ biß in den Einfluß/ und trokknen alſo die Erz- Erzgruben aus/ damit ſie zu vorhabendem Werk bequem und bereit ſeyen. Die- weil nun ſolcher Schoͤpfzeug uͤberaus künſtlich iſt/ ſo wird durch leichte Muͤhe eine groſſe Menge Waſſers/ ja der voͤllige Zulauf eines Fluſſes biß auf den Grund aus- geleeret. Es muß ſich abet billich einer verwundern uͤber die Tiefſinnigkeit des Kuͤnſtlers/ nicht allein in dieſen/ ſondern noch in andern vielen und groͤſſern durch die ganze Welt berühmten Kunſtzeugen; von welchen wir abſonderlich und mit Fleiß handlen wollen/ wann wir auf Archimedis Zeiten kommen werden. Dieſes berichtet von Archimede Zetzes Chiliad. II. hiſt. 35. unſerm Teutſchen nach mit folgenden Worten: Welcher viele Kunſtgeruͤſte von groſſen Kraͤften zu- ſammen gerichtet/ und vermittelſt eines dreyfachen Zuges (Trispaſto) mit der eini- gen und zwar linken Hand ein Laſt-Schiff/ ſo fuͤnftauſend Scheffel Korn gefaſſet/ in die Hoͤhe gezogen hat. Es war Archimedes damit nicht vergnuͤget/ daß er was ſchwaͤr und Erd-werts geneigt war/ wider ſeine natuͤrliche Reigung Himmel-werts gleichſam aufziehen und entzukken kunte/ ſo gar/ daß er auch (Plutarchi Zeugnus nach) gegen Koͤnig Hieron ſich verlauten laſſen: Wann er nur auſſer der Erden einen Stand haͤtte/ da er feſten Fuß ſetzen koͤnnte/ ſo wolt er die Erde ſelbſten aus ihrem natuͤrlichen Sitz bewegen; ſondern er bauete auch in ſeinem tiefſtſinnigen Gehirn ſo verwunderliche Geruͤſte und Zugwerke/ vermittelſt welcher er den Himmel ſelbſten auf die Erden zu ziehen/ und deſſelben unausſprechliche Weitlaͤuffigkeit in- nerhalb eines engen Rundes zu zwingen/ ſich unterſtanden. Dann er bereite eine Himmels- Kugel von ſo unglaublicher Kunſt/ daß in derſelben alle eigentliche Himmels-Bewegungen/ nicht allein der beſtaͤndige Lauff derer Haft-Sternen/ ſondern auch das gleichſam unordentliche Jrren derer Planeten/ des Mond-Liechtes Monatliche Ab- und Zunahm/ beneben allen an- dern beobachteten Himmels-Erſcheinungen/ richtig/ und ihrem Vorbild gemaͤß/ zu ſchauen waren. Daß dannenhero Cicero nicht unbillich dieſer hochvernuͤnfftigen Erfindung in Wi- derlegung des ſchaͤndlichen Jrꝛthums derer Epicurer von der Vorſehung GOttes ſich bedienet. Dieſe/ ſpricht er/ zweiffeln von der Welt/ aus welcher alle Ding werden und entſtehen/ ob dieſelbe nur alſo ohngefehr entſtanden/ oder durch eine unumbgaͤngliche Noht- wendigkeit werden muͤſſen/ oder durch einige Vernunfft/ oder von einigem Goͤttli- chen Sinn alſo gemacht ſey: und halten alſo darfuͤr/ Archimedes habe mehr ver- mocht in Nachahmung des Himmels-Laufs/ als die Natur in erſtmahliger Anord- nung deſſelben/ da doch dieſes Vorbild weit volikommener/ und tiefſinniger/ als jenes Nachbild/ gemachet und ausgearbeitet iſt/ Lib. II. de Nat. Deor. Heutigs Tages werden dergleichen Werke hin und wider in der Welt gefunden/ wie dann Petrus Ramus ſol- cher Himmels-Kugeln zwey zu Paris geſehen zu haben berichtet/ welche unter des Siciliſchen und Teutſchen Krieges Beute dahin gebracht worden/ und Rivaltus noch zweyer anderer ge- denket/ welche Marinus Burgeſius, Ludwig dem XIII. Koͤnig in Frankreich mit eigener Hand gemacht und verehret hat. Jedennoch aber iſt dieſes das verwunderlichſte an der Ar- chimedeiſchen Himmels-Kugel/ daß ſie ſolle aus Glaß gemacht geweſen ſeyn/ wie ſolches aus Claudiano, bey welchem eine abſonderliche Beſchreibung dieſes Kunſtwerkes zu finden iſt/ kan erſehen werden. Aus Valerii Maximi VIII. Buch iſt dieſes leicht zu verſtehen/ welcher hiervon/ unſerm Teutſchen nach/ alſo redet: Auch des Archimedis hohe Embſigkeit wolte ich nutzlich nennen/ wann ſie ihme das Leben nur gebracht/ nicht aber auch geraubt haͤtte. Dann bey Einnehmung der Stadt Syrakuſa hatte Marcellus empfun- den/ daß durch jenes Kunſtwerke er an ſeinem Sieg/ lang ſey verhindert worden/ jedoch aber/ aus ſonderbahrer Beluſtigung uͤber die ſonderbahre Klugheit des Mannes durch ein offentliches Gebot deſſelben Leben zu verſchonen ernſtlich be- fohlen/ ſaſt eben ſo viel Ehr in Erhaltung Archimedis/ als in Eroberung der Stadt Syrakuſa ſuchende. Dieſer aber/ in dem er Augen und Gemuͤhr Erd-werts auf die im Sand zu beſchreibende Figuren gerichtet/ hat deme/ Raubens halber in das Haus gefallenen/ und mit gezukktem Schwerd/ wer er waͤre/ fragenden Krieger/ vor lauter Begierd das geſuchte zu finden/ ſeinen Nahmen nicht ſagen koͤnnen/ ſon- dern mit der einen/ aus dem Sand herfuͤr gezogenen Hand denſelben zu rukk ge- halten/ ſprechende: Ey Lieber verſtoͤre mir dieſe meine Kreißzuͤge nicht; Und alſo hat er/ den Befehl des Siegers gleichſam verachtend/ von des Kriegers Schwerd )( )( iiijdurch- durchſtochen/ mit ſeinem eigenen Blut ſeine kuͤnſtliche Abriſſe ſelbſten ausgeleſchet. Wordurch dann geſchehen/ daß umb einerley Kunſt willen ihme ſein Leben bald geſchenket/ bald geraubet wurde. Seine groͤſſeſte Muͤhe und hoͤchſten Fleiß hatte Archimedes auf Erlangung einer vollkommenen Kreiß- und Kugel-Wiſſenſchafft gewendet. Wie dann die meiſten/ in dieſem Buch enthaltene Schrifften alle dahin gerichtet ſind. Deswegen hatte er ſeine Freunde und Verwandte gebetten/ ſie ſolten ihme nach ſeinem Todt auf ſein Grab eine von einer Rund- Saͤue (cylindro) beſchloſſene Kugel ſetzen/ und die Verhaͤltnis/ ſo jene gegen dieſer hat/ (nehmlich wie 3 gegen 2) darbey ſchreiben/ allermaſſen er ſolche Verhaͤltnis ſehr kuͤnſtlich geſunden/ und in dem 32ſten Lehrſatz des I. Buchs von der Kugel und Rund-Saͤule be- wieſen hat. Nach dem nun Marcellus deſſen von beſagten Freunden Archimedis verſtaͤndiget worden/ hat er ihme in dieſem Fall ein Genuͤgen geſchehen laſſen. Wie dann Cicero lange Zeit hernach/ als er Stadthalter in Sicilien war/ ſolches Grabmal Archimedis geſuchet/ und endlich/ von Dornen und Hekken umbwachſen/ beſagter maſſen/ befunden hat. Jch wuſte (ſchreibt er Lib. V. Tuſcul. quæſt.) etliche Verslein auswendig/ welche ich/ auf Archimedis Grabmal/ geſchrieben zu ſeyn vernommen hatte/ dieſelbige zeigeten an/ daß auf ſeinem Grab eine Kugel ſambt einer Rund-Saͤule geſetzet waͤre. Als man nun einen Zugang zu ſolcher Grabſtaͤtte geoͤffnet/ bin ich zu der einen Seite des Grabmahles hingegangen; da ich dann beſagte Aufſchrifft gefunden/ aber alſo/ daß der lezte Teihl derer Verslein faſt halb ausgetilget und unleßlich war. Alſo haͤtte die edelſte Stadt in Griechenland ihres hoͤchſtverſtaͤndigſten Burgers Grab- mal nicht gewuſt/ wann ihr ſelbiges nicht von einem Arpineſer waͤre gezeiget worden. Hierons Urteihl/ als Archimedes ihme verſprochen ein Jnſtrument zu erfinden/ wordurch er allein das groſſe Schiff/ welches ganz Sicilien nicht bewegen kunte/ in das Meer treiben ſolte/ und ſolches auch im Werk geleiſtet/ war dieſes: Forthin ſolte man glauben alles was Archimedes ſagen würde; wie Plutarchus in ſeinem Marcello bezeuget. Welchem nicht unaͤhnlich iſt das Urteihl Ciceronis/ deſſen Meinung nicht un- klar dahin gehet/ es koͤnnte ein verſtaͤndiger Mann/ wann ihm Archimedes ſeiner Erfindun- gen Urſachen und Beweißthume fuͤrgeleget haͤtte/ nachmals die Waarheit deroſelben auch mit einem Schwur betheuren. Meineſtu (ſchreibt er Lib. 4. acad. quæſt.) es werde ein kluger Mann ſchwoͤren/ eh und bevorab Archimedes in ſeinem Beyſeyn alle die je- nige Urſachen wird gleichſam fuͤr die Augen mahlen/ welche erzwingen/ daß die Sonne vielmal groͤſſer ſey als die Erde: ꝛc.

Vor-

Vorbericht an Den fleiſſigen und ſeiner reinen Mutter-Sprach befliſſenen Teutſchen Leſer.

VOr allen andern nutzlichen Erinnerungen/ welche wir in die Vorreden derer folgenden Buͤcher verſparen/ iſt dieſes hier zu foͤrderſt und ins gemein zu gedenken/ daß wir in Uberſetzung und Ausfertigung dieſes ganzen Werkes ſonderlich dahin geſehen haben/ daß Archimedes/ welcher nunmehr kein Sicilianer mehr/ ſondern ein Teutſcher ſeyn ſolle/ auch recht und ungeſtuͤmmelt/ oh- ne Beymiſchung fremder Woͤrter/ reden moͤchte. Wann dann zu ſolchem End viele Lateiniſche und Griechiſche Kunſtwoͤrter aufs neue haben verteutſchet werden muͤſ- ſen/ welche den kunſtliebenden Leſer/ biß er deroſelben gewohnet/ etwas anſtehen machen moͤchten/ als haben wir ſolche Verteutſchungen ſambt ihren gleichgeitenden und bekannten Lateiniſchen und Griechiſchen Woͤrtern in einem gedoppelten Regiſter nach derer Buchſtaben Ordnung hier voranſetzen wollen; damit man im Fall beduͤr- fens ſich daher Rahts erhohlen/ und/ an ſtatt derer bißher gebraͤuchlichen fremden/ die teutſche Kunſtwoͤrter allgemach gewohnen/ und alſo mit denen Teutſchen teutſch zu reden lernen moͤge.

Die in dieſem Werk vorkommende verteutſchte Kunſt-Woͤrter/ ſambt ihren gleichguͤltigen Lateiniſchen oder Griechiſchen.

A. Ablange Rundung/ Ellipſis. Afterkugel/ Sphæroides. Afterkegel/ oder Kegel-aͤhnliche Figur/ Conoides. Anmerkungen/ Scholia, Notæ. Aufgab/ Problema.

B. Betrachtung/ Theorema. vor-Betrachtungen/ Principia. Bogen oder kreiß-Bogen/ Arcus Circuli. viertels-Bogen/ Quadrans Circuli.

D. ein Dreyekk/ Triangulum. ein gleichfuͤſſiges Dreyekk/ Iſoſceles Æqui- crurum. ein gleichſeitiges Dreyekk/ Æquilaterum. ein rechtwinklichtes Dreyekk/ Rectangu- lum Triangulum. Durchmeſſer/ Diameter.

E. eine Ebene/ Planum. Ekk-Saͤule/ Priſma. Ekkflaͤche/ Superficies Priſmatis. Endpunct/ Terminus lineæ. End- oder graͤnz-Lini/ Terminus Super- ficiei. Ey-Lini/ Ovalis.

F. eine Flaͤche/ Superficies. grund-Flaͤche/ Baſis Solidi. kreiß-Flaͤche/ oder Scheibe/ Circulus. kugel-Flaͤche/ Superficies Sphærica. parabel-Flaͤche/ Planum Parabolicum. rund-Flaͤche/ Superficies Cylindrica. Forderung/ Poſtulatum. Folge/ Corollarium, Conſectarium.

G. Gleichlauffende Lineen oder Flaͤchen/ Pa- rallela. ein Gleichlauffendſeitiges Vierekk/ Paral- lelogrammum. ein un-Gleichlauffendſeitiges Vierckk/ Trapezium. ein Gleichfüſſiges Dreyekk/ Iſoſceles, Æquilaterum. ein Gleichſeitiges/ Æquilaterum. Gleichmaͤſſige Dinge/ Commenſurabilia. un-Gleichmaͤſſige/ Incommenſurabilia. Gleichverhaltende Dinge/ Proportionalia Geometricè. unzer- unzertrennt- oder fortgeſetzt-Gleichverhal- tende/ Continue proportionalia. Gleichuͤbertreffende Dinge/ Arithmeticè proportionalia. Grundflaͤche/ Baſis Solidorum. Grundſcheibe/ Baſis circularis. Grundforſchung/ Analyſis. die Grundforſchende oder grundſuchende Lehrart/ Methodus Analytica. die Grundſetzende Lehrart/ Methodus Ana- lytica. Grundlini/ Baſis Superficiei. Grundſatz oder unbeweißlicher Ausſpruch/ Axioma.

H. Halbmeſſer/ Semidiameter, radius. Halbteihlung/ Biſectio. Halbteihlen/ Bifariam ſecare. Heb- oder Beweg-Kunſt/ Mechanica. Huͤlf- oder Lehen-Satz/ Lemma.

K. Kegel/ Conus. ein After-Kegel/ oder Kegel-aͤhnliche Fi- gur/ Conoides. doppel-Kegel/ Rhombus Solidus. Kegelflaͤche/ Superficies Conica. ein Kegelſtuͤkk/ Truncus Coni. Kegel Lineen/ Sectiones Conicæ. eine vergleichende Kegel-Lini/ Parabola, (die Urſach dieſer Benennung ſuche un- ten in der Vorrede von denen Gleich- wichtigen/ und zwar in der I. Betrach- tung.) eine uͤbertreffende Kegel-Lini/ Hyperbola, (die Urſach findet man an bemeldtem Ort in der 2ten Folge der IX. Betr.) eine ermanglende Kegel-Lini/ Ellipſis, (Beſihe die 6te Folge der XII. Betr. an beſagtem Ort.) ein Kreiß oder Kreiß-Lini/ Circulus, pro linea. eine Kreißflaͤche/ Circulus pro ſuperficie. ein Kreiß- Bogen/ Arcus circuli. ein Kreiß- Viertel oder Viertels-Kreiß/ Quadrans. Kreiß- ſchnitt/ Segmentum circuli. ein Kreiß- teihl/ Sector circuli. Kreiß- vierung/ Quadratura circuli. halb-Kreiß/ Semicirculus. Kunſtwoͤrter/ Termini technici. Kugel/ Sphæra. after-Kugel oder Kugel-aͤhnliche Figur/ Sphæroides. Kugel- flaͤche/ Superficies Sphærica. Kugel- ſchnitt/ Segmentum Sphæræ. Kugel- teihl/ Sector circuli.

L. ein Lehen- oder Huͤlf-Satz/ Lemma. Lehrſatz/ Propoſitio. Lini/ Linea. Kreiß- Ey- Schnekken-LiniCircularis. Ovalis, Ellipſis. Spiralis.

M. gleich- eben-Maͤſſige Dinge/ Com̃enſurabilia. Meßkunſt/ Geometria. Meßkünſtler/ Geometra. durch-Meſſer/ Diameter. halb-Meſſer/ Semidiameter. Mitmeſſer/ Parameter, ſive Latus rectum in ſectionibus Conicis. Mittelpunct/ Centrum. Mittel-Lini/ Axis. eine Mittlere gleichverhaltende/ Media proportionalis. Muſchel-Lini/ Conchois.

O. Ordentlich-gezogene Lineen/ Ordinatim applicatæ in ſectionibus Conicis.

P. eine Parabel oder vergleichende Kegel-Lini/ Parabola. Parabel-flaͤche/ Planum parabolicum. Parabel-vierung/ Quadratura parabolæ. Punct oder Tupf/ Punctum. ſcheitel Punct/ Vertex.

R. Rechtekk oder rechtwinklichtes Vierekk/ Rectangulum. ablange Rundung/ Ellipſis. Rund-flaͤche/ Superfieies Cylindrica. Rund-Saͤule/ Cylindrus.

S. Rund- Ekk- Spitz-SaͤuleCylindrus. Priſma. Pyramis. Satz/ Hypotheſis. Huͤlf- oder Lehen-Satz/ Lemma. Lehr-Satz/ Propoſitio. Scheibe/ Circulus pro ſuperficie. grund-Scheibe/ Baſis Circularis. Scheitelpunct/ Vertex. Schnekken-Lini/ Spiralis. Senkrecht/ perpendicularis. Spitz-Saͤule/ Pyramis.

T. Teihlungs-Zehler/ Quotus ſ. Facit. halb-Teihlung/ Biſectio. V. Ver-

V. Verhaͤltnis/ Proportio, ſ. ratio. anderthalbige Verhaͤltnis/ Seſquialtera. uͤberdreyteihlige Verhaͤltnis/ Seſquitertia. gedoppelte Verhaͤltnis/ Ratio duplicata. wiederkehrliche Verhaͤltnis/ Proportio re- ciproca. gleich-Verhaltende Dinge/ Proportio- nalia. eine mittlere gleich-Verhaltende/ Media proportionalis. ein Vielekk/ Polygonum. ein Vierekk/ Quadrangulum. ein gleichlauffendſeitiges Vierekk/ Paralle- logrammum. ungleichlauffendſeitiges Vierekk/ Trape- zium. eine Vierung/ Quadratum. Viertelkreiß/ Quadrans. Umblauff/ Peripheria poly goni. Umbkreiß/ Periferia circuli.

W. Waagkunſt/ Statica. Waagrecht/ Horizonti parallelum. Wiederkehrliche Verhaͤltnis/ Proportio reciproca. Winkel/ Angulus. wechſel-Winkel/ Anguli alterni. ſcheitel oder kreutz Winkel/ Verticales. Winkel des Halbkreiſſes/ Angulus ſemi- circuli. Winkel im Halbkreiß/ Angulus in ſemi- circulo. Winkelrecht/ perpendiculare. Worterklaͤrungen/ Definitiones.

Die in dieſem Werk vorkommende Lateiniſche und Griechiſche Kunſt-Woͤrter/ mit ihren Verteutſchungen.

A. Æquilaterum triangulum, ein gleichſeitiges Dreyekk. Æquicrurum. ein gleichfuͤſſiges. Analyſis, Grundforſchung. Analytica methodus, Grundſuchende Lehr- art. Angulus, ein Winkel. Angulialterni, verticales,Wechſel. Scheitel.Winkel. Angulus ſemicirculi, der Winkel des Halb- kreiſſes. Angulus in ſemicirculo, der Winkel im Halb- kreiß. Arcus circuli, ein Kreißbogen. Axioma, ein Grundſatz oder unbeweißlicher Ausſpruch. Axis, die Achſe oder Mittel-Lini.

B. Baſis (in ſuperficiebus) die Grundlini/ in corporibus, die Grundflaͤche. Bifariam ſecare, halbteihlen. Biſectio, Halbteihlung.

C. Centrum, der Mittelpunct. Circulus, pro linca, ein Kreiß/ pro ſuper. ficie, eine Scheibe. Circumferentia, der Umbkreiß/ in polygonis, der Umblauff. Conchois, eine Muſchel-Lini. Commenſurabilia, gleich- oder ebenmaͤſſige Dinge. Continuè proportionalia, unzertrennt- oder fortgeſetzt-gleichverhaltende Dinge. Conus, ein Kegel. Conica ſuperficies, ein Kegelflaͤche. Conoides, ein Afterkegel/ oder eine Kegel- aͤhnliche Figur. Cylindrus, eine Rundſaͤule. Cylindrica ſuperficies, eine Rundflaͤche.

D. Definitio, Worterklaͤrung. Diameter, Durchmeſſer. ſemi-Diamerer, Halbmeſſer. Disjunctè-proportionalia, zertrennt-gleich- verhaltende Dinge.

E. Ellipſis, eine ablange Rundung.

G. Geometria, die Meßkunſt. Geometra, ein Meßkuͤnſtler. Geometricè proportionalia, gleichverhal- tende Dinge.

H. Hyperbola, eine uͤbertreffende Kegel-Lini. Hypotheſis, ein Satz.

I. Incommenſurabilia, ungleichmaͤſſige Dinge.

L. Latus rectum, der Mitmeſſer in denen Kegel- lineen. Lemma, ein Huͤlf- oder Lehenſatz. Lineacircularis, ovalis, ſpiralis, perpendicularis, eine Kreiß Ey- Schnekken- ſenkrechteLini. M. Mecha-

M. Mechanica, die Heb- oder Beweg-Kunſt. Media proportionalis, eine mittlere gleich- verhaltende. Methodus analytica, die Grund-ſuchende Lehrart. Methodus ſynthetica, die Grund-ſetzende Lehrart.

O. Ordinatim-applicatæ, ordentlich-gezogene Lineen in denen Kegelſchnitten.

P. Parabola, eine vergleichende Kegel Lini/ oder eine Parabel. Parameter, der Mitmeſſer/ in denen Kegel- lineen. Parallela, gleichlauffende Groͤſſen. Parallelogrammum, ein gleichlauffendſeitiges Vierekk. Parallelum Horizonti, waagrecht. Perpendicularis, Senk Schnur/ oder win- kelrecht. Planum, eine ebene Flaͤche. Planum parabolicum, eine Parabelflaͤche. Polygonum, ein Vielekk. Poſtulatum, eine Forderung. Principia, Vorbetrachtungen. Priſma, eine Ekkſaͤule. Problema, eine Aufgab. Proportio, eine gleiche Verhaͤltnis. Proportio reciproca, wiederkehrliche Ver- haͤltnis. Proportionalia, gleichverhaltende Dinge. Proportionalia continuè, fortgeſetzt- oder un- zertrennt-gleichverhaltende. Proportionalia diſcretè, zertrennt gleichver- haltende. Proportionalia arithmeticè, gleichuͤbertref- fende Dinge. Proportionalis media, eine mittlere gleich- verhaltende Lini. Pyramis, eine Spitz-Saͤule.

Q. Quadrangulum, ein Vierekk. Quadrans, ein Viertelkreiß. Quadratum, eine Vierung. Quadratura circuli, die Kreiß-Vierung. Quadratura paraboles, Parabel-Vierung. Quotus, der Teihlungs-Zehler.

R. Radius, ſemidiameter, Halbmeſſer. Ratio, eine Verhaͤltnis. Ratio duplicata, gedoppelte/ ſeſquialtera, anderthalbige/ ſeſquitertia, uͤberdreyteihlige/ Verhaͤltnis. Rectangulum, ein Rechtekk/ oder rechtwink- lichtes Vierekk.

S. Scholion, eine Anmerkung. Sector circuli, ein Kreißteihl. Sector Sphæræ, ein Kugelteihl. Segmentumcirculi, ein Kreißſchnitt. ſphæræ, ein Kugelſchnitt. Semidiameter, der Halbmeſſer. Sphæra, eine Kugel. Sphæroides, eine Afterkugel. Spiralis, eine Schnekken-Lini. Statica, die Waagkunſt. Superficies, eine Flaͤche. ſphærica, eine Kugelflaͤche. conica, eine Kegelflaͤche. cylindrica, eine Rundflaͤche. plana, eine ebene Flaͤche. Synthetica methodus, die Grund-ſuchende Lehrart.

T. Terminus in lineis, der Endpunct. in ſuperf. die Endlini. Termini technici, Kunſtwoͤrter. Theorema, eine Betrachtung. Trapezium, ein ungleichlauffendſeitiges Vierekk. Triangulum, ein Dreyekk. æquilaterum, ein gleichſeitiges iſoſceles, ein gleichfuͤſſiges rectangulum, ein geradwinklichtes Dreyekk.

V. Vercex, der Scheitelpunct. Verticales anguli, Scheitel- oder Creutz- Winkel.

Archi-

Archimedis Zwey Buͤcher Von Der Kugel und Rund-Saͤule. Beyder Buͤcher Haupt-Betrachtung.

III.

II.

Des Erſten Buchs XXXII. ſter Lehrſatz. Wie Drey iſt gegen Zwey: alſo zuſamm ſich ſchikken Ein Saͤul- und Kugel-Rund von gleichen Hoͤh- und Dikken.

Einleitung. Boͤnſtiger geneigter Leſer!

JN dem wir nun mit GOtt den Anfang machen in Uberſetzung und Erlaͤuterung derer Archimediſchen Kunſtſchrifften/ ſo iſt vonnoͤhten/ daß wir denſelben noch folgender Puncten zum voraus berichten:

1. Daß wir/ ſchoͤnerer Ordnung und mehrerer Deutlichkeit wegen/ die Lehrſaͤtze und Aufgaben jedesmals von ihren Beweis- tuhmen/ ſowol durch Abbrechung derer Zeilen als auch Veraͤnde- rung des Drukkes/ unterſchieden/ welche ſonſten in dem alten Griechiſchen Text ohne Abſatz aneinander hangen; und daß wir beyderſeits in der Uberſetzung nit ſowol die Wort als die Meinung Archimedis deutlich auszudrukken befliſſen geweſen/ wiewol wir in denen Lehrſaͤtzen vielmehr als in denen Beweistuhmen bey des Urſchreibers Worten und Redart verblieben ſind. 2. Weil Archimedes ſeine Buͤcher jederzeit ſolchen Leuten zu- geſchrieben/ welche derer Mathematiſchen Wiſſenſchafften und derer Gruͤnde/ auf welchen ſeine Beweistuhme beruhen/ allbereit kuͤndig geweſen/ und daher ſolche (wo ſie nehmlich zu finden/ oder von wem ſie bewieſen worden) anzuziehen vor unnoͤhtig geachtet hat; jezt aber dieſelbe in allerley Haͤnde gerahten werden: Als ha- ben wir/ dem ungeuͤbten Leſer zum beſten/ jederzeit die Stelle/ woraus er ſich dieſes oder jenes Grundes/ deren ſich Archimedes bedienet/ verſichern kan/ in allen Beweiſen durch und durch/ heu- tigtaͤgigem Gebrauch nach/ mit angefuͤget; Da dann dieſes ſonder- lich in acht zu nehmen/ wann ſchlechter dings hin geſagt wird/ zum Exempel im 3ten des VI. oder im 2ten des XII. B. (ohne Meldung des Urſchreibers oder Jnnhaltes eines Buchs) daß alsdann je- derzeit die bekandte Anfangs-buͤcher (elementa) Euklidis gemei- net ſeyen. 3. Ob nun gleich hierdurch (naͤchſt Beyziehung unſerer An- merkungen/ in welchen die jenige Gruͤnde/ ſo anderſtwo nit/ oder doch in bekandten Buͤchern nit/ zu finden ſind/ eroͤrtert werden) hoffentlich beſagte Beweistuhme ihre moͤgliche Leichtig- und Deut- A ijlichkeit lichkeit bey nahem werden erlanget haben/ ſo haͤtten jedennoch die meiſten Figuren und Aufriſſe noch manchem dunkeln Ort ſein ge- hoͤriges Liecht geben koͤnnen/ wann nit dieſelbe meiſtenteihls/ eh uns dieſes Werk unter die Haͤnde kommen/ aus einem alten Latei- niſchen Exemplar allbereit abgeriſſen und geſchnitten geweſen waͤ- ren; da ſie dann/ in Anſehung des ziemlichen Koſtens/ welcher auf ihre Verfertigung gegangen/ nit wol haben koͤnnen gar verworfen werden. Es iſt aber dannoch deroſelben Fehlern/ ſoviel moͤglich/ hier und dort in deroſelb ſchrifftlichen Erklaͤrung geholfen worden/ wie der fleiſſige Leſer an ſeinem Ort finden wird. 4. Daß wir endlich ein und andersmal etlicher vornehmer und hochverſtaͤndiger (NB. aber darbey dannoch nit unfehlbarer) Maͤnner/ Meinungen/ und ſonderlich Rivaltum de Flurance, wann er entweder Archimedis Gedanken und Zwekk nit recht bemerket/ oder auch nit vollkommen bewieſen hat/ ꝛc. zu widerlegen uns un- terſtanden; wird hoffentlich der verſtaͤndige Leſer (den wir deswe- gen nach Standesgebuͤhr erſuchen) nit dahin deuten/ als ob man ſich fuͤr kluͤger und tiefſinniger/ als beſagte Sinnreiche Koͤpfe/ wol- te angeſehen haben/ denen man das Waſſer zureichen/ dem Sprich- wort nach/ ſich billich unwuͤrdig erkennet; ſondern vielmehr glau- ben/ daß es einig und allein zu Befoͤrderung der Waarheit/ und mit keinen andern als dieſen Gedanken geſchehen ſey/ daß oftmals ein ſonſt bloͤdes Aug/ wann es in Beſchauung eines dinges allein be- ſchaͤfftiget iſt/ das jenige ſinde und betrachte/ was auch das aller- ſcharffſichtigſte/ aber mit vielfacher Betrachtung unterſchiedlicher Dinge bemuͤhete/ uͤberſihet und vernachlaͤſſiget. Solte im Gegen- teihl der verſtaͤndige Leſer dergleichen/ oder wol groͤbere Fehler (welches nit unmoͤglich iſt) in dieſem Werk bemerken/ und mit gebuͤhrender Beſcheidenheit weiſen/ ſo iſt man bereit/ dieſelbe nit nur gern und ohne Scheu zu bekennen und zu verbeſſern/ ſondern auch eine ſo wolgemeinte und nutzliche Befreyung eines Jrꝛ- tuhms mit gebuͤhrendem Dank zu erkennen.

GOtt befohlen!

Archi-

Archimedes Von Der Kugel und Rund-Seule. (De Sphæra, & Cylindro.)

Archimedes dem Doſitheo alles Wolergehen!

JCh habe dir zwar vor dieſem uͤberſendet etliche unſerer Anmerkungen oder Erfindungen/ deren Beweißtuhme wir auch beſchrieben haben; als zum Exempel/ Daß eine jede Flaͤche/ ſo da iſt begriffen von einer geraden Lini und dem Durchſchnitt eines geradwinklichten Ke- gels (coni,) gegen einem Dreyekk/ welches eine gleiche Grundlini (baſin) und gleiche Hoͤhe mit gedachter Flaͤche hat/ uͤber- dreyteihlig (wie 4 gegen 3) ſich verhalte; das iſt/ um ein Drit- teihl groͤſſer ſey als gemeldtes Dreyekk. Jezt aber haben wir etlicher anderer fuͤrfallenden Lehrſaͤtze Beweißtuhme verfertiget/ als da ſind dieſe nach- folgende: Erſtlich zwar daß Eine jede Kugelflaͤche viermal ſo groß ſey/ als die groͤſſeſte Kreißflaͤche unter allen denen die innerhalb einer Kugel befindlich ſind. Darnach Daß eines jeden Kugel- ſtuͤkkes Flaͤche ſo groß ſey als eine Scheibe oder Kreißflaͤche (circu- lus,) deren Halbmeſſer (ſemidiameter ſeu radius) gleich iſt der jenigen Lini/ welche von dem Scheitelpunct des Kugelſtuͤkkes auf den Um- kreiß ſeiner Grund-ſcheibe heruntergezogen wird. Ferner Daß gegen einer jeden Kugel die jenige Rund-Seule (cylindrus,) deren Grundſcheibe gleich iſt der groͤſſeſten Kreißflaͤche innerhalb derſel- ben Kugel/ und die Hoͤhe gleich dem Durchmeſſer (diametro) eben derſelben Kugel/ ſich anderthalbig (wie 3 gegen 2) verhalte; und eben ſo die aͤuſſere Flaͤche der Rundſaͤule gegen der aͤuſſern Flaͤche gemeldter Kugel. Und zwar dieſe Betrachtungen erſterwehnter Figuren/ ſolten/ der Natur nach/ vor andern hergegangen ſeyn: gleichwol aber ſind ſie A iijbey bey unſern Vorfahren und denen alten Liebhabern der Meßkunſt noch unbe- kannt geweſen/ wie der jenige/ welcher ihre Beweißtuhme gegen dieſe halten will/ leichtlich finden wird; Ob ſchon ſonſten viel Sachen/ ſo von Eudoxus/ in Betrachtung der Coͤrperlichen Figuren beobachtet worden/ dazumal wiſſend und bewieſen waren; als zum Exempel/ daß Eine jede Spitzſeule (Pyramis) ſey der dritte Teihl einer Ekkſeul (Prismatis,) welche mit je- ner einerley Grundflaͤche und gleiche Hoͤhe hat. Und daß Ein jeder Kegel ſey der dritte Teihl einer Rundſeule/ welche mit jenem eine gleiche Grundſcheibe und gleiche Hoͤhe hat. Dieſe/ gemeldter Figuren fuͤrnehmſte und der Natur nach erſte/ Eigenſchafften/ ſind/ wie gemel- det/ nicht nur einem/ ſondern vielen fuͤrtrefflichen Meß-kuͤnſtlern/ vor dem Eu- doxus/ wiſſend geweſen; und wird einem jeden/ der den Verſtand und das Vermoͤgen hat/ denenſelben ferner nachzudenken erlaubet ſeyn. Was gegen- waͤrtige meine Gedanken belanget/ hab ich dieſelbe billich bey Lebzeiten des Co- nons zu Tage geben ſollen/ weil ich vernommen/ daß er/ fuͤr andern/ derglei- chen Dinge kuͤndig/ und/ gebuͤhrend davon zu urtheilen/ geſchikkt ſey.

Weil ich dann fuͤr rahtſam befunden/ daß dieſe Betrachtungen denen Lieb- habern derer Mathematiſchen Wiſſenſchafften mitgeteihlet wuͤrden; als uͤber- ſende ich dir hiermit deroſelben von mir verfertigte Beweißtuhme/ die ich ei- mem jeden/ in dieſen Wiſſenſchafften ſich uͤbenden und verſtaͤndigen Liebhaber zu beurteihlen uͤberlaſſe. Lebe wol!

Anmerkungen. Durch dieſe/ alſo weitlaͤuffig beſchriebene Figur verſtehet Archimedes mit einem Wort die jenige/ welche ſonſten von denen Griechen mit einem Wort παραβολὴ (eine Parabel- flaͤche) genennet wird/ und von deren Vierung (Quadratura) oder Vergleichung mit einer gewiſſen/ von geraden Lineen begriffenen/ Flaͤche/ er beſſer unten ein abſonderliches Buch ge- ſchrieben/ deſſen 17der und 24ſter Lehrſatz eben dieſe/ hier angezogene/ Betrachtung ſamt ei- nem doppelten Beweiß fuͤr Augen ſtellet. Dieſe Betrachtung iſt zu finden in dem folgenden I. Buch von der Kugel und Rund- Seule/ und zwar in deſſen 31ſten Lehrſatz/ dahin wir den Leſer wollen gewieſen haben. Beſihe hiervon den 38ſten Lehrſatz des nechſtfolgenden erſten Buchs von der Kugel- und Rund Seule. Dieſes wird erwieſen in der Folge des 32ſten Lehrſatzes in erſtangezogenem Buch. Deſſen Beweiß wird gefunden in dem zwoͤlften Buch des Euclides/ und zwar in dem 7den Lehrſatz deſſelben. Erſtgemeldter Euclides beweiſet dieſes wiederum in des angezogenen zwoͤlfften Buchs/ zehendem Lehrſatz.

Vorbetrachtungen.

Zufoͤrderſt muͤſſen die unbeweißliche Gruͤnde oder Außſpruͤche/ und andere zu kuͤnftigen Beweißtuhmen noͤhtige Saͤtze und Erklaͤrungen geſetzet werden; und zwar erſtlich die

Worterklaͤrungen.

Es ſind etliche krumme Lineen auf einer Flaͤche oder Ebene/ welche ſich entweder ganz auf eine Seite/ derer jenigen geraden Li- neen/ neen/ ſo ihre Endpuncten zuſammen fuͤgen/ wenden/ oder doch nichts auf die andere Seite gewendet haben.

II.

Dann eine nach einer Seiten hohle oder krumme Lini nenne ich/ in welcher/ ſo man nimmet zweene Puncten nach Belieben/ entweder alle gerade Lineen ſo zwiſchen ſolchen zweyen Puncten enthalten ſind/ auf eine Seite/ der jenigen Lini ſo von einem der ge- nommenen Puncten zu dem andern gezogen wird/ ſich neigen; oder doch etliche alſo nach einer Seite gewendet ſind/ etliche ge- meldter Lini gleichlauffen/ keine aber nach der andern Seite ge- neiget ſey.

Anmerkungen.

Hier iſt Archimedes gleich Anfangs dunckel; wird aber leichtlich verſtanden werden/ wann man folgendes beobachtet: 1. Daß er/ wie Eutocius von Aſcalon beobachtet hat/ durch die krummen Lineen hier nicht allein verſtehe die Kreiß-Ey-Schnekken- und andere gebogene Lineen/ ſondern auch die jenige/ welche aus etlichen geraden Lineen alſo zuſammen ge- ſetzet ſind/ daß ſie gewiſſe Winkel machen/ und/ auf einer Flaͤche ligend/ nicht gerad hinauß- lauffen/ als da ſind zum Exempel die beyden Lineen A, B, C, D, E, F, und G, H, I, K, L, M.

2. Daß eine jede ſolche krum- me Lini/ oder vielmehr eine jede ſolche Verſammlung oder Zu- ſammenhaͤngung etlicher geraden Lineen eine gewiſſe Hoͤhle verur- ſache/ und daher eine hohle Lini genennet werden koͤnne. Nun aber ſolche Hoͤhle entweder ganz nach einer Seite/ oder auf ein

Ort gerichtet iſt/ wann nehmlich die Winkel alle einwerts fallen/ wie in der Lini A, B, C, D, E, F; oder aber zum teihl hieherwerts zum teihl dorthinwerts ſich wendet/ wann nehmlich etli- che Winkel einwerts etliche außwerts fallen/ wie in der krummen Lini G, H, I, K, L, M, die Winkel G, H, I, und I, K, L, und K, L, M, zwar einwerts/ H, I, K aber außwerts gerichtet iſt: als nennet Archimedes jene erſte Art eine nur nach einer Seiten hohle Lini/ und gibt/ an ſtatt unſers erſterklaͤrten/ dieſes Kennzeichen: Wannn man nehme zween Puncten nach Belieben/ als A und F, dieſelbe durch eine gerade Lini AF zuſammziehe/ und dann finde/ daß alle zwiſchen dieſen beyden Puncten enthaltene Lineen/ als AB, BC, FE, ED, von gemeldten Puncten an gerechnet/ auf die eine Seite der Lini AF (nehmlich gegen X oder zur linken Hand) hinaus ge- zogen und gekehret/ oder/ wie CD, der Lini AF gleichlauffend (parallel) ſind; keine aber nach der rechten Seiten gegen U hinaus ſich erſtrekke; ſo wolle er alsdann ſolche Lini nach einer Seiten hohl genennet haben. Welchem nach die Lini G, H, I, K, L, M, nicht nach einer Seite hohl iſt/ weil die Lineen GH, ML, LK, zwar nach der lincken Hand der Quehrlini GM, nehmlich gegen Z hinaus lauffen/ HI aber und KI gegen der rechten hereinwerts auf Y ſich erſtrekken/ und alſo eine Hoͤhle nach der andern Seite verurſachen. Wann der Leſer nun fer- ner an ſtatt erſtgemeldter Lineen/ ſo viel aneinander hangende Flaͤchen (ſuperficies) ihme ein- bildet/ wird er/ was erſt von denen/ nach einer Seite hohlen/ Lineen geſagt worden/ auf die Flaͤchen leichtlich ziehen/ und daher/ ohne fernere Erklaͤrung/ verſtehen/ was jezt bey dem Ar- chimedes ferner folget/ nehmlich:

III.

Deßgleichen ſind auch etliche Flaͤchen/ die zwar ſelbſt nicht auf einer einer Ebene ſind/ aber ihre Endlineen (terminos) auf einer Ebene ha- ben; und welche entweder ganz nach einer Seite ſolcher Ebene/ darauf ſie ihre Endlineen haben/ ſich wenden/ oder doch keinen Teihl nach der andern Seite gerichtet haben.

IV.

Dann nach-einer-Seiten-hohle Flaͤchen nenne ich/ in wel- chen/ ſo man nimmet zween Puncten/ die geraden Lineen/ ſo zwi- ſchen ſolchen zweyen Puncten enthalten ſind/ entweder alle auf ei- ne Seite der von einem Punct zu dem andern gezogenen Quehrli- ni fallen; oder doch etliche alſo fallen/ etliche gemeldter Lini gleich- lauffen/ keine aber nach der andern Seite geneiget ſey.

Einen keglichten Kugel-teihl nenne ich die jenige Figur/ (zum Exempel AGCB) wel- che/ wann ein Kegel (EBF) eine Kugel (AG CD) alſo durchſchneidet/ daß ſeine Spitze ih- ren Mittelpunct (B) berühret/ begriffen wird ſo wol von der/ innerhalb der Kugel ſtekkenden Kegelflaͤche (ABC) als von der/ innerhalb des Kegels verborgenen/ Kugelflaͤche (AGC.)

Anmerkung.

Mit einem Wort/ einen Kegel der an ſtatt ſeiner Grundſcheibe oder unterſten Kreißflaͤche ein rundes Kugelſtuͤkk hat.

VI.

Einen Doppel-Kegel oder Kegel- wekk (Rhombum ſolidum) nenne ich/ wann zweene Kegel (AEB und ABF) einerley Grundſcheibe (ACBD) mit- einander gemein haben/ ihre Spitzen aber in widrige Gegenden hinaus erſtrekken/ jedoch alſo/ daß ihre Mittel-Lineen (axes) ſchnur- recht auf einander treffen/ und alſo aus beyden eine zuſammgeſetz- te Figur (FAEB) entſtehe.

Anmerkung.

Und dieſes ſind alſo die noͤhtige Erklaͤrungen derer Kunſtwoͤrter/ deren ſich Archimedes in dieſem Werk/ neben andern vorhin ſchon bekannten/ bedienet; Wie dann bey allen dieſer Kuͤnſte Liebhabern der Gebrauch iſt/ die jenige Woͤrter ſo ein jeder zu ſeinem Zwekk dienlich aufs neue/ nach Belieben/ erfindet/ zuerlaͤutern und außzulegen/ damit ſie in ihren folgenden Außſpruͤchen moͤgen verſtanden werden. Folgen nun/ unter denen noͤhtigen Vorbetrachtun- gen/ fuͤrs andere

Die

Die Grund-Saͤtze Oder Fuͤr ſich ſelbſt-kuͤndige Waarheiten.

Jch nehme aber und ſetze als bekannt dieſes folgende:

Daß unter allen Lineen/ die einerley Endpuncten haben/ die gerade die allerkuͤrzeſte ſey.

II.

Daß alle andere Lineen/ ſo auf einer Ebene ligen/ und einerley Endpuncten ha- ben/ einander ungleich ſeyen.

Anmerkung.

Zum Exempel/ die Lineen AB, ACB, ADB, AEB, haben alle einerley Endpuncten/ nehmlich A und B, und iſt unter dieſen allen AB, die gerade die allerkuͤrzeſte/ welches keines Beweiſes bedarf/ ſondern von Natur bekannt iſt/ welche allezeit den geraden Weg fuͤr den kuͤrzeſten achtet. Die andern krummen Lineen aber ſind alle ungleich/ wie abermals fuͤr Au- gen liget. Dieſes einige nur iſt hier zu merken/ daß Archimedes hier rede von denen krum- men Lineen/ welche nicht nur auf einerley Ebene/ ſondern auch auf einer Seite der geraden Li- ni gezogen werden: Dann ſonſten kan die Lini ACB auf der andern Seiten eine Gleiche/ AFB, haben/ die doch einerley Endpuncten mit jener gemein habe; und eben alſo auch die andern.

Ob nun ſchon/ wie gemeldet/ dieſe beyde Grundſpruͤche des Archimedis einiges Bewei- ſes nicht beduͤrftig/ ſondern von Natur bekannt ſind; beluſtiget ſich doch Eutokius von Aska- lon ſonderlich mit Beweiſung des erſten/ und gebrauchet darzu einen aus denen bekannten und laͤngſt-bewieſenen Geometriſchen Lehrſaͤtzen/ welcher bey dem Euclides der zwanzigſte an der Zahl iſt/ mit Vermelden/ daß ſolches Beginnen in dergleichen Fall keines wegs ungereimt ſey. Sein Beweiß gehet/ mit wenigem die Sache zu faſſen/ dahin: Man nehme in der krummen Lini ADCEB ohngefehr den Punct C, und ziehe die Lineen AC, CB. Welche beyde nohtwendig groͤſſer ſeyn/ als die ge- rade AB, nach obangeregtem zwanzigſten Lehrſatz des Erſten Buchs Euclidis. So man nun ferner zwiſchen A und C, wie auch zwiſchen B und C andere Puncten D und E bemerket/ folget wiederum/ daß AD und DC zuſammen groͤſſer ſeyen als AC; und CE ſamt EB auch groͤſſer als CB; alſo daß

nunmehr/ (weil AC und CB zuſammen ſchon groͤſſer zu ſeyn als AB bewieſen ſind) dieſe vier/ AD, DC, CE, EB um ſo viel mehr groͤſſer ſind als gemeldte AB. Und alſo ſagt Eutokius/ je mehr man Puncten in der krummen Lini ACB nimmet/ und je mehr ſich die zuſammgezoge- nengeraden derſelben naͤhern/ je mehr und mehr erhellet/ daß gemeldte krumme ACB viel groͤſ- ſer ſey als die gerade AB.

III.

Wann aber zwey Lineen beyde nach einer Seiten hohl ſind/ und einerley Endpuncten haben/ und die eine von der andern ent- weder ganz umbfangen und begriffen wird/ oder etliche Teihle zwar mit jener gemein hat/ von denen uͤbrigen aber begriffen Bwird/ wird/ daß alsdann dieſe begriffene kleiner ſey als die be- greiffende.

Anmerkung.

Eutokius beweiſet dieſes alſo: Es ſeyen zwey/ nach einer Seiten hohle Lineen auf einer Ebene/ ABCDEF, und AGHF, die zwar ei- nerley Endpuncten AF haben/ eine aber von der andern/ nehmlich AGHF von ABCDEF, ganz umfangen und eingeſchloſſen iſt. Stehet nun zu beweiſen/ daß die eingeſchloſſene kleiner ſey als die einſchlieſſende. Solches geſchihet nun alſo: Wann man BH, CF, DF zuſammen ziehet/ und die Lini HA ihm ingleichen/ als ge- zogen/ einbildet/ ſo folget alſobald (nehmlich aus dem 21ſten Lehrſatz des Erſten Buchs Euclidis) daß AG und GH zuſammen kleiner ſeyen als AB und BH zuſammen. Weil nun HF, als gemein zu beyden geſetzet wird/ ſo muͤſ- ſen AG, GH, HF zuſammen wieder kleiner ſeyn/ als AB, BH, HF, zuſammen; und alſo waͤ- re der lezte Teihl des Satzes bewieſen/ weil gemeldte beyde Lineen/ beyde nach einer Seiten hohl/ einen Teihl/ nehmlich HF, gemein haben/ im uͤbrigen die eine von der andern umfangen wird. Weil nun aber weiter BH und HF zuſammen/ aus obgemeldtem Grund kleiner ſind als BC, und CF zuſammen; als werden nun AG, GH, HF um ſo viel mehr kleiner ſeyn als AB, BC, CF; Und ferner/ weil CF wieder kleiner iſt als CD und DF zuſammen (vermoͤg des 20ſten Lehrſatzes in dem Erſten Buch Euclidis) und DF abermal kleiner als DE und EF zu- ſammen; als muß AGHF viel kleiner ſeyn als ABCDEF; welches ſolte bewieſen werden.

Gleichen Grund mit vorigem hat auch der andere Beweiß des Eutokius/ nur daß die beyde Lineen anderſt gegeben/ und einige andere Vorbereitung zum Be- weiß erfordert wird. Rehmlich daß die begreiffende Lini ABCDE groͤſſer ſey als die begriffene AFGHKE, machet er kuͤrzlich alſo klar. Nachdem er die Li- neen AF und HG biß zu ihrer Zuſam- menkunſt in L verlaͤngert/ ſchlieſſet er aus obigen Gruͤnden/ daß zufoͤrderſt FL und LG zuſammen groͤſſer ſeyen als FG allein. So man nun beyden/ als gemein/ beyfuͤget die beyde Lineen AF und GH, wird AL und LH zuſammen groͤſſer ſeyn als AF, FG, und GH miteinander. Nun ſind aber AL und LH kleiner als AB und BH; Derowegen wer- den dieſe/ AB und BH ſo vielmehr groͤſſer ſeyn als AF, FG und GH. Und/ ſo das gemeine Teihl HK zu beyden geſetzet wird/ AB und BK zuſammen abermal groͤſſer als AFGHK. Weil nun ferner BK kleiner iſt als BC und CK zugleich/ muß ABCK nohtwendig viel groͤſſer ſeyn als AFGHK; und/ wann das gemeine Stukk KE zu beyden kommt/ ABCKE viel groͤſſer als AFGHKE. Endlich aber/ weil CK und KE wieder kleiner ſind als CD und DE, ſo iſt um ſo viel gewiſſer und Augenſcheinlicher/ daß die begreiffende ABCDE viel groͤſſer ſey/ als die begriffene AFGHKE; welches zu beweiſen war.

Es iſt aber noch zweyerley hier wol in acht zu nehmen/ welches Archimedes mit ſon- derbarem Fleiß angemerket. 1. Daß die gegebene beyde Lineen nicht nur alle beyde nach einer Seiten hohl ſeyn muͤſſen/ ſondern auch eine von der andern entweder ganz (wie in denen naͤchſtvorhergehenden Figuren) oder doch zum teihl muͤſſe begriffen werden/ die uͤbrige Teihle aber mit der andern gemein haben/ dergleichen in beygeſetzter Zeichnung ſind die bey- de Li- de Lineen AGHKD und ALMNXD. Dann wann dieſes nicht beobachtet wird/ ſo kan man von zweyen Lineen/ ob ſie ſchon beyde nach einer Seiten hohl ſind (und zwar entweder auf einem Teihl der Ebene beyſammen ſtehen/ wie ABCD und AEFD, oder aber einander entgegen geſetzet ſind/ wie erſtge- meldte ABCD und gegenuͤber AGHKD) kein gewiſſes Ur- theil faͤllen/ welche aus ſolchem Grund groͤſſer oder kleiner ſey/ dieweil ſie in ſolchem Fall einander ganz gleich ſeyn koͤnnen.

2. Daß ſie auch uͤber dieſes muͤſſen einerley Endpuncten haben/ weil ſonſten in einem gewiſſen Fall die begriffene oder ein- geſchloſſene groͤſſer ſeyn koͤnnte als die einſchlieſſende/ welches Eutokius durch nachfolgende Exempel erklaͤret: Es ſeyen auf einer Ebene zwo gerade Lineen AB und BC alſo zuſamm- geſuͤget/ daß ſie bey B einen ſtumpfen Winkel machen. So dann nehme man auf BC nach Belieben den Punct D, und ziehe AD und AC. Weil nun (vermoͤg unſers Satzes und des 19den Lehrſatzes im Erſten Buch Euclidis) AD groͤſſer iſt als AB; ſo mache man DE ſo groß als AB, (nach der dritten Aufgab erſtangezogenen Buchs) und teihle EA (nach der fuͤnften Auſgab) in F in zwey gleiche Teihl/ und ziehe endlich FC. Dieweil nun AF und FC zuſammen groͤſ- ſer ſind als AC (aus dem 20ſten Lehrſatz ofterwehnten Buchs) FE aber ſo groß iſt als AF (vermoͤg vorgemachter Teihlung) ſo werden auch FE und FC zuſammen groͤſſer ſeyn als AC. Setzet man dann ferner zu dieſen beyden ungleichen/ zwey gleiche/ nehmlich AB zu AC, und DE (welches dem AB iſt gleich gemacht wor- den) zu FC und FE, ſo werden FC und FD nohtwendig groͤſſer ſeyn als AC und

AB; oder deutlicher/ DFC groͤſſer als BAC. Nun iſt aber BAC die begreiffende/ DFC aber die begriffene Lini/ und dannoch iſt die begreiffende nicht nur nicht groͤſſer als die begriffene/ ſon- dern noch kleiner/ wie allererſt erwieſen worden; weil ſie nehmlich nicht einerley Endpun- cten haben.

Eben dieſes kan geſchehen/ wann beyde hohle Lineen aus mehr geraden zuſammgeſetzet ſind/ wie DFKNC, und BAGLC in beygeſetzter Figur. Dann ſo der Winkel bey B ſtumpf gemachet/ AD auf BC nach Belie- ben gezogen/ DE ſo groß als AB ge- machet/ EA in F halbgeteihlet/ AG auf AD Winkelrecht geſetzet/ FH in der groͤſſe AG von FG abgeſchnit- ten/ HG in K wieder halbieret/ GL auf FG abermal Winkelrecht geſtel- let/ KM ſo groß als GL gemachet/ ML in N abermal halbgeteihlet/ LC auf KL wieder ſenkrecht gezogen/ und endlich N mit C vereiniget wor- den; So iſt aus obigem bekannt/ daß DF groͤſſer ſey als AB, und FK groͤſſer als AG, und KN groͤſſer

als GL, und NC groͤſſer als LC. Weßwegen dann auch die ganze hohle Lini DFKNC (als B ijdie die begriffene) groͤſſer iſt als die begreiffende BAGLC; dieweil ſie nehmlich nicht einerley Endpuncten haben.

IV.

Daßingleichen unter allen Flaͤchen/ ſo einerley Endlineen auf ei- ner Ebene haben/ die gleiche/ oder gerade/ oder ebene/ die kleineſte ſey.

Alle andere (krumme oder unebene) Flaͤchen aber/ die einerley End- lineen/ und zwar auf einer Ebene/ haben/ einander ungleich ſeyen.

VI.

Wann aber zwey Flaͤchen beyde nach einer Seiten hohl ſind und einerley Endlineen haben/ und die eine von der andern entwe- der ganz eingeſchloſſen und begriffen wird/ oder etliche Teihle zwar mit jener gemein hat/ von denen uͤbrigen aber begriffen wird; daß alsdann dieſe begriffene kleiner ſey als die begreiffende.

Anmerkung.

Mit einem Wort: Alles was bißher von denen Lineen geſagt worden/ ſoll auch von de- nen Flaͤchen verſtanden werden; wie dann auch alle Figuren Erklaͤrungen und Beweißtuhme/ ſo daſelbſten beygefuͤget worden/ von dem verſtaͤndigen Leſer leichtlich koͤnnen hieher gezogen werden/ wann er nur auf jede Lini bemeldeter Figuren eine Flaͤche ſenkrecht aufgeſtellet (jedoch alle in gleicher Hoͤhe) ihme einbildet.

VII.

Daß jeder zweyer ungleichen Lineen/ Flaͤchen oder Coͤrper Un- terſcheid/ das iſt/ der Reſt des groͤſſern uͤber das kleinere/ durch oftmahligen Zuſatz oder Vervielfaͤltigung ſeiner ſelbſten/ endlich jede/ beſagter gegen einander gehaltenen Groͤſſen (ſeiner Art verſtehe) uͤbertreffe.

Anmerkung.

Daß/ zum Exempel/ der Reſt C, mit welchem das groͤſſe- re/ A, das kleinere/ B, uͤbertrifft/ ſo vielmal koͤnne ihme ſelb- ſten zugeſetzet/ das iſt/ vervielfaͤltiget werden/ biß es endlich ſo wol A als B uͤbertreffe. David Rivaltus de Flurance bemuͤ- het ſich dieſes zu beweiſen aus dem Erſten Lehrſatz des zehenden Buchs Euclidis. Dann weil daſelbſten bewieſen iſt/ daß das groͤſſeſte von zweyen fuͤrgegebenen Dingen (als zum Exempel hier A) durch ſtaͤtiges halbteihlen koͤnne alſo verkleinert werden/ biß der endliche Reſt kleiner werde/ als das kleinere gemeldter beyden fuͤrgegebenen Groͤſſen (nehmlich hier C;) ſo ſolle man das C ſo oft ihme ſelbſt zuſetzen/ als viel dorten Zweyteihlungen geſchehen ſeynd; da muͤſſe dann nohtwendig C durch ſolche ſeine Vervielfaͤltigung groͤſſer werden als A. Dann ſo viel A Teihle hat/ deren jedes kleiner iſt als C, ſo oſt iſt C in dem vervielfaͤltigten enthalten/ und alſo unfehlbar groͤſſer als A.

Es duͤnket mich aber dieſer Beweiß den jenigen Fehler an ſich zu haben/ welchen die Ge- lehrte pflegen Petitionem principii oder Circulum, das iſt/ einen Wechſelbeweiß oder unendlichen Schluß/ das gemeine Volk aber/ in gemeinen Unterredungen/ den langen Glauben/ zu nennen; Wann ich nehmlich zu Beſtaͤttigung eines Außſpruches einen gewiſſen Satz/ als deſſelben Grund/ auf die Bahn bringe; die Waarheit aber ſolches Grundes wieder aus erſtgemeldtem/ allein auf ſolchem Grund ruhenden/ Außſpruch bekraͤftigen will; welches eben ſo viel iſt/ als wann jener/ ſeines Glaubens halben befragt/ zur Antwort gegeben: Er glaube was die Chriſt- liche liche Kirche glaubet; auf fernes Fragen aber/ Was dann die Chriſtliche Kirche glaube/ ver- ſetzet: Eben das/ was er glaube. Dann (damit wir auf die Sache wieder kommen) Eucli- des ſetzet in ſeinem Beweiß als feſt und gewiß/ daß das kleinere C ſo oft genommen und wider- holet werden koͤnne/ biß es das groͤſſere A uͤbertreffe/ (welches dann in Waarheit nichts anders als unſers Archimedis gegenwaͤrtiger Satz iſt/) und hieraus beweiſet er ſeinen fuͤrgebrachten Lehrſatz/ aus welchem jezt umgekehrt Flurantius jenen/ vom Euclides und unſerm Archime- des geſetzten/ Grund wieder beweiſen will; alſo daß endlich kein anderer und ſchoͤnerer Schluß heraus kommet/ als dieſer: Das C kan durch Vervielfaͤltigung ſeiner ſelbſten endlich das A uͤbertreffen/ weil das C durch Vervielfaͤltigung ſeiner ſelbſt endlich das A uͤbertreffen kan. Jſt alſo dieſem/ ſonſt fuͤrtrefflichen Mann hier waarhaftig begegnet/ was er oben bey dem erſten Grundſatz unſers Archimedis/ gefuͤrchtet/ wann er ſich denſelben zu beweiſen unterſtehen wuͤrde. Nehmlich bey ſolchen/ fuͤr ſich ſelbſt bekannten Waarheiten/ iſt einiges ſubtilen Beweiſes nicht von noͤhten/ weil ihre Gewißheit einem Aufmerkſamen alsbald fuͤr den Augen liget/ wie eben aus gegenwaͤrtigem Exempel genugſam zu erſehen iſt. Dann weil hier von ſolchen zweyen ungleichen Groͤſſen geredet wird/ welche beyde nicht unendlich ſind/ ſondern ihr gewiſſes End und Maas haben/ ſo kan es nicht fehlen/ daß ich den Reſt des groͤſſeſten uͤber das kleinere endlich ſo oft nehmen und ihme ſelbſten zuſetzen koͤnne/ biß er zu letzt das End deroſelben erreiche/ und (weil ich denſelben ferner noch einmal hinzu ſetzen kan) end- lich auch uͤbertreffe.

VIII.

Aus dieſem bisher geſetzten iſt offenbar/ daß/ wann inner- halb eines Kreiſſes ein Vielekk verzeichnet wird/ der Umblauf ſolches Vielekkes (das iſt/ alle ſeine Seiten zuſammen) kleiner ſey als gemeldter Kreiß.

Anmerkung.

Dann eine jede Seite des Vielekkes iſt kleiner als der jenige Teihl des Kreiſſes/ welchen ſie abſchneidet (vermoͤg des erſten Grundſatzes) und derowegen muͤſſen auch alle Seiten des Vielekkes zuſammen kleiner ſeyn als alle abgeſchnittene Teihl des Kreiſſes/ das iſt/ als der ganze Kreiß.

Zum Exempel/ wann ein Sechsekk ABCDEF inner- halb eines Kreiſſes beſchrieben wird/ iſt eine jede Seite deſſel- ben/ als AB, kleiner dann der Kroißbogen den ſie abſchneidet/ und alſo muͤſſen alle ſechs Seiten zugleich/ das iſt/ der ganze Umblauf des Sechs Ekkes/ kleiner ſeyn als alle ſechs abgeſchnit- tene Kreißboͤgen/ das iſt/ als der ganze Kreiß. Woraus dann ferner augenſcheinlich erhellet/ daß auch die ganze Flaͤche des Sechsekkes kleiner ſey als die Flaͤche des Kreiſſes oder der Scheibe; und daher/ weil es in andern ſich gleichfalls alſo ver- haͤlt/ zum Beſchluß noch koͤnne geſetzet werden.

IX.

Daß eine jede Flaͤche allezeit groͤſſer ſey als die jenige/ die ſie in ſich begreiffet.

B iijArchi- Archimedis Erſtes Buch

Archimedis Von Der Kugel und Rund-Saͤule Erſtes Buch.

Der I. Lehrſatz/ Und Die Erſte Betrachtung.

Wann ein Vielekk umb einen Kreiß beſchrieben wird/ ſo iſt der Umblauf des umbſchriebenen Vielekkes groͤſſer als der Umb- lauf des Kreiſſes.

Beweiß.

Es ſey zum Exempel gegeben der Kreiß M, und umb denſelben beſchrieben das Vielekk ABCDEF GHIKL. So ſage ich nun/ daß der Umblauf die- ſes Vielekkes (das iſt/ alle ſeine Seiten/ AC, CE, EG, GK und KA zuſammen) groͤſſer ſey als der ge- gebene Umbkreiß. Dann AB und AL zugleich/ oder die hohle Lini LAB, iſt groͤſſer als der eingeſchloſ- ſene Kreißbogen LB, vermoͤg des III. Grundſatzes; und aus eben demſelben Grund iſt BCD groͤſſer als BD, DEF groͤſſer als DF, FGH groͤſſer als FH, HKL endlich groͤſſer als der Kreißbogen HL. Derowegen muß nohtwendig auch der ganze Umblauf des Vielekkes/ ABCDEFGHKL, groͤſſer ſeyn als der ganze Kreiß/ BDEHL; Welches ſolte bewieſen werden.

Der II. Lehrſatz/ Und Die Erſte Aufgab.

Wann zwey ungleiche Groͤſſen gegeben werden/ ſo iſt moͤg- lich/ zwey auch ungleiche Lineen zu finden/ deren groͤſſeſte gegen der Von der Kugel und Rund-Seule. der kleineſten eine kleinere Verhaͤltniß habe/ als die groͤſſeſte derer beyden gegebenen Groͤſſen gegen der kleinern.

Die Aufloͤſung der Aufgab.

Es ſeyen zum Exempel gegeben zwey ungleiche Groͤſſen/ nehmlich AB die groͤſſere/ und D die kleinere. Die zwey begehrte Lineen nun zu finden/ verfahre alſo: Von der groͤſſeren AB ſchneide ab das Stuͤck BC ſo groß als die kleinere D, nach der 3ten Aufgab des Erſten Buchs Euclidis; darnach vervielfaͤltige CA ſo oft/ biß heraus komme AK, welches groͤſſer ſey als D oder BC, nach dem VII. obigen Grundſatz. Endlich mache/ daß/ wie AK ſich verhaͤlt gegen AC, alſo eine andere (nach belieben genommene) Lini FG ſich verhalte gegen GH, nach dem 12ten Lehrſatz des ſechſten Buchs Euclidis; ſo werden alsdann FG und FH die begehrte beyde Lineen ſeyn/ und FH gegen FG eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als die gebene Groͤſſe AB zu der kleinern D.

Beweiß.

Dann AC hat gegen D oder BC (ſo einander gleich ſind) eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als gegen AK, welche groͤſſer als D iſt/ nach dem 8ten Lehrſatz des V. Buchs Euclidis. Nun aber verhaͤlt ſich FG gegen GH wie AK ge- gen AC, vermoͤg obiger Aufloͤſung/ und alſo auch umbgekehrt/ GH gegen FG, wie AC gegen AK, nach der Folge des 4ten Lehrſatzes im fuͤnfften Buch Euclidis. Derowegen muß nun auch AC gegen D oder BC, eine groͤſſere Verhaͤltnis haben/ als GH gegen FG; oder (welches gleich viel iſt) GH muß gegen FG eine kleinere Verhaͤltnis haben als AC gegen D oder BC. Und alſo endlich (vermoͤg des 28. Lehrſatzes Euclidis in ſeinem V. ten Buch) auch GH ſamt FG (das iſt die ganze Lini FH) muß gegen FG eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als AC ſamt D (oder BC) das iſt/ die ganze Lini AB gegen D. Wel- ches ſolte bewieſen werden.

Anmerkung.

Archimedes hat ſich in Aufloͤſung dieſer Aufgab/ als wir oben geſehen/ bedienet. Des VII. den obigen Grundſatzes/ und begehrt/ daß CA ſo oft widerholet oder vervielfaͤltiget wer- de/ biß AK herauskomme/ welches groͤſſer ſey als D oder BC. Und dieſes hat er darumb ge- tahn/ damit AK gegen AC (und alſo auch FG gegen GH) eine leichte/ nehmlich eine viel- fache (multiplicem rationem) Verhaͤltnis bekomme/ das iſt/ eines das andere gerad etliche mal in ſich halte/ daß nichts uͤberbleibe und nichts mangele/ damit die Verhaͤltnis der Lini FG gegen GH, ohne ferner noͤhtigen Beweiß leichtlich moͤge gefunden werden/ in dem man nehm- lich eine nach belieben genommene Lini GH nur ſo oft widerholen und zu ihr ſelbſten ſetzen duͤr- fen/ als oft AC in AK enthalten iſt.

Weilen wir aber aus dem 12ten Lehrſatz des ſechſten Buchs Euclidis (den wir alſo in obigem Beweiß wol haͤtten auslaſſen koͤnnen) leichtlich machen koͤnnen/ daß GH gegen FG ſich verhalte/ wie AC gegen AK, oder gegen AB, oder gegen einer jeden andern Groͤſſe; ſo koͤn- ten wir der Vervielfaͤltigung des CA/ und daher auch des daraus entſpringenden AK, gar wol entbehren/ und (AB fuͤr AK gebrauchend) den Beweiß kuͤrzer alſo verfaſſen: Weil AC ge- gen AB dem groͤſſern eine kleinere Verhaͤltnis hat/ als gegen D oder BC dem kleinern; GH aber gegen FG iſt gemachet worden wie AC gegen AB, ſo folget/ daß auch GH gegen FG eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als AC gegen D oder BC; und gleichfalls GH und FG zuſammen (das iſt FH) gegen FG eine kleinere Verhaͤltnis als AC und D (oder BC) zuſammen (das iſt AB) gegen D; welches zu beweiſen war.

Der Archimedis Erſtes Buch

Der III. Lehrſatz/ Und Die Andere Aufgab.

Wann zwey ungleiche Groͤſſen/ und naͤchſt dieſen ein Kreiß/ nach belieben gegeben werden/ ſo iſt moͤglich/ daß innerhalb des Kreiſſes ein gleichſeitiges Vielekk/ und ein anders auſſerhalb deſſel- ben/ beſchrieben werde/ alſo/ daß eine Seite des aͤuſſern gegen einer Seite des innern Vielekkes eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als die groͤſſeſte der beyden gegebenen Groͤſſen gegen der kleinern.

Aufloͤſung.

Es ſeyen die zwey gegebenen ungleiche Groͤſſen A und B, und der gegebene Kreiß CDBF. Die Aufgab nun zu eroͤrtern/ und das Begehrte zu finden/ verfahre wie folget:

Erſtlich finde/ nach der vorhergehenden Aufgab/ zwey gerade Lineen/ deren groͤſſeſte K gegen der kleineſten LM eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als A gegen B. Darnach ziehe aus M auf die Lini LM eine ſenkrechte Lini MN, nach dem 11. ten Lehrſatz des I. Buchs Euclidis; und aus L laſſe eine Lini auf MN herunter ſo groß als K, welches leichtlich geſchehen kan. (Beſihe unten die An- merkungen.) Ferner ziehe in dem gegebenen Kreiß winkelrecht uͤbereinander die zween Durchmeſſer (diametros) CB und DF. Teihle ſo dann den Winkel DGC in zwey gleiche Teihl/ nach dem 9. ten Lehrſatz obgemeldten erſten Buchs. Deſſen Helfte wieder in zwey gleiche Teihl/ und dieſes ſo lang und viel/ biß du einen Winkel findeſt/ der da kleiner ſey als der Winkel MLN zweymal genommen; oder deutlicher/ deſſen Helfte kleiner ſey als der Winkel MLN, (welches vermoͤg der Folge des 1. ſten Lehrſatzes im X. Buch Euclidis/ auch moͤglich Von der Kugel und Rund-Seule. moͤglich iſt) und ſolcher gefundener Winkel ſey PGC. Teihle endlich dieſen Winkel in zwey gleiche Teihl/ und ziehe aus G herunter auf PC die Lini GOQ biß an den Umbkreiß/ nach dem 9ten des I. Buchs; und laß zu lezt den Umb- kreiß in dem Punct Q anruͤhren eine gerade Lini/ nach dem 17den des drit- ten Buchs; welche die verlaͤngerte GP und GC abſchneiden in S und T. So ſage ich nun/ daß fuͤr eines ST und PC ſeyen jede eine Seite eines gleichſeitigen Vielekkes/ deren jenes umb den Kreiß/ dieſes innerhalb des Kreiſſes moͤge be- ſchrieben werden; und daß fuͤrs andere die Seite ST gegen der Seite PC eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als A gegen B.

Beweiß.

Das erſte belangend/ erhellet ſolches alſo: Weil der Winkel PGC ein gewiſſer Teihl iſt (nehmlich der halbe/ oder der vierte/ oder der achte/ ꝛc.) des geraden Winckels DGC, vermoͤg obiger Aufloͤſung/ ſo muß auch der Bogen CQP, welcher jenen Winkel miſſet/ ein gewiſſes Halb-Vier-Achtteihl/ ꝛc. des Viertelkreiſſes CPD ſeyn; und folgends die Lini CP eine Seite abgeben ei- nes Vielekkes/ welches viermahl ſo viel Seiten/ als der Viertelkreiß DPC oder der Winkel CGD Teihle hat. Und weil gemeldte Teihle des Winkels CGD (und alſo auch der andern 3 geraden Winkel) alle einander gleich ſeynd/ vermoͤg der Aufloͤſung/ wie nicht weniger alle aus dem Mittelpunct an den Umbkreiß gezogene Lineen/ GP, GC, &c. die ſolche gleiche Winkelteihle ein- ſchlieſſen; ſo muͤſſen auch alle Seiten des Vielekkes/ ſo da innerhalb des Kreiſſes koͤnte beſchrieben werden/ einander gleich/ oder deutlicher/ CP eine Seite eines gleichſeitigen/ innerhalb des Kreiſſes beſchriebenen/ Vielekkes ſeyn. Gleicher weiſe iſt klar/ daß TS eine Seite ſey eines gleichſeitigen auſſerhalb umb den Kreiß beſchriebenen Vielekkes: und iſt alſo bißher das erſte bewieſen. (Beſihe die 2. Anmerkung.) Das andere betreffend/ weil der Winkel QGC, als die Helfte des Winkels PGC, Kraft obiger Aufloͤſung/ kleiner iſt als MLN, GOC aber und M beyde gerade Winkel ſeynd/ muß LN gegen LM eine groͤſſere Ver- haͤltnis haben/ als GC oder GQ gegen GO. (Beſihe unten die 3. Anmer- kung.) Nun aber (weil aus bißher geſagtem offenbar iſt/ daß die beyde Drey- ekk GOP und GQS, wie auch die andere beyde GOC und GQT gleichwink- licht ſeyen/ in dem O und Q zwey gerade Winkel ſind/ der Winkel bey G aber gemein iſt/ nach der Folge des 32ſten im I. Buch) verhaͤlt ſich GQ gegen GO wie QS gegen OP, oder wie die ganze TS gegen CP, nach der Folge des 4ten im VI. Buch. Derowegen muß LN gegen LM auch eine groͤſſere Verhaͤltnis haben/ als TS gegen CP: oder (welches gleich viel iſt) TS gegen CP eine klei- nere Verhaͤltnis/ als LN gegen LM. Es hat aber (Kraft obiger Vorberei- tung) LN gegen LM eine kleinere Verhaͤltnis/ als A gegen B. Darumb wird umb ſo viel mehr TS gegen CP eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als A ge- gen B; welches zu beweiſen war.

Anmerkungen.

1. Jn der Aufloͤſung begehret Archimedes/ daß man aus L auf MN eine Lini LN, ſo groß als K, herunter laſſen ſolle. Wie nun ſolches kunſtmaͤſſig geſchehen konne/ wei- Cſet Euto- Archimedis Erſtes Buch

ſet Eutokius in beygeſetzter Figur/ in welcher KL fuͤr LM, und LM fuͤr MN, geſetzet iſt; Nehmlich die Lini LM (hier KL) ſoll verlaͤngert werden biß in G, nach der Groͤſſe K; darnach ſoll man in ſolcher Weite einen Kreißbogen ziehen/ wel- cher die Lini MN (hier LM) in N abſchneide/ ſo werde LN (hier KM) ſo groß ſeyn als K, wie dann aus der Beſchreibung des Kreißbogens augenſchein- lich erhellet. Man kan aber eben dieſes zu Werk richten/ wann man nimmet die Lini K, oder eine gleich-groſſe LN, als einen Durchmeſſer; umb die- ſelbe einen Halbkreiß beſchreibet/ und endlich LM, nach Anleitung des erſten im IV. Buch Eucli- dis/ eintraͤgt; Dann alſo wird MN auf LM eben- falls ſenkrecht gezogen werden/ vermoͤg des 31ſten im III. Buch.

2. Jn dem Beweiß iſt geſagt: Es ſey gleicher weiſe klar/ daß TS eine Seite ſey eines gleichſeitigen auſſerhalb umb den Kreiß beſchriebenen Vielekkes. Damit die Klarheit deſſen

deſto ſcheinlicher werde/ ſo iſt erſtlich auſſer allem Zweiffel/ daß/ weil allezeit die zwey ver- laͤngerte Halbmeſſer (als in obiger Figur GC und GP) welche die Seite des innern Viel- ekkes einſchlieſſen/ zugleich die aͤuſſere anruͤhrende zwiſchen ſich begreiffen/ der aͤuſſern anruͤh- renden eben ſo viel ſeyn muͤſſen/ als der Seiten des innern Vielekkes. Daß aber ſolche an- ruͤhrende Lineen/ als in beygeſetzter Figur OP und PH, alle einander gleich ſeyen/ und in einem Puncten (P) der verlaͤngerten Halbmeſſer gerad zuſamm treffen (welches beydes noch erfor- dert wird/ biß ein ordentliches gleichſeitiges Vielekk daraus werde/) kan alſo bewieſen werden: Erſtlich ſind/ vermoͤg der Aufloͤſung/ alle Winkel umb den Mittelpunct G einander gleich/ und bey allen Puncten des anruͤhrens lauter gerade Winkel/ nach dem 18den des III. Buchs Euclidis. Derowegen/ weil jede zwey Dreyekke (als zum Exempel XGP und PGD) zweene Winkel (als die beyde bey G und die beyde gerade bey X und D) einander gleich haben/ und darbeneben zwey Seiten GD und XG auch einander gleich; muͤſſen nohtwendig auch die uͤbrige Seiten und Winkel auch alle einander gleich ſeyn/ vermoͤg des 26ſten im Erſten Buch Euclidis. Jſt alſo klar/ daß auch die beyde ganze PH und PO einander gleich ſeyen und (weil auch beyde unterzogene beyder rechtwinklichten Dreyekke XGP und DGP einander gleich ſind und in PG zuſamm fallen) in P zuſammen treffen; welches ſolte bewieſen werden.

3. Ferner Von der Kugel und Rund-Seule.

3. Ferner iſt in obigem Beweiß als gewiß geſetzet worden/ daß LN gegen LM eine groͤſ- ſere Verhaͤltnis haben muͤſſe/ als GC oder GQ gegen GO, weil nehmlich/ in beyden Drey- ekken GOC und LMN, O und M alle beyde gerade Winkel ſind/ der Winkel OGC aber kleiner iſt als der Winkel MLN. Damit nun hier einiger Zweiffel nicht uͤbrig bleibe/ wol- len wir ſolches alſo beweiſen: Es ſey der Winkel MLR (in der Figur Z) gleich dem Winkel GOC. Weil nun auch die beyde gerade Winkel O und M einander gleich ſind/ werden auch die dritten einander gleich/ und alſo beyde Dreyekke GOC und LMN gleichwinklicht ſeyn/ nach der Folge des 32ſten im Erſten Buch. Und deswegen werden LR gegen LM, und GC oder GQ gegen GO, gleiche Verhaͤltnis haben/ vermoͤg des 4ten im VI. Buch. Weil aber ferner der Winkel LRN groͤſſer iſt als der gerade LMN, und deswegen umb vielmehr groͤſſer als der Winkel LNR, nach dem 32ſten des Erſten; ſo muß die Lini LN groͤſſer ſeyn als die Lini LR, vermoͤg des 19den erſtgemeldten Buchs/ und alſo auch gegen LM eine groͤſſere Verhaͤltnis haben/ als LR gegen eben dieſelbe LM, das iſt/ als GQ gegen GO, nach dem 8.ten des V. Buchs; welches ſolte bewieſen werden.

4. Aus bißher beſagtem und bewieſenen flieſſet nun ſchließlichen/ ohne ferneren Beweiß

1. Folge.

Daß/ wann zwey aͤhnliche Figuren (ſimiles figuræ), eine innerhalb eines Kreiſſes oder Kreißſtuͤkkes/ die andere auſſerhalb umb denſelben oder daſſelbe/ beſchrieben wird/ die Seite der aͤuſſern gegen der innern Seite ſich verhalte/ wie des Kreiſſes Halbmeſſer gegen der jenigen ſenkrechten Lini/ die aus dem Mittelpunct auf die Seite der innern Figur gezogen wird. Dann oben haben wir klaͤrlich bewieſen/ daß TS gegen CP ſich verhalte wie GQ gegen GO.

2. Folge.

Wie man gar leichtlich eine gleichſeitige und gleichwinklichte Figur ſo wol innerhalb eines Kreiſſes als auſſerhalb umb denſelben beſchreiben koͤnne/ deren Seiten Zahl mit 4. koͤnne ge- teihlet werden; Wann man nehmlich den Kreiß erſtlich durch zwey nach dem rechten Winkel gezogene Halbmeſſer in vier Teihle oder Viertelkreiſſe/ nachmals jeden wieder in 2. gleiche Teihl/ jeden ſolchen Halbteihl ferner in zwey gleiche Teihl/ ſo lang man will/ abteihlet/ und alſo die Seiten/ wie in obiger Aufloͤſung/ ſo wol inn- als auſſerhalb des Kreiſſes ziehet. Dann die Gleichheit ſolcher Seiten und der eingeſchloſſenen Winkel wird wie oben bewieſen. Der Seiten aber ſolcher Figur werden gerad viermal ſo viel ſeyn/ als jeder Viertelkreiß Teihle bekommen hat.

Der IV. Lehrſatz/ Und Die Dritte Aufgab.

Wann zwey ungleiche Groͤſſen/ und naͤchſt dieſen ein Stuͤkk eines Kreiſſes (Sector) gegeben werden/ ſo iſt moͤglich/ daß inner- halb ſolches Kreiß-Stuͤkkes ein gleichſeitiges Vielekk/ und ein an- ders auſſerhalb umb daſſelbe/ beſchrieben werde/ alſo/ daß eine Seite des aͤuſſern gegen einer Seite des innern eine kleinere Ver- haͤltnis habe/ als die groͤſſeſte der beyden gegebenen Groͤſſen ge- gen der kleinern.

Aufloͤſung.

Es ſeyen die zwey gegebene ungleiche Groͤſſen E und F, und das gegebene Kreiß-Stuͤkk ADB. Jn und umb welches ein Vielekk ſoll beſchrieben wer- den/ deſſen Seiten/ ausgenommen DA und DB, alle einander gleich ſeyen/ ꝛc.

C ijDer Archimedis Erſtes Buch

Der Aufgab nun ein Genuͤgen zu thun/ ſoll allermaſſen verfahren werden wie in voriger Aufloͤſung/ Nehmlich 1. ſollen gefunden werden zwey Lineen/ G und HK, nach obigem andern Lehrſatz. 2. Der Winkel HKL, wie dorten MLN, gemachet. 3. Der Winkel ADB in zwey gleiche Teihl/ die Helfte wieder halb geteihlet/ ſo lang und viel/ biß ein Winkel (ADM) heraus kom- me/ deſſen Helfte (ADN) kleiner ſey als der Winkel HKL, &c. ſo werden PO und AM die zwey Seiten der zwey begehrten Vielekke ſeyn.

Beweiß.

Dieſer wird in allen Stuͤkken mit dem vorhergehendem uͤbereinkommen/ und umb ſo viel leichter werden/ wann bey dieſer Figur eben die Buchſtaben ge- braucht wuͤrden/ welche bey der vorher gehenden gebraucht worden; welches hier (weil die Figur ſchon nach dem alten Griechiſchen Exemplar geſchnitten geweſen) nimmer hat geſchehen koͤnnen.

Der V. Lehrſatz/ Und Die Vierdte Aufgab.

Jnnerhalb eines gegebenen Kreiſſes ein Vielekk/ und ein an- ders auſſerhalb umb denſelben/ beſchreiben alſo/ daß das aͤuſſere gegen dem innern eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als die groͤſſeſte zweyer gegebenen Groͤſſen/ gegen der kleinern.

Aufloͤſung.

Der gegebene Kreiß ſey A; die beyde gegebene Groͤſſen/ L die groͤſſere/ und F die kleinere. Dem Begehren nun ein Genuͤgen zu leiſten/ ſoll alſo verfah- Von der Kugel und Rund-Seule. verfahren werden: Man mache C gegen D in kleinerer Verhaͤltnis/ als L gegen F, nach obigem II. Lehrſatz/ und finde zwiſchen C und D eine mittlere gleichverhal- tende (mediam proportionalem) G, nach Anleitung des 13den im VI. Buch Euclidis; Beſchreibe endlich ein Vielekk auſſerhalb umb den Kreiß/ und ein anders innerhalb deſſelben/ alſo daß die Seite des aͤuſſern gegen der Seite des innern Vielekkes eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als C gegen G, nach obigem III. Lehrſatz; So wird das aͤuſſere Vielekk gegen dem innern eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als E gegen F, welches be- gehret worden.

Beweiß.

Weil G iſt die mittlere gleichverhaltende zwiſchen C und D, zweyen ungleichen Lineen/ ſo hat C gegen D (vermoͤg der 10den Worterklaͤrung des V. Buchs

Euclidis) eine zweyfache/ und alſo viel groͤſſere Verhaͤltnis/ als ebengemeld- tes C gegen G, das iſt/ die einfache Verhaͤltnis des C gegen G iſt kleiner als die gedoppelte des C gegen D. (Beſihe unten die 1. Anmerkung.) Nun hat C gegen D eine kleinere Verhaͤltnis/ als E gegen F, Kraft obiger Vorbereitung; Derowegen muß umb ſo viel mehr C gegen G eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als E gegen F. Es hat aber ferner die Seite des aͤuſſern Vielekkes gegen der Seite des innern noch eine kleinere Verhaͤltnis als C gegen G, vermoͤg obi- ger Aufloͤſung; und die Verhaͤltnis des ganzen aͤuſſern Vielekkes gegen den in- nern iſt gedoppelt gegen der Verhaͤltnis ihrer Seiten/ nach dem 20ſten des VI. Buchs Euclidis; So muß demnach dieſe gedoppelte Verhaͤltnis auch kleiner ſeyn als jene gedoppelte/ (weil dieſe einfache kleiner iſt als jene einfache/ Beſihe die 2. Anmerkung) das iſt/ das aͤuſſere Vielekk muß gegen dem innern eine kleinere Verhaͤltnis haben als C gegen D, und folgends eine umb ſo viel mehr kleinere/ als E gegen F, welches zu beweiſen war.

Anmerkungen.

1. Jn obigem Beweiß iſt fuͤr bekant genommen worden/ daß die einfache Verhaͤltnis des C gegen G kleiner ſey als die gedoppelte des C gegen D. Nun ſcheinet zwar dieſes an ſich ſelbſten bekant und keines fernern Beweiſes beduͤrftig zu ſeyn/ weil jederzeit das einfache kleiner iſt als das zweyfache. Allein es werden in dieſem Fall die Woͤrter zweyfach und gedoppelt in einem andern als gemeinen Verſtand genommen/ und heiſſen hier nicht ſo viel als zweymal ſo groß; ſondern/ wann zum Exempel drey gleichverhaltende dinge (proportionalia) A, B, C, gegeben ſind/ alſo daß/ wie A gegen B ſich verhaͤlt/ ebenfalls B gegen C ſich verhalte/ ſo will Euclidis in der 10den Worterklaͤrung ſeines V. Buchs/ daß die Verhaͤltnis des erſten A ge- gen dem dritten C gedoppelt (duplicata, non dupla) genennet werde in Anſehung der ein- fachen Verhaͤltnis des erſten/ A, gegen dem andern/ B; und ſolches darumb/ weil zwiſchen A und C die Verhaͤltnis A gegen B (dann B gegen C hat gleiche Verhaͤltnis) zweymal ge- funden wird/ nicht aber deßwegen/ als ob die Verhaͤltnis des erſten gegen dem dritten allezeit eben zweymal ſo groß waͤre/ als des erſten gegen dem andern/ wie dann in Zahlen klaͤrlich zu erſehen iſt. Dann wer wolte ſagen/ daß die erſte dieſer drey gleichverhaltenden Zahlen/ 25/ 5/ 1/ gegen der dritten/ nehmlich 25 gegen 1 eine Verhaͤltnis habe/ welche zweymal ſo groß ſey/ als die Verhaͤltnis der erſten gegen der andern/ 25 gegen 5; ſintemal augenſcheinlich iſt/ daß ſie vielmehr fuͤnfmal ſo groß ſey? Und hingegen (wann wir die Ordnung umbkehren/ C iijdaß Archimedis Erſtes Buch daß die Zahlen alſo ſtehen/ 1/ 5/ 25) wie kan die Verhaͤltnis 1 gegen 25 zweymal ſo groß ſeyn als die Verhaͤltnis 1 gegen 5/ ſintemal aus dem 8ten des V. Buchs erhellet/ daß vielmehr umbgekehret 1 gegen 5 eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als gegen 25? Und dannoch wird die Verhaͤltnis 1 gegen 25 gedoppelt oder zweyfach genennet in Anſehung der Verhaͤltnis 1 gegen 5; nehmlich keines weges der Meinung/ als ob jene zweymal ſo groß waͤre als dieſe/ ſon- dern weil dieſe zweymal innerhalb dieſer begriffen iſt/ wie oben erklaͤret worden: Alſo/ daß obi- ges aus dieſem Grund nicht ſo leichtlich erhellet/ wie es anfaͤnglich ſcheinet/ ſondern (damit nichts zweifelhaftiges zu rukk bleibe) beweiſens wol beduͤrftig iſt.

David Rivalt de Flurance beweiſet es gar leicht mit Beyhuͤlf beygeſetzter/ von uns etwas weniges ge- aͤnderter/ und naͤher auf unſer Fuͤrhaben gezogener/ Figur: Es ſeyen C und D die zwey ungleiche Lineen/ und G die mittlere gleichverhaltende darzwiſchen/ al- ſo daß/ wie C gegen G, alſo G gegen D ſich verhalte/ aus dem 13den des VI. B. Soll nun bewieſen wer- den/ daß die einfache Verhaͤltnis des C gegen G klei- ner ſey als die gedoppelte eben deſſelben C gegen D. Solches geſchihet alſo: Weil C groͤſſer iſt als D, vermoͤg obiger Aufloͤſung/ ſo kan der Punct/ in welchem die drey Lineen zuſamm kommen/ nicht der Mittelpunct ſeyn/ ſondern die- ſer muß weiter hinein auf die Lini C fallen; und deswegen iſt C die groͤſſeſte Lini/ D die kleineſte/ G aber alſo groͤſſer als D, nach der 7den des III. Buchs. Derowegen muß nohtwendig C gegen der groͤſſern G eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als gegen D der kleinern/ vermoͤg des 8ten im V. Buch. Welches zu beweiſen war.

Ob nun ſchon dieſer Beweiß zu gegenwaͤrtigem Fuͤrhaben/ allwo eben von Lineen allein geredet wird/ ganz genugſam iſt/ ſo wollen wir dannoch Luſts und Ubung halben (weil nicht allein dieſer/ ſondern auch alle andere Lehrſaͤtze von denen gleichverhaltenden Dingen [de pro- portionalibus] es ſeyen hernach gleich Lineen/ oder Zahlen/ oder Zeiten/ oder Gewichte/ ꝛc. allgemein ſind/ und deßwegen auch einen allgemeinen Beweiß erfordern) denſelben allgemein machen/ und von Lineen/ Zahlen/ Gewichten/ und was ſonſten Meſſens faͤhig iſt/ auf einmal beweiſen/ daß/ wann drey gleichverhaltende Dinge/ C, G, D, ſind/ und das erſte groͤſſer iſt als das lezt/ allezeit das erſte C gegen dem mittlern gleichverhaltenden G eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als gegen dem lezten D. Der ganze Schluß ruhet/ wie oben geſehen/ darauf/ daß in ſolchem Fall G allezeit groͤſſer ſey als D, welches alſo bewieſen wird: Wann G nicht groͤſſer iſt als D, ſo muß es entweder demſelben gleich oder kleiner ſeyn. Jſt es ihm gleich/ und G ver- haͤlt ſich gegen D, wie C gegen G, nach obigem Satz/ ſo muͤſſen C und G, und folgends C und D (als die beyde dem dritten/ D, gleich ſind) auch einander gleich ſeyn/ welches die Ver- nunft lehret/ aber zugleich wider den erſten Satz (hypotheſin) iſt. Jſt dann G kleiner als D, ſo muß auch nohtwendig (weil C gegen G ſich eben ſo verhaͤlt/ wie G gegen D) auch C kleiner ſeyn als G, und umb ſo viel mehr auch kleiner als D; welches abermals wider den erſten Satz lauf- fet und ungereimt iſt. Folget derowegen/ daß G groͤſſer ſey als D, und alſo C gegen G eine klei- nere Verhaͤltnis habe/ als gegen D.

2. Ferner iſt in obigem Beweiß als gewiß geſetzet worden/ daß/ wann eine einfache Ver- haͤltnis kleiner iſt als eine andere einfache/ auch jener gedoppelte kleiner ſey/ als dieſe gedoppelte. Zum Exempel/ 1/ 5/ 25/ ſind gleichverhaltende Zahlen/ wie nicht weniger dieſe/ 1/ 2/ 4; Wie nun dorten die Verhaͤltnis 1 gegen 25 gedoppelt genennet wird in Anſehung der Verhaͤltnis 1 gegen 5; alſo wird auch hier die Verhaͤltnis 1 gegen 4 gedoppelt genennet in Anſehung der ein- fachen Verhaͤltnis 1 gegen 2. Nun wird als gewiß geſetzet/ daß/ wann die einfache Verhaͤltnis 1 gegen 5 kleiner iſt als die andere einfache 1 gegen 2/ alsdann auch die gedoppelte/ 1 gegen 25 kleiner ſey als die andere gedoppelte/ 1 gegen 4. Nun iſt zwar in dieſen Zahlen die Sach offenbar und fuͤr Augen. Damit aber klar werde/ daß es allezeit und in allen meſſens-faͤhigen Dingen angehe/ muß ein allgemeiner Beweiß gegeben werden.

Obangezogener David Rivalt de Flurance beruffet ſich in dieſem Fall mit zwey Worten auf den 15 den Lehrſatz des V. Buchs Euclidis; aus welchem aber dieſes keines weges folget/ es ſey dann/ daß er/ nicht ohne ſonderbaren Jrꝛthumb/ durch die gedoppelte Verhaͤltnis (duplica- tam) eben eine zweymal - ſo groſſe (duplam) verſtehe/ wie er dann ohne Zweiffel verſtehet/ weil er aus- Von der Kugel und Rund-Seule. er ausdruͤkklich das Wort dupla fuͤr duplicata gebrauchet/ wider Euclidis Meinung/ als wir oben gewieſen/ und Clavius in ſeinen Anmerkungen weitlaͤuffig erinnert.

Wir wollen demnach die Sache gruͤndlicher aus dem 31ſten Lehrſatz des gemeldten V. Buchs alſo erweiſen: An ſtatt obiger Zahlen und aller andern meſſens-faͤhigen Dinge ſeyen auf einer Seite A, B, C; auf der andern D, E, F, und zwar alſo/ daß ſo wol dorten A gegen B, wie B gegen C; als hier D gegen E, wie E gegen F ſich verhalte; und folgends A gegen C dorten/ hier D gegen F die gedoppelte Verhaͤltniſſen ſeyen. So nun geſetzt wird/ daß A gegen B eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als D gegen E, ſo ſage ich/ A habe gegen C auch eine kleinere Verhaͤltnis/ als D gegen F. Dann weil A gegen B eine kleinere Verhaͤltnis hat/ als D gegen E, oder/ welches gleich viel iſt/ D gegen E eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als A gegen B; B aber gegen C ſich eben verhaͤlt wie A gegen B, und E gegen F wie D gegen E, Krafft obi- gen Satzes/ ſo wird auch E gegen F eine groͤſſere Verhaͤltnis haben als B gegen C, und fol- gends auch/ vermoͤg obangezogenen 31ſten des V. Buchs/ D gegen F eine groͤſſere Ver- haͤltnis als A gegen C; oder/ welches gleich viel iſt/ A gegen C eine kleinere/ als D gegen F. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Die Erſte Folge.

Gleicher geſtalt koͤnnen wir beweiſen/ daß innerhalb eines Kreißſtuͤkkes ein Vielekk/ und ein anders dieſem aͤhnliches/ auſſer- halb umb daſſelbe beſchrieben werden koͤnne/ alſo daß das aͤuſſere gegen dem innern eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als die groͤſſeſte zweyer gegebenen Groͤſſen gegen der kleinern.

Anmerkung.

Der Beweiß iſt eben der vorhergehende in allen Stuͤkken/ nur daß/ was dorten von dem ganzen Kreiß geſagt worden/ hier auf ein gegebenes Stuͤkk deſſelben gezogen werde; alſo daß unnoͤhtig iſt/ obiges hier zu widerholen.

Die Andere Folge.

Hieraus iſt auch dieſes offenbar/ daß/ wann ein Kreiß oder Kreiß-Stuͤkk/ und darbeneben eine gewiſſe Flaͤche/ gegeben iſt/ man innerhalb deſſelben Kreiſſes oder Kreißſtuͤkkes allerhand gleich- ſeitige Vielekke beſchreiben koͤnne/ immer von mehrern und meh- rern Seiten/ ſo lang und viel/ biß die uͤbrige Abſchnitte des Kreiſ- ſes oder Kreißſtuͤkkes miteinander kleiner ſeyen als die gegebene Flaͤche. Dann dieſes iſt ſchon in denen Anfangs-Buͤchern (Ele- mentis Euclidis) gelehret worden.

Anmerkung.

Dieſes iſt zwar ausdruͤkklich in denen Buͤchern Euclidis nicht zu finden/ kan aber/ wie David Rivalt de Flurance erin- nert/ aus dem Erſten des 10den Buchs leichtlich erwieſen wer- den. Dann daſelbſten iſt klar gemacht/ daß/ wann man von der groͤſſeſten/ zweyer gegebenen Groͤſſen/ mehr als die Helfte wegnimbt/ von dem Reſt wieder mehr als die Helfte/ und ſo fortan/ dieſelbe endlich kleiner werden muͤſſe/ als die kleineſte aus denen zweyen gegebenen Groͤſſen. Wann nun/ zum Exem- pel/ ein Sechsekk innerhalb eines Kreiſſes beſchrieben/ und die ſechs Abſchnitte des Kreiſſes zuſammen genommen/ noch groͤſ-

ſer waͤren/ als eine gegebene Flaͤche (zum Exempel B in der Figur des folgenden Lehrſatzes) ſo kan Archimedis Erſtes Buch kan ein anders gleichſeitiges Vielekk innerhalb deſſelben Kreiſſes beſchrieben werden/ deſſen Umblauf von einem jeden/ gemeldter ſechs Abſchnitte/ mehr als die Helfte hinweg nehme/ und dieſes kan ſo oft geſchehen/ biß ſolche uͤbrige Abſchnittlein zuſammen kleiner werden/ als die gegebene Flaͤche B. Dann wann ich zum Exempel den Kreißbogen BDC in D halbteihle (und eben ſo auch die andern fuͤnf Boͤgen) und ziehe die Lineen CD und BD, ſo wird an ſtatt des vo- rigen Sechsekkes ein gleichſeitiges Zwoͤlf-Ekk beſchrieben/ und von jedem Abſchnitt mehr als die Helfte weggenommen/ welches alſo erhellet: Man ziehe/ nach dem 17den des III. Buchs/ EF, daß ſie den Kreiß in D beruͤhre/ ſo wird EF mit BC gleich lauffen/ Krafft der Anmer- kung des 27ſten im III. Buch/ und AD auf alle beyde Winkel recht fallen/ vermoͤg des 18den erſtgemeldten Buchs. So nun die beyde ablange Vierungen BD und DC gar voll- zogen werden/ iſt offenbar aus dem 34ſten des I. Buchs/ daß das Dreyekk BDC die Helfte ſey der ganzen Vierung BCFE. Nun aber gemeldte Vierung augenſcheinlich groͤſſer iſt als der Abſchnitt BDC, ſo wird auch gemeldtes Dreyekk groͤſſer ſeyn als der halbe Abſchnitt/ und iſt alſo (wann ſolches auch in denen andern Abſchnitten geſchihet) durch beſagtes Zwoͤlfekk (deſſen Seiten/ Krafft des 29ſten im 3. Buch/ einander gleich ſind) mehr als die Helfte weggenommen worden. Wann nun ſolches ferner widerholet wird/ ſo muͤſſen endlich/ Krafft obangezogenen 1ſten des 10. Buchs/ gemeldte Abſchnitte zuſammen kleiner werden als die gegebene Flaͤche B, welches zu beweiſen war. Daß aber eben dieſes/ was von einem ein- geſchriebenen Vielekk hier gelehret iſt/ obgemeldter Rivalt auch von denen auſſerhalb umb den Kreiß beſchriebenen abſonderlich beweiſet/ ſcheinet vergeblich zu ſeyn/ weil es eben das jenige iſt/ was Archimedes in dem folgenden Lehrſatz fuͤrleget/ als wir jetzund ſehen werden/ wann wir zuvor dieſes einige noch erinnert haben/ daß alles/ was hier von einem ganzen Kreiß geſagt wor- den/ auch von einem jeden Kreiß-Teihl oder Stuͤkk zu verſtehen und ſamt dem Beweiß leicht- lich dahin zu ziehen ſey.

Der VI. Lehrſatz/ Und Die Kuͤnfte Aufgab.

Umb einen gegebenen Kreiß oder Kreiß-Teihl ein Vielekk be- ſchreiben/ alſo daß die aͤuſſere/ zwiſchen dem Kreiß und dem Umb- lauf des Vielekkes enthaltene/ Abſchnitte zuſammen kleiner ſeyen als eine auch gegebene Flaͤche.

Aufloͤſung.

Daß dieſes moͤglich ſey zu beweiſen/ gibt Archimedes (nach dem er bedin- get/ daß/ was von einem ganzen Kreiß bewieſen wird/ auch von einem Stuͤkk des Kreiſſes/ wie in denen vorigen Lehrſaͤtzen/ zu verſtehen ſey) einen Kreiß A und darneben die Flaͤche B; Heiſſet darneben/ als zwey ungleiche Groͤſſen/ betrachten den Kreiß ſamt der gegebenen Flaͤche/ als eine und die groͤſſeſte/ und dann den Kreiß allein als die kleineſte; darauf/ nach vorhergehendem V. Lehrſatz/ ein Vielekk innerhalb des Kreiſſes und ein anders auſſen umb denſelben beſchreiben/ alſo daß das aͤuſſere gegen dem innern eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als die groͤſ- ſeſte gemeldter zweyen ungleichen Groͤſſen gegen der kleinern/ das iſt/ als der Kreiß ſamt der gegebenen Flaͤche gegen dem Kreiß allein. Wann dieſes geſchehen/ ſpricht er/ ſo werden die Abſchnitte des aͤuſſern Vielekkes zuſammen kleiner ſeyn als die gegebene Flaͤche B. Welches dann alſo bewieſen wird:

Beweiß.

Das aͤuſſere Vielekk iſt groͤſſer/ das innere aber kleiner als der Kreiß/ vermoͤg des obigen IX. Grundſatzes/ und deßwegen hat das aͤuſſere Vielekk gegen Von der Kugel und Rund-Seule. gegen dem Kreiß eine kleinere Verhaͤltnis als gegen dem innern Vielekk/ nach dem 8ten des V. Buchs. Nun aber hat/ Krafft obiger Aufloͤſung/ das aͤuſſere Vielekk ge- gen dem innern eine kleinere Verhaͤltnis/ als der Kreiß ſamt der Flaͤche/ B, gegen dem Kreiß allein. So wird

demnach gemeldtes aͤuſſeres Vielekk/ umb ſo viel mehr/ gegen dem Kreiß eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als der Kreiß ſamt der Flaͤche B, gegen dem Kreiß allein; und folgends wird gemeldtes aͤuſſeres Vielekk kleiner ſeyn/ als der Kreiß ſamt der Flaͤche B, nach dem 10den des V. Buchs. So man nun endlich beyderſeits den Kreiß/ welchen beyde dieſe ungleiche Stuͤkke gemein ha- ben/ hinweg nimbt/ muß nohtwendig der Reſt des klei-

nern/ (nehmlich des aͤuſſern Vielekkes Abſchnitte) kleiner ſeyn als der Reſt des groͤſſern/ das iſt/ als die Flaͤche B. Welches ſolte bewieſen werden.

Der VII. Lehrſatz/ Und Die Zweyte Betrachtung.

Wann innerhalb eines gleichſeitigen Kegels (coni) eine Spitz- Saͤule (pyramis) auf einer gleichſeitigen Grundflaͤche (baſi) be- ſchrieben wird/ ſo iſt die ganze aͤuſſere Flaͤche ſolcher Spitz-Saͤule/ ohne die untere Grundflaͤche/ gleich einem Dreyekk/ deſſen Grund- Lini (baſis) ſo groß iſt als der ganze Umblauf jener Grundflaͤche/ die Hoͤhe aber gleich der ſenkrechten Lini/ welche von dem Gipfel der Spitz-Saͤule auf eine Seite ihrer Grundflaͤche herunter ge- laſſen wird.

Erlaͤuterung.

Es ſey gegeben ein gleichſeitiger Kegel/ deſſen Grund-Scheibe ſey ABC, und innerhalb derſelben beſchrieben die gleichbenahmte dreyekkichte Grundflaͤche ei- ner dreyekkichten Spitz-Saͤule/ welche mit vorigem Kegel gleiche Hoͤhe hab. So ſage ich nun/ daß die ganze Flaͤche ſolcher Spitz-Saͤule/ ohne die untere Grundflaͤche/ einem obgemeldten Dreyekk (wie beſſer unten HGE iſt) gleich ſey.

Beweiß.

Die ganze Flaͤche angeregter Spitz-Saͤule beſtehet aus dreyen Dreyekken/ welche (weil der Kegel gleichſeitig iſt) gleiche Hoͤhen/ und (weil auch die dreyekkichte Grund- flaͤche gleichſeitig iſt) gleiche Grund-Lineen haben/ und alſo/ vermoͤg des 38ſten im I. Buch/ alle drey einander gleich ſind. So nun ein anders groſſes Dreyekk gegeben wird/ welches mit jenen zwar gleiche Hoͤhe/ aber eine drey-

mal groͤſſere Grund-Lini hat als jener eines/ das iſt/ deſſen Grund-Lini ſo Dgroß Archimedis Erſtes Buch groß iſt/ als jene alle drey; Wird ſolches Dreyekk/ nach dem 1ſten im VI. Buch/ dreymal ſo groß ſeyn als jener eines/ das iſt/ ſo groß als jene alle drey/ oder als die ganze Flaͤche der Spitz-Saͤule ohne die Grundflaͤche.

Anderſt und deutlicher.

Es ſey ein gleichſeitiger Kegel/ und deſſen Grundſcheibe ABC, die Spitze aber D, und innerhalb dieſes Kegels beſchrieben eine Spitz-Saͤule auf einer gleichſeitigen dreyekkichten Grundflaͤche ABC. Ferner aus D herunter ge- zogen die Lineen DA, DB, DC. So ſage ich nun/ daß die drey Dreyekke/ ADB, ADC, und BDC zuſammen ſo groß ſeyen als das Dreyekk GHE, deſ- ſen Grundlini/ EG, ſo groß iſt als der ganze Umblauf der Grundflaͤche ABC, die Hoͤhe HF aber gleich einer ſenkrechten Lini/ welche von der Spitze D auf AB, oder AC oder BC herunter gelaſſen iſt/ als da ſind DK, DL, DM, alle in einer Groͤſſe. (Beſihe unten die 1. Anmerkung.)

Beweiß.

Weil ein rechtwinklichtes Vierekk/ aus AB und DL gemachet/ zweymal ſo groß iſt als das Dreyekk ADB, vermoͤg des 41ſten im I. Buch Euclidis; und gleichfalls eine aus BC und DK gemachte Vierung zweymal ſo groß als das Drey- ekk BDC; endlich auch eine rechtwink- lichte/ aus AC und DM beſchloſſene/ Vie- rung doppelt ſo groß als das Dreyekk A DC; ſo muß nohtwendig die jenige recht- winklichte Vierung/ welche aus allen dreyen Lineen AB, AC, BC zuſam̃en/ als einer/ das iſt/ aus EG, und aus einer ſol- chen ſenkrechten Lini/ zum Exempel DL, das iſt/ HF, beſchloſſen wird/ zweymal ſo gꝛoß ſeyn als alle drey obgemeldte Dꝛey- ekke/ ABD, BDC und ADC, zuſam- men/ nach dem 1ſten im II. Buch. Nun iſt aber eben dieſelbe/ aus EG und HF gemachte/ Vierung/ auch zweymal ſo groß als das groſſe Dreyekk GHE, Krafft obiger 41ſten im I. Buch. So muͤſ- ſen demnach/ vermoͤg des 7den Grundſatzes im I. Buch/ jene drey obangeregte Dreyekke/ ABD, BDC, ADC, zuſammen (das iſt/ die ganze aͤuſſere Flaͤche der Spitz-Saͤule/ ohne die Grundflaͤche) ſo groß ſeyn als das Dreyekk GHE. Welches zu beweiſen war.

Anmerkung.

1. Oben iſt geſetzet/ daß DK, DL, DM, alle einander gleich ſeyen. Umb mehrerer Gewißheit willen kan ſolches alſo bewieſen werden: Weil alle erſtgemeldte Lineen ſenkrecht auf die Grundlineen aller dreyer (aus obigem Satz gleichſeitiger) Dreyekke herunter fallen/ ſo fol- get/ daß ſie auch alle drey Grundlineen in zwey gleiche Teihle teihlen (dann/ zum Exempel/ die zweene Winkel A und B ſind gleich/ nach dem 5ten des I. Buchs/ wie auch die zwey ge- rade Winkel bey L, darumb muͤſſen nohtwendig die dritten/ ADL und BDL, auch einander gleich Von der Kugel und Rund-Seule. gleich ſeyn/ vermoͤg der 2. Folge des 32ſten im I. Buch. Und weil ferner AD und BD gleich ſind/ DL aber gemein iſt/ muͤſſen AL und LB auch einander gleich ſeyn/ nach dem 4ten des gemeldten I. Buchs; und eben alſo wird bewieſen/ daß die anderen Seiten halbge- teihlet; und folgends/ wie die ganzen/ AB, BC, AC, alſo auch ihre Halbteihle alle einander gleich ſeyen.) Haben demnach die zwey rechtwinklichte Dreyekke DLB und DKB die zwey Seiten LB und BK einander gleich/ die unterzogene BD aber gemein. Muͤſſen derowegen/ vermoͤg des 47ſten des I. Buchs/ die Vierungen derer beyden Lineen BL und LD zuſam- men eben ſo groß ſeyn als die Vierungen der andern beyden Lineen BK und KD zuſammen; und ferner/ weil die Vierungen der beyden gleichen Lineen BL und BK einander gleich ſind/ wer- den auch die uͤbrige beyde Vierungen derer ſenkrechten Lineen DL und DK, und alſo auch die Lineen ſelbſten/ einander gleich ſeyn. Welches zu beweiſen war/ und von denen andern/ DK und DM gleicher weiſe bewieſen wird.

2. Aus obigem Beweiß iſt leichtlich zu ſehen/ daß man auch ein Dreyekk finden koͤnne/ welches nicht nur der obern Flaͤche einer Spitz Saͤule/ ſondern auch der Grundflaͤche ſambt jener gleich ſey; wann man nehmlich gemeldte Grundflaͤche (ſie ſey gleich drey- vier- oder mehr ekkicht) zuvor in ein Dreyekk verwandelt/ welches gleiche Hoͤhe mit dem gefundenen GHE hat/ und nachmals zu dieſem ſetzet: Worvon die Meßkuͤnſtler/ abſonderlich Schwendter im V. Buch des I. Tractats ſeiner Geometriæ Practicæ, koͤnnen beſuchet werden.

Der VIII. Lehrſatz/ Und Die Dritte Betrachtung.

Wann umb einen gleichſeitigen Kegel eine Spitz-Saͤule be- ſchrieben wird/ ſo iſt deroſelben Flaͤche/ ohne die Grundflaͤche/ gleich einem Dreyekk/ deſſen Grundlini ſo groß iſt als der gantze Umb- lauf jener Grundflaͤche/ die Hoͤhe aber gleich einer Seite des Kegels.

Erlaͤuterung.

Es ſey ein gleichſeitiger Kegel GA CB, und deſſen zwey gleiche Seiten/ AG, BG. Umb dieſen Kegel ſey beſchrieben die Spitz-Saͤule GDEF, deſ- ſen Grundlineen/ DE, EF, FD, die Grund-Scheibe des Kegels beruͤhren in denen Puncten A, B, C. Es ſey ferner das Dreyekk HKL alſo beſchaffen/ daß ſeine Grundlini/ HK, ſo groß ſey als der ganze Umblauf der Grund- flaͤche DEF, die Hoͤhe LM aber gleich der Seite des Kegels AG. So ſage ich nun/ daß bemeldtes Dreyekk HKL gleich ſey der ganzen Flaͤche der Spitz- Saͤule/ ohne die untere Grundflaͤche.

Beweiß.

Dieſer beſtehet einig und allein darinnen/ daß erwieſen werde/ daß die Seiten des Kegels/ GA, GB, &c. auf die unteren Grundlineen der Spitz- Saͤule/ nehmlich auf DE, DF, &c. ſenkrecht herunter fallen. Dann wann dieſes gewiß iſt/ folget der ganze Schluß aus dem vorhergehenden Beweiß des VII. Lehrſatzes. Solches nun zu beweiſen/ muß man ihm einbilden/ als ob aus dem Mittelpunct der Grund-Scheibe (welcher mit O bezeichnet ſeyn ſolte) gezogen waͤren/ die Lineen OA, OB, OC, die dann auf DE, DF und EF ſenkrecht fallen werden/ nach dem 18den des III. Buchs. Dieweil nun/ Krafft obigen Satzes/ der Kegel gleichſeitig iſt/ und alſo die beyde Lineen GA und AO gleich ſind denen beyden andern GB und BO, &c. GO aber gemein D ijiſt/ Archimedis Erſtes Buch

iſt/ werden die beyde Winkel (und gleicher weiß alle andere) bey O einander gleich/ und alſo lauter gerade Winkel ſeyn/ vermoͤg des 8ten Lehrſatzes und der 10den Wort- erklaͤrung im I. Buch/ mit einem Wort/ GO auf die Grundſcheibe ABC ſenkrecht fallen/ nach der 3ten Worterklaͤrung des XI. Buchs. Derowegen werden auch die ganzen Flaͤchen GAO und GBO, &c. auf gedachter Grundflaͤche ſo wol des Kegels als der Spitz-Saͤule ſenkrecht ſtehen/ aus dem 18den des XI. Buchs. Nun iſt aber DE auf AO dem Durchſchnitt der beyden ſenkrechten Flaͤchen auch ſenkrecht/ wie oben erwieſen; derowegen muß eben dieſelbe DE, vermoͤg der 4ten Worterklaͤrung des XI. Buchs/ auch auf die Flaͤche GAO, und fol- gends/ nach der 3ten Worterklaͤrung eben deſſelben Buchs/ auch auf GA ſenkrecht ſeyn. Wann nun gleicher maſſen bewieſen iſt/ daß GB auf DF, und GC auf EF ſenkrecht ſtehe/ ſo folget aus dem Be- weiß des vorigen Lehrſatzes alſobald/ daß das Dreyekk HKL gleich ſey der Flaͤche der Spitz-Saͤule ohne die Grundflaͤche. Welches ſolte bewieſen werden.

Anmerkung.

Aus bißherigem Beweiß iſt leichtlich zu erſehen/ daß/ was in beyden vorhergehenden Lehr- ſaͤtzen von einer dreyekkichten Spitz-Saͤule iſt gelehret worden/ gleicher weiſe von einer jeden andern vielekkichten koͤnne bewieſen werden; nur mit dem einigen Unterſcheid/ daß jede Spitz- Saͤule/ von welcher der vorhergehende VII. Lehrſatz ſolle wahr ſeyn/ muͤſſe eine gleichſeitige Grundflaͤche haben/ weil ſonſten (wie Eutokius redet) nicht wol die/ von der Spitze auf die Seiten der Grundflaͤche herunter gezogene/ Lineen einander gleich ſeyn koͤnnen; da hingegen in dieſem VIII. Lehrſatz nichts daran gelegen iſt/ ob die Seiten der Grundflaͤchen gleich oder un- gleich ſeyen. Weswegen dann auch Archimedes hier deſſen nichts erwehnet/ in dem vorigen Lehrſatz aber gar fleiſſig bemerket/ daß die eingeſchriebene Spitz-Saͤule auf einer gleichſeitigen Grundflaͤche ſtehen muͤſſe.

Der IX. Lehrſatz/ Und Die Vierdte Betrachtung.

Wann innerhalb eines gleichſeitigen Kegels Grund-Kreiß eine gerade Lini faͤllt/ und von ihren Endpuncten zu des Kegels Spitze Lineen gezogen werden/ ſo wird das Dreyekk/ welches aus ſol- chen dreyen Lineen entſtehet/ kleiner ſeyn als die Kegelflaͤche/ wel- che zwiſchen gemeldten beyden an die Spitze gezogenen Lineen ent- halten iſt.

Erlaͤu- Von der Kugel und Rund-Seule.

Erlaͤuterung.

Es ſey ein gleichſeitiger Kegel DAEBFC, und durch deſſen Grund-Kreiß gezogen die gerade Lini AC, von deren Endpuncten A und C an die Spitze D aufgefuͤhret ſeyen die Lineen AD und CD. So ſag ich nun/ daß das Dreyekk ADC kleiner ſey/ als die Kegelflaͤche/ ſo inner- halb ADC begriffen wird.

Beweiß.

Archimedes beweiſet dieſes gar weit- laͤuffig. Zufoͤrderſt teihlet er den Kreiß- bogen ABC in B halb/ und ziehet AB, BC, BD, daß alſo daraus entſtehen die beyde Dreyekke ABD, BCD, welche zu- ſammen groͤſſer ſeyen als das Dreyekk ADC, (Beſihe unten die 2. Anmerkung) nehmlich umb die Flaͤche oder Groͤſſe H, welche entweder kleiner ſey als die beyde Abſchnitte der Grund-Scheibe AEBA und BFCB, oder nicht kleiner. Er ſetzet erſtlich/ ſie ſey nicht kleiner/ und ſchlieſſet: Weil das Dreyekk DAB kleiner ſey als die Kegelflaͤche DAEB ſambt dem Ab-

ſchnitt AEBA, wie nicht weniger das Dreyekk DBC kleiner als die Kegel- flaͤche DBFC ſambt dem Abſchnitt BFCB, daß dannenhero beyde gemeldte Kegelflaͤchen DAEB und DBFC, das iſt/ die ganze Flaͤche DAEBFC ſambt der Flaͤche H (welche nicht kleiner iſt als beyde bemeldte Abſchnitte) groͤſ- ſer ſey als die beyde Dreyekke DAB und DBC, das iſt/ als das Dreyekk ADC ſambt der Flaͤche H. So man nun die Flaͤche H auf beyden Teihlen hinweg nehme/ ſo bleibe uͤber/ daß die Kegelflaͤche DAEBFC, die zwiſchen beyden erſtgezogenen Lineen AD und DC enthalten iſt/ groͤſſer ſey als das Drey- ekk ADC. Welches zu beweiſen war.

Fuͤrs andere ſetzet er/ die Flaͤche H ſey kleiner als die obgemeldte beyde Abſchnitte/ und teihlet beyde Kreißbogen in E und F halb/ dieſe (ſo es von noͤh- ten) wieder halb ſo lang und viel/ biß die kleinen Abſchnitte AE, EB, BF, FC, zuſammen kleiner ſind/ als die gegebene Flaͤche H, vermoͤg der andern Folge des obigen V. Lehrſatzes. Wann nun ſolches geſchehen/ und die Lineen ED, FD gezogen ſind/ ſchlieſſet er wiederumb: Weil die Dreyekke ADE, EDB, BDF, FDC, alle und jede kleiner ſind als ihre gegenſtehende Kegelflaͤchen/ das iſt/ als die ganze Flaͤche DAEBFC ſambt denen oftberuͤhrten 4. Abſchnit- ten; oder/ welches gleich viel iſt/ weil gemeldte Kegelflaͤche DAEBFC ſambt der Flaͤche H (welche groͤſſer iſt/ als alle 4. Abſchnitte) groͤſſer iſt als alle obige 4. Dreyekke/ und alſo noch viel groͤſſer als die beyde Dreyekke DAB und DBC, das iſt/ als das Dreyekk ADC, ſo muͤſſe abermal/ wann H von bey- den Teihlen genommen wird/ die Flaͤche DAEBFC groͤſſer bleiben als das Dreyekk ADC. Welches ſolte bewieſen werden.

D iijAnmer- Archimedis Erſtes Buch

Anmerkungen.

1. Dieſes iſt alſo Archimedis weitlaͤuffiger Beweiß/ wiewol noch kuͤrzer verfaſſet als in ſeinen eigenen Worten. Es ſcheinet aber in Waarheit/ ob waͤre derſelbe uͤberfluͤſſig/ weil die Waarheit dieſes Lehrſatzes fuͤr ſich ſelbſt bekant iſt/ und aus obigem IV. Grundſatz unmit- telbar flieſſet. Dann weil das Dreyekk ADC, als eine ebene oder gleiche Flaͤche/ und dann die runde Kegelflaͤche DAEBFC einerley Endlineen haben/ nehmlich AD und DC, muß jene/ Krafft angezogenen Grundſatzes/ nohtwendig kleiner ſeyn als dieſe/ und iſt alſo die ganze Sache leichtlich bewieſen.

Daß aber David Rivalt de Flurance vermeinet/ es koͤnte wider dieſen Beweiß etwas ein- gewendet werden/ und ſolches haͤtte Archimedem veranlaſſet/ ſo weitlaͤuffig zu ſeyn/ komt einig und allein daher/ daß er die Meinung des Lehrſatzes nicht recht gefaſſet/ oder doch etwas/ das nicht zur Sach gehoͤret/ (nehmlich den Abſchnitt der Grundſcheibe AEBFC) in den Beweiß mit einmiſchet/ alſo daß es den Schein hat/ ob koͤnte das Werk aus obigem Grund nicht genug- ſam/ und ohne allen Zweiffel erhoben werden.

2. Den Beweiß Archimedis machet dieſes noch ſchwerer und weitlaͤuffiger/ daß er als bekant nimt/ die beyde Dreyekke ABD und BDC ſeyen zuſammen groͤſſer als das Dreyekk ADC, welches nicht ſo gar klar iſt/ und vom Eutokius ohngefehr alſo erwieſen wird:

Weil bey D ein Coͤrperlicher Winkel iſt/ nach der 11ten Worterklaͤrung des XI. Buchs Euclidis; und zwar aus dreyen flachen Winkeln beſtehend/ ſo fol- get/ aus dem 20ſten gemeldten XI. Buchs/ daß die zween Winkel ADB und BDC zuſammen groͤſſer ſeyen als der Winkel ADC. Und/ ſo man aus D auf AC ſchnurrecht herunter ziehet die Lini DE, folgends der Winkel ADB (als die Helfte von jenen beyden) groͤſſer ſey als der Winkel ADE (die Helfte von ADC.) Nun mache man/ ſagt Eutokius/ den Winkel CDF gleich dem Winkel ADB, ſo werden (weil AD und DB gleich ſind denen zweyen Seiten CD und DF, und die Winkel bey D auch gleich) die zwey Dreyekke/ ADB und CDF einander gleich ſeyn/ nach dem 4ten des I. Buchs. Nun iſt aber CDF groͤſſer als CDE oder ADE, (weil jenes nicht nur den Winkel bey D groͤſſer als dieſes/ ſondern auch die Seite DF groͤſſer als DE hat) nach dem 24ſten des I. Buchs. Derowegen wird auch ADB groͤſſer ſeyn als ADE; und (weil CDB gleicher geſtalt erwieſen wird groͤſſer zu ſeyn als CDE) alle beyde/ nehmlich ADB und BDC, zuſammen groͤſſer als ADC, welches hat ſollen be- wieſen werden. Aus welchem Beweiß zugleich erhellet/ daß Eutokius das Dreyekk CDF gar wol haͤtte erſparen koͤnnen/ und alſobald aus dem groͤſſern Winkel ADB und der groͤſſern Seite DB ſchlieſſen/ daß das Dreyekk ADB groͤſſer als ADE ſey.

Der X. Lehrſatz/ Und Die Kuͤnfte Betrachtung.

Wann zwey gerade Lineen den Grund-Kreiß eines Kegels/ mit welchem ſie auf einer Ebene ligen/ alſo beruͤhren/ daß ſie/ ver- laͤngert/ endlich zuſammen lauffen/ von den Puncten aber des Zuſammenlauffens und Berührens gerade Lineen an des Kegels Spitze gezogen werden; ſo werden die beyde Dreyekke/ welche von denen beyden beruͤhrenden/ und dreyen nach der Spitze gezogenen Lineen Von der Kugel und Rund-Seule. Lineen gemacht werden/ groͤſſer ſeyn als die zwiſchen inne enthal- tene Kegelflaͤche.

Erlaͤuterung.

Des Kegels Grundkreiß ſey ABCA, die Spitze E, die zwey beruͤhrende ADCD, die drey von denen Puncten des Zuſammlauffens D und des An- ruͤhrens A und C, an die Spitze E gezogene Lineen/ DE, AE, CE. Wird nun geſagt/ die zwey Dreyekke EAD, ECD zuſammen ſeyen groͤſſer als die zwiſchen inn enthaltene Kegelflaͤche EABC.

Beweiß.

Die Sache iſt abermal/ wie im vorhergehenden Lehrſatz/ ganz klar und offenbar. Dann weil dieſe beyde Flaͤchen/ nehmlich die ekkichte aus gemeld- ten zweyen Dreyekken beſtehende/ EADC, und die runde Kegelflaͤche EABC, nach einer Seiten hohl ſind/ und einerley Endlineen/ EA und EC, haben; dieſe runde aber in jener ekkichten ganz eingeſchloſſen iſt/ ſo folget alſobald/ aus obi- gem VI. Grundſatz/ daß die eingeſchloſſene Kegelflaͤche kleiner ſey als jene ein- ſchlieſſende ekkichte/ das iſt/ als obgemeldte zwey Dreyekke: Alſo daß zu ver- wundern iſt/ warumb doch Archimedes einen ſo weitlaͤuffigen Beweiß geſuchet/ und zwar einen ſolchen/ worinnen faſt eben das jenige/ was erſt bewieſen werden ſolte/ als bekant und gewiß angenommen wird. Dann dahin gehet

Archimedis weitlaͤuffiger Beweiß.

Den Bogen ABC teihlet er in B halb/ und ziehet die anruͤhrende Lini FBG, wel- che mit AC gleich lauffe (Beſihe unten die Anmerkung.) Von den Puncten G, B, F, ziehet er gerade Lineen an die Spitze E, und ſchlieſſet ferner alſo: Weil DA und DC zuſammen groͤſſer ſind als die drey/ AG, GF, FC, (dann GF iſt kleiner als die beyde DG und DF zuſammen/ nach dem 20ſten im I. Buch/ und deßwegen/ wann man zu beyden Teihlen ſetzet die ge- meinſchafftliche/ AG und FC, werden DA und DC groͤſſer bleiben als die drey/ AG, GF, und FC) ſo werden die zwey Dreyekke AED und CED auch groͤſſer ſeyn als jene drey/ nehmlich AEG, GEF, FEC, weil ſie einerley Hoͤhe haben/ nehm- lich die Seite des Kegels (als oben bewie- ſen worden/ und fuͤr ſich ſelbſt klar iſt) und alſo nach der Verhaͤltnis ihrer Grund- lineen ſich verhalten/ vermoͤg des 1. im VI. Buch. Den Unterſcheid oder Uber- reſt/ umb welchen jene zwey Dreyekke groͤſ-

ſer ſind als dieſe zwey/ ſetzet er zu ſeyn die Flaͤche H, alſo daß dieſe drey ſambt dem H ſo groß ſeyen als jene zwey/ und faͤhret alſo fort: Die Flaͤche H iſt ent- weder Archimedis Erſtes Buch weder kleiner oder nicht kleiner als die beyde aͤuſſere Abſchnitte AGBA und BF CB. Jſt ſie erſtlich nicht kleiner/ ſo ſind vorhanden zwey Flaͤchen/ nehmlich EAGFCA die Flaͤche der Spitz-Saͤule/ ſo da ſtehet auf dem Vierekk AGFC, und dann EABCE die Kegelflaͤche ſambt dem Abſchnitt des Kreiſſes ABCA; deren dieſe von jener eingeſchloſſen und begriffen/ und deßwegen/ weil ſie einer- ley Endlineen/ AE und EC haben/ nohtwendig kleiner iſt als jene. [NB. Hier kom̃t Archimedes auf ſeinen ſechſten Grundſatz/ den er gleich im Anfang haͤtte/ wie wir oben geſehen/ gebrauchen koͤnnen.] So man nun von gemeldten bey- den Flaͤchen/ nehmlich der ganzen Flaͤche der Spitz-Saͤule EAGFCA (das einige Dreyekk AEC, ſo innerhalb des Kegels faͤllet/ ausgenommen) und der Kegelflaͤche EABCE ſambt dem Abſchnitt ABCA, dieſes gemeine Stuͤkk ABCA hinweg thut/ werden die uͤbrige Dreyekke AEG, GEF und FEC, ſambt denen beyden aͤuſſern Abſchnitten AGBA und BFCB, annoch groͤſſer bleiben als die Kegelflaͤche EABCE. Nun iſt H nicht kleiner als erſtge- meldte beyde Abſchnitte. So werden demnach vorgedachte 3. Dreyekke/ AEG, GEF, FEC, ſambt dem H, abermals groͤſſer ſeyn als erwaͤhnte Ke- gelflaͤche. Eben aber dieſe 3. Dreyekke ſambt dem H ſind gleich denen beyden Dreyekken AED und DEC, vermoͤg obigen Satzes; derowegen ſind auch dieſe beyde Dreyekke/ AED und DEC, zuſammen groͤſſer als mehrberuͤhrte Kegelflaͤche EABCE. Welches ſolte bewieſen werden.

Wird dann H kleiner geſetzet als die beyde Abſchnitte AGBA und BF CB, ſo gehet Archimedes mit Halbteihlung derer Boͤgen AB und BC und Ziehung der anruͤhrenden Lineen MN und PO, &c. ſo lang und viel fort/ biß die kleinen Abſchnittlein AMK, KNB, BPL, LOC zuſammen kleiner ſind als die bemeldte Flaͤche H, nach obigen VI. Lehrſatz. Ziehet darnach an die Spitze E die Lineen EM, EN, EP, EO, und beweiſet/ wie oben/ daß die Flaͤche ſolcher vielekkichten Spitz-Saͤule groͤſſer ſey als die Kegelflaͤche EA BCE, und ſchlieſſet endlich/ wie zuvor/ daß auch die zwey Dreyekke AED und DEC zuſammen groͤſſer ſeyen als ebenberuͤhrte Kegelflaͤche. Welches ſolte bewieſen werden.

Anmerkung.

Gleich im Anfang dieſes Beweißtuhms gedenket Archi- medes/ daß die anruͤhrende Lini GF mit der Lini AC gleichlauf- fend (parallel) ſey. Ob nun ſchon/ wie bißher geſehen/ ſolches zu dem Beweiß nichts thut/ bekraͤftiget doch ſolches Eutokius nachfolgender geſtalt. Jn beygeſetzter Figur (da die beyde Buchſtaben A und H verſetzet ſind/ und H an ſtatt des A im Mittelpunct ſtehen ſolte) ſoll bewieſen werden/ daß AC und die Lini GF, welche den Bogen ABC in B, als des Bogens Helfte/ anruͤhret/ gleich lauffen. So man nun ziehet HA und HC und HD, wird geſchloſſen/ daß/ weil AD und DC, ver- moͤg der 2. Folge des 36ſten im III. Buch/ einander gleich ſind/ und HD gemein iſt/ uͤber dieſes auch die Grundlineen HA und HC gleich ſind/ auch die Winkel oben bey D einander gleich ſeyen/ nach dem 8ten des I. Buchs. Nun ſind aber/ weil HD aus dem Mittelpunct durch den Anruͤhrungspunct B ge- zogen iſt/ bey B zwey gerade Winkel/ nach dem 18den des III. B. Derowegen/ weil auch die zwey bey D einander gleich ſind/ muͤſ- ſen auch die uͤbrige Winkel DFB und DGB einander gleich ſeyn/ nach der 2. Folge des 32ſten im I. Buch/ und folgends/ weil BD ge- Von der Kugel und Rund-Seule. BD gemein iſt/ muͤſſen auch DG und DF und alſo ferner GA und FC einander gleich ſeyn/ Krafft des 26ſten im I. Buch. Sind demnach DA und DC in G und F ebenmaͤſſig oder nach gleicher Verhaͤltnis (proportionaliter) geteihlet/ und deßwegen GF und AC, nach dem 2ten des VI. Buchs/ gleichlauffend. Welches zu beweiſen war. Es wird aber eben dieſes auch in dem III. Buch Euclidis bey dem 27. Lehrſatz von denen Auslegern in der Anmerkung gemeiniglich bewieſen/ wie beym Clavius und andern zu ſehen iſt.

Der XI. Lehrſatz/ Und Die Sechſte Betrachtung.

Wann auf der Flaͤche einer geraden Rund-Saͤule oder Rolle (cylindri) zwey gerade Lineen gezogen werden/ ſo iſt die/ zwiſchen ſol- chen beyden Lineen enthaltene/ Flaͤche der Rund-Saͤule groͤſſer als das gleichlauffendſeitige Vierekk (parallelogrammum) welches von obgemeldten beyden Lineen und zweyen andern/ die jener End- puncten zuſammfuͤgen/ gemachet wird.

Erlaͤuterung.

Es ſey eine gerade Rund-Saͤule (cylindrus rectus) ABCD, und auf derſelben Flaͤche gezogen zwey gerade Lineen AC und BD, deren Endpuncten/ durch CD und AB zuſamm gefuͤget/ das Vierekk ABDC machen. So wird nun geſagt: die Rundflaͤche/ welche zwiſchen erſtgemeldten beyden Lineen AC und BD und beyden Kreißboͤgen AEB und CFD enthalten iſt/ ſey groͤſſer als vorerwehnte Vierekk ABDC.

Beweiß.

Die Sache iſt abermahls an ſich ſelbſten ganz klar/ und nichts anders als eine Folge des obigen IV. Grund- ſatzes. Gleichwol aber bedienet ſich Archimedes/ wie in denen vorigen/ eines weitlaͤuffigen/ und ſeinem obigen bey dem IX. Lehrſatz ganz gleichen Beweiſes/ den wir kuͤrzlich alſo verfaſſen. Erſtlich teihlt er die Bogen AEB und CFD in E und F halb/ ziehet AE, EB, CF, FD, und ſchlieſſet: Weil AE und EB zugleich groͤſſer ſind als AB, aus dem 20ſten des I. Buchs/ ſo werden auch die zwey Vierekke ACFE und BDFE zuſammen groͤſſer ſeyn als das Vierekk ABDC, mit welchem ſie gleiche Hoͤhe haben/ vermoͤg des 1ſten im VI. Buch/ der Uberreſt/ umb welchen ſie groͤſſer ſind/ ſey G, und ſolches entweder kleiner als die Abſchnitte CLF, FMD und AHE, EKD, oder nicht kleiner. Setzet erſtlich/ es ſey nicht kleiner/ und ſchlieſſet ferner:

Weil die zwey Flaͤchen/ nehmlich die Ekkflaͤche ACFEBD, und die Rundflaͤche AEBDFC einerley Endlineen AC und BD haben/ und nach einer Seiten hohl ſind/ ſo wird gedachte Rundflaͤche/ als die begreiffende/ ſambt denen Abſchnitten Eder Archimedis Erſtes Buch der Grund- und Dekkel-Scheiben AEB und CFD, groͤſſer ſeyn als jene Ekk- flaͤche/ ſambt denen beyden Dreyekken AEB und CFD; und/ ſo man erſtge- meldte Dreyekke beyderſeits hinweg thut/ wird die Rundflaͤche ſambt denen uͤbri- gen 4. kleinen Abſchnitten AHE, EKB, CLF, FMD, oder (welches gleich viel iſt) ſambt dem G annoch groͤſſer ſeyn/ als die gedachte Ekkflaͤche/ und alſo auch groͤſſer als das Vierekk ABDC ſambt dem G, welche beyde zuſammen/ Krafft obigen Satzes/ der Ekkflaͤche gleich ſind. Wann man nun endlich das G von beyden Teihlen wieder hinweg nimmt/ ſo bleibt die ofterwehnte Rund- flaͤche annoch groͤſſer/ als das Vierekk ABDC. Welches zu beweiſen war.

Wird dann nun G kleiner geſetzet/ ſo gehet Archimedes abermal mit Halb- teihlung der Boͤgen AE, EB, CB und FD, in H, K, L und M, ſo fern/ biß die Abſchnittlein AH, HE, &c. alle zuſammen kleiner ſind als das G, und bringet endlich wieder her aus/ daß die Rundflaͤche AEBDFC ſambt den Abſchnittlein AH, HE, &c. oder ſambt dem G groͤſſer ſey als die Ekkflaͤche AHEKBDM FLC, und umb ſo viel mehr groͤſſer als die kleinere Ekkflaͤche AEBDFC; und dann ferner auch groͤſſer als das Vierekk ABDC ſambt dem G. Woraus dann endlich/ wann G zu beyden Seiten wieder weggenommen wird/ der vorige Schluß kommet/ daß oft gedachte Rundflaͤche allein groͤſſer ſey als das Vierekk ABDC allein. Welches ſolte bewieſen werden.

Der XII. Lehrſatz/ Und Die Siebende Betrachtung.

Wann auf der Flaͤche einer geraden oder aufrechten Rund- Saͤule zwey gerade Lineen gezogen werden/ und aus deren End- puncten vier andere/ ſo den Grund- und Dekkel-Kreiß beruͤhren/ mit ihnen zugleich auf einer Ebene ligen/ und endlich zuſammen lauffen: ſo werden die beyde/ aus ſolchen Lineen gemachte/ gleiche Vierekke zuſammen groͤſſer ſeyn/ als die zwiſchen beyden erſtgezo- genen Lineen enthaltene Rundflaͤche.

Erlaͤuterung.

Es ſey einer Rund-Saͤule Grundkreiß ABC, und zweyer Lineen/ ſo auf der Flaͤche dieſer Rundſaͤule gerad uͤber ſich gezogen muͤſſen eingebildet werden/ ihre Endpuncten A und C; aus welchen ferner hinaus lauf- fen zwey andere Lineen AG und CG, welche den Kreiß in A und C beruͤhren/ und zwar auf einer Ebene mit dem Kreiß/ auch endlich in G zuſamm lauffen/ welches alles dann in dem obern Dekkel-Kreiß gleichfalls ge- ſchehen zu ſeyn muß gedacht werden. So wird nun ge- ſagt/ daß die beyde von gleichſtehenden Lineen begriffene Vierekke (parallelogramma) welche aus denen beyden gezogenen Seiten der Rund-Saͤule und denen beruͤh- renden Lineen gemacht werden/ das iſt/ auf AG und CG in Von der Kugel und Rund-Seule. CG in gleicher Hoͤhe mit der Rund-Saͤule ſtehen/ groͤſſer ſeyen als die Rund- flaͤche/ ſo in gleicher Hoͤhe auf dem Kreißbogen ABC ſtehet/ und von jener Ekk- flaͤche AGC eingeſchloſſen und begriffen wird.

Beweiß.

Aus obigem VI. Grundſatz ligt das Werk abermal fuͤr Augen. Dann weil die zwey gemeldte Vierekke/ oder die aus ihnen beſtehende Ekkflaͤche AGC, die Rundflaͤche ABC umbfaͤnget und begreiffet/ beyde aber nach einer Seite hohl ſind/ und einerley Endlineen haben/ nehmlich die jenige/ welche aus A und C auf der Flaͤche der Rundſaͤule uͤber ſich gezogen ſind; ſo muß nohtwendig jene be- greiffende groͤſſer ſeyn als dieſe begriffene. Wer des Archimedis abermal weit- laͤuffigern Beweiß begehret/ darf nur den oben bey dem X. Lehrſatz gegebenen durchgehen/ und etwas weniges geaͤndert hieher ziehen.

Anmerkungen.

1. Nicht vergeblich ſetzet Archimedes in gegenwaͤrtigem Lehrſatz/ daß die/ den Kreiß beruͤhrende/ Lineen alſo muͤſſen beſchaffen ſeyn/ daß ſie endlich zuſammen lauffen; dieweil es ſich begeben kan/ daß zwey Lineen einen Kreiß auf beyden Seiten beruͤhren/ welche nimmermehr zuſamm kommen/ ſondern gleichlauffen/ nehmlich wann die Lini AC, welche die zwey Beruͤh- rungspuncten zuſammen fuͤget/ ein Durchmeſſer iſt/ oder durch den Mittelpunct ſtreichet. Dann weil alsdann die Winkel bey C und A alle gerad ſind/ nach dem 18den des III. B. muͤſſen beyde anruͤhrende Lineen nohtwendig gleichlauffen/ vermoͤg des 28ſten im I. Buch.

2. Darnach gedenket Archimedes/ daß die Vierekke/ ſo aus denen zweyen Seiten der Rund-Saͤule und denen beruͤhrenden Lineen gemachet werden/ Parallelogramma, das iſt/ gleiche oder aus gleichſtehenden Seiten beſtehende Vierekke ſeyen. Ob nun ſchon dem Lehrſatz und dem Beweiß nichts abgieng/ und ge- meldte Vierekke/ wann ſie ſchon ungleich waͤren/ dannoch groͤſſer ſeyn wuͤrden/ als die begriffene Rundflaͤche/ ſo wollen wir doch/ daß Archimedes dieſelbige recht gleichlauffendſeitige Vierekke genennet/ alſo beweiſen:

Dieweil AB und CD Seiten ſind einer aufrechten Rund- Saͤule/ und alſo ſenkrecht auf beyde Scheiben der Rund-Saͤule fallen/ ſo muͤſſen ſie/ Krafft des 28ſten im I. B. gleichlauffend und alſo/ wie auch die beyde BD und AC, einander gleich ſeyn/ nach dem 33ſten und 34ſten deſſelben Buchs. So iſt auch FG gleich denen andern AB und CD, weil/ nach obigem Satz BFD und AGC mit denen beyden Kreiſſen auf einer Ebene ligen/ und alſo GF mit der Rund-Saͤule gleiche Hoͤhe hat. Jſt alſo nichts uͤbrig zu beweiſen/ als daß AG und BF, wie auch CG und DF auch einan- der gleich ſind. Dann wann dieſes gewiß iſt/ ſo ſind/ vermoͤg der Anmerkung des 34ſten im I. Buch/ die beyde Vierekke ABFG und CDFG gleichlauffendſeitig/ oder Parallelogramma. So ſchließ ich dann/ wann ich zuvor HA, HC, IB, ID gezogen habe/ ferner alſo: Weil AC und BD gleich ſind/ muͤſſen auch ihre abge- ſchnittene Boͤgen gleich ſeyn/ nach dem 28ſten des III. B. Und alſo ferner der Winkel AHC dem Winkel BID, nach dem 27ſten deſſelben Buchs. Folgends/ aus dem 5ten und 32ſten des I. auch der Winkel HCA dem Winkel IDB, und HAC dem IBD. Weil nun aber HCG und IDF, wie auch HAG und IBF, als lauter gerade Winkel/ nach dem 18den des III. B. auch einander gleich ſind; ſo muͤſſen auch die uͤbrige Winkel ACG und BDF, wie auch CAG und DBF, auch einander gleich ſeyn. Es ſind aber

auch die Grundlineen/ AC und BD, einander gleich/ wie oben bewieſen/ derowegen wird/ vermoͤg des 26ſten im I. B. auch CG dem DF, und AG dem BF, gleich ſeyn. Welches zu beweiſen war.

E ijDie Archimedis Erſtes Buch

Die Erſte Folge.

Aus dieſem bißher bewieſenen iſt offenbar/ daß/ wann inner- halb eines gleichſeitigen Kegels eine Spitz-Saͤule beſchrieben wird/ die ganze Flaͤche der Spitz-Saͤule/ ohne die Grundflaͤche/ kleiner ſey als die einſchlieſſende Kegelflaͤche.

Dann jede dreyekkichte Seite der Spitz-Saͤule iſt kleiner als das von ihr abgeſchnittene Teihl der Kegelflaͤche/ vermoͤg obigen IX. Lehrſatzes. Dero- wegen werden auch alle ſolche Dreyekke zuſammen/ das iſt/ die ganze Flaͤche der Spitz-Saͤule/ ohne die Grundflaͤche/ kleiner ſeyn als alle abgeſchnittene Teihl der Kegelflaͤche/ das iſt/ als die ganze Kegelflaͤche.

Die Andere Folge.

Und daß/ wann auſſerhalb umb einen gleichſeitigen Kegel eine Spitz-Saͤule beſchrieben wird/ die ganze Flaͤche ſolcher Spitz- Saͤule/ ohne die Grundflaͤche/ groͤſſer ſey als die eingeſchloſſene Kegelflaͤche/ die Grundflaͤche auch nicht mitgenommen.

Kan auf gleiche weiſe/ wie das vorige/ aus obigem X. Lehrſatz bekraͤff- tiget werden/ alſo daß unnoͤhtig iſt/ einige fernere Weitlaͤuffigkeit zu machen.

Die Dritte Folge.

So erhellet auch aus obigen Beweißtuhmen/ daß/ wann in- nerhalb einer aufrechten Rund-Saͤule eine Ekk-Saͤule (Priſma) eingeſchrieben wird/ die/ aus allen vierekkichten Seiten der Ekk- Saͤule beſtehende/ Ekkflaͤche kleiner ſey als die ganze Flaͤche der Rund-Saͤule/ die Grundflaͤchen beyderſeits nicht mitgerechnet.

Der Beweiß iſt denen vorigen gleich/ und aus obigem XI. Lehrſatz leicht- lich herzuholen.

Die Vierdte Folge.

Und daß/ wann umb eine aufrechte Rund-Saͤule eine Ekk- Saͤule beſchrieben wird/ die Flaͤche der Ekk-Saͤule groͤſſer ſey als die Flaͤche der Rund-Saͤule/ beyder Grundflaͤchen abermals un- geachtet.

Jſt aus dem naͤchſtvorher gehenden 12ten Lehrſatz offenbar/ dann allezeit zwey halbe Vierekke der Ekk-Saͤule zuſammen ſind groͤſſer als der eingeſchloſſene Teihl der Rundflaͤche/ Kraft gemeldten Lehrſatzes. Derowegen muͤſſen auch alle Vierekke zuſammen/ das iſt/ die ganze Ekkflaͤche/ groͤſſer ſeyn als die ganze eingeſchloſſene Rundflaͤche.

Der Von der Kugel und Rund-Seule.

Der XIII. Lehrſatz/ Und Die Achte Betrachtung.

Einer jeden aufrechten Rund-Saͤule aͤuſſere Flaͤche/ ohne die Dekkel- und Grund-Scheibe/ iſt gleich einer Scheibe/ deren Halb- meſſer die mittlere gleichverhaltende iſt zwiſchen der Seite der Rund-Saͤule und dem Durchmeſſer ihrer Grund-Scheibe.

Erlaͤuterung.

Die Grund-Scheibe der aufrechten Rund-Saͤule ſey A; die Lini DC (in T halbgeteihlet) gleich ihrem Durchmeſſer; EF die Hoͤhe oder Seite der Rund-Saͤule: G die mittlere gleichverhaltende (media proportionalis) zwiſchen CD und EF: die Scheibe B von G als ih- rem Halbmeſſer beſchrieben. Auf dieſe Bedingungen wird geſagt: Die Scheibe B ſey gleich der aͤuſ- ſern Flaͤche der angedeuteten Rund- Saͤule/ jedoch die obere und untere Scheibe nicht mitgerechnet.

Beweiß.

Dann ſo ſie ihr nicht gleich iſt/ ſo muß ſie entweder groͤſſer oder klei- ner ſeyn.

Setzet man/ ſie ſey kleiner/ ſo weiſet Archimedes/ wie aus ſolchem Satz folge der ungereimte Schluß/ daß eine Flaͤche/ welche eine andere in ſich begreiffet und ganz umbfaͤn- get/ kleiner ſey als die eingeſchloſſene oder begriffene.

Vorbereitung.

Solches nun zu beweiſen/ verfaͤhret er alſo: Man bilde ihm ein/ innerhalb des Kreiſſes B beſchrieben/ ein gleich ſeitiges Vielekk/ und ein anders/ demſelben aͤhnliches/ auſſerhalb umb den Kreiß/ alſo daß das aͤuſſere gegen dem innern eine kleinere Verhaͤltnis habe als oberwehnte Rundflaͤche (ſuperficies cylin- drica) gegen der Scheibe B, nach obigem V. Lehrſatz. Gleicher weiſe bilde man ihm ein/ daß umb die Grundſcheibe A ein anders/ jenen auch aͤhnliches Vielekk beſchrieben/ (Beſihe unten die 2. Anmerkung) und aus allen Ekken deſſelben ſenkrechte Lineen aufgezogen ſeyen biß an die obere Dekkelſcheibe/ alſo daß hieraus eine/ umb die Rund-Saͤule beſchriebene/ Ekk-Saͤule entſtehe. E iijFerner Archimedis Erſtes Buch Ferner mache man dem ganzen Umblauf erſtbeſchriebenen Vielekkes gleich die Lineen LF und KD, und ſetze KD ſenkrecht auf DC, ziehe endlich KT; ſo wird (*) das rechtwinklichte Dreyekk KDT gleich ſeyn dem/ umb A beſchriebenen/ Vielekk/ vermoͤg des 38ſten im I. und des 1ſten im VI. Buch/ weil nehmlich die Grundlini KD gleich iſt allen Grundlineen derer Dreyekke/ deren Spitzen in dem Mittelpunct gemeldtes Vielekkes zuſammen treffen; und ſowol dieſe alle/ als KDT, einerley Hoͤhe haben/ nehmlich des Halbmeſſers der Scheibe A, Krafft obiger Vorbereitung. Weiter werde aus EF und FL gemachet das rechtwinklichte Vierekk EL, oder/ durch Verdoppelung der Lini EF biß in R, das rechtwinklichte Dreyekk FRL; ſo werden nicht nur dieſes Dreyekk FRL und das Vierekk EL (vermoͤg des 42ſten des I. Buchs) eines dem andern/ ſondern auch (**) alle beyde abſonderlich der/ umb die Rund-Saͤule A beſchriebenen/ Ekkflaͤche gleich ſeyn/ nach dem 1ſten des II. Buchs/ weil nehm- lich EF iſt die Hoͤhe eben ſolcher Ekkflaͤche oder der eingeſchloſſenen Rund-Saͤule/ LF aber gleich allen Grundlineen aller Vierekke/ aus welchen gedachte Ekk- flaͤche beſtehet.

Schluß.

Hier auf ſchlieſſet nun Archimedes alſo: DC verhaͤlt ſich gegen DT (ſei- ner Helfte) wie FR gegen FE (ſeiner Helfte.) Derowegen wird das recht- winklichte Vierekk (Rectangulum) aus DT und FR gemachet/ dem recht- winklichten Vierekk aus DC und FE gleich ſeyn/ nach dem 16den des VI. B. Nun iſt aber das Vierekk aus DC und FE gleich der Vierung (quadrato) der mittlern gleichverhaltenden Lini G, oder des Halbmeſſers der Scheibe B, nach dem 17den gedachten Buchs/ derowegen wird auch jenes Vierekk/ aus DT und FR, erſterwehnter Vierung gleich ſeyn; und wird ſich alſo DT gegen G, das iſt/ dem Halbmeſſer des Kreiſſes B, verhalten/ wie dieſer Halb- meſſer des Kreiſſes B ſich verhaͤlt gegen FR, Kraft erſtangezogenen 17den des VI. Die Vierung aber der Lini DT gegen der Vierung des Halbmeſſers wird ſich verhalten wie DT (die erſte gleichverhaltende) gegen FR der dritten (nehmlich in gedoppelter Verhaͤltnis der erſten DT gegen G der andern) nach dem 20ſten des VI. und der 10den Worterklaͤrung im V. Buch. Ferner/ die umb beyde Kreiſſe beſchriebene Vielekke ſind einander aͤhnlich (ſimiles) und da- her verhalten ſie ihre Seiten gegeneinander/ wie derer Kreiſſe Halbmeſſer: das iſt/ wie DT gegen G oder dem Halbmeſſer des Kreiſſes B, als aus dem 4ten des VI. zu ſchlieſſen iſt. Deßhalben hat das Vielekk umb A gegen dem Viel- ekk umb B gedoppelte Verhaͤltnis des DT gegen G oder dem Halbmeſſer der Scheibe B, das iſt/ das umb A beſchriebene Vielekk/ oder (welches Krafft obi- gen (*) gleich viel iſt) das Dreyekk KDT verhaͤlt ſich gegen dem Vielekk umb B, wie DT gegen FR, oder (nach dem 1ſten des VI.) wie das Dreyekk KDT gegen dem Dreyekk FRL. Weswegen dann das Vielekk umb B dem Dreyekk FRL (als gegen welchen beyden KDT einerley Verhaͤltnis hat) vermoͤg des 9ten im V. Buch; und alſo/ vermoͤg obigen (**) ſowol dem Vierekk EL, als der umb A beſchriebenen Ekkflaͤche gleich ſeyn muß. Nun hat aber/ Kraft obiger Vorbereitung/ das aͤuſſere Vielekk umb B gegen dem innern in B eine kleinere Verhaͤltnis als die Flaͤche der Rund-Saͤule A gegen der Scheibe B, darumb muß auch die umb A beſchriebene Ekkflaͤche (als welche dem aͤuſſern Viel- Von der Kugel und Rund-Seule. Vielekk umb B gleich iſt) gegen dem Vielekk innerhalb B eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als gedachte Rundflaͤche A gegen der Scheibe B. Und umb ſoviel mehr muß eben dieſelbe Ekkflaͤche gegen der Scheibe B (welche/ nach dem obigen IX. Grundſatz/ groͤſſer iſt als das eingeſchriebene Vielekk) eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als die Rundflaͤche A gegen eben derſelben Scheibe B, vermoͤg des 8ten im V. Buch. Woraus dann (Kraft des 10den gemeldten V. Buchs) end- lich folget/ daß dieſelbe Ekkflaͤche kleiner ſey als die innere von ihr begriffene und eingeſchloſſene Rundflaͤche; welches der Vernunft zuwider/ und/ vermoͤg der vierdten Folge des vorhergehenden XII. Lehrſatzes/ unmoͤglich iſt. Kan derohalben die Scheibe B nicht kleiner ſeyn als ofterwehnte Rundflaͤche.

Der andere Satz.

Setzet man dann/ ſie ſey groͤſſer/ ſo weiſet Archimedes wieder/ wie aus ſol- chem Satz abermal folge ein ungereimter Schluß/ daß nehmlich eine Flaͤche/ welche von einer andern ganz begriffen und umbfaſſet iſt/ groͤſſer ſey als die umb- faſſende oder begreiffende.

Vorbereitung.

Dieſes nun zu beweiſen/ verfaͤhret er wieder alſo: Man bilde ihm ein umb und in den Kreiß B beſchrieben zwey gleichſeitige Vielekke/ alſo daß das groͤſſere gegen dem kleinern eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als die Scheibe B gegen der Rundflaͤche/ nach obigem V. Lehrſatz. Gleicher weiſe bilde man ihm ein/ daß innerhalb des Kreiſſes A ein anders/ jenen auch aͤhnliches/ Vielekk beſchrieben (Beſihe unten die 2. Anmerkung) und/ durch Ziehung der ſenkrechten Lineen aus allen Ekken/ eine/ innerhalb der Rund-Saͤule beſchriebene/ Ekkſaͤule ent- ſtehe. Ferner ſeyen LF und KD wieder/ wie oben/ gleich dem ganzen Umblauf erſtbeſchriebenen Vielekkes, Woraus dann/ neben dem andern/ welches alles wie oben verbleibet/ folget/ daß das Dreyekk KDT groͤſſer ſey denn das inner- halb A beſchriebene Vielekk/ nach der Anmerkung des 1ſten im VI. Buch; (weil nehmlich die Hoͤhe derer Dreyekke/ in welche gemeldtes Vielekk getelhlet wird/ kleiner iſt als der Halbmeſſer der Scheibe A, das iſt/ als DT) das Dreyekk FRL aber und das Vierekk EL wieder gleich ſeyen der innerhalb der Rund- Saͤule A beſchriebenen Ekkflaͤche.

Schluß.

Worauf er dann wieder alſo ſchlieſſet: Weil die aͤuſſern und innern Vielekke ſowol in A als B einander aͤhnlich ſind/ ſo hat das Vielekk in A gegen dem Vielekk in B eine gedoppelte Verhaͤltnis derer jenigen/ welche die Halbmeſſer gegeneinan- der/ nehmlich DT gegen G, haben/ als aus dem 4ten und 20ſten des VI. zu ſchlieſſen iſt. Nun iſt aber zuvor bewieſen/ daß DT gegen G ſich verhalte/ wie G gegen FR, derowegen wird DT gegen FR, das iſt/ nach dem 1ſten des VI. das Dreyekk KDT gegen dem Dreyekk FRL, eine gedoppelte Verhaͤltnis ha- ben derer jenigen/ welche DT gegen G hat/ und alſo KDT gegen FRL ſich eben verhalten wie das Vielekk in A gegen dem Vielekk in B, vermoͤg des 11ten im V. Buch/ und wechſelweis (alternatim) wie KDT gegen dem Vielekk in A, alſo FRL gegen dem Vielekk in B, nach dem 16den des V. Weil nun das Dreyekk KDT groͤſſer iſt als das Vielekk in A, Kraft obiger Vorbereitung/ ſo muß auch das Dreyekk FRL groͤſſer ſeyn als das Vielekk in B. Nun hat aber/ vermoͤg erſterwehnter Vorbereitung/ das Vielekk umb B gegen dem Vielekk in B eine kleinere Verhaͤltnis/ als die Scheibe B gegen der Rundflaͤche A. Und/ Archimedis Erſtes Buch Und/ weil die Scheibe B kleiner iſt als das Vielekk umb B, nach obigem IX. Grundſatz/ wird ſie noch eine kleinere Verhaͤltnis haben gegen ihrem innern Vielekk/ als ihr aͤuſſeres Vielekk gegen eben demſelben innern/ aus dem 8ten des V. Darumb muß umb ſo viel mehr die Scheibe B gegen ihrem innern Vielekk eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als eben dieſelbe Scheibe B gegen der oftgedachten Rundflaͤche. Jſt derowegen das Vielekk in B groͤſſer als gemeldte Rundflaͤche. Es iſt aber zuvor erwieſen/ daß das Dreyekk FRL (welches der innerhalb der Rund-Saͤule A beſchriebenen Ekkflaͤche gleich iſt/ vermoͤg obiger Vorbereitung) groͤſſer ſey als das Vielekk in B. Woraus dann end- lich folget/ daß umb ſo viel mehr erſtgemeldte Ekkflaͤche groͤſſer ſey als die Rund- flaͤche A, von welcher ſie begriffen und eingeſchloſſen wird; Welches dann aber- mal ungereimt und ſchnurſtrakks wider die dritte Folge des vorhergehenden XII. Lehrſatzes iſt. Kan derhalben die Scheibe B nicht groͤſſer ſeyn als oft- erwehnte Rundflaͤche. Sie iſt aber auch nicht kleiner/ wie oben bewieſen wor- den: So muß ſie demnach derſelben gleich ſeyn/ welches der Hauptpunct iſt/ der da ſolte bewieſen werden.

Anmerkungen.

1. Weil Archimedes dieſen Grund/ die Gleichheit zweyer Groͤſſen zu ſchlieſſen/ ins kuͤnftig oft gebrauchet/ daß nehmlich/ wann eine weder groͤſſer noch kleiner ſey als die andere/ ſie nohtwendig gleich ſeyn muͤſſen; wird nicht unbillich gefragt/ ob dieſer Schluß auch unfehlbar und allezeit angehe? Zwar/ weil ſo wol die aͤuſſerliche Sinnen als die Vernunft/ in Verg ei- chung zweyer Groͤſſen/ alſobald entweder eine Gleichheit oder Ungleichheit antreffen/ und/ wo ſie ungleich ſind/ das eine ſtrakks fuͤr groͤſſer oder fuͤr kleiner halten. Weil ungleich ſeyn nichts anders iſt/ als groͤſſer oder kleiner ſeyn/ ꝛc. als ſcheinet dieſe Frage vergeblich und uͤberfluͤſſig zu ſeyn. Allein es ſolle der goͤnſtige Leſer wiſſen/ daß gleichwol einiger Zweiffel in dieſem Stuͤkk entſtehen koͤnne/ und bey etlichen wuͤrklich entſtanden ſey/ welcher hier billich benommen wird/ damit nicht/ wann auf denſelben wir etwan ohngefehr auch gerahten moͤchten/ dieſes und kuͤnf- tiger Beweißtuhme Gewißheit in Zweifel gezogen werde. Nehmlich es will ſcheinen/ ob wuͤrde hieraus einige Streitigkeit zwiſchen dem Euclides und Archimedes entſpringen/ alſo daß entweder dieſer oder lener in ſeinen Beweißtuhmen muͤſte geirret haben. Dann Euclides gibt in ſeinem III. Buch im 16den Lehrſatz fuͤr/ und beweiſet/ daß der Winkel ejnes jeden Halb- kreiſſes (verſtehe/ welchen er machet mit dem Durchmeſſer) groͤſſer ſey als ein jeder ſpitziger/ aus geraden Lineen gemachter/ Winkel; der andere aber (nehmlich der Winkel des Anruͤhrens/ welchen der Halbkreiß von auſſen mit der anruͤhrenden Lini machet) kleiner. Woraus dann folget/ daß Euclides den Winkel des Anruͤhrens nicht fuͤr nichts (wie Peletarius) und den Winkel des Halbkreiſſes einem rechten Winkel nicht gleich gehalten habe/ weil er ſonſten ſo ei- nes weitlaͤuffigen Beweiſes nicht haͤtte von noͤhten gehabt. Nun aber/ wann Archimedis Schließart guͤltig iſt/ ſo ſcheinet/ es folge aus derſelben ungezweiffelt/ der Winkel des Halb- kreiſſes ſey einem rechten/ aus geraden Lineen gemachten/ Winkel gleich. Dann ſo er ihm nicht gleich iſt (ſo ſchlieſſet Vieta der beruͤhmte Mathematicus, eben wie Archimedes) ſo wird er entweder groͤſſer oder kleiner ſeyn. Man ſetze erſtlich/ der rechte Winkel ſey groͤſſer/ und nehme einen/ aus geraden Lineen beſtehenden/ Winkel/ der zwar klei- ner als der rechte oder gerade/ aber groͤſſer als der Winkel des Halbkreiſſes ſey; ſo wird man alſobald ſehen/ daß jenes nicht ſeyn koͤnne. Dann daraus wird geſchloſſen werden/ daß der Winkel des Halbkreiſſes auch groͤſſer als der genommene Winkel ſey (der doch groͤſſer als der Halbkreiß zu ſeyn iſt geſetzet worden.) Man ſetze fuͤrs andere/ der gerade Winkel ſey kleiner/ und nehme wieder einen/ von geraden Lineen beſchloſſenen/ Winkel/ der zwar groͤſſer ſey als der gerade/ aber kleiner als der Winkel des Halb- kreiſſes; ſo wird man alſobald wieder ſehen/ daß auch dieſes nicht ſeyn koͤnne. Dann daraus wird geſchloſſen werden/ daß der Winkel des Halbkreiſſes auch kleiner/ als ein jeder genommener ſtumpfer Winkel ſey (der doch umbgekehrt kleiner als jener iſt geſetzet worden.) Derowegen wird endlich der Schluß wider den Euclides und der Euclideer Meinung Von der Kugel und Rund-Seule. Meinung fallen. Uber dieſes/ moͤchte jemand ſagen/ kan ein/ von geraden Lineen beſchloſ- ſener/ Winkel gegeben werden/ der da groͤſſer ſey als der Winkel des Halbkreiſſes/ und ein an- derer/ der da kleiner ſey/ (David Rivalt de Flurance, gibt dieſes von dem Winkel des Anruͤh- rens aus/ aber falſch und ſo wol wider den Euclides als deſſen Gegenpart/ weil dieſe denſelben Winkel gar fuͤr nichts achten/ Euclides aber beweiſet/ daß ein jeder rechtliniſcher Winkel groͤſ- ſer ſey/ und alſo keiner koͤnne gegeben werden/ der kleiner waͤre als gedachter Winkel des An- ruͤhrens) und folget dannoch daraus nicht/ daß auch einer koͤnne gegeben werden/ der ihme gleich ſey. Dieſen doppelten Zweiffel erreget obgemeldter Rivalt de Flurance in der Vorred uͤber dieſes erſte Buch Archimedis/ und benimmet ihn mit einer gemeinen Antwort/ welche kuͤrzlich dahin gehet: Der Winkel des Halbkreiſſes/ wie auch der Winkel des Anruͤhrens/ ha- ben/ dieſer gegen einem jeden rechtliniſchen/ jener gegen einem geraden Winkel ganz keine Ver- haͤltnis (rationem) vermoͤg der 5ten Worterklaͤrung des V. Buchs/ weil nehmlich der Winkel des Anruͤhrens/ ſo oft als man immer wolle/ genommen/ dannoch den allerkleineſten rechtliniſchen/ noch der Winkel des Halbkreiſſes/ nach Belieben vervielfaͤltiget/ einen geraden Winkel uͤbertreffen werde; Archimedes aber vergleiche niemaln zwey ſolche Groͤſſen miteinan- der/ welche keine Verhaͤltnis gegeneinander haben/ und deßwegen/ ob ſchon Archimedis Schließ- art in jenen nicht angehe/ bleibe ſie doch in dieſer Art richtig und unumbgeſtoſſen. Nun iſt zwar nicht ohne/ daß/ wann ſchon gemeldte Schließart in Vergleichung derer krummliniſchen Win- kel mit denen rechtliniſchen/ als die da keine rechte Verhaͤltnis gegeneinander haben/ nicht an- gehet/ dannoch denen Beweißtuhmen Archimedis nichts abgehe/ ſo lang und viel/ biß in Ver- gleichung anderer Groͤſſen/ die eine gewiſſe (ob ſchon nicht jederzeit bekante) Verhaͤltnis ge- gen einander haben/ das iſt/ da eine die andere durch Vervielfaͤltigung ihrer ſelbſten endlich uͤber- trifft/ auch ein Exempel gegeben werde/ da ſie nicht koͤnne ſtatt finden; ſo ſihe ich dannoch meines teihls noch nicht/ warumb man ſich in dieſem Stukk ſo weit bloß geben/ und warumb nicht auch in eben deroſelben ofterwehnten Winkel Vergleichung/ der Grundſatz oder Ausſpruch unſers Archimedis waarhaftig und unumbgeſtoſſen bleiben ſolle; daß nehmlich/ welcher rechtlini- ſcher Winkel weder groͤſſer noch kleiner iſt/ als ein gegebener Winkel des Halbkreiſſes oder An- ruͤhrens/ demſelben nohtwendig gleich ſey. Einmal/ die obige beyde Einwuͤrfe ſind viel zu un- kraͤftig/ die Waarheit gemeldter Schließart zweiffelhaftig zu machen. Dann was den lezten betrifft/ iſt derſelbe gar nicht wider dieſe/ ſondern wider eine viel andere. Ein anders iſt ſagen: Wann eine Groͤſſe (zum Exempel der Winkel des Halbkreiſſes) eine andere/ zwar gleiches Geſchlechtes (verſtehe auch einen Winkel/ dann Winkel muͤſſen mit Winkeln/ Lineen mit Li- neen/ Flaͤchen mit Flaͤchen/ ꝛc. in Anſehung der Gleichheit und Ungleichheit gegeneinander gehalten werden) aber anderer Art (nehmlich einen rechtliniſchen Winkel) hat/ welche groͤſſer iſt/ und wieder eine eben aus derſelben Art/ welche kleiner iſt; ſo muß ſie auch eine in derſelben Art haben/ welche ihr gleich ſey. Ein anders aber iſt ſagen: Wann ein rechtliniſcher Winkel gegeben wird/ der weder groͤſſer noch kleiner iſt als ein gege- bener Winkel des Halbkreiſſes/ ſo muß er demſelben nohtwendig gleich ſeyn. Oder all- gemeiner: Wann eine gegebene Groͤſſe weder groͤſſer noch kleiner iſt als eine andere Groͤſſe (verſtehe gleiches Geſchlechtes/ ob ſchon nicht einerley Art/ wie oben erwehnet) ſo muß ſie denſelbeu nohtwendig gleich ſeyn. Jenes ſtoͤſſet gedachter Einwurf umb/ und machet alſo/ wie mir unten einmal ſehen werden/ des Briſons Kreiß-Vierung (quadraturam circuli) zu nichte; dieſes aber/ welches Archimedis Grundſatz iſt/ gehet er gar nichts an/ wie ein jeder jezt augenſcheinlich ſehen kan.

Der erſte Einwurf aus Vieta iſt etwas ſcheinbarer/ dann er gebraucht recht und unver- aͤndert eben erwehnten Ausſpruch unſers Archimedis/ und will benebens beweiſen/ daß aus demſelben entweder etwas ungereimtes/ oder doch zum wenigſten ein/ dem Euclides ganz wi- driger/ Schluß erfolge; da dann im erſten Fall gedachter Ausſpruch falſch/ im andern ein neuer Streit ſeyn wuͤrde/ ob Euclides oder Archimedes gefehlt haͤtte/ weil beedes neben einander nicht ſtehen koͤnte. Allein/ wann wir recht achtung geben wollen/ ſo wird ſich befinden/ daß ehrngedachter Vieta (ein ſonſten fuͤrtrefflicher Mann) in ſeinem obigen Beweiß (wann er ſich anderſt ſo verhaͤlt/ wie ihn de Flurance angezogen) den jenigen Fehler begangen habe/ welchen Ariſtoteles in ſeiner Sprache ὸ μ ατιον ὡς ατιον nennet/ wann einer nehmlich einen un- gereimten Schluß aus eines andern Satz machet/ und die Schuld auf gemeldten Satz leget/ und alſo ſeine Falſchheit daraus beweiſen will; des Schluſſes Ungereimtheit aber nicht aus demſelben Satz/ ſondern aus etwas anders/ welches er zu ſeinem Beweiß genommen/ und/ da es Fdoch Archimedis Erſtes Buch doch falſch war/ fuͤr gewiß geſetzet hat. Nehmlich der Schluß des Vietæ/ welcher entweder ungereimt oder zum wenigſten wider Euclidem iſt/ kombt nicht her aus dem Ausſpruch Ar- chimedis/ ſondern fuͤrnehmlich aus dem jenigen/ welches er gleich anfaͤnglich in ſeinem Beweiß/ als gewiß ſetzet/ in der That aber falſch und unmoͤglich/ und eben das jenige iſt/ deſſen Wider- ſpiel Euclides in ſeinem 16den Lehrſatz ausdruͤkklich bewieſen hat; daß nehmlich/ wann der rechte Winkel groͤſſer als der Winkel des Halbkreiſſes zu ſeyn geſetzet wird/ alsdann ein recht- liniſcher Winkel koͤnne genommen werden/ der zwar kleiner ſey als der rechte (das iſt/ vermoͤg der XII. Worterklaͤrung im I. Buch/ ein ſpitziger/ acutus) aber groͤſſer als der Winkel des Halbkreiſſes ſey; da doch Euclidis Schluß eben dahin gehet/ daß unmoͤglich ſey/ einen ſpitzigen Winkel zu geben/ der nicht kleiner (will geſchweigen groͤſſer) ſey als der Winkel des Halbkreiſ- ſes: Alſo daß hierinn ein neuer Fehler begangen wird/ welchen Ariſtoteles ἀϳτησιν τ с̓ν ἀρχ, die Lateiner petitionem principii, nennen; in dem nehmlich das Gegenteihl deſſen/ was hat ſollen umbgeſtoſſen werden/ oder eben das/ was hat ſollen bewieſen werden/ an ſtatt des Bewei- ſes gebrauchet wird/ wann anderſt der Schluß Vietæ gerad wider Euclidem/ und nicht viel- mehr wider ſeine Ausleger/ gemeinet iſt. Bleibt alſo die Schließart unſers Archimedis un- fehlbar und unangefochten/ welches hier hat muͤſſen gezeiget werden/ damit nicht etwan der Leſer/ wann ihm anderwerts dergleichen Einwuͤrfe ohne genugſame Antwort moͤchten zu han- den kommen/ die Waarheit derer Archimediſchen Beweißtuhme in Zweifel ziehen moͤchte.

2. Noch eines iſt hier zu bemerken/ und dieſes: Archimedes begehrt unter andern in ſei- nem obigen Beweiß/ man ſoll ihm einbilden/ daß/ einmal umb den Kreiß A ein gleichſeitiges Vielekk beſchrieben werden koͤnne/ welches dem andern umb B aͤhnlich ſey; andersmals auch innerhalb A wieder ein gleichſeitiges Vielekk koͤnne beſchrieben werden/ welches dem andern in- nerhalb B aͤhnlich ſey. Wie nun ſolches geſchehen moͤge/ beweiſet D. Rivalt de Flurance nach- folgender geſtalt:

Es ſey in dem Kreiß A ein gleich- ſeitiges und gleichwinklichtes Vielekk beſchrieben/ deſſen eine Seite ſey DC. Nun ſoll in B einem kleinern Kreiß auch ein ſolches Vielekk eingeſchrieben wer- den/ alſo daß es jenem ganz aͤhnlich ſey. So ſage ich nun/ wann man beyde Kreiß in 4. gleiche Teihl teihlet/ nachmals den Winkel FBE, nach dem 23ſten des I. Buchs/ dem Winkel DAC gleich machet/ ſo ſey FE die Seite des begehr- ten Vielekkes. Dann die 4. gerade Winkel bey A ſind denen 4. geraden bey B gleich. Dero- wegen wird der Winkel FBE ſo oft in dieſen 4. Winkeln enthalten ſeyn/ als DAC in den ſeinen/ und der Bogen FE ſo oft in ſeinem ganzen Umbkreiß/ als DC in dem ſeinen/ alſo daß FE und DC zwo Seiten ſind zweyer Vielekke/ deren eines ſo viel Seiten hat als das andere. Ferner/ weil die Winkel FBE und DAC gleich ſind/ muͤſſen auch die andere beyde BFE und BEF denen andern beyden ADC und ACD gleich ſeyn/ vermoͤg des 5ten im I. B. Und wer- den alſo die beyde Dreyekke BFE und ADC, nach dem 4ten des VI. Buchs/ gleichverhal- tende Seiten haben. Eben dieſes aber kan von allen Dreyekken/ welche in beyden Vielekken enthalten ſind/ bewieſen werden. Derowegen muͤſſen beyde Vielekke/ Kraft der 1ſten Worterklaͤrung im VI. Buch/ einander aͤhnlich ſeyn. Gantz gleichmaͤſſig gehet der Be- weiß/ wann umb A ein Vielekk beſchrieben iſt/ und umb B auch eines/ jenem ganz aͤhnliches ſoll beſchrieben werden.

Der XIV. Lehrſatz/ Und Die Neundte Betrachtung.

Eines jeden gleichſeitigen Kegels Flaͤche/ ohne die Grund- ſcheibe/ iſt gleich einer Scheibe/ deren Halbmeſſer die mittlere gleich- verhal- Von der Kugel und Rund-Seule. verhaltende iſt zwiſchen der Seite des Kegels und dem Halbmeſſer ſeiner Grundſcheibe.

Erlaͤuterung.

Die Grundſcheibe des gleichſeitigen Kegels ſey A; ihr Halbmeſſer/ C; die Seite des Kegels/ D; E aber die mittlere gleichverhaltende zwiſchen D und C; und B endlich die Scheibe von E, als ihrem Halbmeſſer/ beſchrieben. Wird nun geſagt: Die Scheibe B ſey gleich der Flaͤche beſagten Kegels/ jedoch ſeine Grundſcheibe nicht mit gerechnet.

Beweiß.

Der Beweiß dieſes gegenwertigen iſt dem Beweiß des vorhergehenden Lehrſatzes gantz aͤhnlich. Dann ſo gehet Archimedes wieder: Wann die Scheibe B beſagter Kegelflaͤche nicht gleich iſt/ ſo muß ſie entweder groͤſſer oder kleiner ſeyn.

Setzet man/ ſie ſey kleiner/ ſo weiſet er/ wie aus ſolchem Satz folge eben der ungereimte Schluß/ der aus dem erſten Satz des vorhergehenden Beweiſes gefolget iſt.

Vorbereitung.

Solches nun zu beweiſen/ begehrt er wieder 1. Daß/ nach obigem V. Lehrſatz und der 2ten Anmerkung des vorhergehenden/ in und umb A und B gleichſeitige aͤhnliche Vielekke beſchrieben werden/ alſo daß das aͤuſſere umb B gegen dem innern in B eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als obige Kegelflaͤche gegen der Scheibe B. 2. Daß durch Ziehung gerader Lineen/ aus allen Ekken des ſo wol umb als in A beſchriebenen Vielekkes an die Kegelſpitze/ ſo wol innerhalb als auſſer- halb des Kegels eine Spitz-Saͤule beſchrieben eingebildet werde. 3. Daß aus einer Lini/ die da gleich iſt dem ganzen Umblauf des Vielekkes umb A, und dem Halbmeſſer C ein rechtwink- lichtes Dreyekk gemacht werde/ welches gemeld-

tem Vielekk wieder gleich ſey/ wie in vorigem Beweiß KDT geweſen. Hier wol- len wir es A nennen. Ferner 4. Daß aus eben ſolcher Lini/ die da dem ganzen Umblauf des Vielekkes umb A gleich iſt/ und der Seite des Kegels D (das iſt/ der Hoͤhe aller Dreyekke/ aus welchen die ganze Ekkflaͤche der umb den Kegel be- ſchriebenen Spitz-Saͤule beſtehet) ein anders Dreyekk beſchrieben werde/ wel- ches gemeldter Ekkflaͤche gleich iſt/ vermoͤg obigen VIII. Lehrſatzes/ und hier B heiſſen ſoll.

Schluß.

Weil beyde Vielekke umb A und B einander aͤhnlich ſind/ ſo wird/ vermoͤg des 20ſten und 4ten des VI. das Vielekk umb A gegen dem Vielekk umb B ge- doppelte Verhaͤltnis derer jenigen/ welche hat der Halbmeſſer C gegen dem Halb- meſſer E, das iſt/ das Vielekk umb A verhaͤlt ſich gegen dem Vielekk umb B, wie C gegen D, oder (welches gleich viel iſt/ nach dem 1ſten des VI.) wie das Dreyekk F ijA gegen Archimedis Erſtes Buch A gegen dem Dreyekk B, und wechſelweis wie das Vielekk umb A gegen dem Dreyekk A, alſo das Vielekk umb B gegen dem Dreyekk B, nach dem 16den des V. Buchs. Nun iſt aber das Vielekk umb A dem Dreyekk A gleich/ Kraft obigen n. 3. derowegen iſt auch das Vielekk umb B gleich dem Dreyekk B, das iſt/ vermoͤg n. 4. der Ekkflaͤche der umb den Kegel beſchriebenen Spitz-Saͤule. Nun hat aber das Vielekk umb B gegen dem Vielekk in B eine kleinere Verhaͤltnis/ als die Kegelflaͤche gegen der Scheibe B, Kraft obiger Vorbereitung. Derowe- gen hat auch die Ekkflaͤche der umbgeſchriebenen Spitz-Saͤule gegen dem Vielekk in B eine kleinere Verhaͤltnis/ als gedachte Kegelflaͤche gegen der Scheibe B. Und/ weil die Scheibe B groͤſſer iſt als das Vielekk in B, vermoͤg obigen IX. Grundſatzes/ wird mehrerwehnte Ekkflaͤche gegen der Scheibe B umb ſo viel mehr eine kleinere Verhaͤltnis haben als die Kegelflaͤche gegen eben derſelben Scheibe B, nach dem 8ten des V. und alſo/ Kraft des 10den eben dieſes V. Buchs/ wird die Kegelflaͤche groͤſſer ſeyn als die umb ſie beſchriebene Ekkflaͤche/ welches ungereimt und wider die andere Folge des XII. Lehrſatzes iſt. Kan dero- halben die Scheibe B nicht kleiner ſeyn/ als oftbeſagte Kegelflaͤche.

Der andere Satz.

Setzet man dann/ ſie ſey groͤſſer/ ſo bringet Archimedes abermal den unge- reimten Schluß heraus/ der aus dem andern Satz des vorhergehenden Be- weiſes erfolget iſt.

Vorbereitung.

Zu ſolchem End begehrt er 1. Das Vielekk umb B ſoll jezt gegen dem Vielekk in B eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als die Scheibe B gegen der Kegelflaͤche. 2. Daß aus dem ganzen Umblauf des Vielekkes in A, und der Lini/ welche aus dem Mittelpunct auf eine Seite des Vielekkes faͤllet/ und alſo kleiner iſt als C, aber- mals werde ein Dreyekk A, welches gedachtem Vielekk gleich ſey. 3. Aus eben demſelben Umblauf und der Lini/ welche aus der Spitze der eingeſchriebenen Spitz-Saͤule auf eine ihrer Seiten herunter faͤllet/ und/ vermoͤg des 19den im I. Buch/ auch kleiner iſt als D, wieder werde ein Dreyekk B, welches der gan- zen Ekkflaͤche gleich ſey.

Schluß.

Darauf faͤhrt er wieder alſo fort: Das Vielekk in A hat nach dem 20ſten des VI. gegen dem Vielekk in B gedoppelte Verhaͤltnis derer/ welche hat C gegen E, das iſt/ das Vielekk in A verhaͤlt ſich gegen dem Vielekk in B, wie C gegen D. Nun aber hat C gegen D (das iſt/ der Halbmeſſer des Kreiſſes A gegen der Seite des Kegels) eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als die Lini/ welche aus dem Mittelpunct auf eine Seite des Vielekkes faͤllet/ gegen der Lini/ welche aus der Spitz der eingeſchriebenen Spitz-Saͤule auf eine ſolche Seite herunter faͤllet/ (das iſt/ als die Hoͤhe derer Dreyekke/ aus welchen das Vielekk beſtehet/ gegen der Hoͤhe derer Dreyekke/ aus welchen die ganze Saͤulenflaͤche zuſamm geſetzet iſt. Beſihe unten die 1. Anmerkung) oder/ vermoͤg des 1ſten im VI. als das Dreyekk A gegen dem Dreyekk B, oder endlich/ Kraft obiger n. 2. und 3. als das Vielekk in A gegen der Ekkflaͤche der eingeſchriebenen Spitz-Saͤule. Dero- wegen ſo muß auch das Vielekk in A gegen dem Vielekk in B eine groͤſſere Ver- haͤltnis haben/ als ſie hat gegen gemeldter Ekkflaͤche/ und muß alſo das Vielekk in B Von der Kugel und Rund-Seule. in B kleiner ſeyn als gedachte Ekkflaͤche/ nach dem 10den des V. B. Nun aber hat/ Kraft obiger Vorbereitung/ das Vielekk umb B gegen dem Vielekk in B eine kleinere Verhaͤltnis als die Scheibe B gegen der Kegelflaͤche. Darumb muß das Vielekk umb B gegen der Ekkflaͤche (die da groͤſſer iſt als das Vielekk in B) umb ſo viel mehr eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als die Scheibe B gegen der Ke- gelflaͤche. Woraus dann folget (vermoͤg des 10den im V. Buch/ und der fol- genden 2. Anmerkung) daß die eingeſchriebene Ekkflaͤche groͤſſer ſey als die be- greiffende Kegelflaͤche/ welches abermal ungereimt und wider die erſte Folge des obigen XII. Lehrſatzes iſt. Kan derowegen die Scheibe B nicht groͤſſer ſeyn als ofterwehnte Kegelflaͤche. Sie iſt aber auch nicht kleiner/ wie oben erwieſen wor- den. Derowegen muß ſie ihr nohtwendig gleich ſeyn; Welches ſolte bewieſen werden.

Anmerkungen.

1. Daß der Halbmeſſer der Grundſcheibe eines gleichſeitigen Kegels gegen der Seite des Kegels eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als die Lini/ welche aus dem Mittelpunct der Grundſcheibe auf eine Seite des eingeſchriebenen Vielekkes ſenkrecht faͤllet gegen der Lini/ welche von der Spitz des Kegels oder der eingeſchriebenen Spitz-Saͤule auf eben dieſelbe Seite ſenkrecht herunter gezogen iſt (welches Archimedes in ſeinem Beweiß als bekant ſetzet) bewei- ſen wir aus dem Eutokius kuͤrzlich alſo:

Es ſey die Grundſcheibe eines gleichſeitigen Kegels C, ihr Halbmeſſer CM, die Seite des Kegels ML, das eingeſchrie- bene Vielekk FHK; CG die Lini/ die aus dem Mittelpunct C auf die Seite HK ſenkrecht faͤllet/ LG die Lini/ welche aus der Spitze des Kegels oder der eingeſchriebenen Spitz-Saͤule auf HK in G auch ſenkrecht herunter gezogen iſt. So ſage ich nun/ CM habe gegen ML eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als CG gegen GL. Dann wann man GN mit ML gleichlauffend macht/ nach dem 31ſten des I. Buchs/ ſo verhaͤlt ſich CM gegen ML wie CG gegen GN, vermoͤg des 2ten im VI. B. CG aber hat ge- gen GN, nach dem 8ten des V. eine groͤſſere Verhaͤltnis als ge- gen GL (weil GL groͤſſer iſt als GN, aus dem 19den des I. B.) Derhalben hat auch CM gegen ML eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als CG gegen GL. Welches zu beweiſen war.

2. Jm End des Beweiſes iſt geſchloſſen: Weil das Viel- ekk umb B gegen der Ekkflaͤche eine kleinere Verhaͤltnis hat/ als die Scheibe B gegen der Kegelflaͤche/ daß die Ekkflaͤche muͤſſe groͤſ- ſer ſeyn als die begreiffende Kegelflaͤche. Solches erhellet alſo:

Die Scheibe B iſt kleiner als das Vielekk umb B, Krafft obigen IX. Grundſatzes. Darumb muß nohtwendig die Scheibe B gegen gedachter Ekkflaͤche eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als das Vielekk umb B, vermoͤg des 8ten im V. B. Weil dann nun die groͤſſere Verhaͤltnis (des Vielekkes umb B gegen der Ekkflaͤche) ſchon kleiner iſt/ als die Verhaͤltnis der Scheibe B gegen der Kegelflaͤche; ſo muß umb ſo viel mehr die kleinere Verhaͤltnis (der Scheibe B gegen derſel- ben Ekkflaͤche) kleiner ſeyn/ als die Verhaͤltnis eben derſelben Scheibe B gegen der Kegel- flaͤche; und darumb muß/ nach dem 10den des V. die Ekkflaͤche groͤſſer ſeyn als die Kegelflaͤche.

Der XV. Lehrſatz/ Und Die Zehende Betrachtung.

Eines jeden gleichſeitigen Kegels Flaͤche verhaͤlt ſich gegen deſ- F iijſelben Archimedis Erſtes Buch ſelben Grundſcheibe/ wie die Seite des Kegels gegen dem Halbmeſſer der Grundſcheibe.

Erlaͤuterung.

Die Grundſcheibe eines gleichſeitigen Kegels ſey A; ihr Halbmeſſer B; die Seite des Kegels C. E ſey die mittlere gleichverhaltende zwiſchen B und C, nach dem 13den des VI. Und D eine Scheibe/ von E, als ihrem Halbmeſſer/ be-

ſchrieben. Wird nun geſagt: Die Kegelflaͤche verhalte ſich gegen der Kegelſcheibe/ wie C gegen B.

Beweiß.

Die Scheibe D verhaͤlt ſich gegen der Schei- be A wie die Vierung aus E gegen der Vierung aus B, nach der 2ten des XII. B. das iſt/ ver- moͤg des 20ſten im VI. und der 10den Wort- erklaͤrung im V. wie C gegen B. Nun iſt aber des Kegels Flaͤche gleich der Scheibe D, vermoͤg des vorhergehenden XIV. Lehrſatzes/ dero- wegen ſo muß ſich auch die Kegelflaͤche gegen der Scheibe A verhalten/ wie C gegen B. Welches ſolte bewieſen werden.

Der XVI. Lehrſatz/ Und Die Eilfte Betrachtung.

Wann ein gleichſeitiger Kegel von einer ebenen/ ſeiner Grund- ſcheibe gleichlauffenden/ Flaͤche durchſchnitten wird/ ſo iſt die/ zwi- ſchen beyden gleichlauffenden Scheiben (der Grundſcheibe nehmlich und der Scheibe des Durchſchnitts) enthaltene/ Kegelflaͤche gleich einer Scheibe/ deren Halbmeſſer iſt die mittlere gleichverhaltende zwiſchen dem abgeſchnittenen untern Teihl der Kegel-Seite/ und einer Lini/ welche beyder gleichſtehenden Scheiben Halbmeſſern zuſammen gleich iſt.

Erlaͤuterung.

Es ſey ein gleichſeitiger Kegel durch das gleichſeitige Dreyekk ABC (wel- ches durch deſſelben Achs oder Mittel-Lini BG ſtreichet) angedeutet; in DE von einer ebenen/ mit AC gleichlauffenden/ Flaͤche durchſchnitten; welcher Durchſchnitt in dem Kegel eine Scheibe machet/ deren Durchmeſſer DE iſt/ (Beſihe unten die I. Anmerkung.) Ferner ſey eine Scheibe H, deren Halb- meſſer die mittlere gleichverhaltende iſt zwiſchen AD, der abgeſchnittenen Seiten des Kegels/ und einer aus AG und DF zuſamm geſetzten Lini. So ſage ich nun/ die Von der Kugel und Rund-Seule. die Scheibe H ſey gleich der abgeſchnittenen Kegelflaͤche/ welche zwiſchen bey- den gleichſtehenden Scheiben/ DE und AC, enthalten iſt.

Beweiß.

Solches zu beweiſen werden gemacht die Scheibe K, deren Halbmeſſer ſey die mittlere gleichverhaltende zwi- ſchen BD und DF, nach der 13den des VI. B. und wieder eine andere Scheibe L, deren Halbmeſſer ſey die mittlere gleichverhaltende zwiſchen BA und AG. Weswegen dann die Scheibe K der Kegelflaͤche BDE, und die Scheibe L der Kegelflaͤche BAC, gleich ſeyn wird/ vermoͤg des vor- hergehenden XIV. Lehrſatzes/ weil beyde Kegel gleichſeitig ſind. So man nun aus dieſen beyden gleichen Groͤſ- ſen zwey gleiche wegnimbt/ nehmlich die Scheibe K aus der Scheibe L, und die Kegelflaͤche BDE von der Kegelflaͤche BAC, werden die beyde Reſte/ nehmlich die/ zwiſchen bey- den Kreiſſen K und L eingeſchloſſene/ Ringflaͤche/ und die abgeſchnit- tene Kegelflaͤche einander gleich ſeyn. Wann wir nun beweiſen/ daß die uͤberbleibende Ringflaͤche zwiſchen K und L der ganzen Scheibe H gleich

ſey/ oder (welches gleich viel iſt) daß/ wann K aus L genommen wird/ die noch ganze Scheibe H uͤberbleibe/ ſo wird zugleich bewieſen ſeyn/ daß die Scheibe H der abgeſchnittenen Kegelflaͤche DEAC gleich ſey. Jenes nun wird alſo be- wieſen: Das rechtwinklichte Vierekk (kuͤrzer/ das Rechtekk) aus BA und AG gemacht (das iſt/ vermoͤg des 17den im VI. die Vierung des Halbmeſſers L, als die mittlere gleichverhaltende/ Krafft obiger Vorbereitung) iſt gleich dem Rechtekk aus BD und DF ſambt dem Rechtekk aus DA und der aus DF und AG zuſamm geſetzten Lini (Beſihe unten die 2. Anmerkung) das iſt/ der Vie- rung des Halbmeſſers K (welcher iſt die mittlere gleichverhaltende zwiſchen BD und DF) ſambt der Vierung des Halbmeſſers H (welcher iſt die mittlere gleichverhaltende zwiſchen DA und der aus DF und AG zuſamm geſetzten Lini) vermoͤg obiger Vorbereitung und des 17den im VI. B. So man nun von der Vierung des Halbmeſſers L die Vierung des Halbmeſſers K hinweg thut/ ſo bleibet uͤber die Vierung des Halbmeſſers H. Nun aber/ wie ſich die Vierungen derer Halbmeſſer gegeneinander verhalten/ ſo verhalten ſich auch ihre Scheiben gegeneinander/ aus dem 2. des XII. B. Darumb ſo man die Scheibe K aus der Scheibe L hinweg nimbt/ ſo bleibet uͤber die Scheibe H, und iſt alſo/ Krafft obiger Bedingung/ der abgeſchnittenen Kegelflaͤche DE AC gleich. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmer- Archimedis Erſtes Buch

Anmerkungen.

1. Daß der Durchſchnitt des Kegels DE eine Scheibe mache/ wird alſo offenbar: Weil DE und AC gleich lauffen/ verhaͤlt ſich BD gegen BE, wie BA gegen BC, nach dem 2ten des VI. und deßwegen/ weil BA und BC gleich ſind/ werden auch BD und BE gleich ſeyn. Sind demnach auch die Winkel BDC und BEF, und (weil die beyde bey F gerad ſind ſo wol als bey G, nach der 27ſten und 28ſten des I. Buchs) auch die uͤbrige Winkel einan- der gleich/ vermoͤg der 2ten Folge des 32ſten im I. Buch. Woraus dann endlich/ nach der 26ſten gemeldten Buchs/ folget/ daß DF und FE einander gleich ſeyn. Gleicher weiſe/ wann man ein jedes anders/ durch die Achſe des Kegels ſtreichendes/ Dreyekk betrachtet/ wird allezeit bewieſen werden/ daß die gleichlauffende Lini/ welche auf der gleichlauffenden Flaͤche durch die Achſe gezogen wird von einer Seite des Kegels biß zur andern/ in F halbgeteihlet ſey/ das iſt/ daß DF und FE einander gleich ſeyen; alſo daß die durchſchneidende Flaͤche/ vermoͤg der 15den Worterklaͤrung im I. Buch/ nohtwendig eine Scheibe machet; welches zu be- weiſen war.

2. Daß das Rechtekk aus BA und AG ſo groß ſey/ als das Rechtekk aus BD und DF ſambt dem Rechtekk aus DA und DF+AG, weiſet Archimedes in beygeſetzter Figur gleichſam augenſcheinlich/ in dem er be- ſchreibet ein rechtwinklicht Vierekk/ deſſen Durchmeſſer ſey BG; die Seite BA ge- teihlt in D nach Belieben; DFH gleich- lauffend mit AG; durch F eine gleichlauf- fende mit BA, nehmlich KL. Nach wel- cher Verrichtung das Rechtekk aus BA und AG iſt das ganze BG: das Rechtekk aus BD und DF iſt BF, das Rechtekk aus DA und DF iſt DL: und endlich das Rechtekk aus DA und AG iſt KG. Weil X dem M gleich (nach dem 43ſten des

I. Buchs) und alſo X und N zuſammen eben ſo groß ſind als M und N. Jſt alſo fuͤr Augen/ daß das ganze BG ſo groß ſey/ als die andere drey Rechtekke zuſammen.

Eurokins beweiſet es kunſtmaͤſſig alſo: Weil DF und AG gleich lauffen/ vermoͤg der Vorbereitung/ ſo verhaͤlt ſich/ wie BA zu AG, alſo BD zu DF, nach dem 2ten des VI. Derowegen iſt das Rechtekk aus BA und DF (nehmlich BL) gleich dem Rechtekk aus AG und BD (nehmlich BH) vermoͤg des 16den im VI. B. Nun aber iſt das Rechtekk aus BA und DF gleich dem Rechtekk aus BD und DF, ſambt dem Rechtekk aus AD und DF, Krafft des 1ſten im andern Buch. Jſt derowegen das Rechtekk aus BD und AG (nehm- lich BH) gleich denen beyden erſterwehnten/ nehmlich dem Rechtekk aus BD und DF ſambt dem Rechtekk aus AD und DF. So man nun zu beyden ſetzet das Rechtekk aus DA und AG (nehmlich DG) ſo werden die beyde BH und DG (das iſt/ das ganze BG) gleich ſeyn dem Rechtekk aus BD und DF, ſambt denen beyden Rechtekken/ aus AD in DF, und aus AD in DG. Welches zu beweiſen war.

David Rivalt de Flurance bringet die Sache etwas allgemeiner fuͤr/ und machet hieraus dieſen Lehrſatz:

Wann zwey Lineen (als BA und AG in voriger Figur) nach Belieben geteih- let werden (in D und L) ſo wird das Rechtekk/ welches aus beyden ganzen Li- neen gemacht iſt/ gleich ſeyn dreyen Rechtekken zuſammen/ deren erſtes aus beyden erſten Teihlen der beyden Lineen (BD und AL, oder DF) das andere aus dem andern Teihl der erſten/ und dem erſten Teihl der andern (aus DA und AL oder DF) das dritte aus dem andern Teihl der erſten und der ganzen andern (aus DA und AG) gemachet wird.

Es iſt aber dieſer Lehrſatz (welches ich dieſem ſo fuͤrnehmen Mann keines weges zum Schimpf oder Nachteihl/ ſondern allein der Waarheit zu Steuer) will geredet haben/ nicht al- lein des Archimedis Meinung ganz nicht gemaͤß/ ſondern auch ganz falſch/ es ſey dann/ daß noch Von der Kugel und Rund-Seule. noch eine Bedingung hinzu geſetzet werde/ auf welche Archimedes gleichſam nur von fernen deutet/ de Flurance aber nicht genugſame Acht gehabt hat. Dieſes beweiſe ich augenſchein- lich alſo: Es ſeyen Lineen/ BA und AG (BA zum Ex. 6. Sch. AG, 9. Sch. lang) in D und L geteih- let/ alſo daß DB 2. DA, 4. AL, 6. LG, 3. Sch. lang ſey. Wird demnach der ganze Jnnhalt des Rechtekkes BG, 54. □ Sch. ſeyn. Nun haͤlt aber das Rechtekk aus BD und DF, oder AL, 12. Sch. das andere aus DA und AL, 24. das dritte aus DA und AG, 36. und alſo alle drey zuſammen/ 72. welche Summa dann deren vorigen/ 54. Sch. kei- nes weges gleich iſt. Der ganze Fehler aber iſt da- rinnen/ daß/ wann obbeſagtes erfolgen ſolle/ die bey- de Lineen/ BA und AG, nicht nur/ nach Belieben/

geteihlet/ ſondern alſo geteihlet ſeyn muͤſſen/ damit/ wann das Rechtekk BG gemachet/ und die gleichlauffende DH und KL gezogen werden/ der Durchmeſſer BG mitten durch den Punct F ſtreiche/ welches in obiger Figur vom Archimedes ausdruͤkklich bedinget und geſchehen/ in ge- genwertiger aber nicht geſchehen iſt. Mit einem Wort: Die beyde Lineen/ BA und AG, muͤſ- ſen gleichverhaltend (proportionaliter) geteihlet ſeyn/ alſo daß BD gegen DA ſich verhalte/ wie AL gegen LG; in welchem fall das beſagte allezeit richtig erfolget/ als wir deſſen bald her- nach einen augenſcheinlichen/ und zwar allgemeinen/ Beweiß erſtatten wollen.

Dann/ weil es die Gelegenheit alſo gibt/ koͤnnen wir nicht umb/ hierbey dieſes zugleich zu bemerken/ daß dieſer Lehrſatz einer ſey aus der Zahl derer jenigen/ welche eigentlich nicht nur in Lineen/ ſondern auch in Flaͤchen/ Zahlen/ mit einem Wort/ in allen Meſſens- oder Schaͤtzens- faͤhigen Dingen angehen/ und deßwegen nicht in die (Geometriam) Meßkunſt oder Rechen- kunſt (Arithmeticam) ſondern in eine weit uͤber dieſe erhoͤhete allgemeine Wiſſenſchafft gehoͤ- ren/ welche von etlichen Matheſis univerſalis genennet/ und von der andern Weltweißheit un- terſchieden wird/ in Waarheit aber anderſt nichts iſt/ als ein Stuͤkk der erſten und allgemeineſten Weißheit oder Wiſſenſchafft/ welche die Gelehrten Metaphyſicam und Philoſophiam pri- mam zu nennen pflegen/ als welche unter andern/ von ganzen und Teihlen (de toto & parte) von gleichverhaltenden Dingen (de analogis) &c. handelt/ ins gemein und ohne Anſehen/ ob ſolche ganze/ geteihlte/ gleichverhaltende/ ꝛc. Dinge/ Lineen ſeyen oder Flaͤchen/ oder Zahlen/ oder Zeiten/ oder Gewichte/ oder was ſie immer ſeyn moͤgen. Woraus dann flieſſet/ daß viel beſſer/ nuͤtzlicher/ der Ordnung gemaͤſſer ſey/ wann man ſolchen allgemeinen Lehrſaͤtzen auch all- gemeine Beweißtuhme zueignet/ als wann man ſie abſonderlich von denen Lineen/ wieder ab- ſonderlich/ und aus andern Gruͤnden/ von denen Flaͤchen/ wieder abſonderlich von denen Zah- len beweiſet/ und mit ſo vielfacher Muͤhe ausrichtet/ was mit einer Muͤhe geſchehen koͤnte/ und auf jene Weiß auch nicht an gehoͤrigem Ort verrichtet wird. Worzu noch dieſes kommet/ daß ſolche allgemeine Beweißtuhme meiſtenteihls ohne viel und ſchwaͤre Schluͤſſe/ viel leichter und ſchlechter als jene abſonderliche/ und alſo koͤnnen verfaſſet werden/ daß ihre Gewißheit ohne vie- les Nachſinnen alſobalden fuͤr den Augen lige/ und ſie dannoch nicht mechaniſch (wie man zu reden pfleget) ſondern kunſtmaͤſſig und unfehlbar ſeyen. Deſſen nun bey dieſer Gelegenheit dem kunſtliebenden Leſer eine Probe zu weiſen/ will ich nicht nur obigen Lehrſatz/ ſondern auch zugleich die X. erſten des II. Buchs Euclidis (als welche alle in dieſe Zunft gehoͤren) mit der- gleichen allgemeinen Beweißtuhmen hier kuͤrzlich fuͤr Augen legen. Hierzu muß ich mich nun auch einer allgemeinen Red-Art gebrauchen/ und darf deßwegen das Wort vervielfaͤltigen (mul- tipliciren) welches ſich allein auf die Zahlen ſchikket/ hier nicht gebrauchen. Die beſte Red-Art wird die jenige ſeyn/ deren die Meßkuͤnſtler zwar meiſtenteihls bey ihren Lineen/ Flaͤchen/ ꝛc. ſich bedienen; und die aber auch auf die Zahlen ſich nicht ungereimt ſchikket. Dann wann ich/ zum Exempel/ 4 mit 3 vervielfaͤltige (multiplicire) iſt ſolches eben ſo viel/ als ob ich drey/ in ei- ner ſenkrechten Reihe geſtellte/ Unitaͤten durch die gerade Reihe vier anderer hindurch fuͤhrte/ als durch welche eingebildete Bewegung nohtwendig zwoͤlf Unitaͤten entſtehen muͤſſen/ nicht anderſt als wie/ wann eine ſenkrecht ſtehende Lini durch die andere gefuͤhret wird/ durch ſolche Bewegung ein rechtwinklichtes Vierekk gemachet wird/ als aus bey- gefuͤgter Figur deutlich zu erſehen iſt.

GSo Archimedis Erſtes Buch

So koͤnnen auch uͤber dieſes in Erlaͤuterung ſolcher allgemeinen Aufgaben und Lehrſaͤtze die Zifferzahlen/ Lineen/ ꝛc. wie leichtlich zu erachten/ auch keine Statt finden; und werden deßwegen an ihrer Stelle gebrauchet die Buchſtaben/ a, b, c, &c. welche man fuͤr eine jede Zahl/ Lini/ Flaͤche/ ꝛc. nach Belieben ſetzen kan/ alſo daß/ was hernachmals von dieſen allge- meinen Zeichen bewieſen wird/ nohtwendig von allen denen jenigen Dingen/ worfuͤr ſie geſetzet ſeyn/ unfehlbar waar und guͤltig ſeyn muß. Welches alles/ weil es ohne allen Zweiffel (be- nebenſt der Art und Weiſe/ obige allgemeine Zeichen zuſamm zu ſetzen (zu addiren) vonein- ander abzuziehen (zu ſubtrahiren) ineinander zu fuͤhren (zu multipliciren) ꝛc. zum wenigſten/ ſo viel hieher noͤhtig iſt) dem kunſtliebenden Leſer ſchon bekandt iſt/ fernerer Erinnerung nicht benoͤhtiget iſt. Schreite demnach zur Sache ſelbſten/ und gieſſe obigen Lehrſatz in nachfolgende allgemeine Form:

Wann zwey ganze Dinge/ jedes in zwey Teihl/ (das eine/ zum Exempel in a und b, das andere in c und d) gleichverhaltend geteihlet werden/ alſo daß des erſten erſter Teihl gegen ſeinem andern (a gegen b) ſich verhalte/ wie des an- dern erſter Teihl gegen ſeinem andern (wie c gegen d;) ſo iſt das kommende (das product) von beyden ganzen ſo groß als (1) das was kommt aus beyder erſten Teihlen (a und b) ſambt (2) dem was wird aus dem andern Teihl des erſten in den erſten Teihl des andern (aus b in c) und (3) dem was der andere Teihl des erſten/ durch das andere ganz (b durch c+d) gefuͤhret/ hervor bringet.

Beweiß.

Weil a der erſte und b der andere Teihl des erſten ganzen iſt/ ſo muß das ganze ſelbſt ſeyn a+b. Und eben alſo/ weil c der erſte und d der andere Teihl des andern ganzen iſt/ ſo iſt das andere ganze ſelbſt c+d. Wann ich nun denen Bedingungen des obigen Lehrſatzes nachgehe Wann ich ferner fuͤhre (1) a in c, ſo kommt ac. (2) b in c, ſo kommt bc; (3) b in c+d, ſo kommt bc+bd, alſo daß die ganze Summ dieſer dreyer iſt ac+2.bc+bd. Nun ſoll dieſe Summ der obigen gleich ſeyn/ welches alſo erhellet: ac und bc und bd finden ſich zu beyden Seiten. Jſt alſo noch zu beweiſen/ daß ad, welches dorten/ und bc, welches hier uͤber- bleibet/ auch einander gleich ſeyen. Solches iſt nun offenbar daher/ weil/ obigem Satz nach/ a gegen b ſich verhaͤlt/ wie c gegen d, und alſo nohtwendig das/ was wird aus a in d (nehmlich ad) dem kommenden aus b in c (nehmlich bo) gleich ſeyn muß/ vermoͤg des 16den im VI. Buch Euclidis.

Weilen aber dieſer angezogene Lehrſatz bey dem Euclides nicht allgemein (wie es wol ſeyn ſolte) ſondern nur von denen gleichverhaltenden Lineen erwieſen iſt/ koͤnnen wir uns deſſelben mit Recht noch nicht bedienen/ biß er ſeinen allgemeinen Beweiß auch bekomme/ den wir ihme dann bald hernach auch zueignen/ und bey ſolcher Gelegenheit auch das/ ſonſt ſchwaͤre/ V. Buch Euclidis auf gleiche Weiſe mit ſehr leichten und augenſcheinlichen/ und dannoch auch allgemeinen Beweißtuhmen/ gar kurz ausfertigen wollen.

Jndeſſen muͤſſen wir an ſtatt des vorigen Beweiſes/ unſerm unterhanden habenden Lehr- ſatz einen andern verſchaffen/ der zu ſeiner Bekraͤfftigung keines andern beduͤrfe/ ſondern fuͤr ſich ſelbſten offenbar fuͤr Augen lige/ nehmlich dieſen:

Weil die beyde gegebene ganze Dinge gleichverhaltend geteihlet ſind/ ſo koͤnnen wir ihrer Teihle Verhaͤltnis/ ſie ſey wie ſie wolle/ andeuten mit einem/ nach Belieben erkieſeten/ Buch- ſtaben/ zum Exempel mit e; alſo daß/ wann ich den erſten Teihl des erſten a nenne/ der andere ſeyn wird ea; und wann der erſte Teihl des andern heiſſet b, der andere heiſſen muß eb; dann alſo werden a, ea, b, eb, gleichverhaltende Teihle ſeyn/ aus welchen alſo entſpringen die Nahmen derer ganzen/ nehmlich des erſten a+ea und des andern b+eb. Jezt fuͤhre man erſtlich Von der Kugel und Rund-Seule. erſtlich die ganze durcheinander/ hernachmals auch die Teihle/ nach obigen Bedingungen/ ſo wird man augenſcheinlich ſehen/ daß zu beyden Seiten einerley heraus koͤmmt.

Folgen Die zehen erſten Lehrſaͤtze des II. Buchs Euclidis/ mit ihren allgemeinen Be- weißtuhmen.

Wann ein Ding durch ein anders ganzes/ und eben daſſelbe durch alle Teihle deſſelben ganzen gefuͤhret wird/ ſo muß zu beyden Seiten einerley heraus kommen.

Wann ein Ganzes in gewiſſe Teihle nach Belieben geteihlet wird/ ſo kommt einerley/ man fuͤhre gleich daſſelbe Ganze durch ſich ſelbſt/ oder durch alle ſeine Teihle.

Dieſe beyde Lehrſaͤtze beduͤrfen keines Beweiſes/ ſondern beruhen unmittelbar auf dem von Natur bekanten Grundſatz: Daß ein jedes Ganzes allen ſeinen Teihlen zuſammen gleich ſey.

Wann ein Ganzes in zwey Teihle/ nach Belieben/ geteihlet wird/ ſo iſt das kommende aus dem Ganzen in den einen Teihl ſo groß als das/ was da wird aus eben demſelben Teihl in ſich ſelbſt/ ſambt dem gemachten aus beyden Teihlen ineinander.

Beweiß.

Wann ein Ganzes in zwey Teihle nach Belieben geteihlet wird/ ſo iſt das entſpringende aus der Ganzen in ſich ſelbſt ſo groß als das jenige/ was da bringet jeder Teihle abſonderlich in ſich ſelbſt/ ſambt dem gedoppelt/ was aus beyden Teihlen ineinander gemachet wird.

G ij5. Wann Archimedis Erſtes Buch

Wann ein Ganzes geteihlet wird in zwey gleiche/ und wiederumb in zwey ungleiche Teihle/ ſo iſt das gemachte aus beyden ungleichen Teihlen/ ſambt dem Vermoͤgen (potentia, das iſt/ was ein Ding/ durch ſich ſelbſt gefuͤhret/ herfuͤr bringet) des Unterſchiedes (zwiſchen einem gleichen und ungleichen) ſo groß als das Vermoͤgen des halben oder gleichen Teihls.

Es ſey ein ganzes 2a+2b geteihlet in zwey gleiche Teihle a+b und a+b; und in zwey ungleiche/ nehmlich in b und 2a+b. So wird der Unterſchied/ zwiſchen einem glei- chen und einem ungleichen Teihl/ a ſeyn.

Oder:

Es ſey das ganze 2a, ſo ſind die gleiche Teihle a und a, die ungleichen ſeyen b und 2a-b, der Unterſcheid oder Reſt/ a-b.

Daß nun 2ab-bb+aa-2ab+bb auf einer Seiten/ eben ſo viel ſey als aa auf der an- dern/ iſt klar; weil + 2ab und — 2ab, wie auch — bb und + bb einander aufheben/ und alſo aa auch diſſeits allein uͤberbleibet.

Wann zu einem/ in zwey gleiche Teihle geteihlten/ Ganzen etwas/ glei- ches Geſchlechtes/ hinzu geſetzet wird/ ſo iſt das/ was aus der Summ (des ganzen nehmlich und des hinzugeſetzten zuſammen) in das hinzugeſetzte kom- met/ ſambt dem Vermoͤgen des halben Teihls/ gleich dem Vermoͤgen der Summ des halben Teihls und des hinzugeſetzten zuſammen.

Es ſey das ganze 2a, in zwey gleiche Teihle a und a geteihlet; das hinzugeſetzte ſey b; ſo wird die Summ/ des ganzen und des hinzugeſetzten miteinander/ ſeyn 2a+b.

Wann ein Ganzes in zwey Teihle nach Belieben geteihlet wird/ ſo iſt das Vermoͤgen des ganzen ſambt dem Vermoͤgen des einen Teihls ſo groß/ als das/ was da wird aus dem ganzen in eben denſelben Teihl/ gedoppelt/ ſambt dem Vermoͤgen des uͤbrigen Teihls.

8. Wann Von der Kugel und Rund-Seule.

Wann ein Ganzes in zwey Teihle nach Belieben geteihlet wird/ ſo iſt das entſpringende aus dem ganzen in den einen Teihl viermal genommen/ ſambt dem Vermoͤgen des andern Teihls/ gleich dem Vermoͤgen der Summ des ganzen und des vorigen Teihls.

Wann ein Ganzesgeteihlet wird in zwey gleiche/ und wiederumb in zwey ungleiche Teihle/ ſo ſind beyde Vermoͤgen derer ungleichen Teihle/ zuſammen/ zweymal ſo groß als das Vermoͤgen des halben oder gleichen Teihls/ ſambt dem Vermoͤgen des Unterſchiedes zwiſchen einem gleichen und einem un- gleichen.

Oder:

10.

Wann zu einem/ in zwey gleiche Teihle geteihlten/ Ganzen etwas/ glei- ches Geſchlechtes/ hinzu geſetzet wird/ ſo iſt das Vermoͤgen der Summ (welche aus dem ganzen und hinzu geſetzten beſtehet) ſambt dem Vermoͤgen des hinzu geſetzten allein/ zweymal ſo groß als das Vermoͤgen des halben Teihls ſambt dem Vermoͤgen der Summ/ die aus dem halben und hinzugeſetzten beſtehet.

Und dieſes ſind alſo die 10. erſten Lehrſaͤtze des II. Buchs Euclidis/ welche er allein von denen Lineen/ Clavius nachmals durch 10. andere Beweißtuhme auch von den Zahlen wahr- gemachet hat; daß alſo dieſe unſere zehen/ mehr als jene zwanzig/ begreiffen und in ſich halten.

G iijJezt Archimedis Erſtes Buch

Jezt wollen wir unſerm obigen Verſprechen auch ein Genuͤgen thun/ und den 16den (zu- gleich aber auch den 17den) Lehrſatz des VI. Buchs Euclidis auch allgemein machen; aus demſelben nachmals ferner den groͤſſeſten Teihl ſeines V. ſonſt ſchwaͤhren Buchs uͤberaus kurz/ und leicht/ und gleichſam ſpielend/ auf gleiche allgemeine Art beweiſen. Sagen demnach:

16. und 17. des VI. J- tem 19. uñ 20. des VII. 34. des XI. 9. und 15. des XII. B. ꝛc.

1. Wann vier (oder auch drey) Dinge gleichverhaltend ſind/ ſo iſt das kom̃ende aus dem eꝛſten in das lezte eben ſo gꝛoß/ als das gemachte aus beyden mittlern/ oder (ſo nur dreye ſind) als das Vermoͤgen (quadrat) des mittlern.

Es ſeyen a, ea, b, eb, vier gleichverhaltende Dinge (dann durch dieſe vier Gemerke koͤn- nen jede vier bedeutet werden) ſo iſt das/ was da kommt aus dem erſten/ a, in das lezte/ eb, (nehmlich aeb) gleich dem gemachten aus beyden mittlern/ ea, und b (nehmlich dem eab) weil zwiſchen aeb und eab kein anderer Unterſchied iſt/ als einige Verſetzung der Buchſtaben/ wordurch (wie bekant) der Gleichheit nichts benommen wird. Eben alſo ſeynd a, ea, eea, drey unzertrennnet-gleichverhaltende (continuè proportionalia) Dinge; und iſt das ge- machte aus beyden aͤuſſerſten/ a und eea (nehmlich eeaa) gleich dem Vormoͤgen des mittlern/ ea, (nehmlich dem eaea) alſo daß die Waarheit obigen Lehrſatzes/ ohne vieles Nachdenken/ klaͤrlich vor Augen liget/ und dieſer einige/ gleichſam greiffliche Beweiß/ an ſtatt 4. anderer (nehmlich des 16. und 17den im VI. und des 19. und 20ſten im VII. Buch Euclidis) viel ſchwaͤhrerer dienen und genug ſeyn kan; und zum Uberfluß noch den 34ſten des XI. den 9ten und 15den des XII. u. a. m. wuͤrklich in ſich begreiffet.

Es folget aber auch umbgekehrt: Daß

2. Wann das gemachte aus beyden aͤuſſerſten gleich iſt dem kommen- den aus beyden mittlern (oder dem Vermoͤgen des einigen mittleren) ſolche drey oder vier Dinge gleichverhaltend ſeyen.

Dann/ weil aeb und eab einander gleich ſind/ ſo ſey eines davon/ welches man will/ zum Exempel aeb, das Gemaͤchte derer beyden aͤuſſerſten/ und eab derer beyden mittlern. So man nun a nimmt fuͤr das erſte/ und eb fuͤr das lezte/ ſo werden die beyde mittlern ſeyn ent- weder b und ea oder a und eb, oder umbgekehret. Es moͤgen aber dieſe aͤuſſerſte und mittlere genommen werden/ wie ſie immer wollen/ ſo wird man allezeit finden/ daß/ wann man das an- dere teihlet durch das erſte/ und das vierdte durch das dritte/ beyderſeits einerley heraus komme: welches dann ein unfehlbares und fuͤr ſich ſelbſt-bekantes Kennzeichen einrr gleichen Verhaͤltnis iſt. Hieraus koͤnnen nun leichtlich bewieſen werden dieſe folgende Lehrſaͤtze:

Wann vier Dinge gleichverhaltend ſind (wie a gegen ea, alſo b gegen eb) ſo ſind ſie auch gleichverhaltend

1. Umbgekehrt/ wie ea gegen a, alſo eb gegen b.

Dann eab (das Gemaͤchte der aͤuſſerſten) iſt gleich aeb (dem Gemaͤchte der beyden mittlern.)

15. und 16. des V. J- tem 9. 10. und 13. des VII. B.

2. Wechſelweiß/ wie a gegen b, alſo ea gegen eb.

3. Zuſammgeſetzet/ wie a+ea gegen ea, alſo b+eb gegen eb.

18. des V. B.

4. Zerteihlet/ wie a-ea gegen ea, alſo b-eb gegen eb.

17. des V. B.

5. Ver- Von der Kugel und Rund-Seule.

5. Verſammlet/ wie a gegen ea, alſo a+b gegen ea+eb.

1. und 12. des V. J- tem 5. 6. und 12. des VII. B.

II.

Wann ſich/ wie das ganze gegen dem ganzen/ (wie ea gegen eb,) alſo das weg-5. und 19. des V. J- tem 7. 8. 9. des VII. B. genommene gegen dem weggenommenen (a gegen b) verhaͤlt; ſo wird auch das uͤbri- ge gegen dem uͤbrigen (ea-a gegen eb-b) ſich verhalten/ wie das ganze gegen dem ganzen (ea gegen eb.)

Das iſt/ es wird ſeyn wie ea gegen eb, alſo ea-a ad eb-b.

III.

Wann/ in zweyen Reihen/ ordentlich ſich verhalten/3. 20. und 22. des V. Jtem 14. des VII. wie a gegen ea, alſo b gegen eb. Und ferner wie ea gegen eea, alſo eb gegen eeb; ſo verhaͤlt ſich auch gleich-durchgehend (ex æquo) wie a gegen eea, alſo b gegen eeb.

IV.

Wann aber/ in zweyen Reihen/ verwirret ſich verhalten/21. und 23. des V. B. wie eea gegen ea alſo eeeb gegen eeb;* Und ferner/ wie ea gegen a, ✠ ✠ alſo eeb gegen eb. * ſo verhaͤlt ſich wiederumb gleichdurchgehend/ wie eea gegen a, alſo eeeb gegen eb.

Hat alſo (wie die am Rand bemerkete Stellen weiſen/ der kunſtliebende Leſer/ in dieſen 4. Lehrſaͤtzen kuͤrzlich und augenſcheinlich erwieſen alles das jenige (ja noch mehr) was Eucli- des mit 24. abſonderlichen und viel ſchwaͤrern Beweißtuhmen bekraͤfftiget hat. Die noch uͤbri- ge wenige Lehrſaͤtze ſeines V. Buchs/ ſind entweder von Natur bekante Ausſpruͤche/ oder doch alſo beſchaffen/ daß ſie gleicher geſtalt/ wie die obigen/ leichtlich koͤnnen bewieſen werden: Wel- ches wir dann dem Fleiß des begierigen Leſers heimſtellen/ und endlich einmal wieder auf unſern Archimedes kom̃en wollen. Folget derowegen in dieſem ſeinem unter Handen habenden Buch/

Der XVII. Lehrſatz.

Eh er aber denſelben vorbringet/ ſchikket er voran etliche/ von ſeinen Vor- fahren ſchon (wie er ausdruͤkklich meldet) bewieſene Lehr- oder vielmehr Lehen- Saͤtze (Lemmata) deren er in folgenden Beweißtuhmen benoͤhtiget iſt/ nehm- lich dieſe:

1. Die Archimedis Erſtes Buch

Die Kegel/ welche einerley Hoͤhe haben/ verhalten ſich gegen einander wie ihre Grundſcheiben.

Beſihe hiervon den 11. Lehrſatz des XII. Buchs Euclidis.

Die jenige Kegel aber/ welche gleiche Grundſcheiben haben/ verhalten ſich gegen einander wie ihre Hoͤhen.

Jſt bewieſen in vorgemeldtes XII. Buchs Euclidis 14den Lehrſatz.

Wann eine Rundſaͤule von einer/ ihrer Grundſcheibe gleich- lauffenden/ Flaͤche durchſchnitten wird/ ſo verhaͤlt ſich eine Rund- ſaͤule gegen der andern/ wie eine Achſe oder Mittel-Lini gegen der andern.

Dieſes wird abermal in erſtangezogenem XII. Buch Euclidis gefunden/ und iſt der 13de Lehrſatz deſſelben.

Die Kegel/ welche mit etlichen Rundſaͤulen auf einerley Grund- ſcheiben ſtehen/ und (verſtehe ein jeder Kegel mit ſeiner Rundſaͤule) einerley Hoͤhe haben/ verhalten ſich gegen einander eben ſo wie eine Rundſaͤule gegen der andern.

Dann/ wie ein Kegel ſich verhaͤlt gegen ſeiner Rundſaͤule/ alſo auch der andere gegen der ſeinigen/ vermoͤg des 10den im XII. B. darumb muß auch/ wechſelweiß/ ein Kegel gegen dem andern ſich verhalten/ wie eine Rundſaͤule gegen der andern.

Die Hoͤhen gleicher Kegel haben eine gleiche/ aber wiederkehr- liche/ Verhaͤltnis mit ihren Grundſcheiben; und/ welcher Kegel Hoͤhen und Grundſcheiben/ eine ſolche wiederkehrliche Verhaͤltnis gegen einander haben/ dieſelbe ſind einander gleich.

Das iſt: Wann zwey Kegel einander gleich ſind/ ſo verhaͤlt ſich/ wie die Grundſcheibe des erſten gegen der Grundſcheibe des andern/ alſo wiederkehr- lich (reciprocè) die Hoͤhe des andern gegen der Hoͤhe des erſten. Der Be- weiß iſt zu finden in dem 15den des XII. Buchs.

Die jenige Kegel/ derer Grundſcheiben Durchmeſſer mit ihren Hoͤhen einerley Verhaͤltnis haben (das iſt/ nach der 24ſten Wort- erklaͤ- Von der Kugel und Rund-Seule. erklaͤrung des XI. Buchs/ welche einander aͤhnlich ſind) haben gegen ein- ander eine dreyfache Verhaͤltnis der jenigen/ die ihre Durchmeſſer gegen einander haben.

Jſt ofterwehnten XII. Buchs Euclidis 12ter Lehrſatz/ worauf nun/ in der Ordnung dieſes gegenwaͤrtigen Buchs/ endlich folget/

Der XVII. Lehrſatz/ Und Die Zwoͤlfte Betrachtung.

Wann zween gleichſeitige Kegel ſind/ und des einen aͤuſſere Flaͤche der Grundſcheibe des andern gleich/ die Lini aber/ welche in jenem/ aus dem Mittelpunct der Grundſcheibe auf die Seite des Kegels ſenkrecht faͤllet/ der Hoͤhe des andern Kegels gleich iſt/ ſo werden die Kegel auch einander gleich ſeyn.

Erlaͤuterung.

Es ſeyen zweene gleichſeitige Kegel ABC, und DEF, und dieſes lezteren aͤuſſere Flaͤche jenes Grundſcheibe gleich (wel- ches/ Krafft obigen 14den Lehrſatzes/ geſchicht/ wann BC die mittlere gleichverhaltende iſt zwiſchen DH und HE) wie auch die Lini/ welche aus dem Mittelpunct H auf die Seite DE ſenkrecht gezogen wird/ gleich der Hoͤhe AG. So ſage ich/ gemeldte beyde Kegel muͤſſen auch einander gleich ſeyn.

Beweiß.

Weil die Kegelflaͤche DEF der Grundſcheibe BC gleich

iſt/ nach obiger Bedingung/ ſo werden ſie beyde gegen der Grundſcheibe EF einerley Verhaͤltnis haben/ nach dem 7den des V. Buchs. Nun aber verhaͤlt ſich die Kegelflaͤche DEF gegen ihrer Grundſcheibe EF (vermoͤg des vorhergehenden 15den Lehrſatzes) wie die Seite DE gegen dem Halbmeſſer HE; das iſt (vermoͤg des 8ten im VI. B.) wie DH gegen HK, oder (weil HK und AG gleich ſind) gegen AG. Dero- wegen verhaͤlt ſich auch die Grundſcheibe BC gegen der Grund-

ſcheibe EF, wie die Hoͤhe DH gegen der Hoͤhe AG, und muͤſſen alſo (nach dem 5ten naͤchſt vor dieſem entlehnten Satz) die beyde Kegel einander gleich ſeyn. Welches ſolte bewieſen werden.

HDer Archimedis Erſtes Buch

Der XVIII. Lehrſatz/ Und Die Dreyzehende Betrachtung.

Einem jeden/ aus gleichſeitigen Kegeln gemachten/ Doppel- Kegel (Rhombo ſolido) iſt gleich der jenige Kegel/ deſſen Grund- ſcheibe ſo groß iſt als die Flaͤche des einen Kegels (woraus der Doppelkegel beſtehet;) die Hoͤhe aber gleich der Lini/ welche von der Spitze des andern/ auf eine verlaͤngerte Seite jenes erſten/ ſenkrecht herunter faͤllet.

Erlaͤuterung.

Der bemeldte Doppel-Ke- gel ſey ABCD, beſtehend aus zweyen glechſeitigen Kegeln A BC und DBC, deren gemeine Grundſcheibe iſt BC, die ganze Hoͤhe AD. Neben dieſen ſey auch ein anderer Kegel HGK, deſſen Grundſcheibe gleich der Flaͤche des Kegels ABC; ſeine Hoͤhe/

HL, aber gleich der Lini DF, welche aus der Spitze D auf die verlaͤngerte Seite AB ſenkrecht gezogen iſt. Wird nun geſagt/ dieſer erſtbeſchriebene Kegel H GK ſey dem Doppel-Kegel AB CD gleich.

Beweiß.

Solches zu beweiſen/ werde noch ein anderer Kegel MNX geſetzt/ deſſen Grundſcheibe MX und Hoͤhe NO gleich ſeyen der Grundſcheibe und Hoͤhe des Doppel-Kegels. Weil dann nun NO und AD gleich ſind/ ſo verhaͤlt ſich NO zu AE wie AD zu AE, nach dem 7den des V. Nun verhaͤlt ſich aber AD zu AE, wie der Doppel-Kegel ABCD gegen dem einfachen Kegel ABC, (Beſihe unten die 1. Anmerkung.) Derowegen verhaͤlt ſich auch NO zu AE, wie der Doppel-Kegel ABCD gegen dem Kegel ABC. Es verhaͤlt ſich aber auch (weil die Grundſcheiben BC und MX einander gleich gemachet ſind) NO zu AE, wie der Kegel MNX gegen dem Kegel ABC, nach dem naͤchſt- vorhergehenden 2ten Lehenſatz; und haben alſo/ vermoͤg des 11ten im V. B. der Von der Kugel und Rund-Seule. der Doppel-Kegel ABCD und der Kegel MNX, gegen dem Kegel ABC einer- ley Verhaͤltnis; woraus dann ferner folget/ daß ſie auch einander gleich ſeyen/ nach dem 9ten gemeldten V. Buchs. Weil aber ferner die Kegelflaͤche ABC gleich iſt der Grundſcheibe GK, und die Grundſcheibe BC der Grundſcheibe MX, Krafft obigen Satzes; ſo verhaͤlt ſich die Scheibe GK gegen der Scheibe MX, wie die Kegelflaͤche ABC gegen ihrer eigenen Grundſcheibe BC; nach dem 7den des V. Buchs; das iſt (vermoͤg des obigen XV. Lehrſatzes) wie AB gegen BE, oder (weil die beyde Dreyekke ABE und ADF gleichwinklicht ſind; Beſihe unten die 2. Anmerkung) wie AD gegen DF, nach der 4ten des VI. oder noch ferner/ wie NO (gleich AD) gegen HL (gleich DF.) Haben alſo der beyden Kegel HGK und NMX ihre Hoͤhen und Grundſcheiben eine wider- kehrliche Verhaͤltnis gegeneinander/ und ſind dannenhero einander gleich/ nach dem 5. naͤchſtvorhergeſchikkten Lehenſatz. Es iſt aber eben dem Kegel MNX (dem der Kegel HGK hier gleich iſt) auch der Doppel-Kegel/ ABCD, gleich/ als wir oben erwieſen haben. Folget demnach aus der gemeinen Vernunft-Re- gel/ daß auch der Kegel HGK dem Doppel-Kegel ABCD gleich ſey: Welches ſolte bewieſen werden.

Anmerkungen.

1. Daß AD zu AE ſich verhalte/ wie der Doppel-Kegel ABCD gegen dem einfachen ABC, erhellet alſo: Weil die beyde Kegel ABC, DBC einerley Grundſcheiben haben/ ſo verhalten ſie ſich gegen einander wie ihre Hoͤhen/ nach obigem 2. Lehenſatz. Das iſt/ DBC iſt gegen ABC, wie DE gegen AE; derowegen wird auch zuſammgeſetzet/ DBC+ABC (das iſt/ der ganze Doppel-Kegel ABCD) gegen ABC ſich verhalten/ wie DE+AE (das iſt/ die ganze AD) gegen AE.

2. Daß die beyde Dreyekke ABE und ADF gleichwinklicht ſeyen/ iſt offenbar. Dann die beyde bey E und F ſind/ vermoͤg obigen Satzes/ gerade Winkel; der bey A aber iſt bey- den Dreyekken gemein; ſo muß derowegen auch der dritte ABE dem dritten ADF gleich ſeyn/ nach der 2. Folge des 32ſten im I. Buch.

Der XIX. Lehrſatz/ Und Die Vierzehende Betrachtung.

Wann ein gleichſeitiger Kegel von einer/ ſeiner Grundſcheibe gleichlauffenden/ Flaͤche durchſchnitten/ und von der Scheibe des Durchſchnittes ein anderer Kegel/ deſſen Spitze den Mittelpunct der Grundſcheibe beruͤhre/ unterſich beſchrieben/ und ſo dann der daher entſtehende Doppel-Kegel von dem vorigen ganzen Kegel weggenommen wird; ſo iſt das uͤbrige Stuͤkk gleich einem Kegel/ deſſen Grundſcheibe ſo groß iſt als die/ zwiſchen beyden gleichlauf- fenden Scheiben enthaltene/ Kegelflaͤche/ die Hoͤhe aber gleich der jenigen Lini/ welche aus dem Mittelpunct der Grundſcheibe des erſten Kegels auf eine ſeiner Seiten ſenkrecht gezogen wird.

H ijErlaͤu- Archimedis Erſtes Buch

Erlaͤuterung.

Es ſey ein gleichſeitiger Kegel ABC, von einer/ mit AC gleichlauffenden/ Flaͤche DE zerſchnitten/ da dann/ vermoͤg der 1. Anmerkung bey obigem XVI. Lehrſatz/ der Durchſchnitt eine/ mit der Grundſcheibe gleichlauffende/ Scheibe machet. Auf dieſer Scheibe DE ſey ferner ein Kegel unterſich beſchrie- ben/ alſo daß ſeine Spitze ſey F, der Mittelpunct der Grundſcheibe/ und daher entſtehe der Doppel-Kegel BDFE; welcher/ von dem ganzen Kegel ABC weg- genommen/ uͤberlaͤſſet das Kegel-Stuͤkk DAFEC. Es ſey ferner gegeben der Kegel HKL, deſſen Grundſcheibe ſo groß iſt als die/ zwiſchen DE und AC enthaltene Kegelflaͤche; ſeine Hoͤhe aber gleich der Lini FG, die da aus dem Mittelpunct F auf die Seite BA ſenkrecht gezogen iſt. So ſage ich nun: Die- ſer Kegel HKL ſey gleich dem Kegel-Stuͤkk ADFEC, welches/ nach weg- genommenem Doppel-Kegel/ von dem Kegel ABC uͤbrig bleibet.

Beweiß.

Zu leichterem Beweiß ſeyen geſetzet noch zween andere Kegel/ alſo daß die Grundſcheibe des einen/ MX, gleich ſey der Kegelflaͤche ABC; die Grund- ſcheibe des andern/ OR, der Kegelflaͤche DBE; beyder Hoͤhen aber gleich der ſenkrechten Lini FG. Woraus dann alſobald folget/ daß nicht allein der Kegel MNX dem Kegel ABC, ſondern auch der Kegel OPR dem Doppel-Kegel BDFE gleich ſey/ nach denen beyden vorhergehenden XVII. und XVIII. Lehrſaͤtzen. Weil dann nun die Grundſcheibe OR gleich iſt der Kegelflaͤche DBE, die Grundſcheibe HL aber gleich der uͤbrigen/ zwiſchen DE und AC enthaltenen Kegelflaͤche/ Krafft obigen Satzes; ſo iſt klar/ daß die beyden Grundſcheiben OR und HL zuſammen ſo groß ſeyen als die ganze Kegel- flaͤche ABC. Nun iſt aber auch (vermoͤg naͤchſtvorhergehender Vorberei- tung) die Grundſcheibe MX der ganzen Kegelflaͤche ABC gleich. Derowe- gen muß auch eben dieſe Grundſcheibe MX ſo groß ſeyn/ als die beyde Grund- ſcheiben OR und HL zuſammen; Und ferner/ weil die 3. Kegel MNX, OPR und HKL, alle einerley Hoͤhe haben/ und alſo (vermoͤg des 1. obigen Lehen- ſatzes) ſich gegen einander verhalten/ wie ihre Grundſcheiben/ wird der Kegel MNX denen beyden Kegeln OPR und HKL zuſammen gleich ſeyn. Weil aber Von der Kugel und Rund-Seule. aber eben der Kegel MNX dem Kegel ABC gleich iſt/ als wir oben erwieſen/ ſo werden auch die beyde Kegel OPR und HKL zuſammen dem Kegel ABC gleich ſeyn. Es iſt aber (wie oben abermal ſchon bewieſen) der Kegel OPR dem Doppel-Kegel BDFE gleich; derohalben muß nohtwendig der uͤbrige Kegel HKL dem uͤbrigen Kegelſtuͤkk ADFEC gleich ſeyn. Welches zu be- weiſen war.

Der XX. Lehrſatz/ Und Die Yuͤnfzehende Betrachtung.

Wann in einem/ aus gleichſeitigen Kegeln beſtehenden/ Dop- pel-Kegel/ der eine von einer/ mit der Grundſcheibe gleichſtehenden/ Flaͤche durchſchnitten; und von der Scheibe des Durchſchnittes ein Kegel/ der mit dem andern Teihl des Doppel-Kegels einerley Spitze habe/ unter ſich beſchrieben; und ſo dann der/ daher ent- ſtehende/ neue Doppel-Kegel von dem vorigen ganzen Doppel- Kegel weggenommen wird; ſo iſt das uͤbrige Stukk gleich einem Kegel/ deſſen Grundſcheibe ſo groß iſt als die/ zwiſchen beyden gleichſtehenden Scheiben enthaltene/ Kegelflaͤche; die Hoͤhe aber gleich der Lini/ welche aus der Spitze des einen (unzerteihlten) auf die (verlaͤngerte) Seite des andern (durchſchnittenen) Ke- gels ſenkrecht herunter faͤllet.

Erlaͤuterung.

Es ſey/ zum Exempel/ gegeben der Doppel-Kegel ABCD, beſtehend aus zweyen gleichſeitigen Kegeln ABC und ADC, deren jener von einer/ mit AC gleichlauffenden/ Flaͤche EF durch- ſchnitten/ auf der Scheibe EF aber der Kegel EDF unterſich beſchrie- ben ſey; wordurch alſo entſtehet ein neuer Doppel-Ke- gel EBDF, wel- cher/ von dem vo- rigen Doppel-Ke- gel ABCD hin- weg genommen/ uͤ- berlaͤſſet das Dop- pel-Kegel-Stuͤkk

AEDFCD. Es ſey ferner der Kegel HLK alſo gegeben/ daß ſeine Grund- H iijſcheibe Archimedis Erſtes Buch ſcheibe HK ſo groß ſey als die/ zwiſchen AC und EF enthaltene Kegelflaͤche; ſeine Hoͤhe aber gleich der Lini DG, welche von der Spitze des unzerteihlten Kegels ADC auf die verlaͤngerte Seite AB des andern durchſchnittenen ſenk- recht herunter faͤllet. So ſage ich nun: Dieſer/ alſo beſchriebene/ Kegel HLK ſey gleich dem obgemeldten uͤberbleibenden Doppel-Kegel-Stuͤkk AEDFCD.

Beweiß.

Solches nun zu beweiſen/ ſeyen gemachet noch zween andere Kegel MNX und OPR, alſo daß (nach obigem XIV. Lehrſatz) die Grundſcheibe MX gleich ſey der Kegelflaͤche ABC, die Grundſcheibe OR, der Kegelflaͤche EBF, beyder Hoͤhen aber gleich der ſenkrechten Lini DG. Woraus dann alſobald folget/ daß der Kegel MNX dem Doppel-Kegel ABCD, und der Kegel OPR dem Doppel-Kegel EBFD gleich ſey/ nach dem XVIII. obigen Lehrſatz. Nun iſt die Grundſcheibe MX gleich denen beyden Grundſcheiben OR und HK zuſammen; weil dieſe beyde zuſammen der ganzen Kegelflaͤche ABC gleich ſind (dann OR iſt gleich der Kegelflaͤche EBF, und HK ſo groß als die uͤbrige Kegelflaͤche AEFC, vermoͤg obigen Satzes und Vorbereitung) welcher Ke- gelflaͤche ABC auch die Grundſcheibe MX, Krafft ebengemeldter Vorbe- reitung/ gleich iſt. Derowegen/ weil ferner die 3. Kegel MNX, OPR und HLK alle einerley Hoͤhe/ DG, haben/ und alſo (vermoͤg obigen 1. Lehen- ſatzes) ſich gegen einander verhalten wie ihre Grundſcheiben/ muß der Kegel MNX denen beyden Kegeln OPR und HLK zuſammen gleich ſeyn. Nun iſt aber MNX gleich dem Doppel-Kegel ABCD, als wir oben ſchon erwieſen; ſo muͤſſen demnach die beyde Kegel OPR und HLK zuſammen/ erſtgemeldtem Doppel-Kegel ABCD auch gleich ſeyn/ und alſo (weil der Kegel OPR dem Doppel-Kegel EBFD gleich iſt/ wie abermals oben ſchon bewieſen worden) der Kegel HLK dem uͤbrigen Doppel-Kegel-Stuͤkk AEDFCD gleich ver- bleiben. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Der XXI. Lehrſatz/ Und Die Sechzehende Betrachtung.

Wann in einem Kreiß ein Vielekk von gleichen/ und an der Zahl geraden/ Seiten eingeſchrieben wird/ nachmals jede zwey/ gegen einander uͤber ſtehende/ Ekke durch Quehrlineen (die dann alle einander gleich lauffen/ zuſamm gezogen werden; ſo verhalten ſich alle ſolche Quehrlineen zuſammen/ gegen des Kreiſſes Durch- meſſer/ wie die Lini/ welche der Helfte aller Seiten/ weniger eine/ unterzogen iſt/ gegen einer Seite des Vielekkes.

Erlaͤu- Von der Kugel und Rund-Seule.

Erlaͤuterung.

So ſey nun in einem gegebenen Kreiß ABCD eingeſchrieben ein Vielekk AEFBGHCMNDLK, deſſen Seiten nicht allein alle einander gleich/ ſon- dern auch an der Zahl gerad (als wie hier 12) ſeyen. Jede zwey ge- gen einander uͤber ſtehende Ekke (als E und K, F und L, &c.) ſeyen ferner zuſamm gezogen mit denen Quehrlineen EK, FL, BD, GN, HM, welche alle einander gleich lauffen (wie hier Archime- des als bekandt ſetzet/ wir aber un- ten in der 1. Anmerkung beweiſen wollen.) So wird nun geſagt: Die bemeldte Quehrlineen alle zu- ſammen/ (EK+FL+BD+ GN+HM) haben gegen dem Durchmeſſer AC eben die Ver- haͤltnis/ als da hat die Lini EC

(welche der Helfte aller Seiten/ weniger eine/ nehmlich hier fuͤnfen/ unterzogen iſt) gegen einer Seite des Vielekkes/ AE.

Beweiß.

Weil nicht allein EK, FL, &c. ſondern auch EA, FK, BL, GD, HN, (die man auch als gezogen ihme einbilden muß) gleichlauffend ſeyn/ vermoͤg folgender Anmerkung; ſo ſind nicht allein die Scheitel- oder Creutzwinkel (verticales) AXE und KXO, ſondern auch die Wechſel-Winkel (alterni) XAE und XOK, wie auch AEX und XKO, einander gleich/ und alſo beyde Dreyekke AEX und XKO gleichwinklicht/ nach dem 15den und 29ſten des I. Buchs. Welches eben auf gleiche Weiſe von denen beyden Dreyekken XKO und OFP; wie auch von OFP und PLR; ſo dann von PLR und RBS; fer- ner von RBS und SDT, von SDT und TGY, von TGY und YNQ, von YNQ und QHZ, und endlich von QHZ und ZMC, erwieſen wird. Sind derowegen/ vermoͤg des 4ten im VI. B. die Seiten aller dieſer Dreyekke gleich- verhaltend/ das iſt/ wie EX gegen XA, alſo KX gegen XO: und wie KX ge- gen XO, alſo FP gegen RO; und wie FP gegen PO, alſo LP gegen PR; und wie LP gegen PR, alſo BS gegen SR; und wie BS gegen SR, alſo DS gegen ST; und wie DS gegen ST, alſo GY gegen YT; und wie GY gegen YT, alſo NY gegen YQ; und wie NY gegen YQ, alſo HZ gegen ZQ; und wie HZ gegen ZQ, alſo MZ gegen ZC. Woraus dann folget der Schluß/ nach dem 12ten des V. B. daß/ wie ſich verhaͤlt ein Vorher gehendes gegen ſeinem Folgenden (unum antecedentium ad ſuum conſequens) EX gegen XA, alſo ſich verhalten alle Vorhergehende miteinander/ gegen allen ihren Folgern mit- einander/ nehmlich EX+KX+FP+LP+BS+DS+GY+NY+ HZ+MZ gegen AX+XO+PR+RS+ST+TY+YQ+QZ+ZC; das iſt/ alle Quehrlineen EK, FL, &c. gegen dem ganzen Durchmeſſer AC. Nun aber (weil AEC ein gerader Winkel iſt/ nach dem 31ſten des I. B. und Archimedis Erſtes Buch und EX auf AC ſenkrecht ſtehet (Beſihe unten die Anmerkung) ſo verhaͤlt ſich (nach dem 8ten des VI. und der 1ſten Worterklaͤrung eben deſſelben Buchs) wie EX gegen XA, alſo CE gegen AE. Derohalben verhalten ſich auch alle Quehrlineen/ EK, FL, &c. zuſammen gegen dem Durchmeſſer AC wie EC gegen AE, nach dem 11ten des V. B. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkungen.

1. Archimedes ſetzet gleich anfaͤnglich/ als bekandt/ daß die obiger maſſen gezogene Quehrlineen gleichlauffend ſeyen. Solches beweiſet D. Rivalt de Flurance ohngefehr nach- folgender geſtalt: EF und KL (in obiger Figur) wie auch KF und EL (welche leztere man auch als wuͤrklich gezogen einbilden muß) ſind einander gleich/ aus dem 29. des III. Buchs/ EK aber iſt gemein/ alſo daß alle und jede Seiten des Dreyekkes KEF, und deßwegen auch alle und jede Winkel deſſelben/ allen und jeden Seiten und Winkeln des Dreyekkes EKL gleich ſind/ nach dem 8ten des I. Buchs. Weil nun des Vierekkes EKLF zwey entgegengeſetzte Winkel/ EKL und EFL zuſammen zweyen geraden Winkeln gleich ſind/ vermoͤg des 22ſten im III. B. ſo werden auch (weil EKL und KEF gleich ſind/ als erſt bewieſen) die zween in- nere auf einer Seite ſtehende Winkel/ KEF und EFL, zweyen geraden Winkeln gleich/ und alſo/ (nach dem 28ſten des I. Buchs) die zwey Lineen EK und FL gleichlauffend ſeyn. Eben dieſes wird auf ganz gleiche Weiſe von EK und BD, &c. wie auch von denen andern Li- neen FK, BL, GD, &c. bewieſen/ wie der verſtaͤndige Leſer leichtlich ſehen wird.

2. Daß EX auf AC ſenkrecht ſtehe/ iſt in dem Beweiß auch/ als ſchon bekant/ geſetzet worden/ und wird leichtlich kund/ wann man ihme einbildet/ als ob die Lineen SE und SK aus dem Mittelpunct S gezogen waͤren. Dann SE und SK ſind gleich/ wie auch (nach obigem Satz) AE und AK; SA aber iſt gemein; daß alſo die zwey Dreyekke SAK und SAE, und die zween/ eben ſo genannte/ Winkel bey A einander gleich ſind/ nach der Folge des 8ten im I. B. Nun ſind aber auch die zwey Seiten KA und AX, denen beyden Seiten EA und AX einan- der gleich. Derowegen ſind auch die Grundlineen KX und EX einander gleich/ vermoͤg des 4ten im I. und alſo AX (oder AC) auf EK (oder EX) ſenkrecht/ nach dem 3ten des III. Buchs. Welches zu beweiſen war.

Der XXII. Lehrſatz/ Und Die Siebenzehende Betrachtung.

Wann innerhalb eines Kreißſchnittes (ſegmenti) ein Vielekk eingeſchrieben wird/ deſſen Seiten (ausgenommen die Grund- lini) alle einander gleich/ und an der Zahl gerad ſind; nachmals die/ mit der Grundlini gleichlauffende/ Quehrlineen von Ekk zu Ekk gezogen werden; ſo verhalten ſich alle dieſe Quehrlineen zu- ſammen/ ſambt der halben Grundlini/ gegen der Hoͤhe des Kreiß- ſchnittes/ wie die Lini/ welche von einem Endpuncten des Durch- meſſers auf die (dem andern Endpuncten naͤchſte) Seite gezogen wird/ gegen eben dieſelbe Seite des Vielekkes.

Erlaͤuterung.

Es ſey in dem Kreißſchnitt ABCA eingeſchrieben das Vielekk AEFBGH CA, deſſen Seiten (ausgenommen die Grundlini AC) alle einander gleich/ und/ Von der Kugel und Rund-Seule. und/ der Anzahl nach/ gerad (als hier ſechſe) ſeyen. Ferner ſeyen ge- zogen die Quehrlineen FG, EH. So wird nun geſagt: Die be- meldte Quehrlineen ſambt der hal- ben Grundlini (FG+EH+AX) verhalten ſich gegen der Hoͤhe des Kreiß- oder Abſchnittes/ BX, wie DF gegen der Seite FB.

Beweiß.

Dieſer iſt ganz gleich dem vor- hergehenden. Dann/ weil nicht nur FG, EH und AC, ſondern auch EG, und AH, eben wie dor- ten/ gleichlauffend ſind; wie nicht

weniger BD auf alle/ mit AC gleichlauffende/ ſenkrecht faͤllet/ ſo folget wieder/ daß/ wie KF gegen KB, alſo GK gegen KL, und EM gegen LM, und HM gegen MN, und AX gegen XN ſich verhalte; und deßwegen auch verſammlet/ FG+EH+AX gegen BX, wie KF gegen KB, das iſt/ wie DF gegen FB. Welches ſolte bewieſen werden/ und aus vorhergehendem Beweiß und deſſelben Anmerkungen deutlich zu ſehen iſt.

Folge/ oder Anhang.

Es ſey in einer Kugel derer groͤſſeſten Kreiſſe einer/ ABCD, und in demſelben eingeſchrieben ein gleichſeitiges Vielekke/ alſo daß die Zahl ſeiner Seiten durch 4. koͤnne aufgehoben werden. AC und BD ſeyen die Durchmeſſer. So man ihme nun einbildet/ wie der Kreiß ABCD, ſambt ſeinem ein- geſchriebenen Vielekk/ umb den unbeweglichen Durchmeſſer AC herumbgewaͤlzet werde/ ſo iſt of- fenbar/ daß der Kreiß ABCD, durch ſeinen Umblauf/ eine Ku- gel; die Winkel aber des Vielek- kes (ausgenommen die zween A und C) auf gemeldter Kugel- flaͤche gewiſſe Kreiſſe beſchreiben/ welche uͤber dem Kreiß ABCD winkelrecht ſtehen/ und deren

Durchmeſſer ſind die von Ekk zu Ekk gezogene/ und mit BD gleich- lauffende/ Lineen (nehmlich FM, GN, &c. Die Seiten aber des JViel- Archimedis Erſtes Buch Vielekkes werden durch ihre Bewegung etliche Kegel beſchreiben/ und zwar die Seiten AF und AN den jenigen Kegel/ deſſen Grund- ſcheibe beſchrieben iſt von dem Durchmeſſer FN, ſeine Spitze aber/ der Punct A. Die Seiten FG und NM aber werden durch ihren Umblauf bezeichnen eine Kegelflaͤche/ deren Grundſcheibe die Lini MG zum Durchmeſſer hat/ und deren Spitze faͤllet in den jenigen Punct/ in welchem die Lineen FG und NM, wann ſie verlaͤngert werden/ ſambt dem verlaͤngerten Durchmeſſer AC, zuſammen kommen. Alſo auch GB und MD werden ſich bewegen nach einer Kegelflaͤche/ welche zur Grundſcheibe hat die/ von BD beſchriebene und auf ABCD ſenkrecht ſtehende/ Scheibe/ ihre Spitze aber wie- derumb in dem Punct/ wo die verlaͤngerte Lineen GB und MD ſambt dem verlaͤngerten Durchmeſſer AC zuſamm lauffen. Auf gleiche Weiſe verhaͤlt ſich die Sache mit derer Seiten Bewegung in dem andern Halbkreiß. Daß alſo ſolcher geſtalt innerhalb der Kugel eine Coͤrperliche Figur eingeſchrieben iſt/ die da beſtehet aus beſagten Kegelflaͤchen/ und deren ganze Flaͤche kleiner iſt als die Flaͤ- che der Kugel. Dann ſo man die Kugel mit einer/ auf die Schei- be ABCD ſenkrechten/ Flaͤche/ nach der Lini BD, durchſchneidet/ ſo hat die halbe Kugelflaͤche und die Flaͤche der darinnen beſchrie- benen Figur/ einerley Graͤnzlineen/ nehmlich den von BD beſchrie- benen Kreiß; Sie ſind aber auch beyde nach einer Seite hohl/ und die eine von der andern ganz eingeſchloſſen und umbfangen: De- rowegen iſt die Flaͤche der eingeſchriebenen halben Figur (als die eingeſchloſſene) kleiner als die Flaͤche der Halb-Kugel. Und weil auf der andern Seite die Sache ſich eben ſo verhaͤlt/ ſo muß noht- wendig die ganze Flaͤche der eingeſchriebenen Figur kleiner ſeyn als die ganze Kugelflaͤche.

Anmerkung.

Daß wir dieſes erſterwieſene mehr ſuͤr eine Folge als einen abſonderlichen Lehrſatz allhier gelten laſſen/ darzu hat uns verurſachet Flurantius, welcher gleicher geſtalt damit verfaͤhret/ und ſeines Verfahrens dreyerley Urſachen anzeiget; Weil nehmlich 1. kein Text eines Lehr- ſatzes/ wie ſonſten/ fuͤrhanden/ 2. auch die Form und Weiſe eines Lehrſatzes ermangele/ und 3. kein vollkommener/ und/ wie andere beſchaffener Beweiß vom Archimedes gegeben werde. So aber jemand hierinnen mehr auf die alte Griechiſche Exemplaria (welche dieſes mit ϰγ, als den XXIII. Lehrſatz/ bezeichnen) gehen wolte/ ſonderlich deßwegen/ damit nicht die Zahlen derer folgenden Lehrſaͤtze veraͤndert/ und hier anderſt als in jenen geſetzet werden muͤſte (wie dann bey hoch gedachtem Flurantio geſchehen) ſo koͤnte aus den Worten Archimedis leichtlich ein Lehrſatz gebildet/ und dem Begehren des Leſers ein Genuͤgen gethan werden/ alſo daß dieſes folgende gezehlet wuͤrde als

Der Von der Kugel und Rund-Seule.

Der XXIII. Lehrſatz/ Und Die Achtzehende Betrachtung.

Wann in einer Kugel groͤſſeſten Kreiß ein gleichſeitiges Vielekk eingeſchrieben wird/ alſo daß die Zahl ſeiner Seiten durch 4. moͤge aufgehoben werden; und ſolches Vielekk umb einen/ durch zwey ſeiner Ekken gezogenen/ Durchmeſſer ſich waͤlzet; ſo wird/ durch ſolches Umbwaͤlzen/ innerhalb der Kugel beſchrieben eine Coͤrper- liche Figur/ deren ganze aͤuſſere/ aus lauter Kegelflaͤchen beſtehen- de/ Flaͤche kleiner iſt als die ganze Flaͤche der Kugel.

Beweiß.

Die Erlaͤuterung dieſes Lehrſatzes iſt in denen obigen Worten Archimedis weitlaͤuffig zu finden. So iſt auch Beweiſes genug darinnen/ und zwar eben ein ſolcher/ wie der allererſte obige Lehrſatz gehabt hat. Das einige nur (wie Flurantius ſelbſt bekennet) ſcheinet/ nicht klar genug/ ſondern Beweiſens beduͤrf- tig zu ſeyn/ daß Archimedes/ als gewiß und bekant/ ſetzet/ wann FG und NM verlaͤngert werden/ ſo kommen ſie endlich zuſammen/ und zwar eben in dem ver- laͤngerten Durchmeſſer CA, das iſt/ die drey verlaͤngerte Lineen GF, MN, und CA kommen zuſammen in einem Punct. Wir wollen an ſtatt des Flurantii Beweiſes (welcher eine neue Figur erfordert) die Sache alſo klar machen: Daß GF und MN, wann ſie verlaͤngert werden/ endlich zuſammen kommen und nicht gleich lauffen/ iſt offenbar; dann wann ſie gleich lieffen/ ſo muͤſten (weil ſie uͤber dieſes auch einander gleich ſind) die beyde Lineen FN und GM auch einander gleich ſeyn/ vermoͤg des 33ſten im I. Buch/ welches aber unmoͤglich und ſchnur- ſtrakks wider den 15den des III. Buchs lauffet. Umb ſo viel weniger nun koͤn- nen GF und CA oder MN und CA gleich lauffen/ weil CA mitten inne ligt und von G dem Anfangspunct der einen eben ſo weit iſt/ als von M dem An- fangspunct der andern/ vermoͤg der 2. Anmerkung des XXI. Lehrſatzes. Daß ſie aber alle drey eben in einem Punct zuſammen kommen/ erhellet alſo: GF machet mit dem Stuͤkk von AC, welches GM abſchneidet/ (weil ſie/ verlaͤn- gert/ endlich zuſamm kommen) ein Dreyekk; ingleichen MN machet mit dem- ſelben Stuͤkk von AC auch ein Dreyekk. Jn beyden Dreyekken ſind/ wo AC und GM einander durchſchneiden/ gerade Winkel/ vermoͤg der 2. Anmerkung des XXI. Lehrſatzes: So ſind auch die Winkel FGM und NMG einander gleich (dann/ weil GM und FN gleich lauffen/ nach der 1. Anmerkung des XXI. Lehrſatzes/ ſo ſind die beyde Winkel F und G zuſammen zweyen geraden Winkeln gleich/ aus dem 29ſten des I. B. Es ſind aber auch F und M zweyen geraden Winkeln gleich/ nach dem 22ſten des III. Derowegen ſind G und M einander gleich) wie auch (Krafft angezogener 2. Anmerkung des XXI. Lehrſatzes) die beyden Grundlineen von G und M biß zum Durchſchnitt. De- rowegen ſind beyde Dreyekke und alle ihre Seiten einander gleich/ nach dem 26ſten des I. B. iſt alſo das Stuͤkk der verlaͤngerten AC, welches mit dem ver- J ijlaͤnger- Archimedis Erſtes Buch laͤngerten GF ein Dreyekk machet/ gleich dem Stuͤkk eben deſſelben AC, welches mit dem verlaͤngerten MN ein Dreyekk machet/ das iſt/ GF und MN, wann ſie verlaͤngert werden/ kommen in einem Punct des verlaͤngerten AC zuſam- men. Welches zu beweiſen war.

Anmerkung.

Warumb Archimedes in gegenwaͤrtigem Lehrſatz eben haben wolle/ daß die Zahl derer Seiten des eingeſchriebenen Vielekkes durch 4. muͤſſe koͤnnen aufgehoben werden/ deſſen gibt Eutokius eine deutliche Urſach in dieſen folgenden Worten: Er will die Seiten des Viel- ekkes durch 4. aufgehoben haben/ deßwegen/ damit/ wann der Kreiß umb den Durch- meſſer AC beweget wird/ alle Seiten gewiſſe Kegelflaͤchen beſchreiben/ als welches ihme in folgenden Beweißtuhmen kan dienlich ſeyn. Dann/ wann die Zahl der Sei- ten durch 4. nicht gleich aufgehoben wird/ ob ſie ſchon gerad iſt/ ſo koͤnnen ſie nicht alle nach einer Kegelflaͤche beweget werden (das iſt/ eine Kegelflaͤche beſchreiben) wie man ſehen kan an denen Seiten des Sechsekkes. Dann die zwey gegeneinander uͤber ſte- hende und (mit dem Durchmeſſer AC) gleichlauffende Seiten wuͤrden (durch ihren Umblauf) eine Rund-Saͤule beſchreiben; welches/ wie geſagt/ ihm in dem folgenden nichts dienet.

Der XXIV. (des Fluraͤntii XXIII.) Lehrſatz/ Und Die Neunzehende Betrachtung.

Die aͤuſſere Flaͤche der/ innerhalb einer Kugel (obbeſagter maſ- ſen) eingeſchriebenen/ Figur iſt gleich einer Scheibe/ deren Halb- meſſer ſo viel vermag/ als das rechtwinklichte Vierekk/ welches ge- machet wird aus einer Seite des Vielekkes/ und aus der jenigen Lini/ die da allen/ von Ekk zu Ekk gezogenen (und mit der erſten/ ſo zweyen Seiten unterzogen iſt/ gleichlauffenden) Quehrlineen mit- einander gleich iſt.

Erlaͤuterung.

Es ſey in einer Kugel der groͤſ- ſeſte Kreiß ACBD, und in dem- ſelben eingeſchrieben ein gleichſeiti- ges Vielekk/ deſſen Seiten-Zahl durch 4. koͤnne aufgehoben wer- den. Hierbey bilde man ihm ein/ daß (nach dem vorhergehenden XXIII. Lehrſatz) durch Umb- waͤlzung ſolches Vielekkes eine Coͤrperliche/ aus lauter Kegel- flaͤchen beſtehende/ Figur beſchrie- ben werde. Ferner ſey ein Kreiß oder Scheibe beſchrieben von dem Halbmeſſer X, deſſen Vermoͤgen oder Vierung (quadratum) gleich ſey einem Rechtekk/ welches ge- machet wird aus einer Seite (AE)

des Von der Kugel und Rund-Seule. des eingeſchriebenen Vielekkes/ und aus einer Lini/ welche allen (mit EF, ſo zweyen Seiten unterzogen iſt/ gleichlauffenden) Quehrlineen/ EF, GH, CD, KL, MN, miteinander gleich iſt. So ſag ich nun: Die ganze Flaͤche der ein- geſchriebenen Coͤrperlichen Figur/ ſey der/ von dem Halbmeſſer X beſchriebenen/ Scheibe gleich.

Vorbereitung.

Solches nun zu beweiſen/ ſetzen wir noch 6. andere Halbmeſſer eben ſo vieler andern Kreiſſe/ nehmlich O, P, R, S, T, V, welche alſo beſchaffen ſeyen/ daß die Vierung von O gleich ſey dem Rechtekk aus AE und halb EF; die Vierung von P gleich dem Rechtekk aus AE und ½EF+½GH; die Vierung von R gleich dem Rechtekk aus AE und ½GH+½CD; die Vierung von S gleich dem Rechtekk aus AE und ½CD+½KL; die Vierung von T gleich dem Rechtekk aus AE und ½KL+½MN; die Vierung von V endlich gleich dem Rechtekk aus AE und ½MN. (Welches eben ſo viel iſt/ als/ jeder Halbmeſſer ſey die mittlere gleichverhaltende zwiſchen AE und der andern Lini/ aus welcher jedes Rechtekk gemachet iſt/ nach dem 13den und 17den des VI. B.)

Beweiß.

Hieraus folget nun zu foͤrderſt/ daß (weil alle dieſe Rechtekke zuſammen gleich ſind dem Rechtekk/ welches aus AE eines Teihls/ anders Teihls aus EF+GH+CD+KL+MN [als einer Lini] gemachet wird/ vermoͤg des 1ſten im II. B.) die Vierung aus X (als welche dieſem groſſen Rechtekk/ nach obigem Satz/ gleich iſt) ſo groß ſey als alle Vierungen aus O und P und R und S und T und V miteinander; und deßwegen auch die Scheibe des Halb- meſſers X, gleich ſey allen Scheiben derer Halbmeſſer O, P, R, S, T, V, mit- einander/ vermoͤg des 2ten im XII. B. Nun iſt aber die Scheibe O (als deren Halbmeſſer die mittlere gleichverhaltende iſt zwiſchen AE der Seite und halb EF, als dem Halbmeſſer der Grundſcheibe) gleich der Kegelflaͤche AEF, und die Scheibe V der Kegelflaͤche BMN, vermoͤg des obigen XIV. Lehrſatzes. Die Scheibe P aber iſt gleich der Kegelflaͤche zwiſchen EF und GH; die Schei- be R der Kegelflaͤche zwiſchen GH und CD; die Scheibe S der Kegelflaͤche zwi- ſchen CD und KL; die Scheibe T endlich der Kegelflaͤche zwiſchen KL und MN, alles aus dem XVI. obigen Lehrſatz/ das iſt/ alle Scheiben derer Halb- meſſer O, P, R, S, T, V miteinander ſind der ganzen aͤuſſern Flaͤche der einge- ſchriebenen Figur gleich: derowegen muß auch die Scheibe des Halbmeſſers X (welche eben ſo groß iſt/ als alle jene Scheiben miteinander) der aͤuſſern Flaͤche bemeldter Figur gleich ſeyn; Welches zu beweiſen war.

Der XXV. (Fl. XXIV.) Lehrſatz/ Und Die Zwanzigſte Betrachtung.

Die/ aus lauter Kegelflaͤchen beſtehende/ aͤuſſere Flaͤche der/ innerhalb einer Kugel (obbeſagter maſſen) beſchriebenen/ Figur/ iſt kleiner als die groͤſſeſte Scheibe/ in eben derſelben Kugel/ viermal genommen.

J iijErlaͤu- Archimedis Erſtes Buch

Erlaͤuterung.

Es ſey einer Kugel groͤſſeſte Scheibe ABCD, und von dem eingeſchriebenen Vielekk/ obangeregter maſſen/ durch ſeinen Umblauf/ innerhalb der Kugel be-

ſchrieben eine/ von lauter Kegelflaͤ- chen eingeſchloſſene Coͤrperliche Fi- gur. Wird nun geſagt: Die aͤuſ- ſere Flaͤche dieſer Figur ſey kleiner/ als die Scheibe ABCD viermal genommen.

Beweiß.

Damit dieſes klar werde/ ſo ſey geſetzet eine Scheibe/ oder ihr Halb- meſſer R, deſſen Vierung gleich ſey dem Rechtekk/ welches aus AE und einer Lini/ die da allen gleichlauffen- den Quehrlineen EI+FK+BD+ GL+HM zuſammen gleich iſt/ ge- machet wird; das iſt/ welcher Halb- meſſer R ſey die mittlere gleichverhaltende zwiſchen AE und dieſer erſtbeſagten Lini/ nach dem 13den und 17den des VI. Buchs. Es werde auch gezogen EC.

Wie ſich nun die/ aus EI+FK+BD+GL+HM zuſammgeſetzte Lini gegen dem Durchmeſſer AC verhaͤlt/ alſo verhaͤlt ſich CE gegen EA, vermoͤg des obigen XXI. Lehrſatzes. Derowegen iſt das Rechtekk aus EA und der- ſelben zuſammgeſetzten (das iſt/ Krafft obiger Vorbereitung/ die Vierung des Halbmeſſers R) gleich dem Rechtekk aus AC und CE, nach dem 16den des VI. B. Nun iſt aber dieſes Rechtekk aus AC und CE (vermoͤg des 1ſten im VI.) kleiner als die Vierung AC, weil nehmlich CE kleiner iſt als der Durch- meſſer AC, aus dem 15den des III. B. Derowegen wird auch die Vierung R kleiner ſeyn als die Vierung AC; Und die Vierung des gedoppelten Halbmeſ- ſers R, das iſt/ die Vierung des ganzen Durchmeſſers der obgeſetzten Scheibe (vermoͤg des 1ſten im VI.) kleiner als die Vierung des gedoppelten AC; das iſt/ (vermoͤg des 20ſten im VI.) als 4. Vierungen des Durchmeſſers AC. Wie ſich aber die Vierungen derer Durchmeſſer gegen einander verhalten/ ſo verhalten ſich auch ihre Scheiben gegen einander/ nach dem 2ten des XII. B. Derowegen iſt auch die Scheibe des Halbmeſſers R kleiner als 4. Scheiben des Durchmeſſers AC, das iſt/ als die Scheibe ABCD viermal genommen. Es iſt aber/ nach dem vorhergehenden XXIV. Lehrſatz/ die Scheibe des Halb- meſſers R gleich der aͤuſſern Flaͤche der innerhalb der Kugel beſchriebenen Fi- gur: Derohalben muß auch eben dieſelbe Flaͤche kleiner ſeyn/ als die Scheibe ABCD viermal genommen; Welches hat ſollen bewieſen werden.

Der XXVI. (Fl. XXV.) Lehrſatz/ Und Die Ein und zwanzigſte Betrachtung.

Der innerhalb einer Kugel (obiger maſſen) beſchriebenen Coͤr- perlichen Figur/ iſt gleich ein Kegel/ deſſen Grundſcheibe ſo groß iſt als Von der Kugel und Rund-Seule. als die ganze aͤuſſere Flaͤche gemeldter Figur/ die Hoͤhe aber gleich der Lini/ welche aus dem Mittelpunct der Kugel/ auf eine Seite des Vielekkes/ ſenkrecht gezogen wird.

Erlaͤuterung.

Es ſey gegeben eine Kugel ABCD, und in derſelben eingeſchrieben eine Coͤr- perliche Figur/ wie oben in dem XXIII. Lehrſatz weitlaͤuffig gemeldet worden. Es ſey wiederumb der Kegel R alſo beſchaffen/ daß ſeine Grundſcheibe ſo groß ſey als die ganze aͤuſſere Flaͤche gemeldter Figur/ die Hoͤhe aber gleich einer Lini/ welche aus dem Mittelpunct X auf eine Sei- te des in dem Kreiß ABCD einge- ſchriebenen Vielekkes ſenkrecht faͤl- let. Wird nun geſagt: Dieſer Ke- gel R ſey gleich der obbeſagten gan- zen Coͤrperlichen Figur.

Beweiß.

Damit dieſes offenbar werde/ ſo beſchreibe man in den Gedanken/ auf die Scheiben derer Durchmeſ- ſer FN, GM, HL, KI, eben ſo viel Kegel/ welche ihre Spitzen in dem Mittelpunct der Kugel X haben.

So iſt nun dem Doppel-Kegel NAFX gleich ein Kegel/ deſſen

Grundſcheibe ſo groß iſt als die ganze Flaͤche des Kegels NAF, die Hoͤhe aber gleich der Lini/ welche aus X ſchnurrecht auf FA faͤllet/ nach dem obigen XVIII. Lehrſatz. (Und dieſer Kegel heiſſe a.) Wiederumb (ſo man GF und MN in den Gedanken verlaͤngert/ biß ſie zuſammen kommen in einem Punct/ den wir z nennen wollen) iſt vorhanden der Doppel-Kegel zNMXGFz, in NF von einer mit GM gleichlauffenden Flaͤche durchſchnitten; und aus dem- ſelben weggenommen der Doppel-Kegel zNXF z. Derowegen ſo iſt (vermoͤg des obigen XX. Lehrſatzes) das uͤbrige Stuͤkk NMXFG gleich einem Kegel/ deſſen Grundſcheibe ſo groß iſt als die zwiſchen NF und MG enthaltene Kegel- flaͤche/ die Hoͤhe aber wieder gleich der Lini/ welche aus X auf die Seite FG oder MN ſenkrecht faͤllet/ das iſt/ der Hoͤhe des vorigen Kegels a; und dieſen Kegel wollen wir nun b nennen. Ferner (wann man in Gedanken verlaͤngert DM und BG, biß ſie zuſammen kommen/ zum Exempel in y) haben wir wie- der einen Kegel DyB, von der/ mit BD gleichlauffenden/ Flaͤche GM durch- ſchnitten/ aus welchem hinweg genommen iſt der Doppel-Kegel y MXG y. Derowegen ſo iſt das uͤbrige Stukk DMXGB (vermoͤg des obigen XIX. Lehrſatzes) gleich einem Kegel/ deſſen Grundſcheibe ſo groß iſt als die/ zwiſchen DB und GM enthaltene Kegelflaͤche/ die Hoͤhe aber gleich der Lini/ welche aus X auf Archimedis Erſtes Buch X auf BG oder DM ſenkrecht faͤllet/ das iſt/ der vorigen Hoͤhe derer beyden Ke- gel a und b; und dieſer Kegel ſoll c heiſſen. So haben wir alſo drey Kegel/ a, b, c, einerley Hoͤhe/ welche alle drey zuſammen ſo groß ſind/ als die halbe ein- geſchriebene Coͤrperliche Figur (dann a iſt gleich dem Stuͤkk NAFX, b dem Stuͤkk NMXFG; c dem Stuͤkk DMXGB) und deren drey Grundſcheiben zuſammen ſo groß ſind als die aͤuſſere Flaͤche der halben Figur (dann die Grund- ſcheibe des Kegels a iſt gleich der Flaͤche NAF; des b ſeine/ der Flaͤche zwiſchen NF und MG; des c ſeine endlich der Flaͤche zwiſchen MG und DB.) Eben ſolche drey Kegel werden wir auf dem andern Teihl heraus bringen/ und alſo ſechſe haben/ welche zuſammen der ganzen Coͤrperlichen Figur/ und deren Grund- ſcheiben miteinander der ganzen Flaͤche ſolcher Figur gleich ſind. Nun iſt aber die Grundſcheibe des Kegels R (Krafft obigen Satzes) auch ſo groß als die ganze Flaͤche gemeldter Figur/ das iſt/ ſo groß als jener ſechs Kegel Grundſchei- ben miteinander. Derowegen (weil auch die Hoͤhe des Kegels R der Hoͤhe je- ner gleich iſt) muß auch der Kegel R ſo groß ſeyn als alle jene ſechs Kegel mitein- ander/ vermoͤg des 11ten im XI. B. das iſt/ (weil die ſechs Kegel der ganzen Coͤrperlichen Figur gleich ſind) als die ganze obbeſchriebene Coͤrperliche Figur. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Der XXVII. (Fl. XXVI.) Lehrſatz/ Und Die Zwey und zwanzigſte Betrachtung.

Die/ innerhalb einer Kugel (obiger maſſen) eingeſchriebene/ von lauter Kegelflaͤchen beſchloſſene/ Figur/ iſt kleiner als der jenige Kegel viermal genommen/ deſſen Grundſcheibe gleich iſt der groͤſ- ſeſten Scheibe in der Kugel/ ſeine Hoͤhe aber gleich eben deroſelben Kugel Halbmeſſer.

Erlaͤuterung.

Es ſey eine Kugel/ deren groͤſſeſte Scheibe ABCD, und in derſelben eine Coͤrperliche Figur/ ofterwehnter maſſen eingeſchrieben. Es werde fer- ner durch R angedeutet ein Ke- gel/ deſſen Grundſcheibe ſey gleich der Scheibe ABCD, die Hoͤhe aber dem Halbmeſſer derſelben. So wird nun ge- ſagt: Die in der Kugel einge- ſchriebene Figur ſey kleiner als beſagter Kegel R viermal ge- nommen.

Beweiß. Von der Kugel und Rund-Seule.

Beweiß.

Zu beſſerem Beweiſen werde durch X angedeutet ein anderer Kegel/ welcher gemeldter Coͤrperlichen Figur gleich ſey/ das iſt/ nach dem vorhergehenden XXVI. Lehrſatz/ deſſen Grundſcheibe gleich ſey der ganzen aͤuſſern Flaͤche ſol- cher Figur/ die Hoͤhe aber gleich der Lini/ welche aus dem Mittelpunct Q auf ei- ne Seite des Vielekkes BFAEDC, &c. gezogen iſt.

So iſt nun die Grundſcheibe des Kegels X kleiner als die Grundſcheibe des Kegels R viermal genommen/ vermoͤg obigen XXV. Lehrſatzes/ wie auch der Halbmeſſer jenes Kegels X, kleiner iſt als der Halbmeſſer dieſes/ als die Ver- nunft ſelbſt lehret. Nun aber/ wann gleich der Kegel X gleiche Hoͤhe mit R haͤt- te/ (und alſo groͤſſer als jezt waͤre/ vermoͤg des 14den im XII. B.) ſo waͤre er dannoch (weil ſeine Grundſcheibe kleiner iſt als die vierfache Grundſcheibe des Kegels R) kleiner als der vierfache Kegel R, nach dem 11ten erſtangezogenen XII. B. So wird er demnach jezt/ da ſeine Hoͤhe kleiner iſt/ umb ſo viel mehr kleiner ſeyn/ als gemeldter Kegel R viermal genommen. Nun iſt aber/ Krafft obigen Satzes/ dem Kegel X gleich die eingeſchriebene Coͤrperliche Figur. De- rowegen ſo muß auch dieſe nohtwendig kleiner ſeyn als der Kegel R viermal ge- nommen; Welches zu beweiſen war.

Folge/ oder Anhang.

Es ſey in einer Kugel derer groͤſſeſten Kreiß einer ABCD, und umb denſelben beſchrieben ein gleichſeitiges und gleichwinklichtes Vielekk/ alſo daß die Zahl ſeiner Seiten durch 4. koͤnne aufgehoben werden (nach der 2. Folge des III. Lehrſatzes;) Umb dieſes Vielekk ſey wieder beſchrieben ein Kreiß EFGH, aus eben dem Mittelpunct des vorigen Kreiſſes. (Beſihe unten die Anmerkung.) So man ihme nun einbildet/ wie die Flaͤche/ auf welcher beyde Kreiſſe ſambt dem Viel- ekk beſchrieben ſind/ umb den unbeweglichen Durchmeſſer EG her- umb gewaͤlzet werde/ ſo iſt offenbar/ daß der Kreiß ABCD, durch ſeinen Umblauff/ eine Kugel/ die Scheibe EFGH auch eine/ mit der vorigen einerley Mittelpunct habende/ aber groͤſſere/ Kugel be- ſchreibe. Die Anruͤhrungs-Puncten KD, &c. zeichnen auf der klei- nen Kugel gewiſſe/ auf ABCD winkelrecht ſtehende/ Kreiſſe; Die Winkel aber des Vielekkes (ausgenommen die zween E und G) eben dergleichen Kreiſſe auf der groſſen Kugel/ welche uͤber dem Kreiß EFGH winkelrecht ſtehen. Die Seiten des Vielekkes end- lich werden ſich/ wie vor dieſem (Bey dem XXIII. Lehrſatz) nach ih- ren Kegelflaͤchen bewegen: Und alſo wird eine/ vonlauter Kegel- flaͤchen beſchloſſene/ Coͤrperliche Figur der kleinern Kugel umb- ſchrieben/ in der groͤſſern aber eingeſchrieben ſeyn. Daß aber die aͤuſ- ſere Flaͤche dieſer umbſchriebenen Figur groͤſſer ſey als die Kugel- Kflaͤche/ Archimedis Erſtes Buch flaͤche/ wird alſo bewieſen: KD ſey der Durchmeſſer eines Kreiſ- ſes in der kleinen Kugel/ alſo daß K und D ſeyen zweene Puncten/ in welchen der Kreiß ABCD von zweyen Seiten des Vielekkes angeruͤhret wird; So nun die Kugel von einer ebenen Flaͤche nach der Lini KD durchſchnit- ten wird/ iſt klar/ daß auch zugleich die Flaͤche der um- ſchriebenen Figur durch- ſchnitten werde/ und daher beyde (abgeſchnittene Flaͤ- chen) einerley Graͤnz-Li- neen haben/ nehmlich den Kreiß/ der umb den Duꝛch- meſſer KD, uͤber dem Kꝛeiß ABCD ſenkrecht/ beſchrie- ben iſt. Es ſind aber beyde (alſo abgeſchnittene) Flaͤ-

chen nach einer Seite hohl/ und eine von der andern umbfangen oder eingeſchloſſen. Derowegen iſt die eingeſchloſſene Flaͤche des Kegelſtuͤkkes kleiner als die begreiffende Flaͤche der umbſchriebenen Figur. Gleicher weiß iſt auch die uͤbrige Flaͤche des andern Kugel- ſtuͤkkes kleiner als die uͤbrige/ darumb beſchriebene/ Flaͤche. Jſt derowegen offenbar/ daß die ganze Kugelflaͤche kleiner ſey als die ganze Flaͤche der umbſchriebenen Figur.

Anmerkung.

1. Wir haͤtten hieraus abermal (wie oben bey dem Anhang des XXII. Lehrſatzes ge- ſchehen) einen abſonderlichen Lehrſatz machen koͤnnen/ wie dann in der Lateiniſchen gemeinen Dolmetſchung dieſes als der XXVIII. gezehlet/ auch/ de Flurance Zeugnis nach/ in einem al- ten geſchriebenen Griechiſchen Exemplar mit (ϰη) gezeichnet iſt. Weilen aber hingegen das naͤchſthernach folgende (welches doch auſſer allem Zweiffel ein abſonderlicher Lehrſatz iſt) nicht gezehlet wird; die gedrukkte Griechiſche Exemplar aber dieſes naͤchſtfolgende (wie billich) fuͤr den XXVIII. Lehrſatz zaͤhlen/ herentgegen das gegenwaͤrtige ungezaͤhlet laſſen: als mag es auch bey uns den Nahmen eines Anhangs behalten/ damit nicht unſere Zahl/ wie von des Flu- rantii ſeiner/ alſo auch von dem Griechiſchen gedrukkten Exemplar abweiche/ und daher einige Unordnung entſtehe.

2. Daß umb das gleichſeitige und gleichwinklichte Vielekk FEHG, wieder ein Kreiß koͤnne beſchrieben werden (verſtehe/ der durch alle ſeine Ekken ſtreiche) und zwar aus eben dem Mittelpunct des kleinern innern Kreiſſes/ beruhet einig und allein darauf/ daß bewieſen werde: Alle Lineen/ welche aus gedachten Mittelpunct auf alle Ekke des umbgeſchriebenen Vielekkes gezogen werden/ ſeyen einander gleich. Dieſes aber wird der verſtaͤndige Leſer leicht- lich finden/ wann er zu Huͤlfe nimmt/ was wir oben in der 2. Anmerkung des III. Lehrſatzes bewieſen/ daß nehmlich/ wann aus dem Mittelpunct auf eine Seite des Vielekkes eine ſenkrechte Lini Von der Kugel und Rund-Seule. Lini gezogen wird/ die Seite halb geteihlet werde. Dann alſo wird er allenthalben 2. Dreyekke finden/ deren jedes einen geraden Winkel hat/ und zwey Seiten des einen (nehmlich die winkel- rechte/ und die halbe Seite des Vielekkes) zweyen Seiten des andern gleich ſind; woraus dann folget/ nach dem 4ten des I. B. daß auch die dritten (nehmlich die aus dem Mittelpunct in die Ekke des Vielekkes gezogene Lineen) einander gleich ſeyen.

Der XXVIII. (Fl. XXVII.) Lehrſatz/ Und Die Drey und zwanzigſte Betrachtung.

Die aͤuſſere Flaͤche der umb eine Kugel (obbeſagter maſſen) beſchriebenen Figur iſt gleich einer Scheibe/ deren Halbmeſſer ſo viel vermag/ als das rechtwinklichte Vierekk/ welches gemachet wird aus einer Seite des Vielekkes/ und aus der Lini/ die da allen/ von Ekk zu Ekk gezogenen (und mit einer/ von denen/ welche zweyen Seiten unterzogen ſind/ gleichlauffenden) Quehrlineen mitein- ander gleich iſt.

Erlaͤuterung.

Das iſt: Die Scheibe von dem Halbmeſſer X beſchrieben/ (deſſen Vermoͤgen oder Vierung gleich iſt einem Rechtekk aus AE und EF+GH+CD+KL+ MN) iſt gleich der aͤuſſeren Flaͤ- che der umbſchriebenen Figur. Be- ſihe die weitlaͤuffigere Erlaͤute- rung des obigen XXIV. Lehr- ſatzes.

Beweiß.

Die Sache iſt leicht. Dann wann umb das umbſchriebene Viel- ekk/ nach der 2. Anmerkung des vorhergehenden Lehrſatzes/ aus

dem Mittelpunct des innern Kreiſſes/ auſſen wieder ein Kreiß/ und durch deſ- ſelben Umbwaͤlzung (vermoͤg naͤchſtvorhergehenden Anhangs) eine Kugel beſchrieben wird/ ſo iſt die/ zuvor umb die kleinere Kugel beſchriebene/ Coͤrperliche Figur nunmehr in die groͤſſere Kugel eingeſchrieben/ und alſo der ganze Lehrſatz oben ſchon in dem XXIV ſten bewieſen.

Der XXIX. (Fl. XXVIII.) Lehrſatz/ Und Die Vier und zwanzigſte Betrachtung.

Die aͤuſſere Flaͤche der/ umb eine Kugel (obbeſagter maſſen) beſchriebenen/ Figur iſt groͤſſer/ als die groͤſſeſte Scheibe in eben derſelben Kugel viermal genommen.

K ijErlaͤu- Archimedis Erſtes Buch

Erlaͤuterung.

Es ſey die umbſchriebene und zugleich eingeſchriebene Figur/ wie im vorhergehenden; So ſage ich nun/ die Flaͤche der Figur ſey groͤſ- ſer als die Scheibe ABCD vier- mal genommen.

Beweiß.

Damit dieſes gewiß werde/ ſo ſey geſetzet eine Scheibe/ deren Halbmeſſer L, welche der Flaͤche gemeldter umbſchriebenen Figur gleich ſey/ nach obigem XXIV. Lehrſatz. Man bilde ihm auch ein/ neben KH und XS, als gezo- gen/ alle/ mit FH gleichlauffende Quehrlineen von einem Ekk zu dem andern. Weil dann nun alle dieſe Quehr- lineen zuſammen gegen dem Durchmeſſer FH ſich verhalten/ wie HK gegen KF/ nach obigem XXI. Lehrſatz/ ſo iſt das Rechtekk aus KF und allen Quehr- lineen zuſammen (das iſt/ vermoͤg des XXIV. Lehrſatzes/ die Vierung des Halbmeſſers L) ſo groß als das Rechtekk aus FH und HK, aus dem 16den des VI. B. und alſo L die mittlere gleichverhaltende zwiſchen FH und HK, nach dem andern Teihl des 17den im VI. B. derowegen L groͤſſer als HK, Krafft der 1. Anmerkung des obigen V. Lehrſatzes. Nun iſt aber HK gleich dem Durchmeſſer der Scheibe ABCD, (Beſihe unten die 1. Anmerkung/) derowegen iſt L groͤſſer als eben dieſer Durchmeſſer. Woraus dann nun (eben wie oben bey dem XXV. Lehrſatz) geſchloſſen wird/ daß auch die Vierung des Halbmeſſers L groͤſſer ſey als die Vierung des Durchmeſſers AC, und die Vie- rung des gedoppelten L (das iſt/ des ganzen Durchmeſſers obgeſetzter Scheibe) groͤſſer als die Vierung des gedoppelten AC, das iſt/ als 4. Vierungen des ein- fachen AC; Folgends auch die Scheibe des Halbmeſſers L (das iſt/ die ganze Flaͤche der umbſchriebenen Figur) groͤſſer als 4. Scheiben von AC, das iſt/ als die Scheibe ABCD viermal genommen: Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkung.

Archimedes nimbt in obigem Beweiß/ als bekant/ daß HK gleich ſey dem Durchmeſſer der Scheibe ABCD, das iſt/ (welches er gleichſam an ſtatt einer Urſach ſetzet) zweymal ſo groß als SX. Damit dieſes klar werde/ ſo muß die Lini SX aus dem Mittelpunct X, auf den Punct/ wo der Kreiß ABCD die Seite KF beruͤhret/ (und alſo/ vermoͤg des 18den im III. B. auf KF ſenkrecht) gezogen ſeyn; Woraus dann alsbald folget/ weil XF und XK, wie auch die Winkel bey S; Jtem die Winkel XKF und XFK, vermoͤg des 5ten im I. ein- ander gleich ſind/ und XS uͤber dieſes gemein iſt/ daß auch KS und SF gleich ſeyen/ nach dem 26ſten des I. und alſo FS gegen SK ſich verhalte/ wie FX gegen XH, alſo daß XS und HK, vermoͤg des 2ten im VI. B. gleichlauffend ſeyen/ und daher (aus der Anmerkung des 4ten in gedachtem Buch) wie FS gegen SX, alſo FK gegen HK, und wechſelweiß/ wie FS ge- gen FK, alſo SX gegen HK ſich verhalte/ und folgend HK zweymal ſo groß als SX, das iſt/ ſo groß als AC ſey. Und dieſen Beweiß bringet Eutokius/ wiewol ſehr kurz und dunkel; weswegen wir auch denſelben etwas deutlicher und ausfuͤhrlicher gemachet haben. Die ganze Sache/ wie der goͤnſtige Leſer ſihet/ beruhet fuͤrnehmlich darauf/ daß SX und HK gleichlauf- fende Von der Kugel und Rund-Seule. fende Lineen ſeyen. Daher dann auch der ganze Beweiß viel kuͤrzer/ und doch deutlich/ alſo koͤnte verfaſſet werden: HKF, als ein Winkel im Halbkreiß/ iſt ein gerader Winkel/ nach dem 31ſten des III. und XSF, in dem Punct des Anruͤhrens/ iſt auch ein gerader Winkel/ nach dem 18den eben deſſelben B. derowegen ſind SX und KH gleichlauffend/ vermoͤg des 28ſten im I. B. Folget alſo/ wie oben/ daß FK gegen HK ſich verhalte/ wie FS gegen SX, &c.

2. Flieſſet alſo aus bißhergeſagtem nachfolgende/ von Flurantio bemerkete Betrachtung: Wann zweene Kreiß einerley Mittelpunct habeu (als hier ABCD und EFGH) und von einem Endpunct des groͤſſern Durchmeſſers (F) eine Lini gezogen wird/ welche den kleinen Kreiß beruͤhret (in S) und den groͤſſern durchſchneidet (in K;) ſo iſt die Lini (KH,) welche von gemeldtem Durchſchnitt biß zu dem andern Endpunct des groſſen Durchmeſſers (H) gezogen wird/ gleich dem Durchmeſſer des kleinen Kreiſſes (AC.)

Archimedes ſchlieſſet endlich aus dieſem bißher bewieſenem noch zweyerley merkwuͤrdige Lehren nachfolgendes Jnnhalts:

Die Erſte Folge.

Der/ umb die kleinere Kugel beſchriebenen/ Figur iſt gleich ein Kegel/ deſſen Grundſcheibe ſo groß iſt als die aͤuſſere Flaͤche der Fi- gur; die Hoͤhe aber gleich dem Halbmeſſer der Kugel.

Dann eben die Figur/ welche umb die kleinere Kugel beſchrieben worden/ iſt der groͤſſern Kugel eingeſchrieben. Derowegen iſt ſchon/ im obigen XXVI. Lehrſatz/ bewieſen/ daß dieſelbe Figur gleich ſey einem Kegel/ deſſen Grundſchei- be ſo groß iſt als die Flaͤche der Figur/ die Hoͤhe aber gleich der Lini/ welche aus dem Mittelpunct (X) auf die Seite des Vielekkes (KF) ſenkrecht gezogen wird (nehmlich XS) das iſt/ dem Halbmeſſer der kleinen Kugel.

Die Andere Folge.

Die/ umb die kleinere Kugel beſchriebene/ Figur iſt groͤſſer als der jenige Kegel viermal genommen/ der zur Grundſcheibe hat die groͤſſeſte Scheibe/ und zur Hoͤhe den Halbmeſſer eben derſelben Kugel.

Dann/ wann (wie oben bey dem XXVII. Lehrſatz) ein ſolcher/ hier be- ſchriebener/ Kegel angedeutet wird durch R, ein anderer aber nach Anleitung der erſten Folge beſchaffener/ durch X; ſo iſt die Grundſcheibe des Kegels X groͤſſer als die Grundſcheibe des Kegels R viermal genommen/ vermoͤg gegen- waͤrtigen XXIX. Lehrſatzes. Nun haben aber beyde Kegel/ X und R, einer- ley Hoͤhe/ wie in beyden Folgen geſetzet worden; Derohalben verhalten ſie ſich gegeneinander/ wie ihre Grundſcheiben (Krafft obigen/ vor dem XVII. Lehrſatz bemerketen/ 1. Lehenſatzes) und iſt alſo der Kegel X (das iſt/ die umb die kleinere Kugel beſchriebene ganze Figur/ welcher der Kegel X gleich iſt) groͤſ- ſer als der Kegel R viermal genommen.

Der XXX. (Fl. XXIX.) Lehrſatz/ Und Die Yünf und zwanzigſte Betrachtung.

Wann einer Kugel eine Coͤrperliche Figur (oftbeſagter weiſe) eingeſchrieben/ und eine andere umb dieſelbe geſchrieben wird/ K iijdurch Archimedis Erſtes Buch durch Umbwaͤlzung zweyer gleichſeitiger und einander aͤhnlicher (in und umb den groͤſſeſten Kreiß der Kugel beſchriebener) Viel- ekke; ſo hat die aͤuſſere Flaͤche der umbgeſchriebenen gegen der Flaͤ- che der eingeſchriebenen Figur eine doppelte/ die ganze umbgeſchrie- bene Figur aber gegen der ganzen eingeſchriebenen eine dreyfache/ Verhaͤltnis derer jenigen/ welche da hat eine Seite des umbgeſchrie- benen gegen einer Seite des eingeſchriebenen Vielekkes.

Erlaͤuterung.

Die beyde aͤhnliche Vielekke ſeyen ABCD und EFGH, durch deren Umbwaͤlzung die beyde Coͤrperliche Figuren entſtehen. Soll nun bewie- ſen werden/ daß dieſer Figuren ihre Flaͤchen gegen einander eine gedop- pelte/ ſie ſelbſten aber eine dreyfache/ Verhaͤltnis haben derer jenigen/ wel- che da hat die Seite EL gegen der Seite AK.

Vorbereitung.

Zu Erleichterung des Beweiſes ſey von M, als einem Halbmeſſer/ beſchrieben eine Scheibe/ die da gleich ſey der Flaͤche der umbgeſchriebenen Figur/ von N aber eine andere/ wel- che ſo groß ſey als die Flaͤche der ein- geſchriebenen/ nach dem 13 den des VI. Buchs Euclidis/ und beyden obigen XXIV. und XXVIII. Lehrſaͤtzen. Es werde auch auf der Scheibe des (dem M gleichen) Halbmeſſers X ein Kegel gemachet/ der da gleich ſey der umbgeſchriebenen; und/ auf der Scheibe des (dem N gleichen) Halbmeſſers O, ein anderer Kegel/ welcher gleich ſey der eingeſchrie- benen Figur/ nach obigem XXVI. Lehrſatz/ und der erſten Folge des vorher- gehenden XXIX. Lehrſatzes.

Beweiß.

I. Die Vierung des Halbmeſſers M iſt gleich dem Rechtekk aus EL und allen von Ekk zu Ekk des umbſchriebenen Vielekkes gezogenen Quehrlineen zu- ſammen (die wir fuͤrter wollen a nennen) nach obigem XXVIII. Lehrſatz/ und iſt alſo/ vermoͤg des 17 den im VI. wie EL gegen M, alſo M gegen a. Jn- gleichen die Vierung des Halbmeſſers N iſt gleich dem Rechtekk aus AK und allen Quehrlineen des innern Vieleekkes (die wir zuſammen wollen b heiſſen) nach dem XXIV. Lehrſatz; und alſo/ wie AK gegen N, alſo N gegen b. Nun iſt aber auch (vermoͤg der folgenden 1. Anmerkung) wie EL gegen a, alſo AK gegen b, das iſt/ (vermoͤg des 20 ſten im VI.) wie die Vierung von EL gegen der Vierung M, alſo die Vierung von AK gegen der Vierung N, und wechſel- Von der Kugel und Rund-Seule. wechſelweiß wie die Vierung EL gegen der Vierung AK, alſo die Vierung M gegen der Vierung N; und deswegen (aus eben demſelben 20ſten im VI.) wie die Seite EL gegen der Seite AK, alſo der Halbmeſſer M gegen dem Halb- meſſer N. Nun aber hat (wieder vermoͤg des 20ſten im VI. und des 2ten im XII. B.) die Scheibe M gegen der Scheibe N gedoppelte Verhaͤltnis derer jenigen/ welche ihre Durch- oder Halbmeſſer M und N gegen einander haben/ das iſt/ derer/ welche die Seite EL gegen der Seite AK hat. Derohalben muß auch die Flaͤche der obigen umbgeſchriebenen Figur (welche der Scheibe M gleich iſt) gegen der Flaͤche der eingeſchriebenen (deren die Scheibe N gleich iſt) eine gedoppelte Verhaͤltnis haben derer/ welche da hat die Seite EL gegen der Seite AK. Und diß iſt eines.

II. Weil der Kegel X der umbgeſchriebenen Figur gleich iſt/ ſo iſt ſeine Hoͤhe gleich dem Halbmeſſer der Kugel oder der Lini/ welche aus dem Mittelpunct auf die Seite EL ſenkrecht faͤllet/ nach der erſten Folge des XXIX. Lehrſatzes. Jngleichen weil der Kegel O gleich iſt der eingeſchriebenen Figur/ ſo iſt ſeine Hoͤhe die aus eben demſelben Mittelpunct auf die Seite AK ſenkrechte Lini/ aus dem XXVI. Lehrſatz. Nun aber verhaͤlt ſich jene Lini gegen dieſer/ und alſo die Hoͤhe des Kegels X gegen der Hoͤhe des Kegels O, wie EL gegen AK, nach der 1. Folge des obigen III. Lehrſatzes; EL iſt aber gegen AK wie der Durch- meſſer M gegen dem Durchmeſſer N, (als kurz vorher erwieſen worden) das iſt/ wie der Durchmeſſer der Grundſcheibe X (welche der Scheibe M gleich iſt) gegen dem Durchmeſſer der Grundſcheibe O (welche dem N gleich iſt) vermoͤg obiger Vorbereitung. Verhalten ſich alſo die Hoͤhen der beyden Kegel X und O gegeneinander/ wie die Durchmeſſer ihrer Grundſcheiben. Derowegen ſind die beyde Kegel/ X und O einander aͤhnlich/ nach der 24ſten Worterklaͤrung des XI. B. und hat dannenhero der Kegel X gegen dem Kegel O eine dreyfache Verhaͤltnis derer jenigen/ welche da hat jener Durchmeſſer gegen dieſem/ das iſt/ die Seite EL gegen der Seite AK, vermoͤg des 12ten im XII. B. Derohal- ben muß auch die obige umbgeſchriebene Figur (als welche dem Kegel X gleich iſt) gegen der eingeſchriebenen (welche dem Kegel O gleich iſt) eine dreyfache Ver- haͤltnis haben derer/ welche EL hat gegen AK. Und diß iſt das andere/ das zu beweiſen war.

Anmerkungen.

1. Jm obigen Beweiß iſt/ als gewiß geſetzet worden/ daß EL (die Seite des aͤuſſern Vielekkes) gegen a (das iſt/ allen ſeinen Quehrlineen zuſammen) ſich eben ſo verhalte/ wie AK (die Seite des innern Vielekkes) gegen b (allen deſſelben Quehrlineen.) Solches kan nun alſo erwieſen werden/ wann man in Gedanken ziehet HL und KD, und/ nach der 2. An- merkung des obigen XXVII. Lehrſatzes/ einen Kreiß umb das aͤuſſere Vielekk. Dann alſo ſind erſtlich (vermoͤg des 2ten im VI. B. und der 1. Folge unſers obigen III. Lehrſatzes) LF und KB gleichlauffend und alſo die Winkel bey B und F einander gleich/ nach dem 29ſten des I. B. Es ſind aber die beyde Winkel DKB und HLF (als Winkel im Halbkreiß) auch einander gleich/ vermoͤg des 31 ſten im III. B. derowegen auch die beyde uͤbrige bey H und D. Verhaͤlt ſich demnach wie LH gegen LF, alſo KD gegen KB, aus dem 4ten des VI. Es verhaͤlt ſich aber a gegen HF eben wie LH gegen LF, und b gegen BD, wie KD gegen KB, vermoͤg des obigen XXI. Lehrſatzes. Weswegen dann auch/ wie a gegen HF, alſo b gegen BD ſich verhalten muß/ nach dem 11ten des V. B. und wechſelweiß/ a gegen b, wie HF gegen BD. Nun iſt aber HF gegen BD ferner/ wie FL gegen BK (weil die Dreyekke HFL und DBK gleichwinklicht ſind/ wie oben erwieſen) aus dem 4ten des VI. Derohal- ben verhaͤlt ſich a gegen b wie FL gegen BK, das iſt/ wie EL gegen AK, und wechſelweiß/ a ge- gen Archimedis Erſtes Buch gen EL, wie b gegen AK; und umbgekehrt EL gegen a, wie AK gegen b. Welches ſolte bewieſen werden.

2. Flurantius ſchlieſſet in ſeinem Beweiß auß dieſem/ was wir eben erſt bewieſen (daß nehmlich EL gegen a ſich verhalte/ wie AK gegen b) alſobalden; daß auch M (die mittlere gleichverhaltende zwiſchen jenen beyden) gegen N (der mittlern gleichverhaltenden zwiſchen dieſen beyden) ſich verhalte wie EL gegen a, &c. und zu dem End hat er vorher einen abſon- derlichen Lehenſatz bewieſen/ auf welchem die Guͤltigkeit dieſes Schluſſes ruhet. Wir laſſen ſeinen Beweiß in ſeinen Ehren: wollen aber bey dieſer Gelegenheit abermal zeigen/ wie dieſer (und desgleichen viel hundert andere) auf obengezeigte gar leichte/ allgemeine und augenſchein- liche Weiſe koͤnne bewieſen werden. Der Satz iſt/ mit wenig - geaͤnderten Worten/ dieſer:

Wann vier wechſelweis - gleichverhaltende Dinge ſind/ ſo verhaͤlt ſich das mittlere gleichverhaltende zwiſchen dem erſten und andern/ gegen dem mittlern gleichverhaltenden zwiſchen dem dritten und vierdten/ wie das erſte gegen dem dritten/ oder das andere gegen dem vierdten.

Die Erlaͤuterung oder Erklaͤrung durch ein Exempel gibt zugleich den augenſcheinlichen Beweiß. Dann es ſey a das erſte/ eea das andere/ und das mittlere gleichverhaltende darzwi- ſchen/ ea. Jtem b das dritte/ eeb das vierdte/ und das mittlere gleichverhaltende/ eb. Weil ſich nun wechſelweis verhaͤlt a gegen b, wie eea gegen eeb, ſo ſoll ſich auch ea gegen eb ver- halten/ wie a gegen b, oder wie eea gegen eeb. Welches dann fuͤr ſich augenſcheinlich iſt/ und zum Uberfluß daraus erhellet/ daß/ was gemacht wird aus denen beyden aͤuſſerſten (ea und b, nehmlich eab) gleich iſt dem was kommt aus beyden mittlern (eb und a, nehmlich dem eba.

Der XXXI. (Fl. XXX.) Lehrſatz/ Und Die Sechs und zwanzigſte Betrachtung.

Einer jeden Kugel aͤuſſere Flaͤche iſt viermal ſo groß als die groͤſſeſte Scheibe in derſelben Kugel.

Beweiß.

Dann/ wann der von dem Halbmeſſer A beſchrie- bene Kreiß (welchen Archi- medes ſetzet viermal ſo groß zu ſeyn als die gꝛoͤſſeſte Schei- be EFGH in der gegebenen Kugel) der Kugelflaͤche nicht gleich iſt/ ſo iſt er entweder groͤſſer oder kleiner.

Setzet man erſtlich/ er ſey kleiner/ ſo bringet Archi- medes dieſen ungereimten Schluß heraus: Daß eine gewiſſe Groͤſſe/ gegen der kleinſten aus zweyen andern/ eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als gegen der groͤſſern. Und ſolches folgender Geſtalt.

Vorberei- Von der Kugel und Rund-Senle.

Vorbereitung.

Man finde zwey ungleiche Lineen/ B und C, alſo daß die groͤſſere/ B, gegen der kleinern/ C, eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als die Kugelflaͤche gegen dem Kreiß A, nach dem obigen II. Lehrſatz; und D die mittlere gleichverhaltende zwiſchen B und C ſey/ aus dem 15den des VI. B. Ferner ſeyen umb und in den groͤſſeſten Kreiß der Kugel/ nehmlich umb und in EFGH, beſchrieben zwey gleichſeitige und einander aͤhnliche Vielekke/ alſo daß die Seite des aͤuſſern gegen der Seite des innern eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als B gegen D, nach dem III. obigen Lehrſatz; und/ durch Umbwaͤlzung aller beyder ſambt dem Kreiß/ endlich zwey Coͤrperliche Figuren entſtehen/ deren eine umb die Kugel/ die andere in dieſelbe eingeſchrieben ſey/ nach dem Anhang derer XXII. und XXVII. Lehrſaͤtze.

Schluß.

Hier auf ſchlieſſet Archimedes ohngefehr alſo: Die einfache Verhaͤltnis B gegen D iſt groͤſſer/ als die einfache der Seite des aͤuſſern Vielekkes gegen der Seite des innern Vielekkes/ vermoͤg der Vorbereitung. Derowegen iſt auch jener gedoppelte groͤſſer als dieſer gedoppelte/ nach der 2. Anmerkung des obigen V. Lehrſatzes. Jener ihre gedoppelte aber iſt B gegen C, nach der 10den Wort- erklaͤrung des V. B. dieſer gedoppelte iſt die jenige/ welche da hat die Flaͤche der umb die Kugel beſchriebenen Figur gegen der Flaͤche der eingeſchriebenen/ vermoͤg des vorhergehenden XXX. Lehrſatzes/ daß alſo die Verhaͤltnis der umbge- ſchriebenen Flaͤche gegen der eingeſchriebenen kleiner iſt als die Verhaͤltnis B gegen C, und folgends (weil B gegen C, Krafft obiger Vorbereitung/ eine kleinere Verhaͤltnis hat/ als die Kugelflaͤche gegen der Scheibe A) umb ſo viel mehr klei- ner/ als die Verhaͤltnis der Kugelflaͤche gegen der Scheibe A. Noch viel mehr aber wird eben dieſe Kugelflaͤche (weil ſie kleiner iſt als die umbgeſchriebene Flaͤ- che/ nach dem Anhang des XXVII. Lehrſatzes) gegen der eingeſchriebenen eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als ſie hat gegen der Scheibe A, vermoͤg des 8ten im V. Die eingeſchriebene Flaͤche aber iſt kleiner/ als die Scheibe A, nach dem obigen XXV. Lehrſatz. Hat derohalben oftgemeldte Kugelflaͤche gegen dem kleinern eine kleinere Verhaͤltnis/ als gegen dem groͤſſern/ welches ungereimt/ und/ vermoͤg erſtangezogenen 8 ten des V. unmoͤglich iſt. Kan derowegen die Scheibe A nicht kleiner ſeyn/ als bemeldte Kugelflaͤche.

Der andere Satz.

Setzet man dann/ ſie ſey groͤſſer/ ſo folget abermal voriger ungereimter Schluß. Dann (wann jezt B gegen C eine kleinere Verhaͤltnis zu haben ge- ſetzet wird/ als die Scheibe A gegen der Kugelflaͤche/ das uͤbrige aber bleibet wie in voriger Vorbereitung) ſo folget alſobald/ daß die umbſchriebene Flaͤche gegen der eingeſchriebenen viel eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als die Scheibe A gegen der Kugelflaͤche (weil nehmlich im vorigen Satz ſchon bewieſen worden/ daß die umbgeſchriebene gegen der eingeſchriebenen Flaͤche eine kleinere Verhaͤltnis habe als B gegen C;) Noch viel mehr aber wird eben dieſe Scheibe A (weil ſie kleiner iſt als die umbgeſchriebene Flaͤche/ nach dem XXIX. Lehrſatz) gegen der einge- ſchriebenen Flaͤche eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als ſie hat gegen der Kugel- flaͤche/ Krafft des 8ten im V. B. Die Kugelflaͤche aber iſt groͤſſer als die ein- Lgeſchrie- Archimedis Erſtes Buch geſchriebene/ vermoͤg des XXIII. Lehrſatzes. Hat derohalben die Scheibe A (Krafft bißherigen Schluſſes) gegen dem kleinern eine kleinere Verhaͤltnis als gegen dem groͤſſern; welches wieder/ wie oben/ unmoͤglich iſt. Kan dero- wegen die Scheibe A nicht groͤſſer ſeyn/ als beſagte Kugelflaͤche. Sie iſt aber auch nicht kleiner/ wie oben erwieſen worden. Derowegen muß ſie derſelben nohtwendig gleich ſeyn/ welches zu beweiſen war.

Der XXXII. (Fl. XXXI.) Lehrſatz/ Und Die Sieben und zwanzigſte Betrachtung.

Eine jede Kugel iſt viermal ſo groß/ als der jenige Kegel/ deſſen Grundſcheibe der groͤſſeſten Scheibe in der Kugel/ ſeine Hoͤhe aber ihrem Halbmeſſer gleich iſt.

Erlaͤuterung.

Es ſey einer Kugel groͤſſeſte Scheibe ABCD, und darbeneben ein Kegel/ deſſen Grundſcheibe ſo groß als ABCD, die Hoͤhe aber gleich dem Halbmeſſer der Kugel. So ſage ich nun/ beſagte Kugel ſey eben viermal ſo groß/ als gemeld- ter Kegel. Oder/ es ſey der Kegel X, deſſen Grundſcheibe viermal ſo groß als die Scheibe ABCD, die Hoͤhe aber wie die vorige/ alſo daß (vermoͤg des 11ten im XII. B.) der Kegel X viermal ſo groß ſey als der vorgemeldte: So ſag ich nun/ die vorerwehnte Kugel ſey eben ſo groß als dieſer Kegel X.

Beweiß.

Dann ſo ſie nit eben ſo groß iſt/ ſo iſt ſie entwedeꝛ gꝛoͤſſeꝛoder kleineꝛ.

Setzet man/ ſie ſey groͤſſer/ ſo folgt ein ungereimter Schluß: Daß nehmlich ein groſſes Ding gegen einem kleinern eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als ein an- deres kleines gegen einem groͤſſern.

Vorbereitung.

Solches nun deſto fuͤglicher zu erweiſen/ finde man zwey ungleiche Lineen K und G, alſo daß die groͤſſere K gegen der kleinern G eine kleinere Verhaͤltnis habe als die Kugel gegen dem Kegel X, nach obigem II. Lehrſatz. Und ferner zwi- ſchen K und G zwey andere (mittlere gleichuͤbertreffende/ arithmeticèproportio- nales) I und H, alſo daß/ umb wieviel I vom K uͤbertroffen wird/ umb ſo viel H vom I und G vom H uͤbertroffen werde (Beſihe unten die 1 ſte Anmerkung.) Ferner bilde man ihm ein/ daß in dem Kreiß ABCD, wie auch umb denſelben gleichſeitige und gleichwinklichte Vielekke (derer Seiten Zahl durch 4. koͤnne auf- gehoben werden) beſchrieben ſeyen/ und zwar dergeſtalt/ daß die Seite des aͤuſſern gegen Von der Kugel und Rund-Seule. gegen der Seite des innern eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als K gegen I, nach dem obigen III. Lehrſatz; und daß endlich durch Umbdrehung des Kreiſſes ſambt ſeinen beyden Vielekken/ erwachſen zwey Coͤrperliche Figuren/ eine umb die Ku- gel/ die andere innerhalb derſelben beſchrieben/ vermoͤg obiger zwey Anhaͤnge des XXII. und XXVII. Lehrſatzes.

Schluß.

So hat dann nun die umbgeſchriebene Figur gegen der eingeſchriebenen eine dreyfache Verhaͤltnis derer jenigen/ welche die Seiten beyder Vielekke gegen ein- ander haben/ Krafft obigen XXX. Lehrſatzes. Die Seite aber des umbge- ſchriebenen Vielekkes hat gegen der Seite des eingeſchriebenen eine kleinere Ver- haͤltnis/ als K gegen I, aus vorhergehender Vorbereitung. Derowegen hat auch die umbgeſchriebene Figur gegen der eingeſchriebenen eine kleinere Verhaͤlt- nis/ als die dreyfache des K gegen I iſt/ nach der 2. Anmerkung des V. Lehr- ſatzes. Nun aber iſt die dreyfache Verhaͤltnis des K gegen I noch kleiner/ als die Verhaͤltnis des K gegen G. (Beſihe unten die 2. Anmerkung.) So wird dem- nach umb ſo viel mehr die umbgeſchriebene Figur gegen der eingeſchriebenen eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als K gegen G; und noch viel mehr (weil K gegen G wieder eine kleinere Verhaͤltnis hat/ als die Kugel gegen dem Kegel X, Krafft obiger Vorbereitung) als die Kugel gegen dem Kegel X, und wechſelweiß/ die umbgeſchriebene Figur eine kleinere Verhaͤltnis gegen der Kugel/ als die einge- ſchriebene gegen dem Kegel; Welches ungereimt und unmoͤglich iſt/ weil die umb- geſchriebene Figur groͤſſer iſt als die Kugel/ die eingeſchriebene hingegen kleiner als der Kegel X (vermoͤg des XXVII. Lehrſatzes) und aber ein groͤſſeres gegen dem kleineren keine kleinere Verhaͤltnis haben kan/ als ein kleineres gegen dem groͤſſeꝛn/ wie leichtlich zu ſchlieſſen aus dem 8 ten des V. und die Vernunft ſelbſten lehret. So kan derowegen beſagte Kugel nicht groͤſſer ſeyn als der Kegel X.

Der andere Satz.

Setzet man/ ſie ſey kleiner/ ſo folget wiederumb das vorige ungereimte; wel- ches erhellen wird/ ſo man jezt ſetzet/ daß K gegen G eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als der Kegel X gegen der Kugel/ und die Seite des aͤuſſeren Vielekkes gegen der Seite des innern eine kleinere Verhaͤltnis/ als K gegen I; das uͤbrige/ wie oben/ bleiben laͤſſet.

Beweiß.

Dann daher wird eben/ wie oben/ folgen/ daß die umbgeſchriebene Figur ge- gen der eingeſchriebenen eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als K gegen G, und umb ſo viel mehr eine kleinere als der Kegel X gegen der Kugel; und wechſelweiß die umbgeſchriebene Figur gegen dem Kegel X eine kleinere Verhaͤltnis/ als die einge- ſchriebene gegen der Kugel; welches wieder nicht ſeyn kan/ weil die umbgeſchrie- bene Figur groͤſſer iſt als der Kegel X, nach der 2. Folge des XXIX. Lehrſatzes; die eingeſchriebene aber kleiner iſt als die Kugel. Jſt derowegen erſtbemeldte Ku- gel nicht kleiner als der Kegel X. Sie iſt aber auch nicht groͤſſer/ wie oben bewieſen worden. Derohalben iſt ſie nohtwendig demſelben gleich: Welches hat ſollen be- wieſen werden.

Anmerkungen.

1. Jn dieſem bißher ausgefuͤhrten Beweiß/ wird unter andern begehrt/ daß zwiſchen K und G ſollen gefunden werden zwey mittlerere gleichuͤbertreffende/ alſo daß nachmals alle viere einander ordentlich umb einen gleichen Teihl uͤbertreffen. Daß nun ſolches/ und wie es/ leichtlich geſchehen moͤge/ wollen wir alſo erweiſen. Den Uberreſt des dritten/ noch unbekan- ten/ uͤber das vierdte G wollen wir nennen x. ſo wird begehrtes drittes ſeyn g+x, und (weil das dritte von dem andern umb eben ſo viel uͤbertroffen wird/ als das vierdte von dem dritten) das andere g+2x; das erſte endlich g+3x, welches eben ſo viel iſt/ als das K. Woraus erhel- L ijlet/ daß Archimedis Erſtes Buch let/ daß/ wann man von dem erſten gegebenen das lezte/ auch bekante/ wegnimbt/ und das uͤbrige in drey gleiche Teihl teihlet/ ſo werde aus G und zwey ſolchen Teihlen das andere/ wiederumb aus G und einem ſolchen Teihl das dritte/ und alſo die beyde begehrte mittlere gleichuͤbertreffende.

2. Daß nun aber die dreyfache Verhaͤltnis des erſten gegen dem andern (K gegen I) kleiner ſey als die Verhaͤltnis des erſten gegen dem lezten (K gegen G) wollen wir Luſts halben/ denen Liebhabern der Buchſtaben-Rechnung (Logiſticæ ſpecioſæ) alſo erweiſen: g+3x iſt das erſte/ und g+2x das andere/ und alſo der Rahme ihrer Verhaͤltnis (nomen ratio- nis) vermittelſt welches nun leichtlich gefunden wird das dritte gleichverhal- tende/ und das vierdte/ Nun iſt die Verhaͤltnis des erſten gegen dieſem vierdten/ eben die dreyfache Verhaͤltnis des erſten gegen dem andern (des K gegen I;) alſo daß nur dieſes zu beweiſen uͤbrig iſt/ daß das erſte (K) gegen dieſem vierdten eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als gegen G. Solches nun wird da- her offenbar/ weil dieſes vierdte gleichverhaltende groͤſſer iſt als das G, welches augenſcheinlich wird/ wann man das obere dieſes Bruchs (fractionis) durch das untere teihlet/ und alſo findet/ daß er ſo viel gelte/ als und derowegen mehr als G.

Wem dieſe Art zu ſchwaͤr oder unannehmlich ſcheinet/ der kan ſich eines andern Beweiſes bedienen/ welchen Eutokius ohngefehr folgender Geſtalt verfaſſet: Es ſeyen 4. gleich - uͤber-

treffende (Arithmeticè proportionalia) B, G, H und K, und wie- derumb mit B und G das dritte und vierdte gleichverhaltende (Geo- metrice proportionalia) L und M, alſo daß (vermoͤg der 10den Worterklaͤrung im V. B.) B gegen M eine dreyfache Verhaͤlt- nis habe derer jenigen/ welche da hat B gegen G. Soll nun bewie- ſen werden/ daß B gegen M eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als eben das B gegen K.

Dann weil ſich/ wie B gegen G, alſo G gegen L, verhaͤlt/ ſo wird L von G umb eben ſo viel Teihl ſeiner ſelbſten/ uͤbertroffen/ als das G von B. Nun aber (weil B groͤſſer iſt als G) ſind die Teihle des B groͤſſer als die Teihle des G: derowegen iſt der Reſt des B uͤber das G groͤſſer/ als der Reſt des G uͤber das L. Der Reſt aber eben deſſel- ben/ G uͤber H iſt gleich dem Reſt B uͤber G. Darumb dann noht- wendig L groͤſſer ſeyn muß als H. Gleicher geſtalt folget/ daß M groͤſſer ſey als K, und deswegen (nach dem 8ten des V. B.) B ge- gen M eine kleinere Verhaͤltnis habe als gegen K, das iſt/ als da iſt die dreyfache Verhaͤltnis des B gegen G.

Folge.

Aus obigem Lehrſatz iſt offenbar/ daß eine jede Rund-Saͤule/ deren Grundſcheibe gleich iſt der groͤſſeſten Scheibe einer Kugel/ die Hoͤhe aber ihrem Durchmeſſer/ andeꝛthalb mal ſo groß ſey als dieſelbe Kugel; und ihre ganze aͤuſſere Flaͤche/ ſambt ihrer Grund- und Dek- kel-Scheiben/ auch anderthalb mal ſo groß als die Kugelflaͤche.

Dann gemeldte Rund-Saͤule iſt ſechsmal ſo groß als der Kegel/ welcher mit ihr eine gleiche Grundſcheibe/ aber nur halbe Hoͤhe (nehmlich die Hoͤhe des Halbmeſſers) hat/ vermoͤg des 10den und 14den des XII. B. die Kugel aber iſt viermal ſo groß als eben derſelbe Kegel/ nach vorhergegangenem XXXII. Lehrſatz. Verhaͤlt ſich alſo die Rund-Saͤule gegen der Kugel/ wie 6 gegen 4/ oder wie 3 gegen 2/ das iſt/ anderthalbig. Wiederumb: So wol die Hoͤhe der Rund-Saͤule/ als der Durchmeſſer ihrer Grundſcheibe iſt gleich dem Durch- meſſer der Kugel/ und daher/ auch die mittlere gleichverhaltende zwiſchen jenen beyden Von der Kugel und Rund-Seule. beyden iſt allen dreyen/ jedem abſonderlich/ gleich. Nun iſt aber die Scheibe/ von ſolcher mittlern gleichverhaltenden (als einem Halbmeſſer) beſchrieben/ viermal ſo groß als die groͤſſeſte Scheibe in der Kugel (vermoͤg des 20ſten im VI. und des 2ten im XII. B.) und derowegen (nach obigem XXXI. Lehrſatz) der ganzen Kugelflaͤche gleich. Sie iſt aber auch gleich der Flaͤche gemeldter Rund- Saͤule/ ohne die Grund- und Dekkelſcheibe/ Krafft obigen XIII. Lehrſatzes. Derowegen iſt die Flaͤche dieſer Rund-Saͤule (ohne die obere und untere Schei- ben) gleich der ganzen Kugelflaͤche. Die Grund- und Dekkelſcheibe aber er- wehnter Rund-Saͤule zuſammen ſind halb ſo groß als die Kugelflaͤche/ vermoͤg obangezogenen XXXI. Lehrſatzes. Darumb iſt die Flaͤche der Rund-Saͤule ſambt ihren beyden Scheiben anderthalb mal ſo groß/ als ofterwehnte Kugel- flaͤche. Welches zu beweiſen war.

Der XXXIII. (Fl. XXXII.) Lehrſatz/ Und Die Acht und zwanzigſte Betrachtung.

Die Flaͤche der/ innerhalb einem Kugelſtuͤkk (oberwehnter maſſen) eingeſchriebenen Figur iſt gleich einer Scheibe/ deren Halb- meſſer ſo viel vermagals das Rechtekk/ welches gemachet wird aus einer Seite des in einem Abſchnitt des groͤſſeſten Kreiſſes eingeſchrie- benen Vielekkes/ und aus der jenigen Lini/ die da allen/ mit der Grundlini des Abſchnittes gleichlauffenden/ Quehrlineen/ ſambt der halben Grundlini/ zuſammen gleich iſt.

Erlaͤuterung.

Es ſey ein Abſchnitt des groͤſſeſten Kreiſſes in einer Ku- gel/ AHG, deſſen Grundlini AG, und in demſelben einge- ſchrieben ein/ ſo wol der Zahl als Laͤnge nach/ gleichſeitiges Vielekk ACEHFDG. Dar- bey bilde man ihm abermal ein/ wie (nach folgendem Anhang) durch des Vielekkes Umblauf/ umb die unbeweg- liche Mittel-Lini HK, eine/ aus Kegelflaͤchen beſtehende/ Figur innerhalb des Kugel- ſtuͤkkes beſchrieben ſey. Uber dieſes ſey eine Scheibe beſchꝛie-

ben von dem Halbmeſſer L, deſſen Vierung ſo groß ſey als das Rechtekk aus AC (eines Teihls) und dann/ anders Teihls/ aus EF+CD+AK, das iſt/ (ver- moͤg des 17den im VI.) welcher Halbmeſſer ſey die mittlere gleichverhaltende zwiſchen AC und dieſer zuſamm geſetzten Lini. Wird nun geſagt/ beſagte Schei- be L ſey gleich der ganzen Flaͤche der eingeſchriebenen Figur.

L iijBeweiß Archimedis Erſtes Buch

Beweiß.

Damit ſolches erhelle/ ſo ſey der Halbmeſſer der Scheibe M die mittlere gleich- verhaltende zwiſchen HE und ½EF; Jtem ein anderer Halbmeſſer der Scheibe N, die mittlere gleichverhaltende zwiſchen EC und ½EF+½CD; Endlich wieder einer der Scheibe X, die mittlere gleichverhaltende zwiſchen AC und ½CD+ ½AG, nach dem 13 den des VI. B.

So iſt nun die Vierung L (Krafft obigen Satzes) gleich dem Rechtekk aus AC und EF+CD+AK, oder (welches/ vermoͤg des 1 ſten im II. B. gleich viel iſt) denen dreyen Rechtekken/ deren erſtes wird aus HE (oder AC) und ½EF; das andere aus EC (oder AC) und ½EF+½CD; das dritte aus AC und ½CD+AK. Eben dieſen dreyen Rechtekken aber ſind auch gleich die drey Vie- rungen von M, N, und X, Krafft der Vorbereitung und des 17den im VI. Derowegen iſt die Vierung L dieſen drey Vierungen/ und alſo (vermoͤg des 2ten im XII.) die Scheibe L denen drey Scheiben/ M, N und X gleich. Dieſe drey Scheiben aber miteinander ſind gleich der Flaͤche obeingeſchriebener Figur; (dann M iſt gleich der Kegelflaͤche HEF, nach dem XIV. Lehrſatz; N der zwiſchen EF und CD enthaltenen/ und dann X der zwiſchen CD und AG eingeſchloſſenen/ Kegelflaͤche/ vermoͤg des XVI. Lehrſatzes.) Derohalben iſt auch die Scheibe L beſagter Flaͤche gleich; Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anhang.

Es werde eine Kugel von einer ebenen Flaͤche alſo durchſchnitten/ daß der Durchſchnitt auſſer ihrem Mittelpunct falle; und ſey deren

groͤſſeſten Kreiß einer in der Kugel/ AEF, welcher die durchſchneidende Flaͤche ſenkrecht zerteihle; in den Abſchnitt ABC aber werde eingeſchrieben ein (der Zahluñ Laͤnge nach) gleichſeitiges Vielekk/ ausgenommen die Grundlini AB (welche denen andern Seiten nit gleich ſeyn darf.) So nun/ eben wie oben/ das eingeſchriebene Vielekk/ umb die unbewegliche Mittel-Lini CF, gewaͤlzet wird/ werden die Winkel (oder ihre Quehrlineen) DE, AB, abermal gewiſſe Kreiſſe oder Scheiben/ die Seiten aber des Vielekkes ihre Kegelflaͤchen beſchreiben; und wird alſo daher entſtehen eine von lauter Kegelflaͤchen beſchloſſene Coͤrperliche Figur/ deren Grund/ ſcheibe iſt die Scheibe des Durchmeſſers AB, ihr Scheitelpunct aber C. Die Flaͤche nun dieſer eingeſchriebenen Figur wird abermal/ wie oben/ kleiner ſeyn als die begreiffende Flaͤche des Kugelſtuͤkkes; die- weil beyde Flaͤchen einerley Graͤnzlineen haben/ nehmlich den Kreiß des Durchmeſſers AB; beyde auch nach einer Seite hohl ſind/ und jene von dieſer begriffen oder eingeſchloſſen wird.

Anmerkung.

Es iſt aber hierbey zu merken/ daß/ wann bemeldte Figur von lauter Kegelflaͤchen/ wie Archimedes begehrt/ beſtehen ſolle/ der Abſchnitt des groͤſſeſten Kreiſſes/ welchem das Viel- ekk ſolle eingeſchrieben werden/ nicht eben zwey Dritteihl des Kreiſſes begreiffen/ oder doch (in ſol- Von der Kugel und Rund-Seule. (in ſolchem Fall) die Seiten des Vielekkes nicht eben durch 4. aufgehoben werden muͤſſe. Dann ſonſten kan es geſchehen/ daß zwo Seiten des Vielekkes (als hier AD und BE) gleichlauffen/ und alſo durch ihren Umblauff keine Kegelflaͤche/ ſondern eine Rundſaͤulen Flaͤche beſchreiben. Daß aber AD und BE (wann nehmlich AC und CB zwey Dritteihl des Kreiſſes ſind/ und das Vielekk eben vier Seiten hat/ wie hier) gleichlauffend ſeyen/ erhellet daher: Weil AB ein Dritteihl vom Kreiß iſt/ und AD½ Dritteihl/ ſo iſt DFB ein Halbkreiß/ und deswegen der Winkel im Halbkreiß DAB ein gerader Winkel/ nach dem 31ſten des III. Gleicher weiſe wird bewieſen/ daß auch ABE

ein gerader Winkel ſey. Woraus dann unfehlbar folget/ daß AD und BE gleichlauffend ſeyen/ vermoͤg des 28ſten im I. B.

Weil ſonſten dieſer Anhang in denen gedrukkten Griechiſchen Exemplaren mit der Zahl ei- nes abſonderlichen Lehrſatzes bezeichnet iſt/ kan der goͤnſtige Leſer leichtlich/ wann es ihm alſo belieben wuͤrde/ demſelben die Geſtalt eines Lehrſatzes geben/ wie wir oben bey dem Anhang des XXII. Lehrſatzes gethan haben.

Der XXXIV. (Fl. XXXIII.) Lehrſatz/ Und Die Neun und zwanzigſte Betrachtung.

Die Flaͤche einer/ einem Kugelſtuͤkk eingeſchriebenen/ Figur iſt kleiner als die jenige Scheibe/ deren Halbmeſſer ſo groß iſt als die Lini/ welche aus dem Scheitelpunct der Figur an den Umbkreiß ihrer Grundſcheibe gezogen wird.

Erlaͤuterung.

Es ſey einer Kugel groͤſſeſter Kreiß ABFE, welcher ſenkrecht durchſchneide das Kugelſtuͤkk/ deſſen Grund- oder Abſchnitt-Flaͤche iſt die Scheibe des Durch- meſſers AB. Jn dem Abſchnitt des durchſchnei- denden Kreiſſes ABFE nun/ werde (nach Anlei- tung vorhergehenden Anhangs) eingeſchrieben das Vielekk ABDFHECA, und durch deſſen Umb- trieb hervor gebracht eine/ dem Kugelſtuͤkk einge- ſchriebene Coͤrperliche Figur. Es ſey uͤber dieſes gegeben eine Scheibe/ deren Halbmeſſer M gleich ſey der Lini AH, welche aus dem Scheitelpunct der Figur H auf den Umbkreiß ihrer Grundſcheibe AB gezogen iſt. So ſage ich nun/ dieſe Scheibe

von M ſey groͤſſer als die Flaͤche obeingeſchriebener Figur.

Beweiß.

Dann (ſo man ziehet AH, EL) ſo iſt gewiß/ daß die Flaͤche der einge- ſchriebenen Figur gleich iſt einer Scheibe (zum Exempel X) deren Halbmeſſer ſo viel vermag/ als das Rechtekk aus EH und EF+CD+AK, aus dem vorhergehenden XXIII. Lehrſatz. Eben dieſes Rechtekk aber (oder die Vierung des Halbmeſſers X) iſt gleich dem Rechtekk aus EL und KH (Beſihe unten die 1. Anmerkung) vermoͤg des obigen XXII. Lehrſatzes und des 16den im VI. B. Und dieſes Rechtekk aus EL und KH iſt kleiner als die Vierung AH (weil es kleiner iſt als das Rechtekk aus HL und KH, welches der Vierung AH gleich iſt; Beſihe unten die 2. und 3. Anmerkung.) Dero- wegen Archimedis Erſtes Buch wegen iſt auch die Vierung des Halbmeſſers X kleiner als die Vierung AH; und folgends auch die Scheibe X kleiner als die Scheibe von AH, oder (wel- che dem AH gleich iſt) von M, nach dem 2ten des XII. B. Woraus dann nun folget/ daß (weil die Flaͤche der eingeſchriebenen Figur/ der Scheibe X gleich iſt/ als oben bewieſen) die Scheibe M groͤſſer ſey als gemeldte Flaͤche: Welches zu beweiſen war.

Anmerkungen.

1. Daß das Rechtekk aus EH und EF+CD+AK, gleich ſey dem Rechtekk aus EL und KH, erhellet alſo: Vermoͤg des obigen XXII. Lehrſatzes verhaͤlt ſich EF+CD+ AK gegen KH, wie EL gegen EH. Derowegen iſt das aus beyden aͤuſſerſten gemachte Rechtekk gleich dem Rechtekk aus beyden mittlern/ nach dem 16den des VI.

2. Daß das Rechtekk aus EL und KH kleiner ſey als das Rechtekk aus HL und HK, iſt daher gewiß/ weil ſie beyde einerley Hoͤhe haben/ nehmlich KH, die Grundlini HL aber (als der Durchmeſſer) groͤſſer iſt als jene Grundlini EL, vermoͤg des 15den im III. B.

3. Daß aber eben dieſes Rechtekk aus HL und KH, der Vierung AH gleich ſey/ wird folgender Geſtalt bewieſen: Der Winkel HAL iſt ein Winkel im Halbkreiß/ und deswegen ein gerader/ vermoͤg des 31 ſten im III. Von dieſem geraden Winkel aber faͤllt AK ſenkrecht auf HL, Krafft obiger Erlaͤuterung; derowegen ſind die beyde Dreyekke LHA und AHK einander aͤhnlich/ und verhaͤlt ſich wie LH gegen AH, alſo AH gegen HK, nach dem 8ten des VI. B. und derowegen iſt das Rechtekk aus beyden aͤuſſerſten (LH und HK) gleich der Vierung des mittlern (AH) vermoͤg des 17den im VI. B.

Der XXXV. (Fl. XXXIV.) Lehrſatz/ Und Die Dreyſſigſte Betrachtung.

Die/ in einem Kugelſtuͤkk (ſo da kleiner iſt als eine Halb-Kugel) eingeſchriebene/ und von lauter Kegelflaͤchen beſchloſſene/ Figur/ ſambt einem Kegel/ welcher die Grundſcheibe mit beſagter Figur gemein/ ſeine Spitze aber in dem Mittelpunct der Kugel hat; iſt gleich einem Kegel/ deſſen Grundſcheibe ſo groß iſt/ als die Flaͤche der eingeſchriebenen Figur/ die Hoͤhe aber gleich der Lini/ welche aus dem Mittelpunct der Kugel auf eine Seite des Vielekkes ſenk- recht faͤllet.

Erlaͤuterung.

Es ſey einer Kugel groͤſſeſter Kreiß/ und ein Abſchnitt deſſelben/ ADC, kleiner als der Halbkreiß. Darein ſey beſchrieben/ wie oft gemeldt/ ein gleich- ſeitiges Vielekk/ AFGDHLC, deſſen Umblauf umb die unbewegliche Mit- tel-Lini DE, eine Coͤrperliche Figur innerhalb dem Kugelſtuͤkk/ welches kleiner iſt als eine Halb-Kugel/ hervor bringe. Auf die Grundſcheibe dieſer Figur/ AC, ſey ferner geſetzet der Kegel AEC, alſo daß ſeine Spitze gerad den Mittel- punct E erreiche. Wiederumb ſey ein Kegel K, deſſen Grundſcheibe ſo groß iſt als die Von der Kugel und Rund-Seule. als die Flaͤche der eingeſchriebenen Fi- gur/ ſeine Hoͤhe aber gleich der Lini/ welche aus dem Mittelpunct E auf eine Seite des Vielekkes ſenkrecht ge- zogen wird. Soll nun bewieſen wer- den/ daß beſagter Kegel K ſo groß ſey als die ganze eingeſchriebene Figur ſambt dem Kegel AEC.

Beweiß.

Deſto beſſer fortzukommen/ be- ſchreibe man in Gedanken auf die Scheiben derer Durchmeſſer GH und FL auch Kegel/ die ihre Spitzen ha- ben in dem Mittelpunct E. So iſt nun der Doppel-Kegel GDHE gleich ei-

nem Kegel/ deſſen Grundſcheibe ſo groß iſt als die Flaͤche des Kegels GDH, ſeine Hoͤhe aber gleich der Lini/ welche aus E auf GD ſenkrecht faͤllet/ nach obigem XVIII. Lehrſatz. (Und dieſen Kegel wollen wir a nennen.) Wiederumb das Doppelkegel-Stuͤkk EFGEHLE iſt gleich einem Kegel/ deſſen Grundſcheibe gleich iſt der zwiſchen GH und FL enthaltenen Kegelflaͤche/ die Hoͤhe aber wie- der gleich einer Lini aus E auf FG (oder GD) ſchnurrecht gezogen/ vermoͤg des XX. Lehrſatzes; und dieſſer Kegel heiſſe b. Noch weiter iſt/ aus eben die- ſem Grund/ das Doppelkegel-Stukk EAFELCE, gleich einem Kegel/ deſſen Grundſcheibe ſo groß iſt als die/ zwiſchen FL und AC enthaltene Kegelflaͤche/ die Hoͤhe aber wieder gleich einer/ aus E auf AF (oder GD) ſenkrecht fallenden Lini; (Und dieſen Kegel nennen wir c. So haben wir nun alſo drey Kegel/ a, b und c, welche zuſammen ſo groß ſind als die ganze eingeſchriebene Figur ſambt dem Kegel AEC (wie wir bißher ſtuͤkkweiß gezeiget haben) und deren drey Grundſcheiben zuſammen (wie aus beſagtem auch erhellet) gleich ſind der Flaͤ- che der eingeſchriebenen Figur. Nun iſt aber (Krafft obigen Satzes) die Grundſcheibe des Kegels K auch ſo groß als die Flaͤche der eingeſchriebenen Figur/ das iſt/ ſo groß als derer drey Kegel/ a, b und c, ihre Grundſcheiben miteinander. Derowegen (weil auch ſeine Hoͤhe jener Hoͤhe gleich iſt) muß eben dieſer Kegel K (vermoͤg des 11 ten im XII.) ſo groß ſeyn als jene drey Kegel miteinander/ das iſt/ als die eingeſchriebene Figur ſambt dem Kegel AEC. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Folge.

Hieraus iſt offenbar/ daß der jenige Kegel/ deſſen Grund- ſcheibe zum Halbmeſſer hat die Lini DA, welche von der Spitze der Figur auf den Umbkreiß ihrer Grundſcheibe herunter gezogen iſt/ zur Hoͤhe aber den Halbmeſſer der Kugel; groͤſſer ſey als die einge- ſchriebene Figur ſambt dem Kegel AEC.

MDann Archimedis Erſtes Buch

Dann erſtbeſchriebener Kegel hat eine groͤſſere Grundſcheibe/ als der Kegel K, vermoͤg obiger Erlaͤuterung und des vorhergehenden XXXIV. Lehrſatzes. So iſt auch ſeine Hoͤhe groͤſſer/ als die Hoͤhe des Kegels K. De- rowegen lehret die Vernunft/ daß auch beſagter Kegel groͤſſer ſeyn muͤſſe als der Kegel K; das iſt/ vermoͤg erſtgegebenen Beweiſes/ als die eingeſchriebene Figur/ ſambt dem Kegel AEC.

Anhang.

Es ſey einer Kugel groͤſſeſte Scheibe ABC, und von derſel- ben abgeſchnitten/ durch AB weniger als eine Halb-Schei- be. Der Mittelpunct ſey D, und aus demſelben gezogen DA und DB. Umb dieſen daraus erwachſenden Kreiß- oder Scheiben-Teihl/ ADBA, werde ferner ein Vielekk/ und umb daſſelbe wieder ein Kreiß beſchrieben/ welcher alſo einer- ley Mittelpunct mit dem Kreiß ABC haben wird. (Beſihe die 2. Anmerkung bey dem Anhang des XXVII. Lehrſatzes.) So nun das erwehnte Vielekk umb die unbewegliche Mittel-Lini EK getrieben wird/ biß es wieder an ſeine vorige Stelle kommet/ ſo beſchreibet der umbſchriebene Kreiß eine Kugel/ und die Winkel des Vielekkes gewiſſe Kreiſſe/ deren Halbmeſſer ſind die mit AB gleichlauffende/ von Ekk zu Ekk gezogene Quehrlineen: Die jenige Puncten aber/ in welchen die Seiten des Vielekkes den klei- nern Kreißberuͤhren/ verzeichnen durch ihren Umblauf andere Ne- ben-Kreiſſe/ deren Halbmeſſer ſind die/ von einem Anruͤhrungs- punct zum andern/ mit AB auch gleichlauffende/ Quehrlineen. Die Seiten endlich des Vielekkes bewegen ſich wieder nach ihren Kegelflaͤchen/ alſo daß abermal daher entſtehet eine Coͤrperliche/ von lauter Kegelflaͤchen beſchloſſene/ Figur deren Grundſcheibe von dem Durchmeſſer FG beſchrieben iſt. Dieſer Figur ihre Flaͤche nun iſt groͤſſer als die Flaͤche des kleinern Kugelſtuͤkkes/ deſſen Grundſcheibe AB iſt. Dann ſo man ziehet AM und BN, welche den Kreiß in A und B beruͤhren/ und in der Umbdrehung auch Kegel- Von der Kugel und Rund-Seule. Kegelflaͤchen beſchreiben/ ſo iſt aus obigem bekant/ daß die Flaͤche der Figur AMHENB groͤſſer ſey als die Kugelflaͤche uͤber der Scheibe AB; weil ſie beyde einerley Graͤnzlini haben/ nehmlich den Kreiß des Durchmeſſers AB, und die Kugelflaͤche von jener ein- geſchloſſen iſt. Es iſt aber die von FM und GN beſchriebene Kegel- flaͤche groͤſſer als die von AM und BN beſchriebene/ weil FM dem geraden Winkel bey A unterzogen/ und daher groͤſſer iſt als AM, alſo auch NG groͤſſer als NB. Deswegen wird umb ſo viel mehr die Flaͤche der umbſchriebenen Figur/ FHEG, groͤſſer ſeyn als die Flaͤche des kleinern Kugelſtuͤkkes.

Folge.

Daraus erhellet/ daß die/ umb beſagten Kugelſchnitt beſchrie- bene/ Flaͤche gleich ſey einer Scheibe/ deren Halbmeſſer ſo viel ver- mag/ als das Rechtekk aus einer Seite des Vielekkes/ und aus allen/ von Ekk zu Ekk gezogenen/ Quehrlineen/ ſambt noch der hal- ben Grundlini/ zuſamm genommen. Dann die/ umb den klemen (oder innern) Kugelſchnitt beſchriebene Figur/ iſt in dem Teihl der groͤſſern Kugel eingeſchrieben; und alſo die Sache ſchon aus dem vorhergehenden (nehmlich aus dem XXXIII. Lehrſatz) bekant.

Der XXXVI. (Fl. XXXV.) Lehrſatz/ Und Die Ein und dreyſſigſte Betrachtung.

Die Flaͤche einer/ umb einen Kugelſchnitt beſchriebenen/ Figur iſt groͤſſer als die jenige Scheibe/ deren Halbmeſſer ſo groß iſt als die Lini/ welche aus dem Scheitelpunct des Kugelſchnittes an den Umbkreiß ſeiner Grundſcheibe gezogen wird.

Erlaͤuterung.

Es ſey einer Kugel groͤſſeſter Kreiß ABCD, und umb ein Stuͤkk deſſelben beſchrieben LKF, umb dieſes aber wieder ein Kreiß beſchrieben/ und endlich/ nach Anleitung des naͤchſt vor her gehenden Anhanges/ eine umb den Kugel- Teihl beſchriebene Coͤrperliche Figur.

M ijDarnach Archimedis Erſtes Buch

Darnach ſey gegeben eine Schei- be/ deren Halbmeſſer N ſo viel ver- mag/ als das Rechtekk aus einer Seite des Vielekkes und aus allen Quehrlineen ſambt der halben KL, das iſt/ welche Scheibe gleich ſey der Flaͤche der umbgeſchriebenen Figur/ vermoͤg der naͤchſtvorher- gehenden Folge. Soll nun bewie- ſen werden/ daß beſagte Scheibe groͤſſer ſey als eine Scheibe deren Halbmeſſer der Lini DA gleich iſt.

Beweiß.

Die Vierung von N iſt gleich dem Rechtekk aus einer Seite des Vielekkes und allen Quehrlineen ſambt ½ KL; das iſt (vermoͤg der 1. Anmer- kung des XXXIV. Lehrſatzes) dem Rechtekk aus MH und FG. Dieſes Rechtekk aber aus MH und FG iſt groͤſſer als das Rechtekk aus CD und DX (weil MH und CD gleich ſind/ FG aber groͤſſer iſt als DX, Beſihe unten die 1. Anmerkung) derowegen iſt auch die Vierung von N groͤſſer als dieſes Rechtekk aus CD und DX. Eben dieſes Rechtekk aber iſt gleich der Vierung von DA, ver- moͤg des Beweiſes in der 3. Anmerkung des XXXIV. Lehrſatzes; Darumb ſo iſt die Vierung von N groͤſſer als die Vierung von DA, und alſo auch die Scheibe von N groͤſſer als die Scheibe von DA, nach dem 2ten des XII. B. Die Scheibe von N aber iſt gleich der umbſchriebenen Flaͤche/ Krafft obiger Erlaͤuterung. Jſt derowegen gemeldte Flaͤche groͤſſer als die Scheibe von DA. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkungen.

1. Es iſt oben geſagt worden/ MH und CD ſeyen einander gleich/ FG aber ſey groͤſſer als DX. Solches wird folgender Geſtalt offenbar werden: So man ziehet FK, wird ſelbe mit DA gleich lauffen/ (weil FEK und DEA beyde gleichfuͤſſige (iſocelia) Dreyekke ſind/ und den Winkel bey E gemein/ daher die uͤbrige einander gleich haben) und gleicher geſtalt AB mit KL. Sind derohalben die beyde Dreyekke FKG und DAX gleichwinklicht/ und (ver- moͤg des 2ten und 4ten im VI.) einander aͤhnlich. Darumb verhaͤlt ſich wie FK gegen DA, alſo FG gegen DX. FK iſt aber groͤſſer als DA (wie die Vernunft lehret) derowegen iſt FG groͤſſer als DX. Und diß iſt eines.

Ferner MO und OF ſind einander gleich/ vermoͤg des 3ten im III. B. wie auch HE und EF, deswegen ſind MH und EO gleichlauffend/ und MH zweymal ſo groß als EO, aus dem 2ten des VI. B. Es iſt aber auch CD zweymal ſo groß als EO, wie fuͤr Augen ligt; darumb muͤſſen MH und CD nohtwendig einander gleich ſeyn.

2. Flurantius hat/ an ſtatt des obigen Beweiſes Archimedis/ ein kuͤrzern geſuchet/ aber des Zwekks weit verfehlet. Dann nach dem er den Lehrſatz richtig und unveraͤndert vorge- bracht/ gehet er nachmals in ſeiner Erlaͤuterung dahin/ als ob Archimedis Meinung waͤre/ die umbgeſchriebene Flaͤche ſey groͤſſer als (unſerer Figur nach/ dann bey ihm ſind andere Buch- ſtaben) die Scheibe von der Lini FK, welche aus dem Scheitelpunct der umbſchriebenen Figur auf den Umbkreiß der Grundſcheibe eben derſelben Figur/ gezogen iſt; Welches dann nicht al- lein wider die Meinung Archimedis (als der ausdruͤkklich redet von der Lini/ welche aus dem Scheitelpunct/ nicht der Figur/ ſondern des Abſchnittes oder Kugelteihles auf die Grundſcheibe/ nicht der umbſchriebenen Figur/ ſondern/ eben deſſelben Abſchnittes) ſondern auch ganz falſch iſt; Weil Von der Kugel und Rund-Seule. Weil aus dem XXXIV. Lehrſatz vielmehr das Gegenteihl erhellet/ daß nehmlich die umb- geſchriebene Flaͤche kleiner ſey als die Scheibe von FK, wie dann Flurantius ſelbſten/ wider ſich ſelbſten/ in ſeinem kurzen Beweiß augenſcheinlich und ohngefehr alſo bekraͤfftiget: Die umb den innern Kugelteihl beſchriebene Fgur/ iſt in den aͤuſſern und groͤſſern eingeſchrieben. Run iſt aber die Flaͤche dieſer eingeſchriebenen kleiner als die Scheibe von FK, vermoͤg des XXXIV Lehrſatzes; derowegen ſo iſt auch die umbgeſchriebene Flaͤche (nehmlich eben die vorige) klei- ner als die Scheibe von FK. Daß alſo Flurantius erſtlich etwas vornimbt zu beweiſen/ wel- ches Archimedis Meinung nicht/ ſondern gar unmoͤglich/ iſt; nachmals aber etwas beweiſet/ welches weder er ſelbſten/ noch Archimedes/ zn beweiſen fuͤrgenommen.

Der XXXVII. (Fl. XXXVI.) Lehrſatz/ Und Die Zwey und dreyſſigſte Betrachtung.

Die umb einen Kugelſchnitt beſchriebene Figur (Beſihe vorher- gehenden Abriß) ſambt dem Kegel/ deſſen Grundſcheibe von dem Durchmeſſer KL beſchrieben iſt/ ſeine Spitze aber in dem Mittel- punct der Kugel (nehmlich dem Kegel KEL) iſt gleich einem Kegel/ deſ- ſen Grundſcheibe ſo groß iſt als die Flaͤche der umbgeſchriebenen Fi- gur/ die Hoͤhe aber gleich der Lini/ welche aus dem Mittelpunct der Kugel auf eine Seite des Vielekkes ſenkrecht faͤllet.

Beweiß.

Die umb den kleinern oder innern Kugelſchnitt beſchriebene Figur/ KMFL, iſt in dem groͤſſern oder aͤuſſern/ mit jenem einerley Mittelpunct habenden/ Ku- gelſchnitt eingeſchrieben/ vermoͤg des Anhangs des obigen XXXVI. Lehrſatzes/ und dannenhero die Sache ſchon bewieſen in erſtangezogenem XXXV. dieſes.

Die Erſte Folge.

Die umbgeſchriebene Figur ſambt dem Kegel KEL, iſt groͤſſer als der Kegel/ deſſen Grundſcheibe zum Halbmeſſer hat die Lini DA, welche aus dem Scheitelpunct des kleinern Kugelſtuͤkkes auf den Umbreiß ſeiner Grundſcheibe gezogen wird; zur Hoͤhe aber der Kugel ihren Halbmeſſer.

Dann der Kegel/ welcher in dieſem XXXVII. Lehrſatz der umbgeſchriebenen Figur ſambt dem Kegel KEL gleich zu ſeyn erwieſen iſt/ hat mit gegenwaͤrtigem/ in der Folge bemeldten/ Kegel eine gleiche Hoͤhe/ nehmlich der Kugel Halbmeſſer; und aber darneben eine groͤſſere Grundſcheibe/ vermoͤg des vorhergehenden XXXVI. Lehrſatzes. Derowegen ſo iſt auch jener Kegel (das iſt/ die umbge- ſchriebene Figur ſambt dem Kegel KEL) groͤſſer als dieſer/ nach dem 11ten des XII. Buchs.

M iijDie An- Archimedis Erſtes Buch

Die Andere Folge.

Wann in einem (als eine Halb-Kugel kleinern) Kugelſtuͤkk/ oftbeſagter maſſen/ eine Figur (ALBC) eingeſchrieben/ und eine andere (EKHF) umb denſelben beſchrieben wird; ſo hat die Flaͤche der umbgeſchriebenen gegen der Flaͤche der eingeſchriebenen Figur eine gedoppelte/ die ganze umbgeſchriebene Figur aber ſambt dem Kegel EDF, gegen der ganzen eingeſchriebenen ſambt dem Kegel ADC, eine dreyfache/ Verhaͤltnis derer jenigen/ welche da hat ei- ne Seite des umbgeſchriebenen gegen einer Seite des eingeſchrie- benen aͤhnlichen Vielekkes.

Der Beweiß iſt des obigen XXX. Lehrſatzes ſeinem ganz aͤhnlich. Dann/ ſo man ſetzet die Scheibe von M gleich der umbgeſchriebenen/ die Scheibe von N

aber gleich der eingeſchriebenen Flaͤche/ aus dem 15den des VI. und dem obigen XXXIII. Lehr- ſatz/ benebenſt der Folge des XXXV. ſo folget wieder/ wie in des angezogenen XXX. Lehrſatzes Beweiß/ daß der Halbmeſſer M gegen dem Halbmeſſer N ſich ver- halte/ wie die Seite EK gegen der Seite AL (dorten ſind die Buch- ſtaben ein wenig anderſt geſetzet/ und heiſſet/ wie EL gegen AK) und folgends die Scheibe M gegen der Scheibe N (das iſt/ die umb- geſchriebene Flaͤche gegen der ein- geſchriebenen) eine gedoppelte Ver- haͤltnis habe derer/ welche da hat EK gegen AL.

Jngleichen/ ſo man ſetzet einen Kegel X, gleich der umbgeſchriebenen Figur/ ſambt dem Kegel EDF, und einen andern/ O, gleich der eingeſchriebenen ſambt dem Kegel ADC, nach denen obigen XXXVII. und XXXV. Lehrſaͤtzen; ſo ſchlieſſet ſich wieder/ wie dorten/ daß die Hoͤhe des Kegels X gegen der Hoͤhe des Kegels O ſich verhalte/ wie EK gegen AL, das iſt/ wie der Durchmeſſer M gegen dem Durchmeſſer N; oder wie die Durchmeſſer beyder Kegel Grund- ſcheiben gegen einander; und daher beyde Kegel einander aͤhnlich ſeyen; und fol- gends der Kegel X gegen dem Kegel O (das iſt/ die umbgeſchriebene Figur ge- gen der eingeſchriebenen) eine dreyfache Verhaͤltnis habe derer jenigen/ welche da hat der Durchmeſſer M gegen dem Durchmeſſer N, das iſt/ die Seite EK gegen der Seite EL, &c.

Der Von der Kugel und Rund-Seule.

Der XXXVIII. Lehrſatz/ Und Die Drey und dreyſſigſte Betrachtung.

Die Flaͤche eines jeden/ als eine Halb-Kugel kleineren/ Kugel- ſtuͤkkes iſt gleich einer Scheibe/ deren Halbmeſſer ſo groß iſt als die Lini/ welche aus dem Scheitelpunct des Kugelſtuͤkkes auf den Umb- kreiß ſeiner Grundſcheibe gezogen wird.

Erlaͤuterung.

Es ſey ein Kugelſtuͤkk ABC kleiner als eine Halb-Kugel/ ſein Scheitel- punct B, und der Umbkreiß ſeiner Grundſcheibe/ AC. Es ſey ferner von BA, als einem Halbmeſſer/ beſchrie- ben eine Scheibe F. Soll nun bewie- ſen werden/ daß die Flaͤche obbe- meldten Kugelſtuͤkkes dieſer Scheibe F gleich ſey.

Dann ſo ſie ihr nicht gleich iſt/ wird ſie nohtwendig groͤſſer oder klei- ner ſeyn.

Man ſetze erſtlich/ ſie ſey groͤſſer; und bilde ihm darneben ein/ wie beſag- tes Kugelſtuͤkk von einer ſenkrechten

Flaͤche halbgeteihlet ſey/ daß daher entſtehet der Abſchnitt der groͤſſeſten Schel- be ABC, in und umb welchen beſchrieben ſeyen zwey gleichſeitige und einan- der aͤhnliche Vielekke/ alſo daß das aͤuſſere gegen dem innern eine kleinere Ver- haͤltnis habe/ als die Kugelflaͤche gegen der Scheibe F, nach der erſten Folge des V. Lehrſatzes/ und durch Umbwaͤlzung dererſelben erwachſen zwey/ von Kegelflaͤchen beſchloſſene/ Figuren/ eine umb das gegebene Kugelſtuͤkk/ die an- dere in daſſelbe eingeſchrieben/ nach Anleitung obiger bekanten Anhaͤnge. So hat dann nun nicht allein das aͤuſſere Vielekk gegen dem innern (vermoͤg des 20ſten im VI. B.) ſondern auch die Flaͤche der umbgeſchriebenen gegen der Flaͤche der eingeſchriebenen Figur (nach der andern Folge des vorher- gehenden Lehrſatzes) eine gedoppelte Verhaͤltnis derer/ welche da haben die Seiten derer Vielekke gegen einander; und daher verhaͤlt ſich/ wie das aͤuſſere Vielekk gegen dem innern/ alſo die umbgeſchriebene Flaͤche gegen der einge- ſchriebenen; das iſt (Krafft obiger Vorbereitung) die umbgeſchriebene Flaͤche hat gegen der eingeſchriebenen eine kleinere Verhaͤltnis/ als die Kugel- ſtuͤkkes-Flaͤche gegen der Scheibe F. Noch viel mehr aber wird eben dieſe Ku- gelſtuͤkkes-Flaͤche (weil ſie kleiner iſt als die umbgeſchriebene) gegen der ein- geſchriebenen eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als ſie hat gegen der Scheibe F, M iiijund Archimedis Erſtes Buch und dannenhero die eingeſchriebene Flaͤche groͤſſer ſeyn als die Scheibe F, ver- moͤg des 10den im V. B. Welches aber unmoͤglich/ und ſchnurſtrakks wider obigen XXXIV. Lehrſatz iſt. Kan derowegen beſagte Kugelſtuͤkkes-Flaͤche nicht groͤſſer ſeyn als die Scheibe F.

Man ſetze fuͤrs andere/ ſie ſey kleiner/ und das aͤuſſere Vielekk habe gegen dem innern eine kleinere Verhaͤltnis/ als die Scheibe F gegen der Kugelſtuͤkkes- Flaͤche: So folget wieder/ wie oben/ daß die umbgeſchriebene Flaͤche gegen der eingeſchriebenen auch eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als die Scheibe F gegen der Kugelſtuͤkkes-Flaͤche; und daß umb ſo viel mehr eben die Scheibe F (weil ſie/ vermoͤg des XXXVI. Lehrſatzes/ kleiner iſt als die umbgeſchriebene Flaͤche) gegen der eingeſchriebenen eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als ſie hat gegen der Kugelſtuͤkkes-Flaͤche/ und dahero die eingeſchriebene Flaͤche groͤſſer ſey/ als die Flaͤche des Kugelſtuͤkkes/ vermoͤg des 8ten und 10den im V. B. Welches aber/ Krafft obigen Anhanges des XXXIII. Lehrſatzes/ abermal ungereimt und unmoͤglich iſt. Kan derowegen oftgemeldte Kugelſtuͤkkes-Flaͤche nicht kleiner ſeyn/ als die Scheibe F. Sie iſt aber auch nicht groͤſſer/ wie oben erwieſen. Derowegen iſt ſie derſelben nohtwendig gleich: Welches hat ſollen bewieſen werden.

Der XXXIX. Lehrſatz/ Und Die Vier und dreyſſigſte Betrachtung.

Und/ wann das Kugelſtuͤkk gleich groͤſſer iſt als eine Halb- Kugel/ ſo iſt dannoch ſeine Flaͤche gleich der jenigen Scheibe/ de- ren Halbmeſſer ſo groß iſt als die Lini/ welche aus dem Scheitel- punct des Kugelſtuͤkkes auf den Umbkreiß ſeiner Grundſcheibe ge- zogen wird.

Erlaͤuterung.

Es ſey ACD ein Kugelſtuͤkk groͤſſer als die Halb-Kugel/ und die ganze Kugel alſo halbgeteihlet/ daß ihrer groͤſſeſten Kreiſſe ei- ner ſey ABDC, und der Durchmeſſer BC den Durchmeſſer AD winkelrecht und halb- teihle/ nach dem 3ten des III. Buchs. Fer- ner ziehe man AB und AC, und mache den Halbmeſſer der Scheibe E, gleich AB, F gleich AC, und G gleich BC. Soll nun be- wieſen werden/ daß die Scheibe von AC, oder F, gleich ſey der Flaͤche des Kugelſtuͤkkes ACD.

Beweiß. Von der Kugel und Rund-Seule.

Beweiß.

Weil der Halbmeſſer G ſo groß iſt als der ganze Durchmeſſer BC, und alſo der Durchmeſſer der Scheibe G zweymal ſo groß als BC, ſo iſt die Scheibe G viermal ſo groß/ als die Scheibe ABCD, vermoͤg des 20ſten im VI. und des 2ten im XII. Buch/ und eben aus dieſem Grund iſt die Scheibe E viermal ſo groß/ oder zweygedoppelt/ als die Scheibe von AB, und F viermal ſo groß als die Scheibe von AC. Nun ſind aber die beyde Scheiben von AB und AC (weil A ein gerader Winkel iſt/ aus dem 31ſten des III.) zuſammen ſo groß als die Scheibe von BC, das iſt/ die Scheibe ABDC, nach dem 47ſten des I. und dem 2ten des XII. B. Derowegen ſo ſind auch jener beyden Scheiben zweygedoppelte/ nehmlich E und F, dieſer ihrer zweygedoppelten/ nehmlich G, gleich. Die Scheibe G aber iſt gleich der ganzen Kugelflaͤche/ vermoͤg des obigen XXXI. Lehrſatzes. Derowegen ſind E und F zuſammen auch der ganzen Kugelflaͤche gleich. Es iſt aber die Scheibe E gleich der Flaͤche des kleinern Kugelſtuͤkkes ABD, Krafft vorhergehenden XXXVIII. Lehrſatzes. Bleibt alſo uͤbrig/ daß auch die Scheibe F der uͤbrigen Flaͤche des groͤſſern Kugelſtuͤkkes ACD gleich ſey. Welches zu beweiſen war.

Der XL. Lehrſatz/ Und Die fünf und dreyſſigſte Betrachtung.

Einem jeden keglichten Kugel-Teihl iſt gleich der jenige Ke- gel/ deſſen Grundſcheibe gleich iſt der Flaͤche des Kugelſtuͤkkes/ die Hoͤhe aber gleich dem Halbmeſſer der Kugel.

Erlaͤuterung.

Es ſey ein Kugelſtuͤkk (ſegmentum Sphæræ) ABDA, und ein Kugel- Teihl (Sector) ABDCA, darbeneben ein Kegel H, deſſen Grundſcheibe der Flaͤche ABD, die Hoͤhe aber dem Halb- meſſer BC gleich iſt. Soll nun bewieſen werden/ daß der Kugel-Teihl ABDCA, bemeldtem Kegel H gleich ſey.

Beweiß. Archimedis Erſtes Buch

Beweiß.

Dann ſo er ihm nicht gleich iſt/ wird er nohtwendig groͤſſer oder klei- ner ſeyn.

Man ſetze fuͤrs erſte/ er ſey groͤſſer/ und beſchreibe in und umb den Kreiß- Teihl ABDC gleichſeitige und einander aͤhnliche Vielekke/ alſo daß die Sei- te des aͤuſſern gegen der Seite des innern eine kleinere Verhaͤlmis habe/ als die Lini L gegen der Lini F, nach obigem IV. Lehrſatz; L aber auch gegen E vorher ſchon eine kleinere als der obige Kugel-Teihl gegen dem Kegel H, nach dem II. Lehrſatz. Uber dieſes finde man zwiſchen L und E zwey mitt- lere gleichuͤbertreffende/ nehmlich/ naͤchſt vorbeſagtem F auch die Lini G, nach der 1. Anmerkung des XXXII. Lehrſatzes; und ſetze endlich/ obiger Weiſe nach/ aus Umbwaͤlzung derer beyden Vielekke/ umb- und eingeſchriebene Coͤr- perliche Figuren entſtanden zu ſeyn.

So hat dann nun die umbgeſchriebene Figur ſambt ihrem zugehoͤrigen Kegel des Mittelpuncts (den wir a nennen wollen) gegen der eingeſchriebenen ſambt ihrem Kegel (b) eine dreyfache Verhaͤltnis derer jenigen/ welche da hat eine Seite des aͤuſſern Vielekkes gegen einer Seite des innern/ vermoͤg der andern Folge des XXXVII. Lehrſatzes. Dieſe Seiten aber haben gegen einander eine kleinere Verhaͤltnis/ als L gegen F, Krafft obiger Vorberei- tung. Derowegen iſt auch die Verhaͤltnis der umbgeſchriebenen Figur/ ſambt a, gegen der eingeſchriebenen/ ſambt b, kleiner/ als die dreyfache Verhaͤltnis des L gegen F, das iſt (vermoͤg der 2. Anmerkung des XXXII. Lehrſatzes) als die einfache Verhaͤltnis des L gegen dem E, und noch viel mehr (aus der Vorbereitung) als der obige Kugel-Teihl gegen dem Kegel H. Weil aber nun die umbgeſchriebene Figur/ ſambt ihrem Kegel a, groͤſſer iſt als der/ von ihr begriffene/ Kugel-Teihl/ wird umb ſo viel mehr eben dieſer Kugel-Teihl gegen der eingeſchriebenen Figur/ ſambt ihrem Kegel b, eine kleinere Verhaͤlt- nis haben/ als er hat gegen dem Kegel H, und deswegen der Kegel H kleiner ſeyn als die eingeſchriebene Figur ſambt ihrem Kegel b, vermoͤg des 8ten und 10den im V. B. Welches aber ungereimt und wider obigen XXXV. Lehrſatz und deſſen Folge iſt/ und daher bezeuget/ daß obiger Satz falſch/ das iſt/ der gegebene Kugel-Teihl nicht groͤſſer/ als der Kegel H, ſey.

Man ſetze fuͤrs andere/ er ſey kleiner/ und bleibe das andere alles wie oben/ ausgenommen daß jezt L gegen E eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als der Kegel H gegen dem gegebenen Kugel-Teihl.

Welchem Von der Kugel und Rund-Seule.

Welchem nach/ eben wie oben/ geſchloſſen wird/ daß die umbgeſchriebene Figur/ ſambt a, gegen der eingeſchriebenen ſambt b, eine kleinere Verhaͤltnis habe als L gegen E; das iſt/ als der Kegel H gegen dem gegebenen Kugel-Teihl; oder umbgekehret/ (nach dem 26ſten des V. B.) der Kugel-Teihl gegen dem Kegel H eine kleinere Verhaͤltnis als die eingeſchriebene ſambt b, gegen der umb- geſchriebenen ſambt a: und noch umb ſo viel mehr (weil die eingeſchriebene Fi- gur ſambt ihrem Kegel b, als das begriffene und eingeſchloſſene/ kleiner iſt als erwehnter Kugel-Teihl) eben dieſe eingeſchriebene ſambt b, gegen dem Kegel H eine kleinere Verhaͤltnis/ als eben dieſelbe hat gegen der umbgeſchriebenen ſambt a, vermoͤg des 8ten im V. B. Woraus endlich (nach dem 10den gemeldtes V. B.) folget/ daß der Kegel H groͤſſer ſey als die umbgeſchriebene Figur ſambt ihrem Kegel a; welches aber wieder ungereimt/ und dem XXXVII. Lehrſatz ne- ben ſeiner erſten Folge zu wider/ dannenhero auch ein Zeige iſt/ daß der gegebene Kugel-Teihl nicht kleiner ſey als der Kegel H. Er iſt aber auch nicht groͤſſer/ wie oben erwieſen worden. So muß er ihm dann nohtwendig gleich ſeyn: Welches zu beweiſen war.

Ende des Erſten Buchs Archimedis/ von der Kugel und Rund-Saͤule.

Archi-

Archimedis Von Der Kugel und Rund-Saͤule Anderes Buch. Archimedes dem Doſitheo ſeinen Gruß!

DU haſt vor dieſem von mir begehret/ daß ich dir die Beweißtuhme derer jenigen Aufgaben/ welche ich dem Konon uͤberſchikket/ aufzeichnen ſolte. Nun werden aber dieſelbe meiſtenteihls aus denen Betrachtungen hervor kommen/ die ich dir vorhin uͤberſendethabe: Als/ (a) Daß einer jeden Kugel Flaͤche viermal ſo groß ſey/ als die groͤſſeſte Scheibe in eben derſelben Kugel. Und/ (b) Daß eines jeden Ku- gelſtuͤkkes Flaͤche gleich ſey einer Scheibe/ deren Halbmeſſer ſo groß iſt als die gerade Lini/ welche aus dem Scheitelpunct des Kugelſtuͤk- kes auf den Umbkreiß ſeiner Grundſcheibe gezogen wird. Ferner (c) Daß eine jede Rund-Saͤule/ deren Grundſcheibe ſo groß iſt als die groͤſſeſte Scheibe in einer Kugel/ die Hoͤhe aber gleich dem Durch- meſſer derſelben Kugel/ anderthalb-mal ſo groß ſey als die Kugel; und ihre aͤuſſere Flaͤche anderthalb-mal ſo groß als die Kugelflaͤche. Uber dieſes (d) Daß ein jeder Kugelteihl gleich ſey einem Kegel/ deſ- ſen Grundſcheibe ſo groß iſt als die abgeſchnittene Kugelflaͤche/ die Hoͤhe aber gleich dem Halbmeſſer der Kugel. Was demnach fuͤr Aufgaben und fernere Betrachtungen aus jenen obigen herruͤhren/ hab ich in dieſem Buch verfaſſet/ und dir hiermit uͤberſchikken wollen. Die aber/ welche vermittelſt anderer Gruͤnde erfunden werden/ nehmlich die von denen Schnek- ken-Lineen und Kegel-aͤhnlichen Figuren (e) will ich dir auch ehiſtens zu ſenden befliſſen ſeyn. Es war aber unter denen Aufgaben die erſte dieſe:

Eine ebene Flaͤche zu finden/ welche einer gegebenen ganzen Kugelflaͤche gleich ſey.

NWelche Archimedis Anderes Buch

Welche dann offenbar/ und (f) aus vorgemeldten Betrachtungen ſchon bewie- ſen iſt. Dann eine Flaͤche/ die da viermal ſo groß iſt als die groͤſſeſte Scheibe in der gegebenen Kugel/ iſt der ganzen Kugelflaͤche gleich.

Anmerkungen.

(a) Jſt des vorhergehenden Buchs XXXI. Lehrſatz. (b) Der XXXVIII. und XXXIX ſte. (c) Die Folge des XXXII. (d) Der XL. und lezte. (e) Hiervon werden unten/ in dieſem Werk/ abſonderliche Buͤcher folgen. (f) Rehmlich die Aufloͤſung dieſer Aufgab beſtehet darinnen/ daß man nehme den Durchmeſſer der groͤſſeſten Scheibe in der gegebenen Kugel/ und mit demſelben/ als einem Halbmeſſer/ eine Scheibe beſchreibe. Dann alſo wird dieſer Schei- ben Durchmeſſer zweymal ſo großſeyn als jener/ ſeine Vierung aber (vermoͤg des 20ſten im VI. B.) und alſo auch die Scheibe ſelbſten (nach dem 2ten des XII. B.) viermal groͤſſer als jenes Durchmeſſers Vierung und Scheibe: das iſt/ (vermoͤg des XXXI. Lehrſatzes im I. B.) eben ſo groß als die gegebene Kugelflaͤche. Darnach faͤhrt Archimedes in ſeiner Vor- rede fort/ war die andere/ oder hier

Der I. Lehrſatz/ Und Die Erſte Aufgab.

Eine Kugel finden/ welche einem gegebenen Kegel oder einer gegebenen Rund-Saͤule gleich ſey.

Man ſetze die Aufgab/ als ſchon aufgeloͤſet/ und die Kugel B, gleich dem gegebenen Kegel/ oder der gegebenen Rund-Saͤule/ A. Und ſey uͤber dieſes

gefunden eine andere Rund-Saͤule/ CFD, anderthalb-mal ſo groß als die gegebene/ oder als der gegebene Kegel/ (Beſihe unten die 2. Anmerkung) und wieder eine andere/ GLH, andert- halb-mal ſo groß als die Kugel B, nach Anleitung der Folge des XXXII. Lehr- ſatzes im vorhergehenden Buch. So iſt nun die Rund-Saͤule CFD gleich der Rund-Saͤule GLH, weil ſie zweyer gleichen Dinge anderthalbig ſind; und derohalben verhaͤlt ſich/ wie die Scheibe E gegen der Scheibe K, das iſt/ (vermoͤg des 2ten im XII.) wie die Vierung CD gegen der Vierung GH, alſo wiederkehrlich/ die Hoͤhe KL, das iſt/ die Grundlini GH (dann KL und GH ſind einander gleich/ vermoͤg obangezogener Stelle des vorhergehen- den Buchs) gegen der Hoͤhe EF, nach dem 15den des XII. B. So man nun zu denen beyden Grundlineen CD und GH findet eine dritte gleichverhaltende/ MN, nach dem 11ten des VI. ſo iſt CD gegen MN, wie die Vierung CD ge- gen der Vierung GH (vermoͤg des 20ſten im VI. und der 10den Wort- erklaͤrung im V. B.) das iſt/ wie GH gegen EF; und wechſelweis/ wie CD gegen GH, alſo MN gegen EF. Es iſt aber allererſt gemachet wie CD gegen GH, alſo GH gegen MN. Derowegen ſo verhaͤlt ſich wie CD gegen GH, al- ſo GH Von der Kugel und Rund-Seule. ſo GH gegen MN und MN gegen EF. Sind alſo zwiſchen beyden gegebenen oder bekanten Lineen/ nehmlich CD und EF, zwey mittlere gleichverhaltende ge- funden. Welches dann der Grund iſt/ aus welchem obiger Aufgab kan ein Ge- nuͤgen geſchehen.

Aufloͤſung der Aufgab.

Es ſey der gegebene Kegel oder die gegebene Rund-Saͤule A; Soll nun ei- ne Kugel gefunden werden/ welche dem gegebenen gleich ſey. Solches wird nun alſo verrichtet:

Man mache/ wie zuvor/ die Rund-Saͤule CFD anderthalb mal ſo groß als die gegebene Rund-Saͤule oder der gegebene Kegel (Krafft folgender 2. Anmerkung) und finde nachmals zwiſchen CD und EF zwey mittlere gleich- verhaltende GH und MN (Beſihe unten die 3. Anmerkung;) Von GH, als einem Durchmeſſer/ ſey beſchrieben eine Scheibe/ und auf derſelben eine Rund- Saͤule/ in der Hoͤhe GH, aufgerichtet; endlich von eben dieſem Durchmeſſer GH eine Kugel/ B, beſchrieben. So ſage ich nun/ dieſe Kugel B ſey gleich dem gegebenen Kegel/ oder der gegebenen Rund-Saͤule/ A.

Beweiß.

Dann/ wie ſich verhaͤlt CD gegen GH, alſo MN gegen EF (vermoͤg der Aufloͤſung) und wechſelweis/ wie CD gegen MN, alſo GH gegen EF. Es verhaͤlt ſich aber CD gegen MN, wie die Vierung CD gegen der Vierung GH (nach dem 20ſten im VI. und der 10den Worterklaͤrung des V.) das iſt/ wie die Grundſcheibe CD gegen der Grundſcheibe GH (vermoͤg des 2ten im XII. Buch.) Darumb ſo verhaͤlt ſich nun/ wie die Grundſcheibe CD gegen der Grundſcheibe GH, alſo wiederkehrlich GH (das iſt/ die Hoͤhe KL, welche dem GH gleich gemacht worden) gegen der Hoͤhe EF. Sind derowegen die beyden Rund-Saͤulen/ CFD und GLH, einander gleich/ nach dem 15den des XII. B. Nun iſt aber CFD (Krafft obiger Aufloͤſung) anderthalb mal ſo groß als die gegebene Rund-Saͤule/ oder der gegebene Kegel/ A; GLH aber anderthalb mal ſo groß/ als die Kugel B (vermoͤg der Folge des XXII. Lehrſatzes im I. B.) Woraus dann unfehlbar folget/ daß auch A und B einander gleich ſeyen/ weil ſie zweyer gleichen Groͤſſen ⅔ ſind: Welches zu beweiſen war.

Anmerkungen.

1. Hier iſt nun zu allerfoͤrderſt in acht zu nehmen/ wie die alten Weiſen und Meßkuͤnſtler die Aufloͤſungen ihrer ſchwereſten Aufgaben erforſchet und gefunden haben. Rehmlich denen Naturkuͤndigen ahmeten ſie in dieſem Stuͤkk nach/ welche/ umb das Weſen und die Eigen- ſchafften eines Dinges eigentlich zu erkennen und andern nachmals zu zeigen/ daſſelbe Ding/ wie es allbereit in ſeinem Weſen und Eigenſchafften voͤllig beſtehet/ fuͤr ſich nehmen/ durch kuͤnſt- liche Zergliederung deſſelben (ope Anatomiæ) oder vermittelſt der Feuer- und Schmelzkunſt (Chymiæ) ſo lang und viel ſuchen und forſchen/ biß ſie kommen auf die erſten Anfaͤnge (prin- cipia ſive elementa) oder Uhrweſen/ aus denen ſie nachmals rukkwerts die weſentliche Zuſam- menſetzung und das ganze Gemaͤchte deſſelben Dinges herleiten/ und alle ſeine Beſchaffenhei- ten mit ihren gruͤndlichen Urſachen vor Augen legen. Ein ſchoͤnes Beyſpiel deſſen ſehen wir hier bey unſerm Archimedes/ welcher/ da er ſolte eine Kugel finden/ welche dem gegebenen Ke- gel gleich ſey/ und aber nicht alſobald ſehen kan/ aus was Grund er ſolchem Begehren ein Genuͤ- gen leiſten koͤnte/ gleicher weiß verfaͤhret/ die Sache/ als ſchon verrichtet/ ſetzet/ und den gege- benen Kegel ſambt ſeiner gleichen Kugel fuͤr ſich nimmt/ was aus deroſelben Gleichheit/ mit Beyhuͤlf anderer ſchon gewiſſer Gruͤnde/ folgen und geſchloſſen werden moͤchte/ ſo lang und viel foͤrſchet und gruͤbelt/ biß er endlich findet/ daß der Durchmeſſer der Kugel B, welche dem gege- benen Kegel A gleich ſeyn ſolle/ ſey die erſte aus zweyen mittlern gleichverhaltenden/ zwiſchen N ijCD und Archimedis Anderes Buch CD und EF, das iſt/ zwiſchen der Grundlini und Hoͤhe einer Rund-Saͤule/ welche andert- halb mal ſo groß iſt als der gegebene Kegel A. (Und dieſes nenneten nun die Alten ἀνάλυσιν, das iſt/ eine Zergaͤnzung/ Aufloͤſung/ oder Grundforſchung.)

Darauf kehret er wieder umb/ und faͤnget an von dieſem gefundenen Grund (welcher zuvor das allerlezte war) heiſſet zwiſchen CD und EF zwey mittlere gleichverhaltende/ GH und MN finden/ und gehet rukkwerts ſeinen vorigen Fußſtapfen immer wieder nach/ biß er endlich auf das allererſte wieder kommet/ und (was er anfaͤnglich wahr zu ſeyn nur geſetzet und bedinget) nunmehr gruͤndlich beweiſet/ daß die gefundene Kugel B dem gegebenen Kegel A gleich ſey. (Und dieſes nenneten die Alten Σύνϑσιν, eine Zuſammenſetzung/ eine Wiederergaͤnzung des vorher zergaͤnzeten: deutlich/ die Verrichtung und Vollziehung des begehrten/ welches wir bisher die Aufloͤſung der Aufgab genennet haben.)

Es iſt aber dieſe Forſch- oder Erfind-Kunſt (Analyſis) derer Alten/ heutiges Tages (da ſie den Zunahmen Specioſa bekommen/ weil ſie vermittelſt derer ſpecierum aller und jeder Dinge/ oder vielmehr derer/ fuͤr dieſelbe ſpecies genommenen/ Buchſtaben und allgemeinen Zeichen/ ausgeuͤbet wird) viel allgemeiner worden/ und ſo hoch geſtiegen/ daß jene (wie hoch ſie auch ſonſten an ſich ſelbſten zu ſchaͤtzen/ nichts dargegen zu achten iſt; und/ da bey denen Al- ten viel Aufgaben unaufgeloͤſet geblieben/ jeziger Zeit nicht allein denenſelben ein voͤlliges Ge- nuͤgen geſchehen/ ſondern auch die heutigen Analyſten/ ihrer Kunſt zu Ehren/ dieſes allgemei- ne Verſprechen: Eine jede (moͤgliche) Aufgab aufzuloͤſen/ ungeſcheuet im Munde fuͤh- ren. Wer deſſen eine und andere Probe zu ſehen begehret/ kan vor andern beſuchen die Geo- metriam des ſinnreichen Carteſii, worinnen er gleichſam den Gipfel und die hoͤchſte Spitze de- rer Mathematiſchen Wiſſenſchafften erblikken wird.

2. Damit aber in obiger Aufloͤſung Archimedis/ und deroſelben Be- weiß nichts zweifelhaftiges bleibe/ als muͤſſen wir von zweyen Dingen/ wel- che er ohne Beweiß/ als gewiß und bekant/ nimmet/ etwas weitlaͤuffiger han- deln. Das erſte iſt: daß er begehret eine Rund-Saͤule zu geben/ welche an- derthalb mal ſo groß ſey als die gegebene Rund-Saͤule oder der gegebene Ke- gel. Dieſes iſt nun nicht allein moͤglich/ ſondern auf unterſchiedliche Weiſe moͤglich. Eine Weiſe iſt ſehr leicht/ und deswegen (weil ſie auch allein zu obi- gem Beweißtuhm genugſam war) vom Archimedes ohne fernere Bekraͤffti- gung genommen worden. Nehmlich weil die Rund-Saͤulen/ welche einer- ley Grundſcheiben haben/ ſich gegen einander verhalten wie ihre Hoͤhen/ aus dem 14den des XII. ſo darf man nur die Hoͤhe der gegebenen Rund-Saͤule AC noch halb ſo groß machen/ daß ſie werde AD, und in ſolcher Hoͤhe eine Rund-Saͤule auf der vorigen Grundſcheibe A beſchreiben/ welche alſo noht- wendig anderthalb mal ſo groß ſeyn wird als die vorige. Jſt aber das gege- bene AC ein Kegel/ ſo darf man nur die Hoͤhe des Kegels in E halbteihlen/ und in ſolcher halben Hoͤhe AE eine Rund-Saͤule auf eben der Scheibe A be- ſchreiben/ ſo wird dem Begehren abermal ein Genuͤgen geſchehen ſeyn. Dann weil die Rund-Saͤule/ welche mit dem Kegel AC gleiche Hoͤhe und gleiche Grundſcheibe hat/ dreymal ſo groß iſt als der Kegel/ vermoͤg des 10den im XII. ſo iſt nohtwendig die halbe Rund-Saͤule AE anderthalb mal ſo groß als gedachter Kegel.

Ob nun dieſes ſchon/ wie gemeldet/ genug iſt zu Vollziehung obiger Aufloͤſung/ ſo zeiget doch Eutokius noch zween andere Wege/ in zweyen andern Faͤllen/ das begehrte ins Werk zu ſetzen. Nehmlich wie wir erſt gezeiget haben ei- nen Weg/ eine Rund-Saͤule zu finden/ welche mit einer andern Rund-Saͤule oder mit einem gegebenen Kegel einerley Grundſcheibe habe/ und darneben anderthalb mal ſo groß ſey als das gegebene: Alſo zeiget er nun fuͤrs andere/ wie eine ſolche anderthalbige Rund-Saͤule koͤn- ne gefunden werden/ welche mit dem gegebenen gleiche Hoͤhe/ aber eine ungleiche Grundſcheibe habe. Nehmlich wann die Rund-Saͤule XSO ſoll anderthalb mal ſo groß werden/ als die ge- gebene FKG, und zwar alſo/ daß beyder Hoͤhen RS und HK einander gleich ſeyen/ ſo muß man die Von der Kugel und Rund-Saͤule. die Grundſcheibe XO anderthalb mal ſo groß machen als die Grundſcheibe FG. Wordurch dann dem Begehren voͤllige Genuͤge geſchihet/ vermoͤg des 11ten im XII. Wie aber die Scheibe XO eben anderthalb mal ſo groß gemacht werden ſolle als die Scheibe FG, lehret Eutokius ohngefehr alſo: Auf FG beſchreibe die Vierung FL, verlaͤngere FG umb die Helfte biß in M, und vollfuͤhre das Rechtekk FN, ſo wird daſſelbige anderthalb mal ſo groß ſeyn als die Vierung FL, nach dem 1ſten des VI. Mache ferner eine andere Vierung XP, gleich dem Rechtekk FN, nach dem 45ſten des I. und umb deſſen Seite XO, als einen Durchmeſ- ſer/ beſchreibe eine Scheibe/ ſo wird nicht nur die Vierung XP anderthalb mal ſo groß ſeyn als die Vierung FL, ſondern auch (vermoͤg des 2ten im XII.) die Scheibe XO anderthalb mal ſo groß als die Scheibe FG. Jſt aber das gegebene FKG ein Kegel/ und ſoll eine Rund. Saͤule XSO anderthalb mal ſo groß gemachet werden; ſo mache eine Vierung XP halb ſo groß als die Vierung FL, und beſchreibe auf ihrer Seite XO eine Scheibe/ welche gleichfalls halb ſo groß ſeyn wird als die Scheibe FG; auf dieſer Scheibe XO, ſo dann ferner eine Rund- Saͤule in gleicher Hoͤhe HK, ſo wird das Begehren erfuͤllet ſeyn. Dann dieſe Rund-Saͤule XSO wird alsdann (vermoͤg des 11ten im XII.) halb ſo groß ſeyn als jene/ welche mit dem Kegel einerley Grundſcheibe und gleiche Hoͤhe haͤtte/ und (vermoͤg des 10den im XII.) drey- mal ſo groß waͤre als der Kegel. Deswegen muß ebengemeldte Rund-Saͤule XSO andert- halb mal ſo groß ſeyn/ als eben derſelbe gegebene Kegel.

Wann aber endlich eine Rund-Saͤule ſoll gefunden werden/ welche weder Grundſcheibe noch Hoͤhe mit der gegebenen/ gleich oder gemein hat/ und dannoch anderthalb mal ſo groß ſey als die gegebene/ ſo kan ſolches wieder auf zweyerley Weiſe geſchehen. Dann entweder wird die Grundſcheibe der begehrten Rund-Saͤule bekant gemacht/ oder von mir ſelbſten nach Be- lieben genommen/ und daraus die gebuͤhrende Hoͤhe geſuchet; oder aber die Hoͤhe iſt bekant/ und daraus die Grundſcheibe zu finden. Jm erſten fall/ mache ich zuvor/ nach obiger Lehr/ eine Rund- Saͤule/ welche mit der gegebenen einerley Grund- ſcheibe hat/ und anderthalb mal ſo groß iſt/ zum Exempel UTY; nachmals mache ich/ daß/ wie ſich verhaͤtt die bekante Grundſcheibe der begehrten Rund-Saͤule (welche ſey XO) gegen der Grund- ſcheibe TU, oder wie die Vierung XO gegen der Vierung TU (das iſt/ wie der Durchmeſſer XO gegen der/ nach TU, dritten gleichverhaltenden/ vermoͤg des 20ſten im VI. und der 10den Wort- erklaͤrung im V.) alſo ſich wiederkehrlich verhalte die Hoͤhe UY gegen der begehrten Hoͤhe RS, nach dem 12ten des VI. Welchem nach die Rund-Saͤule RS der Rund-Saͤule UY (aus dem 15den des XII.) gleich/ und alſo anderthalb mal ſo groß als die

gegebene/ ſeyn wird. Jm andern fall iſt die Verrichtung der vorigen ganz gleich/ auſſer dem einigen/ daß ich alsdann umbgekehrt ſchlieſſe: Wie ſich verhaͤlt die bekante Hoͤhe RS gegen der Hoͤhe TY, alſo verhaͤlt ſich wiederkehrlich die Scheibe der gegebenen Rund-Saͤule/ gegen der begehrten Scheibe XO, oder R; wie der verſtaͤndige Leſer leichtlich ſelbſten erachten kan.

N iij3. Das Archimedis Anderes Buch

3. Das vornehmſte und das Hauptſtukk/ auf welchem Archimedis obige Aufloͤſung und dero ganzer Beweiß beruhet/ iſt dieſes/ daß er begehret/ man ſolle zwiſchen zweyen gege- benen Lineen CD und EF zwo mittlere gleichverhaltende finden. Wann nun Archimedes dieſe ſeine gegenwertige Aufgab aus einem andern Grund vollziehen/ und einem gegebenen Ke- gel oder Rund-Saͤule eine gleiche Kugel zu geben wuͤſte/ ſo haͤtte er dieſem Begehren zweyer mittlern gleichverhaltenden/ allbereit in der vorangeſchikkten (Analyſi) Grundforſchung ein ſattſames Genuͤgen gethan/ und koͤnte durch eine angenehme Wiederkehr (Regreſſum) aus dieſem/ welches er vorher aus jenem hergeleitet/ jenes wiederumb aufs neue bekraͤfftigen. Weiln aber weder jenes anderwerts von ihme bewieſen/ noch dieſes irgendwo bey ihme zu finden iſt; ſo muß nohthalben (damit ſeine Aufloͤſung nicht zweifelhaftig ſey) gewiß gemachet werden/ daß es moͤglich ſey/ zwiſchen jeden zwey gegebenen Lineen zwo mittlere gleichverhaltende zu fin- den: Und/ weiln die Alten mit dieſer Aufgab ſehr beſchaͤfftiget geweſen/ wird nicht unnuͤtzlich ſeyn/ daß wir deroſelben Urſprung kuͤrzlich entdekken/ und einen und andern Weg zu ihrer Auf- loͤſung (ſonderlich nach Anleitung Eutokii) dem goͤnſtigen Leſer zeigen und bekant machen.

Betrachtung der alten benahmten Aufgab/ von Er- findung zweyer mittlern gleichverhaltenden.

Die Gelegenheit zu dieſer Aufgab erzehlet Eratoſthenes in einem Sendſchreiben an den Koͤnig Ptolomæum folgender Geſtalt: Man ſage/ einer unter denen alten Trauerſpiel- ſchreibern fuͤhre unter andern ein den ino/ welcher dem Glaukus ein Grabmal aufrich- ten laſſen/ und als er vernommen/ daß jede Seite deſſelben (dann es war wuͤrfflicht geſtaltet) 100. Schuh lang war/ hab er geſagt: Fuͤr einen Koͤnig ſeys zu klein/ die Groͤſſe müſſe doppelt ſeyn. Als aber der Werkmeiſter nachmals jede Seite des Grabes verdoppelt (und vermeinet/ auch dardurch des Grabes Groͤſſe verdoppelt zu haben) ſey befunden worden/ daß er geirret habe/ weil nehmlich/ wann man die Seiten verdoppelt/ die Flaͤchen/ welche von de- nen gedoppelten Seiten beſchloſſen werden/ nicht zwey-ſondern vierfach/ die Coͤrper aber acht- fach oder achtmal ſo groß werden/ (wie zu ſehen aus dem 20ſten des VI. und dem 33ſten des XI. Buchs Euclidis.) Darauf ſeyen die Meßkuͤnſtler befraget worden: Auf was Weiſe doch eine jede gegebene Coͤrperliche Figur/ und ſonderlich ein Wuͤrfel (cubus) moͤchte verdoppelt werden/ alſo daß ſie ihre vorige Geſtalt und Form behielte/ und das gedoppelte dem einfachen aͤhnlich waͤre? Und ſey alſo dieſe Frag oder Aufgab die Verdoppelung des Wuͤr- fels genennet worden/ dieweil ſie nehmlich zu foͤrderſt die Figur des Wuͤrfels fuͤr ſich genom- men/ und dieſelbe zu verdoppeln oder zu verzweyfaͤltigen geſuchet haben. Nach dem aber alle Meßkuͤnſtler ſich lange Zeit vergeblich bemuͤhet/ habe endlich Hippocrates von Chio am er- ſten beobachtet/ daß/ wann man zwiſchen zweyen geraden Lineen/ deren eine zweymal ſo groß iſt als die andere (nehmlich zwiſchen der Seitedes gegebenen Wuͤrfels und zwiſchen ih- rer gedoppelten) zwey mittlere unzertrennt-gleichverhaltende (continuè proportionales) faͤnde (und/ verſtehe/ auf die erſte der beyden gefundenen einen Wuͤrfel aufrichtete) ſo dann der gegebene Wuͤrfel verdoppelt ſeyn wuͤrde (dann/ vermoͤg des 33ſten im XI. und der 10den Worterklaͤrung im V. B. würde ſich der gegebene Wuͤrfel gegen dem gefan- denen verhalten/ wie die erſte gleichverhaltende gegen der vierdten/ das iſt/ wie die Seite des gegebenen Wuͤrfels gegen ihrer gedoppelten.) Alſo daß Hippoerates die vorige zweiffelhafte Frag in eine andere nicht weniger zweiffelhafte und ſchwere verwandelt habe. Nach Verflieſſung einiger Zeit aber/ wie man erzehle/ haben die Delier/ bey regieren- der Peſt/ ihren Abgott Apollo umb Huͤlf angeflehet/ von demſelben aber Befehl bekommen/ daß ſie ihm einen Altar/ welcher wuͤrflicht gebauet war/ verdoppeln ſolten. Wordurch ſie dann in den obigen Zweiffel geſtuͤrzet/ ihre Zuflucht zu denen/ beym Plato in der Academi ſich aufhaltenden/ Meßkuͤnſtlern genommen/ und umb Aufloͤſung dieſes Zweifels angeſuchet ha- ben: Welche dann auch/ ſonderlich auf des Platons Zureden/ ſich eifrigſt bemuͤhet zu eroͤr- tern die Frage von zweyen mittlern gleichverhaltenden/ welche daher/ wegen erzehlter Gelegen- heit ihres Urſprungs/ den Nahmen der Deliſchen Aufgab bekommen hat.

Eh wir aber eine und andere tieſſinnige Weiſe/ bemeldte Aufgab zu eroͤrtern/ ſo wol erſt- erwehnter Alten/ als auch etlicher neuer Lehrer/ dem begierigen Leſer erklaͤren; muͤſſen wir denſelben erinnern/ daß eine jede ſolche Aufgab auf zweyerley Weiſe koͤnne eroͤrtert und aufge- loͤſet werden: Einmal Mechaniſch (wie die Kuͤnſtler zu reden pflegen) das iſt/ durch einen ſonderbaren Handgriff/ durch oftmaliges Verſuchen/ und ohne gewiſſe ohnſehlbare Regeln/ jedoch Von der Kugel und Rund-Saͤule. jedoch alſo/ daß kein merklicher Jrꝛtuhm mit unterlauffe/ ſondern/ aufs wenigſte dem Augen- ſchein nach/ die Sache getroffen ſey: Andersmals kunſtmaͤſſig und aus gewiſſen Regeln/ wel- che entweder vor ſich ſelbſt bekant/ oder vorher unfehlbar bewieſen ſind. Zum Exempel wol- len wir fuͤrſtellen die gemeine und bekante Aufgab: Eine gegebene gerade Lini in zwey gleiche Teihle zerſchnei- den. Dieſes nun kan geſchehen erſtlich mechaniſch/ dem

Handgriff nach oder Verſuchs-weis/ wann ich nehmlich ſetze einen Fuß des Cirkels in A, und thue denſelben auf biß ohngefehr auf oder uͤber die Helfte/ zum Exempel biß in 2; nachmals/ wann ich zuvor bey 2 ein Zeichen oder Gemerke gemachet/ den Cirkel in voriger Oeffnung oder Weite ſetze in B, und ſihe/ ob ich eben das Mittel getroffen/ oder ob ich weiter hinaus lange/ zum Exempel/ biß in 1; im letzern fall ſo dann (weil ich ſehe/ daß der Cirkel zu weit aufgethan iſt) denſelben etwas zuſamm drukke/ und aus A und B zwey naͤhere Gemerke mache/ 3 und 4/ und dieſes ſo oft und viel/ biß ich endlich den eigentlichen mitt- lern Puncten/ dem Augenſchein nach/ gefunden habe.

Darnach kan ſolches auch kunſtmaͤſſig und nach ge- wiſſen unfehlbaren Regeln verrichtet werden/ nehmlich auf die Weiſe/ welche Euclides im 10den ſeines I. Buchs folgender Geſtalt fuͤrſchreibet: Mache auf der gegebe- nen Lini AB ein gleichſeitiges Dreyekk ABC, nach dem 1ſten vorhergehenden; und teihle den Winkel ACB, durch die Lini CD in zwey gleiche Teihle/ nach Anleitung des 9ten vorhergehenden; ſo wird AB von eben derſel- ben Lini CD in zwey gleiche Teihle geteihlet ſeyn; wie er dann ſolches aus dem 4ten vorhergehenden unfehlbar er- weiſet.

Zu beſſerem Verſtand nun des folgenden/ wird hier nicht unfuͤglich gefraget/ welche unter dieſen beyden Arten die beſte/ und der andern vorzuziehen/ ſey? Worauf wir ohne Umb- ſchweif antworten/ daß bald dieſe bald jene koͤnne beſſer und dienlicher ſeyn/ nach dem nehmlich der Zwekk iſt/ zu deſſen Erlangung eine oder die andere ſoll angewendet werden. Nehmlich/ wann auf Papier/ Holz/ Stein/ und dergleichen/ etwas ſoll aufgeriſſen/ oder aus einiger ſolcher Materi etwas verfertiget/ oder im Feldmeſſen etwas verrichtet werden/ ſo iſt manchmal die Mechaniſche Aufloͤſung einer Aufgab viel nutzlicher/ dienlicher/ und weniger irꝛſam/ weilen nehmlich in dergleichen Verrichtungen genug iſt/ ohne einigen ſichtlichen und merklichen Feh- ler verfahren; welches dann vielmals ehe durch einen ſo ſchlechten und leichten Mechaniſchen/ als durch andere ſubtile kunſtrichtige Wege erhalten wird/ wie die Erfahrung bezeuget. Wann man aber zum Beweiß eines oder des andern ſubtilen Lehrſatzes (worinnen nicht genug iſt kei- nen merklichen/ oder ſichtlichen Fehler begehen/ ſondern auch nicht umb den tauſendeſten Teihl einer Haarbreite/ ja gar nichts/ gefehlet ſeyn muß) dergleichen Aufgaben ſich bedienen will/ ſo ſind alle Mechaniſche Aufloͤſungen nichts nutz/ und alle/ ſie moͤgen ſeyn ſo ſubtil als ſie immer wollen/ aus der Meßkunſt oder Meſſens-Wiſſenſchafft verbannet/ und muͤſſen lauter kunſtmaͤſ- ſige/ auf gewiſſen und unfehlbaren Regeln beſtehende gebrauchet werden. Dann ob gleich jemand meynen moͤchte/ wann dieſe kunſtmaͤſſige Aufloͤſungen/ auf dem Papier/ Feld/ und in andern dergleichen Verrichtungen (da man doch keine ſo gar genaue Gewißheit ſuchet) nicht wol taugen/ wie wir oben erwaͤhnet; ſo werden ſie hier noch viel untauglicher ſeyn: ſo muß man dennoch hingegen wiſſen/ daß jene Untauglichkeit dieſer Aufloͤſungen nicht herkomme aus ihrer eignen Beſchaffenheit (weil ſie an ſich ſelbſten/ wie gemeldet/ unfehlbar ſind) ſondern aus der Ungeſchikklichkeit unſerer Haͤnde/ des Werkzeuges/ der Materi oder des Stoffs/ mit welchem wir zu thun haben/ ꝛc. Welches alles dann in denen ſubtilen kuͤnſtlichen Betrachtungen oder Beweißtuhmen derer Lehrſaͤtze keines weges zu befuͤrchten iſt/ weil man daſelbſten nicht mit der Hand/ ſondern mit dem Verſtand und in denen Gedanken arbeitet/ noch einiges andern Werk- zeuges als der Vernunft ſich bedienet; alſo daß/ wann zum Exempel Euclides in obiger Auf- loͤſung begehret/ man ſoll auf der gegebenen Lini AB ein gleichſeitiges Dreyekk machen/ ſeine Meinung nicht iſt/ daß man den Eirkel zur Hand nehmen/ aus A und B zweene Kreiſſe zie- hen/ ꝛc. ſolle/ wie ein Unverſtaͤndiger aus der Aufloͤſung ſeiner erſten Aufgab urteihlen moͤchte; ſondern daß man in Gedanken ſolches alles verrichten/ oder vielmehr ihm einbilden ſolle/ daß all- bereit wuͤrklich auf der Lini AB ein gleichſeitiges Vielekk aufgerichtet ſtehe/ welches moͤglich zu ſeyn er in gemeldter erſten Aufgab bewieſen hatte. Mit einem Wort/ die kunſtmaͤſſige Auf- loͤſungen Archimedis Anderes Buch loͤſungen derer Aufgaben lehren nicht die wuͤrkliche und thaͤtliche Vollziehung des vorgebrach- ten (wiewol ſolche gemeiniglich gleichſam neben her daraus kommet) ſondern nur die Moͤglich- keit/ auf welche dann einig und allein/ in Anziehung deroſelben/ man ſich beruffet/ alſo daß/ wann Euclides wieder ſagt/ in der obigen Aufloͤſung: Teihle den Winkel ACB in zwey gleiche Teihle/ er anderſt nichts will/ als dieſes: Weil es moͤglich iſt/ daß jeder Winkel in zwey gleiche Teihle geteihlet ſey/ wie in dem 9ten vorhergehenden bewieſen worden/ ſo bilde dir ein/ daß ſolches bereit geſchehen ſey von der Lini CD, &c. Und daher kommt es/ daß unſer Archimedes/ wann er ſeine Aufgaben fuͤrbringet/ nicht allezeit (dem gemeinen Ge- brauch nach) dieſes oder jenes thun oder machen heiſſet/ ſondern oͤffters Betrachtungs-weis/ daß dieſes oder jenes zu thun oder zu verrichten moͤglich ſey/ auszureden pfleget/ wie unter an- dern aus der Erſten/ Andern und Dritten Aufgab des vorigen Buchs klaͤrlich zu erſehen iſt.

Aus welchem allen nun mehr erhellet (weil die Delier die Erfindung zweyer mittlern gleichverhaltenden zu einem aͤuſſerlichen Werk/ nehmlich zu Verdoppelung ihres Altars be- duͤrfet/ Archimedes aber dieſelbe in Aufloͤſung und Beweiß einer kunſtmaͤſſigen/ nicht mit der Hand oder aͤuſſerlich/ ſondern innerlich mit dem Verſtand zu vollziehenden/ Aufgab von- noͤhten hat) daß jenen jede leichte und Mechaniſche Weiſe/ welche ſichtlich und merklich nicht fehlet (ob ſie gleich denen Kunſt Regeln und dem Verſtand nach nicht ganz gewiß und unfehl- bar iſt) habe koͤnnen genug ſeyn; Dieſer aber eines andern gaͤnzlich unfehlbaren und kunſtrichtig bewieſenen Weges benoͤhtiget ſey. Wiewol nun bißher die meinſten/ und unter denen auch Flurantius, der Meinung geweſen/ es ſey von keinem einigen/ weder alten noch neuen/ Lehrer bisher einige ſolche kunſtrichtige Aufloͤſung/ der Aufgab von Erfindung zweyer mittlern gleich- verhaltenden/ gefunden worden; ſo wollen wir dennoch (damit endlich die Gewißheit der obi- gen Eroͤrterung unſers Archimedis auſſer allem Zweiffel ſey) anjetzo das Gegenteihl erwei- ſen/ und zufoͤrderſt aus Eutokio etliche Mechaniſche Wege derer Alten erklaͤren/ nachmals auch eine und andere kunſtrichtige und unfehlbare Weiſe/ deutlich und klar fuͤr Augen legen. Folgen demnach erſtlich:

Etliche Mechaniſche Wege derer Alten/ zwiſchen zweyen gegebenen Lineen zwey mittlere gleichverhaltende zu finden.

Der Erſte des Platonis.

Dieſer bedienet ſich eines gewiſſen Werkzeuges/ deſſen Geſtalt aus beygefuͤgtem Abriß zu erſehen. GH iſt ein dikkes wol geſchlichtetes Lineal/ und an deſſen Enden zwey andere/ in gleicher Dikke/ winkelrecht eingezaͤpfet/ innwendig mit Hohlkehlen/ in welchen das vierdte KL mit GH gleichlauffend moͤge auf- und abgeſchoben werden. Wann nun gegeben ſind zwey ge-

rade Lineen/ AB und BC, und zwiſchen dieſen zwey mittlere gleichverhaltende ſollen gefunden werden/ ſo verfahre alſo: Setze BC auf AB winkelrecht in B, und verlaͤngere ſo wol AB als BC nach Von der Kugel und Rund-Saͤule. BC nach Belieben gegen E und D hinaus; Lege ſo dann das Jnſtrument auf dieſe Verzeich- nung alſo/ daß GH auf A lige und gegen D hinaus ſich erſtrekke/ biß (nach oͤfterem Hin- und Wiederruͤkken) das Ekk H die Lini BD durchſchnei- de/ HM aber wie DE lige/ KL aber/ auf C gerukket/ zugleich in dem Winkel L den/ von HM abgeſchnitte- nen/ Punct E beruͤhre/ (welches/ wie gemeldet/ durch vieles Hin- und Wiederrukken endlich getroffen wird.) Wann ſolches geſchehen/ ſo werden BD und BE die zwey begehrte mittlere gleichverhaltende ſeyn.

Beweiß.

Dann/ weil auf dieſe Weiſe/ wegen Beſchaffen- heit des rechtwinklichten Jnſtrumentes/ ADE und DEC gerade Winkel/ und aus dieſen geraden Win-

keln DB und CB auf AE und DC ſenkrecht gezogen ſind/ Krafft obiger Aufloͤſung; So wird ſich (vermoͤg der 1. Folge des 8ten im VI.) AB gegen BD verhalten/ wie BD gegen BE, und ferner/ wie BD gegen BE, alſo BE gegen BC, das iſt/ BD und BE werden zwiſchen AB und BC zwey mittlere gleichverhaltende ſeyn.

Der zweyte Weg Heronis von Alexandria/ Philonis von Byſanz und Apollonii.

Wir rechnen dieſe drey Wege fuͤr einen/ weil ſie wenig unterſchieden ſind/ auf einerley Grund beruhen/ und einerley Beweißtuhm haben.

Heron verfaͤhrt ohngefehr alſo: Die zwey gegebene AB und BC ſetze winkelrecht aufeinander/ und vollziehe das Rechtekk ABCD. Ziehe AC und BD, welche in E einander halbteihlen wer- den (dann AB und CD ſind einander gleich/ der Winkel EDC dem Winkel EBA, nach dem 29ſten des I. der Winkel CED dem Winkel BEA, aus dem 15den deſſelben B. Darumb ſind auch BE und ED, wie auch AE und EC, einander gleich/ vermoͤg des 26ſten im I.) Ver- laͤngere DC und DA nach Belieben in F und G (bißher alles noch kunſtrichtig.) Hefte in B

an eine Regel/ und bewege ſie ſo lang hin und wieder/ biß ſie DF und DG alſo durchſchneide/ daß EF und EG einander gleich ſeyen (welches nunmehr ohne gewiſſe Lehre/ ohne einige ordentliche Bewegung/ nur Verſuchs-weis geſchehen muß/ etwan vermittelſt eines Cirkels/ den man mit einem Fuß in E feſt ſtelle/ mit dem andern immer ſuche/ biß man das begehrte finde; wordurch dann nunmehr die Aufloͤſung Mechaniſch gema- chet wird.) Wann ſolches geſchehen/ ſo werden AG und CF die zwey begehrte mittlere gleichverhaltende ſeyn/ als wir nachmals beweiſen wollen.

Philonis Meinung gehet/ ein wenig ge- aͤndert/ dahin: Wann AB und BC, die gege- benen/ winkelrecht auf einander geſetzet ſind/ und das uͤbrige/ wie oben verrichtet iſt/ ſo ziehe aus dem Mittelpunct K einen Halbkreiß ABEC, und bewege die/ in B angeheftete/ Regel ſo lang und viel hin und wieder/ biß BD und EF gleich werden; ſo werden AD und CF, die begehrte zwey mittlere gleichverhaltende ſeyn. Jſt alſo wenig Unterſchied zwiſchen dieſer und obiger Aufloͤſung/ ausgenommen daß/ wie Eutokius meynet/ dieſe zum taͤglichen Gebrauch dienlicher

ſey als vorige/ weil man hier die bewegliche Regel in kleine gleiche Teihle teihlen/ und alſo ehe/ als dorten/ ſehen koͤnne/ wann BD und EF gleich ſeyen.

OApollo- Archimedis Anderes Buch

Apollonius will es alſo haben: Wann aus AB und AC, wie oben ein Rechtekk gema- chet iſt/ ſo beſchreibe aus dem Mittelpunct X eine Kreiß Lini/ welche die verlaͤngerte Lineen

AD und AE alſo durchſchneide/ daß D und E mit H in einer geraden Lini ſeyen; (welches dann geſchicht/ wann die/ in H angehefftete Regel AD und AE alſo durchſchneidet/ daß XD und XE einander gleich ſind/ wie oben in Heronis Aufloͤſung) ſo werden BD und CE wieder die zwo begehrte mittlere gleich- verhaltende ſeyn.

Jſt alſo offenbar/ daß dieſer Weg Apollonii ganz und gar eben der ſey/ welchen oben Hero fuͤr- geſchrieben/ und deswegen ganz einerley Beweiß mit demſelben habe. Damit aber erhelle/ daß auch des Philonis Verfahren (ob es ſich gleich ein wenig anderſt verhaͤlt) unter eben denſelben Beweiß auch mit koͤnne gezogen werden/ und wir alſo fuͤr alle drey Wege nur einen einigen beduͤrfen/ ſo iſt diß einige zum Voraus zu beweiſen/ daß in Philonis Figur/ wann BD und EF einander gleich ſind/ auch KF und KD (wie in des Heronis ſeiner) einander gleich ſeyen; Welches nun leicht- lich alſo erhellet: KE und KB, als Halbmeſſer/ ſind einander gleich/ und darumb auch die Winkel KBE und KEB, aus dem 5ten des I. und folgends auch die aͤuſſern Winkel KBD und KEF. Es ſind aber auch EF und BD einander gleich/ vermoͤg der Aufloͤſung Phi- lonis; derohalben muͤſſen die zwey Dreyekke KBD und KEF, und alſo auch KD und KF einander gleich ſeyn. Bleibet alſo uͤbrig/ daß wir beweiſen/ in Heronis Figur ſeyen AG und CF zwiſchen AB und BC zwey mittlere gleichverhaltende.

Beweiß.

Damit ſolches erhelle/ ſo ziehe man EH ſenkrecht auf CD, welche (vermoͤg des 5ten/ 32ſten und 4ten im I. B.) CD in zwey gleiche Teihle zerſchneiden wird. Weil nun dieſer halbgeteihlten zugeſetzet iſt CF, ſo folget aus dem 6ten des II. B. daß das Rechtekk aus DF und CF ſambt der Vierung CH, gleich ſey der Vierung von HF, und alſo (ſo man zu beyden gleichen ſetzet die Vierung EH) das Rechtekk aus DF und CF, ſambt denen beyden Vierun- gen CH und EH, das iſt (vermoͤg des 47ſten im I. B.) ſambt der Vierung CE, iſt gleich denen beyden Vierungen FH und EH, das iſt/ der Vierung FE. Gleicher geſtalt wird er- wieſen/ daß das Rechtekk aus DG und GA ſambt der Vierung AE (oder CE, weil ſie gleich ſind) gleich ſey der Vierung GE (das iſt/ FE, dann dieſe beyde ſind wieder einander gleich;) Woraus endlich folget/ daß die beyde Rechtekke/ eines aus DF und FC, das andere aus DG und GA (weil ſie einem dritten gleichen) auch einander gleich ſeyen/ und daher (vermoͤg des 16den im VI. B.) wie FD gegen DG, alſo AG gegen CF ſich verhalten. Wie ſich aber ver- haͤlt FD gegen DG, ſo verhaͤlt ſich FC gegen BC, und BA gegen AG (aus dem 2ten des VI.) Derohalben/ wie FC gegen BC, und BA gegen AG, alſo AG gegen FC, das iſt (nur verſetzet) wie BA oder AB gegen AG, alſo AG gegen FC und FC gegen BC. Sind dero- wegen AG und FC zwey mittlere gleichverhaltende zwiſchen AB und BC; Welches hat ſollen bewieſen werden.

Dieſes einige iſt noch zu erinnern/ daß/ wann Apollonius haͤtte koͤnnen/ an ſtatt der un- ordentlichen unrichtigen Bewegung einer Regel/ einen richtigen und kunſtmaͤſſigen Weg zei- gen/ wie aus X eine Kreiß-Lini ſolte gezogen werden/ welche AD und AE alſo durchſchnitte/ daß D und E mit H in einer geraden Lini laͤgen; daß/ ſprich ich/ alsdann ſeine Aufloͤſung nicht mehr Mechaniſch/ ſondern Geometriſch und kunſtrichtig ſeyn wuͤrde. Und dahin/ duͤnket mich gaͤnzlich/ gehe Bern. Salignacus in ſeinem Meſolabio, welches er zu Genev auf dreyen Bogen im Jahr 1574. hervor gegeben/ wie wir vielleicht zur andern Zeit ſolches zu weiſen/ und ſeine Meinung/ die er etwas dunkel fuͤrbringet/ deutlich zu erklaͤren werden Gelegenheit finden.

Der dritte Weg Dioklis im Buch von den Feuerwerken/ Pappi in ſeinen Mechaniſchen Einleitungen/ und des Spori.

Dieſer drey Maͤnner Erfindungen/ ob ſie gleich in etwas unterſchieden ſind/ rechnen wir dannoch wiederumb nur fuͤr einen Weg/ weil ſie doch im End auf einerley Grund beruhen/ wie das folgende zeigen wird.

Diokles Von der Kugel und Rund-Saͤule.

Diokles ſchikket zu beſſerem Verſtand und kuͤnftigem Beweiß voran dieſen folgen- den Satz:

Wann in einem Kreiß zweene Durchmeſſer/ AB und DC, einander winkelrecht durchſchneiden/ und auf beyden Seiten des B zweene gleiche Kreißbogen/ BE und BF, abgeſchnitten/ aus F aber/ eine mit AB gleich- lauffende/ FG gemachet/ und endlich DE gezogen werden; ſo ſind zwiſchen CG und GH zwey mittlere gleichverhaltende FG und GD.

Solches beweiſet er alſo: Erſtlich/ wann EK mit AB auch gleichlauffend gezogen wird/ ſo ſind EK und FG einander gleich. Dann/ ſo man ziehet LE und LF, iſt gewiß/ daß (weil BE und BF gleich ſind) auch die uͤbrige Bogen CE und DF, das iſt/ die Win- kel CLE und DLF, einander gleich ſeyen. Nun ſind aber auch EKL und FGL, als zween gerade/ einan- der gleich; Derowegen auch die uͤbrige Winkel derer beyden Dreyekke KEL und GFL, aus dem 32ſten des I. Es haben aber gedachte Dreyekke auch zwey Seiten/ nehmlich LE und LF, einander gleich; dero- wegen muͤſſen auch (vermoͤg des 26ſten im I. B.) die andern Seiten EK und FG, wie auch KL und GL einander gleich ſeyn. Woraus dann fuͤrs andere folget/ daß auch CK und GD, Jtem CG und DK gleich ſeyen. Derowegen ſo ſind nun fuͤrs dritte/ wie

DK gegen KE (das iſt/ wie CG gegen GF) alſo KE gegen KC (das iſt/ GF gegen GD) vermoͤg des 8ten im VI. B. Wie aber GF gegen GD (das iſt/ als erſt erwieſen/ DK gegen KE) alſo DG gegen GH, nach dem 2ten des VI. Sind alſo zwiſchen CG und GH zwey mittlere gleichverhaltende GF und GD; Welches ſolte bewieſen werden.

Gleicher geſtalt/ wann die Boͤgen BM und BN gleich genommen/ NX mit AB gleich- lauffend gemachet/ und DM quehruͤber gezogen werden/ muͤſſen zwiſchen CX und XO zwey mittlere gleichverhaltende ſeyn NX und XD; So man nun den Halbkreiß CBD in viele ſolche gleiche Boͤgen (wie BE und BF, Jtem BM und BN) teihlet/ viele mit AB gleichlauffende Lineen (wie FG und NX) ziehet/ und alſo viel ſolche Puncten/ wie H und O, fein nah bey ein- ander/ findet/ ſo wird endlich durch alle ſolche gefundene Puncten aus D in B eine krumme Lini gezogen werden (wie in der folgenden Figur DHF) welche zu Erfindung zweyer mittlern gleichverhaltenden ſehr dienlich und nutzlich iſt.

Dann (alſo faͤhret Diokles fort) wann zwey gerade Lineen gegeben ſind/ A und B, zwiſchen welchen ſollen zwey mittlere gleichverhaltende gefunden wer- den/ ſo mache (nach dem die krumme Lini DHF obgemeldter maſſen gezogen iſt) wie A gegen B alſo CG gegen GK, nach dem 12ten des VI. B. Ziehe nachmals CK und verlaͤngere ſie biß in H; durch H ma- che LM gleichlauffend mit EF, ſo werden Krafft obigen Beweiſes/ LM und LD zwiſchen CL und LH zwey mittlere gleich- verhaltende ſeyn. So du nun (nach dem 12ten des VI.) macheſt/ wie CL gegen LM, alſo A gegen N, und ferner/ wie LM gegen LD, alſo N gegen X, ſo wird auch endlich/ wie LD gegen LH, alſo X gegen B, und derowegen N und X zwey

mittlere gleichverhaltende ſeyn; weil nehmlich im Anfang gleich gemacht iſt wie A gegen B, alſo CG gegen GK, das iſt/ als CL gegen LH.

O ijWoraus Archimedis Anderes Buch

Woraus erhellet/ daß Flurantius abermal den Beweiß Dioklis/ oder vielmehr ſeine Auf- loͤſung der fuͤrgelegten Aufgab/ nicht ſattſam gefaſſet/ in dem er zwiſchen zweyen gegebenen Li- neen zwey mittlere gleichverhaltende (nach unſern Figuren die Sache zu verfaſſen) alſo finden lehret: Es ſeyen gegeben A und B. Weil nun in der vorhergehenden Figur CG, GF, GD und GH vier gleichverhaltende ſind/ ſo mache/ wie CG gegen GF, alſo A gegen N, und wie GF gegen GD, alſo N gegen X; dann alſo wird endlich/ wie GD gegen GH, alſo X gegen B, ſeyn. Dieſe Aufloͤſung Flurantii iſt ganz falſch und nichtig/ es ſey dann/ daß vorher gewiß oder gemachet ſey/ wie A gegen B (die erſte gegen der lezten) alſo CG gegen GH (auch die erſte gegen derlezten) welches Diokles fleiſſig erinnert/ von Flurantio aber nicht erinnert worden/ da es doch der einige Grund der ganzen Aufloͤſung iſt. Dann wann dieſe Weiſe Flurantii genugſam waͤre/ ſo beduͤrfte Diokles ſeiner krummen Lini nicht/ und waͤre al- ler alten und neuen Lehrer muͤhſames Nachforſchen in Erfindung zweyer mittlern gleichverhal- tenden/ vergeblich; weil die Aufgab leichtlich koͤnte aufgeloͤſet werden/ wann man nur 4. gleich- verhaltende Lineen machte (welches aus dem 12ten des VI. gar leicht iſt) nachmals der Leh- re Flurantii folgete. Aber wie ſehr man hierdurch wuͤrde betrogen werden/ kan einen jeden die Erfahrung leichtlich lehren. Nehmlich wann A und B gegeben iſt/ und ich ſoll zwo mittlere gleichverhaltende darzwiſchen finden/ ſo iſt nicht genug/ daß ich 4. andere gleichverhaltende fuͤr mir habe/ ſondern es muͤſſen vier ſolche ſeyn/ daß die erſte gegen der lezten ſich eben ſo verhalte/ wie A gegen B; und alsdann kan ich erſt ſolcher geſtalt verfahren/ wie oben Flurantius haben will. Wie aber ſolche viere ſollen gefunden werden/ lehret eben Diokles mit ſeiner krummen Lini: alſo daß/ wann er dieſelbe anderſt als durch ſolche mechaniſche Zuſammenziehung vieler Puncten (etwan durch eine richtige ordentliche Bewegung) beſchreiben koͤnte/ als vielleicht wol moͤglich iſt/ dieſe ſeine Aufloͤſung nicht mehr unter die Mechaniſchen/ ſondern unter die Geometriſchen und Kunſtrichtigen wuͤrde zu zehlen ſeyn.

Pappus ſuchet eigentlich aus denen zweyen mittlern gleichverhaltenden nur eine/ nehm- lich in der voͤlligen Ordnung aller viere die andere/ woraus nachmals (nehmlich vermoͤg des 11ten im VI.) die dritte leichtlich moͤge gefunden werden. Seine Erfindung verhaͤlt ſich ohn-

gefehr alſo: Es ſeyen gegeben BD und DE. Mit der groͤſſeſten DB beſchreibe einen Kreiß/ ſchneide die kleinere DE ab von der groſſen in E, und ziehe CE biß in F. Nachmals hefte eine Regel an in A, und fuͤhre das eine End von B gegen C, daß die Regel AK die Lini BD in H alſo durchſchneide/ daß der zwi- ſchen FE und EB fallende Teihl, GH gleich ſey dem andern zwiſchen BE und der Kreiß- Lini BKC fallenden Teihl HK (welches dann abermals Mechaniſch und Verſuchs- weis muß verrichtet werden) ſo wird DH die erſte unter beyden mittlern gleichverhalten- den/ das iſt/ die andere in der Ordnung unter denen vieren ſeyn. Dieſes beweiſet er nun weitlaͤuffig. Wir wollen aber/ ſolchen Be- weiß zu erſparen/ vielmehr zeigen/ daß dieſes ſein Verfahren eben den Grund habe/ wel- chen oben Diokles in ſeiner erſten Figur erklaͤret/ und alſo daſelbſten ſchon erwieſen ſey. Nehm- lich diß iſt der einige Unterſchied/ daß Diokles den Punct G findet/ durch Abſchneidung zweyer gleicher Kreißbogen BN und BK, Pappus aber durch Abſchneidung derer zwey glei- chen Teihle der Regel/ GH unb HK. Daß aber dieſes einerley ſey/ und nach beyden Manie- ren ein Punct gefunden werde/ wird offenbar ſeyn/ wann wir beweiſen werden/ daß/ wann GH und HK einander gleich ſind/ und MN durch G gleichlauffend mit BD gezogen wird/ als- dann auch die beyde abgeſchnittene Kreißbogen BK und BN einander gleich ſeyen; und umbge- kehrt/ wann BK dem BN gleich iſt/ auch GH dem HK gleich ſey. Solches nun erhellet alſo: So man ziehet KN, ſo folget (weil GN und HB gleichlauffend ſind) daß ſich verhalte wie KH gegen GH, alſo KX gegen XN, vermoͤg des andern im VI. KH aber iſt gleich dem GH, derowegen auch KX dem XN, und folgends auch der Bogen KB dem Bogen BN, vermoͤg des 30ſten im VI. Sind dann die Bogen KB und BN gleich/ ſo ſchlieſſet ſich rukkwerts/ daß KX Von der Kugel und Rund-Saͤule. daß KX und XN und ſo dann KH und GH gleich ſeyen. Jſt derowegen der Punct G, wel- chen hier Pappus findet/ eben der/ welchen oben Diokles ſuchet. Daraus dann folget/ daß nach Dioklis Beweiß/ zwiſchen CM und MG die zwey mittlere gleichverhaltende ſeyen MN und MA. Wann nun bewieſen wird 1. Daß die gegebene Lineen des Pappi/ BD und DE, ſich eben ſo gegen einander verhalten/ wie die erſte jener vier gleichverhaltenden gegen der lez- ten/ CM gegen MG. 2. Daß/ wie CM gegen MN ſich verhaͤlt/ alſo BD gegen DH ſich verhalte/ ſo wird/ Krafft obigen Beweiſes Dioklis/ DH die erſte mittlere gleichverhalten- de zwiſchen BD und DE ſeyn/ wie Pappus begehret hat. Das erſte iſt leicht: dann/ weil BD und MN gleich lauffen/ ſo iſt (vermoͤg des 2ten im VI.) wie CM gegen MG, alſo CD (das iſt/ BD) gegen DE. Das andere iſt nicht viel ſchwerer: dann/ wie ſich verhaͤlt CM ge- gen MN (das iſt/ Krafft des 3ten im III. B. gegen ML) alſo MA gegen MG (vermoͤg des 4ten im VI. weil die Winkel bey M gerad/ MCL aber und MAG, als auf gleichen Kreißbogen/ CK und AL, ſtehende/ nach dem 27ſten des III. einander gleich ſind.) Es verhaͤlt ſich aber MA gegen MG (vermoͤg des 2ten im VI.) wie DA (das iſt/ BD) gegen DH. Derowegen verhaͤlt ſich wie CM gegen MN, alſo BD gegen DH; und iſt alſo DH die andere gleichverhaltende nach BD, aus welchen nun ferner die dritte/ wie oben erwaͤhnet/ leichtlich kan gefunden werden.

Sporus gehet natuͤrlich wie Pappus/ und koͤnnen wir alſo ſeinen Beweiß auch erſpa- ren/ und auf Dioklis ſeinen uns beziehen. Dann wann er zwiſchen AB und BC zwey mittlere gleichverhaltende finden ſoll/ ſo beſchreibet er mit der groͤſſeſten/ AB, einen Halbkreiß/ ſchnei- det die kleinere/ BC, von der groͤſſern in C, und ziehet EC biß ins F; heftet nachmals eine Regel an in D, und fuͤhret ſie von A gegen K ſo lang und viel hin und wieder/ biß GH und HK ein-

ander gleich werden. Wann dieſes geſchehen/ ſo folget aus Pappi Aufloͤſung/ daß BH ſey eine von denen beyden begehrten mittlern gleichverhaltenden/ nehmlich die andere oder naͤchſte nach AB in der Ordnung. So man nun ferner zwiſchen dieſer gefundenen BH und der letz- ten gegebenen BC (nach dem 13den des VI.) ſuchet die mittlere gleichverhaltende X, (wie Sporus in ſeinem Beweiß begehret) ſo iſt die ganze Sache verrichtet/ und aus bißhergeſagtem ſchon bewieſen; und ſind alſo BH und X die zwey begehrte Lineen.

Der vierdte Mechaniſche Weg Eratoſthenis.

Eratoſthenes/ von dem wir oben den Urſprung dieſer beruͤhmten Aufgab gelernet/ hat nach- folgenden Weg dem Koͤnig Ptolomæo eroͤffnet: Es ſeyen gegeben zwey unglei- che Lineen/ AE und DH, zwiſchen wel- chen ſollen zwey mitt- lere gleichverhalten- de gefunden werden.

So ſetze man nun AE winkelrecht auf eine andere/ nach Be- lieben genom̃ene/ Lini EH, und beſchreibe auf eben derſelben Li- ni/ in der Hoͤhe AE, drey gleiche Recht-

ekke/ wie AF, FI, IH in der erſten Figur/ und ziehe die Durchmeſſer AF, LG, IH. Hier- O iijauf Archimedis Anderes Buch auf ſchiebe man in Gedanken das lezte Rechtekk HI unter das mittlere unbewegliche/ und das erſte/ AF daruͤber (wie in der andern Figur) biß die Puncten A, B, C, D in einer geraden Lini ſtehen/ welche/ biß an die verlaͤngerte EH hinaus gezogen/ ſey AK. So iſt dann nun offenbar/ weil AE, FB, GC, DH, gleich lauffen/ daß (vermoͤg des 2ten im VI. B.) ſich verhalte AK gegen KB, wie EK gegen KF, und wiederumb/ (weil auch AF, BG, CH gleich lauffen) wie AK gegen KB, alſo FK gegen KG. Jſt alſo/ wie AK gegegen KB, alſo EK gegen KF, und KF gegen KG. KF iſt aber ferner gegen KG, wie KB gegen KC, und fol- gends/ wie KG gegen KH. Derowegen/ wie EK gegen KF, alſo KF gegen KG und KG ge- gen KH. Wie ſich aber verhaͤlt EK gegen KF, alſo AE gegen BF (nach dem 4ten im VI.) und ferner/ wie KF gegen KG, alſo BF gegen CG; und noch weiter/ wie KG gegen KH, alſo CG gegen DH. Derohalben ſo verhalten ſich auch/ wie AE gegen BF, alſo BF gegen CG und CG gegen DH; und ſind alſo BF und CG die zwey begehrte mittlere gleichverhaltende.

Dieſes waͤre eine feine und leichte Erfindung/ und/ wegen ihrer Leichtigkeit unter die fei- neſte Geometriſche zu rechnen/ wann die Bewegung derer Rechtekke/ durch welche A, B, C, D in eine Lini muͤſſen gebracht werden/ ordentlich waͤre und in gewiſſen Schranken eingeſchloſſen/ nicht aber nur auf dem Verſuch ſtuͤnde und auf einem unrichtigen Hin- und Wiederrukken/ als welches eben machet/ daß ſie unter die Mechaniſche muß gerechnet werden. Wiewol ſie auch unter dieſen den beſten Platz nicht verdienet/ weil ſie ſchwerlich ins Werk zu richten/ und ohne merklichen Fehler nicht leicht gebrauchet werden kan. Es gibt zwar Eratoſthenes einen ſolchen Werkzeug an die Hand/ mit dreyen fein glatt und duͤnn bereiteten Taͤfelein/ welche man alſo auf einander richten ſolle/ daß das mittlere ligend bleibe/ die zwey uͤbrige aber obangedeuter maſſen geſchoben werden koͤnnen/ und die vier Puncten in eine gerade Lini zu bringen. Er be- merket auch darneben/ daß wann man mehr Taͤfelein alſo zuſammen fuͤgte/ auch 3/ 4 und mehr mittlere gleichverhaltende/ aus gleichem Grund/ koͤnten gefunden werden. Allein ob und wie ſich dieſes alles werde ins Werk ſetzen laſſen/ wollen wir eines jeden eigener Erfahrung heim- ſtellen. Einmal iſt gewiß/ daß ſchon unter denen Alten ſich gefunden/ welche von dieſer Erfin- dung nicht viel gehalten haben; wie dann Eutokius ausdruͤkklich ſchreibet/ daß Nicomedes ſehr daruͤber gelacht haͤbe/ als uͤber eine ſolche/ welche nicht nur nit ins Werk koͤnte geſetzet und zur Ubung gebracht werden/ ſondern auch nicht Kunſt-gemaͤß waͤre/ und alles Kunſt-richtigen Geometriſchen Grundes ermangelte. Weil nun aber eben dieſer Nicomedes einen andern Weg/ zwey mittlere gleichverhaltende zu finden/ gezeiget/ den wir fuͤr Kunſt-richtig und Geo- metriſch halten; als wollen wir von denen Mechaniſchen hiermit Abſchied nehmen/ und/ dem goͤnſtigen Leſer zu Gefallen/ nunmehr auch erklaͤren/ fuͤrs andere

Etliche kunſtrichtige und Geometriſche Wege/ zwiſchen zweyen gegebenen Lineen zwey mittlere gleichverhaltende zu finden.

Der erſte Weg Nicomedis im Buch von denen Muſchel-Lineen.

Damit Nicomedis Meinung deſto klaͤret und deutlicher werde/ wollen wir dieſelbe nicht nach der Ordnung/ wie ſie vom Eutokio fuͤrge- bracht wird/ ſondern ruͤkkwerts erklaͤren/ und vom End den Anfang machen. Es ſeyen gegeben (ſpricht Nicomedes) zwo gerade Lineen/ AB die groͤſſere/ und BC die kleinere; zwiſchen wel- chen ſollen zwey mittlere gleichverhaltende gefun- den werden. So ſetze nun AB auf BC winkel- recht (nach dem 11ten des I. B.) und vollfuͤh- re das Rechtekk A, B, C, L (nach dem 46ſten erſtgemeldten B.) Teihle ferner ſo wol AB als BC, in D und E halb (nach dem 10den des I.) und ziehe LD hinaus biß in G in der verlaͤngerten BC. Aus E laſſe ferner eine ſenkrechte Lini her- unter gegen F hinaus/ und aus dem Punct C in der Weite AD, ſchneide bemeldte ſenkrechte Lini durch einen Kreißzug ab in F (dann weil AD groͤſſer iſt als EC, vermoͤg des obigen Satzes/ muß Von der Kugel und Rund-Saͤule. muß der Kreißzug nohtwendig durch die ſenkrechte Lini gehen) alſo daß CF ſo groß ſey als AD. Wiederumb ziehe FG, und CH dieſer gleichlauffend (aus dem 31ſten des I.) Endlich (weil nun der Winkel KCH, gleich CGF, vermoͤg des 29ſten im I. gegeben iſt) ziehe aus F eine Lini durch die beyde Schenkel des Winkels/ nehmlich durch die verlaͤngerte CH und CK, alſo daß HK gleich werde der Lini CF (welches/ wie es kunſtrichtig geſche- hen ſolle/ nachmals wird gelehret werden;) und zu allerlezt ziehe KL hinaus biß in M in der verlaͤngerten AB. Wann dieſes alles geſchehen/ ſo werden CK und AM zwiſchen AB und BC, die zwey mittlere gleichverhaltende ſeyn/ das iſt: Es werden ſich verhalten wie AB gegen CK, alſo CK gegen AM und AM gegen BC.

Dieſe Aufloͤſung/ wie klaͤrlich fuͤr Augen liget/ iſt ganz kunſtrichtig und Geometriſch wann dieſes einige noch/ wie nehmlich aus F auf die verlaͤngerte GK eine Lini ſoll gezogen wer- den/ daß HK eben ſo groß ſey als CF, aus einem gewiſſen/ kunſtrichtigen und Geometriſchen Grund wird gelehret werden.

Dieſes nun verrichtet Nicomedes vermittelſt einer gewiſſen abſonderlichen krummen Lini/ welche er mit folgendem Jnſtrument beſchreibet: Es ſind zwey Regeln AB und CD,

winkelrecht bey C in einander gefuͤget; und AB zwar hat in der Mitten eine Rinne oder Hohl- kehle/ zu unterſt ein wenig weiter als zu oberſt. Jn der andern Regel CD wird bey D, fein mitten auf der Breite ein kleines Rundſaͤuligen/ oder ein runder Nagel feſt eingezaͤpfet/ alſo daß er ein wenig uͤber der Regel Flaͤche herfuͤr rage. Naͤchſt dieſen beyden iſt noch eine andere Re- gel EF, in der Mitte bey HG auch ausgehoͤhlet/ damit ſie an gemeldtem Rundnagel D auf- und abgeſchoben werden moͤge: Oben bey E aber iſt in eben dieſer Regel wieder ein Nagel ein- gezaͤpfet und in die Hohlkehle AB alſo eingefuͤget/ daß E von A gegen B unverhindert hin und wieder gefuͤhrt werden/ aus der Lini AB aber nicht weichen koͤnne. Wann nun dieſes alſo auf einander gerichtet iſt/ oder wir uns/ ſolches alſo gerichtet zu ſeyn/ nur einbilden/ und in Ge- danken die Regel KF bey K ergreiffen/ und gegen A, nachmals von A gegen B fuͤhren/ ſo wird die Spitze K eine gewiſſe krumme Lini LMN beſchreiben/ welche zu foͤrderſt dieſe Eigen- ſchafft (vermoͤg der Zuruͤſtung des Werkzeuges) hat/ daß/ wann man aus D eine gerade Lini auf die erwaͤhnte krumme (es ſey gleich gegen L oder M oder N, oder auf was fuͤr einen Punct es wolle) ziehet/ das/ zwiſchen AB (die wir ins kuͤnftig die waagrechte nennen wollen) und der krummen Lini enthaltene/ Teihl allezeit in gleicher Groͤſſe/ EK, das iſt/ einmal ſo groß ſey als das andere mal. Und dieſe Lini nennet Nicomedes die erſte Muſchel Lini: EK heiſſet er die Zwiſchenweite/ und D den Polus oder Angelpunct.

Hier iſt ſich nun zu verwundern/ daß die Alten und nach ihnen/ durch ihr Anſehen verfuͤh- ret/ auch die meinſten neue Lehrer/ dieſe und dergleichen andere/ durch eine richtige/ unver- rukkte/ ordentliche Bewegung/ beſchriebene Lineen mehr fuͤr Mechaniſch als fuͤr kunſtrichtig und Geometriſch achten wollen/ da doch einige Urſach dieſes ihres Urteihls nicht zu erſinnen iſt. Dann wann es darumb geſchehen waͤre/ weil man/ zu Beſchreibung ſolcher Lineen/ auf dem Papier Archimedis Anderes Buch Papier oder ſonſt einer Ebene/ einiges Mechaniſchen Werkzeuges (wie hier des Nicomedis iſt) benoͤhtiget iſt/ ſo muͤſten auch die geraden und die Kreiß-Lineen aus der Meßkunſt laͤngſten verbannet ſeyn/ weil ſie ohne Cirkel und Lineal auf dem Papier/ eben ſo wenig als jene ohne ih- ren gehoͤrigen Werk zeug/ koͤnnen verzeichnet werden. Wolte man ſagen/ es waͤre dieſes die Urſach/ weil dieſe/ zu ſolchen krummen Lineen noͤhtige/ Werkzeuge nicht ſo ſchlecht und einfaͤl- tig als der Cirkel und das Lineal waͤren/ und daher auch ſo genau nicht koͤnten gemachet werden/ daß die Beſchreibung ihrer Lineen ohne merklichen Fehler abgienge; ſo geben wir zur Antwort/ daß/ umb dieſer Urſachen willen dergleichen Lineen vielmehr umbgekehrt von der Zahl derer Me- chaniſchen als Geometriſchen Lineen auszuſchlieſſen ſeyen. Dann die Mechanic oder Ruͤſtkunſt ſuchet dieſes zu foͤrderſt (wie oben ſchon erwaͤhnet) daß in ihren aͤuſſerlichen ſichtlichen Werken und Zeichnungen einiger merklicher Fehler nicht gefunden werde/ und wann ſie dieſes erlanget/ iſt ſie ſchon zu frieden: da hingegen die Meßkunſt einigen nur erſinnlichen Fehler in ihren Be- weißtuhmen nicht leiden kan/ die Zeichnung aber derer ſichtbaren Figuren und Lineen (weil ſie nur Zeichen und Gemerke ſind derer jenigen/ von welchen ſie redet/ und die nur von denen Au- gen des Verſtandes koͤnnen gefaſſet werden) ob ſie juſt oder nicht juſt ſey/ wenig achtet. Aber hiervon wollen wir hernach ein mehrers reden: anjezo aber ſehen/ wie vermittelſt dieſer Muſchel- Lini das jenige/ was in obigem Beweiß als moͤglich/ geſetzet worden/ koͤnne verrichtet werden.

Solches nun kunſtrichtig zu zeigen/ beweiſet Nicomedes von ſeiner alſo beſchriebenen Muſchel-Lini/ dieſe folgende Eigenſchafften:

1. Daß dieſelbe zu beyden Seiten des Scheitelpuncts E, der waag- rechten Lini AD ſich je mehr und mehr naͤhere/ je weiter ſie von gemeldtem Scheitelpunct hinaus erſtrekket wird.

Das iſt/ daß die ſenkrechte Lini FM kleiner ſey als die andere HN, &c.

Beweiß.

Dann der Winkel MLC iſt groͤſſer als der Winkel NKC, vermoͤg des 16den im I. B. und deswegen der uͤbrige MLF kleiner als der uͤbrige NKH, aus dem 13den gemeldtes I. B. Woraus dann folget/ weil die beyde bey M und N gerade Winkel ſind/ daß hinwiederumb der Winkel MFL groͤſſer ſey als der Winkel NHK, vermoͤg des 32ſten im I. So man nun MFX gleich machet erwaͤhnten Winkel bey H, nach dem 23ſten im I. B. ſo werden die beyde Dreyekke/ MFX und NHK gleichwinklicht ſeyn/ und deswegen wird ſich verhalten/ wie FX gegen FM, alſo KH oder FL (dann dieſe beyde ſind/ vermoͤg der erſten Eigenſchafft/ einander gleich) gegen HN, aus dem 4ten des VI. Und wechſelweis/ wie FX gegen FL, alſo FM gegen HN. Es iſt aber FX kleiner als FL, Krafft des 19den im I. Weil FXL ein ſtum- pfer Winkel iſt/ vermoͤg des 16den in eben demſelben B. Darumb ſo iſt auch FM kleiner als HN, &c.

2. Daß zwiſchen gemeldter Muſchel-Lini und der waagrechten AD kei- ne gerade Lini koͤnne gezogen werden/ welche die Muſchel-Lini nicht durch- ſchneide.

Dann eine ſolche/ zwiſchen beyden gezogene/ Lini iſt entweder gleichlauffend mit der waag- rechten/ oder nicht gleichlauffend. Jſt ſie gleichlauffend/ wie FH, ſo mache man/ wie DG ge- gen GC, alſo DE gegen einer andern/ zum Exempel der Lini K, nach dem 12ten des VI. und be- Von der Kugel und Rund-Saͤule.

und beſchreibe aus C, als dem Mittelpunct/ in der Weite K einen Kreiß/ welcher die gleich- lauffende FH nohtwendig durchſchneiden muß/ zum Exempel in F, weil/ wie DG gegen GC, alſo DE gegen K, das iſt/ gegen CF, und wechſelweis/ wie DG gegen DE, alſo GC gegen CF; und daher GC kleiner iſt als CF. Wann dann nun/ vermoͤg des 2ten im VI. wie GD gegen GC ſich verhaͤlt/ alſo auch FL gegen CF, und/ Krafft obigen Satzes/ wie eben daſſelbe GD gegen GC, alſo DE gegen CF, und dannenhero FL und DE gegen CF einerley Verhaͤltnis haben/ ſo muͤſſen auch FL und DE nohtwendig einander gleich ſeyn/ ver- moͤg des 9ten im V. Woraus dann folget/ daß die gleichlauffende Lini mit dem Punct F eben die Muſchel Lini beruͤhre/ und alſo/ verlaͤngert/ dieſelbe nohtwendig durchſchneide. Weil dann nun dieſe gleichlauffende die Muſchel-Lini durchſchneidet/ ſo wird dieſelbe vielmehr jede andere nicht gleichlauffende/ als NM, durchſchneiden/ wie die Vernunft ſelbſten an die Hand gibt.

Hierauf folget nun die/ zu obiger Aufloͤſung noͤhtige/ Aufgab/ nehmlich:

3. Durch eines gegebenen Winkels (GAB) beyde Schenkel/ (AB und AG) aus einem/ auſſerhalb des Winkels gegebenen/ Punct (C) eine gerade Lini (CG) zu ziehen/ alſo daß der/ zwiſchen beyden Schenkeln ent- haltene/ Teihl derſelben Lini (KG) gleich ſey einer gegebenen Lini.

Welches dann alſo leicht verrichtet wird: Aus dem gegebenen Punct C, ziehe eine ſenk- rechte Lini auf AB, nehmlich CH, und verlaͤngere dieſelbe/ biß HD ſo groß ſey als die gegebene.

Nachmals beſchreibe (nach obigem Unterricht) aus dem Angelpunct C, mit der Zwiſchen- weite HD, uͤber der Waagrechten AB, eine Muſchel-Lini CDG, welche von dem Schen- kel AG, vermoͤg der vorhergehenden 2. Eigenſchafft/ durchſchnitten wird in G. Ziehe nun CG, ſo wird KG gleich ſeyn HD, das iſt/ der gegebenen Lini/ Krafft der erſten Eigenſchafft.

Jſt derowegen nunmehr offenbar/ daß/ wann Nicomedes in obiger Aufloͤſung begehret/ es ſolle aus F durch beyde Schenkel des Winkels KCH eine Lini alſo gezogen werden/ daß HK Pgleich Archimedis Anderes Buch gleich ſey der Lini CF, ſolches kunſtrichtig geſchehen moͤge/ und alſo die ganze Aufloͤſung auf lauter Geometriſchen und unfehlbaren Gruͤnden beſtehe. Daher dann nun nichts mehr uͤbrig iſt/ als der Beweiß/ daß/ ſo man erſterwaͤhnter Aufloͤſung in allen Stuͤkken nachkommet/ die Lineen CK und AM zwiſchen AB und BC zwey mittlere gleichverhaltende ſeyen.

Nun hat zwar Nicomedes ſelbſten ſolches klar und deutlich bewieſen/ wie bey dem Eu- tokius zu erſehen iſt. Wir wollen aber hier einen andern Beweiß beybringen/ umb keiner andern Urſache willen/ als weil wir vermittelſt deſſelben zweyerley Arbeit auf einmal verrich- ten/ nehmlich zugleich dieſes gegenwaͤrtige bekraͤfftigen/ zugleich aber auch augenſcheinlich darthun koͤnnen/ daß die Wege Heronis/ Philonis und Apollonii/ welche wir oben/ und billich/ unter die Mechaniſche gerechnet/ nunmehr durch dieſen gegenwaͤrtigen auch Geome- triſch und kunſtrichtig gemachet ſeyen.

Beweiß des bißher erklaͤrten Weges Nicomedis.

Beydes nun wird folgender geſtalt erhel- len: Nehmlich/ es iſt oben bey dem zweyten Mechaniſchen Weg (des Heronis/ Philonis und Apollonii/ welche drey wir unter einen Beweiß und Grund gebracht haben) erwieſen worden/ daß/ wann aus zweyen gegebenen Li- neen/ wie hier AB und BC, ein Rechtekk ge- machet/ nachmals durch das Ekk L eine Lini/ an beyde Verlaͤngerungen derer gegebenen/ alſo gezogen werde/ daß XK und XM einander gleich werden; alsdann CK und AM zwiſchen AB und BC, zwey mittlere gleichverhaltende ſeyen. Und hat daſelbſten/ zu voͤlliger unfehl- barer Richtigkeit nichts gefehlet/ als daß die Lini KLM nur Plumps- und Verſuchs-weiß/ nicht aber aus einem gewiſſen Geometriſchen Grund gezogen worden. Wofern wir dann nun anjezo beweiſen werden/ daß aus obiger Aufloͤſung Nicomedis nohtwendig folge die Gleichheit derer beyden Lineen XM und XK, ſo wird nicht allein gemeldte Aufloͤſung rich- tig erwieſen/ ſondern zugleich auch ein kunſtrichtiger Weg gezeiget ſeyn/ die Lini KLM, wie ſie begehret wird/ aus einem gewiſſen Grund zu ziehen/ alſo daß alle drey gemeldte Mechaniſche Wege/ durch dieſes Mittel Geometriſch oder kunſtrichtig gemachet/ und zu ihrer Vollkommen- heit gebracht werden.

Daß nun/ vermoͤg der Nicomediſchen Aufloͤſung/ XK und XM einander gleich ſeyen/ beweiſe ich alſo: Wie ſich verhaͤlt ML gegen LK, alſo MA gegen AB, und BC gegen CK, nach dem 2ten des VI. Derowegen ſo verhaͤlt ſich auch MA gegen ½ AB (das iſt/ gegen AD) wie BC gedopyelt (das iſt/ aus folgender 1. Anmerkung/ GC) gegen CK. (Beſihe folgende 2. Anmerkung.) Wie ſich aber GC gegen CK verhaͤlt/ ſo verhaͤlt ſich FH ge- gen HK (weil GF und CH, Krafft obiger Aufloͤſung/ wieder gleichlauffend ſind) dero- wegen folget/ daß/ wie MA gegen AD, alſo FH gegen HK, und zuſammgeſetzet/ wie MD gegen AD, alſo FK gegen HK, nach dem 18den des V. B. HK iſt aber ſo groß als AD, vermoͤg der Aufloͤſung; derhalben haben FK und MD gegen AD einerley Verhaͤltnis/ und ſind daher einander gleich/ vermoͤg des 9ten im V. So iſt demnach auch die Vierung von MD gleich der Vierung von FK, das iſt (Krafft des 47ſten im I.) denen beyden Vie- rungen EF und EK zuſammen. So man nun zu dieſen beyden gleichen hinzu thut die Vie- rung von DX oder EC, (dann dieſe ſind auch einander gleich) ſo wird die Vierung MD ſambt der Vierung DX gleich ſeyn der Vierung EF ſambt der Vierung EC und der Vie- rung EK, das iſt/ der Vierung CF ſambt der Vierung EK, oder (weil CF und EX gleich ſind/ beyde nehmlich dem DB) der Vierung EX ſambt der Vierung EK. Nun ſind aber die beyde Vierungen MD und DX zuſammen gleich der Vierung MX, und die beyde EX und EK zuſammen gleich der Vierung KX, aus dem 47ſten des I. Derowegen ſind die Vie- rungen von MX und KX, und folgends auch ihre Grundlineen MX und KX, einander gleich; Welches hat ſollen bewieſen werden.

NB. NB. Von der Kugel und Rund-Saͤule.

NB. NB.

1. Daß GC zweymal ſo groß ſey/ als BC, iſt offenbar. Dann/ aus dem 4ten des VI. wie LC iſt gegen GC, alſo DB gegen BG, und wechſelweiß/ wie LC gegen DB, alſo GC gegen BG. Nun iſt aber LC zweymal ſo groß als DB, Krafft obiger Aufloͤſung/ dero- wegen iſt auch GC zweymal ſo groß als GB, und folgends auch als der andere Teihl BC.

2. Dieſer Schluß gruͤndet ſich auf nachfolgenden Lehrſatz:

Wann vier gleichverhaltende Dinge ſind/ ſo verhaͤlt ſich das erſte ge- gen der Helfte des andern/ wie das dritte gedoppelt gegen dem vierdten.

Das iſt: Wann ſich verhaͤlt wie a gegen ea, alſo b gegen eb, ſo verhaͤlt ſich auch a ge- gen ½ ea, wie 2b gegen eb.

Der Beweiß deſſen iſt abermal augenſcheinlich. Dann das jenige/ was da kommt aus a in eb, nehmlich aeb, iſt gleich dem gemachten aus beyden mittlern/ nehmlich zweymal ½ aeb.

Anhang von dem Unterſcheid derer Mechaniſchen und Geometriſchen Lineen.

Wir haben alſo bißher gelernet/ wie vermittelſt der Nicomediſchen Muſchel-Lini zwey mittlere gleichverhaltende kunſtrichtig und Geometriſcher Weiſe moͤgen gefunden werden. Da- mit aber von dem Recht und Sitz dieſer Muſchel-Lini/ den ſie in der Meßkunſt billich hat und behaͤlt/ der geringſte Zweiffel nicht uͤbrig ſey/ wollen wir von dem Unterſcheid derer Mechani- ſchen und Geometriſchen Lineen bey dieſer Gelegenheit noch etwas mit anhaͤngen.

So pflegen wir nun ins gemein Geometriſch oder kunſtrichtig zu nennen alles das jenige/ was vollkommen/ ganz genau und ohne Fehler iſt/ und im Gegenteihl Mechaniſch/ was ſolche Genauheit und Vollkommenheit nicht belanget/ ob es gleich manchmal/ dem aͤuſſerlichen Sinn und Augenſchein nach ziemlich nah hinan reichet. Zum Exempel/ wann ich auch mit der aller- ſpitzigſten Nadel ein Duͤpfelein ſteche ſo klein/ daß es kaum geſehen werden kan/ wird ſolches doch fuͤr keinen Geometriſchen Punct gehalten; dieweil nicht allein das Nachſinnen des Ver- ſtandes/ ſondern auch das Aug (wann die Sehe-Kraͤffte/ vermittelſt derer Vergroͤſſerungs- Glaͤſer/ verſtaͤrket werden) endlich befindet/ daß ein ſolches/ dem bloſſen Anſehen nach unteihl- bares/ Duͤpfelein dannoch viel 100 und 1000 Teihle in ſich begreiffe; da hingegen zu einem Geo- metriſchen Punct erfordert wird/ daß in demſelben einige Teihle oder Teihlung gar nicht ſtatt finde: alſo daß ein ſolcher Geometriſcher Punct mit keinem/ auch dem allerſubtileſten/ Werk- zeug kan gemachet/ ſondern allein von dem Verſtand verzeichnet/ oder vielmehr/ daß hier und dort allbereit wuͤrklich ein ſolcher Punct ſey/ gedacht und eingebildet werden. Woraus dann zugleich erhellet/ weil eine Geometriſche Lini ganz keine Breite haben ſolle/ daß aus gleichem Grund weder gerade noch krumme Lineen mit einigem Werkzeug/ er ſey ſo ſubtil als er immer wolle/ koͤnne gezogen werden/ ſondern gleichfalls der Verſtand hier wuͤrken/ das iſt/ die/ all- bereit wuͤrklich in der Natur ſtehende und befindliche/ Lineen betrachten und anſchauen muͤſſe: alſo daß in dieſem Stuͤkk/ wann dieſe oder jene Wuͤrkung erfordert/ zum Exempel/ von einem gegebenen Punct zu einem andern eine gerade Lini zu ziehen; umb einen gegebenen Punct/ in gegebener Weite/ eine Kreiß-Lini zu fuͤhren/ ꝛc. es die Meinung nicht hat (wie zwar die Wort mit ſich bringen) daß ſolches wuͤrkllich/ vermittelſt eines Lineals oder Cirkels/ geſchehen ſolle; ſondern/ der Verſtand durch ſolche Forderung nur aufgewekket und erinnert wird der Moͤg- lichkeit dieſes oder jenes Begehrens; daß nehmlich moͤglich ſey/ daß von einem gegebenen Punct zu einem andern eine gerade Lini ſich erſtrekke; daß umb einen gegebenen Punct in gegebener Weite eine Kreiß-Lini (das iſt/ eine ſolche/ welche nach allen ihren Puncten von dem gegebenen umb und umb gleich weit abſtehe) ſich ſchlieſſe/ ꝛc. Daß aber nachmals dergleichen Lineen mit einem Lineal oder Cirkel/ auf Papier oder ſonſten gezogen werden/ geſchihet nicht das Begehr- te zu vollbringen/ ſondern dem Verſtand nur ein gewiſſes Zeichen und Sinnbild fuͤrzulegen/ damit er in ſeinen Gedanken und Betrachtungen deſto leichter fortkommen moͤge.

P ijDaß Archimedis Anderes Buch

Daß nun aber moͤglich ſey/ daß von einem gegebe- nen Punct A zu einem andern/ B, eine gerade Lini ge- zogen/ oder vielmehr/ als wuͤrklich gezogen/ betrachtet werde/ befindet der Verſtand durch eine gewiſſe Bewe- gung des Punctes A; wann nehmlich derſelbe auf den andern Puncten B gerad zu/ ohne einiges Ausweichen/ dem kuͤrzeſten Weg nach/ ſich bewege oder in Gedanken gefuͤhret werde/ daß alsdann durch ſolche Bewegung eine rechte Geometriſch-gerade Lini gezogen werde. Gleicher geſtalt befindet er/ wann von dem gegebenen Punct C ein anderer Punct F, in der Weite DE, ab- ſtehe/ und von F gegen G, von G wieder in F alſo beweget werde/ daß er von C immerzu und unveraͤndert in glei- cher Weite bleibe/ alsdann durch ſolche Bewegung eine rechte Geometriſche Kreiß-Lini be- ſchrieben zu ſeyn. Damit aber dieſe ſo ordentliche Bewegung eines Punctes (welche im erſten Anblikk etwas ſchwer ſcheinet) dem Verſtand deſto leichter fuͤrkomme/ ſo bildet er ihm ein/ wie die Lini DE mit dem Punct D in C angehefftet ſey/ mit dem andern Teihl aber umb C rund herumb gefuͤhret werde/ und alſo mit dem aͤuſſerſten Punct E (welches ſo weit von C iſt als F) die Rund-Lini FG verzeichne. Noch deutlicher kan er ihme ſolche Bewegung und Verzeich-

nung einbilden/ wann an ſtatt der vorigen Lini ein Schnuͤrlein oder Faden in C angehefftet/ in F aber ein Steft angebunden und alſo in gleicher Ausdehnung herumb gefuͤhret wird; oder wann man/ der gemeineſten Art nach/ den einen Fuß eines Cirkels in C ſetzet/ den andern aber/ nach der gegebenen Weite DE, in F er- ſtrekket/ und alſo herumb faͤhret. Dann ob zwar alle beyde dieſe Bewegungen und Beſchreibungen nur Me- chaniſch ſind/ und zwar eine genauer und beſſer als die andere/ ſo dienen ſie doch alle beyde/ die rechte Geome- triſche Verzeichnung einer Kreiß-Lini zu erkennen.

Aus welcher Zeichnung zugleich auch dieſes zu er- ſehen/ daß die Lini DE, oder CF, gleichſam das Maaß ſey/ vermittelſt deſſen alle Puncten/ durch welche die begehrte Kreiß-Lini ſtreichen muß/ leicht- lich koͤnnen gefunden werden. Dann ſo oft man aus dem Mittelpunct C eine gerade Lini zie- het/ wohinaus man will/ und von derſelben ein Stuͤkk abſchneidet ſo groß als die gegebene DE, wird allezeit gefunden ein Punct/ durch welchen die Kreiß-Lini nohtwendig ſtreichen muß/ und zwar auf eine ſolche Weiſe/ nach welcher alle andere Puncten auch koͤnnen gefunden und be- ſtimmet werden.

Auſſer dieſen beyden Kenn- und Merkzeichen nun findet ſich nichts anders/ von dem ſie die Freyheit und das Recht bekaͤme/ fuͤr eine Geometriſche und kunſtrichtige Lini zu gelten; daß alſo alle andere Lineen/ denen dieſe weſentliche Eigenſchafften auch zukommen/ mit gleichem Recht unter die Geometriſche muͤſſen gezehlet werden/ und daher dieſe allgemeine Regel entſtehe:

Alle krumme Lineen/ welche durch eine ordentliche/ richtige/ ununter- brochene Bewegung einer geraden Lini verzeichnet werden/ oder ein gewiſ- ſes Maaß haben/ vermittelſt deſſen alle ihre Puncten/ ohne Unterſcheid koͤnnen beſtimmet werden/ (deren beyden keines jemaln ohne das andere iſt) ſind fuͤr rechte kunſtrichtige Geometriſche Lineen zu erkennen und anzu- nehmen.

Daher dann nunmehr auſſer allem Zweiffel iſt/ daß auch die obige Muſchel-Lini Nico- medis unter dieſe Zahl mit allem Recht gehoͤre/ weil beyde obgemeldte Kennzeichen in derſel- ben eben ſo deutlich als in der Kreiß-Lini befunden werden. Dann gleich wie dorten die gege- bene Lini DE mit dem Punct D allezeit in C bleibet; mit E aber herumbgefuͤhret/ und hier- durch die Kreiß-Lini beſchrieben wird: Alſo iſt hier anderſt nichts zu betrachten/ als daß man ihme Von der Kugel und Rund-Saͤule. ihme einbilde/ wie die gegebene Lini oder Zwiſchenweite KE von A gegen B alſo beweget werde/ daß ſie immerfort auf den Angelpunct D ſchnurſtrakks gerichtet/ der eine Punct E aber allezeit auf der waagrechten Lini AB verbleibe/ und alſo von dem Punct K die Muſchel-Lini KIH verzeichnet werde/ wie dann ſolche Ver- zeichnung aus obenbeſchriebenen Werk- zeug Nicomedis noch deutlicher kan ver- ſtanden werden. Es iſt aber uͤber dieſes zwiſchen dieſer Zeichnung und der Kreiß- beſchreibung noch dieſe Aehnlichkeit/ daß/

gleich wie dorten alle Lineen/ welche zwiſchen dem Punct C und der Kreiß-Lini FG ligen oder fallen/ einander gleich ſind/ alſo auch hier alle Lineen/ welche zwiſchen der waagrechten AB und der Muſchel-Lini KIH, gegen D gewendet/ ligen oder fallen/ auch einander gleich ſeyen. Woraus noch ferner flieſſet/ daß KE ein gewiſſes Maaß ſey/ vermittelſt deſſen alle Puncten/ durch welche die begehrte Muſchel Lini ſtreichen muß/ leichtlich koͤnnen gefunden werden. Dann ſo oft man von D aus durch die waagrechte AB eine gerade Lini ziehet/ wohinaus man will/ (als zum Exempel DH und DI) und von derſelben/ uͤber der waagrechten AB, ein Stuͤkk (GH oder CI) abſchneidet ſo groß als die gegebene KE, wird allezeit ein Punct (H oder I) gefunden/ durch welchen die Muſchel-Lini nohtwendig ſtreichen muß/ und zwar auf eine ſolche Weiſe/ nach welcher alle andere Puncten auch koͤnnen gefunden und beſtimmet werden.

Vermoͤg erſtgegebener Regel aber und derer bißher beygebrachten Erklaͤrungen/ ſcheinet uͤber dieſes/ daß auch die krumme Lini Dioklis/ von welcher wir oben in dem dritten Mechani- ſchen Weg geredet haben/ nunmehr unter die Geometriſche und kunſtrichtige Lineen zu zehlen/ und daher auch ſo wol des Dioklis als des Pappi und Spori/ daſelbſt erzehlte und ſo lang unter die Mechaniſche gerechnete/ Aufloͤſungen kunſtrichtig und Geometriſch ſeyen/ weil ſie nehmlich alle drey (wie wir damals gewieſen) auf derſelben krummen Lini Eigenſchafft beru- hen; alle Puncten aber gemeldter krummen Lini ohne Unterſcheid auf eine gewiſſe Maaß und Weiſe koͤnnen beſtimmet werden/ wie Diokles daſelbſten an zweyen Puncten/ H und O, deutlich und klaͤrlich gewieſen hat. Welches dann ein Anzeigen iſt/ daß gemeldte krumme Li- ni auch durch eine gewiſſe ordentliche Bewegung einer oder mehrer Lineen koͤnne verzeichnet werden/ wie der kunſtliebende Leſer leichtlich finden wird/ wann er der Sache ein wenig nach- denken will. Wir wollen (weil die Zeit und unſer Vorhaben nicht zulaͤſſet dieſen Gedan- ken obzuligen) nur einige wenige Anleitung hierzu geben durch beygefuͤgten Abriß/ in wel- chen man ihme muß einbilden/ wie die beyde Regeln cG und dE anfaͤnglich einander durch- ſchnitten haben in b, alſo daß der Punct F, wie auch der Punct G, mit b uͤberein getroffen/ und die Lini GH gerad auf der Lini bf gelegen ſey. Wann nun dieſes alſo beftimmet/ und der Steft F, von b gegen f ſenkrecht hinauf beweget/ die beyde Regeln cG und dE unten immer weiter und weiter von einander treibet/ cG aber die Lini HG auf der Kreiß-Lini bgd alſo fortſtoͤſſet/ daß ſie allezeit ſenkrecht bleibe auf cd; ſo wird der Punct H (in welchem ſich HG und dE in wehrender ſolcher Bewegung fort und fort durchſchneiden) indeſſen beſchrei- ben eine krumme Lini bH; und wann der Steft F kommt biß in f, dieſelbe fortſetzen biß in h; Endlich/ wann der Steft das I erreichet/ die ganze krumme Lini bHhd vollfuͤhret haben.

Welche dann/ daß ſie eben dieſelbe krumme Lini ſey/ von welcher oben Diokles redet/ aus dem jenigen/ was daſelbſten bewieſen worden/ leichtlich zu erſehen iſt. Wir wollen aber dieſes P iijgegen- Archimedis Anderes Buch gegenwaͤrtige des Leſers Urteihl und fernerem Nachdenken uͤberlaſſen/ biß wir Zeit und Ge- legenheit haben/ den Sachen ſelbſten ferner nachzuſinnen.

Dieſes darf ſich indeſſen der kunſtliebende Leſer nicht irꝛ machen laſſen/ daß in gegenwaͤrti- ger Beſchreibung eine doppelte Bewegung zweyer Lineen (nehmlich der Lini dE und der ſenk- rechten GH) mit unterlauffet/ da hingegen die Zeichnung eines Kreiſſes oder der Ricomedi- ſchen Muſchel Lini durch die Bewegung einer einigen Lini verrichtet werden; ſintemal nichts daran gelegen iſt/ es moͤgen ſo viel Bewegungen zuſammen kommen/ als immer wollen/ wann ſie nur alſo beſchaffen ſind/ daß eine an der andern haͤnge/ das iſt/ daß ſie nicht von einander ab- geſondert ſeyen/ ſondern die letztern immer von denen vorhergehenden regieret und geleitet wer- den/ alſo daß endlich aus allen/ ſo viel ihrer immer ſeyn moͤgen/ dannoch nur eine einige ent- ſpringe/ nehmlich die Bewegung eines einigen Punctes/ welcher die begehrte Lini beſchreiben ſolle; gleich wie in vorhergehendem Abriß die Bewegung der Lini GH kommet aus der Be- wegung der andern Lini dE, aus beyden Bewegungen aber endlich entſpringet die einige Be- wegung des Durchſchnitt-Punctens H, welcher die begehrte Lini beſchreibet.

Viel ein anders aber iſt es/ wann die Bewegungen ganz von einander unterſchieden und abgeſondert ſind/ alſo daß ſie gar keine Vergleichung gegen einander haben/ welche genau und kunſtrichtig koͤnte gemeſſen werden. Viel ein anders iſt es auch/ wann etliche Puncten/ durch welche eine krumme Lini ſtreichen muß/ auf eine gewiſſe Maaß und Weiſe gefunden werden/ nach welcher aber die andern alle/ ohne Unterſcheid nicht koͤnnen beſtimmet werden. Dann weil eben deswegen nicht aller und jeder Puncten Stand oder Beſchaffenheit/ in dem ſie gegen einer gewiſſen geraden Lini gehalten werden/ kan kund und wiſſend ſeyn/ auch daher ihre Durch- meſſer/ Mittel-Lineen und dergleichen/ unbekant bleiben; die Meßkunſt oder Meſſens-Wiſ- ſenſchafft aber aller ſolcher Dinge Erkaͤntnis ſuchet und verlanget; ſo kan ſie dergleichen krum- me Lineen auch in ihrem Bezirk nicht leiden/ ſondern verweiſet ſie in die Mechanic oder Ruͤſt- kunſt/ welche alle ſolche Dinge nicht genauer zu wiſſen oder zu forſchen begehret/ als ſo fern deroſelben Wiſſenſchafft die aͤuſſerliche Sinne vergnuͤget/ und jeden ſichtlichen Fehler verhuͤten kan. Dergleichen Lineen nun ſind unter andern derer Alten ihre Vierungs-Lini (quadratrix) Jtem die Schnekken-Lineen/ von welchen Archimedes beſſer unten ein ganzes abſonderliches Buch beſchrieben hat. Und kan wol ſeyn/ daß/ wie Carteſius argwohnet/ die Alten erſtlich auf dieſe und dergleichen Lineen gerahten ſind/ und/ nach dem ſie dieſelbe nicht kunſtrichtig be- funden/ hernachmals auch die andere krumme Lineen (deren Eigenſchafften ſie vielleicht ſo ge- nau nicht beobachtet/ und daher auch den Unterſcheid zwiſchen ihnen und denen vorigen nicht bemerket) als mechaniſch/ miteinander verworffen haben.

Der zweyte kunſtrichtige oder Geometriſche Weg/ zwiſchen zweyen gegebenen Lineen zwey mittlere gleichverhaltende zu finden/ des Menechmi.

Dieſer Menechmus hat zweyerley Aufloͤſungen erſonnen/ welche einander ſehr aͤhnlich ſind/ und bloß darinnen unterſchieden/ daß er zu Erfindung eines gewiſſen Puncten in der ei- nen ſich bedienet zweyer Parabolen (oder vergleichenden Kegel-Lineen;) in der andern aber einer Parabole und einer Hyperbole (oder uͤbertreffenden Kegel-Lini.) Wir wollen hier nur die eine fuͤrbringen/ weil wir ohne das ſchon allzuweitlaͤuffig geweſen.

Damit nun Menechmus ſeinen Zwekk gluͤkklich erreichen moͤchte/ gehet er den Weg/ den Archimedes oben in annoch unter Handen habenden I. Lehrſatz gegangen/ und wir in der 1. Anmerkung geruͤhmet haben. Rehmlich/ nach dem ihme zwey Lineen AB und BC fuͤrgegeben ſind/ umb/ zwey mittlere gleichverhaltende dar- zwiſchen zu finden/ ſetzet er dieſelbe/ als ſchon ge- funden/ zu ſeyn DB und BE. Fuͤget ſie hernach- mals alle viere winkelrecht zuſammen in B, alſo daß die zwey gegebene einen/ und die zwey gefun- dene einen andern geraden Winkel machen; Zie- het ferner DF und EF winkelrecht zuſammen/ und ſchlieſſet daraus folgends alſo: Dieweil ſich verhaͤlt wie BC gegen BD, alſo BD gegen BE, ſo iſt das Rechtekk aus BC in BE gleich der Vierung Von der Kugel und Rund-Saͤule. Vierung BD, oder EF, vermoͤg des 17den im VI. Und deswegen gehet die Parabel (oder vergleichende Kegel Lini/) welche/ nach Anleitung der Lini BC durch den Scheitelpunct B, umb die Mittel-Lini BE gezogen wird/ nohtwendig durch den Punct F, vermoͤg des 11ten im I. B. Apollonii von denen Kegel-Lineen. Gleicher Weiſe/ weil AB gegen BE ſich verhaͤlt wie BE gegen BD, iſt das Rechtekk aus AB in BD gleich der Vierung BE, das iſt/ der Vierung DF; und gehet daher/ aus vorigem Grund/ eine andere Parabel/ dienach Anlei- tung der Lini AB, durch den Scheitelpunct B umb die Mittel-Lini BD gezogen wird/ noht- wendig wieder durch den Punct F. Woraus erhellet/ daß/ wann AB und BC gegeben ſind/ vermittelſt zweyer Parabolen/ der Punct F koͤnne gefunden/ und daher/ vermittelſt derer ſenk- rechten FD und FE, die beyde mittlere gleichverhaltende BE und BD, koͤnnen kunſtrichtig beſtimmet werden; welches alſo kuͤrzlich die ganze Aufloͤſung iſt/ welche Menechmus/ derer Alten Gewohnheit nach/ durch eine anmuhtige Wiederkehr folgender maſſen ausfuͤhret.

Aufloͤſung.

So nun gegeben ſind zwey gerade Lineen AB und BC, zwiſchen welchen zwey mittlere gleichverhaltende ſollen gefunden werden/ ſo ſetze die beyde gegebene winkelrecht auf einander/ und verlaͤngere ſie gegen D und E, ohne Maaß/ hinaus; beſchreibe ſo dann/ nach Erforderung der Lini BC, umb BE eine Parabel/ (alſo nehmlich/ daß die Vierung einek jeden/ von ihrem Umbkreiß auf BE ſenkrecht gezogenen/ Lini (als hier die Vierung EF) gleich ſey dem Recht- ekk aus BC und bem Teihl der Mittel-Lini zwiſchen B und der vorigen ſenkrechten (hier BE) Beſihe unten die Anmerkung. Wiederumb beſchreibe/ voriger maſſen/ umb BD, nach Erforderung der Lini AB eine andere Parabel/ und aus dem Punct F, in welchem ſie einander durchſchneiden/ ziehe die ſenkrechte Lineen FD und FE, ſo werden BE und BD die begehrte zwey mittlere gleichverhaltende ſeyn.

Beweiß.

Dann das Rechtekk aus BE und BC iſt gleich der Vierung EF, das iſt/ der Vierung BD, vermoͤg der Aufloͤſung. Darumb verhaͤlt ſich wie BC gegen BD, alſo BD gegen BE, nach dem 17den des VI. Wiederumb/ weil das Rechtekk aus AB und BD gleich iſt der Vierung DF, das iſt/ BE, ſo verhaͤlt ſich/ wie BD gegen BE, alſo BE gegen AB; dero- wegen ſind BC, BD, BE, BA vier gleichverhaltende/ und BE ſambt BD die zwey mittlern/ welches hat ſollen bewieſen werden.

NB. NB.

1. Was geſtalt eine Parabel (oder vergleichende Kegel-Lini) kunſtrichtig ſolle verzeich- net werden; oder vielmehr/ daß dergleichen Lineen waarhaftig in der Ratur zu finden/ und nach ihren Eigenſchafften bekant/ daher auch Geometriſch ſeyen/ kan aus dem vorhergehenden leichtlich erhellen: ſintemal aus dem beſagten klar und offenbar iſt/ daß alle und jede Puncten ſolcher Lini/ ohne Unterſcheid/ auf eine gewiſſe allgemeine Weiſe koͤnnen beſtimmet werden. Dann wann ich zum Exempel auf der Mittel-Lini BE einen Punct nehme nach Belieben (zum Exempel E) und alsdann zwiſchen BC und BE die mittlere gleichverhaltende BD finde/ nach dem 13den des VI. und aus dem genommenen Punct E aufrichte eine ſenkrechte Lini/ EF, gleich BD; ſo iſt F ein Punct/ durch welchen die begehrte Lini nohtwendig ſtreichen muß/ und ſolcher geſtalt koͤnnen alle andere Puncten beſtimmet werden/ aufs wenigſte in Gedanken/ wel- ches zu einer Geometriſchen und kunſtrichtigen Lini ſchon genugſam iſt/ dieweil der Verſtand/ in dem er alle Puncten (wie ſie zu finden) wuͤrklich fuͤr ſich ſihet/ zugleich auch die ganze Lini wuͤrklich und kunſtrichtig ziehet/ nicht anderſt/ als er eine Kreiß-Lini verzeichnet/ wann er mit dem einen Fuß des Cirkels umb den Mittelpunct durch alle Puncten des Umblauffs gleichſam herumblauffet. Daß aber vermittelſt ſolcher Punctſindung dergleichen Lineen auf dem Papier ſein nett und ununterbrochen nicht koͤnnen gezogen werden/ daraus iſt vielmehr zu ſchlieſſen/ daß dieſe Weiſe/ eine Lini zu beſchreiben/ gar zu Geometriſch (das iſt/ zu ſubtil/ alſo daß ſie nur von dem Verſtand kan verrichtet werden) und nicht recht Mechaniſch ſey/ als daß man umb- gekehrt (wie bißher von vielen unbedachtſam geſchehen) dieſelbe unter die Mechaniſche rech- nen/ und von denen Geometriſchen ausſchlieſſen wolte.

Damit aber noch deulicher erhelle/ daß die in der Aufloͤſung Menechmi begehrte Lini ihre kunſtrichtige und Geometriſche Beſchreibung/ ſo wol als die Kreiß-Lini/ habe/ und daher unter die Mechaniſche keinesweges gehoͤre/ wollen wir hier einen Weg zeigen/ wie ſie durch eine gewiſſe/ unverrukkte und ununterbrochene Bewegung eines Punctes gezeiget oder ver- zeichnet werde.

So Archimedis Anderes Buch

So bilde man ihm nun ein/ daß 1. durch den Punct C, in obiger Figur/ gezogen ſey GH gleichlauffend mit AD (wie in beygeſetz- ter Figur:) 2. in B angehefftet ſey ein beweg- licher gedoppelter gerader Winkel FBG, GBH: 3. auf der Lini GH, eine andere ſenk- rechte/ GF, gegen C alſo bewegt werde/ daß ſie allezeit in ihrem ſenkrechten Stand bleibe/ und den einen Fuß des Doppelwinkels/ nehm- lich BG, allezeit mit ſich fuͤhre. Wann die- ſes alſo zu geſchehen der Verſtand faſſet und betrachtet/ ſo befindet er/ daß der Punct des Durchſchnittes (in welchem die Lini GF und der andere Fuß des rechten Winkels FBG einander nach und nach durchſchneiden) durch ſeine Bewegung beſchreibe die krumme Lini FB; welche (als wir jezt beweiſen wollen) eben die Parabel oder vergleichende Kegel-Lini derer Alten iſt. Dann wann wir aus einem Punct derſelben/ in welchem GF und HF einander durchſchnitten haben/ (es ſey gleich welcher wolle) auf die Lini CE eine ſenkrechte Lini herunter laſſen (wie hier FE) ſo koͤnnen wir allezeit bewei- ſen/ daß das Rechtekk aus CB in BE gleich ſey der Vierung EF; und ſolches folgender Ge- ſtalt: Dann weil ſo wol der Winkel FBG, als die beyde bey D gerade Winkel ſind/ ſo verhaͤlt ſich (vermoͤg der Folge des 8ten im VI. B.) wie GD gegen DB, alſo DB gegen DF; das iſt (Krafft des 34ſten im I. B.) wie CB gegen EF, alſo EF gegen EB. Und iſt deswegen (nach dem 17den des VI.) das Rechtekk aus CB und EB gleich der Vierung EF; Welches dann ein unfehlbares Kennzeichen und weſentliche Eigenſchafft der Parabel/ oder/ wie ſie von denen Alten genennet wurde/ des Durchſchnittes eines rechtwinklichten Kegels iſt.

2. Dieſem bißher erklaͤrten Weg Menechmi iſt nicht ungleich der jenige/ welchen der obenbelobte ſinnreiche Carteſius in ſeiner Geometri erforſchet hat/ ausgenommen daß er nur

eine Parabel gebrauchet/ an ſtatt der an- dern aber (umb das Punct F zu beſtim- men) eine Kreiß-Lini beſchreibet; wie aus beygefuͤgtem Abriß (in welchem wir obi- ge Buchſtaben oder Benennunngen mit Fleiß behalten) zu erſehen iſt.

Dann/ wann er zwiſchen AB und BC zwey mittlere gleichverhaltende finden ſolle/ und die Parabel umb die Mittel-Lini BE obiger begehrter maſſen beſchrieben iſt/ ſo machet er BD gleich der halben BC, und richtet aus D auf die ſenkrechte Lini DG halb ſo groß als AB; beſchreibet endlich aus G, in der Weite GB einen Kreiß/ wel- cher die Parabel in F durchſchneidet/ und alſo die zwey mittlere gleichverhaltende/ BE und EF, beſtimmet.

Bey welcher Erfindung wir annoch einen nutzlichen Vorteihl weiſen wollen/ daß man nicht in einem jeden andern Fall/ eine andere und neue paraboliſche Lini (wie die Veraͤnderung derer gegebenen Lineen erforderte) viel weniger zwo/ wie Menechmus/ beſchreiben duͤrfe; ſondern/ wann man einmal eine hat/ wie die gegenwertige/ hernachmals/ vermittelſt derſelben/ zwiſchen jeden zweyen andern gegebenen Lineen zwey mittlere gleichverhaltende finden koͤnne. Nehmlich alſo:

Es ſeyen gegeben zwey Lineen/ H und I, zwi- ſchen welchen zwey mittlere gleichverhaltende ſollen ge- funden werden. So finde man demnach zu H und I und der Lini BC (nach welcher die Parabel iſt beſchrie- ben worden) eine vierdte gleichverhaltende/ zum Exempel AB, nach dem 12ten des VI. B. ſetze nachmals deroſelben Helfte/ vorangeregter maſſen/ ſenkrecht auf BE (als wie DG) und beſchrei- Von der Kugel und Rund-Saͤule. beſchreibe aus G, in der Weite GB einen Kreiß/ vermittelſt welches zwiſchen BC und AB, nach Carteſii Erfindung/ zwey mittlere gleichverhaltende, EF und EB, gefunden werden. So man nun ferner machet/ wie BC gegen FE, alſo H gegen der vierdten X; und noch wei- ter/ wie FE gegen EB, alſo X gegen Z (alles nach Anleitung des 12ten im VI.) ſo wer- den X und Z die zwey begehrte mittlere gleichverhaltende zwiſchen H und I ſeyn; wie beſſer oben/ in dem dritten Mechaniſchen Weg Dioklis/ weitlaͤufſig erinnert worden/ und die Ver- nunft ſelbſten lehret.

Die Erfindung Architæ/ wie dieſelbe Eudemus beſchreibet.

Es ſeyen gegeben zwo gerade Lineen AD und C, zwiſchen welchen zwey mittlere gleichverhaltende ſollen gefunden werden.

So beſchreibe nun umb die groͤſſere/ AD, einen Kreiß ABDF, und mache AB gleich der kleinern C, welche/ verlaͤn- gert/ auf die Beruͤhrende ODP ſtoſſe in P. Ziehe BEF gleichlauffend mit PDO; und bilde dir ein/ daß auf dem Halbkreiß ABD ſenkrecht ſtehe eine halbe Rund-Saͤule/ und in dem Rechtekk ihres Durchſchnittes uͤber der Lini AD, wieder ein anderer Halbkreiß beſchrieben ſey. So du nun die- ſen letztern Halbkreiß/ in A befeſtiget/ von D gegen B, in Gedanken herumb fuͤhreſt/ wird derſelbe die Flaͤche der halben Rund- Saͤule durchſchneiden/ und auf derſelben eine gewiſſe Lini beſchreiben. Wiederumb/ ſo du das Dreyekk APD, umb die unbe- wegliche Lini AD, gemeldtem Halbkreiß entgegen/ von B gegen F hieher/ bewegeſt/ wird die Lini AP eine Kegelflaͤche verzeich-

nen/ und zu der vorerwaͤhnten Lini auf der Rund-Saͤule in einem gewiſſen Punct treffen; der Punct B aber wird zugleich auf des Kegels Flaͤche einen Halbkreiß beſchreiben. Setze nun/ der Punct/ in welchem die Lini AP und die Lini auf der halben Rund-Saͤule zuſamm treffen/ ſey K, alſo daß die Stellung des hinwerts-bewegten Halbkreiſſes ſey DKA, die Stellung aber des herwerts-bewegten Dreyekkes/ DLA; der Halbkreiß endlich/ welchen der Punct B be- ſchrieben/ BMF, und alſo ſein/ und des Kreiſſes ABDF, gemeiner Durchſchnitt/ BF.

So du nun ferner aus dem Punct K auf die Halb-Scheibe BDA eine ſenkrechte Lini her- unter laͤſſeſt/ wird dieſelbe nohtwendig auf den Umbkreiß der Scheibe fallen/ in I, weil die hal- be Rund-Saͤule/ auf deren Flaͤche dieſe Lini gezogen wird/ ſenkrecht auf der Halb-Scheibe ſtehet. Ziehe nun IA, welche die Lini BF durchſchneidet in H. Und/ weil LA durch den auf des Kegels Flaͤche beſchriebenen Halbkreiß gehet/ zum Exempel in M, ſo ziehe MH, MI, und endlich auch KD. Wann dieſes alles geſchehen/ ſo werden AK und AI die zwey begehr- te mittlere gleichverhaltende ſeyn.

Beweiß.

Dann/ weil beyde Halbkreiſſe/ DKA und BMF, vermoͤg der Anfloͤſung/ uͤber der Kreißflaͤche ABDF ſenkrecht ſtehen/ ſo wird auch ihr gemeiner Durchſchnitt MH auf gemeld- ter Kreißflaͤche/ und alſo auf der Lini BF, ſenkrecht ſtehen/ nach dem 19den Lehrſatz und der 3ten Worterklaͤrung des XI. Buchs Euclidis. Jſt derowegen MH die mittlere gleichverhaltende zwiſchen BH und HF, vermoͤg des 13den im VI. und deswegen das Recht- ekk aus BH in HF, das iſt (vermoͤg des 35ſten im III.) aus AH in HI, gleich der Vie- rung MH, nach dem 17den des VI. Woraus folget/ daß das ganze Dreyekk AMI, denen beyden MIH und MAH aͤhnlich/ und IMA ein gerader Winkel ſey/ vermoͤg des umbge- kehrten 8ten im VI. B. Nun iſt aber auch DKA, als ein Winkel des Halbkreiſſes/ ein ge- rader Winkel/ aus dem 31ſten des III. derohalben ſind MI und DK gleichlauffend/ vermoͤg des 28ſten im I. und daher verhalten ſich/ wie DA gegen KA, das iſt (nach dem 8ten Qdes VI.) Archimedis Anderes Buch des VI.) wie KA gegen AI, alſo AI gegen AM, vermoͤg des 2ten im VI. und ſind alſo DA, KA, AI und AM, vier fortgeſetzt - gleichverhaltende. Es iſt aber AM gleich AB, das iſt/ der gegebenen kleinern Lini C, vermoͤg der Aufloͤſung. So ſind derowegen zwi- ſchen DA und C die begehrte zwey mittlere gleichverhaltende KA und AI; Welches hat ſollen bewieſen werden.

Und dieſes iſt alſo des Architæ genugſam tiefſinnige/ aber (wie Eratoſthenes recht ge- urteihlet) nicht practicirliche noch mit der Hand verbringliche Erfindung. Daher ſie zwar zu Verdoppelung des Deliſchen Altars wenig dienlich wuͤrde geweſen ſeyn/ zu Vollfuͤhrung aber und kunſtrichtiger Aufloͤſung unſerer unter Handen habenden Archimedeiſchen Aufgab vielleicht genugſam ſeyn kan/ weil Archimedes nicht begehret/ daß man wuͤrklich und mit der Hand und dem Cirkel zwey mittlere gleichverhaltende finden/ ſondern daß man nur mit dem Verſtand begreiffen ſolle die Moͤglichkeit dieſes Begehrens/ oder wie allbereit zwiſchen jeden zweyen gegebenen Lineen zwey mittlere gleichverhaltende wuͤrklich ligen und in der Natur an- zutreffen ſeyen. Wir koͤnten nun zwar noch unterſchiedliche andere Erfindungen hier bey- bringen/ wann es die Noht erforderte/ und wir nicht vorhin unſern Archimedes allzulang al- lein gelaſſen haͤtten. Weswegen wir dann/ dieſelbe auf andere Gelegenheit verſparend/ zu unſerm Archimedes wiederkehren. Folget alſo nunmehr

Der II. Lehrſatz/ Und Die Erſte Betrachtung.

Einem jeden Kugelſchnitt (oder Kugelſtuͤkk) iſt gleich ein Ke- gel/ welcher einerley Grundſcheibe mit dem Kugelſtuͤkk hat/ zur Hoͤhe aber die jenige Lini/ welche ſich gegen der Hoͤhe des Kugelſtuͤkkes eben ſo verhaͤlt/ wie der Kugel Halbmeſſer ſambt der Hoͤhe des uͤbri- gen Kugelſtuͤkkes/ gegen eben dieſer Hoͤhe des uͤbrigen Kugelſtuͤkkes.

Erlaͤuterung.

Es ſey eine Kugel ABCF durchſchnitten von einer/ auf AC ſenkrechten/ Flaͤche BF. Wie ſich aber verhaͤlt HA ſambt AE gegen AE, alſo verhalte ſich ED gegen EC, und wie HC ſambt EC gegen EC, alſo KE gegen AE; Ferner ſeyen auf der Scheibe BF, in der Hoͤhe ED und EK beſchrieben die zweene Kegel BDF und BKF. So ſag ich nun/ der Kegel BDF ſey gleich dem Kugelſchnitt oder Kugelſtuͤkk BCF, der andere Kegel BKF aber dem uͤbri- gen Kugelſtuͤkk BAF.

Beweiß.

Damit ſolches klar werde/ ſo ziehe man BH und HF, alſo daß BHF einen Kegel vorbilde/ deſſen Grundſcheibe ſey BF, die Spitze aber in dem Mit- telpunct der Kugel. Wiederumb ſey ein anderer Kegel M, deſſen Grundſcheibe gleich Von der Kugel und Rund-Saͤule. gleich iſt der Flaͤche BCF, das iſt (vermoͤg des XXXVIII. Lehrſatzes im I. B.) zum Durchmeſſer hat die Lini BC; die Hoͤhe aber gleich dem Halbmeſſer der Kugel/ welcher Kegel M alſo gleich iſt dem keglichten Kugelſtuͤkk BCFH, wie im XL. Lehrſatz des I. Buchs bewieſen worden. Dieweil ſich nun verhaͤlt wie DE gegen EC, alſo HA ſambt AE gegen AE, Krafft obigen Satzes/ ſo iſt auch zerteihlet/ wie DC gegen CE, alſo HA gegen AE (nach dem 17den des V. B.) das iſt/ CH gegen AE; und wechſelweis/ wie DC gegen CH, alſo CE gegen AE, nach dem 16den des V. und zuſammgeſetzet (aus dem 18den des V.) wie DH gegen CH, alſo CA gegen AE, das iſt/ alſo die Vierung von CB, gegen der Vierung BE, (Beſihe die 1. Anmerkung.) Nun iſt aber CB gleich dem Halbmeſſer der Grundſcheibe M, BE aber der Halbmeſſer der Grundſcheibe BF. Derohalben wird ſich auch/ wie DH gegen CH (welche iſt die Hoͤhe oder Mittel-Lini des Kegels M) alſo die Grundſcheibe M gegen der Grundſcheibe BF, verhalten/ vermoͤg des 2ten im XII. B. Und alſo der Kegel M dem Doppel-Kegel HBDFH gleich ſeyn. (Beſihe die 3. Anmerkung.) Nun iſt aber eben derſelbe Kegel M gleich dem keglichten Kugelſtuͤkk BCFH (vermoͤg folgender 1. Anmerkung;) derowegen iſt eben dieſes keglichte Kugel- ſtuͤkk BCFH gleich dem Doppel-Kegel HBDFH. So man von beyden den gemeinen Kegel BHF hinweg nimmt/ muß nohtwendig das uͤbrige abgeſchnit- tene Kugelſtuͤkk BCFB, dem Kegel BDF gleich ſeyn; Welches hat ſollen be- wieſen werden.

Gleicher geſtalt wird erwieſen/ daß das uͤbrige Kugelſtuͤkk BAFB gleich ſey dem Kegel BKF. Dann weil HC+CE iſt gegen CE wie KE gegen EA, Krafft obigen Satzes/ ſo iſt auch zerteihlet wie HC gegen CE, das iſt/ wie HA gegen CE, alſo KA gegen AE, und wechſelweis/ wie HA gegen KA, alſo CE gegen AE, oder umbgekehrt/ wie KA gegen AH, alſo AE gegen CE; und zuſammgeſetzet/ wie KH gegen AH, alſo AC gegen CE, das iſt (vermoͤg fol- gender 1. Anmerkung) alſo die Vierung AB gegen der Vierung BE. So man nun ſetzet einen Kegel N, deſſen Grundſcheibe zum Halbmeſſer hat die Lini AB, die Hoͤhe aber gleich iſt dem Halbmeſſer der Kugel/ alſo daß der ganze Kegel N (nach folgender 2. Anmerkung) gleich iſt dem ausgehohlten Kugelſtuͤkk BH FA; und aber wie KH gegen HA (das iſt/ gegen der Hoͤhe des Kegels N) alſo die Vierung AB gegen der Vierung BE ſich verhaͤlt/ das iſt/ die Grundſcheibe N, gegen der Grundſcheibe des Halbmeſſers BE (aus dem 2ten im XII.) ſo folget/ daß der Kegel N (das iſt/ das hohle Kugelſtuͤkk BHFA) gleich ſey der Coͤrperlichen (unten auch hohlen) Figur KBHFK, vermoͤg folgender 3. An- merkung. Derowegen ſo man zu beyden Teihlen hinzu ſetzet den gemeinen Ke- gel BHF, wird das ganze Kugelſtuͤkk BAFB, gleich ſeyn dem ganzen Kegel BFK; Welches zu beweiſen war.

Anmerkungen.

1. Archimedes ſchlieſſet in obigem Beweiß: DH verhalte ſich gegen CH, wie CA ge- gen AE, das iſt/ wie die Vierung CB gegen der Vierung BE. Daß dem gewiß alſo ſey/ er- hellet alſo: Weil CBA ein gerader Winkel iſt/ aus dem 31ſten des III. und BE ſenkrecht auf AC, vermoͤg obigen Satzes/ ſo verhaͤlt ſich (Krafft des 8ten im VI.) wie CB gegen BE, alſo AC gegen AB und AB gegen AE, und derhalben (weil AC, AB und AE drey fortgeſetzet-gleichverhaltende ſind) die Vierung von AC gegen der Vierung AB, oder (wel- ches gleich viel iſt) die Vierung von CB gegen der Vierung BE, wie die erſte AC gegen der dritten AE, vermoͤg des 20ſten im VI. und der 10den Worterklaͤrung im V. B.

Q ij2. Jn Archimedis Anderes Buch

2. Jn dem andern Teihl des obigen Beweiſes nimbt Archimedes/ als gewiß und in dem I. Buch bewieſen/ daß der Kegel N (deſſen Grundſcheibe zum Halbmeſſer hat die Lini AB, und alſo/ vermoͤg des XXXIX. Lehrſatzes im I. B. gleich iſt der abgeſchnittenen Kugel- flaͤche BAF; die Hoͤhe aber gleich der Kugel Halbmeſſer) gleich ſey dem Kugelſtuͤkk BHFA. Run hat er aber ſolches im erſten Buch von keinem ſolchen ausgehohlten/ ſondern nur von einem keglichten Kugelſtuͤkk/ (wie zum Exempel BHFB geweſen) und zwar in dem XL. Lehrſatz be- wieſen. Derewegen/ damit einiger Zweiffel nicht hinterſtellig bleibe/ beweiſet Eutokius gemeldten Lehrſatz auch von einem ſolchen kegelhohlen Kugelſtuͤkke/ wie hier BHFA, oder in ſeiner Figur DABH iſt. Es ſey/ ſpricht er/ eine Kugel BCDH, auſſer ihrem Mittelpunct/ durchſchnitten von einer Scheibenflaͤche BD, alſo daß/ wann BA und DA gezogen werden/ entſtehe der Kegel BAD, der ſeine Spitze in dem Mittelpunct A hat. Ferner ſey gegeben ein anderer Kegel E, deſſen Grundſcheibe gleich ſey der ganzen Kugelflaͤche/ das iſt (nach dem XXXI. Lehrſatz des I. Buchs) viermal ſo groß als die groͤſſeſte Scheibe in der Kugel/ die

Hoͤhe aber gleich dem Halbmeſſer der Kugel: Welcher Kegel dann nohtwendig der ganzen Ku- gel gleich iſt/ vermoͤg des XXXII. Lehrſatzes im I. Buch. Roch weiter ſeyen gegeben zween andere Kegel F und G, deren jener eine Grundſcheibe hat gleich der Flaͤche BHD, die- ſer aber ſeine gleich der uͤbrigen Kugelflaͤche BCD; beyde aber einerley Hoͤhe/ nehmlich der Kugel Halbmeſſer. Dieweil nun dieſer beyder Kegel Grundſcheiben zuſammen gleich ſind der Grundſcheibe des Kegels E, ihre Hoͤhe auch gleich deſſelben Hoͤhe/ ſo folget nohtwendig/ daß die beyde Kegel/ F und G, zuſammen/ dem Kegel E, und alſo auch der gegebenen Kugel/ gleich ſeyen. Run iſt aber der Kegel G gleich dem keglichten Kugelſtuͤkk ABCDA, vermoͤg des XL. Lehrſatzes im I. Buch/ derowegen iſt auch der uͤbrige Kegel F dem uͤbrigen hohlen Kugelſtuͤkk DABH gleich; Welches hat ſollen bewieſen werden.

3. Ferner ſchlieſſet Archimedes/ weilen die Grundſcheibe des Kegels M gegen der Grundſcheibe BF ſich verhalte wie DH gegen CH (als der Hoͤhe des Kegels M) ſo ſey ge- meldter Kegel gleich dem Doppel-Kegel HBDFH, welches alſo klar wird: Vermoͤg ſolcher wiederkehrlichen Verhaͤltnis/ iſt der Kegel M gleich dem Kegel/ deſſen Grundſcheibe iſt BF, die Hoͤhe aber DH, nach dem 15den des XII. B. Eben aber dieſem Kegel ſind die beyde Kegel BFH und BDF zuſammen auch gleich/ dieweil ſie eine Grundſcheibe/ EF, haben/ ihre beyde Hoͤhen aber zuſammen der Hoͤhe DH gleich ſind. Weswegen dann auch der Kegel M dieſen beyden/ das iſt/ dem Doppel-Kegel HBDF, nohtwendig auch gleich iſt.

Daß aber/ in dem andern Teihl des Beweiſes/ der Kegel N (und alſo auch das hohle Ku- gelſtuͤkk BHFA) gleich ſey der Figur BHFK, iſt gleicher Weiſe leichtlich zu erſehen. Dann/ vermoͤg der bemeldten Verhaͤltnis (daß wie KH gegen AH (als der Hoͤhe des Kegels N) alſo wiederkehrlich die Grundſcheibe N gegen der Grundſcheibe BF iſt) iſt der Kegel N gleich ei- nem Kegel/ deſſen Grundſcheibe iſt BF, die Hoͤhe aber gleich HK, nach dem 15den des XII. Eben dieſer Kegel aber/ deſſen Grundſcheibe BF, die Hoͤhe aber KH, iſt/ ſambt dem Kegel BHF, iſt gleich dem ganzen Kegel BKF, (dieweil ſie einerley Grundſcheiben haben/ und jener beyden Hoͤhen zuſammen der ganzen Hoͤhe EK gleich iſt) vermoͤg des 14den im XII. Dero- wegen Von der Kugel und Rund-Saͤule. wegen iſt auch der Kegel N, ſambt dem Kegel BHF, gleich dem ganzen Kegel BKF; und fol- gends/ wann man BHF beyderſeits hinweg nimmt/ der Kegel N, der hohlen Figur BHFK gleich; Welches zu beweiſen war.

Folge.

Aus obenbewieſenem iſt offenbar/ daß ein jeder Kugelſchnitt gegen dem jenigen Kegel/ welcher mit demſelben einerley Grund- ſcheibe und Hoͤhe hat/ ſich verhalte/ wie der Kugel Halbmeſſer ſambt der Hoͤhe des uͤbrigen Kugelſchnittes (oder Kugelſtuͤkkes) gegen eben dieſer Hoͤhe des uͤbrigen Kugelſtuͤkkes.

Dann wie ſich verhaͤlt DE gegen EC (das iſt/ Krafft obigen Satzes/ AH+AE gegen AE) alſo verhaͤlt ſich der Kegel DBF (das iſt/ der Kugel- ſchnitt BCF, aus vorhergehendem Beweiß) gegen dem Kegel BCF, vermoͤg des 14den im XII. B.

Der III. Lehrſatz/ Und Sie Andere Aufgab.

Eine jede gegebene Kugel mit einer ebenen Flaͤche alſo durch- ſchneiden/ daß die Flaͤchen beyder Kugelſchnitte die gegebene oder begehrte Verhaͤltnis gegen einander haben.

Grundforſchung.

Es ſey zum Exempel eine Kugel/ (deren groͤſſeſten Scheiben eine iſt AD BE) welche in DE alſo ſolle durch- ſchnitten werden/ daß die Flaͤche des Ku- gelſtuͤkkes DAE gegen der uͤbrigen DBE eben die Verhaͤltnis habe/ welche da hat F gegen G. So ſetze ich nun dieſes als ſchon verrichtet/ umb daraus etwas zu finden/ vermittelſt deſſen ich nachmals zu waarhaffter Verrichtung des Be-

gehrten gelangen moͤge. Dieweil dann nun die Verhaͤltnis der Flaͤche DAE gegen der Flaͤche DBE, iſt eben die/ welche da hat F gegen G; und aber die Flaͤ- che DAE gleich iſt einer Scheibe des Halbmeſſers AD, wie auch die Flaͤche DBE einer Scheibe des Halbmeſſers BD, vermoͤg des XXXVIII. und XXXIX. Lehrſatzes im I. B. ſo wird auch die Scheibe AD gegen der Schei- be BD (und folgends die Vierung von AD gegen der Vierung BD, aus dem 2ten des XII. B.) ſich verhalten wie F gegen G. Die Vierung von AD aber verhaͤlt ſich gegen der Vierung BD, wie AC gegen CB, (weil bey D ein rechter Winkel iſt/ und DE ſenkrecht auf AB, deswegen wie AD gegen DB, alſo AC gegen CD und CD gegen CB, aus dem 31ſten des III. und dem 8ten des VI. wie auch die Vierung AD gegen der Vierung DB, wie die Vierung AC gegen Q iijder Vie- Archimedis Anderes Buch der Vierung CD, das iſt/ vermoͤg des 20ſten im VI. und der 10den Wort- erklaͤrung im V. wie AC gegen CB) derowegen verhaͤlt ſich auch AC gegen CB, wie F gegen G.

Aufloͤſung der Aufgab.

Hieraus geſchihet ruͤkkwerts dem obigen Begehren folgender Geſtalt ein Genuͤgen: Teihle den Durchmeſſer AB in zwey Teihle/ alſo/ daß der eine Teihl/ AC, gegen dem andern/ CB, ſich verhalte/ wie F gegen G, nach dem 10den des VI. B. und laſſe durch C, auf AB ſenkrecht/ ſtreichen eine ebene Flaͤche DE, ſo wird die Kugel begehrter maſſen geteihlet ſeyn/ und die Flaͤche DAE gegen der uͤbrigen DBE ſich verhalten wie F gegen G.

Beweiß.

Dann ich darf nur in der obigen Grundforſchung ordentlich zu rukk gehen/ und alſo ſchlieſſen: Vermoͤg der Aufloͤſung verhaͤlt ſich wie F gegen G, alſo AC gegen CB, das iſt/ die Vierung AD gegen der Vierung DB; das iſt/ die Schei- be von AD gegen der Scheibe BD; das iſt/ die Flaͤche DAE gegen der Flaͤ- che DBE (vermoͤg aller daſelbſt-angezogener Gruͤnde.) Welches zu be- weiſen war.

Der IV. Lehrſatz/ Und Die Dritte Aufgab.

Eine Kugel alſo durchſchneiden/ daß die Kugelſchnitte oder Kugelſtuͤkke die gegebene oder begehrte Verhaͤltnis gegen einander haben.

Grundforſchung.

Es ſey eine Kugel ABCD, welche wir ſetzen/ durch AC bereit alſo geteihlet ſeyn/ wie die Aufgab begehret. So iſt demnach die Verhaͤltnis des Kugel- ſchnittes ADC gegen dem uͤbrigen ABC bekant. Wann nun die Kugel durch den Mittelpunct K, auf die Flaͤche AC ſenkrecht/ geteihlet/ und/ nach dem vorhergehenden andern Lehrſatz/ der Kegel ALC dem Kugelſtuͤkk ADC, der Kegel ARC aber dem uͤbrigen Stuͤkk ABC, gleich gemachet wird; ſo fol- get zu foͤrderſt/ daß/ wie jener Kegel gegen dieſem/ alſo LX gegen XR ſich verhal- te/ nach dem 14den des XII. Jſt alſo die Verhaͤltnis der Achſen oder Mittel- Lineen beyder Kegel/ LX gegen XR, bekant. (*) Weilen aber (nach dem Beweiß des II. Lehrſatzes) wie KD+DX gegen DX, alſo RX gegen XB ſich verhaͤlt/ ſo iſt auch zerteihlet wie KD gegen DX, alſo RB gegen BX; und ver- Von der Kugel und Rund-Saͤule. verwechſelt/ wie KD (das iſt/ KB) gegen RB, alſo DX gegen BX. Wie- derumb weil (aus vorigem Grund des II. Lehrſatzes) wie KB+BX gegen BX, alſo LX gegen DX ſich verhaͤlt/ ſo iſt auch zerteihlet/ LD gegen DX, wie KB (das iſt/ KD) gegen BX; und verwechſelt/ LD gegen KD, wie DX gegen BX. Es war aber zuvor/ wie DX gegen BX, alſo KB gegen BR; Derowegen ſo iſt wie LD gegen KD, alſo KB gegen BR; und umbgekehret/ wie BR gegen KB, alſo KD gegen LD; und zuſammgeſetzet/ wie RK gegen KB (oder KD) alſo KL gegen LD; und endlich verſammlet/ die ganze RL (beſtehend aus bey- den Vorgaͤngern/ RK und KL) gegen der ganzen KL (beſtehend aus beyden Nachgaͤngern/ KD und LD) wie KL gegen LD. Alſo daß nunmehr RL, KL und LD drey fortgeſetzet oder unzertrennet-gleichverhaltende ſind/ und daher (1) das Rechtekk aus RL und LD gleich iſt der Vierung KL, vermoͤg des 17den im VI. die Vierung KL aber gegen der Vierung LD ſich verhaͤlt/ wie die erſte RL gegen der dritten LD, nach dem 20ſten des VI. und der 10den Worterklaͤrung des V. B.

Weiter/ weil wir oben gefunden/ daß LD gegen KD ſich verhalte/ wie DX gegen BX, ſo iſt auch umbgekehret KD gegen LD, wie BX gegen DX; und zuſammgeſetzet KL gegen LD, wie BD gegen DX; und folgends die Vierung KL gegen der Vierung LD wie die Vierung BD gegen der Vierung DX, ver- moͤg des 22ſten im VI. Zuvor aber war (2) die Vierung KL gegen der Vie- rung LD, wie RL gegen LD. Derohalben iſt auch (3) die Vierung BD ge- gen der Vierung DX, wie RL gegen LD.

Noch weiter zu ſchlieſſen/ ſo mache man BF gleich dem Halbmeſſer BK, und alſo groͤſſer als BR, (dann BK, oder BF, iſt gegen BR, wie DX gegen BX, als oben erwieſen/ DX aber/ vermoͤg obigen Satzes/ groͤſſer als BX.) Weil nun oben gefunden iſt LD gegen DX zu ſeyn wie KB (das iſt/ BF) gegen BX, ſo iſt auch/ zuſammgeſetzet/ LX gegen DX, wie FX gegen BX, und verkehret/ LX gegen LD, wie FX gegen FB (nach der Folge des 19den im V.) und umbgewendet (4) LD gegen LX, wie FB gegen FX.

Ferner/ weil die Verhaͤltnis RX gegen XL (*) bekant iſt/ wird auch die zuſammgeſetzte RL gegen xl bekant ſeyn. Es iſt aber die Verhaͤltnis RL ge- gen xl zuſammgeſetzet aus denen zweyen Verhaͤltniſſen/ RL gegen LD und LD gegen xl (Beſihe unten die 1. Anmerkung) oder (weil wie (3) RL ge- gen LD, alſo die Vierung BD gegen der Vierung xd, und (4) wie LD gegen xl, alſo fb gegen fx) aus denen beyden Verhaͤltniſſen/ der Vierung BD ge- gen der Vierung xd, und der Lini FB gegen der Lini fx. So mache man nun/ daß wie RL gegen xl (welche Verhaͤltnis bekant iſt) alſo fb (ſo auch bekant) gegen der vierdten FH ſich verhalte/ nach dem 12ten des VI. Wel- chem nach FH auch bekant/ und die Verhaͤltnis FB gegen FH auch aus jenen beyden (nehmlich der Vierung bd gegen der Vierung xd, und der Lini fb gegen der Lini fx) zuſammgeſetzet ſeyn wird. Nun aber wird eben dieſelbe Verhaͤltnis eb gegen fh zuſammgeſetzet aus zweyen andern/ nehmlich aus fb gegen fx und fx gegen FH, (abermals vermoͤg folgender 1. Anmer- kung.) So ſind demnach jene beyde Verhaͤltniſſe/ der Vierung bd gegen der Vierung xd und fb gegen fx, zuſammen/ gleich dieſen beyden fb gegen fx und fx gegen FH; und derowegen/ ſo man die gemeine Verhaͤltnis des fb gegen fx beyderſeits hinweg thut/ wird die Verhaͤltnis der Vierung bd gegen der Vie- Archimedis Anderes Buch der Vierung XD gleich ſeyn der Verhaͤltnis FX gegen FH, das iſt/ wie ſich verhaͤlt die Vierung BD gegen der Vierung XD, alſo wird ſich verhalten FX gegen FH. Es iſt aber die Vierung BD (als des Durchmeſſers) bekant/ und FH (wie oben bewieſen) auch bekant. Derohalben folget nun der Schluß/ daß/ wann die gegebene Kugel in zwey Teihl nach der gegebenen Verhaͤltnis ge- teihlet wird/ die Lini DF (welche anderthalbmal ſo groß iſt als der Durchmeſ- ſer) in X alſo geteihlet werde/ daß der eine Teihl FX, gegen der bekanten Lini FH ſich eben ſo verhalte/ wie die bekante Vierung BD gegen der Vierung des andern Teihls/ XD.

Woraus nunmehr erhellet/ daß die ganze Vollziehung dieſer Aufgab be- ruhe auf dieſen beyden Puncten: 1. Daß der Halbmeſſer FB in H geteihlt werde nach der gegebenen Verhaͤltnis/ und alſo FH gegen BH ſich verhalte wie das eine Kugelſtuͤkk gegen dem andern/ oder wie der Kegel ALC gegen dem Kegel ARC; oder wie LX gegen RX: oder zuſammgeſetzet/ FB gegen FH, wie RL gegen XL (als oben geſchehen) das iſt/ wie beyde gegebene ver- haltende miteinander gegen dem groͤſſern aus ihnen beyden. 2. Daß DF in X alſo geteihlet werde/ wie allererſt zum Beſchluß erinnert worden. Folget demnach beſagter maſſen die

Aufloͤſung obiger Aufgab.

Es ſey nun gegeben die Verhaͤltnis P gegen S, nach welcher die Kugel AB CD ſolle geteihlet werden. Bilde dir nun ein/ daß die Kugel von einer ebenen Flaͤche durch ihren Mittelpunct halbgeteihlet/ und alſo ABCD die groͤſſeſte Scheibe und BD der Durchmeſſer ſey.

Verlaͤngere ſo dann den Durchmeſſer DB biß in F, alſo daß BF gleich ſey dem Halbmeſſer BK. Nachmals teihle BF in H alſo/ daß FH gegen HB ſich verhalte/ wie P gegen S, oder (welches gleich viel iſt) FB gegen FH, wie P ſambt S gegen P, nach dem 10den des VI. B. Ferner teihle BD in X alſo/ daß FX gegen FH ſich verhalte/ wie die Vierung BD gegen der Vierung DX, (wie ſolches geſchehe/ lehret unten die 2. Anmerkung) und laß endlich durch X eine/ auf BD ſenkrechte/ Flaͤche ſtreichen; ſo wird die Kugel begehrter maſ- ſen geteihlet ſeyn/ und das groͤſſere Stuͤkk gegen dem kleinern ſich verhalten/ wie P gegen S.

Beweiß.

Der ganze Beweiß iſt allbereit wuͤrklich enthalten in der obigen Grund- forſchung/ wann man nur von hinden anfaͤnget/ und ruͤkklings denſelben biß zum Anfang verfolget. Dann FX iſt gegen FH, wie die Vierung BD gegen der Vierung DX, das iſt/ (3) wie RL gegen LD. Nun iſt aber wie KB (das iſt/ Von der Kugel und Rund-Saͤule. (das iſt/ BF) ſambt BX (das iſt/ FX) gegen BX, alſo LX gegen DX; und (nach der Folge des 19den im V.) FX gegen FB, wie LX gegen LD; und umbgekehrt/ wie LD gegen LX, alſo FB gegen FX. Wie aber FX ferner ſich verhaͤlt gegen FH, alſo iſt/ in verwirꝛter Verhaͤltnis (perturbatè) RL gegen LD, wie vorgeſagt: derowegen verhalten ſich gleichdurchgehend (ex æquo) wie BF gegen FH, alſo RL gegen LX, vermoͤg des 23ſten im V. und zer- teihlet wie BH gegen HF, alſo RX gegen XL; und umbgekehret XL gegen RX, wie HF gegen BH, das iſt (vermoͤg obiger Aufloͤſung) wie P gegen S. Wie ſich aber XL gegen RX verhaͤlt/ ſo verhaͤlt ſich der Kegel ALC gegen dem Kegel ARC, (das iſt/ nach dem vorhergehenden Lehrſatz/ das Kugel- ſtuͤkk ADC gegen dem uͤbrigen ABC) vermoͤg des 14den im XII. Derowe- gen verhaͤlt ſich auch das Kugelſtuͤkk ADC, gegen dem uͤbrigen ABC, wie P gegen S; Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkungen.

Der Aufgab iſt alſo ein ganzes und volles Genuͤgen geſchehen/ wann nur eines und das andere/ welches Archimedes als gewiß ſetzet/ und wir biß daher verſchoben haben/ zuvor rich- tig und gewiß gemachet wird.

1. Das erſte iſt/ daß er in der Grundforſchung als bekant nimmt/ weil RL gegen XL eine gewiſſe Verhaͤltnis hat/ und LD zwiſchen beyden genommen worden/ daß daher erwaͤhnte Verhaͤltnis zuſammgeſetzet ſey aus denen zweyen/ nehmlich des RL gegen dem LD und des LD gegen dem XL; und alſo gleichſam auf dieſen gemeinen Satz ſich beruffet:

Wann zwiſchen zwey gegebenen ein mittleres geſetzet wird/ ſo iſt die Verhaͤltnis derer erſtgegebenen zuſammgeſetzet aus der Verhaͤltnis des er- ſten gegen dem mittlern und aus der Verhaͤltnis des mittlern gegen dem lezten.

Worbey zu foͤrderſt muß gelehret werden/ was da heiſſe eine Verhaͤltnis aus zweyen oder mehr andern zuſammſetzen; nehmlich/ nach der 5ten Worterklaͤrung im VI. B. Eucli- dis/ die Groͤſſen/ das iſt/ die Nenner oder Nahmen derer gegebenen Verhaͤltniſſen in einander fuͤhren oder miteinander vervielfaͤltigen/ und dardurch eine neue Verhaͤltnis herfuͤr bringen. Alſo daß die Meinung des gegenwaͤrtigen Satzes iſt: Wann man zwiſchen zwey ein drittes oder mittleres ſetzet/ und nachmals die Nenner oder Nahmen derer beyden Verhaͤltniſſen/ des erſten gegen dem mittlern und des mittlern gegen dem lezten/ miteinander vervielfaͤltiget/ ſo kommt eben die Verhaͤltnis heraus/ welche da hat das erſte gegen dem lezten; oder vielmehr/ es kommt heraus der Nahme oder Nenner ſolcher Verhaͤltnis/ alſo daß/ wann das lezte mit ſolchem Nen- ner vervielfaͤltiget wird/ das erſte heraus komme/ wie in allen Verhaͤltniſſen zu geſchehenpfle- get. Zum Exempel/ wann ich zwiſchen zwey gegebene Zahlen/ 12 und 2/ ſetze eine mittlere/ 4/ ſo iſt 3 der Nenner der erſten Verhaͤltnis/ 12 gegen 4/ und 2 der Nenner der andern Verhaͤlt- nis/ 4 gegen 2. Wann ich nun 3 mit 2 vervielfaͤltige/ kommt 6/ als der Nenner der Verhaͤlt- nis/ 12 gegen 2; dann 2 mit 6 vervielfaͤltiget/ bringt 12. Alſo/ wann ich 3 zwiſchen 12 und 2 ſetze/ und die zwey Nenner 4 und 1½ miteinander vervielfaͤltige/ kommt \frac {12}{2}/ das iſt/ wieder 6/ fuͤr den Nenner der Verhaͤltnis 12 gegen 2; und ſolches allezeit/ es moͤge fuͤr eine Zahl dar- zwiſchen geſetzet werden/ als immer wolle. Und darumb ſag ich nun/ die Verhaͤltnis 12 gegen 2 ſey aus jeden ſolchen zweyen zuſammgeſetzet.

Damit aber/ was hier durch ein Exempel erklaͤret worden/ auch durch einen richtigen Beweiß bekraͤfftiget werde/ wollen wir zu foͤrderſt des Eu- tokii ſeinen kuͤrzlich beybringen/ nachmals einen gar leichten und augen- ſcheinlich/ jedoch darbey allgemeinen/ hinbeyfuͤgen.

Es ſeyen nun gegeben (ſagt Eutokius) zwey Dinge A und B, die eine gewiſſe Verhaͤltnis gegen einander haben/ und zwiſchen-eingeſetzet ein drittes/ C. Soll nun erwieſen werden/ daß die Verhaͤltnis A gegen B, aus denen zweyen/ des A gegen C und des C gegen B, zuſammgeſetzet ſey. Jch ſetze nun/ der Nenner der Verhaͤltnis A gegen C ſey D, der an- dern aber/ des C gegen B, ihr Nenner ſey E; und was aus E in D wird/

Rnenne Archimedis Anderes Buch nenne ich F; und ſage/ F ſey der Nenner der Verhaͤltnis A gegen B, das iſt/ wann B durch F gefuͤhret oder vervielfaͤltiget werde/ ſo komme A, oder das jenige/ was aus F in B kommt (wel- ches ich unter deſſen G nenne) ſey dem erſten/ A, gleich. Weil dann nun aus F in B kommt G, und aus E in B kommt C, ſo verhaͤlt ſich/ wie F gegen E, alſo G gegen C, vermoͤg des 18den im VII. B. Und wiederumb/ weil aus D in C kommt A und aus D in E kommt F, ſo verhaͤlt ſich/ wie E gegen C, alſo F gegen A, nach dem 17den des VII. B. und wechſel- weis/ wie E gegen F, alſo C gegen A, und umbgekehret/ wie F gegen E, alſo A gegen C. Wie aber F gegen E, alſo war zuvor auch G gegen C. Derowegen haben A und G gegen ei- nem/ C, gleiche Verhaͤltnis/ und ſind daher (vermoͤg des 9ten im V. B.) A und G einan- der gleich/ ꝛc.

Dieſer Beweiß Eutokii gruͤndet ſich/ wie man ſihet/ auf dem 17den und 18den des VII. Buchs/ welche aber allein von denen Zahlen reden; und deswegen iſt er nicht allgemein/ es ſey dann/ daß dieſe zuvor allgemein gemachet werden/ welches dann gar leichtlich geſchehen kan/ dieweil ſie beyde/ wann man ſie recht anſihet/ nur einen einigen Lehrſatz machen/ und im Grund anderſt nichts als dieſes wollen: daß/ wann zwey gegebene Dinge a und b durch ein drittes/ e, (oder dieſes dritte durch jene beyde) gefuͤhret oder vervielfaͤltiget werde/ alsdann beyde Pro- duct oder Folgen/ ea und eb eben die Verhaͤltnis gegen einander haben/ wie die gegebene/ a und b gegen einander/ welches fuͤr Augen liget und faſt handgreiflich iſt.

Eben ſo leicht und augenſcheinlich kan ich obiges/ oder vielmehr dieſen allgemeinen Lehr- ſatz beweiſen:

Wann zwiſchen zweyen gegebenen Dingen/ welche eine gewiſſe Ver- haͤltnis gegen einander haben/ als a und ea, etliche andere (ſo viel man will) geſetzet werden/ ſo iſt die Verhaͤltnis derer beyden gegebenen zu- ſammgeſetzet aus allen Verhaͤltniſſen/ des erſten gegen dem andern/ und des andern gegen dem dritten/ und ſo fort biß auf das lezte.

Dann/ wann zum Exempel b darzwiſchen geſetzet wird/ und man den Nenner der erſten Verhaͤltnis/ des a gegen b (nehmlich \frac {a}{b}) vervielfaͤltiget oder fuͤhret durch den Nenner der andern/ des b gegen ea (nehmlich \frac {b}{a}) ſo kommt \frac {ab}{a}, das iſt \frac {a}{a}, welches iſt der Nenner der Verhaͤltnis des a gegen ea. Alſo wann mehr nach Belieben/ b, c, d, e, &c. darzwiſchen geſetzet/ und alle Nenner (\frac {a}{b}, \frac {b}{c}, \frac {c}{d}, \frac {d}{e}, \frac {e}{a}) durcheinander gefuͤhret werden/ kommt \frac {abcde}{a}, das iſt/ wieder \frac {a}{a}, weil die uͤbrige Buchſtaben oben und unten koͤnnen weggenom- men/ und alſo der Bruch in dieſe kleine Form gebracht werden.

2. Das andere und fuͤrnehmſte iſt/ daß Archimedes in ſeiner Aufloͤſung begehret/ es ſolle BD in X alſo geteihlet werden daß FX gegen FH ſich verhalte/ wie die Vierung BD gegen der Vierung DX. Welches er zwar verheiſſet zum Beſchluß oder am End zu lehren/ ſolchem ſeinem Verheiß aber nicht nachkommet; ſintemal/ wie Eutokius ſchon erinnert/ in ſeinen Buͤchern dergleichen nirgend zu finden iſt. Es gedenket zwar gedachter Eutokius/ daß er/ nach vielem fleiſſigem Nachſuchen/ dergleichen etwas gefunden habe in einem alten Buch/ welches zum Teihl in Doriſcher (dem Archimedi ſonſten beliebter) Sprache beſchrie- ben geweſen/ und derer alten Nahmen oder Kunſtwoͤrter ſich (wie Archimedes) gebrauchet habe/ in dem es nehmlich eine Parabole/ den Durchſchnitt eines geradwinklichten/ eine Hy- perbole aber den Durchſchnitt eines ſtumpfwinklichten/ Kegels genennet; alſo daß er daher ge- muhtmaſſet habe/ ob vielleicht ſelbiges altes Buch eben das jenige ſey/ welches die jenige Sa- chen in ſich hielte/ die Archimedes im End oder zum Beſchluß zu erweiſen verſprochen hatte. Weilen aber in ſelbigem Buch ſo wol die Beſchreibungen und Beweißtuhme/ als die Figuren (wie er meldet) ſehr falſch und irꝛſam/ auch uͤber dieſes gar dunkel und undeutlich waren; als hat ſich Eutokius bemuͤhet/ die Sache/ ſo viel moͤglich/ klar und verſtaͤndlich zu machen/ und zu dem Ende/ die begehrte Teihlung erſtlich durch eine allgemeine Aufgab gelehret/ nachmals abſonderlich auf Archimedis Vorhaben gezogen.

Die all- Von der Kugel und Rund-Saͤule.

Die allgemeine Aufgab iſt folgende:

Wann zwey gerade Lineen/ AB und AC, naͤchſt einem Rechtekk D, gege- ben ſind/ in der einen/ als AB, den Punct E zu finden/ alſo daß AE gegen AC ſich verhalte/ wie das Rechtekk D gegen der Vierung von EB.

Die Vollziehung oder Aufloͤſung dieſer Aufgab zu erforſchen/ ſetzet Eutokius die Sache als ſchon verrichtet/ und/ umb hieraus einen gewiſſen Grund zu ſchlieſſen/ fuͤget AB und AC ſenkrecht an einander/ ziehet aus C durch den/ als ſchon gefunden-geſetzten/ Punct E biß in F die Lini CF nach Belieben; ferner aus eben demſelben C eine andere/ mit AB gleichlauffen- de/ CG; wie auch durch B eine/ mit AC gleichlauffende/ FBG, biß endlich das ganze Rechtekk CF vollzogen iſt; Ziehet endlich KL durch E gleichlauffend mit CH und FG, und machet das Rechtekk aus CG in GM gleich dem gegebenen/ D. Darauf ſchlieſſet er alſo: Weil ſich verhaͤlt/ wie AE gegen AC, alſo D gegen der Vierung EB, und eben alſo auch CG gegen GF (nehmlich wegen Aehnlichkeit derer beyden Dreyekke EAC und CGF, nach dem 4ten des VI.) Wie aber CG gegen GF, alſo die Vierung von CG gegen dem Rechtekk aus CG in GF, vermoͤg des 1ſten im VI. ſo verhaͤlt ſich nun/ wie die Vierung CG gegen dem Rechtekk aus CG in GF, alſo das Recht-

ekk D gegen der Vierung EB, das iſt/ der Vierung KF; und wechſelweis/ wie die Vierung CG gegen D, (das iſt/ Krafft obigen Satzes/ gegen dem Rechtekk aus CG in GM, oder/ vermoͤg des 1ſten im VI. wie CG gegen GM) alſo das Rechtekk aus CG in GF, gegen der Vierung KF. Nun verhaͤlt ſich aber ebengedachtes Rechtekk aus CG in GF gegen dem Rechtekk aus GM in GF (als welches mit ihm einerley Hoͤhe/ GF, hat) auch wie CG gegen GM, abermals Krafft des 1ſten im VI. und hat alſo ofterwaͤhntes Rechtekk aus CG in GF, gegen der Vierung KF, und gegen dem Rechtekk aus GM in GF, einerley Verhaͤlt- nis. Derowegen iſt (Krafft des 9ten im V.) das Rechtekk aus GM in GF gleich der Vierung KF; und folget dannenhero (vermoͤg des 11ten im I. B. Apollonii von denen Kegel-Lineen) daß/ wann umb die Mittel Lini FG, nach Erforderung der bekanten Lini GM, eine Parabel oder vergleichende Kegel Lini (zum Exempel GK) gezogen werde/ dieſel- be nohtwendig durch den Punct K ſtreiche. Wiederumb/ weil das Rechtekk HL dem Recht- ekk CB gleich iſt/ aus dem 43ſten des I. B. ſo folget/ daß/ wann durch den Punct B, nach Erforderung derer beyden unberuͤhrten (aſymptotarum oder intactarum) HC und CG eine Hyperbole oder uͤbertreffende Kegel-Lini (als BK) gezogen werde/ dieſelbe nohtwendig auch durch den Punct K ſtreiche/ vermoͤg des umbgekehrten 12ten im II. Buch Apollonii. Jſt alſo der Punct K beſtimmet/ und vermittelſt der/ auf AB ſenkrechten/ Lini KL auch der Punct E, welcher hat ſollen gefunden werden.

Es iſt aber (ehe wir rukkwerts die Aufloͤſung der Aufgab zuſammrichten) dieſes hier wol in acht zu nehmen/ daß (weil ſich verhaͤlt wie EA gegen AC, alſo das Rechtekk D gegen der Vierung EB) die Coͤrperliche Figur/ welche zur Grundflaͤche hat die Vierung EB, zur Hoͤhe aber EA, gleich ſey der andern/ derer Grundflaͤche iſt das gegebene Rechtekk D, die Hoͤhe aber die gegebene Lini AC, vermoͤg des 34ſten im XI. Es iſt aber alsdann die Coͤrperliche Fi- gur/ welche auf der Vierung EB in der Hoͤhe EA geſtellet wird/ am allergroͤſſeſten/ wann EB zweymal ſo groß iſt als EA; alſo daß keine groͤſſere kan gefunden werden/ es werde die Teih- lung der Lini AB ſonſten angeſtellet wie ſie immer wolle/ als wir alſobalden beweiſen wollen. Woraus dann folget/ daß das Rechtekk D und die Lini AC alſo muͤſſen gegeben ſeyn/ damit die aus ihnen gemachte Coͤrperliche Figur nicht groͤſſer werde als die/ welche da wird aus der Vie- rung EB in die Hoͤhe EA; ſintemal im widrigen Fall die Aufgab wuͤrde unmoͤglich ſeyn.

R ijDaß Archimedis Anderes Buch

Daß aber die Coͤrperliche Figur aus der Vierung EB in die Hoͤhe EA am allergroͤſſeſten ſey/ wann EB eben zweymal ſo groß iſt als EA, wird alſo erwieſen:

Es ſey in gegenwaͤrtiger Figur alles wie in der obigen/ und werde die Parabel GK verlaͤngert/ biß ſie (nach dem 27ſten des I. Buchs Apol- lonii) mit der verlaͤngerten CH zuſammtreffe in N, die Hyperbole aber/ welche die Lini CN nim- mermehr beruͤhret/ ſtreiche bey R hinaus; und werde auf der Lini AB zwiſchen E und B der Punct S nach Belieben genommen/ und durch denſelben gezogen die Lini YT gleichſtehend mit KL, wel- che die Hyperbole betreffe in T; durch T aber eine andere ZQ, gleichlauffend mit CG. Weil nun (vermoͤg einer gewiſſen Eigenſchafft der Hy- perbole und ihrer unberuͤhrten Lineen) das Rechtekk ZY gleich iſt dem Rechtekk CB, und (ſo man das gemeine CS beyderſeits hinweg nimmt) ZS gleich dem SG, wird die Lini, ſo von C zum Q gezogen wird/ gerad durch den Punct S gehen/ vermoͤg des umbgekehrten 43ſten im I. B. Ferner weil GM in obiger Grundfor- ſchung/ und alſo auch hier/ die Lini iſt/ nach deren Erforderung die Parabel beſchrieben worden (la- tus rectum parabolæ) wird/ Krafft ihrer bekan- ten Eigenſchafft/ die Vierung UQ gleich ſeyn dem Rechtekk aus GM und GQ, die Vierung TQ aber/ oder SB, kleiner als gemeldtes Recht- ekk aus GM in GQ, weil nehmlich der Punct T innerhalb der Parabel/ und daher TQ kleiner/ als UQ, iſt. So mache man nun gemeldter Vierung TQ gleich das Rechtekk aus GQ in GW, und ſchlieſſe folgends alſo: Dieweil (wegen Aenlichkeit derer beyden Dreyekke SAC und CGQ) ſich verhaͤlt/ wie SA gegen AC, alſo CG gegen GQ, und/ wie CG gegen GQ, alſo das Rechtekk aus CG in GW gegen dem Rechtekk aus GQ in GW (nach dem 1ſten im VI. weil ſie beyde einerley Hoͤhe GW haben) das iſt/ wie CG gegen GQ, alſo das Rechtekk aus CG in GW gegen der Vierung TQ, oder BS; ſo verhaͤlt ſich auch SA gegen AC, wie das Rechtekk aus CG in GW gegen der Vierung BS. Derohalben iſt die Coͤrperliche Figur aus dem Rechtekk CG in GW in die Hoͤhe AC gleich der Coͤrperlichen Figur aus der Vierung BS in die Hoͤhe SA, vermoͤg des 34ſten im XI. Es iſt aber die Figur aus dem Rechtekk CG in GW in die Hoͤhe AC kleiner als die/ ſo da wird aus dem Rechtekk CG in GM in eben dieſelbe Hoͤhe AC. Derowegen iſt auch die andere Fi- gur aus der Vierung BS in die Hoͤhe SA kleiner als die erſtgemeldte Figur aus dem Rechtekk CG in GM. Eben dieſe Figur aber iſt zuvor/ der andern aus der Vierung BE in die Hoͤhe EA, gleich zu ſeyn bewieſen worden. Bleibt demnach darbey/ daß/ wann die Teihlung der Lini AB zwiſchen E und B in dem Punct S angeſtellet wird (alſo daß BS nicht zweymal ſo groß iſt als SA) die Coͤrperliche Figur aus der Vierung BS in die Hoͤhe SA kleiner ſey als die/ ſo da wird aus der Vierung BE in die Hoͤhe EA.

Eben dieſes wird gleicher Geſtalt erwieſen/ wann die Teihlung zwiſchen E und A wieder in S geſchihet/ wie der verſtaͤndige Leſer leichtlich finden wird/ wann er dem erſtgegebenen Be- weiß ganz nachgehet/ ausgenommen daß an ſtatt etlicher voriger Lineen/ nunmehr etliche an- dere (die ihm der verſetzte Punct S ſelbſten an die Hand gibt) gebrauchen muß/ nehmlich RB fuͤr TQ, AB fuͤr UQ, GB fuͤr GQ, &c. Daß alſo offenbar iſt/ daß die Coͤrperliche Figur aus EB in EA (wann EA halb ſo groß iſt als EB) die allergroͤſſeſte ſey unter allen/ welche aus andern Teihlungen der Lini AB entſpringen. Folget nunmehr ohne fernere Hinderniß

Die Auf- Von der Kugel und Rund-Saͤnle.

Die Aufloͤſung obiger Neben-Aufgab des Eutokii.

Wann dann nun eine gerade Lini AB, obiger maſſen zu teihlen fuͤrgegeben iſt/ ſo mache (nach vorhergehender noͤhtiger Vorbereitung/ welche oben in der Grund forſchung ſchon gelehret worden) AE halb ſo groß als BE, das iſt/ ſchneide von AB ab den dritten Teihl AE. So nun die Coͤrperliche Figur/ die da wird aus dem gegebenen Rechtekk D in die gegebene Hoͤhe AC, groͤſſer iſt als die/ ſo da wird aus der Vierung EB in die Hoͤhe EA, ſo iſt die Aufgab unmoͤglich und unaufloͤßlich/ als wir erſt erwieſen haben. Sind ſie aber einander gleich/ ſo iſt die Teihlung ſchon geſchehen in E, und das Be- gehren verrichtet; weil alsdann EA gegen AC ſich nohtwendig verhaͤlt/ wie D gegen der Vierung BE, vermoͤg des 34ſten im XI. Jſt dann endlich jene kleiner als dieſe/ ſo iſt gewiß/ daß ſich verhalte/ wie EA gegen AC, alſo D gegen einem Vierekk/ wel- ches kleiner iſt als die Vierung EB, oder GK. So ſey nun daſſelbe kleinere die Vierung GM. Die-

weil ſich nun verhaͤlt wie EA gegen AC, alſo D (das iſt/ das Rechtekk aus CF in FN) gegen der Vierung GM; und wiederumb/ wie EA gegen AC, alſo CF gegen FG, das iſt (vermoͤg des 1ſten im VI.) die Vierung CF gegen dem Rechtekk aus CF in FG; ſo wird ſich auch das Rechtekk aus CF in FN gegen der Vierung GM verhalten/ wie die Vierung CF gegen dem Rechtekk aus CF in FG; und verwechſelt/ das Rechtekk aus CF in FN gegen der Vierung CF, wie die Vierung GM, gegen dem Rechtekk aus CF in FG; und umbgekehret/ wie die Vierung CF gegen dem Rechtekk aus CF in FN, alſo das Rechtekk aus CF in FG gegen der Vierung GM. Wie ſich aber verhaͤlt die Vierung CF gegen dem Rechtekk aus CF in FN, ſo verhaͤlt ſich CF gegen FN (abermals aus dem 1ſten im VI.) Und ferner/ wie CF gegen FN, alſo (wann FG die gemeine Hoͤhe wird) das Rechtekk aus CF in FG, gegen dem Rechtekk aus FN in FG. Hat demnach das Rechtekk aus CF in FG gegen dem Rechtekk aus FN in FG und gegen der Vierung GM einerley Verhaͤltnis. Derowegen iſt die Vierung GM gleich dem Rechtekk aus FG in FN, vermoͤg des 9ten im V. So nun durch F umb die Achſe FG, nach Erforderung der Lini FN eine Parabel beſchrieben wird (als MXF) muß die- ſelbe nohtwendig durch M gehen. Und/ dieweil ferner HL gleich iſt dem AF (vermoͤg des 43ſten im I. B.) wann durch B, nach Erforderung der unberuͤhrten HC und CF, eine Hyper- bole beſchrieben wird/ muß dieſelbe nohtwendig durch den Punct K gehen/ vermoͤg des umb- gekehrten 12ten (Eutokius ziehet das 8te an) im II. Buch Apollonii von den Kegel- Lineen. So ſey nun dieſelbe beſchrieben und durchſchneide die Parabel in X: aus X aber werde XOP, auf AB ſenkrecht herunter gelaſſen/ und durch X eine andere/ mit AB gleichlauf- fende gezogen/ nehmlich RXS. Endlich CS aufwerts geleitet/ welche (Krafft des 43ſten im I.) nohtwendig durch O gehen muß/ weil (nach der Hyperbole Eigenſchafft/ vermoͤg des 12ten im II. B. Apollonii) RP gleich iſt dem AF, und alſo (wann das gemeine AL hin- weg kommet) RO gleich OF. So ſag ich nun/ die Lini AB ſey in O begehrter maſſen geteihlet.

Beweiß.

Dann (wegen Aehnlichkeit derer beyden Dreyekke OAC und CFS) wie ſich verhaͤlt OA gegen AC, alſo OB gegen BS oder CF gegen FS, nach dem 4ten des VI. das iſt/ alſo das Rechtekk aus CF in FN (als die gemeine Hoͤhe) gegen dem Rechtekk aus FS in FN, ver- moͤg des 1ſten im VI. Es iſt aber das Rechtekk aus CF in FN gleich dem Rechtekk D, Krafft obiger Satzung/ das Rechtekk aus FS in FN aber (aus der Parabel Eigenſchafft) gleich der Vierung SX, das iſt/ der Vierung BO. Darumb wie ſich verhaͤlt OA gegen AC, alſo das Rechtekk D, gegen der Vierung BO; welches hat ſollen verrichtet werden.

Wie nun aber dieſes bißher bewieſene auf Archimedis Fuͤrhaben moͤge gezogen werden/ weiſet Eutokius abſonderlich/ und kan von einem jeden Verſtaͤndigen leichtlich ſelbſten ver- richtet werden. Das einige aber iſt hier zu merken/ ob ſchon ein Fall ſich ereignen kan/ da dieſe begehrte Teihlung der gegebenen Lini unmoͤglich iſt (als wir bißher geſehen haben) daß je- R iijdennoch Archimedis Anderes Buch dennoch der Aufloͤſung Archimedis dardurch nichts abgehe/ weil ſein Begehren nicht ſchlech- ter Dinge auf dieſer Aufgab des Eutokii beruhet/ ſondern alſo umbſchraͤnket iſt/ daß jener unmoͤgliche Fall in ſeiner Aufloͤſung ſich nimmermehr begeben kan. Dann (daß wir ſeine obige Figur wieder hieher ziehen) er begehret nicht ſchlechter Dinge/ daß die Lini DF in X alſo ſolle geteihlet werden/ damit der Teihl FX gegen der gegebenen FH (ſie ſey gegeben wie ſie wolle) ſich verhalte/ wie die bekante Vierung DB (die beym Eutokio das gegebene D war) gegen der Vierung des andern Teihls DX; ſondern er ſetzet zu foͤrderſt/ daß DB zweymal ſo groß als BF, BF aber in H nach der Verhaͤltnis des P gegen S geteihlet ſey/ und alſo der Punct H zwiſchen B und F falle: in welchem Fall dann allezeit die Coͤrperliche Figur/ ſo da wird aus der gegebenen Vierung BD in die Hoͤhe FH (welche auch gegeben) kleiner iſt als die Figur aus der Vierung DB in die Hoͤhe BF (weil FH kleiner iſt als BF) und alſo obige Unmoͤglichkeit keine ſtatt findet/ als welche ſich nur begibt/ wann die Figur aus dem gegebenen Vierekk DB in die Hoͤhe FH groͤſſer waͤre als die jenige/ ſo da wird aus der Vierung DB in die Hoͤhe BF, als von Eutokio deutlich genug bewieſen worden.

Koͤnte derowegen/ noch naͤher auf Archimedis Fuͤrhaben/ dieſe noͤhtige-Reben-Aufgab ohngefehr alſo verfaſſet werden:

Wann zwey Lineen (DB und BF) in gedoppelter Verhaͤltnis gegeben ſind (alſo daß DB zweymal ſo groß iſt als BF) und die kleinere (BF) nach einer gegebenen Verhaͤltnis (in H) zerteihlet iſt; die groͤſſere (BD) alſo zu teihlen (in X) daß/ wie BF ſambt BX, das iſt/ FX, gegen FH; alſo die Vierung BD gegen der Vierung DX.

Wir wollen Luſts halben die Aufloͤſung dieſer Aufgab nach heutiger Art ſuchen/ damit der kunſtliebende Leſer zugleich den Unterſcheid in etwas erkenne/ zwiſchen derer Alten ihren Grundforſchungen (ἀναλύσ) deren wir bißher etliche gehabt/ und denen heutigs Tags ge- braͤuchlichen. Wann ich dann nun Archimedis obige Figur betrachte/ ſo befinde ich/ daß zu voͤlliger Vollziehung des begehrten/ die einige Lini KX, welche zwiſchen dem Mittelpunct und der begehrten Teihlung X enthalten iſt/ zu wiſſen vonnoͤhten ſey. Setze demnach die ganze Sach als ſchon geſchehen/ und gib allen ſo wol unbekanten als bekanten Lineen ihre gewiſſe Nahmen. Zum Exempel/

BF, welche bekant iſt/ nenne ich b, ſo iſt DB = (das iſt/ gleich) 2b, und ihr Vierung/ 4bb. FH (als auch bekant) nenne ich c; ſo wird die uͤbrige BH = b-c. KX (als die unbekante) ſey z, ſo iſt BX = b-z, und FX = 2b-z, und DX = b+z, deſſen Vierung aber bb+2bz+zz.

Dieweil nun die Sache/ als ſchon verrichtet/ geſetzet iſt/ und deswegen ſich verhaͤlt/ wie FX gegen FH, alſo die Vierung DB gegen der Vierung DX. Das iſt: Wie 2b-z gegen c, alſo 4bb gegen Fuͤhre ich die zwey aͤuſſern und die zwey mittlern durcheinander; ſo iſt Setze z3 beyderſeits darzu/ ſo iſt Nimm 4bbc beyderſeits hinweg/ ſo iſt Und in dieſer einigen leztern Zeil iſt nun die ganze Aufloͤſung der Aufgab enthalten. Dann daraus kan ich leichtlich finden das begehrte z, das iſt/ die Groͤſſe der Lini KX, und alſo den Punct der Teihlung/ X; nehmlich nach der Regel Carteſii/ in ſeiner Geometri am 85ſten und fol- Von der Kugel und Rund-Saͤule. und folgenden Blaͤttern; wann ich nehmlich zuvor dieſe Vergleichung/ z3=3bbz+2b3- 4bbc verwandle in dieſe: z3=apz, aaq. Welches auch leichtlich geſchehen kan. Dann 2b3-4bbc, beſtehet aus lauter bekanten Lineen; derowegen wann ich b in ſich ſebſt/ und das kommende wieder in c fuͤhre/ und die Lini/ ſo heraus kommet/ nachmals von der andern/ wel- che entſtehet aus B dreymal in ſich ſelbſten gefuͤhret/ zweymal genommen/ abziehe/ ſo kan ich fuͤr 2b3-4bbc ſchreiben/ zum Exempel r∫t, und zwar mit dem Zeichen -, weil ich befinde/ daß 4bbc, welches abgezogen wird/ groͤſſer iſt als 2b3; alſo daß obige Vergleichung nunmehr alſo ſtehe: Wann ich nun eine Lini nimm nach Belieben/ an ſtatt eins (unitatis) zum Exempel a; und ſuche zu a, 3b, und b eine vierdte gleichverhaltende/ p, (damit/ wie a gegen 3b, alſo b ge- gen p ſich verhalte;) ſo kan ich an ſtatt 3bbz, ſchreiben apz. Wiederumb/ wann ich mache wie a gegen r, alſo ∫ gegen einer vierdten/ u, ſo iſt au ſo viel als r∫, und aut ſo viel als r∫t. Und ſo ich ferner mache/ wie a gegen u, alſo t gegen der vierdten q, ſo iſt aq ſo viel als ut, und aaq ſo viel als aut, das iſt/ ſo viel als r∫t. Alſo daß nunmehr die obige Vergleichung dieſe Geſtalt hat/ vermittelſt welcher die Lini z, das iſt/ KX nach vorangezogener Regel leichtlich kan gefun- den werden.

Jſt alſo nunmehr die Aufloͤſung Archimedis/ ſeiner bißher erklaͤrten dritten Aufgab ganz richtig und im Grund Geometriſch; wiewol Flurantius das Gegenteihl urteihlet/ weil er nehmlich dem alten Jrꝛwahn nach/ die Parabolen/ Hyperbolen und dergleichen krumme Li- neen/ deren ſich Eutokius und andere in Eroͤrterung der obigen Neben-Aufgab bedienet ha- ben/ nur fuͤr Mechaniſch haͤlt; welcher falſcher Wahn aber/ in der 3. Anmerkung des obigen I. Lehrſatzes/ hoffentlich zur Genuͤge benommen worden.

Sonſten erklaͤret Eutokius noch zween andere Wege/ eben dieſe dritte Aufgab Archi- medis zu eroͤrtern/ welche Dionyſodorus und Diokles ausgeſonnen haben/ und zwar/ Eu- tokii Vorgeben nach/ gleichſam aus Noht/ weil ſie die begehrte Teihlung der Lini BD in X (welche Archimedes zu weiſen verſprochen/ aber nirgend gewieſen hatte) kunſtrichtig nicht haben zu verrichten wiſſen. Weil ſie aber beyde ziemlich weitlaͤuffig/ und wir uns ohne das ſchon lang aufgehalten haben/ wollen wir gleichſam nur den Kern deroſelben/ oder den Grund/ aus welchem jeder gehet/ kuͤrzlich vorſtellen.

Dionyſodorus verfaͤhret folgender Geſtalt: den Durchmeſſer der gegebenen Kugel/ AB, verlaͤngert er umb die Helſte biß in F; und nach der gegebenen Ver- haͤltnis CE gegen DE, findet er AG zu FA; ſetzet AG winkelrecht auf AB, und findet ferner zwiſchen AG und AF die mittlere gleichverhalten- de AH. Beſchreibet ſo dann/ umb die Achſe FB durch den Punct F, nach Erforderung der Scheitel-Lini (la- teris recti) AG, eine Parabel/ wel- che alſo nohtwendig durch den Punct H ſtreichen muß/ weil das Rechtekk aus AG in AF gleich iſt der Vierung AH. Weiter richtet er aus B auf ei- ne/ mit AH gleichlauffende/ und die Parabel in K durchſchneidende/ Lini BK; Ziehet ſo dann durch den Punct G, zwiſchen beyden unberuͤhrten BF

und BK eine Hyperbole/ welche die Parabel durchſchneidet zwiſchen H und K, zum Exempel in L. Aus L laͤſſet er nachgehends ſenkrecht auf AB herunter die Lini LM; und beweiſet endlich/ wann die Kugel mit einer ebenen Flaͤche nach der Lini LM durchſchnitten werde/ daß alsdann dieſelbe nach der gegebenen Verhaͤltnis geteihlet ſey/ das iſt/ das eine Teihl B gegen dem andern A ſich verhalte/ wie CE gegen DE.

Diokles Archimedis Anderes Buch

Diokles gehet ganz an- derſt. Zu foͤrderſt ſchlieſ- ſet er aus des Archimedis Grundforſchung/ daß zu voͤlliger Eroͤrterung der Haupt-Aufgab mehr nicht vonnoͤhten ſey/ als daß man wiſſe/ wann in einer Lini zween Punct A und B ge- geben ſind/ und darneben das Stuͤkk BE, das iſt/ eine andere Lini bekant iſt/ die Zwiſchenweite AB in F alſo zu teihlen/ und HA, BG hinzu zu ſetzen/ daß erſtlich HF gegen FG die ge- gebene Verhaͤltnis habe/ nachmals HA gegen HF ſich verhalte/ wie die gegebene Lini EB gegen FB; und wieder GB gegen BF, wie eben dieſelbe gegebene EB gegen FA.

Wie nun ſolches richtig geſchehen moͤge/ erklaͤret er durch eine andere/ und folgende/ Figur/ in welcher an ſtatt des G, gerad unter A, der Buchſtab K, oben aber fuͤr B das G und fuͤr G

(unter dem L) B ſtehen ſolle/ welches der goͤnſtige Le- ſer merken wolle/ damit er in dem folgenden nicht in werde. So ſey nun gegeben eine Lini AB, oder in ei- ner Lini zween Punct A und B, darneben eine andere bekante Lini AK; ſoll nun AB in E geteihlet/ und FA und GB, bey A und B hinzu geſetzet/ werden/ alſo daß FE gegen EG die gegebene Verhaͤltnis habe/ nehmlich wie C gegen D, und ferner FA gegen AE ſich verhalte/ wie die gegebene AK gegen BE; und gleichfalls GB gegen BE, wie die gegegene AK gegen AE. Sol- ches verrichtet er nun folgender Geſtalt: Aus B laͤſſet er ſenkrecht herunter BM gleich AK (welche auch win- kelrecht auf A geſetzet iſt) und ziehet KM; darnach ſchneidet er ab AR und BS auch gleich AK, und zie- het aus R und S ſenkrecht RY und ST: Bey B teih- let er den geraden Winkel/ daß die Helſte ſey ABO, und verlaͤngert BO beyderſeits biß an RY und ST hinaus: machet ferner wie D gegen C gedoppelt/ alſo TY gegen einer vierdten/ welche er nennet U; und beſchreibet endlich umb TY eine ablange Rundung (ellipſin) alſo daß die in dem halben geraden Winkel XOB gezogene Lineen ſo viel vermoͤgen/ als die umb U geſtellte Rechtekke/ weniger eines aͤhnlichen Rechtekkes aus TY in U: (Beſihe den 20ſten Lehrſatz im I. Buch Apollonii von denen Kegel-Lineen.) Endlich ziehet er durch B innerhalb derer beyden unberuͤhrten AK und KM eine Hyperbole/ welche die ablange Run- dung durchſchneidet in X, und laͤſſet aus X auf AB ſenkrecht herunter XE verlaͤngert biß in P, und durch X eine mit AB gleichſtehende/ LXN; verlaͤngert KA und MB uͤberſich gegen H und L; und ziehet aus M durch E die Quehrlini ME hinaus/ biß ſie die verlaͤngerte AK durch- ſchneide in H: machet zu allerlezt AF gleich AH, und BG gleich BL, und beweiſet endlich/ daß der Punct E alſo gefunden/ und die bey A und B angefuͤgte Lineen AF und BG alſo be- ſtimmet ſeyen/ daß FE gegen EG ſich verhalte/ wie C gegen D, und MB (das iſt) KA gegen BE ſich verhalte/ wie HA (das iſt/ FA) gegen AE; und wiederumb/ wie KA gegen AE, alſo GL (das iſt/ GB) gegen GE.

Woraus dann er- hellet/ wie jede gege- bene Kugel leichtlich nach der gegebenen Verhaͤltnis (zum E- xempel des C gegen D) ſolte geteihlet wer- den: Nehmlich/ wann der Durchmeſſer iſt AB, der Mittelpunct aber E; muß/ erſter- klaͤrter weiſe/ AB in F alſo geteihlet/ und bey A und B, AG und BH hinzugeſetzet werden/ daß/ wie C gegen D, alſo GF gegen FH ſich ver- Von der Kugel und Rund-Saͤule. ſich verhalte; und ferner/ wie GA gegen AF, alſo EB gegen EF, und wie HB gegen BF, alſo EA gegen AF. So wird der Aufgab ein voͤlliges Genuͤgen geſchehen/ wie der Be- weiß dieſes Verfahrens aus obiger Grundforſchung Archimedis gar leichtlich kan verfaffet werden.

Der V. Lehrſatz/ Und Die Vierdte Aufgab.

Einen Kugelſchnitt finden/ welcher einem gegebenen aͤhnlich/ und einem andern/ auch gegebenen/ gleich ſey.

Es ſeyen gegeben zweene Kugelſchnitte/ oder zwey Kugelſtuͤkke ACB und EGF, und ſolle gefunden werden ein Abſchnitt oder Stuͤkk einer andern Kugel/ welcher dem Abſchnitt ACB gleich/ dem andern/ EGF, aber aͤhnlich ſey.

Grundforſchung.

Man ſetze die Sache als ſchon verrichtet/ damit wir hierdurch auf einen Grund kommen/ aus welchem dem Begehren ein wuͤrkliches Genuͤgen ge- ſchehen moͤge/ und ſey alſo der gefundene Kugelſchnitt KLH, gleich dem gege- benen ACB, und aͤhnlich dem andern gegebenen EGF. Ferner ſeyen gemeldten dreyen Kugelſchnitten gleich die drey Kegel KZH, AXB, und ENF, nach An- leitung des obigen II. Lehrſatzes.

Dieweil nun der Kugelſchnitt ACB iſt gleich dem Kugelſchnitt HLK, Krafft obigen Satzes; ſo wird auch der Kegel AXB gleich ſeyn dem Kegel HZK, und deswegen ZY gegen XT ſich verhalten/ wie die Grundſcheibe AB gegen der Grundſcheibe HK, vermoͤg des 15den im XII. das iſt/ wie die Vie- rung von ATB gegen der Vierung von HYK, nach dem 2ten des XII. Die- Sweil Archimedis Anderes Buch weil ferner der Kugelſchnitt EGF dem Kugelſchnitt HLK (Krafft obigen Sa- tzes) aͤhnlich iſt/ ſo wird auch der Kegel ENF dem Kegel HZK aͤhnlich ſeyn/ vermoͤg folgender Anmerkung; und alſo/ wie NQ gegen EF, alſo ZY gegen HK ſich verhalten/ vermoͤg der 24ſten Worterklaͤrung im XII. B. das iſt/ (ſo man machet/ wie NQ gegen EF, alſo XT gegen einer vierdten/ D, nach dem 12ten des VI.) wie XT gegen D, alſo ZY gegen HK; und wechſel- weis/ wie XT gegen ZY, alſo D gegen HK; und umbgekehrt/ ZY gegen XT, wie HK gegen D. Es iſt aber auch ZY gegen XT, wie die Vierung ATB gegen der Vierung HYK (als oben erwieſen/) das iſt/ wie AB gegen einer dritten gleichverhaltenden zu HK, zum Exempel G, nach dem 20ſten des VI. Derohalben hat die Vierung von ATB gegen der Vierung HYK, oder AB ge- gen G eben die Verhaͤltnis/ welche HK gegen D; und umbgewechſelt/ wie AB gegen HK, alſo G gegen D. Es iſt aber auch AB gegen HK, wie HK gegen G. Derowegen ſind AB, HK, G und D vier unzertrennt-gleichverhaltende/ und alſo zwiſchen AB und D (welche beyde bekannt ſind) zwo mittlere gleich- verhaltende, HK und G gefunden.

Eroͤrterung obiger Aufgab.

Hieraus kan nun obigem Begehren leichtlich ein Genuͤgen geſchehen nach- folgender Geſtalt: Denen beyden gegebenen Kugelſchnitten ACB und EGF mache man gleich die beyde Kegel AXB und ENF, nach Anleitung des obi- gen II. Lehrſatzes/ und werde/ wie NQ gegen EF, alſo XT gegen einer vierd- ten D, nach dem 12ten des VI. Nachmals finde man zwiſchen AB und D zwey mittlere gleichverhaltende HK und G, nach der 3. Anmerkung des obi- gen I. Lehrſatzes; und beſchreibe endlich auf HK einen Kreißſchnitt/ HLK, wel- cher mit dem Kreißſchnitt EGF gleiche Winkel faſſe/ nach dem 33ſten des III. B. und alſo dem Kreißſchnitt EGF aͤhnlich ſey/ vermoͤg der 10den Wort- erklaͤrung deſſelben III. B. Endlich vollziehe man den Kreiß HLKM, und bilde ihm ein/ daß durch dieſes Kreiſſes Umblauf eine Kugel/ und von dem Kreißſchnitt HLK ein Kugelſchnitt beſchrieben ſey; So wird dieſer beſchrie- bene Kugelſchnitt gleich ſeyn dem gegebenen Kugelſchnitt ACB, und aͤhnlich dem andern gegebenen EGF.

Beweiß.

Das leztere iſt fuͤr ſich ſelbſten offenbar/ daß nehmlich der Kugelſchnitt HLK dem Kugelſchnitt EGF aͤhnlich ſey/ weil die Kreißſchnitte/ von denen ſie beſchrieben worden/ einander aͤhnlich ſind. Daß aber eben derſelbe Kugel- ſchnitt HLK dem andern gegebenen Kugelſchnitt ACB gleich ſey/ erhellet alſo: Wann man den Kegel HZK dem Kugelſchnitt HLK gleich machet/ nach An- leitung des II. Lehrſatzes/ ſo folget zu foͤrderſt (aus folgender Anmerkung) daß dieſer Kegel HZK dem Kegel ENF aͤhnlich ſey/ und alſo (nach der 24ſten Worterklaͤrung im XI. B.) wie NQ gegen EF, das iſt (Krafft obiger Er- oͤrterung) wie XT gegen D, alſo ZY gegen HK ſich verhalte; und wechſel- weis/ wie XT gegen ZY, alſo D gegen HK; und umbgekehrt/ wie ZY ge- gen XT, alſo HK gegen D. Es iſt aber (weil AB, HK, G und D vier un- zertrennt-gleichverhaltende ſind) HK gegen D, wie die Vierung HK gegen der Vierung G, oder wie die Vierung AB gegen der Vierung HK, vermoͤg des 20ſten im VI. und der 10den Worterklaͤrung des V. B. das iſt/ (aus dem 2ten Von der Kugel und Rund-Saͤule. 2ten des XII.) wie die Scheibe AB gegen der Scheibe HK. Derowegen ver- haͤlt ſich/ wie ZY gegen XT, alſo wiederkehrlich die Grundſcheibe AB gegen der Grundſcheibe HK, und ſind folgends die beyde Kegel AXB und HZK einander gleich/ vermoͤg des 15den im XII. Es iſt aber der Kegel AXB gleich dem Kugelſchnitt ACB, und der Kegel HZK gleich dem Kugelſchnitt HLK. So muͤſſen demnach auch die beyde Kugelſchnitte ACB und HLK einander gleich ſeyn; Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkung.

Ein einiges iſt in bißherigem Beweiß Archimedis ferneres Bekraͤftigens benoͤhtiget/ nehmlich dieſes: Daß/ weil der Kugelſchnitt EGF dem Kugelſchnitt HLK aͤhnlich iſt/ des- wegen auch die beyde Kegel ENF und HZK (die jenen Kugelſchnitten gleich ſind) einander aͤhnlich ſeyen; Welches wir dann aus Eutokio folgender Geſtalt beweiſen: Wann man in Gedanken ziehet EG und GF, wie auch HL und LK, ſo ſind (wegen Aehnlichkeit derer beyden Kreißſchnitte EGF und HLK) die Winkel EGF und HLK, wie auch ihre Halbteih- le/ einander gleich/ nach der 10den Worterklaͤrung des III. B. Es ſind aber die Winkel bey Q und Y, als gerade/ auch einander gleich: Derowegen muͤſſen auch die uͤbrige einander gleich/ und alſo die beyde Dreyekke GQF und LYK gleichwinklicht ſeyn; Daher ſich verhal- ten wie GQ gegen QF, alſo LY gegen YK, vermoͤg des 4ten im VI. Und/ weil (aus glei- chem Grund) die beyde Dreyekke QFO und YKM gleichwinklicht ſind/ verhaͤlt ſich ferner wie QF gegen QO, alſo YK gegen YM. Derohalben verhaͤlt ſich gleichdurchgehend/ wie GQ gegen QO, alſo LY gegen YM, vermoͤg des 22ſten im V. B. und zuſammgeſetzet/ wie GO gegen QO, alſo LM gegen YM, nach dem 18den des V. und folgends wie SO (die Helfte von GO) gegen QO, alſo RM (die Helfte von LM) gegen YM. Und wieder zuſammgeſetzet/ wie SO ſambt QO gegen QO, (das iſt/ NQ gegen QG, Krafft obigen umbgekehrten II. Lehrſatzes) alſo RM ſambt YM gegen YM; (das iſt/ ZY gegen YL.) Es war aber zuvor/ wie QG gegen QF, alſo YL gegen YK; Derowegen iſt nun gleichdurch- gehend/ wie NQ gegen QF, alſo ZY gegen YK, nach obangezogenem 22ſten des V. B. oder wie NQ gegen dem ganzen Durchmeſſer EF, alſo ZY gegen dem ganzen Durchmeſſer HK. Woraus nun unfehlbar folget/ daß die beyde Kegel ENF und HZK einander aͤhnlich ſeyen/ vermoͤg der 24ſten Worterklaͤrung des XI. B. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Der VI. Lehrſatz/ Und Die Fuͤnfte Aufgab.

Einen Kugelſchnitt finden/ welcher einem andern/ gegebenen/ aͤhnlich/ und deſſen Flaͤche der Flaͤche eines andern/ auch gegebe- nen/ gleich ſey.

Es ſeyen gegeben zweene Kugelſchnitte ABC und DEF, und ſolle gefun- den werden ein Abſchnitt einer andern Kugel/ welcher dem einen Kugelſchnitt ABC aͤhnlich ſey/ und ſeine aͤuſſere Flaͤche gleich habe der Flaͤche des andern Kugelſchnittes DEF.

Grundforſchung.

So ſetzen wir nun abermal die Sache als ſchon verrichtet/ und KLM den begehrten Kugelteihl/ zu ſeyn. Bilden uns darbeneben ein/ daß ABCH, EFGD und KLMN ſeyen die groͤſſeſte Scheiben aller dreyen Kugeln/ und BH, EG, LN ihre Durchmeſſer/ welche ſenkrecht auf die Durchmeſſer derer Grundſcheiben/ AC, DF, KM gezogen ſind. Ziehen endlich BC, EF und LM.

S ijDie- Archimedis Anderes Buch

Dieweil nun die Flaͤche KLM gleich iſt der Flaͤche DEF, ſo ſind auch die beyde Scheiben derer Halbmeſſer LM und EF (deren jene der Flaͤche KLM, dieſe der Flaͤche DEF gleichet/ vermoͤg des 38ſten des I. Buchs) und fol- gends die Lineen LM und EF einander gleich. Und weil ferner (Krafft obi- gen Satzes) die Kugelſchnitte KLM und ABC einander aͤhnlich/ deswegen die Winkel bey B und L einander gleich/ die beyde BCH, LMN aber gerad/ und alſo beyde eben ſo benannte Dreyekke gleichwinklicht ſind; ſo verhaͤlt ſich wie LN gegen LM, (das iſt/ gegen EF) alſo BH gegen BC, und wechſelweis/ BH gegen LN, wie BC gegen EF. Die Verhaͤltnis BC gegen EF aber iſt gegeben oder bekant/ weil beyde Lineen BC und EF bekant ſind; So iſt dem- nach auch die Verhaͤltnis BH gegen LN bekant. Die Lini BH iſt aber auch gegeben/ derowegen auch die Lini LN, und folgends auch die Kugel dieſes Durchmeſſers LN.

Eroͤrterung der Aufgab.

Hieraus flieſſet nun die Aufloͤſung der Aufgab fuͤr ſich ſelbſten folgender maſſen: Ziehe die Lineen BC, EF, &c. wie in der Grundforſchung/ und ma- che wie BC gegen EF, alſo BH gegen einer vierdten/ LN, nach dem 12ten des VI. B. Beſchreibe umb LN einen Kreiß/ und ziehe in demſelben LM gleich EF; laſſe aus M auf LN ſenkrecht herunter fallen MK, und alſo durch Umbwaͤl- zung der Scheibe KLMN beſchrieben werden eine Kugel/ welche durchſchnei- det die von der Lini KM beſchriebene Scheibe. So ſag ich nun/ KLM ſey der begehrte Kugelſchnitt/ welcher dem Kugelſchnitt ABC aͤhnlich/ und deſſen Flaͤ- che der Flaͤche DEF gleich ſey.

Beweiß.

Dann/ was das leztere belanget/ ſo ſind die Scheiben derer beyden gleichen Lineen LM und EF einander gleich; die Scheibe LM aber iſt gleich der Ku- gelflaͤche KLM, und die Scheibe EF der Kugelflaͤche DEF, vermoͤg des XXXVIII. und XXXIX. Lehrſatzes des I. Buchs. Daher dann nohtwen- dig auch die beyde Flaͤchen KLM und DEF einander gleich ſind.

Das andere betreffend/ weil BC gegen EF (das iſt/ gegen LM) ſich ver- haͤlt/ wie BH gegen LN, und wechſelweis/ wie BC gegen BH, alſo LM gegen LN; die Winkel BCH und LMN aber (als Winkel im Halbkreiß/ Krafft des 31ſten im III.) beyde gerad/ und deswegen ſo wol LNM als BHC kleiner ſind als ein gerader Winkel/ ſo folget/ daß auch die uͤbrige beyde Winkel NLM und HBC einander gleich ſeyen/ vermoͤg des 7den im VI. B. Derowegen werden auch die gedoppelte Winkel ABC und KLM einander gleich/ und (fol- gends der 10den Worterklaͤrung des III. B.) die Kreißſchnitte ABC und KLM, und alſo auch die von beyden beſchriebene Kugelſchnitte/ einander aͤhnlich ſeyn. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmer- Von der Kugel und Rund-Saͤule.

Anmerkung.

Das jenige/ was Archimedes ſagt/ die Verhaͤltnis BC gegen EF ſey gegeben/ weil beyde Lineen BC und EF gegeben ſind/ beſſer zu verſtehen/ iſt kuͤrzlich anzumerken/ daß/ wann geſagt wird/ dieſer oder jener Kugelſchnitt ſey gegeben/ (wie hier die beyde ABC und DEF) ſolches eben ſo viel ſey/ als die Hoͤhe des Kugelſchnittes und der Durchmeſſer ſeiner Grundſcheiben ſeyen bekant oder gegeben (als hier BP und AC, &c.) Wann dann nun AC, und alſo auch ihre Helfte PC, darbeneben BP, bekant iſt/ ſo wird/ nach dem 47ſten des I. Buchs/ auch BC bekant. Gleicher Geſtalt wird EF geſunden/ und alſo nohtwendig die Verhaͤltnis BC gegen EF bekant gemachet.

Der VII. Lehrſatz/ Und Die Sechſte Aufgab.

Eine gegebene Kugel mit einer ebenen Flaͤche alſo durchſchnei- den/ daß der Abſchnitt gegen dem Kegel/ welcher mit ihm einerley Grundſcheibe und gleiche Hoͤhe hat/ die gegebene Verhaͤltnis habe.

Es ſey die gegebene Kugel ABCD, die ſetze ich nun/ gleich anfaͤnglich/ von der Flaͤche AC, auf den Durchmeſſer BD winkelrecht/ alſo zer- ſchnitten zu ſeyn/ daß der Kugelſchnitt ABC ge- gen dem Kegel ACB die gegebene Verhaͤltnis ha- be; und ſchlieſſe daraus/ daß eben dieſe gegebene Verhaͤltnis nohtwendig groͤſſer als anderthalbig ſeyn muͤſſe/ folgender Geſtalt:

So man machet den Kegel AGC gleich dem Kugelſchnitt ABC, nach An- leitung des obigen II. Lehrſatzes/ ſo iſt die Verhaͤltnis des Kegels AGC gegen dem Kegel ABC, und alſo auch (vermoͤg des 14den im XII.) die Verhaͤltnis/ FG gegen FB, gegeben. Wie ſich aber FG gegen FB verhaͤlt/ ſo verhaͤlt ſich FD ſambt ED gegen FD, Krafft obigen II. Lehrſatzes. FD ſambt ED aber hat gegen FD eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als BD ſambt ED gegen BD, das iſt/ als 3 gegen 2. (Dann BD ſambt ED, weil ED halb ſo groß iſt als BD, iſt 1½ mal ſo groß als BD, aber FD ſambt ED iſt mehr als anderthalbmal ſo groß als FD, weil ED mehr als die Helfte von FD iſt.) Es iſt aber die Ver- haͤltnis FD ſambt ED gegen FD gleich der gegebenen/ als erſt bewieſen. Derowegen iſt die gegebene Verhaͤltnis nohtwendig groͤſſer als 3 gegen 2.

Aufloͤſung obiger Aufgab.

Das begehrte nun zu vollbringen/ muß zu foͤrderſt die gegebene Verhaͤltnis groͤſſer ſeyn als 3 gegen 2/ zum Exempel/ wie DK gegen KL. Nachmals mache wie HL gegen LK, alſo ED gegen FD, nach dem 12ten des VI. Ziehe durch F, winkelrecht auf BD, die Lini AFC, und laſſe nach dieſer Lini AC die Kugel von ei- ner ebenen Flaͤche durchſchnitten werden; ſo wird ABC der begehrte Kugelſchnitt ſeyn/ und

gegen dem Kegel ACB ſich verhalten wie HK gegen KL.

S iijBeweiß. Archimedis Anderes Buch

Beweiß.

Dann ſo man den Kegel AGC gleich machet dem Kugelſchnitt ABC, nach obigem II. Lehrſatz/ ſo folget/ weil ED gegen FD (Krafft obiger Aufloͤſung) ſich verhaͤlt wie HL gegen LK; daß auch zuſammgeſetzet/ ED ſambt FD gegen FD (das iſt/ Krafft erſtangeregten II. Lehrſatzes/ FG gegen FB) ſich ver- halte/ wie HK gegen KL. Wie aber FG gegen FB ſich verhaͤlt/ ſo verhaͤlt ſich der Kegel AGC gegen dem Kegel ABC, aus dem 14den des XII. Derowe- gen muß ſich auch der Kegel AGC (das iſt/ der Kugelſchnitt ABC) gegen dem Kegel ABC verhalten wie HK gegen KL: Welches zu beweiſen war.

Der VIII. Lehrſatz/ Und Die Andere Betrachtung.

Wann eine Kugel von einer ebenen Flaͤche auſſer dem Mit- telpunct durchſchnitten wird/ ſo hat der groͤſſere Abſchnitt gegen dem klemern eine kleinere Verhaͤltnis/ als die gedoppelte Verhaͤltnis der groͤſſern Flaͤche gegen der kleinern; eine groͤſſere aber als eben derſelben Flaͤchen anderthalbige.

Erlaͤuterung.

Es ſey eine Kugel ABCD, von der Ebene AC auſſer dem Mittelpunct durchſchnitten. Soll nun bewieſen werden/ daß der groſſe Abſchnitt ABC gegen dem kleinern ADC eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als die Verhaͤltnis ihrer Flaͤchen zweymal genommen: eine groͤſſere aber als eben dieſelbe Verhaͤlt- nis der groͤſſern Flaͤche gegen der kleinern/ anderthalbmal genommen.

Vorbereitung.

Zu leichterem Beweiß des beſagten/ ziehe man zu foͤrderſt die Lineen AD und AB, da dann die Vierung von AB gegen der Vierung von AD ſich noht- wendig eben ſo verhaͤlt/ wie die Flaͤche des groͤſſern Kugelſtuͤkkes ABC gegen der Flaͤche des kleinern/ vermoͤg des XXXVIII. und XXXIX. Lehrſatzes des vorhergehenden Buchs/ und des 2ten im XII. B. Euclidis. Ferner mache man den Kegel AHC gleich dem Kugelſchnitt ABC, und den Kegel AGC gleich dem Kugelſchnitt ADC, nach Anleitung des obigen II. Lehr- ſatzes. Welchem nach der ganze Beweiß dahin gerichtet werden kan/ daß I. der Kegel AHC gegen dem Kegel AGC, das iſt (vermoͤg des 14den im XII.) die Hoͤhe Von der Kugel und Rund-Saͤule. die Hoͤhe FH gegen der Hoͤhe FG, eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als die Ver- haͤltnis der Vierung AB gegen der Vierung AD gedoppelt genommen/ das iſt/ (weil FB gegen FD ſich verhaͤlt/ wie die Vierung AB gegen der Vierung AD, vermoͤg des 8ten im VI. nach welchem AB gegen AD ſich verhaͤlt/ wie BF ge- gen FA und FA gegen FD, daß alſo die Vierung von BF gegen der Vierung FA, oder die Vierung AB gegen der Vierung AD eben die Verhaͤltnis hat/ wie FB gegen der dritten FD, nach dem 20ſten des VI.) als die Verhaͤltnis der Lini FB gegen der Lini FD gedoppelt genommen. Fuͤrs II. daß FH ge- gen FG eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als die Verhaͤltnis FB gegen FD an- derthalbmal genommen.

Beweiß.

I. Dieweil nun/ wie DE ſambt DF gegen DF, alſo HF gegen FB ſich verhaͤlt/ nach obigem II. Lehrſatz/ ſo wird auch ſeyn wie BF gegen FD, alſo HB gegen BE, weil BE gleich iſt dem DE, (Beſihe folgende 1. Anmerkung.) Wiederumb/ weil EB ſambt BF gegen BF iſt/ wie FG gegen FD, Krafft erſt- angezogenen II. Lehrſatzes; HB aber groͤſſer iſt als BE, (dieweil auch BF groͤſſer iſt als FD, wegen der ungleichen Kugelteihlung) ſo man machet BK gleich BE; ſo wird KF (gleich EB ſambt BF) gegen BF ſich auch verhalten wie FG gegen FD; und verwechſelt/ KF gegen FG, wie BF gegen FD; Wie aber BF gegen FD iſt/ ſo war zuvor HB gegen BE, das iſt/ gegen BK. Dero- wegen ſo iſt auch KF gegen FG, wie HB gegen BK. Nun hat aber HF gegen KF eine kleinere Verhaͤltnis/ als HB gegen BK, das iſt/ als KF gegen FG, (vermoͤg folgender 2. Anmerkung.) Derowegen iſt das Rechtekk aus HF in FG kleiner als die Vierung von KF (nach der 3. folgenden Anmerkung) und folgends hat auch das Rechtekk aus HF in FG gegen der Vierung FG (das iſt/ nach dem 1ſten des VI. HF gegen FG) eine kleinere Verhaͤltnis/ als die Vierung KF gegen eben derſelben Vierung FG, aus dem 8ten des V. Es hat aber die Vierung KF gegen der Vierung FG eine gedoppelte Verhaͤltnis derer jenigen/ welche da hat KF gegen FG, das iſt/ BF gegen FD, nach dem 20ſten des VI. B. Derowegen hat HF gegen FG eine kleinere Verhaͤltnis/ als die gedoppelte Verhaͤltnis des BF gegen FD: Welches fuͤrs erſte hat ſol- len bewieſen werden.

II. Ferner weil BE und DE gleich ſind/ ſo iſt das Rechtekk aus BF in FD kleiner als das Rechtekk (oder vielmehr die Vierung) aus BE in ED (vermoͤg folgender 4. Anmerkung) und daher hat BF gegen BE eine kleinere Verhaͤltnis/ als ED gegen FD (aus der 3. Anmerkung) das iſt/ als HB ge- gen BF (Beſihe wieder die 1. Anmerkung.) Derowegen iſt die Vierung von BF kleiner als das Rechtekk aus HB in BE (abermals vermoͤg der 3. An- merkung.) So man nun ſetzet die Vierung von BN erſtgemeldtem Rechtekk aus HB in BE gleich zu ſeyn/ ſo wird ſich verhalten/ wie HB gegen BN, alſo BN gegen BE oder BK, nach dem 17den des VI. und wie HB gegen BK, alſo die Vierung BN gegen der Vierung BK, aus dem 20ſten des VI. Wie- derumb (weil HB iſt gegen BN, wie BN gegen BK) ſo iſt auch zuſammge- ſetzet HN gegen BN, wie KN gegen BK; und wechſelweis/ HN gegen KN, wie BN gegen BK, und folgends (vermoͤg des 22ſten im VI.) die Vierung HN gegen der Vierung KN, wie die Vierung BN gegen der Vierung BK, das iſt/ (wie erſt bewieſen) wie HB gegen BK. Nun hat aber (nach der 2. An- Archimedis Anderes Buch 2. Anmerkung) HF gegen KF eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als HN gegen KN, und folgends auch die Vierung HF gegen der Vierung KF, als die Vierung HN gegen der Vierung KN, das iſt/ als HB gegen BK, oder als KF gegen FG. Und alſo hat aus dieſen dreyen Lineen/ HF, KF und FG, die Vie- rung der erſten gegen der Vierung der andern eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als die andere gegen der dritten; Derowegen hat auch die erſte gegen der dritten (HF gegen FG) eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als KF gegen FG, das iſt/ als BF ge- gen FD, anderthalbmal genommen (vermoͤg folgender 5. Anmerkung.) Welches fuͤrs andere hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkungen.

Unterſchiedliches muß hier erlaͤutert werden/ damit der Beweiß Archimedis recht hell und klar fuͤr Augen lige.

1. Schlieſſet er gleich Anfangs/ weil wie DE ſambt DF gegen DF ſich verhaͤlt/ alſo HF gegen FB, ſo muͤſſe auch ſeyn wie BF gegen FD, alſo HB gegen BE, wegen Gleichheit derer beyden BE und DE. Dieſes ſeines Schluſſes Richtigkeit erhellet nun alſo: Wie DE ſambt DF gegen DF, alſo iſt HF gegen FB. Derowegen auch zerteihlet/ wie DE, das iſt/ BE, gegen DF, alſo HB gegen BF; und wechſelweis/ wie BE gegen HB, alſo DF gegen BF; und umbgekehrt/ wie BF gegen DF, alſo HB gegen BE; Welches eben beſagter Schluß iſt/ den Archimedes hier aufs neue nicht hat beweiſen wollen/ weil er denſelben oben ſchon/ im Beweiß des II. Lehrſatzes/ gleich Anfangs ausgefuͤhret hat/ wie er ſich dann deswegen auf das vorhergehende beruffet.

2. Darnach ſetzet Archimedes als gewiß/ daß HF gegen KF eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als HB gegen BK; und abermals HF gegen KF eine groͤſſere als HN gegen KN. Bey- des beſtehet auf einerley Grund/ welchen Eutokius ohngefehr folgender Geſtalt fuͤrbringet und beweiſet:

Wann zu zweyen ungleichen Groͤſſen (als AB und CD) zwey gleiche (BE und DF) geſetzet werden/ ſo hat die groͤſſere derer beyden erſten ungleichen gegen der kleinern (AB gegen CD) eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als die groͤſſere der beyden zu- ſammgeſetzten gegen der kleinern (als AE gegen CF.)

Dann/ weil AB groͤſſer iſt als CD, ſo hat BE gegen AB eine kleinere Verhaͤltnis/ als eben dieſelbe BE, das iſt/ DF gegen CD; vermoͤg des 8ten im V. und zuſammgeſetzet/ AE gegen AB eine kleinere als CF gegen CD, nach dem 28ſten des V. und wechſelweis/ AE gegen CF eine kleinere Ver- haͤltnis als AB gegen CD, nach dem 27ſten des V. das iſt/ umbgekehrt/ AB hat gegen CD eine groͤſſere Verhaͤltnis als AE gegen CF.

Sonſten koͤnnen wir eben dieſes wiederumb durch einen augenſcheinlichen Beweiß klar machen/ wann wir die zwey ungleiche Dinge nennen ea und a, und zu beyden hinzu ſetzen b. Dann alſo ligt am Tag/ daß ea gegen a eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als ea+b gegen a+b; und ſolches daher: Wann ich ea durch a teihle/ ſo kommt e; wann ich aber ea+b durch a+b teihle/ ſo kommt weniger als e an ſtatt des Quoti oder Teihlung-Zehlers; wel- ches ein gewiſſes Anzeigen iſt der kleinern Verhaͤltnis. Daß aber weniger als e komme/ iſt offenbar. Dann wann e kaͤme/ ſo muͤſte der Teihler durch e vervielfaͤltiget eben das geteihlte wieder herfuͤr bringen/ und wann mehr als e kaͤme/ muͤſte der Teihler a+b durch e verviel- faͤltiget weniger bringen als das geteihlte war. Nun aber gibt a+b durch e gefuͤhret ea+eb, welches groͤſſer iſt als ea+b. Noch kuͤrzer koͤnte der Beweiß/ und alſo/ verfaſ- ſet werden: Wie ea gegen a, alſo iſt ea+eb gegen a+b. Nun aber (weil ea+eb au- genſcheinlich groͤſſer iſt als ea+b) hat ea+eb gegen a+b eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als ea+b gegen a+b. Derowegen hat auch ea gegen a eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als ea+b gegen a+b; Welches zu beweiſen war.

Hieraus Von der Kugel und Rund-Saͤule.

Hieraus kan nun leichtlich erhellen der obige Satz Archimedis/ weil erſtlich HB und KB zwey ungleiche Lineen ſind/ und zu beyden das gemeine BF geſetzet wird/ daß daher HF und KF entſtehet; nachmals zu dieſen beyden ungleichen wieder ein gemeines/ FN, geſetzet wird/ daß HN und KN erwachſen/ und daher/ was Archimedes beyderſeits ſchlieſſet/ vermoͤg erſt- erwieſenen Huͤlf-Satzes/ nohtwendig folget.

3. Das dritte/ welches Erlaͤuterns bedarf/ iſt dieſes/ daß Archimedes ferner ſchlieſſet/ weil HF gegen KF eine kleinete Verhaͤltnis hat/ als KF gegen FG, ſo ſey das Rechtekk aus HF in FG kleiner als die Vierung von KF; und wiederumb/ weil BF gegen BE eine kleinere Verhaͤltnis hat/ als HB gegen BF, ſo ſey die Vierung von BF kleiner als das Rechtekk aus HB in BE. Welches beydes auf dieſem allgemeinen Satz beruhet:

Wann aus dreyen Dingen das erſte gegen dem andern eine kleinere Ver- haͤltnis hat/ als das andere gegen dem dritten/ ſo iſt das kommende aus dem erſten in das dritte kleiner/ als das Vermoͤgen des mittlern: Groͤſſer aber hingegen/ wann das erſte gegen dem andern eine groͤſſere Verhaͤltnis hat/ als das andere gegen dem dritten.

Den wir abermals augenſcheinlich alſo beweiſen: a-x hat gegen ea eine kleinere Ver- haͤltnis als ea gegen eea. Das aber/ was kommet aus dem erſten a-x in das lezte eea, iſt eeaa-eeax; das Vermoͤgen aber des mittlern iſt eeaa, und alſo jenes augenſchein- lich kleiner als dieſes. Wiederumb: a+x hat gegen ea eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als ea gegen eea. Das jenige aber/ was kommt aus dem erſten in das lezte/ iſt eeaa+eeax; und das Vermoͤgen des mittlern wieder eeaa, augenſcheinlich kleiner als jenes. Es iſt aber auch umbgekehret/ wann das kommende aus dem erſten in das lezte kleiner iſt als das Ver- moͤgen des mittlern/ oder auch als das kommende aus zweyen mittlern (dann es gehet der Satz in 4. Dingen eben ſo gewiß an/ als in dreyen) alsdann die Verhaͤltnis des erſten gegen dem andern kleiner/ als des andern gegen dem dritten/ oder (wann 4. Dinge gegeben ſind) des dritten gegen dem vierdten/ ꝛc. Wie der verſtaͤndige Leſer/ nach Anleitung erſtgegebenen Beweiſes leichtlich ſelbſten finden wird.

4. Zum vierdten ſchlieſſet Archimedes/ weil BE und ED einander gleich ſind/ bf aber und FD ungleich/ ſo ſey das Rechtekk aus BF in FD kleiner als das Rechtekk aus BE in ED (oder vielmehr die Vierung BE.) Welches auf einem ſolchen allgemeinen Satz gegruͤndet iſt/ dergleichen wir oben/ aus dem II. Buch Euclidis/ auf eine leichte Art bewieſen haben/ nehmlich auf dieſem:

Wann ein Ganzes in zwey gleiche/ und wiederumb in zwey ungleiche Teihle geteihlet wird/ ſo iſt das gemachte aus denen beyden ungleichen Teih- len allezeit kleiner als das Vermoͤgen eines gleichen Teihls.

Deſſen Beweiß dann in dem 5ten des II. Buchs Euclidis/ den wir oben bey dem XVI. Lehrſatz des I. Buchs allgemein bewieſen haben/ allbereit wuͤrklich enthalten iſt; Kan aber auch fuͤr ſich ſelbſten eben ſo leicht gegeben/ und auf Archimedis Vorhaben alſo gezogen werden: Jeden gleichen Teihl des Ganzen (BD) nehmlich BE und ED nenne man a; FE aber heiſſe b; ſo wird der groͤſſeſte ungleiche Teihl ſeyn a+b, der kleinere aber a-b. Nun iſt das Vermoͤgen eines gleichen Teihls/ aa.

Eutokius haͤnget hier eine Folge mit an/ welche zwar eigentlich zu Archimedis Zwekk nicht vonnoͤhten/ an ſich ſelbſten aber merkwuͤrdig iſt/ daß nehmlich/ je weiter die ungleiche TTeih- Archimedis Anderes Buch Teihlung von der gleichen geſchehe/ das gemachte aus den ungleichen Teihlen immer kleiner und kleiner werde; alſo daß der obige Satz in dieſen wieder allgemeinen koͤnte verwandelt werden:

Wann ein Ganzes in zwey gleiche/ und wiederumb etlich mal in zwey ungleiche Teihle geteihlet wird/ ſo iſt das gemachte aus zweyen ungleichen Teihlen/ welche der Gleichteihlung naͤher ſind/ allezeit groͤſſer als ein an- deres/ welches aus zweyen/ von der Halbteihlung entfernetern Teihlen gemachet wird.

Zu mehrer Erlaͤuterung des Satzes (keines weges aber zum Beweiß deſſelben/ dann der muß allgemein werden) wollen wir/ an ſtatt eines jeden andern ganzen/ eine Lini fuͤrſtellen/ welche da ſey bey 1 halbgeteihlet; und heiſſe der halbe Teihl/ zum Exempel/ A. Bey 2 ſey die naͤchſte ungleiche Teihlung/ und heiſſe der Uberreſt des groͤſſeſten Teihls uͤber die Helſte/ B; ſo iſt der groͤſſeſte Teihl a+b, der kleinere aber a-b. Bey 3 ſey eine fernere ungleiche Teihlung/ und heiſſe der Reſt des groͤſſeſten Teihls uͤber den groͤſſeſten der vorigen Teihlung/ C; ſo wird der groͤſſeſte Teihl die- ſer leztern Teihlung ſeyn a+b+c, der kleineſte aber a-b-c. Soll nun be- wieſen werden/ daß das gemachte aus den erſten ungleichen Teihlen (aus a+b in a-b) groͤſſer ſey/ als das was kommt aus den beyden leztern/ von der Halb- teihlung entfernetern/ nehmlich aus a+b+c in a-b-c. Solches nun ſicht- lich zu machen/ ſo iſt aus dem vorhergehenden bekannt/ daß a+b in a-b bringe aa-bb. Wann ich aber

5. Zum fuͤnſten machet Archimedes am End ſeines Beweiſes den Schluß: Weil die Vierung HF gegen der Vierung KF eine groͤſſere Verhaͤltnis hat/ als KF gegen FG, ſo habe auch HF gegen FG eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als KF gegen FG anderthalbmal genommen. Welchen Schluß Eutokius gruͤndet auf folgendem Lehenſatz:

Wann aus dreyen Lineen (AB, C und D) die Vierung der erſten (AB) gegen der Vierung der andern (C) eine groͤſſere Verhaͤltnis hat/ als die andere (C) gegen der dritten (D;) ſo hat die erſte (AB) gegen der dritten (D) auch eine groͤſſere als die anderthalbige Verhaͤltnis der jenigen/ welche da hat die andere gegen der dritten (C gegen D.)

Deſſen Beweiß ohngefehr dieſer iſt: Weil die Verhaͤltnis der Vierung AB gegen der Vierung C (das iſt/ die Gedoppelte des AB gegen C) groͤſſer iſt als die Verhaͤltnis C gegen D (das iſt/ als die gedoppelte des C gegen einer zwiſchen C und D mittlern gleichverhaltenden/ E) ſo muß auch die einfache AB gegen C groͤſſer ſeyn als die einfache C gegen E oder E gegen D. Folgends muß die jeni- ge Lini/ welche gegen C eben die Verhaͤltnis hat/ welche da hat C gegen E, klei- ner ſeyn als AB, zum Exempel BF, und derowegen auch AB gegen der lezten D eine groͤſſere Verhaͤltnis haben/ als BF gegen eben derſelben leztern/ D. Nun aber hat BF gegen D eine anderthalbige Verhaͤltnis der jenigen/ welche da hat C gegen D (dann ſie beſtehet aus dreyen ſolchen Verhaͤltniſſen/ deren die Verhaͤltnis C gegen D zwey in ſich begreiffet) nach Anlei- tung Von der Kugel und Rund-Saͤule. tung der 10den Worterklaͤrung des V. B. Erhellet demnach/ daß die Verhaͤltnis AB gegen D groͤſſer ſey als die anderthalbige der jenigen/ welche da hat C gegen D; Welches zu beweiſen war.

Durch unſere bißher oftgebrauchte Buchſtaben Rechnung kan dieſer Lehenſatz allgemein gemachet/ und folgender Geſtalt augenſcheinlich bewieſen werden: Fuͤr jede drey ungleiche Dinge/ welche ſolcher Geſtalt beſchaffen ſeyn/ daß das Vermoͤgen des erſten gegen dem Ver- moͤgen des andern eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als das andere gegen dem dritten/ kan ich ſetzen e3a+x, eea und a. Dann das Vermoͤgen des erſten iſt e6aa+2e3ax+xx; des andern Vermoͤgen aber iſt e4aa. Daß nun jenes gegen dieſem eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als eea gegen a, wird offenbar aus dem jenigen/ was oben in der 3. Anmerkung bewie- ſen worden/ wann man nehmlich das erſte durch das lezte/ und dann die beyde mittlere durch- einander fuͤhret; da dann das kommende aus dem erſten in das lezte (nehmlich e6a3+ 2e3 aax+axx) augenſcheinlich groͤſſer iſt/ als das gemachte aus beyden mittlern (nehmlich als e6a3.) Soll nun bewieſen werden/ daß bey ſo beſchaffenen Dingen/ das erſte e3a+x gegen dem dritten a eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als die anderthalbige Verhaͤltnis des eea gegen a. Dann wann ich zwiſchen eea und a ſetze die mittlere gleichverhaltende ea, und dann zu dieſen dreyen finde die erſte gleichverhaltende/ e3a, ſo iſt die Verhaͤltnis e3a gegen a eben die anderthalbige des eea gegen a, nach Anleitung der 10den Worterklaͤrung im V. B. Daß nun e3a+x gegen a eine groͤſſere Verhaͤltnis habe als e3a allein gegen eben demſelben a, ligt fuͤr Augen/ und bedarf alſo die Waarheit des beſagten keines fernern Beweiſens/ ſondern nur Beſchauens.

6. Endlich muß auch dieſes noch erinnert werden/ daß Archimedes gegenwertigen ſei- nen VIII. Lehrſatz noch mit einem andern Beweiß bekraͤfftiget/ welchen zu vollziehen wir aus Eutokio folgenden Lehenſatz voran ſchikken muͤſſen:

Wann vier Dinge (A, B, C und D) nach Belieben geſetzet ſind/ ſo iſt die zuſammgeſetzte Verhaͤltnis/ welche beſtehet aus der jenigen/ welche da hat das gemachte aus dem erſten in das andere (aus A in B) gegen dem Vermoͤgen des dritten (C) und dann der Verhaͤltnis des andern gegen dem vierdten/ eben die jenige/ welche da hat das gemachte aus dem er- ſten in das andere zweymal (das iſt/ aus A in B, und dann was kommt wieder in B) gegen dem/ was kommt aus dem Vermoͤgen des dritten (C) in das vierdte (D.)

Dieſes erlaͤutert Eutokius durch beygeſetzte Figur/ in welcher ſind A, B, C, D vier Lineen; K iſt das/ was wird aus A in B, und L das Vermoͤgen oder die Vierung von C; und iſt gemacht L gegen M, wie B ge- gen D; alſo daß die Verhaͤltnis des K gegen M zuſammgeſetzet iſt/ aus de- nen beyden Verhaͤltniſſen/ des K ge- gen L und des L gegen M, das iſt/ des B gegen D, (Beſihe die 3. An- merkung obigen IV. Lehrſatzes.) Ferner macht er aus K (das iſt/ dem Rechtekk aus A in B) in B, die Coͤr- perliche Figur N; aus L (das iſt/ dem Vermoͤgen oder der Vierung C) in D, die Coͤrperliche Figur O; und dann aus L in B die Coͤrperliche Figur X. Letzlich beweiſet er/ daß K gegen

M ſich verhalte/ wie N gegen O, welches eben das jenige iſt/ was oben geſagt worden.

Sein Beweiß aber iſt dieſer: Weil aus K in B kommt N, und aus L in B kommt X, ſo verhaͤlt ſich/ wie K gegen L, alſo N gegen X, vermoͤg des 18den im VII. B. Wiederumb T ijweil Archimedis Anderes Buch weil aus L in B kommt X, und aus L in D kommt O, ſo verhaͤlt ſich/ wie B gegen D (das iſt/ wie L gegen M) alſo X gegen O, nach dem 17den des VII. Derohalben verhaͤlt ſich auch gleichdurchgehend/ wie K gegen M, alſo N gegen O. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Leichter/ kuͤrzer/ und allgemeiner koͤnnen wir die Sach alſo klar machen: a in b macht ab: das Vermoͤgen c iſt cc: die zuſammgeſetzte Verhaͤltnis nun aus der Verhaͤltnis ab ge- gen cc, und der Verhaͤltnis b gegen d, iſt (Krafft der 1. Anmerkung des obigen IV. Lehrſatzes) abb gegen ccd. Ferner das gemachte aus a in b und aus ab wieder in b, iſt abb: das kommende aus dem Vermoͤgen c (nehmlich cc) in d, iſt ccd. Kan demnach ein Blinder greiffen/ daß hier abb gegen ccd eben die Verhaͤltnis hat/ wie dort abb gegen ccd.

Folge.

Das/ was kommt aus bb in a, iſt gleich dem/ was kommt aus ab in b, und haben alſo beyde gegen dem kommenden aus cc in d einerley Verhaͤltnis.

Archimedis anderer Beweiß des unter Handen habenden VIII. Lehrſatzes.

Die Kugel ABCD iſt in BD auſſerhalb des Mittelpuncts durchſchnit- ten. Soll nun 1. bewieſen werden/ daß der Abſchnitt BAD gegen dem kleinern

BCD eine kleinere Verhaͤltnis ha- be/ als die gedoppelte der Flaͤche BAD gegen der Flaͤche BCD, das iſt (wie aus vorigem Beweiß ſchon kundt iſt) der Lini AH ge- gen HC. So machet nun Archi- medes ſo wol AF als CG gleich dem Halbmeſſer EA, und ſchlieſ- ſet ferner alſo: Die Verhaͤltnis des Abſchnittes BAD gegen dem Abſchnitt BCD iſt (nach der 1. Anmerkung des IV. Lehrſatzes) zuſamm- geſetzet aus dreyen Verhaͤltniſſen/ nehmlich des Abſchnittes BAD gegen dem Kegel BDA, und dieſes Kegels BDA gegen dem Kegel BDC, und dieſes Kegels BDC gegen dem Abſchnitt BCD. Nun verhaͤlt ſich aber der Ab- ſchnitt BAD gegen dem Kegel BDA, wie GH gegen HC, nach der Folge des obigen II. Lehrſatzes/ der Kegel BDA aber gegen dem Kegel BDC, wie HA gegen HC, vermoͤg des 14den im XII. und endlich der Kegel BDC ge- gen dem Abſchnitt BCD, wie HA gegen HF, Krafft erſtangezogener umb- gekehrten Folge des II. Lehrſatzes/ alſo daß nunmehr die Verhaͤltnis des Abſchnittes BAD gegen dem Abſchnitt BCD zuſammgeſetzet iſt aus dreyen andern Verhaͤltniſſen/ nehmlich des GH gegen HC, und des AH gegen HC, und des AH gegen HF. Nun iſt aber die zuſammgeſetzte Verhaͤltnis aus GH gegen HC und AH gegen HC, eben die/ welche da hat das Rechtekk aus GH in AH gegen der Vierung HC, vermoͤg des 23ſten im VI. Die aber/ welche aus der Verhaͤltnis des Rechtekkes GHA gegen der Vierung HC, und aus der Verhaͤltnis AH gegen HF, zuſammgeſetzet wird/ iſt eben dieſe/ welche Von der Kugel und Rund-Saͤule. welche da hat das kommende aus dem Rechtekk GHA in die Hoͤhe HA gegen dem kommenden aus der Vierung HC in die Hoͤhe HF, nach vorhergehen- der 6. Anmerkung/ das iſt/ eben dieſe/ welche da hat das kommende aus der Vierung HA in die Hoͤhe GH gegen dem kommenden aus der Vierung HC in die Hoͤhe HF; vermoͤg der Folge gedachter Anmerkung. Folget alſo ſchließlichen/ daß die Verhaͤltnis des Abſchnittes BAD gegen dem Abſchnitt BCD eben die jenige ſey/ welche da hat das kommende aus der Vierung HA in die Hoͤhe GH gegen dem kommenden aus der Vierung HC in die Hoͤhe HF. Weil dann nun ſoll erwieſen werden/ daß der Abſchnitt BAD gegen dem klei- nern BCD eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als die gedoppelte Verhaͤltnis der Flaͤche BAD gegen der Flaͤche BCD; das iſt/ der Lini AH gegen HC; ſo doͤrfen wir nunmehr nur beweiſen/ daß das kommende aus der Vierung AH in die Hoͤhe HG gegen dem kommenden aus der Vierung HC in die Hoͤhe HF eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als die gedoppelte Verhaͤltnis der Lini AH gegen HC, das iſt (vermoͤg des 20ſten im VI.) als die Verhaͤltnis der Vierung AH gegen der Vierung HC. Es verhaͤlt ſich aber wie die Vierung AH gegen der Vierung HC, alſo das kommende aus der Vierung AH in die Hoͤhe HG, gegen dem kommenden aus der Vierung HC in eben dieſelbe Hoͤhe HG, vermoͤg des 32ſten im XI. B. Bleibt alſo zu beweiſen/ daß das kommende aus der Vierung AH in die Hoͤhe HG, gegen dem kommenden aus der Vierung HC in die Hoͤhe HF eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als eben daſſelbe kommende aus der Vierung AH in die Hoͤhe HG hat gegen dem kom- menden aus der Vierung HC in eben dieſelbe Hoͤhe HG. Das iſt (Krafft des 9ten im V. B.) es bleibt zu beweiſen/ daß das kommende aus der Vie- rung HC in die Hoͤhe HF groͤſſer ſey als das kommende aus eben derſelben Vierung HC in die Hoͤhe HG; oder noch kuͤrzer (Krafft des 31ſten im XI. B.) daß HF groͤſſer ſey als HG. Dieſes aber iſt offenbar und leicht zu erweiſen/ dann AH iſt groͤſſer als HC, vermoͤg der Kugelteihlung. Weil nun zu dieſen beyden ungleichen die beyde gleiche/ AF und CG, hinzu geſetzet worden/ ſo muß auch HF groͤſſer ſeyn als HG; und iſt alſo der erſte Teihl des Beweiſes auf einen ſehr leichten Grund hinaus geleitet/ aus deſ- ſen bewieſener unfehlbaren Waarheit ruͤkklings alles/ was vorher geſagt iſt und bewieſen hat ſollen werden/ wahr und unfehlbar iſt.

Fuͤrs 2. ſoll bewieſen werden/ daß der Abſchnitt BAD gegen dem Ab- ſchnitt BCD eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als die anderthalbige Verhaͤlt- nis der Flaͤche BAD gegen der Flaͤche BCD, das iſt/ der Lini AH gegen der Lini HC. Nun iſt in vorigem Teihl bewieſen/ daß der Abſchnitt BAD gegen dem Abſchnitt BCD eben die Verhaͤltnis habe/ welche da hat das kom- mende aus der Vierung HA in die Hoͤhe GH, gegen dem kommenden aus der Vierung HC in die Hoͤhe derer Flaͤchen anderthalbige Verhaͤltnis aber iſt die/ welche da hat der Wuͤrfel (cubus) von AB gegen dem Wuͤrfel von BC (Beſihe folgende 1. Anmerkung.) Alſo daß nunmehr zu beweiſen iſt/ daß das kommende aus der Vierung AH in die Hoͤhe HG gegen dem kommenden aus der Vierung HC in die Hoͤhe HF, eine groͤſſere Verhaͤlt- nis habe/ als der Wuͤrfel AB gegen dem Wuͤrfel BC; das iſt (weil wie T iijAB ge- Archimedis Anderes Buch AB gegen BC als AH gegen HB, nach dem 8ten des VI. als der Wuͤr- fel AH gegen dem Wuͤrfel HB, vermoͤg des 37ſten im XI. das iſt/ als die Vierung AH gegen der Vierung HB, ſambt der Verhaͤltnis der Lini AH gegen der Lini HB, aus dem 33ſten des XI. Dieſe zuſammgeſetzte Verhaͤltnis aber der Vierung AH gegen der Vierung HB, und der Lini AH gegen der Lini HB iſt eben die/ welche da hat die Vierung AH gegen dem Rechtekk aus HC in HB, vermoͤg folgender 2. Anmerkung/ und die Ver- haͤltnis der Vierung AH gegen dem Rechtekk aus HC in HB iſt eben die/ welche da hat das kommende aus der Vierung AH in die Hoͤhe HG gegen dem kommenden aus dem Rechtekk CHB in eben dieſelbe Hoͤhe HG, nach dem 32ſten des XI. B. Derowegen bleibt nun zu erweiſen/ daß das kom- mende aus der Vierung AH in die Hoͤhe HG gegen dem kommenden aus der Vierung HC in die Hoͤhe HF, eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als das kom- mende aus der Vierung AH in die Hoͤhe HG gegen dem kommenden aus dem Rechtekk CHB in eben dieſelbe Hoͤhe HG, das iſt (vermoͤg des 8ten im V.) es iſt zu beweiſen/ daß das kommende aus der Vierung HC in die Hoͤhe HF kleiner ſey als das kommende aus dem Rechtekk CHB in die Hoͤhe HG, das iſt/ (vermoͤg der vorhergehenden 3. Anmerkung) daß die Vie- rung HC gegen dem Rechtekk CHB eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als die Hoͤhe HG gegen der Hoͤhe HF. Wie ſich aber die Vierung HC gegen dem Rechtekk CHB verhaͤlt/ ſo verhaͤlt ſich HC gegen HB, Krafft des 1ſten im VI. B. Waͤre alſo nun zu erweiſen/ daß HC gegen HB eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als HG gegen HF; oder umbgekehrt HG gegen HF eine groͤſſere/ als HC gegen HB. So man nun aus E aufrichtet die waagrechte Lini EK, und aus B auf EK wieder ſenkrecht herunter laͤſſet BL, ſo iſt EK gleich AF, und derowegen HF gleich HA und KE zuſammen; alſo daß zu beweiſen waͤre/ daß HG gegen HA ſambt KE eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als HC gegen HB. Oder verwechſelt/ HG gegen HC eine groͤſ- ſere Verhaͤltnis/ als HA ſambt KE gegen HB (oder EL.) Und zer- teihlet/ daß CG gegen HC eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als HA+KL gegen (EL) HB, das iſt/ wieder verwechſelt/ CG gegen HA ſambt KL eine groͤſſere/ als HC gegen HB, das iſt (weil HB die mittlere gleich- verhaltende zwiſchen A und HC iſt) als HB gegen HA, oder als LE gegen AH; und wieder wechſelweis/ daß CG (das iſt/ KE) gegen LE eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als KL ſambt HA gegen AH; und zer- teihlet/ daß KL gegen LE eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als KL gegen AH. Alſo daß endlich der ganze Beweiß auf dieſes einige hinaus lauffet/ daß LE kleiner ſey/ als HA; Welches fuͤr ſich ſelbſten offenbar und ferneres Be- weiſens nicht benoͤhtiget iſt.

Anmerkungen.

1. Zu foͤrderſt muß hier bekraͤfftiget werden/ was Archimedes als bekannt ſetzet/ daß nehmlich die anderthalbige Verhaͤltnis der Flaͤche BAD gegen der Flaͤche BCD ſey eben die jenige/ welche da hat der Wuͤrfel von AB gegen dem Wuͤrfel von BC. Solches er- hellet nun alſo: Die Vierung von AB hat gegen der Vierung BC (das iſt/ die Scheibe des Halb- Von der Kugel und Rund-Saͤule. des Halbmeſſers AB gegen der Scheibe BC, nach dem 2ten des XII. das iſt/ die Flaͤche BAD gegen der Flaͤche BCD, vermoͤg des XXXVIII. und XXXIX. Lehrſatzes des I. Buchs) eine gedoppelte Verhaͤltnis derer/ welche hat AB gegen BC, aus dem 20ſten des VI. der Wuͤrfel aber gegen dem Wuͤrfel eine dreyfache/ nach dem 33ſten des XII. Begreifft alſo die Verhaͤltnis des Wuͤrfels gegen dem Wuͤrfel drey ſolche in ſich/ deren jene Verhaͤltnis der Vierung gegen der Vierung nur zwey begreiffet/ das iſt/ die Verhaͤltnis des Wuͤrfels gegen dem Wuͤrfel begreiffet die Verhaͤltnis der Vierung gegen der Vierung (oder derer beyden Flaͤchen BAD und BDC) anderthalbmal in ſich.

2. Darnach ſetzt Archimedes/ die zuſammgeſetzte Verhaͤltnis der Vierung AH gegen der Vierung HB und der Lini AH gegen der Lini HB ſey eben die/ welche da hat die Vie- rung AH gegen dem Rechtekk aus HC in HB. Welches wir folgender maſſen deutlicher und gewiß machen: AH iſt gegen HB, wie HB gegen BC, nach Anleitung des 13den im VI. Derowegen iſt die Verhaͤltnis der Vierung AH gegen der Vierung HB ſambt AH gegen HB, einerley mit der Verhaͤltnis der Vierung AH gegen der Vierung HB, ſambt HB gegen BC. Wie aber HB gegen BC, alſo iſt die Vierung HB gegen dem Rechtekk aus BC in HB, nach dem 1ſten des VI. Derohalben iſt die Verhaͤltnis der Vierung AH gegen der Vie- rung HB ſambt AH gegen HB, einerley mit der Verhaͤltnis der vorigen Vierung AH ge- gen der Vierung HB ſambt der Vierung HB gegen dem Rechtekk aus BC in HB. Es iſt aber dieſe zuſammgeſetzte Verhaͤltnis der Vierung AH gegen der Vierung HB ſambt der Vierung HB gegen dem Rechtekk aus BC in HB, eben die/ welche da hat die Vierung AH gegen dem Rechtekk aus BC in HB, vermoͤg der 1. Anmerkung des obigen IV. Lehr- ſatzes. Derowegen ſo iſt nun die zuſammgeſetzte Verhaͤltnis der Vierung AH gegen der Vierung HB ſambt AH gegen HB, eben die/ welche da hat die Vierung AH gegen dem Rechtekk aus BC in HB. Welches zu beweiſen war.

3. Und alſo wird hoffentlich auch dieſer andere Beweiß Archimedis teutſch und deut- lich genug ſeyn/ den wir zwar gar haͤtten auslaſſen koͤnnen/ weil der vorige das Werk ſchon ge- hoben; aber deswegen abſonderlich hier mit beybringen wollen/ damit der kunſtliebende Leſer durch dieſes ſo klare und deutliche Exempel deſto mehr erkennete den Unterſchied derer Be- weißtuhme und Lehr-Arten/ deren ſich die Alten bedienet/ in dem ſie nehmlich (nicht nur in Eroͤrterung derer Aufgaben (Problematum) ſondern auch in Beweiſung derer Betrachtun- gen (Theorematum) entweder von dem jenigen/ was ſie finden oder beweiſen ſolten/ den An- fang gemachet/ was aus demſelben nach und nach folgen/ oder was am naͤchſten mit ihm ver- bunden ſeyn moͤchte/ ſo lang und viel durch fortgeſetzte Schluß-Reden/ geforſchet/ biß ſie end- lich auf einen gewiſſen und leichten Grund kommen/ welcher/ ſo er gewiß gemachet oder zu Werk gerichtet worden/ endlich alles/ was vorhergegangen/ bekraͤfftiget/ und alſo dem erſten Begehren oder Beweiſens beduͤrftigen Satz ein volles Genuͤgen gethan hat. Und dieſes nen- neten ſie Analyſin oder Methodum Analyticam (wir koͤnten es die Grund ſuchende Lehr- Art nennen) dieweil hierdurch das fuͤrgelegte Werk gleichſam zergliedert und zerleget/ nach allen Stuͤkken ſo lange durchgruͤndet wird/ biß man endlich auf den Anfang und Urſprung/ von dem das ganze Werk herruͤhret/ gelanget: nicht anderſt/ als wann einer ein kuͤnſtliches Uhrwerk fuͤr ſich/ und einen Teihl nach demſelben heraus nimmet/ biß er endlich das/ was ihm zuvor verborgen war/ nehmlich die erſte Bewegung/ von welcher der Gang des ganzen Werkes herruͤhret/ ausfuͤndig machet. Oder aber/ ſie machten/ ruͤkklings/ den Anfang von einem ſolchen gefundenen Grund/ und aus demſelben/ mit Beyhuͤlf anderer Gewißheiten/ eine Schluß-Rede auf die andere/ biß ſie unzweiffelich das jenige/ was zu beweiſen oder zu finden war/ heraus brachten. Und dieſes nenneten ſie Syntheſin oder Methodum Syn- theticam (wir koͤnnten es die Grund-ſetzende Lehr-Art heiſſen) dieweil durch dieſe Art/ das vorher zerlegte gleichſam wieder zuſammgeſuchet und in einander gefuͤget wird/ biß der vollkommene Beweiß oder die kunſtrichtige Ausfindung des Begehrten daraus erwaͤchſet: nicht anderſt/ als wann einer/ nach dem er vermittelſt der Zerlegung die erſte Bewegung gefunden/ ruͤkklings alle Raͤdlein ordentlich wieder zuſammfuͤget/ wie er ſie vorhtr nachein- ander heraus genommen/ biß er das ganze Kunſtwerk wieder in ſeine vorige Vollkom- menheit ſetze.

Nun ſon- Archimedis Anderes Buch

Nun ſondern zwar die Kuͤnſtler dieſe beyde Lehr-Arten oftmals von einander ab/ und bedienen ſich meiſtenteihls allein der andern/ vorhin wann die Sache nicht gar ſchwer und tief zu hohlen iſt; je zu Zeiten haͤngen ſie beyde aneinander/ wie wir oben bey etlichen Auf- gaben ſchon geſehen haben: bißweilen ſetzen ſie auch nur die erſte/ weil aus derſelben die andere fuͤr ſich ſelbſten flieſſet/ wann man nur hinderſich denen Fußſtapfen nachgehet/ wel- che man im Hergehen hinder ſich gelaſſen. Und eben ſo hat es Archimedes/ in dieſem an- dern Beweiß ſeines VIII. Lehrſatzes/ auch gemachet/ allein damit vergnuͤget/ daß er die Quelle gewieſen/ aus welchem das begehrte kan hergeleitet werden. Weil wir dann biß- her in Eroͤrterung derer Aufgaben zwar etliche/ in Beweiſung derer Betrachtungen (Theore- matum) aber noch kein Exempel gehabt einer ſolchen Wiederkehr; als wollen wir mit Eutokio aus denen gefundenen Gruͤnden Archimedis nunmehr rukkwerts/ der Grund- ſetzenden Lehr-Art nach (methodo Syntheticâ) den obigen VIII. Lehrſatz nochmal alſo be- weiſen:

Jn dem 1. Teihl hat Archimedes gefunden/ daß/ wann er nun beweiſe HF groͤſſer zu ſeyn als HG, alsdann dem erſten Teihl des Lehrſatzes ein Genuͤgen geſchehen ſey. Sol ches wird nun klar werden/ wann wir/ wo er aufgehoͤret/ anfangen/ und/ ſeinen Fußſtapfen nach/ immer hinderſich gehen/ biß wir aufhoͤren/ wo er angefangen hat/ nehmlich alſo:

Weil FH groͤſſer iſt als FG (wie am End der Grundforſchung Archimedis ſchon bewieſen worden) ſo iſt das kommende aus der Vierung HC in die Hoͤhe HF groͤſſer/ als das kommende aus eben derſelben Vierung HC in die Hoͤhe HG; und deswegen hat das kommende aus der Vierung AH in die Hoͤhe HG gegen dem kommenden aus der Vierung HC in die Hoͤhe HF eine kleinere Verhaͤltnis/ als gegen dem/ was kommt aus eben der- ſelben Vierung HC in die Hoͤhe HG (vermoͤg des 9ten im V. B.) Wie ſich aber ver- haͤlt das kommende aus der Vierung AH in die Hoͤhe HG gegen dem kommenden aus der Vierung HC in eben dieſelbe Hoͤhe HG, ſo verhaͤlt ſich die Vierung AH gegen der Vie- rung HC, aus dem 32ſten des XI. Darumb hat das kommende aus der Vierung AH in die Hoͤhe HG gegen dem kommenden aus der Vierung HC in die Hoͤhe HF eine klei- nere Verhaͤltnis/ als die Vierung AH gegen der Vierung HC, das iſt/ als die gedoppelte Verhaͤltnis der Lini AH gegen der Lini HC. Nun aber iſt erwieſen/ daß die Verhaͤltnis des kommenden aus der Vierung AH in die Hoͤhe HG gegen dem kommenden aus der Vie- rung HC in die Hoͤhe HF, ſey eben die/ welche da hat der Abſchnitt BAD gegen dem Ab- ſchnitt BCD; nnd die Verhaͤltnis der Lini AH gegen HC, eben die/ welche da hat die Flaͤche BAD gegen der Flaͤche BCD. Derowegen iſt nunmehr richtig/ daß jener Abſchnitt gegen dieſem eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als die gedoppelte jener Flaͤche gegen dieſer. Welches fuͤrs erſte zu beweiſen war.

Jn dem 2. Teihl hat Archimedes gefunden/ daß das ganze Werk beruhe auf dem/ daß LE kleiner ſey als AH. Nach dem nun dieſes auſſer Zweiffel iſt/ gehen wir ruͤkklings alſo:

Weil LE kleiner iſt als AH, ſo hat KL gegen LE eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als eben dieſelbe KL gegen AH, nach dem 8ten des V. B. und zuſammgeſetzet/ KE gegen LE eine groͤſſere/ als KL ſambt AH gegen AH. KE iſt aber gleich CG und LE gleich HB. Derowegen hat CG gegen HB eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als KL ſambt AH gegen AH; und wechſelweis/ CG gegen KL ſambt AH eine groͤſſere/ als HB gegen AH, das iſt/ als HC gegen HB. Und/ wieder wechſelweis/ CG gegen HC ferner eine groͤſſere/ als KL ſambt AH gegen HB; und zuſammgeſetzet/ GH gegen HC eine groͤſſere/ als KL ſambt AH ſambt HB (das iſt/ als KE ſambt AH) gegen HB; oder (weil KE und AF gleich ſind) als HF gegen HB; und/ wieder verwechſelt/ GH gegen HF eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als HC gegen HB. Wie ſich aber verhaͤlt HC gegen HB, alſo die Vierung HC gegen dem Rechtekk aus HB in HC, vermoͤg des 1ſten im VI. So hat demnach GH gegen HF eine groͤſſere Ver- haͤltnis/ als die Vierung HC gegen dem Rechtekk aus HB in HC. Und (nach obiger 3. Anmerkung des vorigen Beweiſes) iſt das kommende aus dem Rechtekk HBC in die Hoͤhe GH groͤſſer als das kommende aus der Vierung HC in die Hoͤhe HF. Derowegen hat das kommende aus der Vierung AH in die Hoͤhe GH gegen dem kommenden aus der Vierung HC in HF eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als das kommende aus der Vierung AH in GH gegen dem kommenden aus dem Rechtekk HBC in GH, nach dem 8ten des V. das iſt/ (vermoͤg Von der Kugel und Rund-Saͤule. (vermoͤg des 32. im XI.) als die Vierung AH gegen dem Rechtekk HBC. Es iſt aber die Verhaͤltnis der Vierung AH gegen dem Rechtekk HBC zuſammgeſetzet aus der Ver- haͤltnis der Vierung AH gegen der Vierung HB, und der Vierung HB gegen dem Recht- ekk HBC, das iſt (vermoͤg des 1ſten im VI.) aus der Verhaͤltnis der Vierung AH ge- gen der Vierung HB, und der Lini HB gegen der Lini HC, das iſt/ AH gegen HB. So hat demnach das kommende aus der Vierung AH in GH gegen dem kommenden aus der Vierung HC in HF eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als die Vierung AH gegen der Vierung HB ſambt AH gegen HB; das iſt/ als der Wuͤrfel AH gegen dem Wuͤrfel HB, oder der Wuͤrfel AB gegen dem Wuͤrfel CB. Nun iſt aber erwieſen/ daß die Verhaͤltnis des kommenden aus der Vierung AH in HG gegen dem kommenden aus der Vierung HC in HF eben die ſey/ welche da hat der Kugelſchnitt BAD gegen dem kleinern BCD; die Ver- haͤltnis aber des Wuͤrfels AB gegen dem Wuͤrfel BC ſey die anderthalbige der jenigen/ wel- che da hat die Flaͤche BAD gegen der Flaͤche BCD. Folget demnach der Schluß/ daß der groſſe Kugelſchnitt gegen dem kleinern eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als die andert- halbige der groͤſſern Flaͤche gegen der kleinern. Welches fuͤrs andere zu beweiſen war.

Der IX. Lehrſatz/ Und Die Dritte Betrachtung.

Unter allen Kugelſchnitten/ deren aͤuſſere Flaͤchen einander gleich ſind/ iſt die Halb-Kugel der allergroͤſſeſte.

Erlaͤuterung.

Es ſeyen/ zum Exempel zwey Kugelſchnitte/ BAD und FEH, ihren aͤuſ- ſern Flaͤchen nach einander gleich/ und ſey FEH eine Halb-Kugel/ BAD

aber entweder kleiner als eine Halb-Kugel (wie in beygeſetzter Figur) oder groͤſſer (wie in der naͤchſtfolgenden.) So ſag ich nun/ die Halb-Kugel FEH ſey groͤſſer als der Kugelſchnitt BAD.

UBeweiß. Archimedis Anderes Buch

Beweiß.

Weil die Flaͤchen derer Kugelſchnitte gleich geſetzet wor- den/ ſo ſind auch die Lineen BA und FE einander gleich/ vermoͤg des XXXVIII. und XXXIX. Lehrſatzes des I. Buchs. Und weil in dem Kugelſchnitt BAD, wel- cher groͤſſer als eine Halb-Kugel/ und mit S bemerket iſt/ AK groͤſſer iſt als der Halbmeſſer/ und noch vielmehr groͤſſer als BK, in dem andern aber kleiner als BK: und daher auch in jenem AK dem Vermoͤgen nach mehr als halb ſo groß iſt als AB, in dieſem aber nicht halb ſo groß (wie aus dem 47ſten des I. Buchs leichtlich zu erach- ten) ſo werde beyderſeits AR dem Vermoͤgen nach halb ſo groß als AB oder EF (das iſt/ ſo groß als EL oder LF, vermoͤg des 47ſten im I. Buch) welche Lini AR dann in dem Abſchnitt S kleiner ſeyn wird als AK, in dem andern hingegen groͤſſer/ beyderſeits aber der Punct R dem Mittelpunct naͤher als K. Ferner ſey CX gleich dem Halbmeſſer der Kugel/ und werde beyderſeits/ wie CX gegen CK, alſo MA gegen AK, das iſt/ der Kegel BMD werde gleich dem Abſchnitt BAD, nach dem obigen II. Lehrſatz. Jngleichen EN werde gleich EL, ſo wird der Kegel FNH der Halb-Kugel FEH auch gleich ſeyn/ vermoͤg eben deſſelben II. Lehrſatzes/ oder der fol- genden 1. Anmerkung. Nun iſt das Rechtekk aus AR in RC groͤſſer als das Rechtekk aus AK in KC, vermoͤg obiger 4. Anmerkung des vorher- gehenden VIII. Lehrſatzes. Die Vierung aber von AR (als die Helfte der Vierung AB) iſt gleich dem Rechtekk aus CX in AK, vermoͤg fol- gender 2. Anmerkung. So man nun dieſe beyde gleiche zu jenen beyden un- gleichen ſetzet/ ſo iſt das Rechtekk aus AR in RC ſambt der Vierung AR groͤſſer als das Rechtekk aus AK in KC ſambt dem Rechtekk aus CX in AK. Es iſt aber das Rechtekk aus AR in RC ſambt der Vierung AR gleich dem Rechtekk AR in AC, vermoͤg des 3ten im II. Buch/ und das Rechtekk AK in KC ſambt dem Rechtekk AK in CX, gleich dem Rechtekk AK in KX, aus dem 1ſten gemeldten Buchs. Derowegen ſo iſt das Recht- ekk AR in AC groͤſſer als das Rechtekk AK in KX. Dieſes Rechtekk AK in KX aber iſt (nach dem 16den des VI. B.) gleich dem Rechtekk aus KM in KC (weil KX, KC, KM und KA, vermoͤg des II. obigen Lehrſatzes und unſerer Vorbereitung/ vier gleichverhaltende ſind;) So iſt demnach das Rechtekk aus AR in AC auch groͤſſer/ als das Rechtekk aus KM in KC; und folgends hat AC gegen KC eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als KM gegen AR, vermoͤg der 3. Anmerkung des vorhergehenden VIII. Lehr- ſatzes. Von der Kugel und Rund-Saͤule. ſatzes. Wie ſich aber verhaͤlt AC gegen KC, ſo verhaͤlt ſich die Vie- rung AB gegen der Vierung BK, Krafft folgender 3. Anmerkung. So hat demnach die Vierung AB gegen der Vierung BK eine groͤſſere Ver- haͤltnis/ als KM gegen AR; und folgends die halbe Vierung AB (nehm- lich die Vierung AR) gegen der Vierung BK eine groͤſſere/ als halb KM gegen AR, das iſt/ als KM gegen AR gedoppelt/ das iſt/ gegen NL, (dann EL und AR ſind gleich/ weil ſie beyde dem Vermoͤgen nach halb ſo groß ſind als EF oder AB, welche auch gleich ſind; NL aber iſt zwey- mal ſo groß als EL, vermoͤg obiger Vorbereitung.) FL iſt aber auch gleich AR. Darumb hat die Vierung FL gegen der Vierung BK (das iſt/ die Scheibe FH gegen der Scheibe BD, aus dem 2ten des XII.) eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als KM gegen NL; Und iſt (folgends der 4. Anmerkung) der Kegel HNF groͤſſer als der Kegel BMD; das iſt/ die Halb-Kugel FEH groͤſſer als der Kugelſchnitt BAD. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkungen.

1. Daß der Kegel FNH gleich ſey der Halb-Kugel FEH, wann EN iſt gleich EL, erhellet alſo: Die ganze Kugel FEHG iſt viermal ſo groß/ als der Kegel FEH, und folgends die Halb-Kugel zweymal ſo groß/ nach dem XXXII. Lehrſatz des I. Buchs. Nun iſt aber auch der Kegel FNH (deſſen Hoͤhe NL doppelt ſo groß iſt als die Hoͤhe EL) zweymal ſo groß als der Kegel FEH, vermoͤg des 14den im XII. Derowegen ſind die Halb-Kugel und der Kegel FNH nohtwendig einander gleich.

2. Daß die Vierung von AR gleich ſey dem Rechtekk aus CX in AK, wird folgender Geſtalt erwieſen: Wie ſich verhaͤlt AC gegen AB, alſo AB gegen AK, aus dem 8ten des VI. Derowegen iſt das Rechtekk aus AC in AK gleich der Vie- rung AB, vermoͤg des 17den im ſelbigen Buch/ und folgends auch das Rechtekk aus CX (das iſt/ halb AC) in AK, als die Helfte des vorigen/ nach dem 1ſten des VI. der Helfte der Vierung AB, das iſt/ der Vierung AR.

3. Daß/ wie AC gegen KC ſich verhaͤlt/ alſo die Vierung AB gegen der Vie- rung BK ſich verhalte/ wird daher gewiß: Vermoͤg des 8ten im VI. iſt AC gegen CB, wie CB gegen CK; und folgends/ wie AC gegen der dritten CK, alſo die Vierung AC gegen der Vierung CB, nach dem 20ſten des VI. Wie ſich aber ver- haͤlt die Vierung AC gegen der Vierung CB, ſo verhaͤlt ſich die Vierung AB gegen der Vierung BK, aus dem 22ſten deſſelben Buchs (weil/ wegen Aehnlichkeit de- rer Dreyekke/ abermal wie AC gegen CB, alſo AB gegen BK ſich verhaͤlt) derowe- gen verhaͤlt ſich auch/ wie AC gegen CK, alſo die Vierung AB gegen der Vie- rung BK.

Flurantius bedienet ſich zu Beweiſung dieſes/ nachfolgenden Lehenſatzes:

Wann fuͤnf aneinander- oder fortgeſetzt-gleichverhaltende ſind/ ſo verhaͤlt ſich das erſte gegen dem fuͤnften/ wie das Vermoͤgen des an- dern gegen dem Vermoͤgen des vierdten.

Sein Beweiß iſt gut/ den wir deswegen an ſeinem Ort geſtellt ſeyn laſſen/ und die Waarheit des geſetzten/ unſerer Gewonhnheit nach/ ſichtlich alſo fuͤr Augen legen: U ija, ea, Archimedis Anderes Buch a, ea, eea, e3a, e4a ſind 5. aneinander gleichverhaleende: die Vierung oder das Vermoͤgen des andern iſt eeaa, das Vermoͤgen des vierdten aber/ e6aa; Daß nun a gegen e4a ſich verhalte/ wie eeaa gegen e6aa, iſt augenſcheinlich/ weil/ ſo man e4a mit a, und e6aa mit eeaa teihlet/ beyder- ſeits e4 heraus kommet.

Jſt alſo die Sache/ was dieſen Lehenſatz betrifft/ ganz richtig. Aber darinnen iſt der Fehler/ daß er ſich auf gegenwertiges Fuͤrhaben nicht ſchikket/ weil hier (in Archimedis Beweiß) keine fuͤnf aneinander-gleichverhaltende Dinge zu finden ſind. Dann daß Flurantius in ſeinem Beweiß aus dem 8ten des VI. Buchs ſetzet/ AC, AB, AK, KB, KC, ſeyen fuͤnf aneinander- oder unzertrennt-gleichverhaltende Lineen/ darinnen wird er eben merklich betrogen. Das folget zwar aus dem angezogenen Lehr- ſatz Euclidis/ daß/ wie AC gegen AB, alſo AB gegen AK ſey; und wiederumb/ wie AK gegen KB, alſo KB gegen KC; aber dieſes ſind zweyerley Verhaͤltniſſe/ die bey AK von einander zertrennet ſind. Wann ſie aber alle fuͤnf aneinander- und unzertrennet-gleichverhaltend waͤren/ ſo muͤſte ſeyn wie AC gegen AB, alſo AB ge- gen AK, und ferner/ wie AB gegen AK, alſo AK gegen KB, &c. welches aber nicht allein aus dem 8ten des VI. nicht zu ſchlieſſen/ ſondern auch augenſcheinlich falſch iſt. Dann weil AB gegen AK iſt/ wie BC gegen BK, vermoͤg erſtange- zogenen Lehrſatzes/ wann auch AK gegen BK waͤre/ wie AB gegen AK, ſo muͤ- ſten AK und BC einander gleich ſeyn/ und zwar allezeit/ ſo oft aus dem rechten Winkel eines rechtwinklichten Dreyekkes eine ſenkrechte auf die Grundlini herunter faͤllet; (dann wann es nicht allezeit geſchihet/ ſondern etwan nur in einem gewiſſen Fall/ wie wir nachmals an ſtatt einer Zugab weiſen wollen/ ſo kan aus dem 8ten des VI. nicht geſchloſſen werden/ daß/ wie AB gegen AK, alſo AK gegen KB ſich verhalte/ es ſey dann/ daß eben derſelbe Fall ſich zugleich begebe/ welches aber hier nicht geſchicht/ und von Flurantio nicht gedacht wird.) Daß aber AK und BC ein- ander nicht allezeit gleich ſeyen/ wann das obbedingte des 8ten im VI. B. vorkom- met/ iſt gar leichtlich alsdann zu ſehen/ wann das rechtwinklichte Dreyekk zugleich gleichſchenklicht iſt/ und alſo BK gerad auf den Mittelpunct der Grundlini AC faͤllet; da dann AB und BC einander zwar gleich/ beede aber groͤſſer ſind als AK, vermoͤg des 47ſten im I. Buch Euclidis.

Es kan aber dieſem Fehler Flurantii leichtlich geholfen werden/ durch dieſe einzige Erinnerung/ daß zum Beweiß deſſen/ was er begehret (nehmlich daß/ wie die erſte Lini AC gegen der fuͤnften KC ſich verhaͤlt/ alſo die Vierung der andern AB gegen der Vierung der vierdten BK ſich verhalte/ nicht eben vonnoͤhten ſey/ daß alle fuͤnf Li- neen aneinander oder fortgeſetzet-gleichverhaltend ſeyen/ ſondern genug/ wann die zwo erſten mit der dritten/ und dann wieder die dritte mit denen zwo lezten eine unzertrennte durchgehende Verhaͤltnis haben/ wie es dann in gemeldten fuͤnf Lineen waarhaftig ſich alſo befindet/ daß AC iſt gegen AB, wie AB gegen AK, und wiederumb AK ge- gen KB, wie KB gegen KC. Dann daß bey ſo geſtalten Sachen gleichwol eben das vorige folge/ wird augenſcheinlich/ wann ich fuͤr dieſe fuͤnf Lineen ſetze a, ea, eea 1½ea, ¼a. Dann da verhaͤlt ſich/ wie a gegen ¼a, alſo eeaa (das Vermoͤgen des andern) gegen ¼eeaa (dem Vermoͤgen des vierdten.)

4. Endlich/ daß der Kegel HNF groͤſſer ſey als der Kegel BMD, weil jenes Grundſcheibe FH gegen der Grundſcheibe dieſes/ BD, eine groͤſſere Verhaͤltnis hat/ als wiederkehrlich die Hoͤhe KM gegen der Hoͤhe NL, wird auch leichtlich alſo ge- ſchloſſen: Wann man machte/ wie die Scheibe FH gegen der Scheibe BD, alſo wiederkehrlich KM gegen einer andern (welche wir X nennen wollen) ſo waͤre X klei- ner als NL, vermoͤg des 10den im V. Und alſo waͤre der Kegel/ deſſen Grund- ſcheibe Von der Kugel und Rund-Saͤule. ſcheibe FH, die Hoͤhe aber X, gleich dem Kegel BMD, nach dem 15den des XII. B. Dem- wegen iſt auch der Kegel BMD kleiner als der Kegel HNF, das iſt/ dieſer iſt groͤſ- ſer als jener.

Zugab.

Dieweil wir kurz vorher bemerket haben/ wie Flurantius aus dem 8ten des VI. unrecht ſchlieſſe/ daß (in obiger Figur) AB gegen AK ſich verhalte/ wie AK gegen KB, weil ſonſten BC allezeit muͤſte gleich ſeyn AK, welches doch nichtig und falſch ſey; ſo wollen wir an ſtatt einer Zugab ſehen/ ob doch zum wenigſten etwan ein Fall ſich ereigne/ da aus einem rechten Winkel ABC auf eine unterzogene Grundlini AC eine ſenkrechte BK herunter falle/ alſo daß nachmals BC gleich ſey AK; oder (welches gleich viel iſt) da eine gegebene Lini AC alſo zerteihlet werde/ daß die Vierung der/ zwiſchen beyden Teihlen mittlern gleichverhaltenden/ ſambt der Vierung des kleinen Teihls gleich ſey der Vierung des groͤſſern Teihls; und zu dem End folgende Auf- gab ſtellen:

Eine gegebene Lini (AC) alſo teihlen (in K) daß die Vierung der mittlern gleichverhaltenden (BK) ſambt der Vierung des kleinen Teihls (KC, das iſt/ mit einem Wort/ die Vierung BC) gleich ſey der Vierung des groͤſſern Teihles (AK; und alſo BC) gleich AK.)

Jch ſetze die Sache als ſchon ge- ſchehen/ und nenne AO, (die Helfte der bekannten Lini AC, oder den Halb- meſſer des Halbkreiſſes) b; das Stuͤkk- lein OK, welches das einige iſt/ das ich ſuche/ heiſſe ich x, ſo iſt KC, b-x; KA aber b+x. Nun ſihe ich/ daß BK, oder vielmehr ihre Vie- rung auf zweyerley Weiß kan beſtim-

met/ und daher eine Vergleichung (Æquatio) gefunden werden. Dann wann ich die Vierung KC von der Vierung BC, das iſt/ KA abziehe/ ſo kommt heraus die Vierung BK, vermoͤg des 47ſten im I. B. Und wiederumb/ weil BK die mittlere gleichverhaltende iſt zwiſchen AK und KC, ſo iſt das Rechtekk aus AK in KC gleich der Vierung BK; nach dem 17den des VI. Nun Wann ich nun die Vierung KC von der Vierung BC abziehe/ ſo bleibt uͤber 4bx fuͤr die Vierung BK.

U iijAK iſt Archimedis Anderes Buch

Das Rechtekk aus AK in KC; oder die Vierung BK.

So iſt nun Und ſo man beyderſeits xx hinzu ſetzet/ Und ſo man beyderſeits 4bx hinweg nimmt/ Derowegen iſt nach An- leitung derer Rechnungs- oder Vergleichungs-Regeln Welches/ weitlaͤuffiger zu ſagen/ dieſe Meinung hat:

Nimm eine Lini nach Belieben (die ich indeſſen a nennen will) und mache/ wie a gegen b (oder dem Halbmeſſer AO) alſo b gegen einer dritten: Zwiſchen dieſer dritten fuͤnfmal genommen und der/ zuvor nach Belieben genommenen/ Lini a finde eine mittlere gleichverhal- tende/ und ziehe von derſelben ab die ganze Lini AC; Was uͤberblei- bet/ iſt das geſuchte x oder OK.

Oder/

Geometriſcher zu reden/ dieſe:

Verlaͤngere die gegebene Lini AC umb die Helfte biß in D, und ziehe durch D eine ſenkrechte; nimb DE nach Be- lieben/ und finde zu DE und DA die drit- te gleichverhaltende/ DF, nach dem 11ten des VI. Buchs. Mache ferner D 5.F fuͤnfmal ſo groß als DF, und aus dem Mittelpunct der ganzen Lini E 5.F, be- ſchreibe einen Halbkreiß/ welcher die ge- gebene Lini AC in K begehrter maſſen teihlen wird.

Es erſcheinet aber zugleich aus der vorher- gehenden/ ohne zwey lezten/ Vergleichung (bb=xx+4bx) daß auf dieſe Weiſe die Lini AC in K alſo geteihlet werde/ daß die Vierung KO ſambt dem Rechtekk aus eben derſelben Lini KO in die gedoppelte Lini AC gleich ſey der Vie- rung Von der Kugel und Rund-Saͤule. rung AO, das iſt/ der halben AC; Alſo daß nunmehr erhellet/ daß AK und BC als- dann erſt gleich/ und die fuͤnf Lineen AC, AB, AK, KB und KC alsdann erſt an- einander- oder unzertrennt-gleichverhaltend werden/ wann aus dem rechten Winkel eines rechtwinklichten Dreyekkes (als hier ABC) eine ſenkrechte (BK) auf die Grund- lini (AC) herunter fallend/ gedachte Grundlini alſo zerteihlet/ daß die Vierung von dem Reſt des groͤſſern Teihls (KO) ſambt dem Rechtekk aus eben demſelben Reſt in die gedoppelte Lini AC, gleich iſt der Vierung von der halben Grundlini AO: kei- nes wegs aber auſſer dieſer Bedingung/ deren der 8te Lehrſatz des VI. Buchs Eucli- dis mit keinem Wort gedenket/ ſondern bloß ſetzet/ daß aus dem rechten Winkel eine ſenkrechte Lini herunter falle/ es moͤge dardurch die Grund- lini geteihlet werden wie ſie immer wolle.

Ende des Andern Buchs Archimedis/ von der Kugel und Rund-Saͤule.

Arthimedis Büchlein Von Der Kreiß- und Scheiben-Meſſung.

Des Buͤchleins Meinſter Jnnhalt.

XIV.

XI.

Der III. Lehrſatz:

Die Scheib’ und Vierung/ ſo in glei- cher Hoͤhe ſtehen/ Verhalten ſich zuſamm wie Eilfe und Vierzehen.

Der II. Lehrſatz:

Wie Zwey- und zwanzig ſonſt mit Sieben gattet ſich; So haͤlt ein Scheiben-Kreiß zu ſei- nem Mittelſtrich.

Archimedis Kreiß- und Scheiben-Meſſung. Der I. Lehrſatz/ Oder Die Erſte Betrachtung.

Eine jede Scheibe iſt gleich einem rechtwinklichten Dreyekke/ deſſen eine Seite umb den geraden Winkel dem Halbmeſſer/ die andere aber dem Umbkreiß der Scheibe gleich iſt.

Erlaͤuterung.

Es ſey gegeben die Scheibe ABCD und das Dreyekk E, wie ob- gemeldet/ alſo nehmlich/ daß die Hoͤhe des Drey- ekkes dem Halbmeſſer AN, die Grundlini aber dem Umbkreiß der Schei- be gleich ſey. So ſage ich nun/ die Scheibe AB CD ſey gleich erwaͤhntem Dreyekk E.

Beweiß.

Dann ſo ſie ihm nicht gleich iſt/ muß ſie nohtwendig groͤſſer oder kleiner ſeyn.

Man ſetze erſtlich/ ſie ſey groͤſſer/ und beſchreibe inner- halb des Umbkreiſſes eine Vierung ABCD, und durch Halbteihlung der abgeſchnittenen Kreißbogen/ ein Achtekk/ durch fernere Halbteihlung derer neuen Abſchnitte ein ande- res gleichſeitiges Vielekk/ und ſolches ſo lang und viel/ biß alle Abſchnitte der Scheibe zuſammen kleiner ſind als der Reſt/ umb welchen die Scheibe groͤſſer iſt als das Dreyekk/ nach der Andern Folge des V. Lehrſatzes im I. Buch von der Kugel und Rund-Saͤule; und alſo das eingeſchriebene Vielekk groͤſſer ſey als das Dreyekk E. Endlich ziehe man aus N auf eine Seite ſolches Vielekkes eine ſenkrechte Lini NX. So iſt nun NX kleiner als NA, das iſt/ als die Hoͤhe des Dreyekkes E, und der ganze Umblauf des einge- ſchriebenen Vielekkes (vermoͤg des III. Grundſatzes im I. Buch von der Kugel und Rund-Saͤule) kleiner als der Scheiben Umbkreiß/ das iſt/ als die Grundlini des Drey-

X ijekkes Archimedis Kreiß- und ekkes E. Derowegen iſt das Dreyekk/ welches zur Hoͤhe hat die Lini NX, zur Grundlini aber den ganzen Umblauf des eingeſchriebenen Vielekkes/ klei- ner als das Dreyekk E; (welches die Vernunft ohne Beweiß lehret/ und aus dem 1ſten des VI. klaͤrlich erhellet.) Nun iſt aber das Dreyekk/ welches zur Hoͤhe hat die Lini NX, zur Grundlini aber den ganzen Umblauf des ein- geſchriebenen Vielekkes/ gleich allen Dreyekken/ in welche das Vielekk aus dem Mittelpunct kan eingeteihlet werden/ das iſt/ dem Vielekk ſelbſten/ Krafft erſtangezogenen 1ſten des VI. B. Derowegen folget/ daß dieſes Vielekk auch kleiner ſey als das Dreyekk E; welches aber ungereimt und unmoͤglich iſt/ weil oben bewieſen worden/ daß es groͤſſer ſey. Kan demnach die gegebene Scheibe ABCD nicht groͤſſer ſeyn als das Dreyekk E, weil etwas ungereim- tes und unmoͤgliches aus Bejahung deſſen erfolget.

Man ſetze fuͤrs andere/ die Scheibe ſey kleiner als das Dreyekk/ und be- ſchreibe auſſerhalb umb die Scheibe eine Vierung/ nach dem 7den des II. B. durch Halbteihlung aber derer/ zwiſchen denen vier Anruͤhrungspuncten ent- haltenen/ Kreißboͤgen ein Achtekk/ und ferner immer ein anderes gleichſeitiges Vielekke/ ſo lang und viel/ biß die aͤuſſern Abſchnitte PFA, RAM, &c. zu- ſammen kleiner ſind als der Reſt/ umb welchen das Dreyekk groͤſſer iſt als die Scheibe/ nach der Fuͤnften Aufgab des I. Buchs von der Kugel und Rund- Saͤule; da dann das umbſchriebene Vielekk nohtwendig kleiner ſeyn wird als das Dreyekk E. Weil aber NA (die Hoͤhe aller Dreyekke/ in welche das Vielekk aus dem Mittelpunct kan eingeteihlet werden) gleich iſt der Hoͤhe des Dreyekkes E, der ganze Umblauf aber des umbgeſchriebenen Vielekkes (ver- moͤg des III. Grundſatzes in erſtgedachtem I. Buch) groͤſſer iſt als der Schei- ben Umbkreiß; ſo muͤſſen nohtwendig alle Dreyekke des Vielekkes zuſammen/ das iſt/ das Vielekk ſelbſten (nach dem 1ſten des VI. B.) auch groͤſſer ſeyn als das Dreyekk E: welches aber mal ungereimt und unmoͤglich iſt/ weil oben be- wieſen worden/ daß es kleiner ſey. Kan demnach die gegebene Scheibe ABCD nicht kleiner ſeyn als das gegebene Dreyekk E, weil etwas ungereimtes und unmoͤgliches dar aus erfolget. Sie iſt aber auch nicht groͤſſer/ wie im erſten Satz bewieſen worden. Derowegen muß ſie demſelben nohtwendig gleich ſeyn. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkung.

Eutokius erreget in ſeinen Anmerkungen hier einigen Zweiffel/ welcher dieſem Lehr- ſatz Archimedis von jemand moͤchte entgegen geſetzet werden/ als ob derſelbe nicht kunſtmaͤſſig verfaſſet waͤre/ weil er redet von einem Dreyekk/ deſſen Hoͤhe dem Halbmeſſer/ die Grundlini aber dem Umbkreiß einer gegebenen Scheibe gleich ſey/ da doch weder von ihme noch von an- dern einiger Weg gezeiget worden/ wie eine/ einer gegebenenen Kreiß-Lini gleiche/ gerade Lini ſolle gefunden werden. Er benimmt aber ſolchen Zweiffel ohngefehr aus dieſem Grund/ daß zu kunſtrichtiger Beſchaffenheit dieſes Archimedeiſchen Lehrſatzes nicht vonnoͤhten ſey die Art und Weiſe zu wiſſen/ wie man eine gerade Lini finden ſolle/ welche einer gegebenen Kreiß-Lini gleich ſey; ſondern genug/ die gewiſſe Moͤglichkeit/ daß nehmlich einer jeden Kreiß-Lini noht- wendig eine gerade Lini gleich ſey/ ob man gleich die Weiſe/ ſolche zu beſtimmen/ noch nicht ge- funden habe. Solche Gewißheit aber fuͤhret er daher/ weil beydes die Kreiß- als die gerade Lini gewiſſe Groͤſſen und zwar eines Geſchlechtes ſeyen (beyde verſtehe nur einer Meſſung/ nach der Laͤnge/ faͤhig) welche durch Zuſetzen und Abſchneiden nohtwendig muͤſſen koͤnnen gleich gemachet werden. Meines Beduͤnkens aber gienge dem Lehrſatz Archimedis und deſ- ſen Beweiß ganz nichts ab/ wann auch gleich keine gerade Lini in der Natur waͤre/ welche einer gegebenen Kreiß-Lini ſich gleichete. Dann es iſt derſelbe eine bloſſe Betrachtung/ und Be- dings- Scheiben-Meſſung. dings-weis geſetzet/ alſo daß/ wann ſchon die Bedingung unmoͤglich waͤre/ dannoch daraus etwas gewiß koͤnnte geſchloſſen werden/ wie zum Exempel Euclides aus dem falſchen und unmoͤglichen Satz/ Daß einer Vierung Durchmeſſer mit ihrer Seite einerley Maas haben koͤnne/ unfehlbar zu folgen beweiſet/ daß eine gerade Zahl einer ungeraden gleich ſeyn koͤnne. Geſetzet nun/ daß keine Kreiß-Lini eine gleiche gerade in der Natur haͤtte/ ſo bliebe doch ewiglich waar/ und/ dem Beweiß Archimedis nach/ unfehlbar/ daß/ wann ein Dreyekk koͤnte gefunden werden/ deſſen Hoͤhe dem Halbmeſſer einer Scheibe/ die Grundlini aber ihrem Umbkreiß gleich waͤre/ ſolches Dreyekk nohtwendig ſeiner Flaͤche nach bemeldter Scheibe gleich ſeyn wuͤrde. Hier moͤchte aber der kunſtliebende Leſer verſetzen; Wann ge- dachter Lehrſatz Archimedis ſchon tauſendmal waar waͤre/ ſo wuͤrde er doch (im fall die Kreiß- Lini keine gleiche unter denen geraden haͤtte) unnutzlich/ und Archimedes vergeblich/ oder auch nicht gar kluͤglich/ mit deſſelben Beweiß bemuͤhet ſeyn. Darauf gebe ich zur Antwort dieſes: Erſtlich/ wann ſchon keine einige gerade Lini keiner einigen Kreiß-Lini gleichete/ ſo iſt doch ſolches nicht bewuſt oder von jemand bewieſen/ ſondern von denen meiſten jederzeit noch das Gegenteihl fuͤr glaubwuͤrdig geachtet worden; alſo daß Archimedes gleichwol durch dieſen Beweiß ſein gebuͤhrend Lob verdienet haͤtte/ wegen Hoffnung des herꝛlichen Nutzens/ welchen dieſe ſeine Erfindung bringen koͤnnte/ im fall etwan ein tiefſinniger Kopf die verlangete und fuͤr moͤglich geachtete Gleichheit einer Kreiß- und einer geraden Lini an den Tag bringen wuͤrde. Darnach wann auch Archimedes gleich gewiß gewuſt haͤtte/ daß keine gerade Lini koͤnnte kunſtrichtig und unfehlbar einer Kreiß Lini gleich gemachet oder gefunden werden/ ſo haͤtte er dennoch mit dieſem ſeinem Lehrſatz ein unſterbliches Lob verdienet/ in dem er dar- durch aufs wenigſte lehrete/ wie einer jeden gegebenen Scheibe ein gleiches Dreyekk koͤnte ge- funden werden/ ob ſchon nicht ganz kunſtrichtig und Geometriſch/ dannoch ohne einigen/ auch denen allerſubtileſten Sinnen/ merklichen Fehler; durch Beyhuͤlf nehmlich einer andern ſchoͤ- nen Erfindung/ durch welche er zeiget den Weg einer jeden gegebenen Kreiß-Lini eine andere gerade ſo gleich zu machen/ daß es nicht umb ein Haͤrlein oder einiges begreiffliches Bißlein fehle: Welches dann dieſes ſeines Buͤchleins einiger Zwekk/ und (wie wir am End deſſelben zeigen wollen) in der Meßkunſt und dem gemeinen Weſen hoͤchſt-nutzlich und erſprießlich iſt. Endlich/ damit wir der ganzen Sache auf einmal abhelfen (dann alles bißher-geſagtes iſt nicht aus Roht/ ſondern nur mehrer Erlaͤuterungs halben fuͤrgebracht worden) ſo hat Archi- medes ſelbſten ſchon klar und deutlich genug bewieſen/ daß jede Kreiß-Lini ein gerade habe/ welche ihr ganz richtig und unfehlbar gleich ſey; nehmlich in ſeinem/ bald hernach folgenden/ Buch vor denen Schnekken-Lineen/ und zwar in deſſelben XVIII. und XIX. Lehrſatz/ wie wir zu ſeiner Zeit mit mehrern ſehen werden.

Der II. Lehrſatz/ Oder Die Andere Betrachtung.

Einer jeden Scheiben Umbkreiß iſt ſo groß als ihr Durch- meſſer dreymal genommen/ ſambt noch einem Stuͤkklein/ wel- ches zwar kleiner iſt als ein Sieben-Teihl/ groͤſſer aber als zehen Ein-und-Siebenzigteihligen des Durchmeſſers.

Erlaͤuterung.

Es ſey zum Exempel eine Scheibe oder eine Kreiß-Lini und deroſelben Durchmeſſer AC; eine den Kreiß beruͤhrende Lini CLF, und der Mittelpunct des Kreiſſes E. Soll nun obiges beydes bewieſen werden; Nehmlich 1. Daß die Kreiß-Lini ihren Durchmeſſer dreymal in ſich begreiffe/ und noch etwas wenigers als den ſiebenden Teihl deſſelben. 2. Daß eben dieſelbe Kreiß-Lini/ X iijwie ge- Archimedis Kreiß- und wie geſagt/ den Durchmeſſer dreymal in ſich halte/ und noch etwas mehr als \frac {10}{71} deſſelben.

Beweiß des erſten Teihls.

Zu Bekraͤfftigung des erſten/ mache CEF gleich dem dritten Teihl eines geraden Winkels/ nach folgender 2. Anmerkung; alſo daß ECF ſey die Helfte eines gleichſeitiges Dreyekkes/ und daher EF gegen FC eine gedoppelte Ver- haͤltnis/ wie 306 gegen 153, EC aber gegen CF (vermoͤg folgender 3. An- merkung) eine/ ein wenig groͤſſere/ als 265 gegen 153 habe.

Hierauf teihle den Winkel FEC in zwey gleiche Teihle/ vermittelſt der Lini EG, ſo wird/ wie FE gegen EC, alſo FG gegen GC ſich verhalten/ ver- moͤg des 3ten im VI. B. und zuſammgeſetzet/ wie FE ſambt EC gegen EC, al- ſo FG ſambt GC (das iſt/ FC) gegen GC; und verwechſelt/ wie FE ſambt EC gegen FC, alſo EC gegen GC. Es iſt aber EC (vermoͤg der 3. Anmer- kung) ein wenig groͤſſer als 265, und alſo FC und EC zuſammen ein wenig mehr als 571. Derowegen hat FC ſambt EC gegen FC (oder gegen 153) und folgends auch EC gegen GC, eine groͤſſere Verhaͤltnis als 571 gegen 153. Daher/ wann GC 153 zu ſeyn geſetzt wuͤrde/ muͤſte EC nohtwendig ein wenig groͤſſer ſeyn als 571, vermoͤg des 10den im V. B. und folgends auch die Vie- rung EC groͤſſer als die Vierung von 571, das iſt/ als 326041. Endlich muͤſte auch die Vierung EG (welche/ vermoͤg des 47ſten im I. B. beyden Vie- rungen EC und CG zuſammen gleich iſt) groͤſſer ſeyn als 349450, und nach- gehends die Wurzel-Lini oder Seite EG ſelbſten/ groͤſſer als 591⅛. (Beſihe folgende 4. Anmerkung.) Woraus dann folget/ daß die Vierung EG gegen der Vierung GC eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als 349450 gegen 23409, und die Seite EG gegen der Seite GC eine groͤſſere als 591⅛ gegen 153.

Teihle fuͤrs andere den Winkel GEC wieder in zwey gleiche Teihle/ ver- mittelſt der Lini EH, und ſchlieſſe auf ganz gleiche Weiſe/ daß EC gegen CH eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als 1162⅛ gegen 153, und HE gegen HC eine groͤſ- ſere Verhaͤltnis/ als 1172⅛ gegen 153.

Drittens folget abermals durch fernere Halbteihlung des Winkels HEC, vermittelſt der Lini EK, daß EC gegen KC eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als Scheiben-Meſſung. als 2334¼ gegen 153, und folgends KE gegen KC eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als 2339¼ gegen 153.

Endlich/ wann der Winkel KEC wieder durch LE halbgeteihlet wird/ wird gleichfalls geſchloſſen/ daß EC gegen LC eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als 4673½ gegen 153. (Beſihe dieſe Rechnungen alle weitlaͤuffiger in folgender 5. Anmerkung.

Weil dann nun der Winkel FEC der dritte Teihl iſt eines geraden Win- kels/ das iſt/ der 12te Teihl vier gerader Winkel/ oder des ganzen Umbkreiſſes/ ſo iſt folgends ſeine Helfte/ nehmlich der Winkel GEC \frac {1}{24}, der Winkel HEC \frac {1}{48}, der Winkel KEC \frac {1}{96}, und endlich der Winkel LEC \frac {1}{192} des ganzen Umbkreiſſes; Und ſo man FC verlaͤngert gegen M hinaus/ und den Winkel CEM gleich ma- chet dem Winkel CEL, wird der gedoppelte Winkel LEM \frac {1}{96} des ganzen Umb- kreiſſes/ und alſo die Lini LM eine Seite ſeyn eines umb den Kreiß beſchriebenen Sechs- und-Neunzig-Ekkes. Nun iſt oben erwieſen/ daß EC der Halb- meſſer gegen LC (der halben LM, Krafft folgender 6. Anmerkung) eine groͤſ- ſere Verhaͤltnis habe/ als 4673½ gegen 153. Derowegen hat auch der ganze Durchmeſſer AC gegen der ganzen Seite LM eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als 4673½ gegen 153; und umbgekehrt LM hat gegen dem Durchmeſſer AC eine kleinere Verhaͤltnis/ als 153 gegen 4673½; und folgends alle 96. Seiten/ das iſt/ der ganze Umblauf des umbſchriebenen Vielekkes gegen eben demſelben Durchmeſſer AC eine kleinere Verhaͤltnis als 153 ſechs und neunzigmal ge- nommen (das iſt/ 14688) gegen 4673½. Es hat aber 14688 gegen 4673½ eine kleinere Verhaͤltnis/ als 3\frac {1}{7} gegen 1. (Dann 14688 begreiffen 4673½ drey- mal/ und bleiben uͤber 667½, welches weniger iſt als \frac {1}{7} von 4673½, ſintemal 667½ ſiebenmal genommen nur 4672½ machen.) Derowegen wird auch der ganze Umblauf des umbſchriebenen Vielekkes/ und umb ſo viel mehr die ein- geſchloſſene Kreißlini/ (vermoͤg des III. Grundſatzes im I. Buch von der Ku- gel und Rund-Saͤule/ und des 8ten im V. Buch Euclidis) gegen dem Durchmeſſer AC eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als 3\frac {1}{7} gegen 1. Welches fuͤr erſte zu beweiſen war.

(NB. Es iſt aber dannoch hierdurch der erſte Teihl des obigen Lehrſatzes noch nicht voͤllig erwieſen/ kan auch eher nicht vollkommen werden/ biß der Beweiß des andern Teihls hinzu kommet. Dann ob ich ſchon weiß/ daß der Umbkreiß gegen ſeinem Durchmeſſer eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als 3\frac {1}{7} gegen 1, ſo folget daraus noch nicht/ daß er den Durchmeſſer dreymal und noch etwas daruͤber in ſich begreiffe; dieweil/ wann er denſelben nur zweymal in ſich be- griffe/ jenes dannoch bliebe/ daß die Verhaͤltnis kleiner ſey als 3\frac {1}{7} gegen 1. Wann aber im an- dern Teihl wird erwieſen ſeyn/ daß der Umbkreiß gegen ſeinem Durchmeſſer eine groͤſſere Ver- haͤltnis habe/ als 3\frac {10}{71} gegen 1, wird beyder Teihle voͤllige Waarheit erſt zugleich erhellen. Wollen demnach nun auch des andern Teihls Beweiß/ welcher dem vorigen ſehr aͤhnlich iſt/ zur Hand nehmen.)

Beweiß des andern Teihls.

Jn dem gegebenen Kreiß ACB mache jezt (nach Anleitung der 2. Anmer- kung) den Winkel BAC gleich dem dritten Teihl eines geraden Winkels/ alſo daß ABC wiederumb ſey die Helfte eines gleichſeitigen Dreyekkes/ und da- her AC gegen BC eine gedoppelte Verhaͤltnis (zum Exempel wie 1560 gegen 780) AB aber gegen BC (vermoͤg folgender 3. Anmerkung) eine etwas klei- nere als 1351 gegen 780.

Hierauf Archimedis Kreiß- und

Hierauf teihle den Winkel BAC, vermittelſt AG, in zwey gleiche Teihle/ ſo werden die zweene Kreißbogen BG und GC einander gleich ſeyn/ vermoͤg des 26ſten im III. Buch/ und (Krafft des folgenden 27ſten) der Winkel GCB gleich dem Winkel GAC. Es iſt aber der gerade Winkel bey G beyden Drey- ekken AGC und FGC gemein; weswegen dann auch die beyde uͤbrige Winkel ACG und GFC einander gleich/ und daher beyde Dreyekke gleichwinklicht ſind. Verhaͤlt ſich demnach wie AG gegen GC, alſo GC gegen GF, und AC gegen CF, aus dem 4ten des VI. Wie aber AC gegen CF, alſo AC ſambt AB gegen BC (dann wegen Halbteihlung des Winkels BAC, verhaͤlt ſich/ nach dem 3ten des VI. wie AB gegen AC, alſo BF gegen FC, und zuſamm- geſetzet/ wie AB ſambt AC gegen AC, alſo BF ſambt FC, das iſt/ BC, ge- gen CF, und verwechſelt/ wie AB ſambt AC gegen BC, alſo AC gegen CF.) Derowegen ſo iſt auch AG gegen GC, wie AB ſambt AC gegen BC, ver- moͤg des 11ten im V. Buch.

Weil nun AB etwas weniger iſt als 1351, vermoͤg des obbewieſenen/ und des 10den im V. ſo hat AB ſambt AC gegen BC (und folgends auch AG gegen GC) eine kleinere Verhaͤltnis als die zwey Zahlen 1351 und 1560 zu- ſammen (das iſt/ als 2911) gegen 780, Krafft des 8ten im V. und derowe- gen begreifft AG etwas weniger als 2911 ſolche Teihle/ derer GC 780 hat/ nach dem 10den deſſelben Buchs. Folgends auch die Vierung AG etwas weniger als 8473921. So man nun zu dieſer 8473921 ſetzet die Vierung GC, 608400, kommt 9082321, welches nohtwendig groͤſſer iſt als die Vie- rung AC, und daher die Lini AC nohtwendig kleiner als die Wurzel ſolcher Zahl/ nehmlich 3013¾. Woraus dann ferner folget/ daß AC gegen GC eine kleinere Verhaͤltnis habe als 3013¾ gegen 780.

Teihle nunmehr fuͤrs andere GAC wieder in zwey gleiche Teihle mit AH, und ſchlieſſe auf gleiche Weiſe/ daß AH gegen HC ſich verhalte wie AG ſambt AC gegen GC; und folgends/ (weil AG etwas weniger iſt als 2911, und AC etwas weniger als 3013¾) daß AG ſambt AC gegen GC (das iſt/ AH gegen HC) eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als 5924¾ (die Summa aus 2911 und 3013¾) gegen 780, oder als der dreyzehende Teihl jener Zahl gegen dem drey- zehenden dieſer/ das iſt/ 455¾ gegen 60, oder viermal 455¾ gegen viermal 60, das iſt/ als 1823 gegen 240. So du nun ſetzeſt HC eben 240 zu ſeyn/ ſo muß AH nohtwendig kleiner ſeyn als 1823, vermoͤg des 10den im V. und alſo auch die Vierung AH kleiner als 3323329; und ferner die Vierung AC klei- ner als Scheiben-Meſſung. ner als die Zahl 3380929 (welche aus beyden Vierungen derer Zahlen/ 1823 und 240, zuſammgeſetzet iſt.) Endlich auch die Lini AC kleiner als die Wur- zel obiger Zahl/ nehmlich als 1838\frac {9}{11}; Woraus ſchließlichen folget/ daß AC gegen CH eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als 1838\frac {9}{11} gegen 240.

Drittens folget abermals durch fernere Halbteihlung des Winkels HAC, mit der Lini AK, und durch obige Art zu ſchlieſſen/ daß AK gegen KC ſich verhalte/ wie AH ſambt AC gegen HC; und folgends (weil AH weniger iſt als 1823, und AC weniger als 1838\frac {9}{11}, HC aber gerad 240) daß AH ſambt AC gegen HC (das iſt/ AK gegen KC) eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als 3661\frac {9}{11} (die Summa aus 1823 und 1838\frac {9}{11}) gegen 240, oder als \frac {40}{11} je- ner Zahl gegen \frac {40}{11} dieſer; das iſt/ als 1007 gegen 66. So du nun ſetzeſt KC eben 66 zu ſeyn/ muß AK nohtwendig kleiner ſeyn als 1007, vermoͤg des 10den im V. und alſo auch die Vierung AK kleiner als 1014049; und ferner die Vierung AC kleiner als die Zahl 1018405, (welche aus beyden Vierun- gen derer beyden Zahlen 1007 und 66 zuſammgeſetzet iſt;) Endlich auch die Lini AC kleiner als die Wurzel obiger Zahl/ nehmlich als 1009⅙. Wor- aus ſchließlichen wieder folget/ daß AC gegen KC eine kleinere Verhaͤltnis habe als 1009⅙ gegen 66.

Endlich wann der Winkel KAC durch AL wieder gehalbteihlet worden/ wird gleichfalls geſchloſſen/ daß AL gegen LC ſich verhalte/ wie AK ſambt AC gegen KC; und folgends (weil AK kleiner iſt als 1007 und AC kleiner als 1009⅙, KC aber gerad 66) daß AK ſambt AC gegen KC (das iſt/ AL gegen LC) eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als 1007 ſambt 1009⅙ (das iſt/ 2016⅙) gegen 66. So du nun abermal LC ſetzeſt eben 66 zu ſeyn/ muß AL nohtwendig kleiner ſeyn als 2016⅙, und die Vierung AL kleiner als 4064928\frac {1}{36}. Derowegen auch die Vierung AC kleiner als die Vierungen beyder Zahlen 2016⅙ und 66 zuſammen/ das iſt/ als 4069284\frac {1}{36}; und endlich auch die Lini AC kleiner als die Wurzel ſolcher Zahl/ nehmlich als 2017¼. Woraus ſchließlichen abermal folget/ daß AC gegen LC eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als 2017¼ gegen 66, und umbgekehrt LC gegen AC eine groͤſſere als 66 ge- gen 2017¼.

Weil dann nun der Kreißbogen BC (vermoͤg folgender 2. Anmerkung) der ſechſte Teihl des Umbkreiſſes iſt/ muß GC nohtwendig \frac {1}{12}, HC \frac {1}{24}, KC \frac {1}{48} und LC \frac {1}{96}, das iſt/ die Lini LC eine Seite eines eingeſchriebenen Sechs- und- Neunzig-Ekkes/ ſeyn. Und derowegen/ weil LC gegen AC eine groͤſſere Ver- haͤltnis hat/ als 66 gegen 2017¼, werden alle 96. Seiten/ das iſt/ der ganze Umblauf des eingeſchriebenen Vielekkes auch eine groͤſſere Verhaͤltnis haben gegen dem Durchmeſſer AC, als ſechs und neunzig mal 66, das iſt/ 6336 ge- gen 2017¼. Nun aber begreiffet 6336 die Zahl 2017¼ dreymal in ſich/ und noch darzu 284¼, welches mehr iſt als zehen Ein-und-Siebenzigteihligen ge- meldter Zahl 2017¼; (dann \frac {1}{71} dieſer Zahl iſt 28\frac {117}{284}, und folgends \frac {10}{71} nur ſo viel als 284\frac {17}{142}.) Derowegen begreiffet auch der ganze Umblauf des einge- ſchriebenen Vielekkes (und umb ſo viel mehr die umbgeſchriebene Kreiß-Lini) den Durchmeſſer AC dreymal und noch darzu mehr als \frac {10}{71}-Teihligen deſſel- ben: Welches fuͤrs andere hat ſollen bewieſen werden.

YAnmer- Archimedis Kreiß- und

Anmerkungen.

1. Jſt alſo nunmehr richtig/ daß/ wann der Durchmeſſer einer Kreißlini oder einer Schei- be 1 geſetzet wird/ alsdann der Umbkreiß weniger ſey als 3\frac {1}{7} oder 3\frac {10}{70}; mehr aber als 3\frac {10}{71}: alſo daß nunmehr gaͤnzlich erhellet die uͤberaustieffſinnige Erfindung Archimedis/ Krafft welcher er die Berechnung einer Kreißlini aus ihrem bekannten Durchmeſſer zwiſchen zwey ſo genaue Graͤnzzahlen eingeſchloſſen/ deren eine von der andern nicht mehr als umb ein einiges Vier- hundert-Sieben-und-Neunzigteihligen entfernet iſt; dann wann man/ nach denen Regeln der Rechenkunſt \frac {10}{71} von \frac {10}{70} abziehet/ bleibet der Reſt oder Unterſcheid mehr nicht als \frac {1}{497}. Eu- tokius gedenket/ daß Apollonius Pergæus und Philo von Gadara ſolches noch genaͤuer durch- ſuchet und gefunden haben. Meldet aber nicht unbillich darbey/ daß/ ſo genauſuͤchtig und tief- ſinnig dieſelbe Erfindungen immer ſcheinen moͤgen/ ſo undienlich ſeyen ſie zu dem Zwekk Ar- chimedis und zu taͤglichem Gebrauch im gemeinen Leben/ weil nehmlich ihre gefundene Zah- len ſehr weitlaͤuffig/ und durch Vervielfaͤltigung mit 1000 und 10000, wie nicht weniger durch eben dergleichen beſchwerliche Teihlungen entſtanden ſeyen/ denen man nicht leichtlich moͤge nachkommen. Worunter dann heutiges Tages zu zehlen ſind die Erzehlungen Ludo- vici von Coͤlln/ Longomontani und anderer/ davon hernach etwan ein mehrers zu reden eini- ge Gelegenheit ſich ereignen wird.

2. Jn dem Beweiß des erſten Teihls wird gleich anfaͤnglich begehret/ daß man den Winkel CEF ſoll gleich machen dem dritten Teihl eines geraden Winkels; und eben dieſes wird im Beweiß des andern Teihls von dem Winkel BAC gefordert. Hierzu waͤre nun bequem eine leichte und richtige Aufloͤſung der von denen Alten uneroͤrterten allgemeinen Aufgab/ Einen jeden gegebenen Winkel in drey gleiche Teihle zu teihlen/ welcher Clavius am End des VI. Buchs durch Huͤlfe ſeiner wunderbaren (aber nicht vollkommen. geometriſchen) Vierungs-Lini ein Genuͤgen zu thun ſich bemuͤhet/ Carteſius aber im dritten Buch ſeiner Geometrie eine voͤllige und kunſtrichtige Eroͤrterung zugeeignet hat. Weilen aber hier nicht von eines jeden/ ſondern nur von eines geraden Winkels/ Dreyteihlung geredet wird/ wollen wir ſolches viel leichter folgender Geſtalt verrichten:

Erſtlich zwar wird der Winkel CEF in der erſten Figur (die wir hier etwas vollkommener verzeich- net haben) ⅓ eines geraden Win- kels/ wann ich auf EC ein gleich- ſeitiges Dreyekk aufrichte/ als hier ECB, nach dem 1ſten des I. B. nachmals den Winkel CEB mit EF halbteihle/ nach dem 9ten ge- meldten Buchs. Dann weil der Winkel CEB iſt ⅔ eines geraden Winkels/ vermoͤg der 5ten Folge des 32ſten im I. B. CEF aber die Helfte iſt von CEB, muß nohtwendig der Winkel CEF ⅓ eines geraden Winkels ſeyn.

Gleicher Geſtalt wird in der andern Figur der Winkel BAC der dritte Teihl eines ge- raden/ wann ich auf EC abermals auſrichte ein gleichſeitiges Dreyekk CEB, und ſo dann A

und B zuſamm ziehe. Dann weil EB und EA gleich ſind/ muͤſſen auch die beyde Winkel EAB und EBA ein- ander gleich ſeyn/ vermoͤg des 5ten im I. B. Beyde dieſe Winkel zu- ſammen aber ſind gleich dem aͤuſſern Winkel CEB, welcher ⅔ eines gera- den Winkels iſt/ vermoͤg des 32ſten im I. B. und deſſen 5ten Folge. Derowegen iſt jeder aus ſolchen bey- den Winkeln (und alſo CAB) ⅓ ei- nes geraden. Leichtlich aber iſt hieraus zu ſchlieſſen/ daß der Kreißbogen BC ſey der ſechſte Teihl des Umbkreiſſes. Dann der Winkel CEB (welchen derſelbe Kreißbogen miſſet) iſt ⅔ von einem geraden Winkel/ das iſt/ \frac {2}{6} von zweyen geraden/ und folgends \frac {2}{12} oder ½ von vier ge- raden Winkeln/ oder von dem ganzen Umbkreiß.

3. Weil Scheiben-Meſſung.

3. Weil nun der Winkel CEF, in der erſten Figur iſt ⅓ eines geraden Winkels/ bey C aber ein ganzer gerader/ muß nohtwendig der Winkel CFE ⅔ eines geraden ſeyn; und daher/ wann bey hieherwarts ein anderer Winkel/ dem Winkel CEF gleich/ gemachet/ und FC un- terwerts verlaͤngert wuͤrde/ entſtuͤnde daher nohtwendig ein gleichſeitiges Dreyekk/ deſſen Helfte hier FEC fuͤrſtellet/ alſo daß FC die Helfte einer Seiten und halb ſo groß als FE iſt. Weswegen dann/ wann FE 306 zu ſeyn geſetzet wird/ FC nohtwendig 153 iſt. So man nun ferner die Vierung FC (nehmlich 23409) von der Vierung FE (von 93636) abziehet/ bleibet/ vermoͤg des 47ſten im I. B. fuͤr die Vierung EC uͤber 70227; deſſen Wurzel iſt/ auf das allernaͤchſte/ 265\frac {1}{265}, nehmlich der Halbmeſſer EC. Woraus dann nunmehr klaͤrlich erhellet/ weil EC ein wenig groͤſſer iſt als 265, FC aber eben 153, daß EC gegen FC noht- wendig eine groͤſſere Verhaͤltnis habe als 265 gegen 153, vermoͤg des 8ten im V. B.

4. Weil EC groͤſſer iſt als 571, ſo muß auch die Vierung von EC groͤſſer ſeyn als die Vierung von 571, welche iſt 326041. Folgends muͤſſen auch die beyde Vierungen von EC und GC zuſammen groͤſſer ſeyn als die beyde Vierungen von 153 und 571 (nehmlich 23409 und 326041) zuſammen/ das iſt/ als 349450. Es ſind aber die beyde Vierungen EC und GC zuſammen gleich der Vierung EG. Derowegen muß nohtwendig auch die Vierung von EG groͤſſer ſeyn als 349450, oder folgends die Wurzel jener Vierung groͤſſer als die Wurzel dieſer Zahl/ welche iſt bey nahem 591⅛.

5. Wie nun in dieſer vorhergehenden erſten Teihlung geſchloſſen worden/ ſo gehen die folgende Schluͤſſe alle miteinander auch fort/ die wir mehrerer Deutlichkeit halben ausfuͤhr- licher hier mit anfuͤgen wollen.

Nehmlich wann fuͤrs ander der Winkel GEC von der Lini EH in zwey gleiche Teihle geteihlet wird/ ſo verhaͤlt ſich (nach dem 3ten des VI.) wie GE gegen EC, alſo GH gegen HC; und zuſammgeſetzet/ wie GE ſambt EC gegen EC, alſo GC gegen HC; und verwechſelt/ wie GE ſambt EC gegen GC, alſo EC gegen HC. Es iſt aber EC (ver- moͤg des vorhergehenden Schluſſes) ein wenig groͤſſer als 571, und EG groͤſſer als 591⅛. Derowegen hat EG ſambt EC gegen GC (das iſt/ gegen 153) eine groͤſſere Verhaͤltnis als 571 ſambt 591⅛, das iſt/ als 1162⅛ gegen 153. Und folgends auch EC gegen HC eine groͤſſere Verhaͤltnis als 1162⅛ gegen 153. Daher/ wann HC 153 zu ſeyn geſetzet wird/ muß EC nohtwendig groͤſſer ſeyn als 1162⅛, und folgends auch ihre Vierung groͤſſer als die Vierung dieſer Zahl/ nehmlich als 1350534\frac {33}{64} oder ½. Folgends muͤſſen auch die beyde Vie- rungen von EC und HC zuſammen groͤſſer ſeyn als die beyde Vierungen von 1162⅛ und 153 (nehmlich 1350534\frac {33}{64} oder ½ und 23409) zuſammen/ das iſt/ als 1373943\frac {33}{64}. Es ſind aber die beyde Vierungen EC und HC zuſammen gleich der Vierung EH: dero- wegen muß nohtwendig auch die Vierung EH groͤſſer ſeyn als 1373943\frac {33}{64}, und folgends die Wurzel-Lini EH groͤſſer als die Wurzel dieſer Zahl/ welche iſt bey nahem 1172⅛. Woraus dann endlich folget/ daß EH gegen HC eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als 1172⅛ gegen 153.

Gleicher Weiſe/ wann drittens der Winkel HEC halbgeteihlet wird durch EK, ſo ver- haͤlt ſich/ wie EH gegen EC, alſo HK gegen KC; und zuſammgeſetzet/ wie EH ſambt EC gegen EC, alſo HC gegen KC; und verwechſelt/ wie EH ſambt EC gegen HC, alſo EC gegen KC. Es iſt aber EC (vermoͤg des vorhergehenden Schluſſes) groͤſſer als 1162⅛ und EH groͤſſer als 1172⅛. Derowegen hat EH ſambt eC gegen HC (das iſt/ gegen 153) eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als 1172⅛ ſambt 1162⅛, das iſt/ als 2334¼ gegen 153; und fol- gends auch ec gegen KC eine groͤſſere Verhaͤltnis als 2334¼ gegen 153. Daher wann KC geſetzet wird 153 zu ſeyn/ muß EC nohtwendig groͤſſer ſeyn als 2334¼, und folgends auch ihre Vierung groͤſſer als die Vierung dieſer Zahl/ nehmlich als 5448723\frac {1}{16}. Folgends thuͤſſen auch die beyde Vierungen von eC und kc zuſammen groͤſſer ſeyn als die beyde Vierungen von 2334¼ und 153 (nehmlich 5448723\frac {1}{16} und 23409) zuſammen/ das iſt/ als 5472132\frac {1}{16}. Es ſind aber die beyde Vierungen eC und kc zuſammen gleich der Vierung eK: derowe- gen muß nohtwendig auch die Vierung eK groͤſſer ſeyn als 5472132\frac {1}{16}, und folgends die Wurzel-Lini eK groͤſſer als die Wurzel dieſer Zahl/ welche iſt bey nahem 2339¼. Woraus dann endlich folget/ daß EK gegen KC eine groͤſſere Verhaͤltnis habe als 2339¼ gegen 153.

Alſo/ wann endlich der Winkel KeC, mit eL, wieder halbgeteihlet wird/ ſo verhaͤlt ſich abermal/ wie eK gegen ec, alſo KL gegen LC; und zuſammgeſetzet/ wie eK ſambt eC gegen eC, alſo KC gegen LC; und verwechſelt/ wie eK ſambt ec gegen KC, alſo eC gegen LC. Es iſt aber eC (vermoͤg des vorhergehenden Schluſſes) groͤſſer als 2334¼ und eK groͤſſer als 2339¼. Derowegen hat ek ſambt ec gegen KC (das iſt/ gegen 153) Y ijeine Archimedis Kreiß- und eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als 2339¼ ſambt 2334¼, das iſt/ als 4673½, gegen 153; und fol- gends auch EC gegen LC eine groͤſſere Verhaͤltnis als 4673½ gegen 153, &c.

6. Daß LC die Helfte ſey von LM, oder LM zweymal ſo groß als LC, iſt offenbar. Dann in denen beyden Dreyekken CEL und CeM, ſind die Winkel bey C gerad/ die obere zwey aber/ nehmlich CeL und CeM, einander gleich gemachet worden/ und endlich die Lini Ce gemein; Woraus unfehlbar folget/ daß auch die uͤbrige Seiten und Winkel einander gleich ſeyen/ nehmlich die Seite CL der Seite CM, und daß alſo LM zweymal ſo groß ſey als CL, vermoͤg des 26ſten im I. B.

7. Weil in dem vorhergehenden Beweiß Archimedis zum oͤfftern vonnoͤhten iſt/ daß aus einer gewiſſen Zahl die Wurzel (Radix) gezogen werde (welches/ wie es kunſtrichtig ge- ſchehe/ aus allen Rechenbuͤchern bekannt iſt;) und aber zum oͤfftern die Zahlen alſo beſchaffen ſind/ daß ihre Wurzeln ganz genau und ohne allen Mangel oder Uberreſt nicht koͤnnen gegeben werden/ dergleichen dann eben in dieſem Beweiß die meinſten ſind: als moͤchte dem kunſtlieben- den Leſer daher einiger Zweiffel entſtehen/ ob wuͤrde/ wegen Mangel ſolcher Genauheit in de- nen Zahlwurzeln/ deren ſich Archimedes in ſeinem Beweiß bedienet/ ſolcher Beweiß nicht ſo gar unfehlbar und unzweiffelig ſeyn. Solchen Zweiffel nun zu benehmen/ wollen wir zum Exempel wiederholen den/ faſt am End der 5ten Anmerkung erklaͤrten/ dritten Schluß Ar- chimedis. Nach dem daſelbſten bewieſen worden/ daß die Vierung eK groͤſſer ſey als 5472132\frac {1}{16}, ſchlieſſet er ferner/ daß auch nohtwendig die Lini eK groͤſſer ſey als die Wurzel gemeldter Zahl/ welches dann ſeine voͤllige Richtigkeit hat. Weil aber die Wurzel ſolcher Zahl nicht ganz genau und ohne Fehlerkan gegeben werden/ und Archimedes dannoch (2339¼ fuͤr ſolche Wurzel ſetzend) fortſchlieſſet/ die Lini eK ſey groͤſſer als 2339¼, moͤchte ſolches ſcheinen wider die Art eines unfehlbaren Beweißtuhms und die Geometriſche Richtigkeit zu ſeyn. Allein/ wann der goͤnſtige Leſer die Sache recht anſchauet/ wird er befinden/ daß/ ob ſchon 2339¼ nicht die eigentliche genaue Wurzel der obigen Zahl iſt/ der Schluß Archime- dis dannoch unfehlbar und gewiß ſey/ und/ ſo zu reden/ gewiſſer/ als wann er die eigentliche Wurzel haͤtte finden koͤnnen. Dann 2339¼ iſt zwar nahe bey der rechten eigentlichen Wurzel/ aber doch etwas kleiner als dieſelbe/ wie die Rechnung einem jeden leichtlich zeigen wird. Nun hat Archimedes ſchon vorher bewieſen/ daß die Lini eK groͤſſer ſey als die rechte eigentliche Wurzel obgeſetzter Zahl; daher dann eben dieſelbe Lini EK, umb ſo viel mehr und gewiſſer/ groͤſſer iſt als 2339¼, welches Archimedis Schluß iſt. Und eben dieſe Beſchaffenheit hates auch mit ſeinen andern Schluͤſſen/ in welchen er ſich dergleichen Wurzeln bedienet; daß alſo von deroſelben Gewißheit einiger Zweiffel nicht mehr uͤbrig iſt.

8. Zum Beſchluß iſt noch dieſes zu erinnern/ daß dieſe andere Betrachtung nicht allein in denen gedrukkten/ ſondern auch in denen geſchriebenen Griechiſchen Exemplaren die dritte/ hingegen unſere folgende dritte die andere in der Ordnung ſey. Weilen aber dieſe ſambt ihrem Beweiß auf jener ganz beruhet/ als haben wir dieſelben gehoͤriger maſſen verſetzet/ und dafuͤr gehalten/ es muͤſſe in denen alten Exemplaren ein Jrꝛtuhm durch des Schreibers Unachtſam- keit fuͤrgegangen ſeyn; in welcher Meinung uns dann geſtaͤrket hat ein anderer augenſcheinli- cher Fehler/ eben derſelben Exemplaren/ welche aus dem andern Teihl des obigen Beweiſes ei- nen neuen abſonderlichen Lehrſatz/ als den IV. in der Ordnung gemachet haben; Welches von Eutokio allbereit beobachtet zu ſeyn/ aus deſſelben Anmerkungen genugſam zu ſchlieſſen iſt.

Der III. Lehrſatz/ Oder Die Dritte Betrachtung.

Eine jegliche Scheibe verhaͤlt ſich gegen der Vierung ihres Durchmeſſers wie Eilfe gegen Vierzehen.

Erlaͤuterung.

Es ſey zum Exempel geſetzet eine Scheibe/ deren Durchmeſſer iſt AB, und umb dieſelbe beſchrieben die Vierung ihres Durchmeſſers CG. Soll nun be- wieſen Scheiben-Meſſung. wieſen werden/ daß die Scheibe AB gegen der Vierung CG ſich verhalte/ wie 11 gegen 14.

Beweiß.

Damit dieſes offenbar werde/ ſo verlaͤngere CD und mache DE zweymal ſo groß als CD, und ferner EF gleich dem ſiebenden Teihl von CD, alſo daß CF gegen CD, oder AB, ſich verhalte wie 3\frac {1}{7} gegen 1, oder (ſo man fuͤr AB oder CD ſetzet 7) wie 22 gegen 7. Welchem nach die Lini CF, vermoͤg des vorhergehenden II. Lehrſatzes/ dem Umbkreiß der gegebenen Scheibe/ das Dreyekk ACF aber/ Krafft des I. obigen Lehrſatzes/ der Scheibe ſelbſten gleich iſt. Nun aber/ wie CF gegen CD, alſo verhaͤlt ſich (vermoͤg des 1ſten im VI.) das Dreyekk ACF (das iſt/ die gegebene Scheibe) gegen dem Dreyekk ACD, das iſt/ gegen dem vierdten Teihl der ganzen Vierung CG, wie aus dem 34ſten des I. Buchs klaͤrlich erhellet. Derowegen verhaͤlt ſich die ge- gebene Scheibe gegen dem vierdten Teihl der Vierung CG, wie 22 gegen 7: und folgends eben dieſelbe Scheibe gegen der ganzen Vierung CG, wie 22 ge- gen viermal 7, oder gegen 28; das iſt/ wie 11 gegen 14. Welches hat ſol- len bewieſen werden.

Anmerkung.

Wann die Verhaͤltnis des Umbkreiſſes gegen ſeinem Durchmeſſer ganz genau und un- fehlbar waͤre/ wie 22 gegen 7, ſo waͤre auch erſtbeſagte Verhaͤltnis einer Scheibe gegen der Vierung ihres Durchmeſſers ganz gewiß und kunſtrichtig. Nun aber iſt/ aus dem Beweiß des vorhergehenden II. Lehrſatzes/ offenbar/ daß (ob es gleich nicht merklich) der Umbkreiß dannoch gegen ſeinem Durchmeſſer in Waarheit eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als 22 gegen 7. Woraus dann folget/ daß auch eine jede Scheibe gegen der Vierung ihres Durchmeſſers in der Waarheit eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als 11 gegen 14, ob ſchon der Fehler oder Un- terſcheid nicht merklich und daher im gemeinen Gebrauch nichts verſaͤnglich iſt. Wolte man nun auch eine andere und kleinere Verhaͤltnis finden/ und alſo die Verhaͤltnis der Scheibe ge- gen beſagter Vierung zwiſchen zwey enge Graͤnzzahlen einſchlieſſen/ wie oben Archimedes die Verhaͤltnis des Umbkreiſſes gegen dem Durchmeſſer umbſchraͤnket hat/ ſo kan man nur ſetzen/ daß CD 71, CE dreymal ſo groß als CD, und endlich EF \frac {10}{71} ſey. Dann alſo wird CF ge- gen CD oder AB (und folgends das Dreyekk ACF gegen dem Dreyekk ACD) ſich ver- halten/ wie 223 gegen 71; eben daſſelbe Dreyekk ACF aber (das iſt/ die Scheibe AB) ge- gen der Vierung CG, wie 223 gegen viermal 71, das iſt/ gegen 284. Aber dieſes beruhet wieder auf dem Satz/ daß der Umbkreiß gegen ſeinem Durchmeſſer ſich verhalte/ wie 3\frac {10}{71} ge- gen 1; Welches zwar der Begreifflichkeit nach gelten kan/ in der Waarheit aber in etwas feh- let/ ſintemal Archimedes in dem andern Teihl des vorhergehenden Lehrſatzes klaͤrlich erwie- ſen/ daß jeder Umbkreiß gegen ſeinem Durchmeſſer eine etwas groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als 3\frac {10}{71} gegen 1. Woraus dann nunmehr folget/ daß in der Waarheit auch die Scheibe gegen der Vierung ihres Durchmeſſers eine etwas groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als 223 gegen 284.

Damit aber zugleich erhelle/ wie eng und genau die Verhaͤltnis einer Scheibe gegen der Vierung ihres Durchmeſſers durch dieſe beyde gefundene Verhaͤltniſſe eingefangen und be- ſchraͤnket ſey/ ſo kan der kunſtliebende Leſer nur \frac {223}{284} von \frac {11}{14} abziehen. Dann/ ſo dieſes geſche- hen/ wird er befinden/ daß der Unterſcheid mehr nicht als \frac {2}{3976} ſey.

Y iijDurch Archimedis Kreiß- und

Durch lauter Zahlen kan obiger Beweiß folgender Geſtalt erklaͤret werden: Jm erſten Satz iſt der Durchmeſſer AB oder die Seite CD 7, der Halbmeſſer aber AC 3½, und die Lini CF 22. Daher wann ich 7 in ſich ſelbſt fuͤhre/ kommt 49 fuͤr die Vierung CG; und wann ich 22 durch 3½ vervielfaͤltige/ kommt 77, deſſen Helfte/ 38½, gibt den Jnnhalt des Dreyekkes ACF oder der Scheibe AB. Verhaͤlt ſich demnach die Scheibe AB gegen der Vierung CG, wie 38½ gegen 49, das iſt (wann ich beydes mit 7 teihle) wie 5½ gegen 7, oder (ſo ich dieſe beyde wieder verdoppele) wie 11 gegen 14.

Jm andern Satz iſt der Durchmeſſer AB oder die Seite CD, 71; der Halbmeſſer aber 35½, und die Lini CF 223. Daher/ wann ich 71 in ſich ſelbſt fuͤhre/ kommt 5041 fuͤr die Vierung CG; und wann ich 223 durch 35½ vervielfaͤltige/ kommt 7916½, deſſen Helfte/ 3958¼, gibt den Jnnhalt des Dreyekkes ACF oder der Scheibe AB. Verhaͤlt ſich demnach die Scheibe AB gegen der Vierung cG, wie 3958¼ gegen 5041, das iſt (wann ich beydes mit 4 vervielfaͤltige) wie 15833 gegen 20164; oder (ſo ich dieſe beyde wieder mit 71 teihle) wie 223 gegen 284. Welches zu beweiſen war.

Anhang des Buͤchleins Archimedis von der Kreiß- und Scheiben-Meſſung.

Zwey Dinge finden ſich an einer gegebenen/ das iſt/ ihrem Durchmeſſer nach bekannten/ Scheibe oder Kreißflaͤche/ welche zur Vollkommenheit der Meßkunſt noͤhtig/ und/ wann ſie kunſtmaͤſſig gefunden und beſtimmet werden/ in vielen Stuͤkken uͤberaus nutzlich ſind; nehmlich der Umbkreiß und die Flaͤche an ihr ſelbſten oder deroſelben Jnnhalt. Jedennoch aber iſt die Wiſſenſchafft des einen mit der Erkaͤntnis des andern ſo genau verſchweſtert und verbunden/ daß die Begierde nach beyden/ durch Erfindung des einen/ vollkommen kan vergnuͤget werden. Dann ſo der Umbkreiß einer Scheibe bekannt iſt/ kan/ nach Anleitung des obigen 1. Lehrſatzes Archimedis/ der Jnnhalt ihrer Flaͤche unfehlbar und leicht beſtimmet werden; gleich wie hingegen der bekannte Jnnhalt einer Scheibenflaͤche/ zu Erkaͤnntnis ihres Umbkreiſſes/ aus eben demſelben Grund/ unzweiffelig fuͤhret/ als wir beſſer unten klaͤrlich ſehen werden.

Und daher iſt es kommen/ daß unter denen Liebhabern dieſer Kuͤnſte von Altersher/ etli- che mit Vergleichung des Umbkreiſſes gegen einer geraden Lini/ andere mit Verwandlung der Scheibenflaͤche in eine Vierung oder anders Vielekk (welches ſie τετργωνσμὸν und Quadra- turam circuli nenneten) bemuͤhet geweſen; nach dem nehmlich einen jeden dieſes oder jenes Erfindung leichter und zu Beſtimmung des uͤbrigen bequemet geduͤnket. Beyder Abſehen aber iſt einerley geweſen/ nehmlich der hohe ſonderbare Nutz/ welcher aus dieſer Dinge Erfor- ſchung/ ſo wol in der Meßkunſt als in dem gemeinen Leben/ flieſſen und erwachſen wuͤrden. Jn Betrachtung deſſen/ wird es der Muͤhe wol werth/ und zu fernerer Belobung des ſinnreichen Archimedeiſchen Fundes nicht undienlich ſeyn/ daß wir bey dieſer Gelegenheit eine und an- dere/ ſo wol alte als neue/ Erfindung und Eroͤrterung dieſer Aufgaben mit anfuͤgen/ und dar- beneben die Nutzbarkeit derſelben in Aufloͤſung vieler anderer ſchoͤner und noͤhtiger Aufgaben dem goͤnſtigen Leſer fuͤr die Augen legen.

Das Erſte Capitel/ Welches begreiffet unterſchiedliche Wege einen Kreiß in eine gerade Lini/ oder eine Scheibe in eine Vierung oder andere Ekkflaͤche zu verwandeln.

Die jenige/ welche in kunſtrichtiger Ausmeſſung einer Kreißlini oder Schcibenflaͤche je- maln beſchaͤfftiget geweſen/ haben ſich zu ſolchem End entweder derer Zahlen und Rechnungen/ oder aber nur gewiſſer Lineen/ Zuͤge und anderer Geometriſchen Beſchreibungen bedienet.

Aus der erſten Reihe iſt nun zu foͤrderſt unſer Archimedes/ welcher durch oftwiderholte Ausziehung unterſchiedlicher Wurzelzahlen (Extractiones radicum) endlich gefunden/ daß einer jeden Scheibe Durchmeſſer gegen ſeinem Umbkreiß eine etwas groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als 1 gegen 3\frac {1}{7}, oder als 7 gegen 22, oder als 70 gegen 220; etwas kleinere aber als 1 gegen 3\frac {10}{71} oder als 71 gegen 223; durch welche beyde Graͤnzzahlen er (wie oben erklaͤret worden) die Sache ſo eng beſchraͤnket/ daß ſolche Kreißmeſſung/ ob ſie gleich nicht ganz kunſtrichtig und dem Verſtand nach unfehlbar iſt/ ohne einigen von denen ſubtilſten Sinnen begreifflichen Feh- ler ſicher kan gebrauchet werden.

Nach dem nun Archimedes alſo gleichſam das Eyß gebrochen/ haben ſich nach ihme faſt in allen Jahrhunderten etliche gefunden/ welche dieſe Verhaͤltnis des Durchmeſſers gegen ſei- nem Scheiben-Meſſung. nem Umbkreiß noch genauer zu berechnen und durch andere/ zwar weniger fehlende/ aber dar- bey viel groͤſſere und zum taͤglichen Gebrauch undienlichere/ Zahlen zu beſtimmen ſind befliſſen geweſen; unter welche dann billich gezehlet werden Apollonius Pergæus und Philo von Ga- dara, deren wir oben ſchon aus Eutokio gedacht haben/ wiewol ſolche ihre gefundene Zahlen von ihme nicht bemeldet/ und daher annoch unbekannt ſind. Naͤchſt dieſen folget Ptolomæus mit ſeiner viel ſubtilern Verhaͤltnis/ die er im VI. Buch ſeines Almageſti gefunden. Vieta iſt noch weiter gegangen. Am allerſubtileſten aber haben dieſelbe verfaſſet die zween Hollaͤnder/ Ludolph von Ceulen und Willebrord Schnellius, deren gefundene Zahlen nachmals Chriſtoph Griemberger ein Jeſuit auf die Prob geſetzet und juſt befunden hat. Damit aber der Leſer dieſe Erfindungen auf einmal fuͤr Augen habe/ wollen wir dieſelben nach der Reihe unter einander herſetzen. Verhaͤlt ſich demnach einer jeden Scheibe Durchmeſſer gegen ih- rem Umbkreiß/ nach Erfindung

Archimedis/ Wie 7 gegen 22. Oder Wie 71 gegen 223. Ptolomæi/ Wie 10, 000, 000 gegen 31, 416, 666. Vietæ/ Wie 10, 000, 000, 000 gegen 31, 415, 926, 535. Ludolphs von Ceulen/ Wie 100, 000, 000, 000, 000, 000, 000 gegen 314, 159, 265, 358, 979, 323, 846½.

Oder/ wie ſie Joh. Pellius aufgezeichnet/ noch genauer/ Wie 1. 00000, 00000, 00000, 00000, 00000, 00000, 00000 gegen 3. 14159, 26535, 89793, 23846, 26433, 83279, 50289.

So ſubtil aber dieſe Erfindungen immer ſeyn moͤgen/ ſo geben jedennoch deroſelben Ur- heber ſie nicht fuͤr ganz kunſtrichtig und unfehlbar aus; wie dann Ludolph und Schnell ausdruͤkklich bekennen/ daß dieſe allerlezte/ von ihnen gefundene Zahl etwas zu groß ſey. Und ob ſchon ſolche ihre Fehler umb ſo viel unmeklicher und unbegreifflicher ſind/ umb wieviel groͤſ- ſer die Zahlen der Verhaͤltnis gemachet werden/ ſo ſind ſie jedoch zum gemeinen und taͤgli- chem Gebrauch/ wegen der Zahlen Vielheit/ wenig nutz. Daher man dann (wann man je dieſe an ſtatt obiger Archimedeiſchen gebrauchen will) die hintern Ziffer biß auf die drey foͤr- derſten abſchneidet/ und die Verhaͤltnis des Durchmeſſers gegen dem Umbkreiß ſetzet zu ſeyn/ wie 100 gegen 314; die man dann abermals ohne einigen merklichen und begreifflichen Fehler (ſonderlich wann die Kreiſſe nicht gar groß ſind) gebrauchen kan.

Nach dieſen allen hat Chriſtianus Severini Longomontanus, derer Mathematiſchen Wiſſenſchafften Profeſſor zu Coppenhagen/ vor ohngefehr zwanzig Jahren zwey Buͤcher de vera & abſoluta circuli menſura (von der waarhaften und vollkommenen Kreiß- und Schei- ben-Meſſung) geſchrieben/ und darinnen die eigentliche und nunmehr kunſtrichtige Verhaͤlt- nis jedes Kreiſſes gegen ſeinem Durchmeſſer durch dieſe Zahlen/ \frac {3141859604427}{1000000000000}, ausgedruͤkket zu haben geruͤhmet: Welcher Ruhm aber ihme durch Johannem Pellium, damals Profeſſo- rem derer Mathematiſchen Wiſſenſchafften zu Amſterdam/ nach vieler hochgelehrter und be- ruͤhmter Mathematicorum unpartheyiſchem Urteihl/ auf einem einigen Blaͤtlein gaͤnzlich zu nichte gemachet worden.

Unter denen jenigen Erfindungen/ welche ohne Zahlen/ vermittelſt etlicher Zuͤge und Lineen einen Kreiß in eine gerade Lini zu verwandeln ſuchen (die wir aber alle hier beyzu- bringen nicht gewillet ſind) iſt abermals keine tiefſinnigere und artigere als die jenige/ welche zwar von unſerm Archimede ausdruͤkklich/ in Form und Geſtalt einer Aufgab/ nicht fuͤrge- leget worden/ aus ſeinen ſchoͤnen und ſinnreichen Betrachtungen derer Schnekken-Lineen aber unſchwer zu ſchlieſſen iſt. Dann in dem 18den Lehrſatz ſeines Buchs von denen Schnekken-Lineen beweiſet er unfehlbar und kunſtrichtig: Wann eine einfache/ durch den erſien Umblauf des Halbmeſſers AD beſchriebene/ Schnekken-Lini ABCD in ihrem Endpunct D von einer geraden Lini beruͤhrer; aus ihrem Anfangs- punct Archimedis Kreiß- und

punct A aber uͤber der Lini AD eine andere gerade ſenk- recht aufgeführet werde; daß alsdann dieſe ſenkrechte und jene beruͤhrende einander nohtwendig durchſchneiden/ und AE, das abgeſchnittene Teihl der ſenkrechten/ dem Kreiß des Halbmeſſers AD gleich ſey.

Woraus nunmehr klaͤrlich erhellet/ daß die Gleichheit einer Kreiß- und einer geraden Lini an ſich ſelbſten nicht unmoͤglich ſey/ ſondern jede Kreißlini waarhaftig und wuͤrklich eine gerade in der Natur habe/ die ihr gaͤnzlich und vollkommen gleich ſey: alſo daß nichts mehr uͤbrig iſt/ als daß ein kunſtrichtiger Weg ge- funden werde/ durch welchen eine ſolche gerade Lini moͤge beſtim- met und wuͤrklich gegeben werden. Aus erſtangezogener Be- trachtung unſers Archimedis flieſſet ohngefehr dieſe folgende Aufloͤſung:

Es ſey gegeben ein Kreiß/ deſſen Halbmeſſer AD. Soll nun eine gerade Lini gefunden werden/ welche dieſer gegebenen Kreiß- lini gleich ſey. Dieſes zu vollbringen beſchreibe man/ nach der Weiſe Archimedis (davon unten in ſeinem Buch von denen Schnekken-Lineen mit mehrerm wird gehandelt werden) aus dem Mittelpunct A die Schnekken-Lini ABCD, und ziehe durch den Punct D eine gerade Lini/ welche die Schnekken-Lini in demſelben einigen Punct beruͤhre/ richte nachmals aus A uͤber AD auf eine ſenkrechte Lini/ welche die vorige beruͤhrende durch- ſchneide in E; ſo wird AE die begehrte Lini/ das iſt/ der gegebe- nen Kreiß-Lini gleich ſeyn.

Die ganze Richtigkeit dieſer Verfahrung beruhet nun einig und allein darauf/ wie die beruͤhrende Lini DE kunſtrichtig moͤge gezogen werden; Welches dann eben der jenige Knotten iſt/ mit deſſen Entwirrung und Auf- loͤſung die Meßkuͤnſtler noch ferner hin genugſam werden zu ſchaffen haben. Dann weil die beyde Beruͤhrungs-Winkel nicht/ wie bey denen Kreißlineen/ gleich/ ſondern ungleich ſind/ nehmlich ADF ein ſtumpfer/ ADE aber ein ſpitziger/ vermoͤg des XVI. Lehrſatzes im Buch von denen Schnekken-Lineen; und aber die Groͤſſe des Winkels ADE nicht be- kannt noch beſtimmet iſt; ſo iſt auch der eigentliche Weg/ die Lini EF alſo zu ziehen/ daß ſie die gegebene Schnekken-Lini in dem gegebenen Punct D kunſtrichtig beruͤhre/ noch nicht eroͤffnet.

Rivaltus muhtmaſſet/ es koͤnnte vielleicht durch einen/ in einer Schnekken-Lini gegebenen/ Punct C eine beruͤhrende Lini FG gezogen werden/ wann man aus C zu beyden Seiten ab- ſchnitte die gleiche Boͤgen CD und CE; nachmals der unter- zogenen DE gleichlauffend machte die Lini FG. Dann alſo wuͤrden nicht nur die beyde Winkel FCA und GCA ungleich (jener nehmlich ſpitzig/ dieſer ſtumpf) werden; ſondern es ſchei- ne auch/ die krumme Lini CE weiche von der geraden CG ein- werts mehr und mehr ab/ alſo daß ſie weder mit derſelben lauffe (weil ſie ſonſten eines Teihls muͤſte gerad werden) noch auch uͤber dieſelbe hinauf ſteige; der- gleichen Beſchaffenheit es auch auf der andern Seite mit der krummen CD und der geraden CF habe. Er bekennet aber ſelbſten/ daß dieſer ſeiner Muhtmaſſung noch viele Dinge im Weg ſtehen/ als/ daß 1. die Gleichheit derer beyden Boͤgen CD und CE nicht koͤnne bewieſen wer- den/ ob ſie gleich mit gleicher Oeffnung des Cirkels ſeyen genommen worden/ 2. noch nicht be- wieſen ſey/ daß die Schnekken-Lini von der geraden CF nicht durchſchnitten werde/ 3. Wann andere zwey Boͤgen/ CH und CI mit gleicher Oeffnung des Cirkels genommen wuͤrden/ als- dann (ſo anderſt die Sache ihre Richtigkeit haben ſolte) die zwey Lineen HI und DE muͤſten gleichlauffend ſeyn/ welches aber ſchwerlich wuͤrde zu beweiſen/ oder wol gar falſch ſeyn. Wor- auf er endlich den Schluß machet/ daß dieſe Beruͤhrung ſchwerlich werde zu finden ſeyn/ gleich- wol aber werth ſey/ daß auch die ſinnreicheſten Koͤpfe in Erforſchung derſelben bemuͤhet ſeyen.

Naͤchſt dieſer Archimedeiſchen Erfindung gehoͤret hieher fuͤr allen andern die wunderbare und bey denen Alten beruͤhmte Lini Nicomedis und Dinoſtrati/ welche ſie/ eben dieſes Nu- tzens halben/ den ſie hat in Vergleichung einer Kreiß- mit einer geraden Lini/ und in Verwand- lung einer Scheibe in eine gleiche Vierung/ τετργωνίζσαν, (zu Latein/ Quadratricem, zu Teutſch/ Scheiben-Meſſung. Teutſch/ die Vierungs-Lini) genennet haben. Von dieſer Wunder-Lini haben weitlaͤuffig geſchrieben/ unter denen Alten Pappus Alexandrinus in ſeinem vierdten Buch/ aus denen Neuern Vieta, und ſonderlich Clavius am End ſeiner Anmerkungen uͤber das VI. Buch Eu- clidis. Damit aber gleichwol der Teutſche/ und anderer Sprachen unkuͤndige/ Liebhaber (zu deſſen Dienſt und Nutzen dieſes ganze Werk fuͤrnehmlich angeſehen iſt) hiervon auch einige Wiſſenſchafft haben moͤge; wollen wir die Natur und ſonderbare/ ſonderlich zu gegenwertigem Zwekk dienliche/ Eigenſchafften dieſer Vierungs-Lini etwas ausfuͤhrlicher hier mit anfuͤgen. Verhaͤlt ſich demnach die Zeichnung und Beſchreibung ſolcher Lini folgender Geſtalt:

Jnnerhalb einer Vierung ſey beſchrieben ein Viertel- kreiß BD. So nun (ſagten die Erfinder dieſer Vierungs- Lini) der Halbmeſſer AD fein gleichfoͤrmig umb den Mit- telpunct A von D gegen B beweget wird/ in dem die obere Seite der Vierung DC auch gleichfoͤrmig und mit AB ſtaͤts-gleichlauffend herunter ſteiget/ alſo daß zu einer Zeit der Punct D des Halbmeſſers AD zu dem Punct B, und die Seite DC zu der Grundlini AB gelange/ ſo wird der ſtaͤts-wehrende Durchſchnitts-Punct ſolcher beyder/ der- geſtalt bewegten/ Lineen AD und DC eine krumme oder gebogene Lini DE beſchreiben/ welche/ wegen hernachfol- gender Eigenſchafft/ die Vierungs-Lini genennet wird.

Weilen aber dieſe beyderley Bewegungen/ nach Clavii Urteihl/ kunſtrichtig nicht koͤnnen zu Werk gerichtet werden/ es ſey dann zuvor die Verhaͤltnis einer Kreißlini gegen einer geraden bekannt/ welche aber eben durch Huͤlfe dieſer Vierungs-Lini geſuchet wird; als verwirffet ſo wol Pappus als Clavius dieſe ihre Beſchreibung/ und bringet dieſer letzere eine andere auf die Bahn/ welche er zwar gerne fuͤr Geometriſch und kunſtrichtig geachtet haben moͤchte/ jedennoch aber eines und anders Orts noch mangelhaft zu ſeyn/ nicht laugnen kan. Nehmlich er teihlet den Bogen DB nach Belieben in etliche gleiche Teihle/ und ſo dann die Seite AD oder BC in eben ſo viel/ ziehet nachmals ſo wol aus A die gerade Lineen durch alle Teihle des Viertelkreiſ- ſes/ als auch durch alle Teihle der Seite AD die/ mit AB gleichlauffende Quehrlineen: und endlich wo dieſe letzere die vorigen durchſchneiden/ durch alle ſolche Durchſchnitts-Puncten heiſſet er fein gleichfoͤrmig ohne Hokker und Kruͤmme ziehen die gebogene Lini DE, welche eben die begehrte Vierungs-Lini ſeyn werde.

Dieſe ſeine Beſchreibung/ meynet Clavius/ habe eben das Recht/ unter die Geometri- ſchen und kunſtrichtigen gezehlet zu werden/ als die Kegel-Lineen (Sectiones Conicæ) weil ſie nicht weniger als dieſe durch Findung vieler Puncten/ durch welche eine ſolche Lini ſtreichet/ verrichtet wird; und zwar/ ſeinem Urteihl nach/ ohne weniger Jrꝛtuhm als die Beſchreibung gemeldter Kegel-Lineen/ welche gar viele mittlere gleichverhaltende Lineen erfordere/ deren dieſe ſeine Beſchreibung ganz nicht benoͤhtiget ſey. Allein/ wann wir die Sache mit unparteyi- ſchen Augen anſehen/ ſo fehlet es noch an einem und andern/ umb welches willen dieſe Beſchrei- bung der Vierungs-Lini mit derer Kegel-Lineen Punct-Zeichnung nicht kan verglichen wer- den. Dann (wie wir oben in unſern Anmerkungen bey dem I. Lehrſatz des II. Buchs von der Kugel und Rund-Saͤule weitlaͤuffig gelehret haben) die jenige Lineen ſind erſt fuͤr kunſtrichtig und Geometriſch anzunehmen/ deren Puncten alle mit einander ohne Unterſcheid vermittelſt ei- nes richtigen Maaſes koͤnnen beſtimmet werden/ welches dann in Beſchreibung angeregter Ke- gel-Lineen ſich richtig findet; da hingegen dieſe Zeichnung Clavii ſich deſſelben keines weges ruͤhmen kan/ als welche nur die jenige Puncten der Vierungs-Lini finden lehret/ die da/ in An- ſehung des Mittelpuncts A, dem geraden Strich nach/ auf den aͤuſſern Viertelskreiß alſo ſich hinaus erſtrekken/ daß ſie in demſelben einen ſolchen Punct betreffen/ in welchem er (der Vier- telskreiß) in zwey Teihle geteihlet wird/ deren Verhaͤltnis gegen einander bekannt und wiſſend ſey. Wann aber in erſtgemeldtem Viertels-Bogen ein Punct ohngefehr und nach Belieben/ zum Exempel in X, gegeben und darbey begehret wird den jenigen Punct der Vierungs-Lini/ welcher/ von A angerechnet/ gerad auf X zuſtreiche/ zu beſtimmen/ wird ſolches nach Clavii Weg unmoͤglich fallen/ weil die Verhaͤltnis zwiſchen denen beyden Boͤgen DX und BX nicht bekannt iſt/ und daher eine gleichverhaltende Teihlung der Seite AD nicht kan vorgenommen werden. Das uͤbrige/ was Clavius zu Beſchoͤnung ſeiner Zeichnung mit anhaͤnget/ wann es ihm alles geſtanden und zugegeben wird/ beweiſet mehr nicht/ als daß die Vierungs-Lini auf dem Papier oder einer andern Materi leichter/ netter und zu andern Mechaniſchen Wuͤrkungen dienlicher koͤnne gezogen werden/ als eine unter denen Kegel-Lineen/ wann ſie durch Puncten Zgezeich- Archimedis Kreiß- und gezeichnet und aufgeriſſen werden: Welches aber zu gegenwertigem Zwekk nichts dienet/ wie aus obangezogenen unſern Anmerkungen mit mehrern zu erſehen. Wiewol (wann man alles gar genau und ſcharf ſuchen wolte) auch dieſes dem Clavio noch nicht duͤrfte geſtanden werden/ daß ſolche ſeine Mechaniſche Zeichnung weniger irꝛſam/ als andere/ ſey/ ſintemal die Durchſchnittspuncten/ durch welche die Vierungs-Lini ſolle gezogen werden/ je laͤnger je we- niger und ungewiſſer zu erkennen und zu beſtimmen ſind/ je naͤher man herunter auf die Grund- lini AB kommet/ dieweil beyde Lineen/ vermittelſt welcher gedachte Puncten geſunden werden/ immer ſchraͤger und ſchraͤger auf einander fallen.

Das allermeiſte/ warumb dieſe Beſchreibung der Vierungs-Lini unter die Geometriſche nicht kan gerechnet werden/ iſt das jenige/ was Clavins ſelbſt nicht laugnen kan/ nehmlich/ daß der allerletzte Punct E (der doch der fuͤrnehmſte/ und/ wie wir hernachmals ſehen werden/ zu gegenwertigem Werk einig und allein noͤhtig iſt) nicht kunſtrichtig kan gefunden werden/ weil daſelbſten die beyde gerade Lineen ganz zuſammen fallen und einander ferner nicht durch- ſchneiden koͤnnen. Mechaniſch zwar lehret er ſolchen Punct E folgender maſſen finden:

Wann der unterſte Teihl AF (in obiger Figur) nicht klein genug iſt/ ſagt er/ halbiren wir denſelben ſo lang und viel/ biß endlich das lezte Teihligen (zum Exempel AG) klein genug iſt. Desgleichen/ und eben ſo oft/ halbiren wir auch den Bogen BI, alſo daß BK eben ein ſolcher Teihl iſt des ganzen Viertelbogens BD, als wie AG der ganzen Seite AD. Nachmals ziehen wir durch G eine gleichlauffende mit AB, und finden vermittelſt der Lini AK den Durchſchnitts- punct H, aller maſſen wie oben gelehret worden. Darauf verlaͤngern wir die Seiten des Vierekkes DA und CB, und machen AM und BN gleich AG; Ziehen ſo dann MN und machen in derſelben ML gleich GH. Welches wann es ge- ſchehen/ und ferner die/ biß auf H beſchriebene/ Vierungs- Lini fein gleichfoͤrmig und ſtaͤt gegen L hinaus gefuͤhret wird/ iſt der Punct E ſonder einigen merklichen Fehler beſtimmet und gefunden.

Dem andern obberuͤhrten Mangel/ wegen allzuſchraͤger Durchſchneidung und daher ent- ſtehender langer Schleiffung beyder gerader Lineen/ abzuhelfen/ zeiget Clavius einen andern und neuen Weg/ die unterſte Puncten der Vierungs-Lini genauer und richtiger zu finden/ nehmlich dieſen: Zu foͤrderſt unterziehet er dem Viertelsbogen BD ſeine Senne/ und teihlet dieſelbe bey F in zwey gleiche Teihle vermittelſt der Lini AGC, welche er ziehet durch den mittlern Punct des Bogens BD, nehmlich durch G; dann dieſe teihlet die Lini BD nohtwendig in zwey gleiche Teihle/ vermoͤg der Anmerkung Clavii bey dem 27ſten des III. B. Euclidis. Ferner machet er AH gleich AF, und halbteihlet die unterzogene Quehrlini wieder in I, welches abermal/ nach obigem Grund geſchihet/ wann der Bogen FH oder der gleichlauffende BG durch die Lini AK halbgeteihlet wird. Wiederumb machet er AL gleich AI, und teihlet die Quehrlini IL bey M in zwey gleiche Teih- le/ abermals durch Halbteihlung des Bogens BK in N. Auf gleiche Weiſe findet er einen andern Punct zwiſchen M und L, und alſo fort immer andere/ der Grundlini naͤhere/ und ſolches ohne die obige ſchraͤge Durch- ſchneidungen/ vermittelſt lauter ſenkrechter Lineen. Dann AF iſt auf FB winkelrecht/ und AI auf IH und AM auf ML, &c. vermoͤg des 3ten im III. B. Daß aber alle ſolche ge- fundene Puncten/ F, I, M, &c. waarhaftig und unfehlbar in die Vierungs-Lini fallen/ wird alſo erwieſen: So man OF, PR, QS gleichlauffend ziehet mit AB, durch die gefundene Pun- cten F, I, M, &c. verhaͤlt ſich (Krafft des 2ten im VI.) wie BF gegen FD, alſo AO gegen OD, und iſt alſo nohtwendig AD in O halbgeteihlet. Es iſt aber auch der ganze Booen BD in G halbgeteihlet. Derowegen iſt/ vermoͤg obiger Beſchreibung/ der Punct F nohtwendig in der Vierungs-Lini. Alſo/ weil FH in I halbgeteihlet worden/ iſt anch FB in R und folgends AO in P halbgeteihlet. Es iſt aber auch der Bogen BG in K halbgeteihlet. Derowegen muß der Punct I, in welchem ſich AK und PR durchſchneiden/ nohtwendig in die Vierungs-Lini fallen. Eben ſo verhaͤlt ſich die Sache mit allen andern/ auf obige Weiſe gefundenen Puncten. Und dieſes waͤre alſo mit wenigem die Beſchreibung oder Zeichnung ofterwaͤhnter Vierungslini.

Unter Scheiben-Meſſung.

Unter andern ihren wunderbahren Eigenſchafften nun iſt die jenige/ welche eben hieher gehoͤret/ nicht die geringſte: daß nehmlich/ wann ſie/ wie oben in der erſten Figur/ voͤllig be- beſchrieben iſt/ alsdann der Viertelsbogen BD, die Seite DA, und das abgeſchnittene Teihl der Grundlini AE, unzertrennt - gleichverhaltend ſind/ das iſt/ der Bogen BD gegen der Seite DA ſich verhaͤlt/ wie DA gegen AE. Welches folgender Geſtalt bewieſen wird: Wann der Bogen BD gegen der Seite DA ſich nicht verhaͤlt wie DA gegen AE, ſo muß nohtwendig BD gegen DA ſich verhal- ten wie DA gegen einer andern/ ſo entweder groͤſſer oder kleiner iſt als AE. Man ſetze erſtlich/ ſie ſey groͤſſer/ als hier AI, und beſchreibe aus A den Viertelsbogen IFK, welcher die Vierungs-Lini DE durchſchneide in F; Ziehe endlich durch F den Halbmeſſer AFG, und laſſe aus eben demſelben Punct herunter die ſenkrechte Lini FH. Dieweil nun (vermoͤg dieſes erſten Satzes) der Bogen BD gegen DA ſich verhaͤlt/ wie DA, das iſt/ AB, gegen AI; AB aber gegen AI (ein Halbmeſſer gegen dem andern) ſich ver- haͤlt wie eiu Kreiß/ oder Halbkreiß/ oder Viertelskreiß gegen

dem andern/ das iſt/ wie der Viertelskreiß BD gegen dem Viertelskreiß IK (wie aus Pappi Beweißtuhmen offenbar iſt) ſo folget/ daß der Viertelskreiß BD gegen der Lini DA ſich ver- halte/ wie eben derſelbe Viertelskreiß BD gegen dem Viertelskreiß IK, und alſo (Krafft des 9ten im V. B.) die Lini DA dem Viertelskreiß IK gleich ſey. Weil aber (vermoͤg obiger Beſchreibung der Vierungs-Lini) DA gegen LA oder FH ſich verhaͤlt wie der ganze Bo- gen DB gegen dem Bogen GB, das iſt/ wie der ganze Bogen KI gegen dem Bogen FI (ver- moͤg der 10den Worterklaͤrung im III. B.) und umbgewechſelt/ DA gegen dem Bogen KI, wie FH gegen dem Bogen FI; und aber DA dem Bogen KI gleich zu ſeyn allererſt er- wieſen worden/ muͤſte nohtwendig auch die Lini FH dem Bogen FI gleich ſeyn; Welches au- genſcheinlich ungereimt und unmoͤglich iſt/ und alſo ruͤkkwerts bezeuget die Falſchheit und Unmoͤglichkeit des obigen Satzes/ als ob der Bogen BD gegen der Seite DA ſich verhielte/ wie DA gegen einer groͤſſern als AE.

Man ſetze fuͤrs andere/ der Bogen BD verhalte ſich gegen DA, wie DA gegen einer klei- nern als AE, nehmlich gegen AI; und beſchreibe abermals den Viertelsbogen IK: richte als- dann aus I auf eine ſenkrechte Lini/ welche die Vierungs- Lini DE durchſchneide in F und ziehe AFG. Welches/ wann es geſchehen/ wird eben wie zuvor erwieſen/ daß DA dem Viertelskreiß IK gleich ſey/ und daß/ wie der Bogen BD gegen dem Bogen BG (das iſt/ der Bogen IK gegen dem Bogen IH) ſich verhaͤlt/ alſo DA gegen LA oder FI; und wechſelweis/ wie der Bogen IK gegen DA, alſo der Bogen IH gegen FI ſich verhalte: Woraus endlich folget/ daß/ weil der Bogen IK der Lini DA gleich zu ſeyn erwie- ſen worden/ auch der Bogen IH der Lini FI gleich ſey/ wel- ches abermal ungereimt und unmoͤglich iſt. Dann wann von F gegen K auch eine anruͤhrende Lini/ wie FI, gezogen

wuͤrde/ waͤren ſolche beyde beruͤhrende Lineen (vermoͤg der Anmerkung Clavii bey dem 36ſten des III. Buchs) einander gleich/ und folgends auch ihre zugehoͤrige Boͤgen HI und HM, weil die beyde Dreyekke FAI und FAM alle Seiten und Winkel einander gleich haͤt- ten. Nun aber iſt offenbar/ daß die beruͤhrende Lineen FI und FM zuſammen groͤſſer ſind als der ganze Bogen IM, nach dem III. Grundſatz unſers Archimedis in denen Buͤchern von der Kugel und Rundſaͤule; derowegen iſt nohtwendig FI groͤſſer als der halbe Bogen IH. Folget demnach/ daß auch dieſer andere Satz falſch und unmoͤglich ſey/ und der Bogen BD gegen der Seite DA ſich nicht verhalte wie DA gegen einer kleinern als AE. Er verhaͤlt ſich aber auch nicht wie DA gegen einer groͤſſern als AE, wie im vorigen Satz bewieſen worden. Derowegen verhaͤlt er ſich wie DA gegen AE ſelbſten; Welches hat ſollen bewieſen werden.

Aus dieſer alſo bewieſenen Eigenſchafft der Vierungs-Lini/ kan nun leicht eine gerade Lini gefunden werden/ welche einer gegebenen Kreißlini gleich ſey. Dann weil der Viertelskreiß BD gegen dem Halbmeſſer DA ſich verhaͤlt/ wie DA gegen AE; wird auch umbgekehrt AE gegen DA ſich verhalten/ wie DA gegen dem Viertelskreiß BD: und daher/ (ſo man machet wie AE gegen DA, alſo DA gegen einer dritten gleichverhaltenden) ſolche dritte gleichver- Z ijhaltende Archimedis Kreiß- und haltende dem Viertelkreiß BD nohtwendig gleich ſeyn. So man dieſelbe dann viermal nim- met/ iſt eine gerade Lini gefunden/ welche dem ganzen gegebenen Umbkreiß gleich iſt. Woraus der Leſer auch zugleich das jenige erſihet/ was oben ſchon in etwas angedeutet worden/ daß nehmlich zu voͤlliger Verrichtung gegenwertigen Fuͤrhabens die vollkommene Zeichnung der Vierungs-Lini keineswegs vonnoͤhten/ ſondern genug ſey/ wann der einige Puntt E gefunden und beſtimmet werde. Was aber dieſe Lini/ ſonderlich wann ſie ganz ausgezogen und vollkom- men gezeichnet wird/ ſonſten fuͤr Nutzen habe/ wollen wir (weil es hieher nicht gehoͤret) etwan bey anderer Gelegenheit auch erklaͤren.

Dieſes einige nur wollen wir noch zum Beſchluß betrachten/ was fuͤr eine Verhaͤltnis ohn- gefehr/ aus dieſer Erfindung/ habe der Umbkreiß gegen ſeinem Durchmeſſer/ oder (welches gleich viel iſt) ein Halbkreiß gegen dem Halbmeſſer; und wie nahe dieſelbe mit unſerer obigen Archimedeiſchen zutreffe. So teihle man nun in Gedanken den Viertelskreiß BD (in obiger andern Figur) in 90. gr. und jeden Grad wieder in 60. min. alſo daß der ganze Bogen in ſich begreiffe 5400 gleiche Teihligen. So wir uns dann die Seite DA in eben ſo viel gleiche Teihl zerſchnitten einbilden/ wird die allerlezte/ mit AB gleichlauffende/ von den lezten Teihligen biß an die Vierungs Lini gezogene Lini/ der unterſten Grundlini AE ohne einigen begreifflichen Fehler gleich ſeyn/ und fuͤr dieſelbe fuͤglich koͤnnen genommen werden; ſintemal in erſterwaͤhn- ter Figur die Lini GH (welche nur durch den 20ſten Teihl der Seite DA ſtreichet) dannoch von der Grundlini/ dem Augenmaaß nach/ wenig unterſchieden iſt. So wir nun ferner (der Einbildung zu Huͤlfe) ſetzen das Teihligen GA fuͤr das allerlezte unter denen 5400, in welche die Seite DA geteihlet iſt/ und BK fuͤr 1. min. des ganzen Bogens BD, endlich aus A durch E ziehen den Viertelkreiß EL; ſo wird AG die Halb-Senne (der Sinus) des Bogens EH, das iſt/ 1. min. ſeyn/ GH aber die Halb-Senne des Reſtbogens (Sinus Complementi) HL, das iſt/ 89. gr. 59. min. Daher/ wann wir den Halbmeſſer/ oder die Halb-Senne eines ganzen Viertelbogens (Sinum totum) laſſen ſeyn 10, 000, 000, muß AG nohtwendig 2909, GH aber 9, 999, 999 ſolche Teihligen in ſich begreiffen; die ganze Seite DA aber/ (weil ſie 5400 ſolche Teihligen hat wie AG) 5400 mal 2909, das iſt/ 15708600, und alſo DA gedoppelt oder zweymal genommen 31417200. Nun aber iſt DA gleich dem Viertelkreiß EL, (dann wie der Viertelkreiß BD gegen DA, alſo DA gegen AE, und eben alſo auch der Viertelkreiß EL gegen AE; welchem nach DA und der Viertelkreiß EL gleich ſeyn muͤſſen) und folgends 2 DA dem Halbkreiß von AE. Derohalben iſt nunmehr die Verhaͤltnis des Halbkreiſſes gegen ſeinem Halbmeſſer bekannt/ nehmlich wie 31, 417, 200 gegen 9, 999, 999, das iſt/ wie 3\frac {1417203}{9999999}, oder in kleinern Zahlen/ wie 3\frac {157467}{1111111} gegen 1. Welche Verhaͤltnis dann klei- ner iſt als 3\frac {1}{7} gegen 1, groͤſſer aber als 3\frac {10}{71} gegen 1. Und alſo recht zwiſchen obgewieſenen zweyen Archimedeiſchen Graͤnzzahlen (auſſer welche die waarhafte Verhaͤltnis eines Kreiſſes gegen ſeinem Durchmeſſer nicht fallen kan) beſtehet/ und eingeſchraͤnket iſt.

So haben wir nun die fuͤrnehmſte Erfindungen derer jenigen/ welche aus dem bekannten oder gegebenen Durchmeſſer einer Scheibe deroſelben Umbkreiß geſuchet/ beſehen. Jſt noch uͤbrig/ daß wir auch einen und andern Einfall/ ſonderlich etlicher Alten/ mit anfuͤgen/ welche nicht ſo ſehr umb die Groͤſſe des Umbkreiſſes/ als umb die unmittelbare Verwandlung der Scheibe ſelbſten in eine rechtliniſche Flaͤche/ ſind bemuͤhet geweſen.

Unter denen ſoll Antiphon die Vorderſtelle haben/ ob gleich ſeine Erfindung (wofern ſie nicht anders beſchaffen geweſen/ als ſie von Ariſtotele und ſeinen Auslegern beſchrieben wird) fuͤr die ſchlechteſte und plumpeſte zu halten iſt. Dann/ wie Themiſtius (einer aus gedachten Auslegern Ariſtotelis) berichtet/ hat er innerhalb einer gegeben en Scheibe/ die in eine glei-

che Vierung hat ſollen verwandelt werden/ beſchrieben ein gleichſeitiges Dreyekk/ auf jeder Seiten deſſelben ferner ein an- deres gleichfuͤſſiges/ ꝛc. in Meinung/ es muͤſte durch oftmahlige Widerholung ſolches Verfahrens endlich dahin kommen/ daß des lezten und kleineſten Dreyekkes Seiten mit ihren zugehoͤ- rigen kleinen Kreißteihligen endlich zuſammentraͤffen und gaͤnz- lich uͤbereinkaͤmen/ alſo daß das allerlezte/ durch Beſchreibung ſo vieler Dreyekke entſtehende/ Vielekk auch mit der ganzen Scheibe uͤbereintraͤffe/ und folgends derſelben gleich waͤre. Welches/ wann er es nur dem Augenmaaß und unſerer Sin- nen Begreifflichkeit nach verſtanden/ zwar etwas aber nicht viel ſubtiles iſt; Wofern er aber (wie ich doch nicht dafuͤr halte) gemeynet hierdurch eine vollkom- mene und kunſtrichtige Kreiß-Vierung gelehret zu haben/ haͤtte er wol verdienet/ von Ariſto- tele Scheiben-Meſſung. tele gepeitſchet und durchgezogen zu werden/ ſintemal zur ſelben Zeit auch denen Schulknaben bekannt geweſen/ daß auch das allerkleineſte Kreißteihligen ſeine Kruͤmme behalte und darumb mit einiger geraden Lini nicht uͤbereintreffe/ ob gleich unſern groben Sinnen bey ſolcher/ ihre Kraͤften uͤberſteigender Kleinheit/ ein anders erſcheinen moͤchte.

Naͤchſt dieſem Einfall Antiphons/ wird von der Erfindung eines Bryſons bey erſtge- dachtem Ariſtotele und deſſen Auslegern oftermahlige Meldung gethan; wiewol die unter- ſchiedliche Erklaͤrung deroſelben einen Unparteyiſchen faſt zweifflen machen ſolte/ ob Ariſtote- les mit denen ſeinigen die Meinung dieſes Bryſons recht und eigentlich verſtanden/ oder (wo ſie dieſelbe verſtanden) redlich zu Tag gegeben haben. Einmal Ariſtoteles iſt ſchon zu Por- phyry Zeiten im Verdacht geweſen/ als ob er derer Alten ihre Schrifften mit groſſem Un- koſten aus Koͤnig Alevanders Beutel/ erkauffet/ das beſte heraus genommen und fuͤr das ſeinige ausgegeben/ nachmals die Schrifften verbrennet/ und denen Laͤngſt - verſtorbenen aller- ley ungereimte Meinungen/ nach Gefallen/ zugeſchrieben habe/ damit er dieſelben deſto leich- ter habe widerlegen/ und/ zu Aufnahm ſeines eigenen Ruhms/ vernichten und durchziehen koͤnnen. Damit aber der kunſtliebende Leſer Gelegenheit habe/ ſelbſten zu urteihlen und nach- zuſinnen/ welches eigentlich die rechte Meinung dieſes Bryſons moͤchte geweſen ſeyn; ſo wol- len wir (weil dieſelbe faſt in allen dergleichen Buͤchern angezogen/ aber ſelten recht ausgefuͤhret wird) etwas weitlaͤuffiger davon handeln:

Campanus hat aus Ariſtotele dieſelbe alſo verfaſſet/ daß es ſcheinet/ Bryſon habe nicht ſo wol einen Weg gezeiget/ wie eine Scheibe in eine Vierung kunſtrichtig ſolle verwandelt werden/ als die Moͤglichkeit ſolcher Verwandlung behaupten/ und daß waarhaftig und wuͤrklich jede Scheibe eine gleiche Vierung in der Natur habe/ beweiſen wollen. Der Beweiß bezeuget es/ den ſie ihme zuſchreiben/ und der ſich ohngefehr folgender Geſtalt verhaͤlt: Nach dem er ſo wol umb als innerhalb die gegebene Scheiben eine Vierung beſchrieben/ und darneben/ als bekannt und offenbar/ geſetzet/ daß die eingeſchriebene Vierung BD kleiner/ die umb- geſchriebene HK aber groͤſſer als die gegebene Scheibe ſey; ſchlieſſet er daraus ferner/ daß aus allen Vierungen/ deren zwiſchen dieſen beyden unendlich viele enthalten ſind/ eine noht- wendig der gegebenen Scheibe gleich ſeyn muͤſſe. Der Grund- ſatz/ auf welchem dieſer ſein Schluß beruhet/ iſt/ nach Cam- pani Meinung/ entweder dieſer: Jn dem ich von dem was kleiner iſt als das gegebene/ biß zu dem was groͤſſer iſt/ und durch alle mittlere oder zwiſchenfallende/ fortgehe/ muß ich ja nohtwendig eines darunter antreffen/ welches

dem gegebenen gleich iſt. Oder dieſer: Jch kan etwas kleiners finden als das gegebene und etwas groͤſſers als eben daſſelbe; Derowegen kan ich auch etwas finden/ welches dem gegebenen gleich ſey. Beyde dieſe Grundſaͤtze/ ſo ſcheinlich ſie auch ſeyn moͤgen/ wer- den von Campano folgender maſſen umbgeſtoſſen: Man beſchreibe einen Kreiß ABC, und bilde ihm ein/ wie deſſelben Durchmeſſer AC, umb den unbeweglichen Punct A, durch D, E, F, herumbgefuͤhret werde ſo lang und viel/ biß er den Kreiß in A beruͤhre/ und mit ſeiner erſten Stellung AC einen geraden Winkel mache. Wann dieſes geſchehen/ ſo iſt (nehm- lich vermoͤg des 16den im III. B. Eucli- dis) offenbar/ daß/ ſo lange die gerade Lini AC den Kreiß durchſchneidet/ allezeit ein ſpi- tziger Winkel werde/ welcher kleiner iſt als der Winkel des Halbkreiſſes; ſo bald ſie aber aufhoͤre zu durchſchneiden/ alsbald ein gera- der Winkel entſtehe/ welcher groͤſſer iſt als

eben derſelbe Winkel des Halbkreiſſes. Weil derowegen der Durchmeſſer alle mittlere gerad- liniſche Winkel durchloffen/ und dannoch keinen angetroffen/ welcher dem Winkel des Halb- kreiſſes gleich waͤre/ erhellet nunmehr die Falſchheit des erſten Grundſatzes. Gleicher Geſtalt/ weil der gerade Winkel FAC groͤſſer iſt als der Winkel des Halbkreiſſes/ die zwiſcheneinfallen- de ſpitzige Winkel aber alle kleiner ſind/ ſo iſt klar/ daß auch der letzere Schluß falſch und un- kraͤftig ſey.

Z iijOber- Archimedis Kreiß- und

Oberwaͤhnter Themiſtius erklaͤret die Meinung Bryſons in folgenden Worten: Eine Scheibe/ ſagt er/ iſt groͤſſer als alle innerhalb ihres Umbkreiſſes beſchriebene Vielekke/ und kleiner als alle umbgeſchriebene. Jngleichen das zwiſchen inne beſchriebene Viel- ekk iſt groͤſſer als die eingeſchriebenen und kleiner als die umbgeſchriebenen. Dero- wegen muͤſſen die Scheibe und ſolches mittlere Vielekk einander gleich ſeyn. Welchem nach Bryſon nicht nur von einer moͤglichen Gleichheit eines Vielekkes und einer Scheibe ge- redet/ ſondern zugleich einen Weg angezeiget haͤtte/ ſolche Vergleichung ins Werk zu ſetzen; Welcher aber wiederumb auf zweyerley Weiſe verſtanden wird. Dann weil er eines mittlern/ zwiſchen das/ welches groͤſſer iſt als die Scheibe/ und das/ welches kleiner iſt/ fallenden/ Viel- ekkes gedenket/ verſtehen ſolches etliche von einem ſolchen/ welches recht in der Mitte zwiſchen dem innern und aͤuſſern liget uud beſchrieben wird; etliche aber von dem mittlern gleichverhal- tenden zwiſchen dem eingeſchriebenen und umbgeſchriebenen. Jener Bedunken nach iſt Bry- ſonis Meinung dieſe: Wann innerhalb der gegebenen Scheibe eine Vierung BD, und ein an- dere/ HK, auſſerhalb umb dieſelbe beſchrieben iſt/ mitten aber zwiſchen dieſe beyde noch eine Vierung EG verzeichnet wird/ alſo daß CF und FI wie auch BE und EH einander gleich ſeyen; ſo iſt ſolche gefundene Vierung EG gleich der gegebenen Scheibe. Sein Beweiß gienge nach ihrem Urteihl dahin: Weil die gegebene Scheibe groͤſſer iſt als die Vierung BD, kleiner aber als die Vierung HK; Gleicher Geſtalt die Vierung EG groͤſſer als die Vierung BD und kleiner als die Vierung HK, ſo muͤſſen nohtwendig die gegebene Scheibe und die Vie- rung EG einander gleich ſeyn: Welches dann in Waarheit ein ſchlechter Beweiß waͤre/ dieweil zwiſchen der innern und aͤuſſern Vierung nicht nur die Vierung EG, ſondern noch unzaͤhlig viel andere ſich befinden/ welche kleiner ſind als die Vierung HK, groͤſſer aber als die Vierung BD, und dergeſtalt alle miteinander der gegebenen Scheibe gleich ſeyn muͤſten. Es ſcheinet aber faſt/ ob ſey dieſer albere Schluß dem guten Bryſon aufgedrungen und mit Unrecht zuge- ſchrieben worden/ wann er anderſt den/ oben aus Campano angezogenen/ Grundſatz gehabt hat; als in welchem er genugſam bezeuget/ daß er wol gewuſt und bedacht habe/ daß zwiſchen der äuſſern und innern Vierung unzaͤhlig viel andere/ der gegebenen Scheiben ungleiche/ be- findlich ſeyen. Wolte man denn ſagen (wie etwan aus Chemiſtii Worten Gelegenheit koͤnte genommen werden) der Grund Bryſons beſtuͤnde eigentlich nicht darinnen/ daß die gegebene Scheibe groͤſſer iſt als die Vierung BD und kleiner als die Vierung HK, ſondern in einem viel allgemeinern Ausſpruch/ daß nehmlich gedachte Scheibe groͤſſer iſt als alle andere eingeſchrie- bene Vielekke/ und kleiner als alle umbgeſchriebene; ſo waͤre nachmals (wann anderſt der Schluß gut ſeyn ſolte) noch uͤbrig zu beweiſen/ daß auch die Vierung EG groͤſſer ſey als alle und jede innerhalb des Umbkreiſſes beſchriebene/ und kleiner als alle umbgeſchriebene/ Vielekke: Welches ihm aber eben ſo ſchwer/ als ſein erſtes Fuͤrnehmen/ fallen wuͤrde.

Der andern ihrem Urteihl nach beſtuͤnde Bryſons Kreiß-Vierung darauf/ daß man zwi- ſchen beyden Vierungen BD und HK, nicht eben die mittlere der Stellung oder der Lage nach/ ſondern die mittlere gleichverhaltende Vierung faͤnde/ alſo daß die eingeſchriebene Vierung BD gegen der gefundenen ſich verhielte wie die gefundene gegen der aͤuſſern umbgeſchriebenen. Allein da haͤtte Bryſon zuvor auch beweiſen muͤſſen/ daß auch die gegebene Scheibe die mitt- lere gleichverhaltende ſey zwiſchen der innern und der aͤuſſern Vierung; und muͤſte ſein obiger Beweiß dieſen Verſtand haben: Weil die gegebene Scheibe groͤſſer iſt als die Vierung BD, kleiner aber als die Vierung HK; Richt weniger die gefundene mittlere gleichverhaltende Vierung EG, auf gleiche Weiſe und in gleicher Verhaͤltnis groͤſſer iſt als die Vierung BD und kleiner als die Vierung HK, ſo muͤſſen nohtwendig die gegebene Scheibe und die Vie- rung EG einander gleich ſeyn; da dann der Schluß zwar gut/ der Nachſatz aber noch zu be- weiſen/ und eigentlich eben das jenige waͤre/ was anfaͤnglich hat ſollen bewieſen werden. Dem ſey aber wie ihm wolle/ ſo hat doch die Meinung Bryſons/ nach dieſer Erklaͤrung/ noch den allergroͤſſeſten Schein/ und iſt wol der Muͤhe werth/ daß wir ein wenig durch Zahlen verſu- chen/ wie nahe Bryſon zum Zwekk geſchoſſen/ oder wie weit er deſſelben verfehlet habe. Solches aber koͤnnen wir folgender Weiſe ausfuͤndig machen: Aus obigem III. Lehrſatz un- ſers Archimedis und unſern beygefuͤgten Anmerkungen iſt gewiß/ daß eine jede Scheibe ge- gen der Vierung ihres Durchmeſſers (als da iſt die umbgeſchriebene Vierung HK) eine et- was kleinere Verhaͤltnis habe als 11 gegen 14, und eine etwas groͤſſere als 223 gegen 284. Wann wir nun zwiſchen dieſer umbgeſchriebenen Vierung HK und zwiſchen der eingeſchrie- benen BD die mittlere gleichverhaltende ſuchen/ und nachmals beſehen was dieſelbe gegen der vorigen umbgeſchriebenen Vierung HK, das iſt/ gegen der Vierung des Durchmeſſers/ fuͤr eine Verhaͤltnis habe/ wird unſer Verlangen ſattſam vergnuͤget werden. Nun iſt bekannt aus einer Scheiben-Meſſung. einer gemeinen Anmerkung bey dem 7den oder 9ten des IV. Buchs Euclidis/ daß die aͤuſſere Vierung HK eben zweymal ſo groß ſey als die innere BD; alſo daß/ wann die Vierung des Durchmeſſers HK iſt 14, die Vierung BD nohtwendig 7, die mittlere gleichverhaltende aber ohngefehr 9\frac {17}{19}, das iſt/ etwas weniger als 10 ſeyn muß. Woraus dann nunmehr erhellet/ daß die gefundene mittlere gleichverhaltende Vierung (wann ſie auch gar 10 waͤre) gegen der Vierung des Durchmeſſers eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als 11 gegen 14. Wann ſie nun auch groͤſſer waͤre als 223 gegen 384, ſo haͤtte Bryſon faſt das Mittel zwiſchen Archimedis beyden Graͤnzzahlen getroffen/ und nahe genug zum Ziel geſchoſſen. Aber hieran wird nun eben der Mangel erſcheinen. Dann wann ich ſetze fuͤr die Vierung des Durchmeſſers HK 284, ſo iſt die Vierung BD 142, und die mittlere gleichverhaltende zwiſchen beyden etwas weniger als 201. Nun aber hat 201 gegen 284 viel eine kleinere Verhaͤltnis/ als 223 gegen 284. Woraus dann endlich erhellet/ daß Bryſons Verhaͤltnis gar zu klein ſey/ und er alſo die Vierung einer Scheibe noch nicht ſo genau als unſer Archimedes gefunden habe.

Hippocrates von Chio hat dieſe beruͤhmte Aufgab von der Kreiß- oder Scheiben- Vierung zwar ſelbſten vollkommen nicht eroͤrtert/ aber durch eine ſinnreiche Erfindung eine neue Gelegenheit zu ſolcher Eroͤrterung gegeben; zum wenigſten einige Hoffnung gemachet des jenigen/ was vorhin von vielen fuͤr unmoͤglich geachtet worden: gleich wie er auch die alte De- liſche Aufgab von Verdoppelung eines Wuͤrfels ſelbſten nicht aufgeloͤſet/ durch eine andere aber/ von Erfindung zweyer mittlern gleichverhaltenden/ denen Gelehrten/ zu fernerem Nach- denken/ ſchoͤne Gelegenheit gegeben hat/ als wir oben in der 1. Anmerkung des I. Lehrſatzes im II. Buch von der Kugel und Rund-Saͤule weitlaͤuffig geſehen haben. Bey gegenwaͤrtigem Werk verfaͤhret Hippocrates ohngefehr alſo: Erſtlich nimmt er eine Vierung nach Belieben/ als ABCD, beſchrei- bet ſo wol umb die Seite AB, als umb ihren Durchmeſſer AC einen Kreiß; Ziehet endlich EC und ſchlieſſet folgender maſſen: Dieweil die Vierung des Durchmeſſers AC zwey- mal ſo groß iſt als die Vierung von AB, vermoͤg des 47ſten im I. Buch; und aber die Kreiß oder Scheiben ſich gegen einander verhalten/ wie die Vierungen ihrer Durchmeſſer/ nach dem 2ten des XII. B. ſo folget/ daß auch die Scheibe ABCD zweymal ſo groß ſey als die Scheibe AHBE; und die Halbſcheibe AECB zweymal ſo groß als die Halbſcheibe AFBH; und folgends/ daß die Viertel Scheibe AEBG der Halbſcheibe AFBH vollkommen gleich ſey. So man nun den gemeinen Abſchnitt AFBG von beyden hinweg nimmet/

bleibet uͤbrig/ daß das Dreyekk ABE und der obere Halb-Mond (Lunula) AGBH einander vollkommen gleich ſeyen.

Dieſes iſt nun ein ſchoͤner Gedank und ein guter Anfang zum vorhabenden Werk/ welcher nicht ſchlechte Hoffnung machet zu vollkommener Erhebung deſſelben/ oder doch zum wenigſten den Wahn der Unmoͤglichkeit aufhebet/ dieweil keine Urſach erſcheinet/ warumb die krumme Halbmond Flaͤche AGBH in ein gleiches Dreyekk ABE koͤnne ver- wandelt werden/ der Abſchnitt AF BG aber/ oder der Halbkreiß (welche doch denen rechtliniſchen Flaͤchen naͤ- her und aͤhnlicher ſind) und folgends auch der ganze Kreiß keine gleiche rechtliniſche Flaͤche in der Natur ha- ben ſolle.

Naͤchſt dieſem alſo gelegten Gꝛund faͤhrt Hippocrates ſort und nimmt IK zweymal ſo groß als AB, beſchrei- bet aus deroſelben Mittelpunct L den Halbkreiß IMNK, und traͤgt auf demſelben dreymal herumb eine Seite des Sechsekkes/ welches in- nerhalb des ganzen Kreiſſes koͤnnte

beſchrieben werden/ nehmlich IM, MN, und NK, welche alle (vermoͤg der 1. Folge des 15den Archimedis Kreiß- und 15den im IV. B.) dem Halbmeſſer KL, das iſt/ dem Durchmeſſer AB gleich ſeynd; alſo daß auch alle/ umb IM, MN, und NK beſchriebene/ Halbkreiſſe nicht allein untereinander ſelbſten/ ſondern auch dem Halbkreiß des Durchmeſſers AB nohtwendig gleich ſeyn muͤſſen. Schlieſſet nachgehends hieraus alſo: Weil der Durchmeſſer IK zweymal ſo groß iſt als der Durchmeſſer AB, ſo iſt der Halbkreiß IMNK (vermoͤg des 2ten im XII. und des 20ſten im VI.) vier- mal ſo groß als der Halbkreiß von AB; das iſt/ der Halbkreiß IMNK iſt gleich allen vier Halb- kreiſſen von AB, IM, MN und NK. So man nun von dieſen beyden gleichen beyderſeits hin- weg nimmt die gemeine Abſchnitte 2, 3, und 4, wird das Vierekk IMNK gleich ſeyn denen dreyen Halbmonden ☌, ∆ und □ ſambt dem Halbkreiß von AB; das iſt/ allen vier Halbmonden ☌, ∆, □ und ∗ ſambt dem Abſchnitt 1. (Biß hieher ganz richtig und uͤnfehlbar: aber in dem folgenden ſtekket ein Fehler/ deſſen Hippocrates bißher von denen Gelehrten/ meiſtenteihls auf Ariſtotelis Angeben/ beſchuldiget worden/ und zwar mit Recht/ wann der fernere Schluß ſein iſt/ den ſie ihme zuſchreiben/ nehmlich dieſer:) Nun aber iſt oben gelehret worden/ wie man einem ſolchen Halbmond ein gleiches Dreyekk machen koͤnne. Derowegen ſo man aller vier Halbmonden gleiche Dreyekke findet und von dem Vierekk IM NK hinweg nimbt/ muß nohtwendig eine rechtliniſche Flaͤche uͤberbleiben/ welche dem Abſchnitt 1 gleich iſt; und daher/ noch dreymal zu gedachtem Vierekk geſetzet/ eine rechtliniſche Flaͤche/ und folgends auch eine Vierung mache/ welche der Halbſcheibe IMNK vollkommen gleich ſey. Woraus dann leichtlich eine andere/ der ganzen Scheiben gleiche/ Vieꝛung kan gefunden weꝛden.

Darinnen aber ſtekket der Fehler/ (wie Themiſtius und andere bemerket haben) daß Hippocrates das jenige/ was er oben nur von denen Halbmonden/ welche aus dem vierdten Teihl eines Kreiſſes und dem/ umb die Senne oder unterzogene Lini ſolches Viertelbogens be- ſchriebenen Halbkreiß beſtehen/ bewieſen hat/ hier auch auf andere Halbmonden/ welche ganz anderer Art ſind und aus dem ſechſten Teihl eines Kreiſſes/ und dem/ umb die Senne ſolches Sechsteihl-Bogens beſchriebenen Halbkreiß beſtehen/ ziehet; da doch zwiſchen dieſen und jenen ein groſſer Unterſcheid/ und ein Halbmond eines Sechsekkes allezeit groͤſſer iſt als der Halb- mond einer Vierung/ welche mit dem Sechsekk gleiche Seiten hat/ wie aus beygeſetzter Figur leichtlich zu erſehen ſeyn wird. Dann da iſt ADBE ein Halbmond der Vierung/ derer Seite

iſt AB; ACBE aber ein Halbmond des Sechs- ekkes. Daß nun dieſer groͤſſer ſey als jener/ er- hellet alſo: Wann aus dem Mittelpunct G durch den Punct I, in welchem AB halbgeteih- let iſt/ eine gerade Lini GD gezogen wird/ ſo durchſchneidet ſie die Seite AB nach rechten Winkeln/ und gehet alſo zugleich mitten durch die Vierung AH und deroſelben Mittelpunct F. Nun aber iſt FB gleich FD und GB gleich GC. Derowegen iſt GF ſambt FB (das iſt/ GD) vermoͤg des 20ſten im I. B. groͤſſer als GB, das iſt/ GC, und daher der Bogen ADB oberhalb des Bogens ACB, und fol- gends der Halbmond ADBE kleiner als der Bogen ACBE. Woraus dann nunmehr of- fenbar iſt/ daß/ ob gleich Hippocrates dem Halbmond der Vierung ADBE ein gleiches Dreyekk machen kan/ ſolches dannoch von dem Halbmond des Sechsekkes noch nicht bewieſen/ und daher ſeine Kreiß- oder Scheiben-Vierung ſo lang und viel unvollkommen ſey/ biß er ent- weder auch den kleinen Halbmond ACBD in eine rechtliniſche Flaͤche verwandele/ oder die Verhaͤltnis derer beyden Abſchnitte ACBA und ADBA gegen einander/ beweiſe und be- kannt mache.

Unter deſſen aber muß ihme gleichwol der Ruhm nicht geringer Tiefſinnigkeit vorbehal- ten werden/ in dem er die/ fuͤr und an ſich ſelbſten/ nach vieler Meinung/ unaufloͤßliche Auf- gab von der Scheiben-Vierung ſo weit gebracht/ daß deroſelben vollkommene Eroͤrterung nun- mehr auf dem einigen beruhet/ wie man eine geradliniſche Flaͤche finden moͤchte/ welche dem Halbmond eines Sechsekkes (als da iſt ACBE) gleich ſey: deſſen Moͤglichkeit dann daher faſt unzweiffelig iſt/ weil Hippocrates ſchon gefunden/ daß dem Halbmond eines Vierekkes (als da iſt ADBE, von dem vorigen der Geſtalt nach wenig unterſchieden) ein gewiſſes Drey- ekk/ wie AFB, nehmlich der vierdte Teihl des Vierekkes/ gaͤnzlich gleich ſey; die vollkommene Erkundigung aber iſt denen tiefſinnigſten Koͤpfen noch biß auf dieſe Zeit vorbehalten.

Und Scheiben-Meſſung.

Und dieſes iſt alſo das meinſte und fuͤrnehmſte/ was von denen alten Weltweiſen/ in dieſem Stuͤkk/ gleichſam erbs-weis auf uns kommen iſt. Derer heutigen und neuen Kuͤnſtler Gedan- ken und Einfaͤlle kan der kunſtliebende Leſer aus ihren eigenen Schrifften (deren Longomon- tanus allein mehr als zwoͤlferley zu unterſchiedlichen Zeiten/ von 1612 biß 1645, heraus ge- geben) erlernen/ und in ferneres Bedenken ziehen.

Das Andere Capitel/ Worinnen entworffen wird der herꝛliche Nutz und Gebrauch dieſes Buͤchleins in Eroͤrterung unterſchiedlicher ſchoͤner Aufgaben.

Was dieſe Kreiß- und Scheiben-Betrachtung in dem gemeinen Leben fuͤr groſſen Nutzen ſchaffe/ und wie viel groͤſſern ſie noch ſchaffen wuͤrde/ ſonderlich in der Meſſens-Wiſſenſchafft und anderen Kuͤnſten/ wann ſie einſten die erwuͤnſchte Vollkommenheit erreichen ſolte/ wollen wir zum Beſchluß durch eine und andere beliebige Aufgab kuͤndig machen/ und zugleich auch etliche/ aus denen vorhergehenden zwey Buͤchern verfaſſete/ mit anhaͤngen. Dann ob ſchon die meinſte aus denenſelben ſonſten hin und wieder in unterſchiedlichen Buͤchern fuͤrkommen/ ſo werden doch ſolche Baͤchlein und Ableitungen nirgend angenehmer/ als naͤchſt ihrer Quelle/ flieſſen/ vorhin in derer jenigen Augen/ welche entweder/ als Anfaͤnglinge dieſer Wiſſenſchaff- ten/ die Schwaͤrigkeit derer ſubtilen Betrachtungen und die verdrießliche Tieffe ihrer Beweiß- tuhme/ durch dergleichen ſeichte und kurze Aufloͤſungen/ zu erleichtern und zu verſuͤſſen ſuchen; oder aber/ wann ſie dieſes alles ſchon laͤngſten gewuſt haben/ dannoch die allerſinnreichſten Er- findungen fuͤr vergeblich und unannehmlich achten/ wo deroſelben nutzlicher Gebrauch ihnen nicht auf dem Fuß nachfolget.

Die 1. Aufgab.

Aus dem gegebenen Durchmeſſer einer Scheibe deroſelben Umb- kreiß finden.

Aufloͤſung.

Vervielfaͤltige den gegebenen Durchmeſſer mit 22, und was kommet/ teihle mit 7, ſo kommt etwas mehr als der begehrte Umbkreiß: Wiederumb vervielfaͤltige den gegebenen Durchmeſſer mit 223, und teihle das kommende mit 71, ſo kommt etwas zu wenig. Das Mittel nun zwiſchen beyden gefundenen Zahlen wird dem Begehren ein Genuͤgen thun. Der Beweiß iſt in obigem II. Lehrſatz Archimedis klar genug zu erſehen.

Exempel.

Des Mondes Coͤrper iſt an ſich ſelbſten zwar kuglicht und rund/ in unſern Augen aber ſcheinet er platt wie ein Teller oder eine Scheibe/ und bekraͤfftiget alſo durch die Erfahrung einen/ aus unfehlbaren Gruͤnden bewieſenen/ Lehrſatz der Seh-Kunſt (opticæ) Daß eine jede Kugel/ wann ſie von fernen geſehen wird/ fuͤr eine Scheibe angeſehen werde. Nun wird aus der Hoͤhe deſſelben uͤber unſerm Erdkreiß/ und aus der Groͤſſe des Sehe-Win- kels von denen Sternkuͤndigern gerechnet/ daß der Durchmeſſer ſolcher Mond-Scheibe/ das iſt/ die Lini/ welche mitten durch dieſelbe von einem End zum andern gezogen wird/ ohngefehr in ſich begreiffe 444 teutſche Meilen. Jſt nun die Frag/ wieviel Meilen der ganze Umbkreiß des Monden in ſich begreiffe? Setze demnach: ſo kommet 1395\frac {3}{7} fuͤr den begehrten Umbkreiß/ welches aber ein wenig zu viel iſt.

Setze nun fuͤrs andere: ſo kommet fuͤr den begehrten Umbkreiß 1394\frac {38}{71}, welches aber etwas zu wenig iſt. Wann wir A anun Archimedis Kreiß- und nun dieſe kleinere Zahl von der obigen groͤſſern/ nach denen Regeln der Rechenkunſt/ abziehen/ iſt der Unterſchied zwiſchen beyden \frac {444}{497}, deſſen Helſte \frac {222}{497} entweder von der groͤſſern Zahl ge- nommen oder zu der kleinern geſetzet/ gibt/ im Mittel/ fuͤr den begehrten Umbkreiß 1394\frac {488}{497}, das iſt/ gar nahe ohne Bruch 1395 Meilen. Wer mehrere Genauheit ſuchet/ kan ſich der groſ- ſen Zahlen Ludolphs von Ceulen/ ꝛc. die wir im Anfang des vorhergehenden Capitels an- geſetzet haben/ bedienen und die lange Weil damit vertreiben.

Die 2. Aufgab.

Aus dem bekannten Umbkreiß einer Scheibe deroſelben Durchmeſſer erkundigen.

Aufloͤſung.

Dieſe iſt der vorigen Wiederſpiel. Dann da muß man den bekannten Umbkreiß vervielfaͤl- tigen mit 7, und das kommende mit 22 teihlen/ ſo wird etwas zu wenig kommen. Wiederumb muß man eben dieſelbe Zahl des Umbkreiſſes mit 71 vervielfaͤltigen/ und das kommende mit 223 teihlen; ſo wird das Mittel zwiſchen beyden gefundenen Zahlen die Groͤſſe des begehrten Durchmeſſers anzeigen.

Exempel.

Aus gewiſſer Erfahrenheit hat man/ daß 1. grad auf dem Umbkreiß der Erden (deren er/ wie alle andere Kreiſſe/ 360 hält) 15. teutſcher Meilen in ſich begreiffe. Jſt nun die Frage/ wie groß der Erden Durchmeſſer ſey/ das iſt/ die Lini/ welche von einem End der Erden durch ihren Mittelpunct biß zum andern (zum Exempel von uns biß zu unſern Gegenfuͤſſern) gezo- gen wird. Erſtlich ſetze ich: ſo kommet 1718\frac {2}{11} fuͤr den begehrten Durchmeſſer; Welche Zahl aber etwas zu klein iſt. Setze demnach fuͤrs andere: ſo kommet fuͤr den begehrten Durchmeſſer 1719\frac {63}{71}. Welches aber etwas zu viel iſt. Der Un- terſchied zwiſchen gefundenen Zahlen iſt \frac {1332}{781}; deſſen Helfte \frac {666}{781} entweder von der groͤſſern Zahl genom̃en/ oder zu der kleinern geſetzet/ gibt/ im Mittel/ fuͤr den begehrten Durchmeſſer 1719\frac {27}{781}. Waͤre alſo der Halbmeſſer unſerer Erdkugel 859½ ſambt noch \frac {13}{781}, das iſt zuſammen 859\frac {403}{781}, das iſt nahe 860. Weswegen dann auch die Sternkundiger/ die ſich dieſes Halbmeſſers/ in dem unbegreifflich-weiten Himmels-Raum/ an ſtatt eines Maaßſtabs oder einer Elln bedie- nen/ ins gemein 860. Meilen fuͤr denſelben berechnen.

Die 3. Aufgab.

Wann ſo wol der Umbkreiß als der Durchmeſſer einer Scheibe bekannt iſt/ aus denenſelben ferner den Jnnhalt der ganzen Scheibenflaͤche berechnen.

Aufloͤſung.

Vervielfaͤltige des Umbkreiſſes Zahl mit dem vierdten Teihl des Durchmeſſers/ oder den 4ten Teihl des Umbkreiſſes mit dem ganzen Durchmeſſer/ oder den halben Umbkreiß mit dem Halbmeſſer/ ſo wird der Scheibenflaͤche Jnnhalt in gevierdten Maaſſen/ und allezeit einerley/ heraus kommen.

Beweiß.

Alle drey Wege gruͤnden ſich auf obigen I. Lehrſatz dieſes Buͤchleins/ in welchem Archime- des bewieſen/ daß die Flaͤche einer Scheiben gleich ſey einem Dreyekk/ deſſen Hoͤhe ſo groß iſt als der Halbmeſſer/ die Grundlini aber gleich dem Umbkreiß ſolcher Scheibe. Nun aber iſt be- kannt aus dem 35ſten und 41ſten des I. Buchs Euclidis (wie die Anmerkungen derer Ausleger an die Hand geben) daß eines Dreyekkes Jnnhalt heraus komme/ wann man entweder die halbe Hoͤhe (hier die Helfte des Halbmeſſers oder den vierdten Teihl des Durchmeſſers) durch die ganze Grundlini (welche hier iſt der ganze Umbkreiß der Scheibe) fuͤhret/ oder die halbe Grundlini (hier den Halbkreiß) mit der ganzen Hoͤhe (welche hier der Halbmeſſer iſt) vervielfaͤltiget; Welches dann eben das jenige iſt/ was in dem erſten und lezten obigen Weg begeh- Scheiben-Meſſung. begehret worden. Der mittlere iſt auf dieſem Neben-Satz befeſtiget/ Daß jede zwey Drey- ekke/ deren Grundlineen und Hoͤhen gegen einander eine gleiche/ aber wiederkehrliche/ Verhaͤltnis haben (alſo/ daß ſich verhalte/ wie des erſten Grundlini gegen der Grundlini des andern/ alſo/ verkehret/ die Hoͤhe des andern gegen der Hoͤhe des erſten) einander gleich ſeyen; aus welchem dann unfehlbar folget/ daß ein Dreyekk/ deſſen Hoͤhe ſo groß iſt als der ganze Durchmeſſer/ die Grundlini aber gleich dem Halbkreiß einer gegebenen Scheibe gleich ſey einem andern Dreyekk/ deſſen Hoͤhe ſo groß iſt als der Halbmeſſer/ die Grundlini aber gleich dem ganzen Umbkreiß/ das iſt/ der gegebenen Scheibe ſelbſten. Daher dann/ ſo man die ganze Hoͤhe jenes Dreyekkes (nehmlich den ganzen Durchmeſſer) mit ſeiner halben Grundlini (das iſt/ mit der Helfte des Halbkreiſſes/ oder dem vierdten Teihl des ganzen Umbkreiſſes) verviel- faͤltiget/ die Flaͤche der gegebenen Scheibe/ vermoͤg des lezten Weges/ nohtwendig kom̃en muß. Gedachter Neben-Satz aber ſambt dem 34ſten des XI. Jtem dem 9ten und 15den des XII. B. deren jeden Euclides abſonderlich bewieſen hat/ iſt wuͤrklich enthalten in dem allgemeinen Be- weiß des 16den und 17den im VI. B. den wir oben/ in der 2. Anmerkung des XVI. Lehrſatzes im I. Buch von der Kugel und Rund-Saͤule/ neben andern gegeben haben. Dann/ die Grund- lini des erſten Dreyekkes/ die Grundlini des andern/ die Hoͤhe des andern/ und endlich die Hoͤhe des erſten/ ſind vier ordentlich-gleichverhaltende. So man nun die beyde aͤuſſerſte und die bey- de mittlere durch einander fuͤhret (nehmlich des erſten Grundlini mit ſeiner Hoͤhe/ und des an- dern Grundlini mit ſeiner Hoͤhe vervielfaͤltiget) muß beyderſeits einerley heraus kommen/ und daher die Helften beyder Summen (das iſt/ beyder Dreyekke Jnnhalt) einander gleich ſeyn.

Exempel.

Es ſoll zum Exempel ein groſſer runder Scheibenplatz mit gevierdten Marmorſteinen/ deren Laͤnge und Breite 1. Schuh haͤlt/ gepflaſtert werden. Der Umbkreiß des Platzes iſt 440. Sch. und/ folgends der 2. Aufgab/ der Durchmeſſer 140. Jſt die Frage/ wie viel ſolche gevierdte Steine zu Belegung des ganzen Pla- tzes erfordert werden? Wann ich nun/ nach Anleitung obiger Aufloͤſung/ entweder den Umbkreiß mit dem vierdten Teihl des Durchmeſſers (440 mit 35) oder den vierdten Teihl des Umbkreiſſes mit dem ganzen Durchmeſſer (110 mit 140) oder den Halbkreiß mit dem Halbmeſſer (220 mit 70) vervielfaͤltige/ kommt allenthalben 15, 400 fuͤr die Zahl derer noͤhtigen Steine. Dann ob ſchon zu aͤuſſerſt bey dem Umbkreiß des Platzes die Ekken ſich meiſtenteihls verlieren/ und daher die vierekkichten Steine ſich nicht mehr ſchikken/ kan man doch dieſelbe fuͤglich alſo zerſchneiden/ daß die uͤbrige Runde bequemlich damit ausge- fuͤllet werde. Damit nicht nur der Verſtand/ ſondern auch die Augen/ eine Probe ſolcher Scheiben-Vierung vor ſich haben/ wollen wir die Sache durch ein leichteres/ aus gar kleinen Zahlen beſtehendes/ Exempel erklaͤren.

Es ſolle ein kleiner Scheibenplatz/ deſ- ſen Durchmeſſer 4, der Umbkreiß aber (vermoͤg der 1. Aufgab) 12\frac {4}{7} Schuh/ mit gevierdten Steinen/ eines Schuhes groß/ beleget werden. Jſt die Frage/ wie viel ſol- cheꝛ Steine hieꝛzu weꝛden vonnoͤhten ſeyn? Der vierdte Teihl des Durchmeſſers iſt 1, mit welchem der Umbkreiß/ nehmlich 12\frac {4}{7}, vervielfaͤltiget (wiewol eigentlich zu reden hier keine Vervielfaͤltigung ſich ereignet) bringet 12\frac {4}{7} ſolcher vierekkichten Steine/ deren jeder eines Schuhes lang und breit iſt. Daß nun mit ſo viel Steinen bemeld- ter Platz richtig koͤnne beleget werden/ iſt dem Augenmaaß nach aus beygeſetzter Fi- gur zu erſehen. Dann umb den Mittel- punct des Platzes kommen 4 ganze Stei-

ne/ und umb dieſe vier ganze wiederumb 8 halbe/ alſo daß die ganze innwendige groſſe Vierung A a ijDEFG Archimedis Kreiß- und DEFG nunmehr 8 gevierdte Steine voͤllig begreiffet/ und noch uͤbrig bleiben 4\frac {4}{7} fuͤr die uͤbrige vier gleiche Abſchnitte der Scheiben. Kommt derowegen auf einen deroſelben/ zum Exempel fuͤr die 3. Stuͤkke A, B und C noch ein ganzer Stein und \frac {1}{7}, aus welchen/ wie gemeldte 3. Stuͤkke ohngefehr koͤnnen geſchnitten werden/ das unterſte Figuͤrlein anzeiget. Das einige mittlere Teihl B wird aus etlichen kleinen Stuͤkklein zuſammen geflikket: Wolte man aber noch einen halben Stein/ an ſtatt des Siebenteihligens/ aufwenden/ ſo koͤnnte auch gemeldtes Stuͤkk B voͤllig heraus geſchnitten/ und der ganze Platz/ mit 14. Steinen zierlich uͤberleget werden.

Die andere Aufloͤſung gegenwaͤrtiger Aufgab.

Mache/ wie 14 gegen 11, alſo die Vierung des bekannten Durchmeſſers gegen der vierdten gleichverhaltenden Zahl/ welche dann eben den begehrten Jnnhalt der ganzen Scheibenflaͤche anzeigen wird. Der Beweiß kan aus obigem III. Lehrſatz unſers Archimedis erholet werden.

Exempel.

Damit man ſehe/ wie nahe dieſe beyde Aufloͤſungen zuſammen treffen/ wollen wir die vori- ge Exempel beyde behalten. Jn dem lezten iſt der Durchmeſſer des gegebenen Scheibenplatzes 4, und daher ſeine Vierung 16. Wann ich nun ſetze ſo kommt heraus 12\frac {8}{14}, das iſt \frac {4}{7} fuͤr den Jnnhalt des Platzes/ wie zuvor.

Jm erſten Exempel iſt der bekannte Durchmeſſer 140, und deſſen Vierung 19600. So ich nun ſetze

Die Urſach aber/ warumb dieſe beyde Aufloͤſungen/ ſo doch alle beyde nicht vollkommen kunſtrichtig iſt/ ſo genau und gaͤnzlich zuſammen treffen/ iſt/ weil dieſe gegenwaͤrtige Verhaͤltnis der Vierung des Durchmeſſers gegen der Scheibe (nehmlich wie 14 gegen 11) auf der Ver- haͤltnis des Durchmeſſers gegen dem Umbkreiß/ deren wir uns in obigen Exempeln bedienet/ (nehmlich wie 7 gegen 22) gaͤnzlich beruhet und gegruͤndet iſt. Daß aber beyderſeits die be- gehrte Zahlen nicht ganz richtig heraus kommen/ und wie ſie noch etwas genauer moͤgen beſtim- met werden/ kan der verſtaͤndige Leſer aus bißher geſagtem ſelbſten genugſam abnehmen.

Anmerkung.

Vermoͤg dieſer Aufgab iſt nun leicht den Coͤrperlichen Jnnhalt ſo wol eineꝛ Rund-Saͤule als eines Kegels berechnen/ wann nur der Durch- oder Halbmeſſer ihrer Grundſcheibe/ ſambt ihrer Hoͤhe bekannt iſt. Dann jener kommet/ wann die bekannte/ oder/ nach Anleitung dieſer Aufgab/ geſuchte Grundſcheibe durch die ganze Hoͤhe: dieſer aber (nehmlich der Jnnhalt eines Kegels/ das iſt/ vermoͤg des 10den im XII. Buch Euclidis/ des dritten Teihls einer gleich- hohlen und auf einer Scheibe ruhenden Rund-Saͤule) wann die Grundſcheibe durch den drit- ten Teihl der Hoͤhe/ oder die ganze Hoͤhe durch den dritten Teihl der Grundſcheibe gefuͤhret wird.

Die 4. Aufgab.

Aus dem bekannten Durch- oder Halbmeſſer einer Kugel ihre ganze aͤuſ- ſere Flaͤche berechnen.

Aufloͤſung.

Finde zu foͤrderſt den Jnnhalt der Scheibe ſolches Durchmeſſers/ nach der vorhergehenden 2. Aufgab. Und dieſer viermal genommen/ wird (vermoͤg des XXXI. Lehrſatzes im I. B. von der Kugel und Rund-Saͤule) den Jnnhalt der begehrten Kugelflaͤche geben.

Zum Exempel.

Wann eine Kugel/ deren Durchmeſſer 4. Schuh begreiffet/ mit Gold- oder Silber-Blaͤt- tern ſolte uͤberzogen werden/ waͤre die Frage/ wieviel man Blaͤtter oder Bleche/ eines Schuhes lang Scheiben-Meſſung. lang und breit/ darzu haben muͤſte? Den Jnnhalt der Scheibe ſolches Durchmeſſers haben wir in vorhergehender Aufgab gefunden 12\frac {4}{7}. Dieſe Zahl nun viermal genommen (nehmlich 48\frac {16}{7}, das iſt/ 50\frac {2}{7}) gibt den Jnnhalt der ganzen Kugelflaͤche/ oder die Zahl derer Blaͤtter oder Bleche/ mit welchen dieſelbe koͤnnte voͤllig uͤberzogen werden.

Jtem/ ſo einer aus Fuͤrwitz fragete: Wieviel wol dergleichen Blaͤtter wuͤrden vonnoͤhten ſeyn/ die ganze Erdkugel damit zu uͤberkleiden? koͤnnte derſelbe/ Krafft obiger Aufloͤſung/ leichtlich alſo vergnuͤget werden: Der Umbkreiß der ganzen Erdkugel iſt 5400 teutſcher Mei- len/ und ihr Halbmeſſer 860. Nun haͤlt aber eine gute groſſe teutſche Meil (die wir hier mit Fleiß fuͤr den kleinen und mittelmaͤſſigen erwehlen) 5000 Feld- oder Doppel-Schritt (paſsûs) oder (weil fuͤr jeden ſolchen Schritt 5. Schuh gerechnet werden) 25000 Schuh. Derowegen ſo ich obige Meilen-Zahlen mit dieſer vervielfaͤltige/ wird der ganzen Erden Umbkreiß ſeyn 135, 000, 000; Jhr Halbmeſſer aber 21, 500, 000, Schuh. Wann ich nun den halben Umb- kreiß (nehmlich 67, 500, 000) mit gedachtem Halbmeſſer vervielfaͤltige/ ſo kommen heraus 1, 451, 450, 000, 000, 000 gevierdte Schuh oder eines Schuhes lang und breite Vierungen/ mit welchen die groͤſſeſte Scheibe der Erd-Kugel (wann ſie mitten durch geſchnitten wuͤrde) koͤnnte beleget werden/ vermoͤg vorhergehender 2. Aufgab. Dieſe Zahl aber nun ferner vier- mal genommen/ gibt 5, 80 5, 800, 000, 000, 000 ſolche Vierungen/ mit welchen die ganze aͤuſ- ſere Kugelflaͤche der Erden koͤnnte uͤberkleidet werden.

Der noch genauſuͤchtigere Leſer koͤnnte ſerner ausrechnen/ wieviel Mahenkoͤrner eine eini- ge ſolche Schuh-Vierung/ und folgends die ganze Erdflaͤche/ bedekken moͤchten. Dann ein Schuh haͤlt in ſich 10 groſſe Zoll/ ein Zoll 10 Gran oder Gerſtenkoͤrner der Breite nach ge- nommen; fuͤr jedes Gran aber rechnet man ins gemein 5 Mahnkoͤrnlein; Wir aber wollen/ hernach folgender Urſachen wegen 10 dafuͤr nehmen/ alſo daß 1000 ſolche Mahnkoͤrnlein in der Laͤnge eines Schuhes neben einander ligen koͤnnten. So ich nun dieſe 1000 in ſich ſelbſt fuͤhre/ kommt heraus 1000, 000 fuͤr die Zahl aller Mahnkoͤrnlein/ welche einen einigen gevierdten Schuh bedekken koͤnnten; und folgends/ wann ich obige Zahl aller gevierdten Schuhe der ganzen Erdflaͤche mit 1000, 000 vervielfaͤltige/ das iſt/ noch ſechs Nullen zu ſelbiger Zahl ſetze/ ſo kommt 5, 805, 800, 000, 000, 000, 000, 000, fuͤr die Zahl derer Mahenkörner/ wel- che die ganze Erdkugel uͤber und uͤber bekleiden und uͤberdekken koͤnnten.

Die 5. Aufgab.

Aus obgefundenen ferner den Coͤrperlichen Jnnhalt einer Kugel er- forſchen.

Aufloͤſung.

Vervielfaͤltige die gefundene Kugelflaͤche mit dem dritten Teihl des Halbmeſſers; oder den dritten Teihl beſagter Kugelflaͤche mit dem voͤlligen Halbmeſſer/ ſo wird die herauskommende Zahl den ganzen Coͤrperlichen Jnnhalt der Kugel geben.

Beweiß.

Dann in dem XXXII. Lehrſatz des I. B. von der Kugel und Rund-Saͤule hat Archime- des bewieſen/ daß eine jede Kugel viermal ſo groß ſey als der jenige Kegel/ deſſen Grundſcheibe gleich iſt der groͤſſeſten Scheibe in der Kugel/ ſeine Hoͤhe aber ihrem Halbmeſſer. So ſind nun unfehlbar vier ſolche Kegel/ das iſt (vermoͤg des 11ten im XII. B. Euclidis) ein Kegel/ deſ- ſen Grundſcheibe viermal ſo groß als die groͤſſeſte Scheibe in der Kugel (oder eben ſo groß als die ganze aͤuſſere Flaͤche der Kugel) die Hoͤhe aber dem Halbmeſſer der Kugel gleich iſt/ der gegebenen Kugel gleich: und deswegen/ ſo ich den dritten Teihl der Hoͤhe (des Halbmeſſers) fuͤhre durch die Grundſcheibe (die ganze Kugelflaͤche;) oder den dritten Teihl der Grundſcheibe (das iſt/ gemeldter Kugelflaͤche) durch den voͤlligen Halbmeſſer/ muß nohtwendig kommen (vermoͤg der Anmerkung obiger 3. Aufgab) der Jnnhalt leztbemeldten Kegels/ das iſt/ der gegebenen Kugel.

Zum Exempel.

Die aͤuſſere Flaͤche einer Kugel/ deren Durchmeſſer 4. Schuh begreiffet/ haben wir in der vorhergehenden Aufgab befunden 50\frac {2}{7}. So wir nun den ganzen Coͤrperlichen Jnnhalt ſolcher Kugel berechnen wollen/ vervielfaͤltigen wir dieſe gefundene Kugelflaͤche mit dem dritten Teihl des Halbmeſſers/ nehmlich mit ⅔ eines Schuhes/ und bringen heraus 33 und ½ ohngefehr ſolche wuͤrf lichte Stuͤkke/ deren jedes einen Schuh lang/ breit/ und hoch iſt. Woraus erhellet/ daß/ ſo man ein ſolches wuͤrf lichtes Stuͤkk der jenigen Materi/ aus welcher die Kugel beſtehet/ ab- wiget/ der ganzen Kugel Gewicht bekannt werde; und folgends/ wann man nur das Mundloch eines Geſchuͤtzes ſihet und deſſelben Durchmeſſer oder Weite miſſet/ die Schwaͤre der Kugel/ die ſie fuͤhret/ ſehr genau koͤnne ausgerechnet und erforſchet werden.

A a iijWaͤre Archimedis Kreiß- und

Waͤre dann die Kugel hohl/ und man eichete ein ſolches wuͤrfel-ſchuhiges Gefaͤß/ koͤnte wie- derumb genau ermeſſen werden/ wieviel Maaß oder Eymer Getrankes die ganze hohle Kugel faſſen koͤnnte: Alſo daß man ſihet/ wie vielerley Nutzbarkeiten/ auch in dem gemeinen Leben/ obige Betrachtungen Archimedis an die Hand geben.

Alſo/ wann ich auch das andere obige Exempel fortſetze/ und den dritten Teihl der obge- fundenen Erdflaͤche (welche iſt 5, 805, 800, 000, 000, 000, 000, 000) nehmlich 1, 935, 266, 666, 666, 666, 666, 666, mit dem Halbmeſſer (welcher iſt 21, 500, 000 Schuh/ oder 21, 500, 000, 000 Mahenkoͤrner) vervielfaͤltige/ kommt heraus/ daß der ganze Coͤrperliche Jnn- halt der Erdkugel ſey 14, 608, 233, 333, 333, 333, 333, 319, 000, 000, 000, das iſt/ wann die ganze Erdkugel aus lauter Mahnkoͤrnern zuſammgehaͤuffet waͤre/ deroſelben nicht mehr ſeyn wuͤrden als dieſe gefundene Zahl ausdruͤkket. Geſetzet nun/ daß ein einiges Mahnkoͤrnlein 10000 Sandkoͤrnlein in ſich begriffe und die Erde noch hundertmal ſo groß waͤ- re/ ſo wuͤrden alle Sandkoͤrnlein/ die innerhalb der ganzen Erdkugel enthalten ſeyn koͤnnten/ dieſe hierbeygeſchriebene Zahl 14, 608, 233, 333, 333, 333, 333, 319, 000, 000, 000, 000, 000 nicht uͤbertreffen: Alſo daß/ ob ſchon der Sand am Meer nicht zu zaͤhlen iſt/ dannoch eine Zahl kan gegeben/ und von derſelben unfehlbar bewieſen/ werden/ daß ſie nicht allein groͤſſer ſey als die Zahl des Sandes am Meer/ ſondern als die Zahl alles Sandes/ den die ganze Erdkugel (wann ſie aus lauter Sand beſtuͤnde) in ſich faſſen moͤchte; ja auch eine ſolche Zahl/ welche die Vielheit aller Sandkoͤrnlein/ ſo die ganze Welt in ſich faſſen koͤnte/ weit uͤbertrifft; als wir unten in einem abſonderlichen Buͤchlein/ welches Archimedes von dieſer Sache geſchrieben und zu deſ- ſen leichterem Verſtand wir dieſes hier gleichſam vorſpielen wollen/ mit mehrerm erſehen werden.

Jezt wollen wir noch eine und andere Aufgab/ ſo aus denen beyden vorhergehenden Buͤ- chern koͤnnen eroͤrtert werden/ mit anhaͤngen; jedoch ohne Exempel/ damit unſer Anhang nicht allzuweitlaͤuffig werde.

Die 6. Aufgab.

Aus der bekannten Hoͤhe eines Kugelſtuͤkkes und der ganzen Kugel Halbmeſſer/ deſſelben aͤuſſere Flaͤche bekannt machen.

Aufloͤſung.

Es ſey das Kugelſtuͤkk gleich kleiner als eine Halb-Kugel/ wie ABC, oder groͤſſer/ wie ADC, ſo iſt weiter nichts vonnoͤhten/ als daß man finde die Groͤſſe der Lini/ welche aus dem Scheitel- punct des Kugelſtuͤkkes auf den Umbkreiß ſeiner Grundſcheibe herunter gezogen wird/ BA nehmlich in dem kleinern/ DA aber in dem groͤſſern Kugelſtuͤkk. Dann wann dieſe Lineen gefunden ſind/ rechnet man (nach Anleitung der 1. und 3. Aufgab) den Jnnhalt derer Scheiben/ welche von ihnen/ als Halbmeſſern koͤn- nen beſchrieben werden; und ſolcher iſt zugleich der Jnnhalt der fuͤrgegebenen Kugelſtuͤkkes-Flaͤche/ vermoͤg des XXXVIII. und XXXIX. Lehrſatzes im I. B. von der Kugel und Rundſaͤule.

Es werden aber die Lineen BA und DA, aus denen Bedingungen der Aufgab/ leichtlich gefunden. Dann/ was das kleinere Kugelſtuͤkk belanget/ ſo iſt BE, als der Halbmeſſer/ bekannt/ und die Hoͤhe des Kugelſtuͤkkes/ BF, auch bekannt; derowegen muß das uͤbrige/ EF, auch be- kannt ſeyn. Aus AE und EF nun wird AF, und dann ferner aus AF und BF die Lini BA (nach dem 41ſten des I. B. Euclidis) richtig gefunden. Alſo auch in dem groͤſſern Kugelſtuͤkk aus der gegebenen Hoͤhe DF, und der/ beſagter maſſen/ gefundenen AF, die Lini DA.

Die 7. Aufgab.

Wann die Flaͤche eines Kugelſtuͤkkes alſo gefunden iſt/ ſo dann ferner deſſelben Coͤrperlichen Jnnhalt berechnen.

Aufloͤſung.

Jn dem XL. Lehrſatz des I. Buchs von der Kugel und Rund-Saͤule/ beweiſet Archime- des/ daß der Kugelteihl AECBA gleich ſey einem Kegel/ deſſen Grundſcheibe gleich iſt der Ku- gelſtuͤkkes-Flaͤche ABC, die Hoͤhe aber gleich dem Halbmeſſer EB. Derowegen ſo man be- meldte (nach vorhergehender Aufgab gefundene) Kugelflaͤche mit dem dritten Teihl des Halb- meſſers vervielfaͤltiget/ kommt der Jnnhalt des/ unten keglichten/ Kugelteihls AECBA, nach der An- Scheiben-Meſſung. der Anmerkung obiger 3. Aufgab. So man nun den Jnnhalt des Kegels AEC (weil nicht allein die Hoͤhe/ ſondern auch der Halbmeſſer ſeiner Grundſcheibe AF bekannt iſt) durch Beyhuͤlf derer vorigen Aufgaben auch berechnet/ und von dem vorigen abziehet/ muß der Jnnhalt des Kugelſtuͤkkes AFCBA nohtwendig uͤberblei- ben. Dieſer ferner von dem (nach der 5. Aufgab gefundenen) Jnnhalt der ganzen Kugel abgezogen/ ma- chet auch bekannt die Coͤrperliche Groͤſſe des groͤſſern Kugelſtuͤkkes.

Eine andere Aufloͤſung ohne die bekante Flaͤche des Kugelſtuͤkkes.

Finde zu foͤrderſt den Jnnhalt der Grundſcheibe des Kugelſtuͤkkes AFC aus dem bekannten/ oder nach vo- riger Aufgab gefundenen/ Halbmeſſer AF, nach Anleitung der 1. und 3. Aufgab. Suche nachmals eine Lini/ welche gegen der Hoͤhe des fuͤrhabenden Kugelſtuͤkkes ſich eben ſo verhaͤlt/ wie der Kugel Halbmeſſer ſambt der Hoͤhe des andern Kugelſtuͤkkes gegen eben dieſer Hoͤhe des andern Kugelſtuͤkkes. Alsdann vervielfaͤltige den Jnnhalt der Grundſcheibe mit dem dritten Teihl ſolcher gefundenen Lini/ ſo wird der Jnnhalt des fuͤrhabenden Kugelſtuͤkkes heraus kommen. Den Beweiß kan der verſtaͤndige Leſer aus dem II. Lehrſatz des II. B. von der Kugel und Rund-Saͤule und unſerer Anmerkung bey der vorhergehenden 3. Aufgab/ ſelbſten ohne einige Muͤhe herhohlen und verfertigen.

Folge.

Aus der erſten Aufloͤſung erhellet/ daß eines jedwedern Kugelteihles/ deſſen Spitze den Mittelpunct beruͤh- ret/ oder (wie wir es Anfangs genennet) jedwedern keglichten Kugelſtuͤkkes (als AECBA) wie auch des uͤbrigen einwarts-hohlen/ AECDA. Coͤrperlicher Jnnhalt eben ſo gefunden werde/ wie der Jnnhalt einer ganzen Kugel/ nehmlich durch Vervielfaͤltigung ihrer aͤuſſern Kugelflaͤche mit dem dritten Teihl des Halbmeſſers.

Die 8. Aufgab.

Aus der bekanten Hoͤhe oder Seite einer aufrechten Rund-Saͤule und dem Durchmeſ- ſer ihrer Grundſcheibe/ deroſelben aͤuſſere Flaͤche/ ohne die Grund und Dekkelſcheibe/ wiſſend machen.

Aufloͤſung.

Suche zwiſchen der bekannten Seite und dem Durchmeſſer eine mittlere gleichverhaltende; und erfor- ſche ſo dann (nach obiger 1. und 3. Aufgab) den Jnnhalt der Scheibe/ deren Halbmeſſer ſolche mitt- lere gleichverhaltende iſt; ſo wirſt du (vermoͤg des XIII. im I. B. von der Kugel und Rund-Saͤule) die aͤuſſere Flaͤche der Rund-Saͤule ohne die Grund- und Dekkelſcheibe/ gefunden haben.

Folge.

So man nun vermittelſt des bekannten Durchmeſſers auch die Grundſcheibe ausrechnet/ und deroſelben Jnnhalt zweymal zu der vorigen Sum̃a ſetzet/ kom̃t die ganze aͤuſſere Flaͤche der Rundſaͤule vollkom̃en heraus.

Die 9. Aufgab.

Aus der bekanten Seiten eines gleichſeitigen Kegels/ und dem Halbmeſſer ſeiner Grundſcheibe/ deſſen aͤuſſere Flaͤche/ ohne die Grundſcheibe/ erlernen.

Aufloͤſung.

Dieſe iſt der vorigen ganz aͤhnlich/ nur daß hier von dem Halbmeſſer/ dort aber von dem ganzen Durchmeſſer geredet wird. Nehmlich zwiſchen der bekannten Seite und dem gegebenen Halbmeſſer muß man die mittlere gleichverhaltende ſuchen/ und deroſelben (als eines Halbmeſſers) ihre Scheibenflaͤche ausrechnen/ ſo iſt dem Begehren ein Genuͤgen geſchehen; vermoͤg des XIV. Lehrſatzes im I. B. von der Kugel und Rundſaͤule.

Anderſt.

Finde zu foͤrderſt den Jnnhalt der Grundſcheibe aus dem gegebenen Halbmeſſer/ nach obiger 1. und 3. Aufgab. Darnach mache/ wie der Halbmeſſer gegen der bekannten Seiten/ alſo der Grundſcheiben Jnnhalt gegen einem vierdten/ ſo wird dieſes vierdte der begehrte Jnnhalt der Kegelflaͤche ſeyn. Der Grund iſt klaͤrlich genug enthalten in dem XV. Lehrſatz des I. B. von der Kugel und Rund-Saͤule.

Die 10. Aufgab.

Wann die Kegelflache dergeſtalt gefunden worden/ alsdann ferner/ vermittelſt deſ- ſelben/ des Kegels Coͤrperlichen Jnnhalt ausrechnen.

Aufloͤſung.

Die gemeine Art/ eines Kegels Jnnhalt zu finden/ haben wir oben in der Anmerkung der 3. Aufgab be- ruͤhret. Hier wollen wir einen andern Weg weiſen/ der aus unſers Archimedis Erfindungen herruͤhret/ nehm- lich dieſen: Wann/ zum Exempel/ des Kegels ABC ſeine Seite BC ſambt dem Halbmeſſer DC bekannt/ und aus dieſen (vermoͤg vorhergehender Aufgab) die Kegelflaͤche gefunden iſt/ ſo ſuche zu foͤrderſt (nach Anleitung des 47ſten im I. B. Euclidis) aus denen beyden bekannten Lineen BC und DC die Hoͤhe BD. Folgends mache/ wie BC gegen DC, alſo BD gegen einer vierdten/ zum Exempel DE. Vervielfaͤltige endlich die gefundene Kegelflaͤche mit dem dritten Teihl der gefundenen Lini DE; ſo wird das begehrte vollbracht ſeyn.

Beweiß.

Die ganze Sache beruhet auf dem/ was Archimedes im XVII. Lehrſatz des I. B. von der Kugel und Rund-Saͤule bewieſen; daß nehmlich ein Kegel/ deſſen

Grundſcheibe gleich iſt der Flaͤche des gegebenen Kegels ABC, ſeine Hoͤhe aber gleich der Lini DE, welche aus dem Mittelpunct D auf die Seite BC ſenkrecht faͤllet (und deſſen Jnnhalt alſo/ vermoͤg des gemeinen Wegs durch Vervielfaͤltigung der gegebenen Kegelflaͤche ABC mit dem dritten Teihl von DE, erforſchet wird) gleich ſey dem Archimedis Kreiß- und Scheiben-Meſſung. ſey dem Kegel ABC. Nun aber iſt die ſenkrechte Lini DE (vermoͤg des 8ten im VI. B. Euclidis) die vierdte gleichverhaltende zu BC, CD und BD. Derowegen iſt zu Erkundigung des Coͤrperlichen Jnnhalts gegen- waͤrtigen Kegels ABC mehr nicht vonnoͤhten/ als daß man die Lini DE finde/ und ihren dritten Teihl durch die vorhin gefundene Kegelflaͤche fuͤhre.

Folge.

Weil ein Kegel der dritte Teihl iſt einer Rund-Saͤule/ welche mit ihm einerley Hoͤhe und Grundſcheibe hat (vermoͤg des 10den im XII. B.) wird der verſtaͤndige Leſer leichtlich ſelbſten urteihlen/ wie auf gleiche Weiſe jeder Rund-Saͤule Coͤrperlicher Jnnhalt koͤnne gefunden werden.

Die 11. Aufgab.

Wann eines gleichſeitigen Kegel-Rumpfes (Trunci) Seite AB, ſambt beyden Halbmeſſern derer gleichlauffenden Grund- und Dekkel-Scheiben/ AF und BG, bekannt iſt/ deſſelben aͤuͤſſere Kegelflaͤche beſtimmen.

Aufloͤſung.

Suche zwiſchen der bekannten Seite AB und beyden Halbmeffern AF und BG zuſam̃en (als einer Lini) eine mittlere gleichverhaltende; und dann ferner den Jnnhalt einer Scheibe/ deren Halbmeſſer dieſe mittlere gleichverhaltende iſt/ nach der 1. und 3. Aufgab. Was kommet/ wird (vermoͤg des XVI. Lehrſatzes im I. B. von der Kugel und Rund-Saͤule) der fuͤrgegebenen Stumpf-Kegel- flaͤche Jnnhalt ſeyn.

Die 12. Aufgab.

Aus beyden bekannten Seiten (AB und AD) eines beyderſeits gleichſeitigen Doppel- Kegels (ABCD) und dem gegebenen Halbmeſſer der gemeinen Grundſcheiben (AE) den Coͤrperlichen Jnnhalt des Doppel Kegels ausrechnen.

Aufloͤſung.

Sonſten iſt der gemeine Weg/ die Summ oder den Reſt zweyer/ auf einer Grundſcheibe ſtehender/ Kegel (als hier ABC und ADC) zu finden/ wann man die gemeine Grundſcheibe AC durch ⅓ der Lini BD (welche iſt die Summ oder der Reſt beyder Hoͤhen) fuͤhret. Hier aber wollen wir einen andern Weg/ aus obigen Beweißtuhmen unſers Ar- chimedis/ anzeigen/ nehmlich dieſen: Suche zu foͤrderſt (nach Anlei- tung des 47ſten im I. B. Euclidis) aus beyden gegebenen Lineen AB und AE die Hoͤhe BE; Jtem aus AD und AE die Hoͤhe DE. Nach- mals finde (nach vorhergehender 9. Aufgab) die aͤuſſere Flaͤche des Kegels ABC. Mache ſo dann/ wie AB gegen AE, alſo BD gegen einer vierdten DF, und vervielfaͤltige endlich den gefundenen Jnnhalt der Kegelflaͤche ABC mit dem dritten Teihl der Lini DF; ſo wird dem Be- gehren ein Genuͤgen geſchehen ſeyn.

Beweiß.

Die ganze Sache beruhet auf dem XVIII. Lehrſatz des I. B. Archimedis von der Kugel und Rundſaͤule; und kan der Beweiß/ nach Anleitung deſſen/ den wir bey der 10. Aufgab gegeben haben/ von dem verſtaͤndigen Leſer ſelbſten leichtlich vollfuͤhret werden.

1. Folge.

Gleicher Weiſe wird aus dem XIX. und XX. Lehrſatz des I. B. von der Kugel und Rund- Saͤule erhellen/ daß/ wann der Doppel-Kegel EBFD entweder aus einem einfachen Kegel ABC, oder von der Sum̃ zweyer Kegel ABCD, oder von dem Reſt zweyer Kegel ABCDA, hin- weg genommen wird/ alsdann des uͤbrigen Stuͤkkes AEDFCD Coͤrperlicher Jnnhalt gefunden werde durch Vervielfaͤltigung der Ke- gelflaͤche AEFC mit dem dritten Teihl der ſenk- rechten Lini DG.

2. Folge.

Endlich/ wie ſo wol die ganze aͤuſſere Flaͤche als auch der Coͤrperliche Jnnhalt der/ in oder umb eine Kugel beſchriebenen/ Figur/ von wel- cher Archimedes im XXIII, XXIV, und folgenden Lehrſaͤtzen des I. B. von der Kugel und Rundſaͤule weit- laͤuffig handelt/ moͤge ausgerechnet werden/ wird der verſtaͤndige Leſer aus bißhergeſagtem/ und mit Beyhuͤlf erwaͤhnter Lehrſaͤtze ſelbſten leichtlich finden; ſintemal die ganze Figur aus lauter Kegeln/ Doppel-Kegeln und Kegel-Ruͤmpfen/ ꝛc. beſtehet.

Beſchluß.

Wir muͤſſen einſten ſchlieſſen/ und was etwan hierbey noch koͤnte angemerket werden/ auf andere Gelegen- heit verſparen/ damit das Werk nicht allzuweitlaͤuffig/ und dem kunſtliebenden Leſer/ etwan der Unkoſten hal- ben/ zu wider werde: dieweilen die noch hinterſtellige Buͤcher das Werk ohne das ziemlich vergroͤſſern werden. So ſey demnach dieſes mit GOtt das Ende des Buͤchleins Archimedis von der Kreiß- und Scheiben Meſſung.

Archimedis Zwey Buͤther Von derer Ebenen Flächen Gleichwichtigkeit und Schwaͤre-Puncten.

Die Haupt-Lehren beyder Buͤcher.

Der XIV. Lehrſatz des I. Buchs. Der Punct wo 2 und 1 ſich in dem Durchſchnitt trennen/ Macht jedes Dreyekk recht/ und waaggleich inne ſtehn:

Der VIII. Lehrſatz des II. Buchs. Man ſoll den Schwaͤre-Punct in der Parabel nennen Den/ wo 3 oben/ 2, von fuͤnfen/ unten gehn.

Vorrede/ Oder Zu folgender Buͤcher Verſtaͤndniß nohtwendige Vor- betrachtungen/ von denen ſo genannten Kegel-Lineen.

NAechſt denen vollkommenen Kreiß-Zuͤgen haben die alte Meßkuͤnſtler gefunden und betrachtet unterſchiedliche Arten anderer krummer Lineen; ſonderlich aber drey deroſelben durch gewiſſe Zerſchneidung eines Kegels gleichſam erzeuget/ und dannenhero auch deroſelben Eigenſchafften aus Betrachtung ſolcher Coͤrperlichen Figuren hergeleitet.

Ob nun aber ſchon eines Kegels Durchſchnitt auf vielerley Weiſe geſchehen kunnte/ ſo hat ihnen doch beliebet/ den jenigen zu foͤrderſt zu betrachten/ welcher durch eine Seite eines ge-

gebenen Kegels ſenkrecht/ oder nach einem geraden Winkel geſchahe; zum Exempel/ in dem Kegel abc, nach der Lini de, welche auf die Seite ab ſenkrecht gezogen iſt.

Wann nun ein gegebener Kegel beſagter maſſen durchſchnitten wurde/ bezeichnete ſolcher Durchſchnitt auf des Kegels aͤuſſerer Flaͤche eine krumme Lini gdf, innerhalb des Kegels aber eine/ von ſolcher Lini beſchraͤnkte/ Flaͤche gdfeg; Weswegen ſie dann auch ſo wol die Flaͤche als die begreiffende Lini mit einerley Nahmen zu belegen und einen Kegelſchnitt zu nennen pfleg- ten. Und zwar/ wann die gegen einander uͤber ſtehende Seiten des Kegels abc bey b einen geraden Winkel macheten (wie in der 1. Figur) muſte gdf eines rechtwinklichten/ im widrigen Fall eines ſtumpfwinklichten (wie bey 2) oder (wie bey 3) eines ſpitzwinklichten Kegels Durch- ſchnitt/ Unterſchieds halben/ geheiſſen ſeyn.

Wie aber in vielen andern Stuͤkken/ alſo in dieſem ſonderlich waren bemeldte dreyerley Kegelſchnitte von einander unterſchieden/ daß der Durchmeſſer de in dem rechtwinklichten mit der gegen uͤber ſtehenden Seite bc gleichlauffend war; in dem ſtumpfwinklichten aber (wann ſie beyde verlaͤngert wurden) oberhalb der Spitze b, und in dem ſpitzwinklichten unter- werts/ gegen der Grundlini ac, zuſammen lieffen. Dann der Winkel ade iſt/ vermoͤg be- ſagtens/ allenhalben gerad: Weil nun in der erſten Figur der Winkel abc auch gerad iſt/ ſo muͤſſen bc und de (Krafft des 28ſten im I. B.) nohtwendig gleichlauffen; Hingegen weil in der 2. Figur der Winkel bey b ſtumpf iſt/ und alſo die beyde Winkel bde und dbc mehr/ die beyde ubrige aber hbd und hdb weniger als zwey gerade Winkel ſind; ſo muͤſſen de und bc nohtwendig aufwerts (in der dritten Figur aber wegen gleicher Urſachen unterwerts) zu- ſammen lauffen/ vermoͤg des 13den Grundſatzes im I. B. Euclidis.

Dieſes Unterſcheides Betrachtug hat hernachmals denen folgenden Kuͤnſtlern Anlaß ge- geben/ ſolche drey unterſchiedliche Lineen und Flaͤchen/ welche die Alten durch ihre ſenkrechte Zerſchneidung dreyerley unterſchiedlicher Kegel erzielet/ alle zugleich in einem jeglichen (es bey gleich recht- ſpitz- oder ſtumpfwinklichten) Kegel/ vermoͤg anderer/ nicht ſenkrechter/ ſon- B b ijdern dern ſchraͤger/ Durchſchnitte herfuͤr zu bringen; in dem ſie nehmlich jeden gegebenen Kegel abc nach einer Seite ab alſo durchſchnitten/ daß die Lini des Durchſchnittes de mit der

andern Seite bc entweder gleich- oder oberhalb b, oder unterhalb b zuſammen/ gelauffen/ und alſo obangeregte dreyerley Lineen und Flaͤchen entſtanden ſind; Deren un- terſchiedliche Eigenſchafften ſie alsdann ferner aus tieffen Gruͤnden und vielerley Zuſammenſetzungen derer Verhaͤlt- niſſen/ hergeleitet und bewieſen haben.

Weilen aber eben dieſe Beweißtuhme oftermals ſehr ſchwaͤr und dunkel waren; uͤber dieſes auch der natuͤrlichen Ordnung zu wider ſchiene/ daß ſolcher Lineen Urſprung aus Coͤrperlichen Figuren hetgeholet/ und ſie von daraus erſtauf die Flaͤchen uͤbergetragen werden ſollen: als haben etliche derer neueſten Kuͤnſtler durch fleiſſiges Nachſuchen endlich befunden/ daß nicht allein bißher-beruͤhrte/ ſon- dern auch alle andere Arten derer krummen Lineen auf unzaͤhlige Weiſe auf einer Ebene be- ſchrieben/ und aus ſolcher Beſchreibung deroſelben Eigenſchafften viel leichter/ als aus Durch- ſchneidung derer Coͤrperlichen Figuren/ bewieſen werden koͤnnen; wie dann deſſen Herꝛ Jo- hannes de Witt, vornehmer Raht und Penſionarius in Holl- und Weſt-Frießland in ſeinen Elementis curvarum linearum eine ſonderbare und verwunderliche Prob gewieſen hat.

Wann ſich dann in denen folgenden Buͤchern unſer Archimedes zum oͤfteſten auf beſag- ter krummen Lineen Eigenſchafften beruffet/ ſo wollen wir (damit der Leſer nicht immerfort/ gemeiner Gewohnheit nach/ auf des Apollonii ſchwaͤre und weitlaͤuffige Beweißtuhme/ die man auch nicht allzeit zur Hand hat/ muͤſſe gewieſen werden; und zugleich auch ſolche neue Er- findungen in etwas bekannt werden moͤgen) nach Anleitung hochgedachten vornehmen Man- nes/ die noͤhtigſten und fuͤrnehmſten in etlichen Betrachtungen fuͤr Augen ſtellen. Sey dem- nach/ ohne ferneren Umbſchweif/

Die Erſte Betrachtung.

Wann durch eine unbeweglich-bleibende Lini (ef) eine andere beweg- liche (hg) mit einem von ihren Puncten (als h) ſtaͤtigs alſo fortgehet/ daß ſie ihr ſelbſten allezeit gleichſtehend bleibet/ und zugleich eines geradliniſchen Winkels (hbg, ſo da dem Winkel ghf, welchen die bewegliche und unbe- wegliche Lini/ nach eben derſelben Seite/ miteinander machen/ gleich/ und umb den Punct b, als ſeine Spitze/ beweglich iſt) einen/ allezeit durch den beweglichen Punct (h) ſtreichenden/ Schenkel mit ſich fort fuͤhret; den an- dern Schenkel (bg) aber ſtaͤtigs durchſchneidet/ biß endlich die bewegliche Lini (hg) durch des beweglichen Winkels Spitze (b) ſtreichet [und alſo bh wie bd, bg wie bc, das iſt/ pg wie ac, ſtehet/ und hg mit dk uͤberein- kommet/ welches dann bemeldter Lineen erſter und fuͤrnehmſter Stand heiſſen ſoll;] ſo beſchreibet der Punct des Durchſchnitts (g) durch ſeinen Lauff eine krumme Lini (gb, &c.) welche [nach dem erſten Stand ihrer obbemeldter Beſchreibungs-Lineen betrachtet] dieſe Eigenſchafft hat: daß die Vierung einer jeden/ aus jedem beliebigen Punct ſolcher krummen Lini (zum Exempel/ aus g) auf die bewegliche (dk) mit dem durchſchnei- denden Schenkel des beweglichen Winkels (das iſt/ mit ac) gleichlauffend- gezogenen Lini (gk) allezeit gleich iſt dem Rechtekke/ welches gemachet wird von der Zwiſchenweite des beweglichen Punctes und des Winkels Spitze (nehmlich von db) und dem Teihl der beweglichen Lini/ ſo zwi- ſchen bemeldter Winkels-Spitze und der neugezogenen Lini enthalten iſt (nehmlich bk.)

Beweiß.

Mit einem Wort iſt zu beweiſen/ daß die Vierung von gk gleich ſey dem Rechtekk aus db in bk.

Dann/ wann ſo wol der bewegliche Winkel als die bewegliche Lini allerſeits in dem jeni- gen Stand ſich befinden/ in welchem ſie geweſen/ als vermittelſt ihres Durchſchnittes der Punct g beſchrieben worden/ nehmlich in hbg und hig; und dann der bewegliche Winkel hbg und der/ welchen hg mit ef auf eben derſelben rechten Seite machet (nehmlich ghf) beyde gerad ſind/ wie in der I. F. (da dann auch die beyde uͤbrige zur linken Hand/ nehmlich ghe und hbp gerade Winkel ſind) ſo folget alſobald (vermoͤg der 1. Folge des 8ten im VI. Buch Euclidis) daß/ wie hi gegen ib, alſo ib gegen ig, das iſt (nach dem 34ſten des I. B.) wie db gegen gk, alſo gk gegen bk ſich verhalte; und dannenhero (vermoͤg des 17den im VI. B.) die Vierung von gk dem Rechtekk aus db in bk gleich ſey.

Wann aber gedachte gleiche Winkel hbg und ghf (das iſt/ in dem erſten Stand dbc und bdf) ſpitzig/ und folgends die beyde uͤbrige/ auch gleiche/ abd und edb, ſtumpf; oder umbgekehrt/ jene ſtumpf und dieſe ſpitzig ſind/ (wie in denen uͤbrigen Figuren) ſo muͤſſen ac und ef einander durchſchneiden auf der Seite/ wo die beyde ſpitzigen Winkel ſind/ nach dem 13den Grundſatz des I. B. Und ſolcher Durchſchnitt geſchehe in dem Punct l.

Dieweil dann nun ſo wol die Winkel lbd, ldb (vermoͤg obigen Satzes) als auch lih, lhi (Laut des 29ſten im I. weil db und hi gleichlauffen) einander gleich ſind/ ſo muͤſſen auch ſo wol die Lineen ld und lb, als auch lh und li (Krafft des 6ten im I. B.) und dann folgends auch dh und bi (als die Summen in der II. oder die Reſte in der III. und IV. F.) einander gleich ſeyn. Nun aber (obiger Beſchreibung nach) dbi und hbg einerley B b iijoder oder gleiche Winkel ſind/ und alſo/ ſo man den gemeinen Winkel hbi entweder (in der II. F.) darzu/ oder (wie in der III. und IV.) darvon thut/ der Winkel dbh dem Winkel ibg, das iſt (vermoͤg des 29ſten im I.) dem Winkel bgk, gleich wird; und aber auch (aus gleicher Urſach) der Winkel dbi; das iſt/ bdh dem Winkel bgk gleich iſt; ſo werden (Laut des 32ſten im I. B.) die beyde Dreyekke bdh und bkg gleichwinklicht ſeyn/ und dannen- hero (Krafft des 4ten im VI.) wie bd gegen dh oder bi, das iſt (vermoͤg des 34ſten im I.) gegen gk, alſo gk gegen kb ſich verhalten; und folgends/ wie oben/ (Laut des 17den im VI.) die Vierung von gk dem Rechtekk aus bd in bk gleich ſeyn. Welches zu beweiſen war.

Aus welchem Beweiß dann ſchließlichen erſcheinet/ daß die oberklaͤrter maſſen beſchriebene krumme Lini eben die jenige ſey/ welche von denen Alten eine Parabel (zu teutſch/ eine vergleichende Kegel-Lini) genennet worden; und daß folgends der Punct b ihr Scheitelpunct/ die bewegliche Lini im erſten Stand/ nehmlich dk, ihr Durchmeſſer oder (wann der bewegliche Winkel gerad iſt) Achſe; die Zwiſchenweite bd der Mitmeſſer (parameter oder der Alten ſo genanntes Latus rectum, welches ein Stuͤkk vom Durch- meſſer oder von der Achſe iſt) und endlich die mit ac gleichlauffende Lineen gk, &c. eben die jenige ſeyen/ welche bey denen Alten die Ordentlich-gezo- gene (ordinatim applicatæ) geheiſſen haben: welche alte Nahmen dann ſie auch deswegen ferner haben und behalten ſollen.

1. Folge.

Weil pg und hg einander allezeit nur in dem einigen Punct g durchſchneiden/ ſo iſt of- fenbar/ daß alle mit dem Durchmeſſer gleichlauffende Lineen die Parabel nur in einem eini- gen Punct betreffen.

2. Folge.

Und weil/ je weiter die bewegliche Lini hg von dem Scheitelpunct b ſich entfernet/ der Winkel gbi immer groͤſſer wird/ erhellet/ daß jede/ von dem Scheitelpunct zu einem jeden andern Punct der Parabel gezogene/ Lini (wie zum Exempel bg) ganz innerhalb der Parabel/ ihre Verlaͤngerung/ gr, aber auſſerhalb derſelben falle.

3. Folge.

Es erſcheinet uͤber dieſes/ daß der Winkel gbk zwar immer fort und fort enger/ und klei- ner als jeder fuͤrgegebener geradliniſcher Winkel werden; der Schenkel bg aber dannoch nim- mermehr gar auf die Lini bk kommen/ viel weniger uͤber dieſelbe hinuͤber ſchreiten koͤnne. Dann wann dieſes geſchehen ſolte/ ſo muͤſten (weil die Winkel hbg und hdb einander gleich ſind) bh und ef (vermoͤg des 29ſten im I. B.) einſten gleichlauffend werden; die doch (Krafft obiger Zubereitung) einander fort und fort durchſchneiden muͤſſen.

4. Folge.

Jſt dannenhero gewiß/ daß alle gerade Lineen/ welche einer Parabel Durchmeſſer oder Achſe durchſchneiden/ endlich (wann ſie verlaͤngert werden) die Parabel betreffen muͤſſen. Dann es durchſchneide/ zum Exempel/ (in obiger I. und III. F.) die Lini kx den Durchmeſſer bkm, bg aber durchſchneide die Parabel (nach vorhergehender 3. Folge) alſo in g, daß der Winkel gbk kleiner ſey als der gegebene Winkel mkx; Welchem nach (weil kbg und bkg kleiner als zwey gerade Winkel ſind) die verlaͤngerte Lini kx auf die verlaͤngerte bg nohtwendig treffen wird/ vermoͤg des 13den Grundſatzes im I. B. Solches wird nun ge- ſchehen entweder zwiſchen b und g, in welchem Fall dann (weil nach der 2. Folge bg ganz innerhalb der Parabel iſt) die verlaͤngerte kx endlich auch die krumme Lini bg betreffen muß; oder aber in dem Punct g ſelbſten/ und alſo abermal in der Parabel; oder endlich in der Verlaͤngerung gr, da dann kx nohtwendig zuvor durch die Parabel ſtreichen muß/ weil (Krafft der 2. Folge) gr ganz auſſerhalb der Parabel faͤllet.

5. Folge.

So iſt auch offenbar/ daß alle ordentlich-gezogene/ die Parabel beyderſeits betreffende/ Lineen von der Achſe oder dem Durchmeſſer halbgeteihlet werden. Als zum Exempel/ wann nmo nmo ordentlich gezogen wird/ weil ſo wol die Vierung nm als die Vierung mo dem Rechtekk dbm gleich ſind/ Laut obiger Erſter Betrachtung; ſo werden auch beyde Vie- rungen/ und alſo auch beyde Lineen nm und mo, einander gleich ſeyn.

6. Folge.

Wiederumb folget auch umbgekehret/ daß keine andere Lineen/ auſſer die/ welche mit ac gleichlauffen/ innerhalb der Parabel/ von ihrer Achſe oder Durchmeſſer halbgeteihlet werden. Dann wann oq, welche mit ac nicht gleichlauffet/ von dem Durchmeſſer bp dannoch in p halbgeteihlet/ und ſo dann on gleichlauffend mit ac gezogen/ und von eben demſelben Durch- meſſer in m (vermoͤg der 5. Folge) auch halbgeteihlet/ wuͤrde; ſo verhielte ſich op gegen pq wie om gegen mn, und muͤſte folgends (wann man durch n und q eine gerade Lini zöge) dieſelbe mit dem Durchmeſſer (Krafft des 2ten im VI.) gleichlauffen/ und (obiger 1. Fol- ge zu wider) die Parabel in zweyen Puncten n und q betreffen: welches aber unmoͤglich iſt.

Derowegen werden nicht allein alle Ordentlich-gezogene von dem Durchmeſſer halbgeteihlet/ ſondern auch alle und jede/ welche der Durch- meſſer halbteihlet/ ſind auf denſelben ordentlich gezogen: Und wann der Durchmeſſer eine Lini innerhalb der Parabel halbteihlet/ ſo wird er auch alle ihre gleichlauffende halbteihlen.

7. Folge.

Aus bißher-bewieſenem iſt ferner leichtlich zu ſchlieſſen/ daß die Vierungen derer ordent- lich-gezogenen Lineen ſich gegen einander verhalten/ wie die/ zwiſchen dem Scheitelpunct und beſagten Lineen enthaltene/ Stuͤkke des Durchmeſſers. Zum Exempel/ wann gk und nm ordentlich gezogen ſind/ ſo verhaͤlt ſich (Krafft obiger Erſter Betrachtung) die Vierung gk gegen der Vierung nm, wie das Rechtekk aus db in bk gegen dem Rechtekk aus db in bm, das iſt/ (vermoͤg des 1ſten im VI.) wie bk gegen bm.

8. Folge.

So gibt auch ferner obige Beſchreibung der Paraboliſchen Lini ſelbſten an die Hand/ daß die Lini ac, welche durch den Scheitelpunct b, den Ordentlich-gezogenen gleichlauffend/ ge- zogen wird/ die Parabel in eben demſelben Punct/ und ſonſten in keinem einigen andern beruͤhre. Dann wann man auſſer b in der Parabel noch einen andern nach Belieben/ zum Exempel g, nimmet und den beſchreibenden Schenkel des beweglichen Winkels/ darauf fuͤhret/ wie in bg, ſo machet bg und ac alſobald einen Winkel gbc; und muß alſo der Punct g (er werde ge- nommen wie er immer wolle) das iſt/ die ganze Parabel/ auſſer der Punct b, unter die Lini ac fallen.

9. Folge.

Es ligt auch fuͤr Augen/ daß keine andere/ als die mit denen ordentlich-gezogenen gleich- lauffende Lini ac, die Parabel in dem Scheitelpunct b beruͤhre. Dann eine jede andere/ durch b gezogene Lini/ zum Exempel pr, machet mit ac einen Winkel/ als rbc. So man nun aus b auf die Lini ef ziehet die Lini bh, alſo/ daß dem Winkel rbc gleich werde der Winkel dbh; und dann aus h herunter laͤſſet eine mit dem Durchmeſſer gleichlauffende/ hg, ſo wird (vermoͤg obiger Beſchreibung) beyder Lineen br und hg Durchſchnittspunct g in die Parabel fallen/ und alſo die Lini pr die Parabel nicht nur in dem Punct b, ſondern auch in g, betreffen/ das iſt/ (weil/ Krafft der 2. Folge/ bg ganz innerhalb der Parabel faͤllet) die Parabel nicht beruͤhren/ ſondern durchſchneiden.

Derowegen alle Lineen/ welche der im Scheitelpunct beruͤhrenden gleich- lauffend/ innerhalb der Parabel gezogen werden/ ſind ordentlich-gezogene/ oder werden von dem Durchmeſſer halbgeteihlet: und umbgekehret/ eine jede Lini/ welche einer/ von dem Durchmeſſer halbgeteihlten/ gleichlauffend/ durch den Scheitelpunct gezogen wird/ beruͤhret die Parabel in gemeldtem Scheitelpunct.

10. Folge.

Woraus dann endlich klar iſt/ welcher geſtalt/ wann einer Parabel Durchmeſſer/ Schei- telpunct und Mitmeſſer (parameter oder latus rectum) wie auch der Winkel/ welchen die ordent- ordentlich-gezogene Lineen mit dem Durchmeſſer machen/ gegeben ſind/ die Parabel ſelbſt auf einer Ebene beſchrieben werde. Dann/ wann gegeben iſt der Durchmeſſer bk, der Scheitel- punct b, der aͤuſſere (zum Durchmeſſer gehoͤrende) Mitmeſſer bd, und der Winkel abk oder cbk; ſo muß man durch d ziehen eine gerade Lini ef, alſo daß der Winkel edb dem Win- kel abd gleich werde/ und alsdann vermittelſt der unbeweglichen Lini ef, der beweglichen dk und des beweglichen Winkels dba oder dbc, die krumme Lini nbg beſchreiben; Welche dann (Laut obiger Erſter Betrachtung) eben die begehrte Parabel ſeyn wird.

Die Zweyte Betrachtung.

Wann durch einen/ in der Parabel nach Belieben genommenen/ Punct eine/ mit der Achſe oder dem Durchmeſſer gleichlauffende/ Lini gezogen wird; ſo iſt der genommene Punct auch ein Scheitelpunct und die gezogene gleich- lauffende ein Durchmeſſer der Parabel.

Erlaͤuterung.

Es ſey eine nach Belieben gegebene Parabel ham, und deroſelben Achs oder Durchmeſ- ſer ab, ihr Mitmeſſer ac; und ſey durch den/ nach Belieben genommenen/ Punct m gezo- gen die Lini mo gleichlauffend mit ab: So ſage ich nun/ daß auch m ein Scheitelpunct/ und

mo ein Durchmeſſer der gegebenen Parabel- flaͤche ſey; Ja/ wann durch den Punct m ei- ne Lini ſu alſo gezogen wird/ daß ſie von dem Durchmeſſer ab, auſſer der Parabel/ ab- ſchneide das Stuͤkk ai gleich ab (welches zwiſchen dem Scheitelpunct a und der ordent- lich-gezogenen Lini mb enthalten iſt) und ſo dann om gegen k hinaus alſo verlaͤngert wird/ daß mk die dritte gleichverhaltende ſey zu ab (oder ai) und im; endlich vermit- telſt der Zwiſchenweite mk und des beweg- lichen Winkels kms und kmu (nach An- leitung obiger erſter Betrachtung) eine Parabel beſchrieben wird; ſo ſage ich/ daß die- ſelbe eben die Parabel ham ſeyn werde/ alſo daß ſie gaͤnzlich auf einander treffen/ und fol- gends nicht nur mo der Durchmeſſer/ und m der Scheitelpunct/ ſondern auch mk der Mitmeſſer ſey/ und su die Parabel in m be- ruͤhre; auch alle/ innerhalb der Parabel mit su gleichlauffende Lineen von mo halbge- teihlet werden/ und alſo auf mo ordentlich gezogen ſeyen.

Dann es ſey in der gegebenen Parabel ham noch ein anderer Punct/ zum Exempel h, genommen/ und von demſelben auf ab or- dentlich gezogen die Lini hg, wie auch mit su gleichlauffend die Lini ho; deren jene/ wo es vonnoͤhten iſt/ verlaͤngert/ die Lini ko betreffe in e; dieſe aber/ im fall beduͤrfens auch verlaͤngert/ den Durchmeſſer ab durchſchnei- de in d. So iſt nun aus der Erſten Be- trachtung gewiß/ daß/ wann die Vierung von ho gleich iſt dem Rechtekk aus km in mo, alsdann die Parabel/ welche vermittelſt der Zwiſchenweite km und dem beweglichen Winkel kms, oder der Lini su, beſchrieben wird/ nohtwendig durch den Punct h gehen muͤſſe. Daß aber die Vierung von ho dem Recht- Rechtekk aus km in mo gleich ſey/ kan zwar auf vielerley Weiſe/ und/ meines Bedunkens/ kurz und einfaͤltig genug/ folgender Geſtalt erwieſen werden:

Dieweil (vermoͤg der erſten Betrachtung und des 17den im VI. B.) wie ca ge- gen mb, alſo mb gegen ab ſich verhaͤlt/ ſo wird auch (Krafft des 15den im V.) ca gegen 2 mb oder 2 ge ſich verhalten/ wie mb gegen 2 ab, das iſt/ gegen bi, oder (wegen Aehn- lichkeit beyder Dreyekke mbi und hgd) wie hg gegen gd, nach dem 29ſten des I. und 4ten des VI. B. Weswegen dann (Krafft des 16den im VI.) das Rechtekk aus 2 ge in hg, das iſt/ zwey Rechtekk aus ge in hg, gleich ſind dem Rechtekk aus ca in gd. Nun aber ſind (vermoͤg der erſten Betrachtung) die zwey Vierungen von hg und bm oder ge gleich denen beyden Rechtekken aus ca in ag und aus ca in ab oder ai; das iſt/ dem einigen Rechtekk aus ca in ig. Derowegen ſo man dieſen beyden gleichen jene beyde gleiche zugibt oder nimmt/ ſo muͤſſen auch die Summen oder Reſte einander gleich ſeyn; das iſt/ wann (in der I. F.) auf einer Seite denen beyden Vierungen hg und ge zwey Rechtekke aus hg in ge zugegeben werden/ alſo daß die voͤllige Summ (vermoͤg des 4ten im II. B.) wird die Vierung eh; auf der andern Seiten aber zu dem Rechtekk aus ca in ig das Rechtekk aus ca in gd geſetzet/ und alſo (nach dem 1ſten des II. B.) das Rechtekk aus ca in id oder mo gemachet wird; ſo muß auch die Vierung eh dem Rechtekk aus ca in id oder mo gleich ſeyn. Gleicher Geſtalt/ wann (in der II. und III. F.) auf einer Seite von denen bey- den Vierungen hg und ge zwey Rechtekke aus hg in ge genommen werden/ alſo daß (vermoͤg des 7den im II. B.) der Reſt iſt die Vierung eh; auf der andern Seiten aber von dem Rechtekk aus ca in ig wegkommet/ das Rechtekk aus ca in gd, und alſo das Rechtekk ans ca in id uͤbrig bleibet; ſo muß abermal die Vierung eh dem Rechtekk aus ca in id oder mo gleich ſeyn.

Dieweil ſich aber nun ferner verhaͤlt (wegen Aehnlichkeit derer Dreyekke mbi und heo) wie die Vierung mb gegen der Vierung mi, oder (vermoͤg der erſten Betrach- tung/ und des obigen Satzes/ daß mk die dritte gleich verhaltende zu ai (oder ab) und im ſeyn ſolle) wie das Rechtekk aus ca in ab gegen dem Rechtekk aus km in ab; das iſt/ (nach dem 1ſten des VI.) wie ca gegen km, oder/ nach angenommener gemeiner Hoͤhe mo, wie das Rechtekk aus ca in mo gegen dem Rechtekk aus km in mo: alſo die Vierung he gegen der Vierung ho, Krafft des 4ten und 22ſten im VI. B. Und aber/ wie kurz vorher erwieſen worden/ das Rechtekk aus ca in mo der Vierung he gleich iſt; ſo muß auch das Rechtekk aus km in mo (Laut des 14den im V. B.) der Vierung ho gleich ſeyn.

Alſo daß nunmehr (Krafft obiger Bedingung) gewiß iſt/ daß der Punct h, er ſey gleich genommen in der gegebenen Parabel ham wo er immer wolle/ allezeit auch in der jeni- gen Parabel ſey/ welche vermittelſt der Zwiſchenweite km und der Lini su beſchrieben wird; und daß folgends eine Parabel mit der andern ganz uͤberein treffe/ oder vielmehr dieſe leztere mit jener erſten einerley ſey: Wie dann hat ſollen bewieſen werden.

1. Folge.

Aus bißher-beſagtem erhellet zu foͤrderſt/ daß/ wann in der Parabel zwey gleichlauffende Lineen nach Belieben gezogen werden/ die jenige Lini/ welche ſolche beyde halbteihlet/ deroſel- ben Durchmeſſer ſey: ſintemal/ nach dem Schluß der obigen 6. Folge der erſten Betrach- tung/ der jenige Durchmeſſer/ welcher mitten durch eine ſolche gleichlauffende Lini gezogen wird/ auch nohtwendig mitten durch die andere ſtreichen muß. Und alſo erſcheinet/ wie man gar leicht einer jeden gegebenen Parabel ihren Durchmeſſer und zugleich die auf denſelben or- dentlich-gezogene Lineen finden koͤnne.

2. Folge.

Weiter iſt offenbar/ daß jederzeit die/ eine Parabel beruͤhrende/ und dann die/ aus ſolchem Anruͤhrungspunct auf den Durchmeſſer ordentlich-gezogene/ Lineen von dem Durchmeſſer/ zu beyden Seiten des Scheitelpuncts gleiche Stuͤkke abſchneiden: und umbgekehret/ daß die aus denen Endpuncten derer ordentlich-gezogenen auf den Durchmeſſer hinaus gezogene Lineen/ C cwann wann ſie mit jenen/ zu beyder Seiten des Scheitelpuncts/ gleiche Teihle von dem Durchmeſſer abſchneiden/ die Parabel in bemeldten Endpuncten beruͤhren. Dann daß die Lini su, darumb weil ai und ab gleich ſind/ die Parabel in m beruͤhre/ iſt in dieſer zweyten Betrachtung bewie- ſen worden; daß aber keine andere Lini mehr die Parabel in gedachtem Punct m beruͤhren koͤn- ne/ iſt oben in der 9. Folge der I. Betrachtung bekraͤfftiget.

3. Folge.

Und dannenhero wird unſchwaͤr geſchloſſen/ wie aus einem jeden/ nicht innerhalb der Pa- rabel gegebenen/ Punct eine Lini koͤnne gezogen werden/ welche die Parabel beruͤhre. Dann/ ſo man einen Durchmeſſer (es ſey welcher es wolle) und die auf denſelben ordentlich-gezogene Lineen/ nach vorhergehender 1. Folge gefunden und der gegebene Punct der Scheitelpunct ſelbſten waͤre/ ſo iſt aus der 8. und 9. Folge der I. Betrachtung ſchon richtig/ daß die/ durch gedachten Punct/ mit denen ordentlich-gezogenen gleichlauffende/ Lini die Parabel in eben dem- ſelben Punct beruͤhre. Wann aber der Punct ſonſten wo in der krummen Lini/ als in m, ge- geben/ und der Durchmeſſer ad gefunden waͤre; muß man aus m auf ad eine Lini mb or- dentlich ziehen/ alsdann ai dem ab gleich machen/ und alſo eine gerade Lini durch i und m zie- hen. Wuͤrde dann auſſer der Parabel in dem verlaͤngerten Durchmeſſer/ als in i, der Punct gegeben; ſo muß man ab dem ia gleich machen/ alsdann bm auf ad ordentlich ziehen/ und alſo wiederumb durch i und m eine gerade Lini ſuͤhren. Wann aber endlich ſolcher Punct we- der in der krummen Lini noch in dem verlaͤngerten Durchmeſſer gegeben wuͤrde (als/ zum E- xempel/ wann der gefundene Durchmeſſer waͤre mo und der gegebene Punct i) ſo muß man zu foͤrderſt durch i den/ mit mo gleichlauffenden/ Durchmeſſer id ziehen/ nachmals ab dem ai gleich machen/ ſo dann aus b auf id ordentlich ziehen die Lini bm, und endlich wieder durch i und m eine gerade Lini fuͤhren. Dann aus bißher-beſagten iſt offenbar/ daß die Lini im in allen ſolchen Faͤllen die Parabel in dem Punct m beruͤhren werde.

4. Folge.

Uber dieſes folget/ daß eines jeden genommenen Durchmeſſers Mitmeſſer die dritte gleichverhaltende ſey zu zweyen andern geraden Lineen/ deren eine iſt ein Stuͤkk der Achſe oder eines andern gegebenen Durchmeſſers/ enthalten zwiſchen deſſen Scheitelpunct und der beruͤhrenden Lini/ welche durch des neugenommenen Durchmeſſers Scheitelpunct ſtreichet; Die andere/ ein Stuͤkk ſolcher beruͤhrenden Lini/ welches zwiſchen dem gegebenen und dem ge- nommenen Durchmeſſer enthalten iſt. Dann in dieſer II. Betrachtung iſt bewieſen/ daß die Lini mk, weil ſie die dritte gleichverhaltende zu ai und im war/ des neugenommenen Durch- meſſers mo Mitmeſſer ſey.

5. Folge.

Endlich iſt aus bißherigen Schluͤſſen leichtlich zu erachten/ welcher geſtalt/ wann einer Parabel Durchmeſſer (es ſey gleich welcher es wolle) ſambt dem Scheitelpunct und Mitmeſ- ſer/ wie auch der Winkel/ den die Ordentlich-gezogene mit beſagtem Durchmeſſer machen/ ge- geben ſind; welcher geſtalt/ ſprich ich/ ein anderer Durchmeſſer/ mit welchem die ordentlich- gezogene einen andern beliebigen Winkel machen/ wie auch deſſelben Scheitelpunct und Mit- meſſer ſollen gefunden werden. Dann wann der Durchmeſſer mo, der Scheitelpunct m und der Mitmeſſer mk, wie auch der Winkel smk oder umk, gegeben waͤren/ und ein anderer Durchmeſſer ſolte gefunden werden/ mit welchem die Ordentlich-gezogene den gegebenen Win- kel abm machen: ſo ziehe man aus k auf su die Lini kp, alſo/ daß der Winkel kpu dem gegebenen abm gleich ſey/ und nach dem man pm in i halbgeteihlet/ laſſe man aus i herunter die Lini ib gleichlauffend mit mo. Darnach ziehe man aus m auf ib die Lini mb, alſo daß der Winkel mbi dem gegebenen Winkel gleich ſey/ und teihle bi in a halb/ ſo wird ab der be- gehrte Durchmeſſer/ a der Scheitelpunct/ und ac (nehmlich die dritte gleichverhaltende zu ab und bm) ſein Mitmeſſer ſeyn. Dann weil die Vierung der ordentlich-gezogenen Lini bm gleich iſt dem Rechtekk aus ca in ab, Krafft des 17den im VI. ſo faͤllet (vermoͤg obiger I. Betrachtung) der Punct m in die jenige Parabel/ welche vermittelſt der Zwiſchenweite ac und des beweglichen Winkels/ ſo da dem Winkel abm gleich iſt/ beſchrieben wird. Dar- nach/ weil beyde Dreyekke bim und pmk einander aͤhnlich ſind (weil die Winkel bey b und p gleich p gleich gemachet/ die bey i und m aber/ wegen Gleichlauffung der Lineen id und mo, auch gleich worden) ſo verhaͤlt ſich (Laut des 4ten im VI.) wie bi gegen im, alſo pm gegen mk, und wie ½bi (das iſt/ ai) gegen im, alſo ½pm (das iſt) im gegen mk. Woraus dann endlich folget (Krafft deſſen/ was in der II. Betrachtung erwieſen worden) daß beyde Parabeln/ welche von denen Durchmeſſern ab und mo, und denen Mitmeſſern ac und mk, nach beſagten Winkeln beſchrieben werden/ ganz einerley ſeyen. Jſt alſo der be- gehrte Durchmeſſer ad richtig gefunden/ welcher auch/ wann der gegebene Winkel abm ge- rad waͤre/ zugleich der Parabel Achſe ſeyn wuͤrde.

Und ſoviel von der Parabel fuͤrnehmſten Eigenſchafften.

Die Dritte Betrachtung.

Wann eine/ umb einen beſtaͤndigen Punct (a) rund-umb-bewegliche Lini (abc, ſo hier in 4 unterſchiedlichen Stellungen geſehen wird) einen beliebigen geradliniſchen Winkel (bec) durch eine unbewegliche Lini (kl) alſo mit ſich fuͤhret/ daß (eb) der eine Schenkel des beweglichen Win- kels allezeit auf der unbeweglichen Lini (kl) ligend bleibe; die bewegliche Lini aber fort und fort durch einen einzigen Puncten des beſagten Schen- kels (nehmlich durch b) ſtreiche/ den andern Schenkel (ec) aber ſtaͤ- tigs (in c) durchſchneide; ſo erſcheinet zu foͤrderſt/ daß/ (wann ad dem Schenkel ec gleichlauffend gezogen wird) je naͤher die Lini abc zu ad kommet/ der Winkel ecb immer kleiner und kleiner werde/ und endlich/ wann abc gar auf ad kommet/ gaͤnzlich verſchwinde (weil ad, und fol- gends in ſolchem Stand auch abc mit ec gleichlauffet) der Schenkel ec aber wie gf ſtehe [welches dann beſagter Lineen/ abc in adi und ce in gf, fuͤrnehmſter und erſter Stand heiſſen ſolle;] Und daß/ fuͤrs an- dere/ der Punct des Durchſchnitts (c, in welchem die bewegliche Lini abc und der beſchreibende Schenkel ec einander durchſchneiden) durch ſeinen Lauf eine krumme Lini (ac) beſchreibe/ welche [nach dem erſten Stand obbemeldter Beſchreibungs-Lineen betrachtet] dieſe Eigenſchafft hat: Daß das Rechtekk (fec) ſo da aus jeder geraden Lini/ die man von jedem beliebigem Punct der krummen auf die unbewegliche Lini (kl) dem beſchreibenden Schenkel (gf) gleichlauffend ziehet [zum Exempel aus ce] und deme/ zwiſchen dem beſchreibenden Schenkel (gf) und be- ſagter gleichlauffenden (ec) enthaltenem Stuͤkk der unbeweglichen Lini [nehmlich aus fe] gemachet wird/ allezeit gleich ſey dem Rechtekk (fda) welches beſchlieſſen der/ zwiſchen dem unbeweglichen Punct (a) und der unbeweglichen Lini (kl) enthaltene Teihl der beweglichen Lini [nehmlich die Zwiſchenweite ad] und [fd] das Stuͤkk der unbeweglichen Lini/ wel- ches zwiſchen der beweglichen (ad) und der Spitze des beweglichen Win- kels (f) enthalten iſt.

Beweiß dieſes letzern.

Mit einem Wort: Es ſoll bewieſen werden/ daß das Rechtekk aus fe in ec gleich ſey dem Rechtekk aus fd (oder eb, dann dieſe ſind gleich geſetzet) in da; und zwar alſo:

C c ijWann

Wann ſo wol der bewegliche Winkel als die beweg- liche Lini allerſeits in dem jenigen Stand ſich befinden/ in welchem ſie geweſen/ als vermittelſt ihres Durchſchnit- tes der Punct c beſchrieben worden/ nehmlich in bec und acb; und dann denen beyden gleichen eb und fd beyderſeits entweder die gemeine fb zugegeben/ oder ed benommen wird/ ſo muͤſſen auch die Summen oder Reſte bd und fe auch einander gleich ſeyn. Und weilen/ wegen derer gleichlauffenden Lineen ec und ad, die bey- de Dreyekke bda und bec (Krafft des 29ſten im I. B.) gleichwinklicht ſind: ſo verhaͤlt ſich (Laut des 4ten im VI.) wie bd (das iſt/ fe) gegen da, alſo be (das iſt/ fd) gegen ec; und iſt folgends das Rechtekk derer beyden aͤuſſerſten/ aus fe in ec, dem Rechtekk beyder mittlern/ aus fd in da, gleich/ vermoͤg des 16den im VI.

Aus welchem Beweiß dann ſchließlichen erſcheinet/ weil alle ſolche Rechtekke/ wie fec, dem Rechtekke adf, und folgends auch unter- einander gleich ſind/ daß die/ erklaͤrter maſ- ſen beſchriebene/ krumme Lini/ eben die jenige ſey/ welche von denen Alten eine Hyperbole (zu teutſch/ eine uͤbertreffende Kegel-Lini) genennet worden; oder/ ſo man zwey ſolche krumme Lineen durch einerley fortgeſetzte Bewegung beſchrie- ben zugleich betrachtet/ eben die jenige/ welche ſie entgegen-geſetzte Kegel- ſchnitte (Sectiones oppoſitas) geheiſſen haben: Und daß die unbewegliche Lini (kl) und der beſchreibende Schenkel (fg) ihre/ ſo genannte/ Unberuͤh- rende (aſymptoti) ſeyen/ und dieſer ihr Durchſchnittspunct (f) eben der jeni- ge ſey/ den ſie der Hyperbel/ oder derer entgegen-geſetzten Kegelſchnitte Beſchreibungspunct (centrum) zu nennen pflegten: welche alte Nahmen dann (ausgenommen den Nahmen Kegelſchnitt) wir ihnen deswegen noch ferner laſſen/ und das/ von beyden Zwiſchenweiten (ad und fd) beſchloſ- ſene Rechtekk/ oder eine/ demſelben gleiche/ Vierung/ der Hyperbel Ver- moͤgen (potentiam) nennen wollen.

Die 1. Folge.

Die ſelbſte Beſchreibung der krummen Lini bezeuget/ daß die Hyperbel und ihre unberuͤh- rende Lineen immer naͤher und naͤher/ und endlich ſo nahe/ zuſammen kommen/ daß ihre Zwi- ſchenweite kleiner ſey als jede andere/ die nach Belieben gegeben wird. Wofern aber jemand deſſen einen gewiſſern Beweiß verlangete/ ſo ſey (in dem obern Teihl der vorigen Figur) die gegebene Weite no, auf die unberuͤhrende Lini fk ſenkrecht geſetzet. So man nun nimmet np kleiner als no, und machet/ wie np gegen ad, alſo df gegen fe (bey k;) aus e end- lich/ mit fh gleichlauffend/ ziehet ec gleich np; ſo wird (vermoͤg des 16den im VI.) das Rechtekk aus fe in np, das iſt/ ec gleich ſeyn dem Rechtekk aus df in ad. Welchem nach (Krafft vorhergehender dritten Betrachtung) der Punct c in der Hyperbel ſeyn muß. Es iſt aber ce gleich np, und alſo kleiner als die gegebene no. Derowegen muß umb ſo viel mehr die/ aus c auf fk ſenkrecht gezogene Lini/ das iſt/ die Zwiſchenweite der Hy- perbel und ihrer Unberuͤhrenden/ kleiner ſeyn als no.

Die 2. Folge.

Und hieraus erſcheinet zugleich/ daß alle gerade Lineen/ welche aus jeglichem/ innerhalb des Winkels/ der des andern/ welcher die Hyperbel umb faſſet/ Scheitelwinkel iſt/ genommenen Punct/ entweder durch den Beſchreibungspunct f, oder ſonſten durch eine derer unberuͤhren- den den Streichen; daß alle ſolche Lineen/ ſprich ich/ endlich die Hyperbel betreffen/ und/ ſo ſie ver- laͤngert werden/ dieſelbe/ jedoch nur in einem einigen Punct/ durchſchneiden: weil nehmlich ſolche verlaͤngerte Lineen von beyden unberuͤhrenden immer mehr und mehr abweichen.

Die 3. Folge.

So iſt auch uͤber dieſes offenbar/ daß der beſchreibende Schenkel (ec) er ſey wo er wolle) das iſt/ alle/ mit der Unberuͤhrenden gleichlanffende/ Lineen/ die Hyperbel gleichfalls in einem einigen Punct betreffen/ und/ wo ſie verlaͤngert werden/ durchſchneiden: Dieweil unmoͤglich iſt/ daß die bewegliche Lini abc und der beſchreibende Schenkel ec, es ſey in welcher Stel- lung es wolle/ einander in mehr als einem Punct durchſchneiden ſolten.

Die Vierdte Betrachtung.

Eine jede gerade Lini/ welche durch zwey Puncten in der Hyperbel ſtrei- chet/ oder auf dieſelbe alſo trifft/ daß ſie/ verlaͤngert/ beyderſeits auſſer- halb der Hyperbel faͤllet/ betrifft beyde unberuͤhrende Lineen/ innerhalb des Winkels/ der die Hyperbel umbfaſſet.

Beweiß.

Es ſeyen in der Hyperbel bcd (deren unbe- ruͤhrende Lineen ſind kac, haf) gezogen die Lini fbcg, welche durch die zwey Puncten b und c ſtrei- chet/ und mc, welche auf die Hyperbel in dem Punct c alſo trifft/ daß ſie/ gegen l verlaͤngert/ bey- derſeits auſſerhalb der Hyperbel falle; So ſag ich nun/ daß ſo wol die Lini fbcg, als die Lini mcl, beyde unberuͤhrende Lineen, kae und haf, in- nerhalb des Winkels eaf, betreffe. Dann/ wann dieſes nicht geſchaͤhe/ ſo waͤre die Lini fbcg oder mcl entweder gleichlauffend mit einer von denen Unberuͤhrenden; oder/ wann ſie dieſer oder jener Unberuͤhrenden auſſer dem Winkel eaf begegnete/ waͤre es eben ſo viel/ als ob ſie/ aus einem Punct in- nerhalb des Scheitelwinkels kah gezogen/ dieſe oder jene Unberuͤhrende durchſchnitte: da dann bey- derſeits folgen wuͤrde (vermoͤg der 3. und 2. Fol- ge der III. Betrachtung) daß ſie die Hyperbel oder krumme Lini nur in einem Punct/ keines wegs

aber in zweyen/ betreffen; und/ ſo ſie verlaͤngert wuͤrde/ dieſelbe durchſchneiden muͤſte/ nicht aber beyderſeits auſſerhalb der Hyperbel fallen koͤnnte. Welches aber alles obigem Satz zu wider iſt.

Die Fuͤnfte Betrachtung.

Wann in einer/ oder in entgegen-geſetzten Hyperbeln zwey Puncten nach Belieben genommen/ und durch dieſelbe entweder eine/ oder zwey gleichlauffende/ gerade Lineen gezogen werden: ſo ſind die Rechtekke/ wel- che aus denen/ beyderſeits zwiſchen der Hyperbel und der Unberuͤhrenden enthaltenen/ Stuͤkken ſolcher gezogenen Lineen gemachet werden/ ein- ander gleich.

Beweiß.

Es ſeyen/ entweder in einer/ oder in entgegen-geſetzten Hyperbeln bcpd (deren Un- beruͤhrende ſind ae, af) nach Belieben genommen zweene Puncten b und c, und durch die- ſelbe gezogen zwey gleichlauffende Lineen bd, cp, welche die Unberuͤhrende betreffen in de- C c iijnen

nen Puncten e, f, g, h (nehmlich in dieſem I. Fall innerhalb des Winkels eaf, Krafft vorherge- hender fuͤnfter Betrachtung.) So ſag ich nun/ die beyde Rechtekke/ aus eb in bf und aus gc in ch, ſeyen einander gleich.

Dann ſo man aus b und c noch andere/ mit beyden unberuͤhrenden gleichlauffende/ Lineen zie- het/ die ſich allezeit in der andern unberuͤhrenden enden/ nehmlich bi, bl, ck und cm: ſo wird (wegen/ in der dritten Betrachtung bewieſener/ Gleichheit derer beyden Rechtekke ibl und kcm) ſich (Krafft des 16den im VI.) wie ib gegen kc, das iſt (wegen Aehnlichkeit beyder Dreyekke kcg, ibe, nach dem 29ſten im I. und 4ten im VI. B.) wie eb gegen gc, alſo cm gegen bl, das iſt (abermal wegen Aehnlichkeit beyder Dreyekke blf, cmh) alſo ch gegen bf verhalten/ und al- ſo (vermoͤg erſtangezogenen 16den des VI. Buchs) das Rechtekk aus eb in bf dem Rechtekk aus gc in ch gleich ſeyn.

Auf gleiche Weiſe wird erwieſen/ wann durch zwey Puncten b und d nur eine gerade Lini/ bd, gezogen wird/ welche beyde unberuͤhrende be- treffe in e und f, daß die Rechtekke aus eb in bf und aus fd in de einan- der gleich ſeyen.

1. Folge.

Jn entgegen-geſetzten Hyperbolen/ wann die eine gleichlauffende durch den Mittel- oder Beſchreibungspunct gehet/ wie cp in der dritten Figur/ ſo iſt zugleich durch vorigen Beweiß gewiß gemachet/ daß die/ aus denen Stuͤkken jeglicher geraden/ durch beyde Unberuͤhrende auf beyde Hyperbolen gezogener/ Lineen/ gemachte Rechtekke alle und jede gleich ſeyen der Vie- rung einer Lini/ welche aus dem Mittel- oder Beſchreibungspunct auf die Hyperbel/ mit jenen gleichlauffend/ gezogen wird. (Dann es iſt bewieſen/ daß das Rechtekk aus eb in bf gleich ſey dem Rechtekk aus gc in ch, das iſt/ in III. F. aus gc in ſich ſelbſt/ oder der Vierung von gc.) Woraus dann ferner folget/ wann durch den Mittel- oder Beſchreibungspunct eine ge- rade Lini/ nach Belieben/ von einer Hyperbel auf die andere (wie cgp) gezogen/ und hernach/ wiederumb wiederumb nach Belieben/ eine andere gleichlauffende/ bd, gefuͤhret wird/ welche beyde Un- beruͤhrende in e und f durchſchneidet; daß alsdann das Rechtekk aus eb in bf, oder aus fd in de, ſo wol der Vierung von gc als auch der Vierung von gp gleich ſey: alſo daß ſchließ- lichen beyde Vierungen gc und gp, und folgends auch die Lineen gc und gp einander gleich ſeyn muͤſſen. Welches dann anderſt nichts iſt/ als daß jede gerade/ von einer Hyperbel auf die andere durch den Mittelpunct gezogene/ Lini in gedachtem Mittelpunct halbgeteihlet werde.

2. Folge.

So erhellet anch/ daß einer jeden/ durch eine oder durch entgegen-geſetzte Hyperbolen gezogenen/ geraden Lini Stuͤkke oder Teihle/ ſo zwiſchen der Hyperbel und denen Unberuͤhren- den begriffen ſind/ einander gleich ſeyen. Dann/ ſo man nach Belieben ziehet bd, welche die Unberuͤhrende betreffen in e und f, dieweil (vermoͤg dieſer fuͤnften Betrachtung und des 16den im VI.) bf gegen df ſich verhaͤlt/ wie de gegen be, ſo wird auch zerteihlet (oder/ in entgegen-geſetzten Hyperbolen/ zuſammgeſetzet) bd gegen df, wie db, das iſt/ eben dieſelbe bd, gegen be ſich verhalten/ Krafft des 17. und 18den im V. und alſo (vermoͤg des 9ten im ſelben B.) fd und be, wie auch folgends/ bf und de einander gleich ſeyn.

3. Folge.

Daher auch zugleich gewiß wird/ daß die jenige gerade Lini/ welche zwey Puncten/ ent- weder in einer oder in zweyen entgegen-geſetzten Hyperbolen/ zuſammenziehet/ ſonſten mit ih- rer Puncten keinem in der Hyperbel ſey. Dann/ wann auſſer d und b noch ein anderer Punct der Lini db, zum Exempel x, in der Hyperbel waͤre/ ſo muͤſte (vermoͤg vorhergehender 2. Folge) xf dem be, das iſt/ dem df, nehmlich das Teihl ſeinem ganzen/ gleich ſeyn: Wel- ches aber ungereimt iſt.

4. Folge.

Leichtlich aber iſt zu ſehen/ daß auch umbgekehrt die Waarheit gegenwaͤrtiger Betrach- tung gewiß ſey: daß nehmlich bey ſo beſchaffenen Sachen/ und wann die Rechtekke aus eb in bf und aus gc in ch einander gleich ſind/ und ein Punct von denen beyden b und c in der Hyperbel iſt/ auch der andere in eben derſelben/ oder in der entgegen-geſetzten Hyperbel ſey/ deren unberuͤhrende Lineen ae und af ſind. Dann daher/ weil die Rechtekke ebf und gch einander gleich ſind/ wird bewieſen werden/ daß auch die Rechtekke aib und akc einander gleich ſeyen/ allermaſſen wie oben deſſen Wiederkehr erwieſen worden. Derowegen/ wann der Punct b in der Hyperbel iſt/ wird auch der Punct in eben derſelben/ oder in der entgegen- geſetzten Hyperbel ſeyn/ vermoͤg obiger dritten Betrachtung. Eben dieſes aber ſoll auch von zweyen Puncten in einer Lini/ wie b und d, geſagt ſeyn. Ja eben daſſelbe folget auch von ſolchen zweyen Puncten in einer Lini/ wann geſetzet iſt/ daß ſie gleichweit von denen un- beruͤhrenden Lineen ſtehen. Dann/ wann be und df gleich ſind/ und man beyderſeits darzu nimmet bd, oder in entgegen-geſetzten Hyperbolen bf und de, ſo wird das Rechtekk ebf dem Rechtekk fde gleich ſeyn.

5. Folge.

Es erhellet auch/ daß die jenige/ aus dem Mittelpunct lauffende/ Lini/ welche eine/ ent- weder nur in einer/ oder in entgegen-geſetzten Hyperbolen/ gezogene/ halbteihlet/ auch alle/ dieſer gleichlauffende/ halbteihle. Zum Exempel/ wann an die Lini cp halbteihlet/ mit welcher bd gleich-lauffet/ und man denen beyden gleichen Lineen np und nc die beyde/ auch gleiche/ ph und cg entweder zuſetzet (wie in I. F.) oder benimmet (wie in II. F.) ſo werden nh und ng, und alſo auch (Krafft des 2. im VI. B.) oe, of, und noch weiter (ſo man abermal die beyde gleiche be, df darzu oder davon thut) auch ob und od, einander gleich ſeyn.

Es werden aber ſolche/ aus dem Mittelpunct durch die Hyperbel ge- zogene Lineen (wie ao in der I. F.) eingefangene Durchmeſſer (interceptæ diametri) oder ſchlechter dings Durchmeſſer: die aber/ welche aus dem Mittelpunct zwiſchen zweyen entgegen-geſetzten Hyperbolen gezogen ſind (wie ao in der II. F.) die andern Durchmeſſer: die/ von ihnen halbgeteihlte/ gleichlauffende aber Ordentlich-gezogene genennet. Und wann dieſe Or- dentlich-gezogene von denen Durchmeſſern winkelrecht durchſchnitten wer- den/ den/ ſo heiſſen eben dieſelbe Durchmeſſer die Achſen ſolcher Hyperbolen. Wann aber der andere Durchmeſſer mit denen ordentlich- auf den einge- fangenen-gezogenen/ Lineen gleichlauffet/ ſo heiſſet einer des andern (dia- meter conjugata) Creutzender Durchmeſſer.

6. Folge.

Aus dieſem wird nun ferner geſchloſſen/ daß keine andere gerade Lineen/ als bemeldte gleichlauffende oder ordentlich-gezogene/ von dem Durchmeſſer koͤnnen halbgeteihlet werden. Dann/ wann es ſeyn kan/ ſo werde von dem Durchmeſſer ao eine andere/ nicht ordentlich-ge- zogene/ Lini qr in zwey gleiche Teihle geſchnitten/ welche die unberuͤhrende betrifft in s, t; und ſey durch o ordentlich gezogen bod, welche mehrgemeldte unberuͤhrende betrifft in e und f. So werden nun (vermoͤg der 2. und 5. Folge) eo und fo, Krafft erſtgeſetzten aber und der 2. Folge/ auch to und so, einander gleich ſeyn. Dieweilen aber/ wann eu mit sf gleichlauffend gemachet wird/ die beyde Dreyekke eou und fos (vermoͤg des 15 den und 29ſten im I. B.) gleichwinklicht werden/ ſo verhaͤlt ſich (Krafft des 4ten im VI.) wie eo gegen ou, alſo fo gegen os. Derowegen/ weil eo dem fo gleich iſt/ ſo wird auch ou dem os, das iſt/ dem ot (ein Teihl ſeinem ganzen) gleich ſeyn/ welches unmoͤglich iſt. Wird derowegen die Lini rq von dem Durchmeſſer ao nicht halbgeteihlet.

7. Folge.

Endlich iſt offenbar/ daß/ wann in einer/ oder/ auf zwey entgegen-geſetzte Hyperbolen/ zwey gleichlauffende Lineen gezogen ſind/ die jenige/ ſo alle beyde halbteihlet/ durch den Mittel- punct gehe/ oder ein Durchmeſſer ſey: dann der Durchmeſſer/ welcher mitten durch eine gleich- lauffende ſtreichet/ muß auch mitten durch die andern gleichlauffenden gehen/ vermoͤg obiger 5. Folge. Daher dann kundt wird/ welcher geſtalten man einer gegebenen/ oder zweyer ent- gegen-geſetzter/ Hyperbolen Durchmeſſer/ ſo viel man will/ wie auch zugleich eines jeden or- dentlich-gezogene/ ſambt dem Mittel- oder Beſchreibungspunct (als welcher jeder zweyer oder mehrer Durchmeſſer Durchſchnitt weiſet) finden ſolle.

Die Sechſte Betrachtung.

Eine jede gerade/ durch jeden beliebigen Punct der Hyperbel/ auf beyde Unberuͤhrende/ gezogene Lini/ welche in eben demſelben Punct halbgeteih- let wird/ beruͤhret die Hyperbel in demſelbigen Punct: Und hingegen jede beruͤhrende/ wann ſie biß auf beyde unberuͤhrende verlaͤngert wird/ iſt in dem Anruͤhrungspunct halbgeteihlet.

Beweiß.

Es ſey in der Hyperbel bcd (deren Unbe- ruͤhrende ſind ae und af) durch den Punct c gezogen eine gerade Lini gch, die ſich beyder- ſeits in den Unberuͤhrenden endet und in c halb- geteihlet wird. So ſag ich nun/ daß beſagte ge- rade Lini gh die Hyperbel beruͤhre in c. Dann/ wann es ſeyn kan/ ſo durchſchneide ſie dieſelbe in c und i: ſo wird ih (vermoͤg der fuͤnften Betrachtung zweyter Folge) dem cg, das iſt/ dem ch gleich ſeyn/ welches unmoͤglich iſt. Jch ſage ferner umbgekehrt/ wann gh die Hy- perbel in c beruͤhret/ ſo werde ſie auch in c halb- geteihlet. Wo nicht/ ſo nehme man in ch, als dem groͤſſern Teihl hi gleich gc. Welchem nach/ weil der Punct c in der Hyperbel iſt/ auch (vermoͤg der 4. Folge der fuͤnften Betrach- tung) der Punct i in derſelben ſeyn/ und alſo (Krafft der fuͤnften Betrachtung dritter Folge) ci ganz innerhalb der Hyperbel ſeyn/ und folgends gh dieſelbe nicht beruͤhren/ ſondern in c und i durchſchneiden wird/ welches obi- gem Satz zu wider iſt. Jſt derowegen ch dem gc nicht ungleich.

1. Fol-

1. Folge.

Jſt alſo aus bißher-geſagtem offenbar/ daß alle und jede Rechtekke/ welche gemachet wer- den aus denen/ zwiſchen der Hyperbel und denen unberuͤhrenden enthaltenen Stuͤkken einer je- den geraden Lini/ ſo der beruͤhrenden gleichlauffet/ der Vierung ſolcher halben beruͤhrenden gleich ſeyen. Als/ wann der beruͤhrenden Lini gch die Lini bd gleichlauffend gezogen iſt/ welche die Unberuͤhrenden betrifft in e und f: ſo iſt das Rechtekk ebf oder bfd (Krafft der fuͤnften Betrachtung zweyter Folge) wie auch fde oder deb, gleich dem Rechtekk gch (vermoͤg der fuͤnften Betrachtung) das iſt/ der Vierung von ch oder cg, als der halben beruͤhrenden.

2. Folge.

Weiter iſt richtig/ daß jede gerade/ durch den Endpunct des Durchmeſſers gezogene Lini/ wann ſie mit einer andern/ innerhalb der Hyperbel von demſelben Durchmeſſer halbgeteihlten/ (das iſt/ mit denen ordentlich-gezogenen) gleichlauffet/ die Hyperbel in beſagtem Punct beruͤh- re. Als/ wann auf den Durchmeſſer an ordentlich-gezogen iſt bnd, welche/ verlaͤngert/ die Unberuͤhrenden betreffe in e und f; und durch des Durchmeſſers Endpunct/ c, eine gerade Lini gch mit bnd gleichlauffend/ gezogen wird: Weil nf und ne (vermoͤg obigen Sa- tzes und der fuͤnften Betrachtung 2ter Folge) einander gleich ſind/ ſo werden auch (Kraft des 4ten im VI.) ch und cg einander gleich ſeyn/ und alſo (vermoͤg jeziger VI. Betrach- tung) gch die Hyperbel im Punct c beruͤhren.

3. Folge.

Daher folget ferner/ daß nicht allein alle/ in der Hyperbel mit der Beruͤhrenden gleich- lauffende/ von dem/ durch den Beruͤhrungspunct gezogenen Durchmeſſer halbgeteihlet wer- den/ und alſo ordentlich auf denſelben gezogen ſeyen; ſondern auch/ daß die Hyperbel in einem Punct mehr nicht als eine einige gerade Lini beruͤhren koͤnne. Als/ wann bd mit der Be- ruͤhrenden gh gleichlauffet/ und die Unberuͤhrenden belanget in e und f; durch c aber der Durchmeſſer acn gezogen wird/ welcher bd betreffe in n: Weil (vermoͤg der ſechſten Be- trachtung) gc und ch gleich ſind/ wie auch (Laut des 4ten im VI.) en und nf, ſo wer- den auch (wann man die zwey gleiche eb und df hinweg nimmt) bn und nd gleich/ und al- ſo auf acn ordentlich-gezogen ſeyn. Daß aber keine andere Lini als gh die Hyperbel in c be- ruͤhren koͤnne/ ligt fuͤr Augen/ dieweil ſonſten alle mit derſelben andern in der Hyperbel gleich- lauffende (ſo doch von denen vorigen Ordentlich-gezogenen unterſchieden waͤren) von eben demſelben Durchmeſſer (Krafft erſtbewieſenens) halbgeteihlet wuͤrden; welches aber (wie in der fuͤnften Betrachtung 6ter Folge bewieſen worden) unmoͤglich iſt.

Sonſten iſt hier zu erinnern/ damit auch die Groͤſſe derer Durchmeſſer beſtimmet werde/ daß man den jenigen/ welcher aus jedem beliebigen Punct der Hyperbel/ durch den Mittel- oder Beſchreibungspunct/ biß an die ent- gegen-geſetzte Hyperbel/ gezogen wird/ und deswegen (Krafft der fuͤnften Betrachtung 1. Folge) zweymal ſo groß iſt als der/ zwiſchen der Hyperbel und dem Mittelpunct eingefangene/ wie c, a, p; daß man/ ſprich ich/ ſol- chen der Hyperbel oder zweyer entgegen-geſetzter Hyperbolen Quehrmeſſer (transverſam diametrum:) den jenigen aber/ welcher/ die krumme Lini in des vorigen Endpunct beruͤhrend/ beyderſeits in denen Unberuͤhrenden ſich en- der/ wie g, c, h, oder den/ welcher in gleicher Groͤſſe/ und gleichlauffend mit dieſem/ durch den Mittelpunct gezogen wird/ den andern/ und des vo- rigen Quehrmeſſers Creutzenden Durchmeſſer (conjugatam) oder Creutz- meſſer: endlich die jenige Lini/ welche zu beyden erſtbeſagten/ pc und gh, die dritte gleichverhaltende iſt/ wie co, den Mit- oder Neben-Meſſer (Pa- rametrum oder latus rectum) zu nennen pflege.

Die Siebende Betrachtung.

Die jenige Lini/ welche durch des Quehrmeſſers Endpunct/ mit der im Scheitelpunct beruͤhrenden gleichlauffend/ gezogen wird/ beruͤhret die D dent- entgegen-geſetzte Hyperbel: und die/ welche auf den andern Creutzenden Durchmeſſer/ jedes nach Belieben genommenen/ ordentlich-gezogen wird/ iſt gleichlauffend mit beſagtem genommenen Durchmeſſer.

Beweiß.

Es ſey einer/ oder zweyer entgegen-geſetzter Hyperbolen/ ic und he (deren Unberuͤhrende ſind bgdf) nach Belieben genommener Quehrmeſſer ce, und durch deſſelben Endpunct/ e, gezogen feg gleichlauffend mit bd, welche die Hyperbel ic in c beruͤhret/ alſo daß ſo wol dieſe als jene denen beyden Unberuͤhrenden begegne in b, d und f, g: Wird nun geſagt/ daß feg auch die entgegen-geſetzte Hyperbel in e beruͤhre; und/ ſo man durch a ziehet den an- dern Creutzenden Durchmeſſer ak, daß alle/ auf ſolchen/ Ordentlich-gezogene mit dem Quehr- meſſer ce gleichlauffen.

Dann dieweil (wegen Aehnlichkeit beyder Drey- ekke aeg, acb) wie ae gegen eg, alſo ac gegen cb, und wie ae gegen ef, alſo ac gegen cd ſich verhaͤlt (Krafft des 4ten im VI. B.) und aber ae und ac (nach der fünften Betrachtung 2ter Folge) wie auch (nach der ſechſten Betrachtung) cb und cd, einander gleich ſind; ſo werden auch (Laut des 14den im V.) eg und cb, wie auch ef und cd, und folgends auch eg und ef einander gleich ſeyn. Welchem nach (vermoͤg der ſechſten Betrachtung) fg die entgegen- geſetzte Hyperbel he in dem Punct e beruͤhret. Und diß iſt eines. Ferner/ (wann man durch g und d ziehet die Lini gd, welche den Durchmeſſer ak durchſchnei- det in k, und beyde Hyperbolen belanget in h und i,) dieweil eg, cd gleich und gleichlauffend ſind/ ſo wer- den auch ec und gd gleichlauffend und einander gleich ſeyn/ vermoͤg des 33ſten im I. B. Derowegen/ weil der andere Durchmeſſer ak (als des Durchmeſſers ce Creutzmeſſer) denen beruͤhrenden bd und fg, das iſt/ [vermoͤg der VI. Betrachtung 3. Folge] denen/ auf ce ordentlich-gezo- genen gleichlauffet/ ſo werden auch (Laut des 34ſten im I. B.) gk, ea, wie auch kd und ac, und folgends auch gk und kd, und (ſo man gh und di, welche nach der fuͤnften Betrachtung zweyter Folge auch einander gleich ſind/ beyderſeits darzu nimmet) endlich auch kh und ki, einander gleich ſeyn. Derohalben/ weil hi (Krafft der V. Betrachtung 6ter Folge) auf den andern Durchmeſſer ak ordentlich-gezogen iſt/ ſo werden auch die andere Ordentlich-gezogene alle (vermoͤg bemeldter 6ten und vorhergehender 5ten Folge) mit hi, das iſt/ mit dem Durchmeſſer ce gleichlauffen. Und diß iſt das andere.

Die Erſte Aufgab.

Wann zwey Creutzende Durchmeſſer nach Belieben gegeben ſind/ der Hyperbel beyde Creutzende Achſen zu finden.

Es ſeyen gegeben zwey Creutzende Durchmeſſer (diametri conjugatæ) einer Hyperbel/ pc, gh, und ſollen eben deroſelben Hyperbel Creutzende Achſen (axes conjugati) gefunden werden.

So ziehe man nun aus dem Mittelpunct a, durch g und h die beyde Unberuͤhrende ag, ah, und auf eine deroſelben aus c die Lini cb gleichlauffend mit der an- dern; finde ſo dann zwiſchen ab und bc die mittlere gleichverhaltende ad. Wann man nun ferner aus d ziehet de gleich ad und gleichlauffend mit ah, ſo wird eaf, welche durch e und a ſtreichet/ und zweymal ſo groß/ als ea, iſt/ die begehrte Quehr-Achſe/ und iek, welche auf eaf ſenkrecht faͤllet und in beyden Unberuͤh- renden ſich endet/ die andere Creutzende Achſe ſeyn. Dann weil (dem Satz nach) der Punct c in der Hyper- bel iſt/ bel iſt/ und das Rechtekk ade dem Rechtekk abc gleich/ vermoͤg des 17den im VI. ſo wird auch der Punct e in der Hyperbel ſeyn/ vermoͤg obiger dritten Betrachtung. Fer- ner/ weil da dem de, und alſo auch (vermoͤg des 5ten im I. B.) der Winkel dae dem Win- kel dea, das iſt (Laut des 29ſten im I. B.) dem Winkel eak gleich iſt; die Winkel bey e aber auch einander gleich gemachet worden/ ſo ſind beyde Dreyekke aei, aek gleichwinklicht/ und (weil ſie die Seite ae gemein haben) einander gleich/ Laut des 26ſten im I. daß alſo auch die Lineen ie und ek einander gleich ſeyn muͤſſen. Weil aber nun (wie oben bewieſen) der Punct e in der Hyperbel iſt/ und ik, die an beyde Unberuͤhrende ſtoͤſſet/ halbteihlet; ſo folget (nach der VI. Betrachtung) daß ik die Hyperbel in e beruͤhre/ und daß dannenhero/ weil aei, aek gerade Winkel ſind/ fe und ik die zwey Creutzende Achſen ſeyen.

Die Achte Betrachtung.

Jede beruͤhrende Lineen ſchneiden von deme/ zwiſchen beyden Unbe- ruͤhrenden begriffenen Winkel der Hyperbel gleiche Dreyekke ab: und die/ von eben deroſelben Dreyekke Seiten begriffene/ Rechtekke ſind auch einan- der gleich: Uber dieſes werden die groͤſſere Seiten bemeldter Dreyekke von denen Beruͤhrenden; die Beruͤhrenden ſelbſt in ihrem gemeinen Durch- ſchnitt; wie auch derer Beruͤhrenden/ zwiſchen ſolchem Durchſchnitt und denen Unberuͤhrenden enthaltene/ Teihle/ in denen Anruͤhrungspuncten/ nach gleicher Verhaͤltnis zerſchnitten.

Es beruͤhren/ zum Exempel/ die Hyperbel ce (deren unberuͤhrende Lineen ſind ag, ak) zwey gerade/ beyderſeits in denen Unberuͤhrenden geendigte/ Lineen gh und ik in denen Pun- cten c und e: Wird nun geſagt/ daß beyde/ ſo wol Recht- als Dreyekke gah, iak einander gleich ſeyen; und daß uͤber dieſes gi gegen ia, wie kh gegen ha, und gr gegen rh, wie kr gegen ri; endlich auch gc gegen cr, wie ke gegen er, ſich verhalte.

Dann ſo man aus denen Anruͤhrungspuncten c und e ziehet cb und ed gleichlauffend mit der ei- nen Unberuͤhrenden/ als ah; Weil ſich verhaͤlt (Krafft des 4ten im VI.) wie gc gegen gh, al- ſo gb gegen ga und bc gegen ah; und aber (ver- moͤg obiger VI. Betrachtung) gh zweymal ſo groß iſt als gc, ſo muß auch ga zweymal ſo groß als gb, und ah zweymal ſo groß als bc, und folgends (Laut des 20ſten im VI.) das Rechtekk gah viermal ſo groß ſeyn als das Rechtekk gbc oder abc. Gleicher geſtalt wird erwieſen/ daß das Recht- ekk iak viermal ſo groß ſey als das Rechtekk ade. Nun ſind aber die beyde Rechtekke abc und ade (Krafft obiger III. Betrachtung) einander

gleich. Derohalben muͤſſen auch beyder vierfaͤltige Rechtekke/ gah und iak, einander gleich ſeyn. Und diß iſt eines.

Dieweil nun hieraus ferner folget (vermoͤg des 16den im VI.) daß ga gegen ak ſich verhalte/ wie ia gegen ah, ſo ſind auch beyde Dreyekke gah und iak einander gleich/ ver- moͤg des 15den im VI. weil nehmlich ihre Seiten umb den gemeinen Winkel eine wieder- kehrliche Verhaͤltnis haben. Und diß iſt das andere.

Und weil ferner auch wechſelweis ga gegen ia ſich verhaͤlt/ wie ak gegen ah: ſo ver- haͤlt ſich auch zerteihlt gi gegen ia, wie kh gegen ha. Welches das dritte iſt.

Ferner/ ſo man von beyden gleichen Dreyekken gah und iak, die gemeine vierſeitige Figur irha, hinweg nimmet/ ſo werden die uͤbrige beyde Dreyekke gri und krh einander gleich ſeyn/ und dannenhero (Krafft des 15den im VI.) ihre Seiten umb die gleiche Win- kel bey r ſich wiederkehrlich/ das iſt/ gr gegen rh wie kr gegen ri, verhalten. Welches das vierdte iſt.

Endlich/ weil auch zuſammgeſetzet/ gh gegen rh wie ki gegen ri, oder halb gh (das iſt/ ch) gegen rh wie halb ki (das iſt/ ei) gegen ri; ſo verhaͤlt ſich auch rukkwerts (ver- D d ijmoͤg moͤg der 2. Folge des 19den im V.) ch, das iſt/ gc, gegen cr, wie ei oder ke gegen er. Welches das fuͤnfte und lezte iſt.

Die Neundte Betrachtung.

Wann in einer Hyperbel ein Durchmeſſer nach Belieben gezogen wird/ ſo verhaͤlt ſich wie die Vierung des andern Durchmeſſers gegen der Vierung des Quehrmeſſers/ (oder/ wie der Mitmeſſer gegen dem Quehrmeſſer) alſo die Vierung einer jeden Ordentlich-gezogenen gegen dem Rechtekk/ welches gemachet wird aus beyden Teihlen des erſtlich-gezogenen Durch- meſſers/ welche zwiſchen beyden Endpuncten des Quehrmeſſers und ge- dachter Ordentlich-gezogenen enthalten ſind.

Beweiß.

Es ſey in einer Hyperbel bcd (deren Unberuͤhrende ſind ae, af) nach Belieben gezogen der Durchmeſſer pacn, deſſen anderer/ als des Quehrmeſſers pc Creutzender/ Durchmeſſer ſey gch, der Mit. oder Neben-Meſſer aber ci, nehmlich die dritte gleichverhaltende zu pc und gh; und ſey endlich auf beſagten Durchmeſſer ordentlich-gezogen die Lini dn: Soll nun bewieſen werden/ daß/ wie die Vierung gh gegen der Vierung cp, alſo die Vierung dn ge- gen dem Rechtekk aus pn in nc ſich verhalte.

Dann/ wann dn beyderſeits durch die Hyperbel biß an die Unberuͤhrenden verlaͤngert wird/ wie e, b, n, df; weil alsdann (vermoͤg des 4ten und 22ſten im VI.) die Vierung fn (das iſt/ Krafft des 6ten im II. die Vierung dn ſambt dem Rechtekk bfd) gegen der Vie- rung hc, das iſt (Laut der 1. Folge der VI. Betrachtung) gegen dem Rechtekk bfd, ſich verhaͤlt/ wie die Vierung na, das iſt/ (Laut angezogenen 6ten im II. B.) das Recht- ekk pnc ſambt der Vierung ca, gegen der Vierung ca; ſo verhaͤlt ſich auch zerteihlet (nach dem 17den des V.) die Vierung dn gegen der Vierung hc, wie das Rechtekk pnc gegen der Vierung ca; und wechſelweis/ die Vierung dn gegen dem Rechtekk pnc, wie die Vie- rung hc gegen der Vierung ca, das iſt/ (vermoͤg des 15den im V.) wie die Vierung hg gegen der Vierung cp, oder/ wie ic gegen cp. Welches zu beweiſen war.

1. Folge.

Daher erhellet/ welcher geſtalten einer jeden gege- benen Hyperbel/ als bcd, unberuͤhrende Lineen gefun- den werden. Nehmlich/ nach dem man (Laut der V. Betrachtung 7den Folge) den Mittel- oder Be- ſchreibungspunct a gefunden/ und auf den/ nach Belie- ben genommenen und die Hyperbel in c durchſchneiden- den/ Durchmeſſer an eine Lini/ als bn, ordentlich-ge- zogen; ſo muß na biß in p verlaͤngert werden/ daß ap und ac gleich ſeyen/ und durch c muß man ziehen eine/ mit bn gleichlauffende gci; ſo dann in eben dieſer gleich- lauffenden/ die zwey Puncten g und h alſo bemerken/ daß das Rechtekk pnc gegen der Vierung bn ſich ver- halte/ wie die Vierung ac gegen der Vierung cg oder ch: dann ſolcher geſtalt werden die aus a durch g und h gezogene Lineen/ agc und ahf, die begehrte Un- beruͤhrende ſeyn.

2. Folge.

Aus bißher-bewieſenem folget auch/ wann durch p und i, die Endpuncten des Quehr- und des Mitmeſſers/ eine gerade Lini pik gezogen wird/ biß ſie auf jede beliebige Ordentlich- gezogene/ und ſo es vonnoͤhten iſt verlaͤngerte/ nd ſtoſſe in k; daß alsdann das Rechtekk cnk der Vierung nd gleich ſey. Dann/ weil ſich verhaͤlt wie pc gegen ci, oder (nach dem 4ten des VI.) wie pn gegen nk, das iſt (ſo man beyderſeits die gemeine Hoͤhe nc nimmt) wie das Rechtekk pnc gegen dem Rechtekk cnk, alſo (Krafft des obbewieſenen) das Rechtekk pnc pnc gegen der Vierung nd; ſo muß (vermoͤg des 9ten im V.) das Rechtekk cnk der Vierung nd gleich ſeyn. Das iſt/ nach derer Alten Meßkuͤnſtler Red-Art:

Die jenige Lini/ welche von der Hyperbel auf den Durchmeſſer ordent- lich-gezogen wird/ vermag das/ auf den Mitmeſſer (lateri recto adjacens) geſetzte Rechtekk/ welches zur Breite hat das jenige Stuͤkk des Durch- meſſers/ ſo zwiſchen dem Scheitelpunct des Durchmeſſers und zwiſchen obiger Ordentlich-gezogenen enthalten iſt/ und noch groͤſſer iſt (& excedens) umb eine Figur/ ſo da aͤhnlich und aͤhnlich-geſetzet iſt der jenigen/ welche von dem Quehr- und von dem Mitmeſſer begriffen wird.

3. Folge.

So ſchlieſſet ſich aus beſagtem ferner/ daß in der Hyperbel die Vierungen derer Ordent- lich-gezogenen ſich gegeneinan der verhalten/ wie die Rechtekke/ welche allerſeits aus denen/ zwiſchen beyden Endpuncten des Quehrmeſſers und jeder Ordentlichgezogen-enthaltenen/ Teihlen des Durchmeſſers gemachet werden. Dann/ wann lm und dn ordentlich-gezogen werden/ ſo verhaͤlt ſich die Vierung lm gegen dem Rechtekk pmc wie ci gegen pc, das iſt/ wie die Vierung dn gegen dem Rechtekk pnc, Laut gegenwaͤrtiger IX. Betrachtung. Derowegen auch verwechſelt/ die Vierung lm gegen der Vierung dn, wie das Rechtekk pmc gegen dem Rechtekk pnc.

Die Zehende Betrachtung.

Wann eine beruͤhrende Lini auf einen Durchmeſſer einer Hyperbel ſtoͤſ- ſet/ und aus dem Beruͤhrungspunct auf eben denſelben Durchmeſſer eine Lini ordentlich-gezogen wird: ſo iſt das Rechtekk aus beyden/ von dem Mittelpunct auf die Beruͤhrende und Ordentlich-gezogene reichenden/ Teihlen des Durchmeſſers/ gleich der Vierung des halben Quehrmeſſers.

Beweiß.

Es werde eine Hyperbel kc (deren unberuͤhrende Lineen ſind ad, af) in c beruͤhret von einer geraden Lini ecf, welche auf beyde unberuͤhrende Lineen ſtoͤſſet in e und f, auf den nach Belieben gezogenen Durchmeſſer ah aber in i; und aus dem Punct c ſey auf eben den- ſelben Durchmeſſer ordentlich-gezogen die Lini ch, welche/ verlaͤngert/ die Unberuͤhrende af betreffe in m. So ſage ich nun/ das Rechtekk hai ſey gleich der Vierung ka, oder (wel- ches vermoͤg des 17den im VI. gleich viel iſt) es verhalte ſich ha gegen ka, wie ka gegen ia.

Dann/ ſo man dkg mit hc, und kl mit ef gleichlauffend ziehet/ und den Durchſchnittspunct r bemerket/ ſo wird dg (vermoͤg der VI. Betrachtung 2. Folge) die Hyperbel in k beruͤhren/ und (nach der VIII. Betrachtung) wie fc gegen cr, alſo dk gegen kr, das iſt/ (Krafft des 2. im VI.) wie fm gegen mg, alſo dl gegen le ſich verhalten; und zuſammge- ſetzet/ wie fg gegen mg, alſo de gegen le; und umb- gekehrt/ wie mg gegen fg, alſo le gegen de. Weil aber ferner/ fg gegen ga ſich verhaͤlt/ wie de gegen ea, vermoͤg der VIII. Betr. ſo muß auch gleich- durchgehend/ mg gegen ga, das iſt/ (Krafft des

2ten im VI.) hk gegen ka, wie le gegen ea, das iſt/ wie ki gegen ia, ſich verhalten; und zuſammgeſetzet/ ha gegen ka, wie ka gegen ia; wie geſagt worden.

Die Eilfte Betrachtung.

Wann eine beruͤhrende Lini auf den andern Durchmeſſer einer Hyper- bel ſtoͤſſet/ und aus dem Anruͤhrungspunct auf eben denſelben Durchmeſ- ſer eine Lini ordentlich-gezogen wird; ſo iſt abermal das Rechtekk aus D d iijbeyden/ beyden/ vom Mittelpunct auf die Beruͤhrende und Ordentlich-gezogene reichender/ Teihlen ſolches andern Durchmeſſers/ gleich der Vierung des halben andern Durchmeſſers.

Beweiß.

Es werde eine Hyperbel kc (deren unberuͤhrende Lineen ſind ad, af) in einem beliebi- gen Punct c beruͤhret von einer geraden Lini fcq, welche auf den/ nach Belieben gezogenen/

andern Durchmeſſer ab ſtoſſe in q: So ſag ich nun/ wann aus c auf eben dieſen Durchmeſſer or- dentlich-gezogen werde die Lini cb, und aus a ei- ne mit cb gleichlauffende akh, welche die Be- ruͤhrende fcq in i, die Hyperbel aber in k durch- ſchneidet/ und endlich durch k eine gleichlauffende mit ab, nehmlich dkg (alſo daß/ vermoͤg der VII. Betr. akh des andern Durchmeſſers ab Creutzmeſſer wird/ und die Groͤſſe des halben an- dern Durchmeſſers iſt dk oder kg;) daß alsdann das Rechtekk baq gleich ſey der Vierung von dk oder kg.

Dann/ ſo man durch c, mit dem andem Durchmeſſer ab gleichlauffend/ und alſo auf den eingefangenen Durchmeſſer akh ordentlich/ ziehet die Lini tcm, welche die Hyperbel in c, den Durchmeſſer ah in h, und die Unberuͤhrende af in m betreffe; ſo verhaͤlt ſich (Krafft vorhergehender X. Betrachtung und des 20ſten im VI.) die Vierung ha gegen der Vie- rung ka, oder (Laut des 4ten und 22ſten im VI.) die Vierung hm gegen der Vie- rung kg, das iſt (Krafft der VI. Betrachtung 1. Folge) gegen dem Rechtekk tmc, wie ha oder cb gegen ia, das iſt (vermoͤg des 4ten im VI.) wie bq gegen aq: Dero- wegen wird auch zerteihlet/ die Vierung von hc oder ba gegen der Vierung kg ſich verhal- ten/ wie ba gegen aq, und muͤſſen alſo (Krafft des 20ſten im VI. B.) die drey Lineen ba, kg, und aq fortgeſetzt-gleichverhaltend/ und folgends (nach dem 17den des VI.) das Rechtekk aus ba in aq, und die Vierung von kg einander gleich ſeyn. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Folge beyder vorhergehender Betrachtungen.

Aus beſagtem iſt leichtlich zu erſehen/ welcher geſtalt aus einem jeden gegebenen Punct eine Lini ſolle gezogen werden/ welche die gegebene Hyperbel beruͤhre.

Dann/ wann der gegebene Punct in der Hyperboliſchen Lini ſelbſten iſt/ wie k, und man (nach der IX. Betrachtung 1ſter Folge) die unberuͤhrende Lineen gefunden/ und auf eine deroſelben die Lini kp, gleichlauffend mit der andern/ ziehet/ und endlich pg machet gleich ap, ſo beruͤhret die Lini gkd (Krafft obiger VI. Betr.) die Hyperbel in k, weil/ wie gp dem pa, alſo (nach dem 2ten des VI.) gk dem kd gleich iſt.

Gleicher weiſe/ wann der gegebene Punct in einer von denen unberuͤhrenden Lineen/ als in g, iſt/ und man ag halbteihlet in p, aus p ferner eine/ mit der andern Unberuͤhrenden gleich- lauffende/ Lini pk, und endlich gkd ziehet/ ſo wird eben dieſe die begehrte Beruͤhrende ſeyn.

Es ſey darnach ein Punct gegeben innerhalb des/ von beyden Unberuͤhrenden begriffenen/ Winkels/ als in i. So man nun aus dem Mittelpunct (welchen man nach der V. Betrach- tung 7den Folge finden kan) durch i einen Durchmeſſer aih ziehet/ welcher die krumme Lini in k betreffe, ſo dann zu ai und und ak die dritte gleichverhaltende ah findet/ durch h fer- ner eine Lini hc ordentlich-ziehet/ welche die krumme Lini in c betrifft/ ſo wird die aus i durch c gezogene/ icf, die begehrte Beruͤhrende ſeyn/ Krafft obiger zehenden Betrachtung.

Endlich ſey der gegebene Punct in einem Neben-Winkel (angulo deinceps) des/ von beyden Unberuͤhrenden begriffenen/ Winkels/ als in q. So man nun aus q durch den Mittel- punct a ziehet einen andern Durchmeſſer qab, wie auch deſſelben Creutzenden Quehrmeſſer akh (welcher nehmlich jede/ innerhalb der Hyperbel mit qab gleichlauffende Lini halbteih- let) ſo dann auch die Beruͤhrende/ und auf einer Unberuͤhrenden geendigte/ kg oder kd; end- lich der Vierung von kg oder kd gleich machet das Rechtekk qab, und durch b die Lini bc, auf den andern Durchmeſſer ordentlich/ das iſt/ mit ak gleichlauffend/ ziehet/ welche alſo die krum- krumme Lini betreffe in c; ſo wird (vermoͤg naͤchſter XI. Betr.) die Lini qc die Hyperbel in gemeldtem Punct beruͤhren.

Zum Beſchluß iſt auch offenbar/ daß/ wann der Punct innerhalb der Hyperbel oder dem Scheitelwinkel des jenigen/ der die Hyperbel umbfaſſet/ gegeben wuͤrde/ nicht moͤglich ſey aus demſelben auf die Hyperbel eine Lini zu ziehen/ welche dieſelbe nicht durchſchneide/ vermoͤg obiger III. Betr. 2ter Folge.

Die Zwoͤlfte Betrachtung.

Wann eines rechtwinklichten Dreyekkes (abc) eine Seite (bc, ſie ſey gleich dem rechten oder einem andern Winkel entgegen-geſetzt) in ihrem gegenſtehenden Winkel (cab) ſich alſo beweget/ daß ihre beyde End- puncten (b und c) fort und fort auf der zu erſt beruͤhrten/ jedoch im fall beduͤrfens verlaͤngerten/ Seite (nehmlich c auf ac und b auf ab) verblei- ben; und ſolche Bewegung durch alle Neben- und Scheitel-Winkel des be- ſagten Winkels (cab) fortgeſetzet wird; ſo beſchreibet ſolche bewegliche Seite (bc, welche/ verlaͤngert/ die beſchreibende Lini heiſſen ſoll) mit jedem ihrem/ nach Belieben (entweder in bc ſelbſten/ oder bequemer in ihrer Ver- laͤngerung) genommenen/ Punct (h) eine krumme Lini (hflepgdh) [nehm- lich/ biß der Punct c in a und b in i, und h in f kommet/ den Bogen hf; dar- nach/ biß c aus a in m und b aus i in k, und alſo h in l kommet/ den Bogen fl; gleicher weiſe/ biß b aus k in a und c aus m in q und h in e kommet/ den Bogen le; und wiederumb/ biß b aus a in n und c aus q in o, und h in p lauffet/ den Bogen ep, &c. und alſo/ biß der Punct h durch ſolche fortge- ſetzte Bewegung durch g und d wieder in h gelanget/ die ganze krumme Lini/ hflepgdh] welche nachfolgende Eigenſchafft hat: Daß/ wann des Winkels (cab) einer Schenkel (als ac) beyderſeits im fall beduͤr- fens alſo verlaͤngert wird (in d und e) daß beyde Teihle (ad und ae) der beſchreibenden Lini (bh) gleich werden [da dann de die unbewegliche Lini heiſſen kan;] und ſo dann/ in dem die beſchreibende Lini auf der unbeweg- lichen ſenkrecht ſtehet (nehmlich in dem Stand if, wie in der I. F. oder bh, wie wie in der II. und III. F. welches auch ihr erſter und fuͤrnehmſter Stand heiſſen ſoll) aus dem beſchreibenden Punct (f oder h) mitten durch (a) die unbe- wegliche Lini eine durchſchneidende (fg in der I. oder hg in der II. und III. F.) gezogen wird: Daß/ ſprich ich/ alsdann die Vierung einer jeden Lini/ ſo da aus jedem beliebigen Punct der unbeweglichen auf die krumme Lini/ mit der durchſchneidenden gleichlauffend/ ſtreichet/ (als li, in denen folgenden Fi- guren) gegen dem/ aus beyden hierdurch entſtehenden Teihlen der unbeweg- lichen Lini gemachten/ Rechtekke (die) ſich verhalte/ wie die Vierung der durchſchneidenden (fg oder hg) gegen der Vierung der unbeweglichen Lini (de.)

Beweiß.

Mit einem Wort: Es ſoll bewieſen werden/ daß (in folgenden Figuren und Faͤllen) al- lezeit die Vierung li, gegen dem Rechtekk die ſich verhalte wie die Vierung fg oder hg gegen der Vierung de; und ſolches folgender Geſtalt:

Es ſey die beſchreibende Lini in dem jenigen Stand/ in welchem ſie geweſen/ als durch ſie der Punct l beſchrieben worden/ nehmlich in km. Und zwar fuͤrs erſte/ wann der Winkel

bac gerad iſt/ (wie in der I. und II.F. &c.) ſo ziehe man kn gleich- lauffend mit der unbeweglichen Lini de, alſo daß ſie auf li oder deroſelben Verlaͤngerung treffe in n. Dieweil nun kl gleich iſt der halben Unbeweglichen ae oder ad, und alſo auch die Vierung kl der Vierung ad oder de, ſo werden/ nach Hinwegnehmung zweyer anderer gleicher Dinge/ nehmlich der Vierung kn auf ei- ner/ und der Vierung ai auf der andern Seite/ auch die beyde uͤbrige/ nehmlich (vermoͤg des 47ſten im I.) die Vierung ln und (Laut des 5ten im II.) das Rechtekk die, auch einander gleich ſeyn. Dannenhero/ weil (Krafft des 4ten und 22ſten im VI.) wie die Vierung li gegen der Vierung ln, das iſt/ gegen dem Rechtekk die, alſo ſich verhaͤlt die Vierung lm gegen der Vierung lk, das iſt/ die Vierung fa gegen der Vierung ae, oder (nach dem 15den des V.) die Vierung fg gegen der Vierung de; ſo iſt die Sache im erſten Fall gewiß und fuͤr Augen.

Es ſey fuͤrs andere der Winkel bac nicht gerad/ wie in folgenden und dergleichen Faͤllen/ und ſeyen auf die unbewegliche/ im fall beduͤrfens verlaͤngerte/ Lini/ ko, lp, mit der beſchrei-

benden gleichlauffend/ und alſo auf die unbewegliche ſenkrecht/ gezogen/ wie auch in gleich- lauffend mit ab, welche die Lini lp, oder ihre Verlaͤngerung betreffe in n, (alſo daß (ver- moͤg moͤg des 29ſten im I. B.) die beyde Dreyekk ahc und ilp, wie auch ahb und iln, ein- ander aͤhnlich ſeyen) und endlich kn. Dieweil nun (Laut des 4ten im VI.) wie ba ge-

gen ka, oder wie bc (das iſt/ mk) gegen ko, alſo ml, das iſt/ hc gegen lp, ſich verhaͤlt; Wie aber hc gegen lp, alſo ha gegen li, und ba gegen ni, und folgends ba gegen ka wie ba gegen ni: ſo werden (Krafft des 9ten im V.) ka und ni einander gleich ſeyn. Nun ſind ſie aber (Krafft obigen Satzes) auch gleichlauffend. Derowegen muͤſſen auch ai und kn gleich und gleichlauffend ſeyn/ vermoͤg des 33ſten im I. B. Ferner weil kl und ae oder ad, und alſo auch ihre Vierungen/ einander gleich ſeyn/ ſo muͤſſen/ wann gleiche von dieſen glei- chen genommen werden/ (nehmlich die Vierung kn auf einer/ und die Vierung ai auf der an- dern Seite) auch die uͤbrige Reſte/ nehmlich (nach dem 47ſten im I. und 5ten im II. B.) die Vierung ln und das Rechtekk die, auch einander gleich ſeyn. Dahero dann/ weil (Krafft des 4ten und 22ſten im VI.) die Vierung li gegen der Vierung ln, das iſt/ gegen dem Rechtekk die ſich verhaͤlt wie die Vierung ah gegen der Vierung hb, das iſt/ gegen der Vierung ae, oder (nach dem 15den des V.) wie die Vierung hg gegen der Vierung de; auch in dieſem Fall die Waarheit des fuͤrgegebenen erhellet.

Und alſo iſt offenbar/ daß vorbeſagte krumme Lini eben die jenige ſey/ welche bey denen Alten Ellipſis (eine manglende Kegel-Lini/ ſonſten eine ab- lange Rundung) genennet wird; und daß die unbewegliche und durchſchnei- dende Lineen/ deroſelben/ ſo genannte/ Creutzende Durchmeſſer/ oder/ wann der Winkel gerad iſt/ Creutzende Achſen ſeyen.

So wollen wir dann Creutzende Durchmeſſer nennen jede zwey gerade/ durch den Mittelpunct beyderſeits an die Rundung/ alſo gezogene Lineen/ daß (wie erſt von der Unbeweglichen und Durchſchneidenden erwieſen wor- den) die Vierungen jeder geraden Lineen/ welche auf den einen Durchmeſſer/ mit dem andern gleichlauffend/ gezogen werden/ gegen die aus denen abge- ſchnittenen Teihlen gemachte Rechtekke ſich verhalten/ wie die Vierung des einen gegen der Vierung des andern Durchmeſſers/ welcher von gemeldten Lineen zerſchnitten wird.

E eUnd

Und zwar dieſer/ auf welchen die Lineen gezogen ſind/ ſoll der Quehr- meſſer/ der uͤbrige/ mit dem ſie gleichlauffen/ der andere Durchmeſſer/ die uͤbrige aber/ durch den Mittelpunct beyderſeits an die Rundung gezogene Lineen ſchlecht hin Durchmeſſer heiſſen.

Die jenige Lini/ welche zu dem Quehr- und andern Durchmeſſer die dritte gleichverhaltende iſt/ ſoll der/ zu dem Quehrmeſſer gehoͤrende/ Mit- meſſer (Parameter oder Latus rectum) genennet werden.

Endlich iſt zu merken/ wann (in bißher-erklaͤrter Bezeichnung) der Winkel (cab) gerad/ und der beſchreibende Punct (h) von beyden Enden des beſchreibenden Schenkels (nehmlich von b und c) gleichweit entfernet iſt; daß alsdann die/ ſolcher Geſtalt beſchriebene Lini/ eine Kreiß-Lini ſey.

1. Folge.

Aus obigem Beweiß und Gegeneinander-haltung der erſten und andern Figur/ iſt augen- ſcheinlich/ daß in der ablangen Rundung die Quehr-Achſe auch die andere Achſe ſey und umb- gekehret. Dann ob li auf dieſe oder auf jene gezogen wird/ ſo bleibet allezeit bewieſen/ daß die Vierung li gegen dem Rechtekk/ welches aus den Teihlen der Achſe/ auf welche li faͤllet/ gemachet iſt/ ſich verhalte/ wie die Vierung der uͤbrigen Achſe/ gegen der Vierung der vori- gen/ welche durch li geteihlet worden.

2. Folge.

Es erſcheinet ferner/ daß die jenige gerade Lini/ welche durch den beſchreibenden Punct (im erſten Stand) mit der unbeweglichen gleichlauffet/ das iſt/ welche durch den Endpunct des andern Durchmeſſers/ dem Quehrmeſſer gleichlauffend/ gezogen wird/ die Rundung in eben demſelben/ und ſonſt in keinem andern/ Punct beruͤhre/ viel weniger dieſelbe durchſchneide. Dann/ wann durch f (in der I. F.) oder h (in der III. F. u. d. g.) st dem Quehrmeſſer de gleichlauffet/ ſo nehme man in der Rundung einen andern Punct nach Belieben/ als l, welcher beſchrieben ſey von der beſchreibenden Lini in dem Stand km, und ziehe ſo dann li (in der I. F.) oder/ lp (in der III. F. &c.) ſenkrecht auf den Quehrmeſſer. Welchem nach folgen wird/ daß in dem Dreyekke mli oder mlp die Lini ml, das iſt/ fa (in der I. F.) oder hc (in der III.) vermoͤg des 18den im I. groͤſſer ſey als li oder lp; alſo daß der Punct l, er ſey ge- nommen wo er immer wolle/ das iſt/ die ganze Rundung/ ausgenommen der Punct f oder h, unter die Lini st fallen muß.

3. Folge.

So folget auch/ daß in der ablangen Rundung die Vierungen derer Ordentlich-gezoge- nen ſich gegeneinander verhalten wie die Rechtekke aus denen Teihlen des Durchmeſſers/ die von ſolchen Ordentlich-gezogenen gemachet werden. Als/ wann ordentlich-gezogen ſind li, wx, (in der I. und III. F.) ſo verhaͤlt ſich die Vierung wx gegen dem Rechtekk dxe, wie die Vierung li gegen dem Rechtekk die, (nehmlich beyderſeits wie die Vierung fg oder hg gegen der Vierung de, oder wie der Mitmeſſer gegen dem Quehrmeſſer) und darumb auch wechſelweis die Vierung wx gegen der Vierung li, wie das Rechtekk dxe gegen dem Rechtekk die.

4. Folge.

Ferner wird kundt/ daß alle/ auf die Achſe oder den Durchmeſſer Ordentlich-gezogene und beyderſeits an die Rundung verlaͤngerte/ Lineen von beſagter Achſe oder Durchmeſſer halbgeteihlet werden. Als/ wann li verlaͤngert die Rundung belanget in u (Beſihe die I. F.) Weil ſich verhaͤlt die Vierung li gegen dem Rechtekk die, wie die Vierung ui gegen eben demſelben Rechtekk die (Krafft vorhergehender 4ten Folge) ſo ſind (vermoͤg des 9ten im V.) die beyde Vierungen von li und ui, und alſo auch die Lineen li und ui, einander gleich.

5. Folge.

So gibt auch die Vernunft/ daß beſagte Ordentlich-gezogene die Rundung in mehr als zweyen Puncten nicht betreffen. Dann wann liu noch mit einem andern Punct/ auſſer l und u, zum Exempel mit z in die Rundung fiele/ ſo waͤren (Krafft erſtbewieſenens) il und iz, das iſt/ iu und iz (ein Teihl und ſein ganzes) einander gleich/ welches unmoͤglich iſt.

6. Fol-

6. Folge.

Aus beſagtem wird ferner geſchloſſen/ wann aus einem Endpunct des Quehrmeſſers fg (in der I.F. &c.) der Mitmeſſer fs, dem andern Durchmeſſer de gleichlauffend/ gezogen/ und sg zuſammengehaͤnget/ und endlich auf eben denſelben Durchmeſſer ordentlich-gezogen wird rq, welche sg durchſchneide in y; daß alsdann das Rechtekk fqy der Vierung rq gleich ſey. Dann weil (vermoͤg gegenwaͤrtiger zwoͤlfter Betrachtung) die Vierung gf gegen der Vierung de, das iſt (nach dem 20ſten im VI. B.) gf gegen fs oder gq ge- gen qy, das iſt (Krafft des 1ſten im VI.) das Rechtekk gqf gegen dem Rechtekk yqf ſich verhaͤlt/ wie erſtbeſagtes Rechtekk gqf gegen der Vierung rq, ſo ſind (vermoͤg des 9ten im V.) das Rechtekk yqf und die Vierung rq einander gleich. Das iſt/ wann wir mit denen Alten reden wollen:

Die jenige Lini/ welche von der ablangen Rundung auf den Durchmeſſer ordentlich-gezogen wird/ vermag das/ auf den Mitmeſſer geſetzte (lateri re- cto adjacens) Rechtekk/ welches zur Breite hat das jenige Stuͤkk des Durch- meſſers/ ſo zwiſchen deſſelben Scheitelpunct und der Ordentlich-gezogenen enthalten iſt; und ermangelt (deficiensq́;) einer Figur/ ſo da aͤhnlich/ und aͤhnlich-geſetzet iſt der jenigen/ welche von dem Quehr- und Mitmeſſer (la- teribus transverſo rectoq́;) begriffen wird.

7. Folge.

Endlich iſt auch fuͤr Augen/ welcher geſtalt/ wann zwey Creutzende Durchmeſſer nach Belieben gegeben ſind/ eine ablange Rundung auf einer Ebene ſolle verzeichnet werden.

Als/ wann beyde Creutzende Achſen dae und fag (in der I. F.) gegeben ſind/ ſo ver- zeichne man vermittelſt der beſchreibenden Lini bc, ſo da gleich iſt dem Unterſcheid beyder Halb-Achſen ad und af, in der Weiten hc und hb, gleich af und ad, und innerhalb dem Winkel dag, oberklaͤrter maſſen eine krumme Lini/ ſo wird ſolche eben die begehrte ablange Rundung ſeyn.

Wann aber ſonſten zwey Creutzende Durchmeſſer/ wie de und hg (in der III. F. &c.) nach Belieben gegeben ſind/ ſo laſſe man aus dem Endpunct des einen auf den andern ſenkrecht herunter die Lini hc, und nehme in derſelben/ oder ihrer Verlaͤngerung/ hb gleich ad oder ac, und ziehe durch b und a die Lini baf. So man alsdann/ vermittelſt bch in dem Winkel bac, oberklaͤrter maſſen/ eine krumme Lini beſchreibet/ wird ſelbe abermals die begehrte ab- lange Rundung ſeyn.

Dannenhero/ weil vermlttelſt eines gegebenen Durchmeſſers und ſeines Mitmeſſers/ wie auch des Winkels/ welchen die Ordentlich-gezogene mit beſagtem Durchmeſſer machen/ auch die Creutzende Durchmeſſer ohne Muͤh zu finden/ ja wol wuͤrklich gegeben ſind; iſt zugleich offenbar/ welcher geſtalt auch bey ſo beſchaffenen Dingen die ablange Rundung bezeichnet werde.

Die Dreyzehende Betrachtung.

Jn einer/ umb jede beliebige Achſen beſchriebenen/ ablangen Rundung/ iſt jeglicher nach Belieben gezogener Durchmeſſer ein Quehrmeſſer/ und hat ſeinen andern zugehoͤrigen Creutzenden.

Erlaͤuterung.

Es ſey in einer ablangen Rundung syxz (deren Mittelpunct a, die Achſen aber sx und yz ſind) nach Belieben gezogen ein Durchmeſſer dae; und alſo die beſchreibende Lini ow in dem jenigen Stand/ in welchen ſie geweſen/ als der Punct d oder e beſchrieben worden. Dar- nach ſey eben dieſelbe beſchreibende in wiederkehrlichem Stand geſetzet/ das iſt/ in einem Neben- winkel des vorigen Winkels/ als in pr, alſo daß die Lineen ar, ap denen beyden aw, ao wiederkehrlich gleich/ und alſo die beyde Dreyekke wao, und par (nach dem 4ten im I.) einander gleich und aͤhnlich ſeyen. Endlich aus dem Punct h, welcher der Lini pr ſchnur- ſtrakks entgegen ſtehet/ ſey gezogen der Durchmeſſer hag. So ſage ich nun/ de ſey ein Quehrmeſſer und hag ſein anderer Creutzender Durchmeſſer: das iſt/ wann hc auf de E e ijſenk- ſenkrecht gezogen/ und in hc, oder ihrer Verlaͤngerung/ hb gleich da genommen; aus b fer- ner durch a die Lini baf hinaus gefuͤhret/ und alſo in dem Winkel bac und denen Zwiſchen- weiten hc, hb, eine ablange Rundung beſchrieben wird (deren Creutzende Durchmeſſer ohne Zweiffel de und hg ſind/ vermoͤg vorhergehender Betrachtung 7der Folge;) ſo ſage ich/ dieſe alſo aufs neu beſchriebene ablange Rundung werde eben die vorige gegebene ſeyn/ und mit derſelben in allen Puncten uͤbereintreffen.

Dann/ ſo man in der erſtgegebe- nen Rundung noch einen andern Punct/ I, nach Belieben genommen/ welcher von der beſchreibenden Lini in dem Stand tu bezeichnet worden; ſo be- ſchreibe man umb tu, als einen Durch- meſſer/ einen Kreiß/ welcher/ wegen des rechten Winkels tau, (oder doch/ weil einer von beyden Puncten t und u in a faͤllet/ wie in der VI. F.) Krafft des 31ſten im III. B. nohtwendig durch a gehen/ und die Lineen baf, dae auch anderſtwo/ als in k und m durchſchneiden [oder doch/ wie in der III. und IV. F. die eine beruͤh- ren und die andere durchſchneiden] wird. Darnach ziehe man km biß in l, und endlich tk, bp.

Dieweil nun die/ im fall beduͤr- fens verlaͤngerte/ Lineen do, hp ein- ander in q ſenkrecht durchſchneiden/ wegen Aehnlichkeit des Dreyekkes oqp mit beyden Dreyekken oaw, rap, [oder/ wann o und p zuſam- men fallen/ wegen beyder halbgeraden Winkel aow, apr] ſo werden/ nach Bemer- kung des Punctes i, worinnen de und ph einander durchſchneiden/ die beyde Dreyekke iqd, ich, wegen der geraden Winkel bey q und c, und des bey i gemeinen oder gleichen Scheitel- winkels/ gleichwinklicht ſeyn. Derowegen/ weil beyder Dreyekke oda, phb, beyde Sei- ten umb die gleiche Winkel bey d und h, nehmlich/ od der Seite ph, und ad dem hb, gleich haben; ſo wird auch (vermoͤg des 4ten im I.) die Grundlini oa, das iſt/ ar, der Grund- lini pb, wie auch der Winkel doa, das iſt/ pra, dem Winkel hpb, gleich/ und alſo (nach dem 27ſten des I.) pb und ra gleichlauffend ſeyn. Dannenhero/ weil abermal derer beyden Dreyekke rap und bpa, beyde Seiten umb die rechte Winkel/ bey p und a, einander gleich ſind ſo muß wieder (Krafft des 4ten im I.) die Grundlini ab der Grundlini pr, oder der beſchreibenden Lini tu, und der Winkel arp dem Winkel pba gleich ſeyn. Und derowegen wird auch der/ umb den Durchmeſſer ab beſchriebene/ Kreiß (welcher/ wegen der geraden Winkel acb, apb, und wegen Gleichheit derer andern beyden abp und arp, Laut des 31ſten und 21ſten im III. B. durch c, p, und r gehet) dem Kreiß tku gleich ſeyn. Die- weil dann nun die beyde Winkel pbc, bpr denen beyden tkm, ktu gleich ſind/ nehmlich pbc dem tkm (und alſo auch ihre Nebenwinkel) vermoͤg des 22ſten im III. weil beyde mit dem Winkel pac oder tam zwey gerade Winkel machen; (*) bpr aber dem ktu, darumb/ Und dieſes in der I. F. Jn der II. F. ſind beyde dem Winkel pac oder tam gleich/ Krafft des 21ſten im III. Jn der III. F. machen abermals alle beyde mit pac zwey gerade Winkel/ jener nach dem 22ſten des III. dieſer nach dem 13den des I. B. Jn dem IV. Fail ſind pbc und tkm einander gleich/ weil jener mit pac, dieſer aber mit tua (welche beyde pac und tua, vermoͤg des 32ſten im III. gleich ſind) zwey gerade Winkel machen/ aus dem 22ſten des III. Jn der V. F. iſt tkm oder tam gleich dem Winkel pbc, abermal weil beyde mit pac, ver- moͤg des 13den im I. 20. und 22ſten im III. zwey gerade Winkel machen. Jn der der VI. F. endlich ſind pbc und tkm gleich/ weil pac dem gleich iſt/ welcher in dem Kreißſchnitt aum gemachet wuͤrde/ nach dem 32ſten des III. und aber dieſer mit tkm, pac aber mit pbc zwey gerade Winkel machet/ abermals nach dem 22ſten des III. B. weil ſie alle beyde (vermoͤg des 21ſten und in dem III. Fall nach eben dieſem 21ſten und 32ſten des III.) dem Winkel bar oder kau oder fau gleich ſind; (*) Und aber ferner Jn der IV. und V. F. machet ſo wol der Winkel bpr oder bar, als ktu mit kau zwey gerade Winkel/ Laut des 13den im I. und 22ſten des III. wegen der gleichen Winkel pab und tak, ſo wol die Kreißſtuͤkke als dero unterzogene Lineen/ pb und tk, auch einander gleich ſind/ vermoͤg des 26ſten und 29ſten im III. (*) ſo iſt offen- bar/ daß/ gleich wie bc, pr, verlaͤngert/ in dem Punct h zuſammen kommen/ eben alſo km und tu, wann ſie verlaͤngert werden/ und zwar/ weil ph und tl gleich ſind/ in dem Punct l, Jn der III. F. da baf den Kreiß tku beruͤhret/ ſind die Seiten bp und tk ein- ander gleich/ wegen Gleichheit derer Winkel bap, tuk, vermoͤg des 32ſten im III. Jn der VI. F. gleichfalls/ da pay den Kreiß tku beruͤhret/ ſind bp und tk gleich wegen Gleichheit derer Winkel pab und tmk oder tuk, nach dem 32ſten des III. zuſammenlauffen werden; ſintemal aus bißher-beſagtem augenſcheinlich erhellet/ daß die beyde Dreyekke bph und ktl ganz gleich und aͤhnlich/ und alſo auch die Seite kl der Seite bh gleich ſey. Es ſind aber auch km und bc einander gleich (*) wegen derer gleichen Winkel kam, bac, vermoͤg des 20. und 29ſten im III. Derowegen muͤſſen auch die beyde Reſte lm und hc Jn der III. F. iſt km dem bc gleich/ weil/ Krafft des 32ſten im III. der Win- kel ktm dem Winkel fam oder bac gleich waͤre. Jn der IV. F. gleichfalls/ weil ktm, dem kac oder bac gleich iſt. Jn der V. F. ſind km und bc gleich/ weil jeder Winkel in dem Abſchnitt bc dem Winkel kam gleich waͤre/ in dem beyde mit bac zwey gerade Winkel macheten/ Krafft des 13den im I. und des 22ſten im III. B. einander gleich ſeyn. Dannenhero/ weil km die beſchreibende Lini iſt/ gleich bc, und zwar in dem Winkel kam (welcher entwe- der mit dem Winkel bac gar uͤberein- trifft/ wie in der VI. F. oder doch deſ- ſelben Scheitelwinkel/ wie in der I. und II. F. oder ſein Neben-Winkel iſt/ wie in der V. F.) ſtehet/ oder mit dem einen Schenkel deſſelben uͤbereintrifft/ wie in der III. und IV. F; uͤber dieſes auch die Zwiſchenweiten hb, hc, de- nen Zwiſchenweiten lk, lm, Krafft bißherigen Beweiſes/ gleich ſind: ſo folget/ daß der/ in der erſtgegebenen Rundung nach Belieben genommene/ Punct/ l, (das iſt/ die ganze ablange Rundung syxz) in der jenigen ab- langen Rundung ſey/ welche in dem Winkel bac, vermittelſt derer Zwi- ſchenweiten hb, hc, beſchrieben wird; und daß alſo eine mit der andern gaͤnz- lich uͤbereintreffe. Nun ſind aber de und hg zwey Creutzende Durchmeſſer dieſer letzern/ vermoͤg naͤchſter XII. Betrachtung 7der Folge. Da-

rumb werden ſie auch der erſten (als mit dieſer ganz uͤbereintreffenden) Creutzende Durch- E e iijmeſſer meſſer ſeyn/ de nehmlich der Quehrmeſſer/ und hg der andere Durchmeſſer: Welches hat ſollen bewieſen werden.

1. Folge.

Hieraus wird geſchloſſen/ daß nicht allein alle ablange Rundungen ihre gewiſſe Achſen haben/ ſondern auch welcher Geſtalt/ wann zwey be- liebige Creutzende Durchmeſſer einer ſolchen Rundung gegeben ſind/ dero- ſelben Achſen moͤgen gefunden werden.

Als/ wann einer ablangen Run- dung Creutzende Durchmeſſer waͤren dae und hag, ſo ziehet man hb, gleich dem Halbmeſſer da oder ae, und auf de ſenkrecht; ſo dann ba; und aus deroſelben Mitte n (Beſihe die I. Fig.) beſchreibet man/ in der Weite na oder nb, einen Kreiß/ wel- cher die/ durch h und n gezogene/ Lini in p und r durchſchneidet; nach wel- cher Verrichtung dann/ hb und hr die Groͤſſe beyder Halb-Achſen haben/ und alſo aus a durch p und r in glei- cher Laͤnge/ wie sx und yz, koͤnnen gezogen werden.

Dann/ ſo man pb zuſammenziehet/ und ao dem ar, das iſt (Laut des 4ten im I.) dem pb gleich machet/ und endlich do ziehet/ welche sx in w belanget: dieweil/ wegen des geraden Winkels acb, der beſchriebene Kreiß auch durch c ſtreichet/ Krafft des 31ſten im III. B. ſo werden die zwey Winkel pbh und oad einander gleich ſeyn (in dem ſie beyde mit dem Winkel pac [wie in der I. F.] oder mit pbc [wie in der II. F. da pbc und pac gleich ſind] zwey gerade Winkel machen/ Laut des 13den im I. und 22ſten im III. B. Dan- nenhero weil die beyde Dreyekke oad und pbh, zwo Seiten oa, ad und pb, bh und zwar umb die gleiche Winkel/ gleich haben/ ſo muͤſſen auch die Grundlineen od und ph, das iſt/ od und sa oder ax, wie auch die Winkel aod und bph oder pra, einander gleich ſeyn/ nach dem 4ten im I. B. Es ſind aber folgends auch die beyde Dreyekke rap, oaw (we- gen Gleichheit der Winkel aod und pra, und derer [vermoͤg des 31ſten im III. und 13den des I.] geraden/ rap, oaw, wie auch beyder Lineen ar und ao) einander gleich/ und folgends auch die Seite aw der Seite ap, und ow dem pr, Krafft des 26ſten im I. B. Daher dann ſchließlichen offenbar iſt/ weil (Krafft vorhergehender zwoͤlfter Be- trachtung) ow und pr beſchreibende Lineen ſind der jenigen Rundung/ deren Achſen ſind sx und yz, und zwar in wiederkehrlichem Stand/ die beſchreibende Puncten aber d und h; daß die ablange Rundung/ welche umb beyde Achſen sx, yz beſchrieben wird/ eben die jenige ſey/ deren Creutzende Durchmeſſer de und hg ſind.

Und alſo erhellet/ daß alles das jenige/ was in obiger Betrachtung von einer umb jede beliebige Achſen beſchriebenen ablangen Rundung bewieſen worden/ auch allen andern zukomme/ die umb jede beliebige Creutzende Durchmeſſer beſchrieben werden.

2. Folge.

Es folget auch aus dem Beweiß ebengedachter Betrachtung/ daß alle Durchmeſſer einer ablangen Rundung in dem Mittelpunct halbgeteihlet werden. Dann es iſt erwieſen worden/ daß jedes/ nach Belieben gezogenen/ Durchmeſſers de beyde/ im Mittelpunct gemachte/ Teihle ad, ae gleich ſeyn/ weil ſie beyde der Zwiſchenweite hb gleich ſind.

3. Fol-

3. Folge.

So erſcheinet uͤber dieſes/ daß in der ablangen Rundung/ jeder zweyer Creutzender Durch- meſſer der eine/ welcher Quehrmeſſer war/ auch im Gegenteihl der andere Durchmeſſer/ und der/ ſo zuvor der andere war/ umbgekehrt der Quehrmeſſer ſey. Als wann aus zweyen gege- benen Creutzenden Durchmeſſern de und hg, der eine de der Quehrmeſſer/ hg aber ſein anderer Durchmeſſer iſt; und aber/ vermoͤg dieſer xiii. Betrachtung und der 1 Folge/ jeder Durchmeſſer ein Quehrmeſſer iſt und ſeinen andern Creutzenden hat/ ſo wird auch hg ein Quehrmeſſer ſeyn. Daß aber de ſein anderer Creutzender Durchmeſſer ſey/ wird aus Gegen- einander-haltung der I. und II. F. (wann man nur die Buchſtaben verſetzet/ und was noͤhtig iſt veraͤndert) zugleich bewieſen ſcheinen.

4. Folge.

Derowegen auch die jenige Lini/ welche durch den Endpunct des Quehrmeſſers/ mit dem andern Durchmeſſer gleichlauffend/ ſtreichet/ die Rundung in eben demſelben Punct/ aber ſonſt in keinem mehr/ beruͤhren/ und alſo ganz auſſerhalb der Rundung fallen wird/ vermoͤg der XII. Betr. 2ter/ und der XIII. 3ter Folge.

5. Folge.

Alſo muß endlich jede gerade/ aus jedem beliebigen Punct der ablangen Rundung auf je- den Durchmeſſer ordentlich-gezogene/ Lini ganz innerhalb die Rundung fallen; ſintemal die- ſelbe (vermoͤg vorhergehender Folge) nicht ganz auſſerhalb der Rundung fallen/ noch die- ſelbe (Krafft der XII. Betr. 5ter Folge) in mehr als zweyen Puncten betreffen kan.

Die Vierzehende Betrachtung.

Jegliche/ durch zwey Puncten der ablangen Rundung gezogene/ ge- rade Lini/ die von dem Durchmeſſer halbgeteihlet wird/ muß entweder durch den Mittelpunct gehen/ oder auf denſelben Durchmeſſer ordentlich- gezogen/ das iſt/ dem andern Creutzenden Durchmeſſer gleichlauffend/ ſeyn.

Beweiß.

Dann/ wann in der ablangen Rundung abcd, (deren Mittel- punct k iſt) von dem Durchmeſſer akc halbgeteihlet wuͤrde die Lini chg, welche weder durch den Mittelpunct gehet/ noch mit bd (dem an- dern Creutzenden Durchmeſſer) gleichlauffet; ſo muͤſte (nach dem man gif ordentlich- und gkl durch den Mittelpunct gezogen) wie gh gegen he, alſo nicht allein gi gegen if (nach der XII. Betr. 4ter Folge) ſondern auch (Krafft der XIII. 2ter) gk gegen kl, ſich verhalten/ und alſo/ nicht allein fe, ſondern auch el (wann ſie gezogen wuͤrden) das iſt/ die ganze Lini fel, mit dem Durchmeſſer ac gleichlauffen/ vermoͤg des 2ten im VI. das iſt/ (vermoͤg der XII. Betr. und der XIII. 3ter Folge) auf bd ordentlich-gezogen ſeyn/ welche doch die

Rundung in dreyen Puncten belangete; deſſen Unmoͤglichkeit aber/ in der XII. Betr. 5ter Folge/ bewieſen iſt.

1. Folge.

Derowegen/ wann der Durchmeſſer eine/ nicht durch den Mittel- punct ſtreichende/ Lini halbteihlet/ ſo wird er auch alle deroſelben gleich- lauffende halbteihlen/ vermoͤg gegenwaͤrtiger XIV. Betr. und der XII. 4ter Folge.

2. Folge.

Und daher/ wann in einer ablangen Rundung zwey gleichlauffende Lineen nach Belieben gezogen werden/ ſo wird die jenige gerade Lini/

welche die beyde vorige halbteihlet/ durch den Mittelpunct gehen/ oder ein Durchmeſſer ſeyn; ſintemal der jenige Durchmeſſer/ welcher mitten durch eine von denen gleichlauffenden ſtrei- chet/ vermoͤg vorhergehender Folge/ auch mitten durch die uͤbrige gehen muß. Woraus erſcheinet/ welcher geſtalt man in einer gegebenen ablangen Rundung allerley Durchmeſſer/ ſo viel ſo viel man will/ ſambt ihren Ordentlich-gezogenen/ wie auch der Rundung Mittelpunct (als welcher jeder zweyer oder mehrerer Durchmeſſer gemeiner Durchſchnitt iſt) endlich auch die Creutzende Durchmeſſer und Achſen (nach der XIII. Betr. 1. Folge oder ſonſten auf an- dere/ leicht-erfindliche/ Weiſe) finden koͤnne.

3. Folge.

Aus beſagtem erhellet endlich auch dieſes/ daß jede/ durch zwey Puncten der Rundung gezogene/ Lini/ ganz innerhalb der Rundung falle/ Krafft der XIII. Betr. 5ten Folge. Weil dieſelbe entweder ein Durchmeſſer iſt/ oder doch eine Ordentlich-gezogene auf den jenigen Durchmeſſer/ welcher mitten durch ſie und durch der Rundung Mittelpunct/ Laut gegen- waͤrtiger XIV. Betr. und deren 1ſter Folge.

Die Andere Aufgab.

Jn einer jeden gegebenen ablangen Rundung eines jeden beliebigen Durchmeſſers Creutzmeſſer zu finden.

Es ſoll/ zum Exempel/ in der gegebenen ablangen Rundung syxz des/ nach Belieben gezogenen/ Durchmeſſers dae anderer und Creutzender Durchmeſſer gefunden werden. So finde man nun zu foͤrderſt die Achſen sax und yaz, (nach Anleitung der 2. Folge vor- hergehender Betr.) und ziehe aus d oder e, auf eine von beyden Achſen/ als auf yaz, die Lini do gleich der andern halben Achſe sa, welche/ im fall beduͤrfens/ verlaͤngert/ eben dieſelbe Achſe durchſchneide in w. Darnach werde dieſe Lini ow in wiederkehrlichem Stand geſtel- let/ wie pr, (alſo nehmlich/ daß ap dem aw und ao dem ar gleich ſey) und verlaͤngert biß an die krumme Lini in h. Wann man nun aus dieſem Punct h durch den Mittelpunct a die gerade Lini hag ziehet/ ſo erhellet aus dem Beweiß der XIII. Betrachtung/ daß eben die Lini hag des Durchmeſſers de Creutzmeſſer ſey.

Und alſo iſt zugleich gewiß/ daß jeder Durchmeſſer ſeinen gewiſſen/ ab- ſonderlichen/ jedoch nicht mehr als einen/ Creutzmeſſer habe.

Folge.

Woraus ferner erſcheinet/ welcher Geſtalt durch jeden gegebenen Punct der ablangen Rundung eine gerade Lini ſolle gezogen werden/ welche die Rundung in eben demſelben/ und ſonſt in keinem andern/ Punct beruͤhre. Dann ſo man durch den gegebenen Punct und den Mittelpunct der Rundung einen Durchmeſſer ziehet/ ſo dann deſſelben Creutzmeſſer/ erſtbeſag- ter maſſen/ findet/ und endlich durch den gegebenen Punct eine/ mit dieſem Creutzmeſſer gleich- lauffende/ Lini ziehet; ſo wird eben dieſe gleichlauffende (Krafft der XIII. Betr. 4ter Folge) die begehrte Beruͤhrende ſeyn.

Die Fuͤnfzehende Betrachtung.

Eine ablange Rundung kan in einem Punct nicht mehr als eine Lini be- ruͤhren/ und zwar eben die jenige allein/ welche da gleichlauffet dem Creutz- meſſer des jenigen Durchmeſſers/ der durch den gegebenen/ und den Mit- telpunct der Rundung/ gezogen wird.

Beweiß.

Es beruͤhre die ablange Rundung chfg in dem Punct c, eine gerade Lini dce, ſo da gleichlauffet mit gh, als dem Creutzmeſſer des Durchmeſſers cf: Wird nun geſagt/ es koͤnne die Rundung von keiner andern Lini mehr in eben demſelben Punct c beruͤhret werden.

Dann ſo es moͤglich iſt/ ſo werde dieſelbe in c auch von der ge- raden Lini ick geruͤhret/ und ſo dann des/ mit ick gleichlauffen- den/ Durchmeſſers lm ſein Creutzmeſſer no gezogen/ und durch n (welcher Punct mit c nicht uͤbereintrifft/ weil no und cf unter- ſchiedene Lineen ſind/ vermoͤg der XIII. Betr. 4ter Folge) eine mit lm, und alſo auch mit ick, gleichlauffende/ pq. So muß nun der Punct c, und alſo auch die Lini ick, unter die Lini pnq fallen/ fallen/ vermoͤg der XII. Betr. 2ter Folge. Gleicher weiſe aber/ und aus gleichem Grund/ muͤ- ſte der Punct n, und alſo auch die Lini pnq, unter die Lini ick fallen/ wann ſie die Rundung in c beruͤhrete. Weil aber jenes unmoͤglich iſt/ ſo iſt auch unmoͤglich/ daß die Lini ick die Run- dung in c beruͤhre.

Folge.

Jſt dannenhero gewiß/ daß in der ablangen Rundung alle/ mit jeder beruͤhrenden gleichlauf- fende/ auch mit dem Creutzmeſſer des jenigen Durchmeſſers gleichlauffen/ welcher durch den Be- ruͤhrungs- und den Mittelpunct gnzogen wird; und daß alſo ferner dieſelben auf erſtbeſagten Durchmeſſer ordentlich-gezogen ſeyen/ und (Krafft der XII. Betr. 4ter Folge) von demſelben halbgeteihlet werden: und umbgekehret/ daß jede/ durch den Endpunct eines Durchmeſſers mit jeder von demſelben halbgeteihlter Lini gleichlauffend/ gezogene/ die Rundung in eben demſelben End- oder Scheitelpunct beruͤhre.

Die Sechzehende Betrachtung.

Wann eine beruͤhrende Lini den verlaͤngerten Durchmeſſer einer ablangen Rundung betrifft/ und aus dem Beruͤhrungspunct eine Lini auf eben denſelben Durchmeſſer ordentlich-gezogen wird; ſo iſt das Rechtekk/ welches aus denen/ zwiſchen dem Mittelpunct eines/ der Beruͤhrenden und Ordentlich-gezogenen aber anders Teihls/ enthaltenen/ Teihlen des Durchmeſſers gemachet wird/ gleich der Vierung des Halbmeſſers.

Beweiß.

Eine jede beliebige ablange Rundung gd, (deren Mittelpunct a iſt) beruͤhre in einem belie- bigen Punct d, eine gerade Lini de, welche auf den Durchmeſſer ig treffe in e; und ſey aus d auf ig ordentlich-gezogen die Lini dc: So ſage ich nun/ das Rechtekk cae ſey gleich der Vierung ag.

Dann es ſey erſtlich der Durchmeſſer ig zugleich die Achſe/ und ow die beſchreibende Lini/ in dem Stand/ darinnen ſie geweſen/ als der Punct d beſchrieben worden; alſo daß od der Halb-Achſe ag gleich ſey: pr aber in wiederkehrlichem Stand/ alſo daß der aus dem/ der Lini pr ſchnurſtrakks entgegen-geſetzten/ Punct h gezogene Durchmeſſer/ deſſen/ welcher durch d und a lieffe/ ſein Creutz- meſſer ſey/ vermoͤg naͤchſter zweyter Aufgab; und folgends (Krafft der XIII. Betr. 4ter Folge) mit de gleichlauffe. Es ſey ferner auf die andere Achſe ak ordentlich-gezogen hf, wie auch ob, rt mit ag und ak gleichlauffend/ welche die/ im fall beduͤrfens verlaͤngerte/ Ordentlich- gezogenen dc, hf betreffen in b und t.

Dieweil nun beyde Dreyekke oaw und rap einander aͤhnlich ſind/ ſo werden auch die Dreyekke wcd und rth, wie auch obd und pfh, ein- ander aͤhnlich ſeyn/ vermoͤg des 29ſten im I. und des 21ſten im VI. Nun ſind aber die Seiten wd und rh, wie auch od und ph einander gleich. Darumb werden auch wc und rt, wie auch db und hf, einan- der gleich ſeyn/ Laut des 26ſten im I. B. Es ſind aber ferner (Krafft des 29ſten im I.) die Dreyekke edc und haf gleichwinklicht; daher dann/ Laut des vorbeſagten/ dc gegen cw oder af, das iſt/ ec gegen hf oder db ſich verhalten wird wie db gegen bo; und ferner (weil alſo ec, db, bo ordentlich gleichverhaltend ſind) wie ec gegen bo oder ca, alſo die Vierung db gegen der Vierung bo, vermoͤg des 20ſten im VI. und

zuſammgeſetzet/ wie ea gegen ca, alſo (Laut des 47ſten im I.) die Vierung do gegen der Vierung bo, das iſt/ die Vierung ga gegen der Vierung ca: und derowegen muͤſſen (vermoͤg des 20ſten im VI.) die drey Lineen ea, ga, und ca ordentlich-gleichverhaltend/ und folgends (nach dem 17den des VI.) das Rechtekk eac der Vierung ga gleich/ ſeyn. Und weil in dem Punct d keine andere gerade Lini/ als de, die Rundung beruͤhren kan/ vermoͤg obiger XV. Betr. ſo folget auch umb- gekehret; Wann das Rechtekk cae der Vierung der halben Achſe ag gleich iſt/ und aus c eine Lini ordentlich an die Rundung gezogen wird

biß in d, daß alsdann die Lini ed die Rundung in gedachtem Punct d beruͤhre.

Es ſey fuͤrs andere ig nicht die Achſe/ ſondern ſonſten nur ein Durchmeſſer der ablangen Run- dung/ deſſen Mitmeſſer ſey ib; und aus einem beliebigen Punct d werde auf beſagten Durchmeſſer ordentlich-gezogen dc, und ſey der Vierung des Halbmeſſers ag gleich das Rechtekk cae: So F fſage ſage ich/ wann ed gezogen wird/ daß dieſelbe ganz auſſerhalb der Rundung falle/ das iſt/ dieſelbe in d ber uͤhre/ und umbgewendet/ ꝛc.

Dann es ſey in eben derſelben Lini ed, oder in ihrer Verlaͤngerung nach Belieben genommen der Punct f, und durch f gezogen eine gleich- lauffende mit cd, welche beſagten Durchmeſſer ig betreffe in h, die Rundung aber in k (dann wann ſie die Rundung nicht betraͤffe/ muͤſte f nohtwendig und augenſcheinlich auſſer derſelben ſeyn.) Darnach werde umb ig, als eine Achſe/ und vermittelſt des Mitmeſſers ib, in Gedanken beſchrieben eine andere ablange Rundung gl, und aus c und h auf eben dieſelbe Achſe ordentlich-gezogen cl, hm, welche die krumme Lini in l und m betreffen: Letzlichen ziehe man el (welche/ Krafft obigen Beweiſes/ die Rundung in l beruͤhren/ und/ verlaͤngert/ der verlaͤnger- ten hm in n begegnen/ wird.

Dieweil nun die Vierung dc gegen dem Rechtekk gci ſich ver- haͤlt wie die Vierung lc gegen eben demſelben Rechtekk gci (nehmlich beyderſeits wie der Mitmeſſer ib gegen dem Durchmeſſer oder der Achſe ig, vermoͤg obiger XII. Betr. und des 20ſten im VI.) ſo muͤſſen (Krafft des 9ten im V.) die Vierungen dc und lc, und alſo auch die Lineen dc, lc, einander gleich ſeyn. Auf gleiche Weiſe wird bewieſen/ daß kh und hm einander gleich ſeyen. Nun aber/ weil cd gegen hf ſich verhaͤlt wie cl gegen hn (beyderſeits nehmlich wie ec gegen eh, vermoͤg des 4ten im VI.) ſo werden auch (Laut des 14den im V.) hf und hn gleich ſeyn. Es iſt aber hn groͤſſer als hm, weil eln eine Beruͤhrende iſt; derowegen muß auch hf groͤſſer als hk, und folgendsder/ in der Lini edf nach Belieben genommene/ Punct f, das iſt/ die ganze Lini edf, auſſer der Rundung ſeyn/ oder (welches gleich viel iſt) dieſelbe im Punct d be- ruͤhren. Und weil/ auſſer edf, keine andere gerade Lini die Rundung in beſagtem Punct beruͤhren kan/ vermoͤg obiger XV. Betrachtung; ſo iſt auch umbgekehrt offenbar: Wann ed die Run- dung gd in d beruͤhret/ und dem Durchmeſſer gi in e begegnet/ auch auf bemeldten Durchmeſſer/ dc ordentlich-gezogen wird; daß alsdann das Rechtekk cae der Vierung ag gleich ſey.

Folge.

Aus beſagtem iſt klar/ wie man aus einem jeden gegebenen Punct eine gerade Lini ziehen ſolle/ welche eine ablange Rundung beruͤhre.

Dann wann der Punct in der krummen Lini ſelbſten gegeben iſt/ als in d, ſo iſt ſchon oben (in der Folge der Andern Aufgab) gewieſen worden/ welcher geſtalt durch beſagten Punct eine Be- ruͤhrende ſolle gezogen werden. Jedoch kan ſolches/ nach gegenwaͤrtiger Betrachtung auch alſo verrichtet werden: Aus d ziehe man auf den Durchmeſſer gi ordentlich die Lini dc, nach der XIV. Betr. 2ter Folge; mache ſo dann das Rechtekk cae gleich der Vierung des Halbmeſſers ag, und ziehe ed.

Wann aber der Punct auſſer der Rundung/ als in e, gegeben iſt/ ſo ziehe man aus dem Mit- telpunct a (welchen man findet nach Anleitung der XIV. Betr. 2ter Folge) die Lini ea, welche die Rundung durchſchneidet in e; machet ſo dann der Vierung ag gleich das Rechtekk eac, und zie- het aus c auf ag ordentlich die Lini cd, nehmlich gleichlauffend mit der jenigen/ welche die Run- dung in g beruͤhrete/ nach der XIII. Betr. 4ter Folge; So man nun endlich ed ziehet/ wird ſolche (Krafft obigen Beweiſes) die begehrte Beruͤhrende ſeyn.

Daß aber aus einem/ innerhalb der Rundung gegebenen Punct keine Beruͤhrende koͤnne ge- zogen werden/ iſt handgreiflich und fuͤr Augen.

Und alſo ſind kuͤrzlich/ durch einen leichten und meiſt-natuͤrlichen Weg/ ohne einiger Coͤrper Durchſchnitt oder Betrachtung/ die meiſten und fuͤrnehm- ſten Eigenſchafften derer jenigen krummen Lineen bewieſen/ welche die Alten Kegelſchnitte (Coni-ſectiones) oder Kegel-Lineen genennet haben. Was noch uͤbrig/ und ſonderlich in folgenden Buͤchern noͤhtig/ iſt/ werden wir aus dieſen Gruͤnden bey jeder fuͤrfallender Gelegenheit leichtlich herleiten koͤnnen. Wol- len aber den goͤnſtigen Leſer dieſes einige noch erinnern/ daß ins kuͤnftig/ in An- ziehung dieſer Betrachtungen und ihrer anhaͤngenden Folgen/ dieſe ganze Vor- rede mit dem einigen Buchſtaben V ſolle bedeutet werden.

Archi-

Archimedes Von Derer ebenen Flaͤchen Gleich- wichtigkeit und Schwaͤre- Puncten. Wir fordern oder ſetzen

1. Daß gleiche Schwaͤren in gleicher Weite gleichwichtig ſeyen/ oder inne ſtehen. Anmerkung.

Hier muß zu foͤrderſt erinnert werden/ daß Archimedes in ſeiner obigen Uberſchrifft und in beyden folgenden Buͤchern/ das Wort Flaͤche nicht in ſeinem eigentlichen genaueſten Ver- ſtand nehme/ nach welchem es anderſt nichts heiſſet/ als eine Groͤſſe/ welche zwar lang und breit iſt/ aber ganz keine Hoͤhe oder Dikke hat; ſintemal in ſolchen Groͤſſen weder Schwaͤre noch Gleichwichtigkeit zu finden iſt: ſondern daß er dergleichen ebene Flaͤchen hier betrachte mit einer gewiſſen/ aber allerſeits gleichen/ Dikke oder Hoͤhe. Mit einem Wort/ er verſtehet Coͤrperliche Figuren/ welche zwiſchen zweyen gleich-groſſen/ gleich-ekkichten/ und gleich- lauffenden/ und zwar ebenen/ Flaͤchen enthalten ſind; alſo daß/ wann er zum Exempel von dem

Schwaͤre-Punct (centro gravitatis) eines Dreyekkes abc, oder eines Sechsekkes abcdef, redet/ er alsdann verſtehet eine Coͤrperliche drey- oder ſechsekkichte Figur/ deren/ allerſeits gleiche/ Dikke iſt a 1 oder b 2 oder c 3, &c. dergleichen ihme dann der kunſtliebende Leſer in denen folgenden Aufriſſen/ ſo eine bloſſe Flaͤche abbilden/ jederzeit einbilden muß.

2. Naͤchſt dieſem iſt mit wenigen anzumerken/ daß zwar ſonſten bey denen Gelehrten eine genauſuͤchtige Abteihlung derer Vorbetrachtungen beobachtet/ und die Wort-Erklaͤ- rungen (Definitiones) von denen Grund-Saͤtzen (Axiomatibus) und Forderungen (Poſtulatis) fleiſſigſt unterſchieden/ zu werden pflegen; unſer Archimedes aber dieſes letzere Wort/ Forderung/ hier etwas allgemeiner gebrauche und beyde erſte Arten derer Vorbe- trachtungen zugleich in demſelben begreiffe: nicht/ daß ihme ſolcher Unterſcheid waͤre unbekant oder unbewuſt geweſen; ſondern (wie Flurantius wol urteihlet) weil er ſich der Kuͤrze befliſ- F f ijſen/ Archimedis Erſtes Buch von derer Flaͤchen ſen/ und daher nicht allein einige Vorrede nicht voranſchikken/ ſondern auch ſo vielerley genau- ſuͤchtige Abteihlungen derer/ ohne das wenigen/ Vorbetrachtungen nicht in acht nehmen wollen.

3. Endlich iſt auch wol zu beobachten/ was Eutokius allbereit bemerket hat/ daß nehmlich Archimedes in dieſen folgenden beyden Buͤchern entweder eine/ obiger maſſen be- ſchriebene/ Flaͤche allein betrachte/ nnd deroſelben Schwaͤre-Punct/ das iſt/ den jenigen/ beur- teihle/ bey welchem wann ſie aufgehaͤnget wird/ alle ihre Teihle dem Horizont gleichlauffend/ das iſt/ waagrecht/ ligen bleiben; wie zum Exempel das Dreyekk ABC, wann es bey dem

Mittelpunct D aufgehaͤnget waͤre/ Horizont gleich ligen und alle ſei- ne Teihle A, B, und C gleichwich- tig/ das iſt/ keines mehr als das an- dere abwerts geneiget/ ſeyn wuͤr- den: Oder aber/ er halte zwey oder mehr dergleichen Flaͤchen ge- gen einander/ als ob ſie beyde/ oder alle/ an einer Stange oder Lini hiengen; und betrachte alſo aber- mal den Punct der Schwaͤre/ das iſt/ den jenigen Punct auf der Stange oder Lini/ bey welchem/ ſo ſie aufgehaͤnget waͤre/ dieſelbe abermals Horizont-gleich oder waagrecht ligen/ und derer daranhangenden Flaͤchen oder Groͤſſen keine mehr dann die andere zur Erden geneiget ſeyn/ wuͤrden. Und aus dieſem bißher bemerketen/ wird nicht allein die Auf ſchrifft des Buͤchleins klaͤrer und deutlicher werden/ ſondern auch der Verſtand dieſes erſten Satzes oder Ausſpruches am Tage ligen/ als deſſen Meinung einig und allein dahin gehet: Daß/ wann zum Exempel zwey gleiche Schwaͤren oder Gewichte/ A und B, an einer Stange alſo aufgehaͤnget ſind/ daß beyde Puncten des Anhaͤngens von einem andern gewiſſen Punct der Stange/ C, gleichweit entfernet ſeyen/ und ſo dann die Stange ſambt beyden angehaͤngten Schwaͤren bey bemeldtem Punct C aufgehaͤnget werde; daß/ ſprich ich/ alsdann A und B waaggleich haͤngen/ und keines das andere heben oder drukken werde. Worbey zugleich noch dieſes zu behalten iſt/ daß in dieſem Fall nichts daran gelegen ſey/ die beyde Gewichte ſeyen aufgehaͤnget wie ſie wollen/ krumm oder gerad/ aus ihrem Mittelpunct oder bey einer Spitze: ſintemal hier nicht (wie im vorigen Fall/ da man eine Groͤſſe fuͤr ſich allein betrachtet) in denen Schwaͤren oder Gewich- ten/ ſondern in der Stange oder Waag-Lini die Gleichwichtigkeit beobachtet wird.

2. Daß gleiche Schwaͤren in ungleicher Weite nicht gleichwich- tig ſeyen/ ſondern die weitere ſich ſenke und abwerts neige.

Das iſt/ wann zwey gleiche Schwaͤ- ren oder Gewichte/ a und b, an einer Stange alſo aufgehaͤnget ſind/ daß die Puncten des Anhaͤngens von dem Punct c ungleich entfernet ſeyen/ b nehmlich wei- ter als a; und ſo dann die Stange ſambt beyden angehaͤngten Schwaͤren bey be- meldtem Punct c aufgehaͤnget wird: daß alsdann a und b nicht waaggleich haͤngen/ ſondern b niederſinken/ und das a erheben werde.

Wann eine derer/ in ge- wiſſer Weite/ gleichwichtigen Schwaͤren einen Zuſatz be- kom- Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel. kommet/ daß die alsdann nicht mehr gleich-waͤgen oder inne ſte- hen/ ſondern die jenige ſinke/ welche den Zuſatz bekommen hat.

Jnngleichen/ wann von der einen etwas genommen wird/ daß ſie alsdann nicht mehr inne ſtehen/ ſondern die andere ſinken muͤſſe/ von welcher nichts genommen worden.

Es ſind aber dieſe beyde vorhergehende Forderungen ſo wol von dem jenigen Zuſatz oder Abnahm/ ſo an dem Gewicht ſelbſten geſchihet/ als auch dem jenigen/ ſo die Weiten betrifft/ zu verſtehen/ wie ein jeder leichtlich ſelbſten erachten kan.

Daß gleicher und einander aͤhnlicher Flaͤchen/ welche alſo gaͤnzlich auf einander treffen/ auch ihre Schwaͤre-Puncten zu- ſammen treffen.

Anmerkung.

Es ſeyen zwey Flaͤchen abcd und efgh, einander nicht allein gleich/ ſondern auch aͤhn- lich/ alſo daß nicht allein die Lini ab ſo groß iſt als eh, und ad ſo groß als ef, &c. ſondern auch alle Winkel (als a und e, d und f, &c.) einan- der gleich ſeyen; So iſt gewiß/ daß/ wann eine Flaͤche auf die andere in Gedanken alſo geleget wird/ daß a und e, d und f, &c. auf einander kommen/ daß alsdann die ganzen Flaͤchen voͤllig

und juſt auf einander treffen/ und keine fuͤr der andern irgend oder ichtwas fuͤrgehen werde. Wann ſich nun dieſes alſo begibt/ und beyder Flaͤchen ihre Schwaͤre-Puncten oder Gewicht- Mittel i und k gegeben ſind/ ſo ſagt Archimedes/ es werden alsdann auch ſolche beyde Pun- cten i und k juſt auf einander treffen. Dieſes nun/ ob es gleich fuͤr ſich ſelbſten klar genug iſt/ beweiſet jedennoch Flurantius ohngeſehr folgender Geſtalt: Man ziehe durch k aus e und f die Lineen em und fo, und mache ſo dann dem Winkel hem gleich den Winkel bal, und gleicher weiſe dem Winkel efo den Winkel adn. Wann dieſes geſchehen/ ſo iſt gewiß/ daß/ (weil die Winkel bey h und b, wie auch hem und bal, und uͤber dieſes die Seiten eh und ab, einander gleich ſind) beyde Dreyekke abl und ehm einander gleich und aͤhnlich ſeyen/ vermoͤg des 26ſten im I. und des 4ten im VI. B. und alſo/ nach obiger erſten Forderung/ einander gleich waͤgen/ nicht weniger als die beyde ganze Flaͤchen. Es wigt aber das Drey- ekk hem gleich der uͤbrigen Flaͤchen efgm, weil em durch den Schwaͤre-Punct k gezogen iſt: derowegen muß auch das Dreyekk abl der uͤbrigen Flaͤche adcl gleichwichtig ſeyn/ und folgends die Lini al durch den Schwaͤre-Punct oder das Gewicht-Mittel i ſtreichen. Glei- cher geſtalt wird erwieſen/ daß das Dreyekk adn dem Dreyekk efo gleich ſey/ und dn aber- mal durch das Gewicht-Mittel i ſtreiche. So man nun die ganzen Flaͤchen im Sinn juſt auf einander leget/ muͤſſen nohtwendig die beyde Lineen al und em, wie auch die andere beyde fo und dn, und folgends auch die beyde Puncten i und k (in welchen beſagte Lineen einander durchſchneiden) juſt auf einander treffen.

Ungleicher aber/ und dabey doch aͤhnlicher Flaͤchen Schwaͤre- Puncten gleichfoͤrmig geſetzet ſeyen.

Anmerkung.

Wir heiſſen aber/ ſetzt Archimedes alſobald hinzu/ die jenige Puncten in aͤhnlichen figuren gleichfoͤrmig geſetzet/ aus welchen die nach jeden zweyen gleichen Winkeln F f iijgezo- Archimedis Erſtes Buch von derer Flaͤchen gezogene Lineen mit denen gleichverhaltenden Seiten gleiche Winkel machen. Alſo daß die Meinung dieſer ſechſten Forderung kuͤrzlich dahin gehet: Wann ungleiche aber dar-

bey aͤhnliche Figuren/ ABC und DEX, ſambt ihren Schwaͤre- Puncten G und H gegeben ſind/ und alſo AB gegen DE ſich ver- haͤlt/ wie AC gegen DX, &c. ſo ſeyen die beyden Schwaͤre-Puncten G und H gleichfoͤrmig/ das iſt/ alſo geſetzet/ daß/ wann aus beyden nach allen Winkeln derer Figuren Lineen gezogen werden (als GA, GB, GC, HD, HE, HX) alsdann GA mit AB und HD mit DE gleiche Winkel machen/ wie inn- gleichen GB mit BC und HE mit EX; auch ferner GC mit CA und HX mit XD, &c. Dieſes nun beweiſen wir folgender maſſen: Man mache wie EX gegen BC, alſo HE gegen HK, und HX gegen HL und HD gegen HM; Ziehe ſo dann MK, KL, LM zuſammen; ſo wird das Dreyekk KLM dem Dreyekk DEX aͤhnlich ſeyn. Dann/ weil HE gegen HK ſich verhaͤlt/ wie HX gegen HL, ſo ſind EX und KL gleichlauffend/ vermoͤg des 2ten im VI. B. und gleicher geſtalt werden ED und KM, wie auch DX und ML gleichlauffend zu ſeyn erwieſen. Derowegen iſt das Dreyekk HMK dem Dreyekk HDE, und HML dem HDX und HKL dem HEX, aͤhnlich/ nach der Anmerkung des 4ten im VI. B. und folgends das ganze Dreyekk KLM dem ganzen DEX. Verhaͤlt ſich derohalben wie DE gegen MK, alſo EX gegen KL und XD gegen LM (alle nehmlich wie HK gegen KE, &c.) Es iſt aber geſetzet/ daß (wegen Aehnlichkeit derer Dreyekke ABC und DEX) auch DE ge- gen AB, und EX gegen BC und XD gegen AC gleiche Verhaͤltnis habe/ und zwar eben die/ welche hat HK gegen KE, &c. Woraus dann (vermoͤg des 9ten im V. B.) un- fehlbar folget/ daß die drey Lineen AB, BC, AC, denen dreyen MK, KL, LM gleich ſeyen/ alſo daß AB und MK, BC und KL, AC und LM, juſt auf einander treffen; und daher beyde Dreyekke ABC und KLM einander gleich und aͤhnlich ſind. Welchem nach (ver- moͤg der vorhergehenden 6. Forderung) auch ihre Schwaͤre-Puncten G und H, und folgends auch die Lineen GA und HM, GB und HK, GC und HL, zuſammen treffen/ und alſo Teihle derer laͤngern Lineen HD, HE, HX werden: da dann endlich (vermoͤg des 29ſten im I. B.) augenſcheinlich erhellet/ daß der Winkel GAB (das iſt/ HMK) dem Win- kel HDE, und GBC (das iſt/ HKL) dem HEC, und GCA (das iſt/ HLM) dem HXD, &c. gleich/ und alſo (nach Archimedis Wort-Erklaͤrung) der Punct G dem Punct H gleichfoͤrmig geſetzet/ ſey.

Und dieſes iſt Eutokii Beweiß/ den wir aber etwas weitlaͤuffiger und deutlicher gema- chet/ weil er an ſich ſelbſten ziemlich verzwikket und nicht allerdings offenbar iſt: Welches oh- ne Zweiffel auch die Urſach geweſen/ daß Flurantius denſelben auf die Seite geſetzet/ und ei- nen andern/ aber noch weitlaͤuffigern/ ausgeſonnen hat/ den wir deswegen hier nicht mit an- fuͤgen moͤgen.

Wann einige Groͤſſen in gewiſſer Weite gleichwichtig ſind/ daß alsdann auch andere/ jenen gleiche/ in eben derſelben Weite gleich- wichtig ſeyen/ oder inne ſtehen.

Anmerkung.

Die Gewißheit dieſer Forderung iſt klar und fuͤr Augen/ wann man nur ſolche andere Groͤſſen verſtehet/ welche denen vorigen nicht eben der Laͤnge/ Breite oder Dikke nach/ ſon- dern nach dem Gewicht und der Schwaͤre gleich ſind.

Daß einer jeden Figur/ deren Umblauf nach einer Seiten hohl iſt/ ihr Schwaͤre-Punct oder Gewicht-Mittel innerhalb der Figur ſey.

Anmer- Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel.

Anmerkung.

Welche Lineen nach einer Seiten hohl oder nicht nach einer Seiten hohl genennet werden/ iſt oben bey der II. Wort-Erklaͤrung des I. B. von der Kugel und Rund-Saͤule zur genuͤge er- klaͤret worden. Sonſten aber bemerket hier Eutokius den Unterſcheid zwiſchen dem Be- ſchreibungs-Puncten und zwiſchen dem Schwaͤre-Puncten oder Gewicht-Mittel einer Figur; daß nehmlich der Beſchreibungs-Punct ſolcher Figuren/ deren Umblauf nach einer Seiten hohl iſt/ jezuweilen in den Umblauf falle/ wie zum Exempel der Punct G in dem Umblauf der Halb-Scheibe ABCGA; jezuweilen gar auſſer der Figur/ wie in der Hyperbole DEF, deren Beſchreibungs-Punct ſey H, allwo die beyde Durchmeſſer einander durchſchneiden/ nach Anleitung deſſen/ was im II. Buch Apol- lonii von denen Kegel-Lineen ſey geſagt wor- den [Beſihe darbeneben unſere Dritte Be- trachtung in V:] Herentgegen der Schwaͤ- re-Punct (centrum gravitatis) niemals we- der in dem Umblauf der Figur ſelbſten/ noch viel weniger auſſer der Figur ſeyn koͤnne; ſon- dern nohtwendig innerhalb der Figur fallen muͤſſe. Dann/ ſpricht er/ weil alle Teihle und alle Winkel der Figur innerhalb des Umblaufs

begriffen ſind/ ſo muß auch das Gewicht-Mittel innerhalb deſſelben begriffen ſeyn: Und wann das Gewicht-Mittel in den Umblauf fallen koͤnnte/ wie zum Exempel der Punct G in den Umblauf der Halb-Scheibe ABCA, ſo muͤſten etliche Teihle der Figur auch diſſeits fallen/ damit dieſe und jene einander innſtehen machten/ und die ganze/ bey G aufgehaͤngte/ Figur waagrecht hielten; welches aber hier nicht geſchihet.

Der I. Lehrſatz.

Die jenige Schwaͤren oder Gewichte/ ſo in gleicher Weite inne ſtehen/ ſind einander gleich.

Beweiß.

Es ſeyen/ zum Exempel zwey Schwaͤren oder Gewichte af und b, in glei- chen Weiten cd und ce aufgehangen und inne ſtehend; Wird nun geſagt/ be- meldte zwey Gewichte oder Schwaͤ- ren ſeyen einander gleich.

Dann wo ſie nicht gleich ſind/ ſo wird die eine (zum Exempel af) groͤſ- ſer/ das iſt/ ſchwaͤrer ſeyn als die an- dere/ b; und folgends/ wann man den Uberreſt f hinweg nimmet/ wer- den zwar a und b einander gleich ſeyn/

aber nimmer inne ſtehen/ vermoͤg der obigen 4. Forderung. Welches aber zugleich wider die 1. Forderung/ und derowegen unmoͤglich iſt. Muͤſſen dem- nach (weil ſonſten etwas unmoͤgliches erfolgete) af und b einander gleich ſeyn. W. Z. B. W.

Der II. Lehrſatz.

Ungleiche Schwaͤren oder Gewichte ſtehen in gleicher Weite nicht inne/ ſondern die groͤſſeſte ſinket.

Beweiß. Archimedis Erſtes Buch von derer Flaͤchen

Beweiß.

Es ſeyen/ zum Exempel/ in voriger Figur af und b zwey ungleiche Schwaͤ- ren/ und zwar af die groͤſſeſte/ b die kleineſte/ in gleichen Weiten cd und ce aufgehangen. Soll nun bewieſen werden/ daß dieſe nicht inne ſtehen koͤnnen/ ſondern af nohtwendig ſinken muͤſſe. Dann ſo man von dem groͤſſeſten af den Uberreſt f hinweg nimmet/ werden a und b einander gleich ſeyn/ und des- wegen in gleicher Weite cd und ce inne ſtehen/ Krafft der obigen 1. Forde- rung. So man nun f wieder zu a ſetzet/ wird af nohtwendig ſinken/ vermoͤg obiger 3. Forderung; Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkung.

Dieſe beyde Lehrſaͤtze werden ſonſten in denen Griechiſchen Exemplaren noch mit unter die Forderungen oder Vorbetrachtungen geſetzet/ ohne Zweiffel durch Jrꝛthum derer Schrei- ber/ ſo die Stellen derer Zahl-Buchſtaben nicht fleiſſig beobachtet haben. Dann ob ſie ſchon eben ſo klar und einfaͤltig ſind/ als obige/ ſo werden ſie doch/ Archimedis Meinung und Sinn nach billicher unter die Lehrſaͤtze gezaͤhlet/ weil 1. Archimedes dieſelben auſſer Zweiffel gleich nach obiger 1. und 2. Forderung wuͤrde geſetzet haben/ wann er ſie unter dieſelbe haͤtte rechnen wollen; 2. Weil er obige alle ohn allen Beweiß ſetzet und fordert/ dieſen beyden aber ihre gewiſſe Beweißtuhme/ aus jenen Forderungen/ zueignet.

Der III. Lehrſatz.

Ungleiche Schwaͤren oder Gewichte/ wann ſie inne ſtehen oder gleich-waͤgen/ ſo ſind ſie in ungleichen Weiten aufgehangen/ und zwar die Groͤſſeſte in der kleineſten Weite.

Beweiß.

Es ſeyen zum Exempel zwey ungleiche Schwaͤren A und B, und zwar A die groͤſſeſte/ B die kleineſte/ und dannoch gleichwaͤgend oder inne-ſtehend in den Weiten AC und CB. Soll nun bewieſen werden/ daß die Weite AC kleiner

ſey als die Weite CB. Dann/ weil A und B inne ſtehen/ und doch A groͤſſer iſt als B, ſo man den Uberreſt von A hinweg nimmet/ daß es dem B gleich wird/ ſo muß B nohtwen- dig ſinken/ vermoͤg obiger 4. Forderung. Daraus folget nun einmal/ daß die Weiten AC und CB nicht gleich ſeyen: dann/ wann ſie gleich waͤren/ koͤnnte B nicht ſinken/ ſon- dern muͤſte mit A (nach dem der Uberreſt hinweg genommen worden) inne ſte- hen/ Krafft der 1. Forderung; andersmal/ daß AC nicht groͤſſer ſey dann CB, dann ſonſten muͤſte A und nicht B ſinken/ nach der 2. Forderung. Weil dann nun AC und CB nicht gleich ſind/ auch AC nicht groͤſſer iſt als CB, ſo muß AC nohtwendig kleiner ſeyn als CB. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Folge.

Es iſt aber offenbar/ daß (umbgekehrt) die/ in ungleichen Weiten inne-ſtehende Schwaͤren ungleich ſeyen/ und zwar die groͤſſeſte/ die in der kleineſten Weite.

Der Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel.

Der IV. Lehrſatz.

Wann zwey gleiche Groͤſſen nicht einerley Schwaͤre-Punct oder Gewicht-Mittel haben; ſo hat die aus beyden zuſammgeſetzte Groͤſſe ihren Schwaͤre-Punct mitten in der geraden Lini/ welche beyder gegebenen Groͤſſen ihre Schwaͤre-Puncten zuſammen- ziehet.

Beweiß.

Es ſeyen zum Exempel zwey gleich-ſchwaͤre Groͤſſen/ A und B, und ihre gleich-ſo genannte Schwaͤre-Puncten zuſammen gezogen durch die gerade Lini AB. Soll nun bewieſen werden/ daß/ wann aus beyden/ alſo durch die Lini AB (als eine Stange) zuſammgehefften/ eine Groͤſſe wird/ dieſelbe ihren Schwaͤre- Punct oder Gewicht-Mittel/ mitten in der Lini AB, nehmlich in C haben werde.

Dann daß ſolches Gewicht-Mittel in die Lini AB falle/ iſt gewiß. (Beſihe folgen- de 2. Anmerkung.) So nun C, als der mittlere Punct daſſelbe nicht iſt/ ſo ſey es ein

anderer/ zum Exempel D. So man nun die Stange AB bey D haͤlt/ werden A und B gleich-waͤgen und inne ſtehen. Dieſes aber iſt unmoͤglich und wider obige 2. Forderung/ weil AD und DB ungleich ſind. Derowegen muß C nohtwendig der Schwaͤre-Punct ſolcher zuſammgeſetzten Groͤſſe ſeyn. W. Z. B. W.

Anmerkung.

1. Wer hier gar genauſuͤchtig ſeyn wolte/ wuͤrde befinden/ daß dieſer Lehrſatz in dem Werk ſelbſten von obiger erſten Forderung nichts unterſchieden ſey. Dann/ zweyer gleicher Groͤſſen Schwaͤre-Puncten/ A und B, durch eine gerade Lini zuſammziehen und alſo eine dar- aus machen/ nachmals den mittlern Punct C nehmen/ iſt eben ſo viel als zwey gleiche Groͤſſen A und B in gleicher Weite von einem gewiſſen Punct C aufhaͤngen. Nun folget aber in die- ſem Fall (vermoͤg der 1. Forderung) daß A und B inne ſtehen; Welches dann anderſt nichts iſt/ als daß C das Gewicht-Mittel der zuſammgeſetzten Groͤſſe AB ſey. Es ſey dann/ daß Ar- chimedes hier nicht nur dieſes wolle/ daß beyde Flaͤchen/ A und B, in ſolchem Fall inne ſte- hen/ und keine die andere uͤberwaͤgen werden (welches auch geſchehen wuͤrde/ wann ſie ſchon nicht eben bey ihren Schwaͤre-Puncten angehaͤnget waͤren) ſondern/ daß auch zugleich beyde Flaͤchen nach allen ihren Teihlen ebenwichtig/ das iſt/ dem Horizont gleichlauffend ſtehen ſollen.

2. Jn welchem Fall dann auch klar und fuͤr ſich ſelbſt bekannt wird/ was Archimedes als gewiß/ in obigem Beweiß ſetzet/ nehmlich/ daß das Gewicht-Mittel der zuſammgeſetzten Groͤſſe ACB nohtwendig in die Lini AB falle; weil dieſelbe einig und allein die beyde Flaͤchen A und B alſo teihlet/ daß zu beyden Seiten gleich-ſchwaͤre Teihle bleiben: da hingegen jede andere/ diß- oder jenſeits gezogene/ Lini ungleiche Teihle machen/ und das Jnne-ſtehen oder die Gleichwichtigkeit aller Teihle ſolcher Flaͤchen verhindern wird.

3. Daß Archimedes in dieſem Lehrſatz bedinget/ es muͤſſen die beyde gleiche Groͤſſen mit einem Schwaͤre-Punct gemein haben/ iſt nicht ohn Urſach geſchehen; ſintemal ſolcher Fall/ der ſich leichtlich begeben kan/ (wie aus obiger 5. und 6. Forderung zu erſehen/ und ein jeder ſelbſten leichtlich erachten kan/ wann er nur die beyde Flaͤchen A und B in Gedanken juſt auf einander leget) auf gegenwaͤrtigen Beweiß ſich wenig ſchikken wuͤrde.

G gDer Archimedis Erſtes Buch von derer Flaͤchen

Der V. Lehrſatz.

Wann dreyer Groͤſſen Schwaͤre-Puncten auf einer geraden Lini geſetzet/ die Groͤſſen alle gleich-ſchwaͤr/ und die Zwiſchen- weiten ihrer Schwaͤre-Puncten gleich/ ſind; ſo wird der/ aus allen dreyen zuſammgeſetzten/ Groͤſſe Schwaͤre-Punct eben der jenige ſeyn/ welcher der mittlern Groͤſſe Schwaͤre-Punct oder Ge- wicht-Mittel iſt.

Beweiß.

Es ſeyen drey gleich-ſchwaͤre Groͤſſen/ A, B und C, deren Schwaͤre-Pun- cten auf der Lini AB in gleicher Weite von einander geſetzt ſind/ alſo daß AC ſo groß ſey als CB. Soll nun bewieſen werden/ daß/ wann alle drey Groͤſſen

durch gemeldte Lini AB gleichſam zuſamm- gehefftet werden/ und alſo eine Groͤſſe ma- chen/ ſolcher zuſammengeſetzten Groͤſſe Ge- wicht-Mittel eben der jenige Punct ſey (C nehmlich) welcher der mittlern Groͤſſe ſonſt eigentuhmlicher Schwaͤre-Punct war.

Beweiß.

Dann weil AC und CB gleich/ und beyde Groͤſſen A und B gleich-ſchwaͤr ſind/ wird/ Krafft des vorhergehenden Lehrſatzes/ das Gewicht-Mittel der/ aus A und B zuſammgeſetzten/ Groͤſſe der Punct C ſeyn; Eben dieſer Punct aber iſt (vermoͤg obigen Satzes) auch der mittlern Groͤſſe Gewicht-Mittel oder Schwaͤre-Punct. Derowegen wird er auch der/ aus allen dreyen zuſammgeſetzten/ Groͤſſe Schwaͤre-Punct oder Gewicht-Mittel ſeyn. W. Z. B. W.

Anmerkung.

Der Schluß Archimedis iſt klar und unfehlbar/ ruhend auf dieſem einigen Grund-Satz: Daß/ wann A und B in dem Punct C allerſeits gleich-waͤgen und zu beyden Teihlen/ in gleicher Weite von C, auch gleichwichtige und inne-ſtehende Teihle hinzugeſetzet werden/ die vorige Gleichwichtigkeit allerſeits verbleibe. Gleichwol aber/ weil Flu- rantius vermeinet/ die Sache ſey nicht gar auf das klaͤreſte und deutlichſte/ deswegen auch einen andern Beweiß mit anhaͤnget/ wollen wir denſelben mit wenigen beruͤhren. Er gehet aber kuͤrz- lich dahin: Weil A und C gleich-ſchwaͤr ſind/ hat die aus A und C zuſammgeſetzte Groͤſſe ih- ren Schwaͤre-Punct mitten in der Lini AC, vermoͤg des vorhergehenden Lehrſatzes; und gleicher weiſe die aus B und C zuſammgeſetzte/ den ihren mitten in BC. Nun aber iſt dieſe zuſammgeſetzte eben ſo ſchwaͤr als jene/ und halb - BC ſo groß als halb - AC: derowegen muß der Punct C (vermoͤg eben deſſelben 4ten Lehrſatzes) das Gewicht-Mittel ſeyn der gan- zen Groͤſſe/ welche aus beyden erſtbemeldten zuſammgeſetzten zuſammgeſetzet wird.

Die Erſte Folge.

Hieraus iſt offenbar/ daß/ wann noch mehrere/ an der Zahl ungerade Groͤſſen (ſo viel man immer will) ihre Schwaͤre-Pun- cten auf einer geraden Lini haben/ und jede zwey/ von der mittlern gleichweit-abgelegene/ gleich-ſchwaͤr/ auch die Zwiſchenweiten ih- rer Schwaͤre-Puncten alle einander gleich ſind; alsdann das Ge- wicht- Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel. wicht-Mittel der/ aus allen zuſammgeſetzten/ Groͤſſe eben der je- nige Punct ſeyn werde/ welcher der mittlern Groͤſſe Schwaͤre- Punct iſt.

Die Andere Folge.

Wann auch beſagte Groͤſſen an der Zahl gerad/ ihre Schwaͤre- Puncten alle auf einer geraden Lini geſetzet/ jede zwey mittlere (das iſt/ von denen aͤuſſerſten gleichweit-ſtehende) gleichſchwaͤr/ und alle Zwiſchenweiten ihrer Schwaͤre-Puncten einander gleich ſind; ſo wird die/ aus allen zuſammgeſetzte/ Groͤſſe ihren Schwaͤre- Punct oder Gewicht-Mittel/ mitten auf obgemeldter geraden Lini haben/ welche aller obigen Groͤſſen Schwaͤre-Puncten zuſam- men ziehet.

Anmerkung.

Beydes iſt aus beygeſetzter Figur und dem bißher-bewieſenen genugſam bekannt und fuͤr Augen/ wann man nur bey der erſten Folge eine von denen hier verzeichneten Groͤſſen (es ſey gleich hinten oder fornen) in Gedanken hinweg nimmt/ damit ihre Anzahl ungerad werde. Es iſt aber auch dieſes anzumerken/ und von Archimede ſelbſten in obigen Wor- ten genugſam angedeutet/ daß nicht eben alle ſolche gegebene Groͤſſen gleich- ſchwaͤr ſeyn muͤſſen/ ſondern die Sache gleichwol ihre Richtigkeit habe/ wann nur jede zwey/ von dem Mittel der ge- raden Lini gleichweit abſtehende/ Groͤſ- ſen gleich-ſchwaͤr ſind (zum Exempel im erſten Fall/ die erſte und fuͤnſte/

item die zweyte und vierdte; in dem an- dern die erſte und ſechſte/ die andere und fuͤnſte/ die dritte und vierdte) ob gleich ein Paar dem andern an Groͤſſe und Schwãre ganz ungleich iſt. Dann eben die vorige Beweißtuhme werden auch auf dieſen Fall ſich vollkommentlich ſchikken/ wie der verſtaͤndige Liebhaber leicht- lich ſelbſten befinden wird.

Der VI. Lehrſatz.

Gleichmaͤſſig-ſchwaͤre Groͤſſen ſind in verwechſelten/ und einerley Verhaͤltnis mit ihren Schwaͤren habenden/ Weiten gleich- wichtig oder inne ſtehend.

Erlaͤuterung.

Es ſeyen zwey/ nach der Schwaͤre (commenſurabiles, das iſt/ ſolche/ wel- che mit einerley Maaß koͤnnen gemeſſen und aufgehebt werden) gleichmaͤſſige Groͤſſen A und B; und verhalte ſich wie A gegen B, alſo die Weite CD ge- gen der Weite CE. Soll nun erwieſen werden/ daß/ wann verwechſelt A in der Weite CE und B in der Weite CD mit ihren Schwaͤre-Puncten ange- haͤnget und bey dem Punct C aufgehoben wuͤrden/ dieſelbe inne ſtehen/ das iſt/ erſtgemeldter Punct C, der/ aus A und B zuſammgeſetzten/ Groͤſſe Schwaͤre- Punct oder Gewicht-Mittel ſeyn muͤſte.

G g ijBeweiß. Archimedis Erſtes Buch von derer Flaͤchen

Beweiß.

Dieweil nun/ wie A gegen B, alſo die Weite oder Lini CD gegen der Weite oder Lini CE ſich ver- haͤlt/ und aber A und B gleichmaͤſ- ſig (das iſt/ durch einerley Maaß aufheblich) ſind/ Krafft obigen Satzes; ſo werden auch die Lineen CD und CE gleichmaͤſſig ſeyn/ vermoͤg des 10den im X. B. Eucl. Sey dero- wegen ihr gemeines Maaß die Lini N. Und werden ferner/ in der verlaͤnger- ten Lini ED, DG und DK gleich EC, EL aber gleich CD. Dieweil dann DG und EC gleich ſind/ ſo muͤſſen auch (wann man beyderſeits CG darzu ſetzet) DC und EG, das iſt/ EL und EG, einander gleich/ und folgends LG zweymal ſo groß als CD ſeyn/ gleich wie GK zweymal ſo groß iſt als EC. Muß derowegen N dieſer beyder gedoppelten/ des LG und des GK, gemeines Maaß ſeyn/ gleich wie es der beyden einfachen/ CD und EC, gemeines Maaß iſt. Nun aber/ wie A gegen B, alſo CD gegen EC ſich verhaͤlt/ und wie CD gegen EC, alſo LG gegen GK (die gedoppelte gegen der gedoppelten;) ſo wird auch wie A gegen B, alſo LG gegen GK ſich verhalten/ nach dem 11ten des V. B. So ſetze man nun/ daß/ ſo oft LG das N in ſich begreiffet/ eben ſo oft die Groͤſſe A eine andere Groͤſſe F in ſich begreiffe; Welchem nach dann/ wie LG gegen N, alſo A gegen F ſich verhalten wird. Es verhaͤlt ſich aber auch (Krafft obbewieſenens) wie GK gegen LG, alſo B gegen A. Derowegen ver- haͤlt ſich auch gleichdurchgehend/ wie GK gegen N, alſo B gegen F, vermoͤg des 22ſten im V. B. das iſt/ B begreiffet F eben ſo oft in ſich/ als GK das N; oder B wird durch eben ſo oftmalige Widerholung des F aufgehoben/ als GK durch das N. Es wird aber (Krafft obigen Satzes) auch A von F aufgeho- ben. Derowegeu muß F des A und B gemeines Maaß ſeyn.

So man nun LG, nach dem Maaß N, in gleiche Teihle teihlet/ und A nach F auch in gleiche Teihle/ ſo werden/ vermoͤg beſagtens/ die Teihle der Lini LG eben ſo viel ſeyn/ als die Teihle der Groͤſſe A. Derowegen/ wann mit- ten auf jeden Teihl der Lini LG ein Teihl des A mit ſeinem Schwaͤre-Punct geſetzet wird/ ſo muß die aus allen zuſammgeſetzte/ und dem A gleiche/ Groͤſſe ihren Schwaͤre-Punct in E haben/ vermoͤg der andern Folge des vorher- gehenden V. Lehrſatzes; weil nehmlich N beyde Halbteihle des LG miſſet/ das iſt/ eben ſo oft in EG als in LE enthalten iſt/ und deswegen auf einer Seiten eben ſo viel/ dem F gleiche/ Teihle des A haͤngen. Gleicher weiſe wird erwie- ſen/ daß/ wann mitten auf jeden/ dem N gleichen/ Teihl der Lini GK eine dem F gleiche Groͤſſe mit ihrem Schwaͤre-Punct geſetzet wird/ die aus allen zu- ſammgeſetzte Groͤſſe dem B gleich ſey/ und ihren Schwaͤre-Punct in D habe: alſo daß A in E, B aber in D aufgehaͤnget iſt/ verſtehe ihren Teihlen nach/ wel- che zuſammen ihren ganzen gleich ſind. Dieſem nach ſind nun etliche gleich- ſchwaͤre Groͤſſen/ auf einer geraden Lini/ in gleicher Weite von einander/ mit ihren Schwaͤre-Puncten geſetzet/ und zwar an der Zahl gerad (dann auf DK kommen eben ſo viel als auf DG, und wiederumb auf EG eben ſo viel als auf EL, vermoͤg bißher-erwieſenens:) Derowegen hat (Krafft der andern Folge des vorhergehenden V. Lehrſatzes) die/ aus allen miteinander zu- ſamm- Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel. ſammgeſetzte Groͤſſe ihren Schwaͤre-Punct mitten auf der Lini KL. Das Mittel aber der Lini KL iſt der Punct C (dann LE iſt gleich CD, und EC gleich DK, und alſo folgends LC gleich CK;) derowegen hat die/ aus allen obi- gen Groͤſſen oder Teihlen (das iſt/ aus A und B, wann jenes in D, dieſes in E aufgehaͤnget wird) zuſammgeſetzte Groͤſſe ihren Schwaͤre-Punct oder Gewicht- Mittel in dem Punct C; Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkung.

Damit dieſer allgemeine Beweiß dem Verſtand etwas deutlicher werde/ wollen wir die Sach in einem ſichtlichen Exempel erlaͤutern:

Dieweil a und b gleichmaͤſſig geſetzet ſind/ ſo ſey zum Exempel ihr gemeines Maaß f in a ſechsmal/ in b aber viermal enthalten: Welchem nach (weil lg gegen gk ſich verhaͤlt wie a ge- gen b) auch das n in lg ſechsmal/ in gk aber viermal wird begriffen ſeyn; und folgends (wann auf jeden ſechſten Teihl des lg ein ſechſter Teihl von a, und auf jeden vierdten Teihl des gk ein vierdter Teihl von b, mit ſeinem Schwaͤre-Punct recht in der Mitte geſetzet wird) zehen gleich-ſchwaͤre Groͤſſen auf einer geraden Lini mit ihren Schwaͤre-Puncten in gleicher Weite neben einander ſtehen: daher dann (vermoͤg des V. Lehrſatzes anderer Folge) das Gewicht- Mittel oder der Schwaͤre-Punct/ der aus allen zuſammgeſetzten Groͤſſe nohtwendig der Punct c ſeyn muß/ als welcher zu beyden Seiten 5. gleich-ſchwaͤre Groͤſſen in gleicher Weite haͤlt/ und alſo unfehlbar inne-ſtehen machet.

Der VII. Lehrſatz.

Wann auch ſchon die Groͤſſen ungleichmaͤſſig-ſchwaͤr ſind/ werden ſie dannoch gleich-waͤgen oder inne-ſtehen/ ſo ſie in ver- wechſelten/ und einerley Verhaͤltnis mit ihren Schwaͤren haben- den/ Weiten aufgehangen werden.

Erlaͤuterung.

Es ſeyen zwey/ der Schwaͤre nach ungleichmaͤſſige (incommenſurabiles) Schwaͤren AB und C, und verhalte ſich/ wie AB gegen C, alſo die Weite DE gegen der Weite EF. Soll nun abermals erwieſen werden/ daß/ wann verwech- ſelt AB in der Weite EF, und C in der Weite DE mit ihren Schwaͤre-Puncten angehaͤnget/ und bey dem Punct E auf gehoben wuͤrden/ dieſelbe inne- ſtehen/ das iſt/ erſtgemeldter Punct E, der aus AB und C zuſammgeſetz- ten Groͤſſe Schwaͤre-Punct oder Gewicht-Mittel ſeyn muͤſte.

Beweiß.

Dann/ wann AB und C in ſolchem Fall nicht innſtuͤnden/ ſo muͤſte noht- wendig das eine/ zum Exempel AB, ſich neigen und dem andern vorwaͤgen: G g iijbeyde Archimedis Erſtes Buch von derer Flaͤchen beyde aber alsdann erſt inne-ſtehen oder gleichwaͤgen/ wann von AB das Ubergewicht hinweg genommen wuͤrde. Man nehme aber von AB hinweg weniger als ſolches Ubergewicht (zum Exempel das Stuͤkklein B) und zwar alſo/ daß das uͤbrige A der andern Groͤſſe C der Schwaͤre nach gleichmaͤſſig werde (Beſihe folgende 1. Anmerkung) ſo wird das A dannoch ſich neigen und dem C vorwaͤgen/ dieweil das Ubergewicht nicht voͤllig hinweg genommen worden. Weilen aber A kleiner iſt als AB, ſo wird auch A gegen C eine klei- nere Verhaͤltnis haben/ als AB gegen C, das iſt (vermoͤg obigen Satzes) als die Weite DE gegen der Weite EF, nach dem 8ten des V. B. derowegen koͤnnen A und C in den Weiten DE und EF, wann A in F und C in D aufge- haͤnget wird/ nicht inne-ſtehen/ ſondern C muß nohtwendig ſich neigen und das A uͤberwaͤgen/ vermoͤg folgender 2. Anmerkung. Welches aber ungereimt und unmoͤglich iſt/ weil kurz vorher bewieſen worden/ daß das A dem C vorwaͤge. Muͤſſen demnach AB und C (weil ſonſten etwas unmoͤgliches folget) auf obge- ſetzten Fall/ nohtwendig gleichwaͤgen und inneſtehen. Welches hat ſollen be- wieſen werden.

Anmerkungen.

1. Auf dieſe Weiſe meyn ich/ ſoll Archimedis Beweiß/ der an ſich ſelbſten ziemlich dunkel iſt/ deutlich genug und leicht zu faſſen ſeyn; bevorab/ wann eines und das andere/ wel- ches er fuͤr bekannt/ und ohne Beweiß/ annimmet/ hierbey zugleich wird eroͤrtert ſeyn. Das erſte iſt/ daß er begehret/ man ſolle von AB, als dem Schwaͤrern/ etwas weniger als den Exceß der Schwaͤre oder das Ubergewicht hinweg nehmen/ und zwar alſo/ daß das uͤbrige der andern Groͤſſe C gleichmaͤſſig werde. Daß nun und wie ſolches moͤglich ſey/ erhellet folgender Geſtalt:

Man nehme von c die Helfte und von ſol- chem halben Teihl wieder die Helfte/ ſo lang und viel/ biß man kommt auf ein Teih- ligen/ ſo da kleiner iſt als das Ubergewicht der andern Groͤſſe (welches wir hier ſetzen das jenige Stuͤkklein zu ſeyn/ ſo da von der geduͤpfelten Lini abgeſchnitten iſt) zum E- xempel auf das Teihligen i. Solches Teih- ligen i trage man ſo dann auf die andere Groͤſſe a ſo oft man kan/ biß ſolche Teihlung entweder gerad auf die geduͤpfelte Lini trifft/ oder aber etwas druͤber hinaus faͤllet/ wie hier die andere voͤllig-gezogene Lini andeutet. Geſchihet das leztere/ ſo iſt das abgeſchnittene Stuͤkklein b weniger als das Ubergewicht der Gröſſe ab, und a iſt dem c gleichmaͤſſig/ dieweil es durch einerley Maaß/ nehmlich durch das Teihligen i, aufgehoben wird: Jſt dann das erſte/ daß die widerholte Teihlung eben auf die geduͤpfelte Lini des Ubergewichts trifft/ ſo nehme man nur das Teihligen i noch einmal uͤber ſolche Lini hinaus/ ſo wird dem Begehren abermal ein voͤlliges Genuͤgen geſchehen ſeyn.

2. Das andere/ welches hier muß bemerket und gewiß gemachet werden/ iſt dieſes: Wann das Gewicht a gegen dem Gewicht c eine kleinere Verhaͤltnis hat als die Weite de gegen der Weite ef, und a in f, c aber in d aufgehaͤnget wird; daß alsdann das Gewicht c ſich nohtwendig neigen und das a uͤberwaͤgen muͤſſe. Damit nun ſolches erhelle/ ſo mache man/ wie a gegen c, alſo ge gegen ef; Welchem nach/ wann a in f und c in g angehaͤnget wird/ beyde Gewicht inneſtehen und gleichwaͤgen werden/ vermoͤg des vorhergehenden VI. Lehrſatzes. So man nun das c aus g in d fortrukket/ bekommt daſſelbige einen Zu- ſatz/ und muß alſo (Krafft obiger 3. Forderung) nohtwendig ſinken; Welches hat ſollen bewieſen werden.

3. Schließlichen iſt auch dieſes hierbey zu erinnern/ daß dieſe beyde Lehrſaͤtze Archi- medis nicht allein der Schnellwaag (einer ſo nutzlichen Erfindung) ſondern auch der ganzen Heb- oder Beweg-Kunſt (Mechanicæ) voͤlliges Fundament und beſtaͤndiger Grund ſey. Nur des erſten hier in etwas zu erwaͤhnen/ ſo wird eine Schnellwaag (zum Exempel ab) alſo zugerichtet/ daß zu foͤrderſt die beyde Teihle der Stange/ ac und cb, gleichwichtig ſeyen/ Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel. ſeyen/ in dem ſie nehmlich ent- weder gleiche Laͤnge haben/ oder aber der kuͤrzere Teihl durch die Schwaͤre eines eiſernen oder me- tallinen Hakens/ dem laͤngeren gleichwichtig gemachet wird: Nachmals wird die Weite zwi- ſchen dem Haken und dem Ge- wicht-Mittel c, von eben dem-

ſelben c an gegen b hinaus getragen/ ſo oft man kan. So man nun einiges Dinges Schwaͤre zu wiſſen verlanget und daſſelbe an dem Haken auf haͤnget/ nachmals auf der andern Seiten ein bekanntes Gewicht (zum Exempel 1. Pfund) von c gegen b ſo lang und viel rukket/ biß die Stange ab waagrecht liget/ ſo iſt das bekannte Gewicht in der aufgehaͤngeten Schwaͤre ſo oft enthalten/ ſo viel obgemachter Teihligen zwiſchen c und dem Pfund-Gewicht gezaͤhlet werden.

Der VIII. Lehrſatz.

Wann von einer Groͤſſe eine Groͤſſe hinweg genommen wird/ die da nicht einerley Schwaͤre-Punct hat mit der ganzen Groͤſſe/ ſo iſt der uͤbrigen Groͤſſe Schwaͤre-Punct in der jenigen geraden Lini/ welche durch beyde Schwaͤre-Puncten/ der ganzen und der abgenommenen Groͤſſe ſtreichet; und zwar auf der Seite/ da ſie durch den Schwaͤre-Punct der ganzen Groͤſſe hinaus gezogen und verlaͤngert wird; und in dem Punct/ welcher ſolche Verlaͤngerung alſo abſchneidet/ daß ſie gegen der/ zwiſchen obbemeldten beyden Schwaͤre-Puncten enthaltenen/ Lini eben die Verhaͤltnis habe/ welche da hat die Schwaͤre der abgenommenen Groͤſſe gegen der Schwaͤre der uͤbrigen.

Erlaͤuterung.

Es ſey zum Exempel eine Groͤſſe AB, und ihr Gewicht-Mittel oder Schwaͤre-Punct C: Von derſelben werde hinweg genommen die Groͤſſe AD, deren Schwaͤre-Punct iſt E: Durch E und C ſey endlich gezogen eine gera- de Lini/ und verlaͤngert biß in F, alſo daß CF gegen EC ſich verhalte/ wie die Schwaͤre der abgenom̃enen Groͤſſe AD gegen dem Gewicht der uͤbrigen DG. Jſt nun zu erweiſen/ daß der

Punct F ſolcher uͤbrigen Groͤſſe DG Schwaͤre-Punct oder Gewicht-Mittel ſey

Beweiß.

Solches wird nun folgender Geſtalt gewiß: Wann F der rechte Punct nicht iſt/ ſo ſey es zum Exempel/ in eben derſelben verlaͤngerten Lini (Beſihe hier folgende 2. Anmerkung) der Punct H. Dieweil nun E der Schwaͤre- Punct iſt der Groͤſſe AD, H aber der Groͤſſe DG, ſo muß der aus beyden zu- ſammgeſetzten Groͤſſe AB ihr Schwaͤre-Punct auf die Lini EH alſo fallen/ daß ihre Teihle verwechſelt eben die Verhaͤltnis gegen einander haben/ welche da hat Archimedis Erſtes Buch von derer Flaͤchen da hat die Groͤſſe AD gegen der Groͤſſe DG, vermoͤg des VI. und VII. Lehr- ſatzes. Welchem nach C ſolcher zuſammgeſetzten Groͤſſe AB ihr Schwaͤre- Punct nicht ſeyn kan/ weil CH gegen CE eine andere Verhaͤltnis hat als CF gegen CE (Krafft des 8ten im V.) das iſt/ obigem Satz nach/ als AD gegen DG. Es iſt aber oben geſetzet/ daß C der ganzen Groͤſſe AB ihr Schwaͤre- Punct ſey. Derowegen iſt klar/ daß/ wann man F nicht fuͤr den rechten Schwaͤre-Punct der Groͤſſe DG halten/ ſondern einen andern/ als H, darfuͤr ſetzen will/ alsdann etwas ungereimtes und unmoͤgliches folge/ nehmlich daß C der ganzen Groͤſſe Schwaͤre-Punct zugleich ſey und nicht ſey. Muß alſo F nohtwendig der uͤbrigen Groͤſſe DG Schwaͤre-Punct oder Gewicht-Mittel ſeyn: Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkungen.

1. Dieſes iſt alſo Archimedis Beweiß/ den er wegen ſeiner Leichtigkeit mit gar wenigen Worten und kurz verfaſſet/ wir aber denen Anfaͤnglingen zum baͤſten etwas deutlicher ausge- fuͤhret haben. Flurantius hat denſelben in eine etwas andere/ und dieſe folgende/ Form gegoſ- ſen: Wann H der Groͤſſe DG, und E der Groͤſſe AD, auch endlich (vermoͤg obigen Sa- tzes) C der ganzen Groͤſſe AB ihr Schwaͤre-Punct iſt/ ſo folget (vermoͤg des vorhergehen- den VI. und VII. Lehrſatzes) daß wechſelweiß CH gegen CE ſich verhalte wie AD gegen DG. Nun aber verhaͤlt ſich (Krafft obigen Satzes) auch CF gegen CE wie AD gegen DG. Derowegen haben CH und CF (zwey ungleiche Groͤſſen) gegen einer dritten EC ei- nerley Verhaͤltnis/ welches aber (vermoͤg des 8ten im V.) unmoͤglich iſt. Kan derowegen kein anderer als der Punct F der uͤbrigen Groͤſſe DG Schwaͤre-Punct oder Gewicht- Mittel ſeyn.

2. Es iſt aber hierbeneben zu merken/ daß beydes Archimedis und Flurantii Beweiß auf dem einigen Satz beruhen/ daß/ wann je F der eigentliche Schwaͤre-Punct der Groͤſſe DG nicht ſey/ ſolcher jedennoch nohtwendig auf der verlaͤngerten Lini EC ſeyn muͤſſe; Wel- cher aber/ weil jemand bedunken moͤchte/ es koͤnnte derſelbe Punct wol etwan zur Seite ausfal- len/ folgender maſſen muß beſtaͤttiget werden:

Wann das Gewicht-Mittel der Groͤſ- ſe dg nicht nohtwendig in der verlaͤngerten Lini ec iſt/ ſo ſetze man/ es falle derſelbe zur Seite aus zum Exempel in i. So nun die beyde Schwaͤre-Puncten e und i durch eine gerade Lini zuſammgezogen/ und dieſelbe in k alſo geteihlet wuͤrde/ daß ik gegen ke ſich verhaͤlt/ wie das Stuͤkk ad gegen dem Stuͤkk dg, ſo muͤſte nohtwendig der Punct k der aus beyden zuſammgeſetzten Groͤſſe Gewicht-Mittel oder Schwaͤre-Punct ſeyn/ vermoͤg obigen VI. und VII. Lehrſaͤtze. Es iſt aber eben beſagter ganzen Groͤſſe Gewicht-Mittel/ der Punct c zu ſeyn geſetzet worden. Muͤſte derowegen eine Groͤſſe zweyerley Gewicht-Mittel oder Schwaͤre-Puncten haben; welches aber nicht ſeyn kan/ und der Vernunft zu wider iſt. Dann wann c das Gewicht- Mittel iſt/ ſo bleiben beyde Teihle diß- und jenſeits c waagrecht ligen und dem Horizont gleich. So man aber die Flaͤche bey dem Punct k auf haͤnget/ bekommt der eine Teihl jenſeits c einen Zuſatz; muß derowegen/ Krafft der 3. Forderung/ ſinken/ und kan alſo k das Gewicht- Mittel ſolcher Groͤſſe nicht ſeyn.

3. Schließlichen iſt zu beobachten/ daß Archimedes nicht vergeblich in gegenwaͤrtigem Lehrſatz bedinget/ es muͤſſe die abgenommene Groͤſſe mit der ganzen nicht einerley Schwaͤre- Punct haben/ das iſt/ nicht umb/ ſondern auſſer den Schwaͤre-Punct der ganzen Groͤſſe abge- ſchnitten ſeyn: ſintemal leicht-moͤglich iſt/ umb den Punct c eine Groͤſſe alſo heraus zu ſchnei- den/ daß die ausgeſchnittene/ die ganze/ und die uͤbrige Groͤſſe einerley Schwaͤre-Punct ha- ben; welcher Fall aber zu gegenwaͤrtigem Lehrſatz keines wegs gehoͤret.

Der Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel.

Der IX. Lehrſatz.

Einer jeden gleichlauffend-ſeitigen Figur Gewicht-Mittel oder Schwaͤre-Punct iſt in der jenigen Lini/ welche durch zweyer ge- gen einander uͤber ſtehender/ Seiten Halbteihlungen gezogen wird.

Beweiß.

Es ſey eine gleichlauffend-ſeitige Figur (Parallelogrammum) ABCD, und durch die Halbteihlungen ihrer beyden laͤngſten Seiten AB und CD (nehmlich durch E und F) gezogen die Lini EF. So ſag ich nun/ der Schwaͤre-Punct ſolcher Figur muͤſſe in der Lini EF ſeyn.

Wo nicht/ ſo ſey er auſſerhalb derſelben Lini/ zum Exempel in H, und werde HI gleichlauffend ge- zogen mit AB. So man nun die halbe Seite EB halbteihlet und ih- re Helfte wieder halb/ u.ſ.f. ſo wird

endlich ein Teihligen/ ſo da kleiner iſt als HI, zum Exempel EK, vermoͤg des 1ſten im X. B. und welches Teihligen ſo wol AE als EB, durch gleichviele Wi- derholung ſeiner ſelbſten aufhebet. So man dann ferner durch alle ſolche Teih- lungen mit AC und BD gleichlauffende Lineen ziehet/ wird das ganze Vierekk ABCD in eben ſo viel gleiche und einander aͤhnliche Vierekke geteihlet werden/ (Beſihe folgende 2. Anmerkung) deren Schwaͤre-Puncten alſo (wann ſie auf einander geleget wuͤrden) alle auf einander treffen/ und folgends (wann ſie alſo alle neben einander ligen) in eine gerade Lini fallen/ und gleichweit von einander ſtehen/ wie die Vernunft ſelbſten lehret. Weswegen dann der/ aus allen zuſammgeſetzten/ Groͤſſe ABCD ihr Schwaͤre-Punct mitten auf die Li- ni faͤllet/ ſo durch alle vorige Schwaͤre-Puncten gezogen iſt/ das iſt/ mitten zwiſchen beyde Seiten AC und BD, vermoͤg beyder Folgen des V. Lehr- ſatzes. Nun aber iſt H auſſer der Mitte/ wie oben geſetzet; derowegen kan H der Schwaͤre-Punct nicht ſeyn/ ſondern es muß ſolcher in die Lini EF fal- len/ welche durch die Mitte ſtreichet: Welches zu beweiſen war.

Anmerkungen.

Dahin gehet nun Archimedis Beweiß/ wiewol der Schluß deſſelben noch ein klein we- nig anderſt eingerichtet iſt/ jedoch endlich auf einerley Zwekk mit dem unſerigen (welcher auf das obenbewieſene ſich etwas deutlicher beziehet) hinaus lauffet. Es haͤtte aber meines Be- dunkens die Sache eben ſo leicht und auf gleiche Weiſe koͤnnen beſchloſſen werden/ wann/ ohne ſo viele Teihlungen Archimedes gleich anfaͤnglich geurteihlet haͤtte/ weil die Lini EF das Vier- ekk ABCD in zwey gleiche und einander aͤhnliche Teihle/ AF und ED, teihlet/ vermoͤg der 1ſten Worterklaͤrung und des I ſten Lehrſatzes im VI. B. daß dahero beyder Teihle (wann man ſie in Gedanken nach denen gleichen Winkeln auf einander leget) ihre Schwaͤre- Puncten auf einander treffen/ folgends von der Lini EF gleichweit entfernet ſeyn/ und alſo des ganzen Vierekkes Schwaͤre-Punct/ vermoͤg obigen IV. Lehrſatzes/ in der Lini EF ſeyn muͤſte. Es lehren aber auch endlich faſt die Sinnen ſelbſten die Waarheit dieſes Lehrſatzes. Dann/ weil die Lini EF die ganze Flaͤche ABCD in zwey gleiche Teihle teihlet/ ſo iſt AF ſo ſchwaͤr als ED, und daher/ wann die ganze Flaͤche bey der Lini EF aufgehaͤnget wird/ kan we- der AF zur Linken/ noch ED zur Rechten ſich neigen/ und muß alſo der Schwaͤre-Punct noht- wendig in der Lini EF ſeyn. Daß er aber eben mitten auf ſolcher Lini ſeyn muͤſſe/ wird fol- gender Lehrſatz weiſen/ kan aber indeſſen gleicher geſtalt erkannt werden. Dann wann man H heinen Archimedis Erſtes Buch von derer Flaͤchen einen Punct zwar auf der Lini EF, aber nicht mitten bey i, ſondern zum Exempel naͤher bey E als beym F naͤhme/ wuͤrden zwar die beyde Seiten AC und BD inneſtehen/ aber die Seite CD wuͤrde ſich fuͤrwarts neigen und die andere AB in die Hoͤhe heben; und alſo der genom- mene Punct der rechte eigentliche Schwaͤre-Punct nicht ſeyn.

2. Daß aber/ wie die beyde Halbteihle AF und ED, alſo alle obige kleinere Teihlun- gen einander nicht allein gleich/ ſondern auch aͤhnlich ſeyen/ deſſen Grund iſt in voriger Anmer- kung ſchon angedeutet worden. Dann weil ſie gleiche Grundlineen auf der Lini CD und gleiche Hoͤhen haben/ oder zwiſchen zweyen gleichlauffenden Lineen ſtehen/ ſind ſie einander gleich/ nach dem 1ſten des VI. B. Weil ferner alle Seiten ſolcher Teihlungen gleichlauffend/ und alſo (Krafft des 29ſten im I. B.) die gegeneinander-ſtehende Winkel alle gleich ſind; auch die umb gleiche Winkel ſtehende Seiten gleiche Verhaͤltnis haben (weil ſo wol die laͤngeſten als auch die kuͤrzeſten Seiten allerſeits gleich ſeyn) ſo ſind alle ſolche kleine Vierekke nohtwen- dig auch einander aͤhnlich/ vermoͤg der 1ſten Worterklaͤrung des gemeldten VI. B. Daß ſonſten dieſer bißherige ganze Beweiß/ welcher hier allein in einer rechtwinklichten Figur er- klaͤret worden/ auch auf die ſcheefe oder geſchobene Vierekke ſich ſchikke/ wird ein jeder Ver- ſtaͤndiger leichtlich ſelbſten erachten/ und iſt daher ohne Noht/ daß wir die Zahl der Figur ver- vielfaͤltigen.

Der X. Lehrſatz.

Einer jeden gleichlauffend-ſeitigen Figur Gewicht-Mittel oder Schwaͤre-Punct iſt in dem Durchſchnitt ihrer Durchmeſſer.

Beweiß.

Es ſey eine gleichlauffend-ſeitige Figur ABCD, und deſſen Durchmeſſer (welche nehmlich die Figur halbteihlen) entweder EF und KL, oder AC und

BD, welche einander durchſchnei- den in H. So ſage ich nun/ daß der ganzen Flaͤche ABCD ihr Schwaͤre-Punct oder Gewicht- Mittel ſey der Punct H.

Dann im erſten Fall iſt beſag- ter Schwaͤre-Punct nohtwendig ſo wol in der Lini EF als in der Lini KL, vermoͤg des vorherge- henden IX. Lehrſatzes, und alſo unfehlbar in dem Punct H.

Jm andern Fall ſind die beyde Dreyekke ABD und DCB einander gleich und aͤhnlich (wie vermoͤg des 1ſten Lehrſatzes und der 1ſten Worterklaͤrung im VI. Buch leichtlich geſchloſſen wird) derowegen werden nicht allein beyde Dreyekke (wann ſie in Gedanken nach ihren gleichen Winkeln auf einander ge- ſetzet werden) ſondern auch ihre Schwaͤre-Puncten gaͤnzlich auf einander tref- fen/ vermoͤg obiger 5ten Forderung. So ſey nun des Dreyekkes ABD Schwaͤre-Punct E, und aus E durch die Mitte des Durchmeſſers BD (nehm- lich durch H, durch welchen Punct nohtwendig auch der andere Durchmeſſer AC ſtreichet/ vermoͤg folgender Anmerkung) gezogen eine gerade Lini EHF, und HF dem EH gleich gemachet. So nun in Gedanken die beyde Dreyekke alſo auf einander geleget werden/ daß AB auf CD und AD auf CB (nehm- lich A auf C und B auf D) ſo wird auch der halbe Durchmeſſer BH mit der andern Helfte DH, wie dann auch (weil die Winkel bey H, vermoͤg des 15den im I. B. Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel. im I. B. einander gleich ſind) EH und HF, und folgends beyde Puncten E und F, mit einander uͤbereintreffen und auf einander fallen. Weil aber auch die beyde Schwaͤre-Puncten ſolcher Dreyekke zuſammen treffen/ wie oben erwie- ſen worden; E aber des Dreyekkes ABD Schwaͤre-Punct iſt/ ſo muß F des andern Dreyekkes DCB Schwaͤre-Punct ſeyn. Welchem nach (vermoͤg des obigen IV. Lehrſatzes) der aus beyden Dreyekken zuſammgeſetzten Groͤſſe AB CD ihr Schwaͤre-Punct mitten in der Lini EF, das iſt/ in dem Punct H, ſeyn wird; Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkung.

Daß aber der andere Durchmeſſer AC eben auch durch den Punct H ſtreiche/ oder (wel- ches gleich viel iſt) wann aus H auf A und C Lineen gezogen werden/ ſolche beyde eine gerade Lini/ oder den Durchmeſſer AC machen/ wird alſo erwieſen: Jn denen beyden Dreyekken AHD und BHC ſind AD und BD, item BH und DH, wie auch (vermoͤg des 29ſten im I. B.) die Winkel ADH und HBC einander gleich: derowegen ſind auch/ naͤchſt andern Seiten und Winkeln/ die Scheitelwinkel AHD und BHC einander gleich/ Krafft des 4ten im I. und folgends machen AH und HC (vermoͤg der Anmerkung des 15den im I. B.) eine gerade Lini/ oder den Durchmeſſer AC; Welches hat ſollen bewieſen werden. Woraus zugleich auch dieſes zu erſehen/ daß/ wann jemand dieſe Art des Beweiſes/ welche durch/ im Sinn verrichtete/ Aufeinander-Legung beyder Dreyekke verrichtet wird/ nicht be- lieben wuͤrde/ er leichtlich mit Flurantio einen andern an die ſtatt ſetzen koͤnnte; dieſes einige beweiſend/ daß die beyde/ von Ekk zu Ekk gezogene/ Durchmeſſer AC und BD durch eben den Punct H ſtreichen/ in welchem die vorige beyde EF und KL einander durchſchneiden/ das iſt/ daß die aus H in A und C gezogene Lineen HA und HC, und wiederumb HB und HD bey- derſeits eine gerade Lini (dorten nehmlich AC und hier BD) machen: Welches aus bißher- beſagtem leicht/ ja vielmehr allbereit wuͤrklich/ in dieſer Anmerkung/ geſchehen iſt.

Der XI. Lehrſatz.

Wann in zweyen aͤhnlichen Dreyekken zweene Puncten gleich- foͤrmig geſetzet ſind/ und der eine des Dreyekkes/ in welchem er ſte- het/ ſein Schwaͤre-Punct iſt; ſo iſt auch der andere der Schwaͤre- Punct des andern Dreyekkes/ in welchem er ſtehet.

Beweiß.

Es ſeyen zum Exempel zwey aͤhnliche Dreyekke ABC und DEF, und in denenſelben zweene Puncten/ H und N (nach Anleitung obiger 6. Forderung und deroſelben Anmerkung) gleichfoͤrmig geſetzet. Wird nun geſagt/ wann H des Dreyekkes ABC Gewicht-Mittel oder Schwaͤre-Punct iſt/ ſo ſey auch N des andern Dreyekkes DEF Gewicht-Mittel.

Dann ſo es N nicht iſt/ ſo ſey es/ wo moͤglich/ der Punct G, und ſeyen gezogen die Lineen HA, HB, HC, wie auch ND, NE, NF, und GD, GE, GF. Dieweil nun ABC und DEF zwey aͤhnliche Dreyekke/ H und G aber ihre Schwaͤre-Puncten

ſind/ ſo ſeyn (vermoͤg der 6. Forderung) dieſe beyde Puncten in ihren Drey- H h ijekken Archimedis Erſtes Buch von derer Flaͤchen ekken gleichfoͤrmig/ das iſt/ alſo geſetzet/ daß zum Exempel der Winkel GDE dem Winkel HAB gleich iſt. Nun ſind aber (Krafft obigen Satzes) auch die Puncten H und N gleichfoͤrmig geſetzet/ und dannenhero (aus gleichem Grund) der Winkel NDE dem Winkel HAB gleich. Derowegen muß der Winkel GDE dem Winkel NDE (das Teihl ſeinem Ganzen) gleich ſeyn: Welches aber unmoͤglich iſt/ und daher erzwinget/ daß G der Schwaͤre-Punct des Dreyekkes DEF nicht ſeyn koͤnne. Eben dergleichen Unmoͤglichkeit wuͤrde folgen/ wann der Punct G auſſerhalb des Winkels DNE, oder auch auf die Lini ND oder NE geſetzet wuͤrde: Alſo daß/ dem endlichen Schluß nach/ kein anderer als der Punct N des Dreyekkes DEF Schwaͤre-Punct ſeyn kan. W. Z. B. W.

Der XII. Lehrſatz.

Wann zwey Dreyekke einander aͤhnlich ſind/ und des einen Schwaͤre-Punct iſt in der von einem Winkel auf die Mitte der Grund-Lini gezogenen Lini; ſo iſt auch des andern Dreyekkes Schwaͤre-Punct in der Lini/ welche in demſelben gleicher geſtalt gezogen wird.

Beweiß.

Es ſeyen wiederumb zwey aͤhnliche Dreyekke ABC und DEF, und der Schwaͤre-Punct des einen Dreyekkes ABC (nehmlich H) in der Lini BG, welche aus B mitten auf die Grund-Lini AC herunter faͤllet. Soll nun be-

wieſen werden/ daß in dieſem Fall auch des andern Drey- ekkes Schwaͤre-Punct in der Lini EM, welche gleichfalls aus E auf die Mitte deꝛ Gꝛund- Lini DF herunter faͤllet/ ſeyn muͤſſe. So teihle man nun die Lini EM in N wie BG in H, daß EM gegen EN wie BH ge- gen BG ſich verhalte/ nach dem 10den des VI. B. und ziehe ſo dann die Lineen HA, HC, und DN, NF; ſo wollen wir beweiſen/ daß eben N des Dreyekkes DEF Schwaͤre-Punct oder Gewicht-Mittel ſey. Dann weil AG die Helft iſt von AC, und DM die Helfte von DF, ſo verhaͤlt ſich wie BA gegen AG, alſo DE gegen DM (die- weil naͤhmlich wegen Aehnlichkeit derer Dreyekke BA gegen der ganzen AC ſich verhaͤlt wie DE gegen der ganzen DF.) Nun iſt aber der Winkel BAG dem Winkel EDM gleich/ vermoͤg der 1. Worterklaͤrung im VI. B. Derowegen iſt auch der Winkel AGB gleich dem Winkel DME, und verhaͤlt ſich wie AG gegen GB, alſo DM gegen ME, nach dem 6ten und 4ten des VI. B. Es iſt aber (Krafft obiger Vorbereitung) ferner wie GB gegen BH, alſo ME gegen EN. Derowegen verhaͤlt ſich/ gleichdurchgehend/ wie BA gegen BH, alſo DE gegen EN, vermoͤg des 22ſten im V. B. Es ſind aber die Winkel ABH und DEN einander gleich/ dieweil zuvor die beyde Dreyekke AGB und DME gleichwinklicht zu ſeyn erwieſen worden. Derohalben ſind die Dreyekke ABH und Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel. und DEN gleichwinklicht/ das iſt/ der Winkel BAH gleich dem Winkel EDN, und folgends der uͤbrige HAG dem uͤbrigen NDM. Auf gleiche Weiſe wird geſchloſſen/ daß der Winkel BCH gleich ſey dem Winkel EFN, und HCG dem NFM. So iſt auch oben bewieſen/ daß ABH dem DEN gleich ſey/ al- ſo daß auch der uͤbrige HBC dem uͤbrigen NEF gleich ſeyn muß. Aus wel- chem allen (Krafft obiger 6. Forderung) endlich folget/ daß die beyde Puncten H und N in aͤhnlichen Dreyekken gleichformig geſetzet ſeyen/ und dannenhero/ wann H der Schwaͤre-Punct des Dreyekkes ABC iſt/ alsdann (vermoͤg des vorhergehenden XI. Lehrſatzes) auch N des andern Dreyekkes DEF Ge- wicht-Mittel oder Schwaͤre-Punct ſey. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Der XIII. Lehrſatz.

Eines jeden Dreyekkes Schwaͤre-Punct iſt in der jenigen Lini/ welche aus einem Winkel auf das Mittel der Grund-Lini gezo- gen wird.

Beweiß.

Es ſey ein Dreyekk ABC, und in demſelben AD aus dem obern Winkel auf die Mitte der Grund-Lini BC gezogen. Wird nun geſagt/ des ganzen Dreyekkes Schwaͤre-Punct oder Gewicht-Mittel ſey in der Lini AD. Dann wo deme nicht alſo iſt/ ſo muß es auſſer der Lini AD, zum Exempel in H ſeyn. So ziehe man nun aus dem Punct H eine/ mit BC gleichlauffende/ Lini HI; und halbteihle DC ſo lang und viel/ biß ein Teihligen ſich finde/ ſo da kleiner ſey als HI, nach der Anmerkung des 1ſten im X. B.

Ferner trage man die Teihlung der halben Grund-Lini DC auch auf die andere Helfte BD, und ziehe aus allen Puncten ſolcher Teihlungen gerade/ mit AD gleichlauffende/ Lineen uͤber ſich/ nach dem 31ſten des I. B. Endlich ziehe man auch die Quehr-Lineen EF, GK, LM, welche (vermoͤg folgender 1. Anmer- kung) mit BC gleichlauffen. So iſt demnach offenbar/ daß das gleichlauffend- ſeitige Vierekk MN ſeinen Schwaͤre-Punct in der Lini SY, KX in YT, und FO in TD habe/ Krafft obigen IX. Lehrſatzes; daher dann folgends auch die/ aus allen zuſammgeſetzte/ Groͤſſe ihren Schwaͤre-Punct in der Lini SD haben wird (Beſihe folgende 2. Anmerkung.) Derſelbe ſey nun/ zum Exem- pel/ der Punct R, und aus dieſem durch H eine gerade Lini hinaus gezogen/ welche von einer andern/ aus C, mit AD gleichlauffend-gezogenen/ betroffen werde in U. Dieweil nun das Dreyekk ADC gegen allen/ ihme aͤhnlichen/ Dreyekken auf AM, MK, KF, FC, &c. zuſammen ſich verhaͤlt/ wie die Lini AC gegen der Lini AM (Beſihe folgende 3. Anmerkung) und/ aus gleichem Grund/ das andere Dreyekk ADB gegen denen uͤbrigen Dreyekken AL, LG, GE, EB, wie BA gegen AL, das iſt/ wie CA gegen AM, vermoͤg des 2ten H h iijim VI. Archimedis Erſtes Buch von derer Flaͤchen im VI. B. ſo verhaͤlt ſich auch das ganze Dreyekk ABC gegen allen beyder- ſeits ſtehenden kleinen Dreyekken zuſammen/ wie CA gegen AM, nach dem 12ten des V. B. Nun aber CA gegen AM eine groͤſſere Verhaͤltnis als UR gegen RH, (dann CA gegen AM verhaͤlt ſich wie UR gegen RP, Krafft nach- geſetzter 4. Anmerkung; UR aber hat gegen RP eine groͤſſere Verhaͤltnis als gegen RH, vermoͤg des 8ten im V. B.) Derowegen hat auch das Dreyekk ABC, und folgends/ zerteihlet/ auch die gleichlauffend-ſeitige Vierekke MN, TX, FO zuſammen/ gegen beſagten uͤbrigen Dreyekken eine groͤſſere Verhaͤlt- nis als UR gegen RH, nach dem 17den des V. B. Solche groͤſſere Verhaͤlt- nis aber ſey/ zum Exempel/ die jenige/ welche da hat QH gegen HR. Welchem nach dann wir nun haben eine Groͤſſe ABC, deren Schwaͤre-Punct (Krafft obigen Satzes) iſt H, und von welcher iſt hinweg genommen die/ aus obbe- ruͤhrten gleichlauffend-ſeitigen Figuren zuſammgeſetzte Groͤſſe/ deren Schwaͤre- Punct iſt R. Muß derowegen (Krafft obigen VIII. Lehrſatzes) die uͤbrige/ aus denen beyderſeits uͤbrigen Dreyekken zuſam̃geſetzte/ Groͤſſe ihren Schwaͤre- Punct in der verlaͤngerten Lini RH, und zwar in dem Punct/ welcher ſolche Ver- laͤngerung alſo abſchneidet/ daß ſie gegen RH ſich eben ſo verhalte/ wie die ab- genommene Groͤſſe der uͤbrigen; nehmlich (vermoͤg vorbeſagtens) in dem Punct Q. Solches aber iſt unmoͤglich. Dann/ wann man durch Q eine mit AD gleichlauffende Lini ziehet/ ſo iſt offenbar/ daß alle Teihle der uͤbrigen Groͤſſe auf eine Seite/ nehmlich diſſeits/ kein einiger aber jenſeit des Puncten Q falle/ daß es alſo unmoͤglich ihr Schwaͤre-Punct oder Gewicht-Mittel ſeyn kan/ vermoͤg obiger 8. Forderung. Dieweil nun etwas unmoͤglichs folget/ wann man des ganzen Dreyekkes ABC Gewicht-Mittel auſſer der Lini AD ſetzet/ ſo muß ſolches nohtwendig in beſagter Lini ſeyn; Welches hat ſollen be- wieſen werden.

Anmerkungen.

1. Daß EF, GK, LM, &c. mit BC gleichlauffen/ erweiſet Eutokius alſo: Dieweil BO und CZ (vermoͤg obiger Vorbereitung) wie auch BD und CD, einander gleich ſind/ ſo verhaͤlt ſich/ wie BD gegen BO, alſo CD gegen CZ, und zerteihlet/ wie DO gegen OB, alſo DZ gegen ZG, Krafft des 17den im V. B. Nun aber (weil OE mit DA gleichlauf- fend iſt) verhaͤlt ſich wie DO gegen OB, alſo AE gegen EB, und gleichfalls/ wie DZ gegen ZC, alſo AF gegen FC, nach dem 2ten des VI. B. Derowegen verhaͤlt ſich auch (ver- moͤg des 11ten im V. B.) wie AE gegen EB, alſo AF gegen FC, und iſt daher nohtwen- dig EF gleichlauffend mit BC, Krafft des andern Teihls des 2ten im VI. B. Eben die- ſes nun wird auch von denen andern auf gleiche Weiſe erwieſen.

2. Schlieſſet Archimedes/ weil die Vierekke MN, KX, FO, jedes abſonderlich ſei- nen Schwaͤre-Punct auf der Lini SD hat/ ſo muͤſſe auch die/ aus allen zuſammgeſetzte/ Figur ihren Schwaͤre-Punct in der Lini SD haben; Welches dann/ fuͤr ſich ſelbſten zwar bekannt/ jedennoch folgender Geſtalt kan erzwungen werden: Weilen die Lini ST durch beyder unglei- cher Groͤſſen MN und KX ihre Schwaͤre-Puncten gehet/ ſo folget/ daß/ wann gedachte Li- ni ST (zum Exempel in I) alſo geteihlet wird/ daß SI gegen IT ſich verhaͤlt/ wie KX gegen MN, alsdann beſagter Punct I der/ aus beyden zuſammgeſetzten Groͤſſe MX ihr Schwaͤre- Punct ſey/ und alſo in die Lini ST falle/ vermoͤg obiger VI. und VII. Lehrſaͤtze. Glei- ches wird erwieſen von der ganzen Groͤſſe MO, wann MX und FO als zwey ungleiche Groͤſ- ſen gegen einander gehalten werden.

3. Drittens ſetzt Archimedes/ das Dreyekk ADC verhalte ſich gegen die kleine Drey- ekke AM, MK, KF, FC, &c. zuſammen/ wie CA gegen AM; Welches wir alſo klar ma- chen: Weil alle Teihle der Lini DC einander gleich/ und die auſrechten Lineen ZF, &c. gleich- lauffend ſind/ vermoͤg obiger Vorbereitung/ ſo muͤſſen auch FC, KF, MK, AM einander gleich ſeyn/ vermoͤg des 2ten im VI. Gleicher Weiſe muͤſſen/ wegen Gleichlauffung derer Lineen Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel. Lineen EF, GK, LM, auch die Hoͤhen und Grund-Lineen obbemeldter kleinen Dreyekke/ und folgends auch die Dreyekke ſelbſten/ alle einander gleich ſeyn. Wann nun zum Exempel auf DW ein Dreyekk gemacht wuͤrde in der Hoͤhe DA (verſtehe DAW) ſo waͤre ſolches ſo oft groͤſſer als das Dreyekk FCZ, ſo viel DA, oder DC oder CA gleiche Teihle haben/ das iſt/ eben ſo groß als alle Dreyekke FC, KF, MK, AM, &c. vermoͤg der Anmerkung des 1ſten im VI. B. Nun verhielte ſich aber (Krafft erſtangezogenen 1ſten des VI.) das Drey- ekk DAC gegen ſolchem Dreyekk DAW, wie CD gegen DW, das iſt/ wie CA gegen AM. Derowegen verhaͤlt ſich auch das Dreyekke DAC gegen allen kleinen Dreyekken FC, KF, &c. zuſammen/ wie CA gegen AM. W. Z. B. W.

4. Daß vierdtens/ UR gegen RP ſich verhalte wie CA gegen AM, iſt leicht zu erach- ten/ wann man nur in Gedanken UR und CB verlaͤngert/ biß ſie zuſammen kommen und alſo ein Dreyekk vollzichen. Dann da findet ſich alſobald/ daß/ wegen Gleichlauffung der Lineen UC, PW, und DR, UR gegen RP ſich verhalte wie CD gegen DW, das iſt/ wie CA gegen AM, vermoͤg der Anmerkung des 2ten im VI. B. Es moͤchte ſich aber dieſer Zweiffel hier erregen/ daß wir begehren/ UR und CB alſo gegen B hinaus zu verlaͤngen/ biß ſie endlich zuſammen kommen/ welches aber nicht allezeit geſchehen koͤnne/ ſondern alsdann nur/ wann der Punct R unter das I, wie hier in gegenwaͤrtigem Fall/ faͤllet. Weswegen wir dann mit we- nigem bemerken/ daß/ wann der Punct R uͤber das I hinauf fället/ alsdann RH und BC auf der andern Seiten zuſammen lauffen und eben das vorige koͤnne geſchloſſen werden. Solte aber der Punct R in das I ſelbſten fallen/ ſo wuͤrde die verlaͤngerte Lini RH mit DC gleich lauffen/ und/ nach dem 34ſten des I. B. UR dem DC gleich ſeyn/ und folgend UR gegen RP, wie CD gegen DW, das iſt/ wie CA gegen AM ſich abermals verhalten.

5. Endlich hat Archimedes eben dieſen obigen ganzen Lehrſatz noch auf eine andere Weiſe bekraͤfftiget/ die wir deswegen auch noch mit anfuͤgen wollen.

Anderer Beweiß des vorigen.

Es ſey wiederumb gegeben ein Dreyekk ABC, und in demſelben AD auf die Mitte der Grund-Lini BC gezogen. Soll nun bewieſen werden/ daß des Dreyekkes ABC Gewicht-Mittel oder Schwaͤre-Punct in der Lini AD ſey. Solches nun wird folgender Geſtalt ge- wiß gemachet: Wann es in der Lini AD nicht iſt/ ſo ſey es/ wo moͤglich/ auſ- ſer derſelben/ etwan in H; und ziehe man ſo dann HA, HB, HC, und HD, wie auch DE, DF, FE auf die Mitte beyder Lineen AB und AC. Man ma- che ferner EK, FL gleichlauffend mit AH, und ziehe KL, KD, LD, und MN. Dieweil nun CD gleich iſt dem DB und CF gleich FA, ſo iſt DF mit AB gleich-

lauffend/ und gleicher weiſe DE mit AC, nach dem 2ten des VI. und alſo folgends das Dreyekk DFC aͤhnlich dem ganzen Dreyekk BAC, vermoͤg der Anmerkung des 4ten im VI. Jn dieſen aͤhnlichen beyden Dreyekken aber ſind die beyde Puncten H und L gleichfoͤrmig geſetzet/ vermoͤg folgender 1. Anmer- kung. Derowegen/ weil H des Dreyekkes ABC Schwaͤre-Punct iſt/ muß auch L des Dreyekkes DFC Schwaͤre-Punct ſeyn/ Krafft obigen XI. Lehr- ſatzes. Gleicher geſtalt wird K des Dreyekkes BED Schwaͤre-Punct zu ſeyn erwieſen. Welchem nach der Schwaͤre-Punct der/ aus beyden (vermoͤg des 38ſten im I. B. gleichen) Dreyekken/ BED und DFC, zuſam̃geſetzten/ Groͤſſe mitten auf der Lini KL ſeyn wird/ nach obigem IV. Lehrſatz. Das Mittel aber Archimedis Erſtes Buch von derer Flaͤchen aber der Lini KL iſt N; (Dann/ weil KE und HA gleichlauffend gezogen ſind/ ſo verhaͤlt ſich wie BE gegen EA, alſo BK gegen KH; und gleichfalls wie CF gegen FA, das iſt/ BE gegen EA, alſo CL gegen LH, und folget alſo/ daß/ wie BK gegen KH, alſo CL gegen LH ſich verhalte/ und daher KL und BC gleichlauffend ſeyen; alles aus dem 2ten des VI. B. Welchem nach endlich (vermoͤg folgender 2. Anmerkung) HND, welche BC halbteihlet/ auch mitten durch KL ſtreichet.) Dannenhero iſt der/ aus beyden Dreyekken BED und DFC zuſammgeſetzten/ Groͤſſe ihr Schwaͤre-Punct in N. Die gleich- lauffend-ſeitige Figur AEDF aber hat ihren Schwaͤre-Punct in M, vermoͤg obigen X. Lehrſatzes. Derowegen muß die ganze/ aus allen dreyen bemeldten Stuͤkken zuſammgeſetzte Figur (nehmlich das ganze Dreyekk ABC) ihren Schwaͤre-Punct (vermoͤg der 2. Anmerkung des VIII. Lehrſatzes) in der Lini MN haben. Es iſt aber H fuͤr ſolchen Punct geſetzt worden. Muß derowegen MN durch H ſtreichen/ welches unmoͤglich iſt/ weil MN und HA gleichlauf- fen. (Beſihe folgende 3. Anmerkung.) So kan demnach der Schwaͤre- Punct des Dreyekkes ABC (weil ſonſten etwas unmoͤgliches folgete) nicht anſſer der Lini AD ſeyn. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkungen.

1. Umb mehrerer Gewißheit willen/ wollen wir/ was Archimedes als offenbar an- nimmt/ deutlich machen/ und zu foͤrderſt beweiſen/ daß die beyde Puncten H und L in denen beyden Dreyekken ABC und DFC gleichfoͤrmig geſetzet ſeyen. Die ganze Sache aber be- ruhet auf dem Gleichlauffen derer beyden Lineen HA und LF, woraus dann ferner folget/ daß CL gegen LH ſich verhalte/ wie CF gegen FA, das iſt/ wie CD gegen DB, und alſo LD und HB auch gleichlauffend ſeyen. Welchem nach dann der Winkel LFC dem HAC, und alſo der uͤbrige LFD dem uͤbrigen HAD gleich iſt/ weil die ganzen Winkel BAC und DFC gleich waren. So iſt auch der Winkel LDC dem HBD, und folgends der uͤbrige FDL dem uͤbrigen ABH (weil die ganzen ABC und FDC auch gleich waren) wieder gleich: die lezten Winkel FCL und LCD aber endlich beyden gemein: Woraus dann un- fehlbar folget (vermoͤg der Anmerkung obiger 6. Forderung) daß die beyde Puncten H und L gleichfoͤrmig geſetzet ſeyen.

2. Daß fuͤrs andere durch die Lini HD, welche BC halbteihlet/ auch KL halbgeteihlet werde/ und alſo KN und LN einander gleich ſeyen/ wird alſo wiſſend: Weil KL und BC gleichlauffen/ ſo ſind die beyde Dreyekke HLK und HCB, wie auch HLN und HCD, gleichwinklicht/ vermoͤg des 29ſten im I. B. und deswegen verhaͤlt ſich (Krafft des 4ten im VI.) wie HL gegen LK, alſo HC gegen CB, und verwechſelt/ wie HL gegen HC, alſo LK gegen CB. Gleichfalls wird geſchloſſen/ daß ſich verhalte/ wie HL gegen HC, al- ſo LN gegen CD; und dahero (nach dem 11ten des V. B.) LK gegen CB wie LN gegen CD; und verwechſelt/ LK gegen LN, wie CB gegen CD, das iſt/ wie ein ganzes gegen ſeinem halben. W. Z. B. W.

3. Zum Beſchluß des Beweiſes iſt fuͤr bekannt genommen/ daß MN und HA gleich- lauffend ſeyen/ welches folgender geſtalt klar wird: N iſt das Mittel von KL, wie erſt be- wieſen worden/ und/ aus gleichem Grund/ M das Mittel von EF; derowegen/ weil EF und KL (als gegen uͤber ſtehende Seiten des gleichlauffend-ſeitigen Vierekkes KF) einan- der gleich ſind/ nach dem 34ſten des I. B. ſo muͤſſen auch MF und NL einander gleich/ und folgends (Krafft des 33ſten im I. B.) MN und FL gleichlauffen. Es iſt aber auch HA gleichlauffend mit FL, Laut obiger Vorbereitung/ derohalben muͤſſen auch MN und HA gleichlauffen/ nach dem 30ſten des I. B.

Der XIV. Lehrſatz.

Eines jeden Dreyekkes Gewicht-Mittel iſt der jenige Punct/ in welchem die/ aus denen Winkeln auf die Mitte derer gegen- uͤber ſtehenden Seiten gezogene/ Lineen zuſammen kommen.

Beweiß. Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel.

Beweiß.

Es ſey ein Dreyekk ABC, und in demſelben ge- zogen die Lini AD mitten auf BC, und BE mitten auf AC. Dieweil nun (vermoͤg des vorhergehenden Lehrſatzes) der Schwaͤre-Punct ſo wol in der Lini AD als in BE iſt/ muß er nohtwendig in dem Durchſchnitts- Punct H fallen. W. Z. B. W.

Der XV. Lehrſatz.

Eines jeden/ nur zwey gleichlauffende Seiten habenden Vier- ekkes Schwaͤre-Punct iſt in der jenigen Lini/ welche beyde gleich- lauffende Seiten halbteihlet/ und zwar in dem jenigen Punct/ welcher gemeldte Lini alſo zerſchneidet/ daß das/ auf der kleinen gleichlauffenden Seite geendigte/ Teihl gegen dem uͤbrigen ſich al- ſo verhalte/ wie die groſſe Seite zweymal ſambt der kleinen/ gegen der kleinen Seiten zweymal ſambt der groſſen.

Erlaͤuterung.

Es ſey ein Vierekk ABCD, deſſen zwey Seiten nur/ nehmlich AD und BC gleichlauffen/ und in demſelben gezogen die Lini EF mitten durch AD und BC. Soll nun erwieſen werden/ daß des Vierekkes Schwaͤre-Punct ſey der Punct der Lini EF, welcher dieſelbe al- ſo teihlet/ daß ihr in E geendigtes Teihl gegen dem uͤbrigen ſich verhalte/ wie die gedoppelte Seite BC ſambt AD, gegen der gedoppelten Seiten AD ſambt BC.

Beweiß.

Daß nun des Vierekkes ABCD Gewicht-Mittel in der Lini EF ſey/ iſt offenbar. Dann/ ſo man BA, FE, CD verlaͤngert/ biß ſie zuſamm kommen in G

(welches geſchehen muß/ weil ſie nicht gleichlauffend ſind/ Beſihe folgende 1. Anmerkung) ſo hat das Dreyekk BGC ſeinen Schwaͤre-Punct in der Lini GF, wie auch das Dreyekk AGD, in der Lini GE, vermoͤg obigen XIII. Lehrſatzes. Derowegen/ wann man das Dreyekk AGD hinweg nimmt/ muß auch das uͤbrige Vierekk ABCD ſeinen Schwaͤre-Punct in der Lini EF haben/ Laut obigen VIII. Lehrſatzes. Damit aber das uͤbrige auch kundt wer- de/ ſo ziehe man BE, BD, DF, und teihle BD oder CD in drey gleiche Teihle/ nach dem 10den des VI. in K und H, oder T und M; fuͤhre nachmals quehr-uͤber/ und mit BC gleichlauffend/ die Lineen NKT, LHM, und ziehe endlich OX.

J iDie- Archimedis Erſtes Buch von derer Flaͤchen

Dieweil nun die Lini LHM von BD den dritten Teihl HB abſchneidet/ und mit BC gleichlauffet/ ſo iſt der Schwaͤre-Punct des Dreyekkes BDC in der Lini LM, vermoͤg folgender 2. Anmerkung. Es iſt aber eben derſelbe Schwaͤre-Punct in der Lini DF, nach obigem XIII. Lehrſatz. Derowegen muß es nohtwendig der Punct X ſeyn. Gleicher geſtalt folget/ daß des Drey- ekkes ABD Schwaͤre-Punct ſo wol in der Lini NK als in BE, und alſo noht- wendig O ſey. Welchem nach dann der/ aus beyden Dreyekken zuſammgeſetzten Groͤſſe/ nehmlich des Vierekkes ABCD, Schwaͤre-Punct in der Lini OX ſeyn muß/ vermoͤg obigen VIII. Lehrſatzes und deſſen 2. Anmerkung. Es iſt aber eben derſelbe Schwaͤre-Punct auch in der Lini EF, wie oben bewieſen wor- den. Derohalben wird es nohtwendig der Punct P ſeyn. Jſt alſo noch uͤbrig/ daß die Verhaͤltnis des Teihls EP, gegen dem uͤbrigen Teihl PF, beſtimmet werde. Nehmlich es verhaͤlt ſich das Dreyekk BDC gegen dem Dreyekk ABD, wie die Grund-Lini BC gegen der Grund-Lini AD, nach dem 1ſten des VI. aber auch ferner wie OP gegen PX, vermoͤg obiger VI. und VII. Lehrſaͤtze. OP aber verhaͤlt ſich gegen PX wie RP gegen PS (weil OPR und XPS gleich- winklichte Dreyekke ſind; Beſihe folgende 3. Anmerkung.) So verhaͤlt ſich demnach wie BC gegen AD, alſo RP gegen PS. Derowegen verhaͤlt ſich auch wie zwey BC ſambt AD, gegen zwey AD ſambt BC, wie zwey RP ſambt PS, gegen zwey PS ſambt RP, vermoͤg folgender 4. Anmerkung. Nun ſind aber zwey RP ſambt PS ſo viel als ein RP und RS, das iſt/ als RP und RE zuſammen (weil RE und RS gleich ſind) mit einem Wort/ ſo viel als PE; Zwey PS aber ſambt RP ſo viel als ein PS und SR oder SF, das iſt/ ſo viel als PF. So folget derowegen der Schluß/ daß/ wie zwey BC ſambt AD ge- gen zwey AD ſambt BC, alſo PE gegen PF ſich verhalte. Welches hat ſol- len bewieſen werden.

Anmerkungen.

1. Jn dieſem Beweiß ſetzt Archimedes zu foͤrderſt als bekannt/ daß die verlaͤngerten Lineen BA, FE, CD in G zuſammen kommen muͤſſen. Nun iſt es zwar von jeden zweyen gewiß/ daß ſie muͤſſen endlich in einem Punct zuſammen kommen/ weil ſie nicht gleichlauffend ſind: aber ob die dritte eben durch den Punct/ in welchem die beyde andere einander antreffen/ ſtreiche/ zum Exempel/ wann BA und CD in G zuſamm kommen/ ob die verlaͤngerte FE auch eben durch G lauffe/ iſt einem Anfaͤngling nicht ſo gar auſſer Zweiffel. Wollen demnach ſol- ches aus Flurantio folgender Geſtalt erweiſen: Wann fe nicht durch g lauffet/ ſo gehe ſie/

wo moͤglich/ durch h, alſo daß feh eine gerade Lini ſey. Dieweil nun ad und bc gleichlauffen/ ſo verhaͤlt ſich wie gd gegen da, alſo gc gegen cb; und verwechſelt wie gd gegen gć, alſo da gegen cb, oder die Helfte de gegen der Helfte cf, nach dem 4ten des VI. Aus glei- chem Grund aber ⃒(weil feh eine gerade Lini zu ſeyn geſetzet iſt) verhaͤlt ſich/ wie hd gegen hc, alſo de ge- gen cf; alſo daß (vermoͤg des 11ten im V.) gd gegen gc ſich verhalten muß/ wie hd gegen hc; und zerteih- let (nach dem 17den des V.) gd gegen dc, wie hd gegen dc: dahero dann (vermoͤg des 9ten im V.) gd und hd, (das Ganze und ſein Teihl) einander gleich ſeyn muͤſten; welches unmoͤglich iſt. Muß derowegen die verlaͤngerte fe nohtwendig durch g ſtreichen.

2. Ein fuͤrnehmes Stuͤkk des obigen Beweiſes/ welches Archimedes aber auch als be- kannt ſetzet/ iſt fuͤrs andere dieſes: Daß/ weil die/ mit BC gleichlauffende/ Lini HM von einer Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel. einer Seite des Dreyekkes BDC den dritten Teihl/ nehmlich HB, abſchneidet/ deswegen gemeldten Dreyekkes Schwaͤre-Punct in beſagter Lini HM oder LM ſeyn muͤſſe. Solches nun beweiſet Eutokius/ und erlaͤutert es durch beygeſetzte/ etwas wenig veraͤnderte Figur: Es ſey ein Dreyekk ABC, ſpricht er/ und in denſelben gezogen/ aus allen Winkeln auf die Mitte derer entgegen-geſetzten Seiten/ die Lineen AE, BF, CD, alſo daß des Dreyekkes Schwaͤre-Punct (vermoͤg obigen XIV. Lehrſatzes) iſt der Punct G, in welchem alle bemeldte Lineen zuſam- men kommen muͤſſen/ weil ſonſten das Dreyekke zwey Schwaͤre-Puncten haben wuͤrde. Dieweil nun AD, DB, BC, EC, CF und FA alle gleich ſind (NB. Hier- aus erhellet/ daß Eutokius allein von einem gleich- ſeitigen Dreyekk handele; dann in andern wuͤrde dieſes nicht angehen) ſo werden auch alle Dreyekke/ welche ihre Spitze in dem Punct G, und erſtbemeldte Li- neen zu Grund-Lineen/ haben/ gleich ſeyn/ wie teihls aus dem 4ten des I. teihls aus dem 1ſten des VI.

leichtlich zu ſchlieſſen iſt. Demnach iſt das Dreyekk AGB zweymal ſo groß als das Drey- ekk BGE, und folgends (weil ſie in einer Hoͤhe ſind) auch die Grund-Lini AG zweymal ſo groß als die Grund-Lini GE, vermoͤg des 1ſten im VI. So man nun durch den Punct G die/ mit BC gleichlauffende/ HK ziehet/ wird AH gegen HB ſich verhalten/ wie AG gegen GE, nach dem 2ten des VI. und alſo AH zweymal ſo groß als HB, oder HB ein Dritteihl von AB, ſeyn/ ꝛc.

Dieſes iſt nun an ſich ſelbſten unfehlbar und deutlich/ vorhin weil wir die Meinung Eu- tokii mit mehrern Umbſtaͤnden und klaͤrer entworſen haben; iſt aber/ obgemeldter Urſachen halben/ nur auf ein gleichſeitiges Dreyekk gerichtet/ und deswegen zu Bekraͤftigung des Archi- mediſchen Lehen-Satzes untuͤchtig; dieweil das Dreyekk BDC von welchem er in obigem Beweiß redet/ nicht gleichſeitig iſt. Es kan aber dem Eutokio bald geholfen/ und die Sache folgender maſſen allgemein gemachet werden: Weil ab in d, ac in f, und bc in e, halb- geteihlet ſind/ ſo ſeyn (vermoͤg des 1ſten im VI.) ſo

wol die beyde Dreyekke/ abf und fbc, als die zwey kleinere agf und fgc einander gleich; und dannenhero/ wann dieſe beyde gleiche von jenen beyden genommen werden/ muͤſſen auch die beyde uͤbrige/ abg, und bgc, einander gleich ſeyn. Nun aber iſt/ aus vorigem Grund/ bgc zweymal ſo groß als bge. Derowegen iſt auch abg zweymal ſo groß als bge, und folgends (wie oben) ag zweymal ſo groß als ge, das iſt/ ge ⅓ von ae, und hb ⅓ von ab. Alſo daß wir nunmehr auch mit Eu- tokio umbgekehrt/ und allgemein ſchlieſſen koͤnnen: Wann eine Seite eines Dreyekkes alſo geteihlet wird/ daß das Teihl gegen der Spitze zweymal ſo

groß iſt/ als das Teihl gegen der Grund-Lini (wie ab in h) und man hernach durch ſolchen Teihlungs-Punct eine/ mit der Grund-Lini gleichlauffende/ Lini (wie hk) ziehet; ſo muͤſſe der Schwaͤte-Punct des Dreyekkes in gemeldter Lini (hk) ſeyn. Dann ſo er auſſer derſelben/ zum Exempel in i, fiele/ und durch i eine/ mit bc gleichlauffende/ Lini lm gezogen wuͤrde/ muͤſte/ Krafft vorigen Beweiſes/ lb ⅓ von ab, und alſo dem hb gleich/ ſeyn; Welches aber unmoͤglich iſt. Eben dergleichen Unmoͤglichkeit aber wuͤrde fol- gen/ wann der Punct i uͤber die Lini hk geſetzet wuͤrde.

3. Daß in obigem Aufriß unſers Archimedis die zwey Dreyekke OPR und XPS gleichwinklicht ſeyen/ und daher wie OP gegen PX, alſo RP gegen PS ſich verhalte/ wird aus nachfolgendem leichtlich zu erſehen ſeyn: Der Winkel OPR iſt gleich dem Winkel XPS, nach dem 15den des I. B. der Winkel ORP aber dem Winkel PSX, wie auch ROP dem PXS, vermoͤg des 29ſten im I. B. Darumb ſind beyde Dreyekke gleichwinklicht/ und fol- get/ wie OP gegen PR, alſo PX gegen PS, Krafft des 4ten im VI. und wechſelweiß/ wie OP gegen PX, alſo PR gegen PS.

J i ij4. Zum Archimedis Erſtes Buch von derer Flaͤchen

4. Zum Beſchluß obigen Beweiſes gebraucht ſich Archimedes endlich dieſer Folge: Weil BC gegen AD ſich verhalte wie RP gegen PS, ſo verhalte ſich auch/ wie zwey BC ſambt AD gegen zwey AD ſambt BC, alſo zwey RP ſambt PS gegen zwey PS ſambt RP; Welches dann einen allgemeinen Lehrſatz an die Hand gibt/ deſſen Beweiß zugleich auch jenes wahr machet/ nehmlich dieſen: Wann vier gleichverhaltende Dinge ſind/ ſo verhaͤlt ſich das erſte dop- pelt genommen ſambt dem andern/ gegen dem gedoppelten andern ſambt dem erſten/ wie das dritte gedoppelt ſambt dem vierdten/ gegen dem ge- doppelten vierdten ſambt dem dritten.

D. i. Wann/ wie a gegen b, alſo ea gegen eb, ſich verhaͤlt/ ſo verhalte ſich auch wie 2a+b gegen 2b+a, alſo 2ea+eb gegen 2eb+ea. Deſſen Waarheit dann/ auf biß- her oft gebrauchte zweyfache Weiſe zu erſehen iſt. Dann wann ich das andere durch das erſte/ und das vierdte durch das dritte teihle/ ſo kommet/ dorten hier Welche beyde Bruͤche dann ganz einerley ſind. Dann wann der lezte Bruch ſo wol oben als unten mit e aufgehoben wird/ ſo kommt eben der erſte heraus.

Oder aber/ wann ich die beyde aͤuſſerſte/ und ſo dann die beyde-mittlere durch einander fuͤhre oder vervielfaͤltige/ ſo kommet/ dorten/ Hier/ und alſo beyderſeits einerley/ welches ein unfehlbares Anzeigen der gleichen Verhältnis iſt/ vermoͤg deſſen/ was wir oben bey dem XVI. Lehrſatz des I. Buchs von der Kugel und Rund-Saͤule/ in der 2. Anmerkung faſt am End er- wieſen haben.

Anhang Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel.

Anhang dieſes Erſten Buchs Archimedis von derer Flaͤchen Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel.

OB woln dieſe bißher erklaͤrete Betrachtungen Archimedis ein jeder/ deroſelben Ver- ſtaͤndiger/ leichtlich in Aufgaben verwandeln/ und in ereignenden Faͤllen ihme ſelb- ſten zu Nutze machen koͤnnte; ſo wollen wir jedennoch/ an ſtatt einer Zugabe/ und dem kunſtliebenden Anfaͤngling zum baͤſten/ die bißher durchgruͤndete tieſſinnige Erfindungen/ in etlichen folgenden Aufgaben ins Werk ſetzen lehren.

Die 1. Aufgab.

Eines jeden fuͤrgegebenen Dreyekkes Gewicht-Mittel finden.

Es ſey gegeben das Dreyekk abc, und zu finden ſein Schwaͤre-Punct oder Gewicht-Mittel/ d. i. der jenige Punct/ bey welchem es/ aufgehangen/ waagrecht oder Ho- rizont-gleich ſchweben wuͤrde. Dieſen nun zu beſtimmen/ halbteihle zwo Seiten des Dreyekkes/ zum Exempel ac und bc in d und e, und ziehe dahin aus denen gegen- uͤber ſtehenden Winkeln die Lineen ae und bd; ſo wird deroſel- ben Durchſchnitt g das begehrte Gewicht-Mittel weiſen.

Oder/ ſchneide von einer Seite des Dreyekkes/ als von ab, ein Dritteihl fb, nach dem 9ten des VI. B. und ziehe durch den Punct f eine/ mit bc gleichlauffende/ Lini fh, nach dem 31ſten des I. und teihle dieſelbe in zwey

gleiche Teihl/ ſo wird der Mittelpunct g abermal das geſuchte Gewicht-Mittel ſeyn.

Beydes Verfahren hat ſeinen Grund in oberklaͤrten Betrachtungen: jenes in dem XIV. Lehrſatz; dieſes in des XV. Beweiß und deſſen 2. Anmerkung.

Die 2. Aufgab.

Eines jeden gleichlauffend-ſeitigen Vierekkes Schwaͤre-Punct zu zeigen.

Es ſey gegeben ein gleichlauffend-ſeitiges Vierekk (nehmlich entweder eine rechte/ oder eine ablange/ oder eine geſchobene und Rauten-Vierung) abcd, deren Schwaͤre-Punct oder Gewicht-Mittel ſolle gefunden werden.

So ziehe nun entweder von Ekk zu Ekk/ wie ac und bd, oder durch die Mitte derer ge- gen einander uͤber ſtehenden Seiten (wie in der mittlern Figur ef und gh) zweene Durchmeſ- ſer/ ſo wird ihr Durchſchnitt i, der begehrte Schwaͤre-Punct ſeyn; und ſolches vermoͤg des X, obigen Lehrſatzes.

Die 3. Aufgab.

Eines jeden/ nur zwey gleichlauffende Seiten habenden/ Vierekkes Gewicht-Mittel beſtimmen.

Es ſey ein Vierekk abcd, deſſen zwey Seiten ad und bc gleichlauffend/ die andern aber nicht gleichlauffend ſind; und ſolle deſſelben Gewicht-Mittel beſtimmet werden. So thue J i iijihm Archimedis Erſtes Buch von derer Flaͤchen

ihm nun alſo: Teihle beyde gleichlauffende Seiten ad und bc in zwey gleiche Teihle/ in e und f, und ziehe die Lineen ef, eb und fd. Schneide ſo dann von eb ab den dritten Teihl von e an gerech- net/ nehmlich eo; und von fd auch den dritten Teihl von f an gerechnet/ nehmlich fx; ziehe end- lich o und x zuſammen/ ſo wird p, wo ef und ox einander durchſchneiden/ das verlangte Gewicht- Mittel des Vierekkes abcd ſeyn.

Der Grund dieſer Verrichtung iſt in dem Be- weiß des naͤchſten XV. Lehrſatzes wuͤrklich begrif- fen/ und beſtehet kuͤrzlich darinnen: daß/ wann bd gezogen wird/ der Schwaͤre-Punct des Dreyekkes abd iſt o, des andern Dreyekkes bdc aber x. So nun o und x zuſammge- zogen werden/ muß des Vierekkes abcd Schwaͤre-Punct in der Lini ox ſeyn. Es iſt aber derſelbe auch in der Lini ef (vermoͤg angezogenen Ortes;) darumb muß es nohtwendig der Punct p ſeyn.

Die 4. Aufgab.

Eines jeden andern/ ganz ungleichlauffend-ſeitigen/ Vierekkes Schwaͤre-Punct zu finden.

Es ſey/ Exempels halben/ der Schwaͤre-Punct des ungleichlauffend-ſeitigen Vierekkes abcd zu ſuchen. Denſelben nun kunſtrichtig zu finden/ teihle durch bd das Vierekk in

zwey Dreyekke abd und bdc, und ver- wandele dieſe Dreyekke in zwey/ ihnen gleiche/ gleichlauffend-ſeitige Vierungen/ nl und lm auf einerley Grund-Lini kl (welches dann geſchihet/ wann kl gleich wird der Lini bd; km aber gleich der halben Hoͤhe ce, und kn der halben Hoͤhe af, vermoͤg des 42ſten im I. B.) Finde ſo dann beyder Dreyekke Schwaͤ- re-Puncten h und g, nach Anleitung unſerer 1. Aufgab/ und teihle die von h ins g gezogene Lini gh (nach dem 10den im VI.) alſo in i, daß gi gegen ih ſich verhalte/ wie mk gegen kn, (oder go gegen op, welche dieſen gleich ſind) d. i. (vermoͤg des 1ſten im VI.) wie das Vierekk lm gegen dem Vierekk ln, oder das Dreyekk bdc gegen dem Dreyekk abd; ſo wird i (vermoͤg des VI. und VII. Lehrſatzes Archimedis) der begehrte Schwaͤre-Punct ſeyn.

Oder kuͤrzer: Nach gefundenen beyden Schwaͤre-Puncten h und g, teihle die Lini gh in i alſo/ daß gi gegen ih ſich verhalte wie die Hoͤhe ce gegen der Hoͤhe af, nach dem 10den des VI. B. ſo wird ſich auch gi gegen ih verhalten/ wie das Dreyekk bdc gegen dem Dreyekk abd, Krafft des 1ſten im VI. und alſo i der begehrte Schwaͤre-Punct ſeyn.

Die 5. Aufgab.

Einem jeden fuͤrkommenden Fuͤnf-Ekk ſein Gewicht-Mittel kunſt- richtig einzeichnen.

Es ſey das fuͤrkommende Fuͤnf-Ekk abcd. Daß nun demſelben ſein Gewicht-Mittel kunſtrichtig eingezeichnet werde/ kan auf beyderley folgende Weiſe verſchaffet werden.

Erſtlich Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel.

Erſtlich alſo: Ziehe zu foͤrderſt durch zwey entgegen-geſetzte Winkel eine Lini/ ac, und finde ſo dann ſo wol des Vierekkes acde, als des Dreyekkes abc ihre Schwaͤre-Pun- cten f und g. Mache ferner zwey Rechtekke lm und li, in gleicher Hoͤ- he kl oder ac, alſo daß li dem Drey- ekke abc, lm aber dem Vierekk ac de gleich ſey/ nach dem 44ſten und 45ſten des I. B. Endlich teihle fg in h alſo/ daß fh gegen hg ſich ver- halte/ wie mk gegen ki, das iſt/ (vermoͤg des 1ſten im VI.) wie ml gegen li, oder acde gegen abc; ſo iſt h das geſuchte Gewicht-Mittel.

Oder teihle das gegebene Fuͤnf- ekk (in dem untern Aufriß) durch die Lini be in das Dreyekk abe, und das Vierekk bcde; und wiederumb durch die Lini bd in das Dreyekk bcd und das Vierekk abde: finde ſo dann alle ihre Schwaͤre-Puncten/ f, g, h und i, nach der 1. und 4. Aufgab. So du nun f, den Schwaͤre-Punct

des Dreyekkes abe, und i, den Schwaͤre-Punct des Vierekkes bcde, zuſammenzieheſt/ ſo muß der ganzen Groͤſſe Schwaͤre-Punct in der Lini fi ſeyn; und wiederumb/ wann man die Schwaͤre-Puncten des Dreyekkes bcd und des Vierekkes abde, nehmlich g und h, zu- ſammenziehet/ wird eben dieſelbe ganze Groͤſſe abcde ihren Schwaͤre-Punct in der Lini gh haben/ vermoͤg des 6. und 7. Lehrſatzes Archimedis. Woraus dann unfehlbar folget/ daß k der geſuchte Punct ſeyn muͤſſe.

Die 6. Aufgab.

Eines jeden gegebenen Vielekkes Schwaͤre-Punct oder Gewicht- Mittel zu finden.

Die Auflöſung dieſer Aufgab iſt einerley mit der vorigen. Dann wann/ zum Exempel/ ein Sechs-Ekk fuͤrkommet/ teihle ich daſſelbe in ein Dreyekk und das uͤberbleibende Fuͤnf- ekk/ und finde beyder Schwaͤre-Puncten. Mache ſo dann zwey Rechtekke in einer Hoͤhe/ deren eines dem Dreyekk/ das andere dem Fuͤnfekk gleich iſt; und teihle endlich die Weite beyder obgefundener Schwaͤre-Puncten nach der Verhaͤltnis/ welche die Grund-Lineen bey- der Rechtekke gegen einander haben.

Oder aber ich unterſcheide/ nach der andern Art wechſelweiß zwey Dreyekke und zwey Fuͤnfekke/ finde ihrer aller Schwaͤre-Puncten/ und in dem ich beyderſeits derer gegen einander uͤber ſtehenden Drey- und Fuͤnfekke Schwaͤre-Puncten wechſelweiß zuſammen ziehe/ gibt der Durchſchnitt ſolcher gezogenen Lineen den geſuchten Schwaͤre. Punct des Sechsekkes. Glei- cher geſtalt verfaͤhrt man mit einem Sieben-Acht-Neun-Zehen-Ekk/ ꝛc. wie der verſtaͤn- dige Leſer aus der vorhergehenden Aufgab zur genuͤge urteihlen kan.

Und hiermit wird zugleich erhellen/ daß/ ob ſchon Archimedis Betrachtungen in dieſem Buch eigentlich und ausdruͤkklich nur die Schwaͤre-Puncten derer Drey- und Vierekke be- handelen/ dannoch auch aller anderer/ von geraden Lineen beſchloſſener/ Flaͤchen Schwaͤre- Puncten/ aus denen/ von ihme gelegten/ Gruͤnden koͤnnen beſtimmet werden; alſo daß zu des Werkes Vollkommenheit nichts mehr uͤbrig iſt/ als daß auf gleiche Weiſe derer/ von krum- men oder gebogenen Lineen beſchraͤnkten/ Flaͤchen Schwaͤre-Puncten gefunden wuͤrden. Un- ter dieſen aber iſt die forderſte und bekannteſte die Kreiß-Flaͤche/ welche dißfalls keine abſonder- liche Behandlung erfordert; ſintemal die ſelbſte Vernunft lehret/ daß deroſelben Mittel-dupf oder Beſchreibungs-Punct auch zugleich ihr Gewicht-Mittel ſey. Die ablange Rundung (ellipſis) hat ingleichen keine Schwaͤrigkeit/ in dem unter andern aus dem VII. Lehrſatz des Archim. Erſtes B. von derer Flaͤchen Gleichwicht. und Gewicht-Mittel. des Buchs von den Kugel- und Kegel-aͤhnlichen Figuren/ und dem X. dieſes Buchs/ leichtlich kan geſchloſſen werden/ daß ihr Schwaͤre-Punct in dem Durchſchnitt ihrer beyden Durchmeſſer ſey. Welches ohne Zweiffel die Urſach geweſen/ daß Archimedes von dieſen nichts abſonderlich gehandelt hat. Zwey Arten aber dieſes Geſchlechtes waren noch uͤbrig/ deren Schwaͤre-Puncten kunſtrichtig zu beſtimmen vor dem Archimedes niemand geleh- ret hatte/ nehmlich die Paraboliſche und die Hyperboliſche/ das iſt/ ſolche Flaͤchen/ deren Grund-Lini gerad/ der uͤbrige Umblauf aber eine vergleichende oder uͤbertreffende Kegel-Lini (eine Parabel oder Hyperbole) iſt. Gleich wie nun dieſer beyden Eigenſchaften gruͤndlich zu durchforſchen kein anderer/ als ein Archimediſcher/ Kopf tuͤchtig genug war: alſo hat auch dieſer kunſtreiche Sinn am erſten die Tieffe ſolcher Spitzfindigkeiten zu erſchoͤpfen ſich/ nicht nur unterſtanden/ ſondern auch mit ſtaͤtswehrendem Ruhm und erwuͤnſchter Vollbringung/ bemuͤhet; ſo daß es ſcheinet/ er habe dieſes erſte Buch nicht ſo wol umb ſein ſelbſt/ als umb des folgenden/ willen beſchrieben; in welchem er das Gewicht-Mittel einer jeden Paraboli- ſchen Flaͤche (die Hyperboliſche ſonder Zweiffel auf andere Gelegenheit verſparend) mit einer ſo verwunderlichen Tiefſinnigkeit beſtimmet/ daß dieſes einig wuͤrdig genug waͤre/ ihme zu erwerben den Nahmen des unvergleichlichen Archimedis.

Archi-

Archimedis Anderes Buch/ Von Derer ebenen Flaͤchen Bleich- wichtigkeit und Schwaͤre- Puncten.

Der I. Lehrſatz.

Wann zwey Parabel-Flaͤchen nicht einerley Schwaͤre-Punct haben/ ſo iſt der/ aus beyden zuſammgeſetzten/ Groͤſſe Schwaͤre- Punct in der Lini/ welche durch beyder Flaͤchen Schwaͤre-Pun- cten ſtreichet; und zwar in dem jenigen Punct/ welcher gedachte Lini alſo teihlet/ daß ihre Teihle wiederkehrlich oder verwechſelt eben die Verhaͤltnis gegen einander haben/ welche da hat eine Flaͤ- che gegen der andern.

Beweiß.

Es ſeyen/ zum Exempel/ zwey Parabel-Flaͤchen AB und CD obbeſchrie- bener maſſen gegeben/ deren Schwaͤre-Puncten ſind E und F; und wie ſich ver- haͤlt AB gegen CD, ſo verhalte ſich wiederkehrlich FH gegen HE. Muß dem- nach bewieſen werden/ daß H der/ aus beyden Flaͤchen AB und CD zuſammge- ſetzten Groͤſſe Schwaͤre-Punct ſey.

Solches nun zu vollbringen mache man der Lini EH gleich ſo wol FG als FK, und EL gleich EG, d. i. HF (dann weil EH und FG gleich ſind/ ſo muͤſ- ſen auch/ nach Hinwegnehmung des gemeinen Stuͤkkleins GH, EG und HF einander gleich ſeyn) alſo daß nunmehr die gedoppelte LG gegen der gedoppelten GK eben die Verhaͤltnis habe/ welche zuvor hatte die einfache EG (oder HF) gegen der einfachen FK (oder EH) d. i. (die Flaͤche AB gegen der Flaͤche CD, K knach Archimedis Anderes Buch von derer Flaͤchen nach dem 15den des V. Naͤchſt dieſem beſchreibe man zn beyden Seiten der Lini LG die beyde Rechtekke LN und LM, alſo daß jedes der Helfte von AB, und folgends das ganze Rechtekk MN der ganzen Flaͤche AB, gleich ſey/ nach fol- gender 3. Anmerkung. Ferner werde auch vollfuͤhret das Rechtekk NX. So wird nun/ fuͤr eines/ der Schwaͤre-Punct des Rechtekkes MN in E, des NX aber in F ſeyn (weil EL und EG, wie auch FG und FK gleich ſind/ und LGK mitten durch beyde Rechtekke ſtreichet) vermoͤg des IX. und X. Lehrſatzes im I. Buch. Fuͤrs andere/ wird MN gegen NX ſich verhalten/ wie LG gegen GK, das iſt/ wie die Flaͤche AB gegen der Flaͤche CD; und verwechſelt/ wie MN gegen AB, alſo NX gegen CD. Nun iſt aber MN dem AB gleich/ Krafft obiger Vorbereitung; So muß demnach auch NX dem CD gleich ſeyn. Dieweil dann nun EH und FK, wie auch EL und FH einander gleich ſind/ und alſo das/ aus MN und NX zuſammgeſetzte/ Rechtekk MP ſeinen Schwaͤre-Punct in H hat/ Krafft des IX. und X. im I. B. AB aber dem MN, und CD dem NX gleich/ und in einerley Weite aufgehangen/ ſind; ſo muß auch die aus AB und CD zuſammgeſetzte Groͤſſe ihren Schwaͤre-Punct in H haben/ vermoͤg obiger 7. Forderung. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkungen.

1. Zu foͤrderſt muß hier erinnert werden/ daß durch eine Parabel-Flaͤche/ nach Archi- medis Beſchreibung/ welche er an ſtatt dieſe 6 Wortes immerfort gebrauchet/ verſtanden wer- de eine Flaͤche/ welche von einer geraden Lini einerſeits/ anderſeits von einem rechtwinklichten Kegelſchnitt⃒/ d. i. einer Paraboliſchen Lini/ umbfaſſet und begriffen iſt; und zwar abermals mit einer gewiſſen/ allerſeits-gleichen Dikke oder Hoͤhe betrachtet: allermaſſen wir im I. Buch bey der 1. Forderung von andern Flaͤchen angemerket haben.

2. Sonſten kan ich in meinem geringen Verſtand nicht finden/ warumb doch Archi- medes dieſen erſten Lehrſatz hier abſonderlich von zweyen Parabel-Flaͤchen beweiſet/ der doch im I. Buch und deſſen VI. und VII. Lehrſatz ſchon ins gemein von jeden zweyen gegebenen Groͤſſen wahr gemachet worden; alſo daß er ſich/ im fall beduͤrfens/ nur dahin beruffen/ und gegenwaͤrtigen Beweiß gaͤnzlich erſparen haͤtte koͤnnen. Weilen ihm aber ſolches/ auſſer Zweif- fel nicht ohne Urſach/ alſo beliebet/ haben wir ſolchen ſeinen abſonderlichen Beweiß auch nicht auslaſſen ſollen.

3. Und weil in demſelben er dieſes ſonderlich/ als bekannt/ ſetzet/ daß man auf eine gege- bene Lini LG ein Rechtekk LN machen koͤnne/ welches der Helfte einer gegebenen Parabel- Flaͤche/ AB, gleich ſey; und alſo folgends umb die Lini LG das Rechtekk MN, dem ganzen AB gleich; als wollen wir (damit nichts zweiffelhaftes uͤberbleibe/) wie folches geſchehen koͤnne/ ſolgender Geſtalt erklaͤren: Vermoͤg der Parabel-Vierung (welche in folgendem Buch und deſſen lezten Lehrſatz ſonderlich behandelt wird) und des 1ſten im VI. iſt der Parabel- Flaͤche AB gleich ein Dreyekk/ welches mit ihr gleiche Hoͤhe/ zur Grundlini aber die Lini AB ſambt noch ⅓ deroſelben hat. Die Helfte aber ſolches Dreyekkes (welche alſo der halben Pa- rabel-Flaͤche AB gleich iſt (kan leichtlich in ein Rechtekk LN auf einer gegebenen Lini LG verwandelt werden/ nach dem 44ſten des I. B. So man nun auch auf die andere Seite ein gleiches Rechtekk in gleicher Hoͤhe LM machet/ ſo wird das ganze Rechtekk MN der gan- zen Flaͤche AB gleich ſeyn/ und LG mitten durch daſſelbe ſtreichen; allermaſſen wie in dem Beweiß begehret worden.

Anhang.

Wann innerhalb einer Paraboliſchen Flaͤche ein Dreyekk be- ſchrieben wird auf einerley Grund-Lini und in gleicher Hoͤhe mit gedachter Flaͤche; und wiederumb in denen uͤbrigen Abſchnitten ſolche Dreyekke eingeſchrieben werden/ welche einerley Grund- Lineen und gleiche Hoͤhe mit denen Abſchnitten haben; und ſolches fort Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel. fort und fort in denen ferner-uͤberbleibenden geſchihet: ſo ſoll die daher entſtehende Figur in der Parabel-Flaͤche deutlich-eingeſchrie- ben genennet werden. Es iſt aber offenbar/ daß in einer/ ſolcher geſtalt beſchriebenen/ Figur/ die jenige Lineen/ welche durch jede zwey/ dem Scheitelpunct der Flaͤche naͤchſte/ Winkel gezogen wer- den/ der Grund-Lini gleichlauffen/ und von dem Durchmeſſer halb- geteihlet werden; ſie aber den Durchmeſſer teihlen nach der Ver- haͤltnis derer/ von Eins an ordentlich auf einander folgenden/ un- geraden Zahlen/ wann man nehmlich Eins ſagt bey dem Scheitel- punct der Parabel-Flaͤche.

Anmerkungen.

Der forderſte Teihl dieſes Anhangs iſt eine bloſſe fuͤr ſich ſelbſt klare Wort-Erklaͤrung/ was nehmlich Archimedes eine deutlich- oder kenntlich-eingeſchriebene Figur heiſſe. Die leztere Wort aber haͤtten wol koͤnnen einen abſonderlichen/ und zwar in der Ordnung den an- dern/ Lehrſatz abgeben/ wie dann Eutokius dieſelbe ausdruͤkklich darfuͤr zaͤhlet. Weiln aber Archimedes keinen Beweiß darzu ſetzet/ ſondern anderſtwohin ſich beruffet/ der Griechiſche Text auch ſelbe fuͤr keinen abſonderlichen Lehrſatz zaͤhlet/ als haben wir ſie dem erſten Lehrſatz/ als einen Anhang/ mit beygeſetzet. Es ſagt aber Archimedes: Dieſes muͤſſe bewieſen wer- den in denen Ordnungen. Woraus Flurantius (wie auch ſonſten aus unterſchiedlichen Stellen dieſer Buͤcher) argwohnet/ es muͤſſe Archimedes hierdurch die Buͤcher von denen Kegel-Lineen verſtanden haben/ welche Apollonius ſeinem Nahmen faͤlſchlich zugeeignet habe/ ihn ſelbſten aber/ den Archimedem/ fuͤr ihren rechten Meiſter und Urheber erkennen; vorhin weil ſolches Diebſtals den Apollonium Heraclius ausdruͤkklich bezuͤchtiget. Dem ſey nun aber wie ihm wolle/ ſo iſt zum wenigſten gewiß/ daß obangehaͤngter Satz Archimedis aus an- gezogenen Buͤchern leichtlich herzuhohlen ſey; wie dann Eutokius im Werk ſelbſten/ fol- gender Geſtalt ohngefehr/ bezeuget:

Es ſey eine Parabel-Flaͤche ABC, deren Durchmeſſer iſt BD. So iſt nun offenbar/ daß B der Parabel Scheitelpunct ſey (dann Apollonius nennet die Spitzen oder Scheiteln K k ijderer Archimedis Anderes Buch von derer Flaͤchen derer Kegel-Lineen die jenige Puncten/ in welchen ſich die Durchmeſſer enden.) So wir nun ziehen AB und BC, ſo entſtehet das Dreyekk ABC, welches mit der Parabel-Flaͤche einer- ley Grund-Lini und gleiche Hoͤhe hat/ nehmlich die jenige Lini/ welche aus B auf AC ſenk- recht herunter faͤllet. Wann wir nun ferner aus denen Scheitelpuncten derer Abſchnitte AEB und BFC, nehmlich aus E und F, die/ mit BD gleichlauffende/ Lineen EG und FO, ziehen/ ſo werden dieſelbe gemeldter Achſchnitte ihre Durchmeſſer ſeyn. (Dann es iſt von der Parabel erwieſen/ daß alle/ mit ihrem Durchmeſſer gleichlauffend-gezogene/ Lineen auch Durchmeſſer ſeyen. Beſihe unſere obige zweyte Betrachtung in V.) So ſind nun E und F die Scheitelpuncten beyder Abſchnitte AEB und BFC, und die durch E und F gezo- gene beruͤhrende Lineen gleichlauffend mit AB und BC. Soll nun bewieſen werden/ daß auch die Lini ELF mit ADC gleichlauffe/ und von BD in zwey gleiche Teihle/ EL und LF, ge- teihlet werde. Dieweil dann EH und FK (nehmlich die verlängerten EG und FO) ſo wol dem Durchmeſſer BD, als eine der andern ſelbſt/ gleichlauffend ſind/ und einander gleich (Be- ſihe folgende 2. Anmerkung) ſo verhaͤlt ſich wie BG gegen GA, alſo DH gegen HA, vermoͤg des 2ten im VI. B. Es iſt aber BG dem GA gleich (dann der Durchmeſſer EG teihlet alle/ mit der aͤuſſern beruͤhrenden gleichlauffende/ in zwey gleiche Teihle; Laut der Erſten Betrachtung 5ter Folge in V.) Derowegen iſt auch DH dem HA gleich; und/ durch gleichen Schluß auch DK dem KC. Nun iſt aber auch die ganze DA der ganzen DC gleich. Weswegen dann auch ihre Helften/ DH und DK, und (weil EH und FK gleich ſind) auch LE und LF ſo wol unter ſich als denen vorigen/ gleich ſeyn/ wie auch die ganze EF mit AC gleich lauffen muͤſſen/ alles aus dem 33ſten des I. B. Alſo daß nun- mehr ein Teihl des obigen Archimediſchen Satzes bewieſen iſt. Gleicher Weiſe/ wann man in die Abſchnitte APE, ETB, BQF, FSC, obbeſagter Weiſe Dreyekke verzeichnet/ und aus denen Scheitelpuncten derer Abſchnitte die Lineen PS, TV, QW, SL, mit BD gleich- lauffend ziehet/ ſo folget/ daß TQ und PS mit AC gleichlauffen/ und von dem Durchmeſſer BD halbgeteihlet werden. Jſt alſo noch zu beweiſen/ daß hingegen dieſe gleichlauffende Li- neen/ TQ, EF, PS, den Durchmeſſer BD alſo teihlen/ daß/ wann BA eins iſt/ AL drey/ LD fuͤnf/ und DD ſieben ſey. Dann weil aus obbewieſenem klar iſt/ daß AD doppelt ſo groß ſey als DH, d. i. als EL, ſo muß die Vierung von AD viermal ſo groß ſeyn als die Vie- rung von EL, vermoͤg des 20ſten im VI. B. Nun aber verhaͤlt ſich/ wie die Vierung AD gegen der Vierung EL, alſo BD gegen BL (Beſihe der Erſten Betr. 7de Folge in V.) Derowegen iſt BD viermal ſo groß als BL, und folgends/ LD dreymal ſo groß als BL, d. i. wann BL eins iſt/ ſo muß LD drey ſeyn; oder wann BL viere zu ſeyn geſetzet wird/ ſo muß LD zwoͤlfe ſeyn. Gleicher Weiſe/ weil EN und NB, und folgends EF und FL gleich ſind/ d. i. EL zweymal ſo groß iſt als FL, d. i. als TA, ſo iſt die Vierung EL viermal ſo groß als die Vierung TA, und alſo BL viermal ſo groß als BA. Derohalben wann BA eins iſt/ muß BL viere/ und AL dreye ſeyn. Wiederumb wird aus gleichem Grund bewieſen/ daß/ weil AM und ME gleich ſind/ daß auch AS und SH, und folgends auch HV und VD (alle vier nehmlich einander) gleich ſeyen/ und daher AD gegen PD ſich verhalte/ wie 4 gegen 3; und die Vierung AD gegen der Vierung PD, wie 16 gegen 9. Weswegen dann abermal BD gegen BD ſich verhaͤlt/ wie 16 gegen 9, alſo daß/ wann BD 9 iſt/ das uͤbrige DD 7 ſeyn muß. Nun dann aus dem vorhergehenden bekannt iſt/ daß/ wann BD 16 iſt/ alsdann BA eins/ AL dreye/ LD zwoͤlfe und DD ſiebene ſey; ſo muß nohtwendig (wann DD von LD wegkommet) das uͤbrige LD fuͤnfe ſeyn. Alſo daß nunmehr offenbar iſt/ wie der Durch- meſſer BD durch die Lineen TQ, EF, PS, nach der Verhaͤltnis derer von eins an ordentlich folgenden ungeraden Zahlen/ 3, 5, 7, &c. zerteihlet werde: gleich wie im Gegenteihl zugleich erhellet/ daß die Quehr-Lineen TA, EL, PD, AD, von dem Durchmeſſer nach denen von eins an ordentlich folgenden Zahlen (keine ausgelaſſen) geteihlet werden. Dann wie TA eins iſt/ ſo iſt EL zwey/ PD drey/ AD vier/ ꝛc. wie aus dem Aufriß genugſam zu erſehen iſt.

2. Jn dieſem Beweiß Eutokii (den wir aber hin und wieder erlaͤutert haben) iſt dieſes noch nicht gewiß gemachet/ daß die Lineen EH und FK einander gleich ſeyen. Eutokius be- ruffet ſich zwar auf das 6. der Buͤcher Apollonii von denen Kegel-Lineen. Weilen aber ge- dachte Buͤcher nicht ein jeder zur Hand hat/ wollen wir ſolches folgender Geſtalt beweiſen: Weilen die Lini EF noch nicht bewieſen iſt mit AC gleichlauffend zu ſeyn/ ſondern ſolcher Be- weiß eben auf gegenwaͤrtigem Satz beruhet/ den wir zu bekraͤftigen fuͤr uns haben/ ſo wollen wir uns indeſſen einbilden/ daß ſonſt eine Lini aus F auf BD, mit AC gleichlauffend/ gezogen ſey/ die wir auch FL nennen moͤgen. Welchem nach ſich verhaͤlt wie BD gegen BL (d. i. BC gegen Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel. gegen BX, wann wir den Buchſtaben X ein wenig in Gedanken herunter ſetzen/ wo BC und LF einander durchſchneiden) alſo die Vierung von CD gegen der Vierung von LF oder DK, (nach der Erſten Betr. 7der Folge in V.) d. i. die Vierung BC gegen der Vierung BO, vermoͤg des 2. und 22ſten im VI. B. Derowegen ſind BC, BO, BX (weil die erſte gegen der dritten ſich verhaͤlt wie die Vierung der erſten gegen der Vierung der andern) drey Ordentlich-gleichverhaltende/ Krafft der 2. Folge des 20ſten im VI. B. Dieweil dann alſo die ganze BC gegen der ganzen BO ſich verhaͤlt/ wie BO (ein Teihl der erſten ganzen) gegen BX (einem Teihl der andern ganzen) ſo muß auch CO (der Reſt des erſten ganzen) gegen OX (dem Reſt des andern ganzen) ſich verhalten/ wie die ganze BC gegen der ganzen BO, vermoͤg des 19den im V. B. Es verhaͤlt ſich aber BC gegen BO, wie DC gegen DK, Krafft des 2ten im VI. Derowegen verhaͤlt ſich auch CO gegen OX, wie DC ge- gen DK. Wiederumb aber verhaͤlt ſich wie CO gegen OX, alſo (wegen Aehnlichkeit derer Dreyekke KOC und XOF) KO gegen OF, Krafft des 29ſten im I. und des 4ten im VI. B. Derohalben verhaͤlt ſich ſchließlichen wie KO gegen OF, alſo DC gegen DK, welches indeſſen zu merken iſt. Dieweil nun ferner aus obigem Beweiß Eutokii bekannt iſt/ daß AD und DC, wie auch alle ihre Teihle/ einander gleich/ auch EH, FK, &c. mit BD gleichlauffen; ſo verhaͤlt ſich/ wie AD oder CD gegen BD, alſo AH gegen HG und CK gegen KO, vermoͤg des 4ten im VI. und folgends (Krafft des 11ten im V.) AH gegen HG, wie CK gegen KO. Und wechſelweiß/ wie AH gegen CK (ſo einander gleich ſind) alſo HG gegen KO, die alſo nohtwendig auch einander gleich ſeyn muͤſſen. Wir haben aber kurz vorhero bewieſen/ daß/ wie CD oder AD gegen DK oder DH, alſo KO gegen OF (und aus gleichem Grund/ HG gegen EF) ſich verhalte: Woraus dann abermal fol- get/ daß ſich verhalte wie KO gegen OF, alſo HG gegen GE; und verwechſelt/ wie KO gegen HG, alſo OF gegen EG, Krafft des 11ten im V. KO und HG aber ſind einan- der gleich/ wie wir allererſt bewieſen; darumb ſind auch OF und EG, und alſo die ganzen Lineen KF und HE, einander gleich; Welches hat ſollen bewieſen werden.

Der II. Lehrſatz.

Wann aber innerhalb einer Parabel-Flaͤche eine Figur vor- erwaͤhnter maſſen beſchrieben wird/ ſo hat ſolche Figur ihren Schwaͤre-Punct in dem Durchmeſſer der Parabel-Flaͤche.

Beweiß.

Es ſey eine Parabel-Flaͤche ABC, und in derſelben beſagter maſſen be- ſchrieben die Figur AEFGBHIKC. Soll nun bewieſen werden/ daß ſolcher Figur Gewicht-Mittel oder Schwaͤ- re-Punct ſey in der Lini BD, welche der Parabel Durchmeſſer iſt. Dann weil des Vierekkes AEKC zwo Sei- ten/ AC und EK, gleichlauffen/ und von BD halbgeteihlet werden/ ver- moͤg des Anhangs des vorherge- henden I. Lehrſatzes/ ſo iſt ſein Schwaͤre-Punct in der Lini LD,

nach dem XV. Lehrſatz des vorhergehenden I. B. Aus gleichem Grund iſt der Schwaͤre-Punct des Vierekkes EFIK in der Lini ML; ingleichen des Vierekkes FGHI Gewicht-Mittel in der Lini NM: Endlich des Dreyekkes GBH Schwaͤre-Punct in der Lini BN, vermoͤg des XIII. im I. B. So iſt derhalben (Krafft des VIII. im I. B. und deſſen 2ter Anmerkung) der/ aus allen zuſammgeſetzten/ Figur Gewicht-Mittel in der Lini BD; W. Z. B. W.

K k iijDer Archimedis Anderes Buch von derer Flaͤchen

Der III. Lehrſatz.

Wann innerhalb zweyen aͤhnlichen Parabel-Flaͤchen obiger maſſen erklaͤrte Figuren von gleich-vielen Seiten eingeſchrieben werden/ ſo teihlen ihre Schwaͤre-Puncten die Durchmeſſere bey- der Parabeln gleichfoͤrmig.

Beweiß.

Es ſeyen zwey aͤhnliche Parabel-Flaͤchen ABC und XOP, und in denen- ſelben oberklaͤrter maſſen beſchrieben die Figuren AEFGBHIKC und XSY QOZUTP, von gleichvielen Seiten; derer Parabeln Durchmeſſer endlich BD und OR. Soll nun bewieſen werden/ daß dieſe Durchmeſſere von derer eingeſchriebenen Figuren Schwaͤre-Puncten gleichfoͤrmig/ d. i. alſo geteihlet werden/ daß die Teihle des einen ſich eben ſo gegen einander verhalten/ wie die

Teihle des andern. Solches nun wird alſo erhellen: Wann man die Lineen GH, FI, EK, wie auch QZ, YU, und ST, ziehet/ ſo werden die beyde Durchmeſſer BD und OR gleichfoͤrmig geteihlet/ nach dem Anhang des I. Lehrſatzes/ und die gleichlauffende Quehr- Lineen/ haben einerley Verhaͤlt- nis in beyden Figuren/ vermoͤg deſſen/ was wir zu End der 1ſten Anmerkung gedachten Anhangs/ aus Eutokio ge- wieſen haben. Dieweil nun AC gegen EK ſich verhaͤlt/ wie PX gegen ST, ſo werden die Schwaͤre-Puncten beyder Vierekke AEKC und XSTP, die Lineen LD und GR gleichfoͤrmig oder nach gleicher Verhaͤltnis teihlen/ vermoͤg des XV. Lehr- ſatzes im I. B. Gleicher Weiſe wird bewieſen/ daß auch die Lineen LM und Gt, &c. in denen andern Vierekken von ihren Schwaͤre-Puncten gleichfoͤr- mig geteihlet werden. So iſt auch aus dem XIII. Lehrſatz des I. B. und ſon- derlich aus der 2. Anmerkung des XV. gewiß/ daß derer beyden Dreyekke GBH, und QOZ ihre Schwaͤre-Puncten die Lineen BN und OG gleichfoͤr- mig teihlen. Woraus dann endlich folget/ (weil die Vierekke AK und EI eben die Verhaͤltnis gegen einander haben/ die da haben XT und SU, Krafft fol- der 2. Anmerkung) daß die Schwaͤre-Puncten derer aus beyden zuſammgeſetz- ten Groͤſſen/ AI und XU, die Weiten zwiſchen jeden beyden gleichfoͤrmig-geſetz- ten Schwaͤre-Puncten ihrer Teihle (und folgends auch die Lineen MD und tR, Beſihe folgende 3. Anmerkung) auch gleichfoͤrmig und nach einerley Verhaͤltnis teihlen/ nach des I. Buchs VI. Lehrſatz. Ebenfalls wird bewie- ſen/ daß derer zuſammgeſetzten Groͤſſen FGBHI und YQOZU, Schwaͤre- Puncten Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel. Puncten die Lineen BM und Ot; und zu letzt auch derer ganzen Figuren AE FGBHIKC und XSYQOZUTP, ihre Schwaͤre-Puncten die Lineen BD und OR gleichfoͤrmig teihlen. W. Z. B. W.

Anmerkungen.

Dieſes iſt alſo Archimedis Beweiß/ wie wir denſelben auf das allerdeutlichſte haben wiſſen vorzubringen. Die Sache iſt am Tag/ und zu Beſtaͤttigung ihrer Gewißheit nichts unbewieſenes oder noch zweifelhaftes angenommen/ als dieſes fuͤrnehmlich/ daß das Vierekk AK gegen dem Vierekk EI eben die Verhaͤltnis habe/ die da hat XT gegen SU, welches dann (als wir bald hoͤren werden) einig und allein auf gemeldter Vierekke Aehnlichkeit beru- het. Welche Aehnlichkeit/ wann ſie gewiß gemachet iſt/ zugleich einen andern (meines Be- dunkens nicht ungeſchikkten) Beweiß des ganzen Lehrſatzes an die Hand gibt/ nehmlich dieſen: Weil das Vierekk AK dem Vierekk XT, und EI dem SU, und FH dem YZ, und endlich das Dreyekk GBH dem Dreyekke QOZ, aͤhnlich iſt/ ſo muͤſſen nohtwendig auch beyde ganze Figuren einander aͤhnlich ſeyn/ und daher ihre Schwaͤre-Puncten gleichfoͤrmig geſetzet ſeyn/ nach der 6. Forderung im I. B. Nun ſind aber gedachte Schwaͤre-Puncten in denen Li- neen BD und OR, vermoͤg des vorhergehenden II. Lehrſatzes. Derowegen muͤſſen ſie gedachte Lineen nach gleicher Verhaͤltnis teihlen. Dann wo ſolches wuͤrde gelaugnet werden/ koͤnnte leichtlich etwas ungereimtes geſchloſſen werden; nehmlich/ daß (obigem zu wider) beyder aͤhnlicher Figuren Schwaͤre-Puncten nicht gleichfoͤrmig geſetzet ſeyen/ wie der verſtaͤn- dige Leſer leicht bemerken wird.

2. Daß aber/ zum Exempel/ die Vierung AK der Vierung XT aͤhnlich ſey (wann nehmlich/ wie in gegenwaͤrtiger Figur Archimedis/ die Durchmeſſer BD und OR gleich- foͤrmig gezogen/ d. i. (nach der Erſten Betr. in V.) die Parabeln von gleichen beweglichen Winkeln beſchrieben/ ſind) wird folgender Geſtalt kundt gemachet: Die Durchmeſſer BD und OR, machen mit ihren ordentlich-beygefuͤgten Quehr-Liineen (ordinatim applicatis) lauter gleiche Winkel/ alſo daß der Winkel ADL dem Winkel XRG, ELD dem SGR, &c. gleich iſt (vermoͤg erſtgemeldter I. Betr. und des 29ſten im I. B.) Wann wir nun in Ge- danken ziehen ED und SR, ſo folget/ weil EL gegen LD ſich verhaͤlt/ wie SG gegen GR, daß beyde Dreyekke EDL und SRG ganz gleichwinklicht/ und alſo der Winkel DEL dem Winkel RSG, wie auch EDL dem SRG, gleich/ ſeyen/ nach dem 6ten des VI. B. und folgends ED gegen DL ſich verhalte/ wie SR gegen RG, nach dem 4ten des VI. Nun verhaͤlt ſich aber ferner DL gegen DA, wie RG gegen RX; darumb auch gleichdurchgehend ED gegen DA, wie SR gegen RX, Krafft des 22ſten im V. Nun iſt auch der Winkel EDA dem Winkel SRX gleich/ weil die ganzen LDA und GRX, wie auch die weggenom- menen EDL und SRG gleich waren. Darumb ſind (abermal nach dem 6ten des VI.) die beyde Dreyekke EDA und SRX gleichwinklicht/ und alſo der Winkel DAE dem Win- kel RXS, und AED dem XSR und (weil auch DEL dem RSG gleich war) der ganze AEL dem ganzen XSG, gleich; und verhaͤlt ſich wie EA gegen AD, alſo SX gegen XR, wie auch gleichfalls AE gegen EL wie XS gegen SG, alles aus dem 4ten des VI. Auf gleiche Weiſe wird bewieſen/ daß auf der andern Seiten die Winkel LKC und GTP, wie auch DCK und RPT gleich/ und die/ umb ſolche Winkel ſtehende/ Seiten gleichverhaltend ſeyen. Woraus dann ohne einige Schwaͤrigkeit folget/ die Aehnlichkeit derer Vierekke AK und XT, nach der 1ſten Worterklaͤrung des VI. B. und ebenfalls wird auch derer an- dern Vierekke EI und SU, &c. Aehnlichkeit beſtaͤttiget. Worauf dann endlich der unfehl- bare Schluß folget: Weil AC gegen EK ſich verhaͤlt wie XP gegen ST, daß auch das Vierekk AK gegen dem Vierekk EI ſich verhalte/ wie XT gegen SU, vermoͤg des 22ſten im VI. Welches zu beweiſen war.

Und dieſes hat alſo ſeine vollkommene Richtigkeit/ wann wir die Aehnlichkeit zweyer Pa- rabel-Flaͤchen innerhalb die jenige Schranken beſchlieſſen/ die wir oben geſetzet/ und/ unſeres Bedunkens/ auch Archimedes gemeinet hat; alſo daß endlich/ aus bißher-beſagtem/ noch deutlicher die jenige Parabel-Flaͤchen aͤhnlich moͤchten genennet werden/ innerhalb welchen die/ oftberuͤhrter maſſen/ beſchriebene Figuren einander aͤhnlich ſind. Sonſten aber erzaͤhlet Eutokius/ daß Apollonius im VI. Buch von denen Kegel-Lineen (welches heutiges Tages nicht mehr vorhanden iſt) die jenige Kegelſchnitt: (worunter auch die Parabeln begriffen ſind) “ aͤhnlich nenne/ in welchen gleichviele/ mit denen Grund-Lineen gleichlauffende/ Lineen die “ Durchmeſſer alſo zerſchneiden/ daß gemeldte gleichlauffende gegen denen/ von der Spitz an “ genom- Archimedis Andetes Buch von derer Flaͤchen ” genommenen/ Abſchnitten des Durchmeſſers beyderſeits einerley Verhaͤltnis haben (zum ” Exempel in obigen beyden Figuren/ wie FI gegen BM, alſo YU gegen Ot, und wie EK ge- ” gen BL, alſo ST gegen OG, &c. ſich verhalte) wie auch die Abſchnitte unter ſich ſelbſten ” (nehmlich BM gegen BL wie Ot gegen OG.) Welche Beſchreibung dann die Aehnlich- keit zweyer Parabel-Flaͤchen nicht ſo eng/ als unſere obige/ beſchraͤnket/ ſondern alſo beſchaffen iſt/ daß Krafft derſelben (wie Eutokius recht mit anhaͤnget) alle Parabeln einander aͤhnlich ſeyn muͤſſen; dieweilen in jeden zweyen/ ſie ſeyen beſchrieben wie ſie wollen/ daß beſagte ſich be- geben muß/ Krafft deſſen/ was im Anhang des I. Lehrſatzes und deſſen 1ſter Anmer- kung am End bewieſen worden.

Es ſcheinet aber nicht/ daß Archimedes in dieſem unter Handen habenden Lehrſatz dieſe letzere weitlaͤuffige Aehnlichkeit verſtanden habe/ ſintemal er ſonſten deroſelben gar nicht haͤtte gedenken/ und nicht ſagen doͤrfen: Wann in zweyen aͤhnlichen Parabel-Flaͤchen/ ꝛc. ſon- dern nur ſchlechter dinge: Wann in zweyen Parabel-Flaͤchen/ ꝛc. weil/ nach ſolcher letzten Beſchreibung keine der andern unaͤhnlich iſt. Wolte aber gleichwol jemand Archimedis Lehrſatz ſo allgemein haben/ daß er von jeden zweyen Parabeln ohne Unterſcheid redete/ ſo kan jedennoch unſer gegebener Beweiß unveraͤndert bleiben/ wann nur die einige gleiche Verhaͤlt- nis derer Vierekke AK und XT gegen EI und SU (die wir aus deroſelben Aehnlichkeit her- geleitet haben) auch in dem fall/ wann beyderſeits Vierekke einander nicht aͤhnlich ſind/ be- wieſen wird. Solches nun hat Flurantius allbereit verrichtet in ſeinem IV. Huͤlf-Satz bey dieſem III. Lehrſatz/ welcher alſo/ im fall beduͤrſens/ hieher moͤchte gezogen werden.

3. Noch eines iſt/ umb mehrerer Klarheit willen zu erlaͤutern: Weil ek gegen ac ſich

verhaͤlt wie st gegen xp, ſo folget/ daß der Schwaͤre-Punct des Vierek- kes ak (zum Exempel 2) die Lini ld alſo teihle/ wie der Schwaͤre-Punct des Vierekkes xt (nehmlich 5) die Lini gr, (dann wie 2ac ſambt ek ge- gen 2ek ſambt ac, alſo l2 gegen 2d; und ingleichen/ wie 2xp ſambt st ge- gen 2st ſambt xp, alſo g5 gegen 5r, vermoͤg des XV. im I. B. Nun aber wie 2ac ſambt ek gegen 2ek ſambt ac, ſo verhaͤlt ſich auch 2xp ſambt st gen 2st ſambt xp, nach der 4. An- merkung gedachten Lehrſatzes. Derowegen verhaͤlt ſich auch/ wie l2 gegen 2d, alſo g5 gegen 5r.) Und glei- cher Weiſe wird bewieſen/ daß mi ge- gen il ſich verhalte/ wie T4 gegen 4g; Und diß iſt eines. Nun iſt auch gewiß/ daß der Schwaͤre-Punct der ganzen Groͤſſe afic (nehmlich 3) die Lini i2 alſo teihle/ daß 1, 3 gegen 3, 2 ſich verhaͤlt wie das Vierekk ak gegen dem Vierekk ei; und gleichsfalls verhaͤlt ſich 4, 6 gegen 6, 5, wie xt gegen su, vermoͤg des VI. und VII. Lehrſatzes im I. B. Es haben aber (Krafft obbeſagtens) ak gegen ei und xt gegen su gleiche Verhaͤltnis; daher dann auch 1, 3 gegen 3, 2 und 4, 6 gegen 6, 5, gleiche Verhaͤltnis haben muͤſſen. Jſt nun noch zu beweiſen/ daß hierdurch auch die ganzen Lineen md, Tr, nach gleicher Verhaͤltnis geteih- let ſeyen/ alſo daß m3 gegen 3d ſich verhalte/ wie T6, gegen 6r. Hierzu beduͤrfen wir nun dieſen folgenden allgemeinen Lehenſatz:

Wann ein Ding gegen zweyen ſich verhaͤlt/ wie ein anders gegen zweyen andern (gegen jedem abſonderlich verſtehe) ſo verhaͤlt ſich auch/ wie das erſte gegen der Summe der erſten beyden/ alſo das andere gegen der Sum- me derer beyden andern;

D. i. Wann a gegen ea abſonderlich/ und wieder abſonderlich gegen ia ſich verhaͤlt wie b abſonderlich gegen eb und wieder abſonderlich gegen ib; ſo verhaͤlt ſich auch a gegen ea+ia zuſammen/ wie b gegen eb+ib zuſammen: wie dann in dieſer Erlaͤuterung zu- gleich der voͤllige allgemeine Beweiß augenſcheinlich zu ſehen iſt.

Nach Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel.

Nach deſſen Bekraͤftigung nun ſchlieſſen wir obiges folgender maſſen: Dieweil md ge- gen ld ſich verhaͤlt/ wie Tr gegen gr; und ferner ld gegen d2, wie gr gegen rs, vermoͤg vorbeſagtens/ ſo verhaͤlt ſich auch gleichdurchgehend md gegen d2, wie Tr gegen r5, nach dem 22ſten des V. B. Es verhaͤlt ſich aber ferner d2 gegen 2l, wie r5 gegen 5g; und derowegen abermal durchgehend md gegen 2l, wie Tr gegen 5g. Gleichfalls/ weil md gegen ml ſich verhaͤlt wie Tr gegen Tg; und aber ml ferner gegen 1l wie Tg gegen 4g; verhaͤlt ſich auch gleichdurchgehend md gegen 1l wie Tr gegen 4g. Jſt alſo klar/ daß md gegen zweyen (2l nehmlich und 1l) ſich verhalte wie Tr gegen zweyen andern (5g nehm- lich und 4g) gegen jedem inſonderheit verſtehe: daher dann (vermoͤg des naͤchſten Lehen- ſatzes) md gegen der ganzen 1, 2 ſich verhaͤlt wie Tr gegen der ganzen 4, 5. Nun aber ſind 1, 2 und 4, 5 gleichfoͤrmig geteihlet in 3 und 6, alſo daß 1, 3 gegen 3, 2 wie 4, 6 gegen 6, 5, und zuſammgeſetzet 1, 2 gegen 3, 2, wie 4, 5 gegen 6, 5, ſich verhaͤlt. Weswegen dann noch weiter durchgehend/ md gegen 3, 2 ſich verhaͤlt wie Tr gegen 6, 5. Eben aber md verhaͤlt ſich auch gegen 2d, wie Tr gegen 5r, (als kurtz vorher bewieſen worden.) Derowegen verhaͤlt ſich auch md gegen 3d (d. i. 3, 2, und 2, d zuſammen) wie Tr gegen 6r (d. i. 6, 5 und 5, r zuſammen) abermal vermoͤg des naͤchſten Lehenſatzes; und ſchließlichen auch zerteihlet/ m3 gegen 3d, wie T6 gegen 6r. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Der IV. Lehrſatz.

Einer jeden Parabel-Flaͤche Schwaͤre-Punct iſt in der Para- bel ihrem Dnrchmeſſer.

Beweiß.

Der Beweiß deſſen iſt ſehr aͤhnlich dem Beweiß des XIII. Lehrſatzes im I. B. und verhaͤlt ſich kuͤrzlich alſo: Es ſey eine Parabel-Flaͤche ABC, und deroſelben Durchmeſſer BD; Soll nun erwieſen werden/ daß in beſagter Lini BD der Parabelflaͤche Schwaͤ- re-Punct ſey. Dann wo er nicht in BD iſt/ ſo ſey er auſſer- halb derſelben/ zum Exempel in E, und werde gezogen EF gleichlauffend mit BD. Man mache auch auf der Grundlini AC, und in gleicher Hoͤhe mit der Flaͤche das Dreyekk ABD; und werde wie CF gegen FD,

alſo das Dreyekk ABD gegen einem andern Dreyekk (oder ſonſt einer Flaͤche) K, nach Anleitung folgender 1. Anmerkung. Endlich beſchreibe man inner- halb der Parabel/ nach dem Anhang des I. Lehrſatzes/ eine Figur/ und zwar von ſo vielen Seiten/ biß die uͤberbleibende Abſchnitte zuſammen kleiner ſind als die Flaͤche K; welches vermoͤg des 1ſten im X. B. moͤglich iſt/ weil die verzeich- nete Dreyekke jederzeit mehr als die Helfte der Parabel-Stuͤkke hinweg nehmen. Dieweil nun die/ alſo eingeſchriebene Figur ihren Schwaͤre-Punct in der Lini BD hat/ vermoͤg des vorhergehenden II. Lehrſatzes; ſo ſey derſelbe/ zum Exempel/ H, und werde durch H und E eine Lini nach Gut-dunken hinaus ge- zogen/ und letzlichen CL mit BD gleichlauffend gemachet.

Nun dann das Dreyekk ABC kleiner iſt als die deutlich-eingeſchriebene vielſeitige Figur/ ſo folget/ daß gedachtes Vielekk eine groͤſſere Verhaͤltnis habe gegen der Flaͤche K, als das Dreyekk gegen eben derſelben Flaͤche/ Krafft des 8ten im V. B. und umb ſo viel mehr (weil K groͤſſer iſt als alle uͤberbleibende Ab- L lſchnitte Archimedis Anderes Buch von derer Flaͤchen ſchnitte der Parabel-Flaͤche) daß das eingeſchriebene Vielekk gegen denen erſt- gedachten Abſchnitten eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als das Dreyekk ABC gegen der Flaͤche K; d. i. als CF gegen FD. Wie aber CF gegen FD, ſo ver- haͤlt ſich LE gegen EH, vermoͤg des 1ſten im VI. wann HL mit DC gleich- lauffet/ oder der Anmerkung des 2ten im VI. wann ſie endlich zuſammen kommen: Derowegen hat das eingeſchriebene Vielekke gegen allen umbligen- den Abſchnitten eine groͤſſere Verhaͤltnis als LE gegen EH. Dieſelbe Ver- haͤltnis ſey nun wie ME gegen EH. Dieweil dann alſo E der Schwaͤre- Punct iſt der ganzen Parabel-Flaͤche/ H aber der eingeſchriebenen Figur/ die wir alſo in Gedanken hinweg nehmen/ ihr Schwaͤre-Punct; ſo folget (vermoͤg des VIII. Lehrſatzes im I. B.) daß M derer uͤbrigen Abſchnitte Schwaͤre-Punct ſey; Welches aber unmoͤglich iſt/ wie in einem gleichen Fall in dem Beweiß des XIII. Lehrſatzes im I. B. am End erklaͤret worden. Daher wir dann/ eben wie dorten/ rukkwerts ſchlieſſen/ daß der Parabel-Flaͤche Schwaͤre-Punct auſſer die Lini BD nicht fallen koͤnne.

Anmerkung.

Nichts iſt hierbey zu erinnern/ als/ wie das Dreyekk oder die Flaͤche K koͤnne gemachet werden/ daß das Dreyekk ABC gegen demſelben ſich verhalte/ wie CF gegen FD, nehmlich alſo: Man machet wie CF gegen FD, alſo CA gegen einer vierdten gleichverhaltenden/ nach dem 12ten des VI. auf ſolche vierdte gefundene machet man ferner ein Dreyekk in glei- cher Hoͤhe mit ABC, ſo iſt die Sache voͤllig verrichtet. Dann wie CA gegen der gefunde- nen Grundlini/ alſo iſt (vermoͤg des 1ſten im VI.) das Dreyekk ABC gegen dem gefunde- nen Dreyekk; welches hernach/ ſo man will/ leichtlich in ein anders oder ſonſt in eine Flaͤche kan veraͤndert werden/ nach dem 41ſten/ 42ſten/ ꝛc. des I. B.

Der V. Lehrſatz.

Wann in einer Parabel-Flaͤche ein Vielekk oberklaͤrter maſſen eingeſchrieben wird; ſo iſt der ganzen Flaͤche Schwaͤre-Punct naͤ- her bey der Spitze der Parabel/ als der Schwaͤre-Punct der ein- geſchriebenen Figur.

Beweiß.

Es ſey eine Parabel-Flaͤche ABC, deren Durchmeſſer BD, und in derſel- ben ofterwaͤhnter maſſen beſchrieben ſo wol das Dreyekk ABC, als das Viel- ekk AKBLC. Soll nun bewieſen werden/ daß der ganzen Parabel-Flaͤche Schwaͤre-Punct naͤher bey B ſey als die Schwaͤre-Puncten ſo wol des Vielekkes als des Dreyekkes. Solches nun zu beweiſen/ ſchneide man zu foͤrderſt von

BD ab den dritten Teihl ED, ſo wird E des Dreyekkes ABC Schwaͤre-Punct ſeyn/ nach der 2. Anmerkung des XV. Lehrſatzes im I. B. Ferner teihle man ſo wol AB als BC in zwey gleiche Teihle in F & G, und ziehe FKGL gleich- lauffend mit BD, ſo werden beyder Parabel-Flaͤchen AKB und BLC ihre Schwaͤre-Puncten in FK und GL ſeyn/ Krafft des vorher- gehen- Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel. gehenden IV. Lehrſatzes. Selbige Schwaͤre-Puncten ſeyen nun/ Exempels halben/ H und I, die man durch die Lini HI zuſammen ziehen muß. Dieweil nun der ganzen Parabel-Flaͤche Schwaͤre-Punct in der Lini BD iſt/ Krafft des IV. Lehrſatzes/ und des Dreyekkes ABC Schwaͤre-Punct auch in der- ſelben Lini BD, nehmlich E; ſo muß nohtwendig auch der uͤbrigen/ aus AKB und BLC zuſammgeſetzten/ Groͤſſe Schwaͤre-Punct in der Lini BD ſeyn/ ver- moͤg des VIII. Lehrſatzes im I. B. Eben aber derſelbe Schwaͤre-Punct iſt in der Lini HI, Laut des VI. und VII. gemeldten I. B. und alſo iſt es nohtwen- dig der Punct Q. Dieweil nun des Dreyekkes ABC Schwaͤre-Punct iſt E; der/ aus AKB und BLC zuſammgeſetzten/ Groͤſſe aber ihr Schwaͤre-Punct iſt Q; ſo muß nohtwendig (Krafft des VI. und VII. Lehrſatzes im I. B.) der ganzen Parabel-Flaͤche Schwaͤre-Punct zwiſchen E und Q fallen/ und alſo dem B naͤher als E ſeyn. Und diß iſt eines.

Dieſem nach/ wann H (in folgender Figur) der Parabel-Flaͤche AKB Schwaͤre-Punct iſt/ ſo muß des Dreyekkes AKB Schwaͤre-Punct unter H, zum Exempel in I, ſeyn; und gleicher Weiſe/ wann M der Parabel-Flaͤche BLC Schwaͤre-Punct iſt/ ſo muß des gleichbenahmten Dreyekkes Schwaͤre-Punct unterhalb M, zum Exempel in N, ſeyn. Uber dieſes/ gleich wie Q der/ aus bey- den Parabel-Flaͤchen AKB und BLC zuſammgeſetzten/ Groͤſſe Schwaͤre- Punct zu ſeyn bewieſen worden: eben ſo wird bewieſen/ daß T der/ aus beyden Dreyekken AKB und BLC zuſammgeſetzten/ Groͤſſe Schwaͤre-Punct ſey. Woraus endlich folget/ daß/ gleich wie der ganzen Parabelflaͤche Schwaͤre- Punct zwiſchen E und Q alſo faͤl- let/ daß der Lini QE oberer Teihl bey Q gegen dem uͤbrigen ſich ver-

halte/ wie das Dreyekk ABC gegen denen beyden Parabel-Stuͤkken AKB und BLC zuſammen: alſo auch des ganzen eingeſchriebenen Vielekkes AKBLC Schwaͤre-Punct zwiſchen E und T alſo falle/ daß der Lini TE oberer Teihl bey T gegen dem uͤbrigen ſich verhalte/ wie das Dreyekk ABC gegen bey- den Dreyekken AKB und BLC zuſammen; alles nach dem VI. und VII. Lehrſaͤtzen des I. B. Wir wollen nun der Parabel-Flaͤche Schwaͤre- Punct mit s, des Vielekkes aber mit r bezeichnen/ und ſo dann beweiſen/ daß der Punct s naͤher bey b ſey als r, (Beſihe die beygefuͤgte/ Deut- lichkeit halber vergroͤſſerte/ Lini bd,) und ſolches folgender Geſtalt: Das Dreyekk AbC hat gegen denen beyden Dreyekken AKb und bLC eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als gegen denen beyden eben ſo genannten Para- bel-Stuͤkken (weil dieſe groͤſſer als jene ſind) vermoͤg des 8ten im V. Derowegen (weil tr gegen re iſt/ wie das Dreyekk AbC gegen beyde Dreyekk/ und qs gegen se, wie eben daſſelbe Dreyekk gegen die zwey Pa- rabel-Stuͤkke) hat auch tr gegen re eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als qs ge- gen se; und muß alſo (Krafft folgender Anmerkung) der Punct s uͤber dem r, das iſt/ naͤher bey b ſeyn. Welches hat ſollen bewieſen werden.

L ijAnmer- Archimedis Anderes Buch von derer Flaͤchen

Anmerkung.

Der Schluß iſt richtig. Dann qe iſt groͤſſer als te. So nun ſ und r zuſamm fielen/ wuͤrden ſe und re gleich werden/ und daher qſ gegen ſe eine groͤſſere Verhaͤltnis haben/ als tr gegen re; Welches aber wider obigen Beweiß lauffet/ als in welchem umbgekehrt tr gegen re eine groͤſſere Verhaͤltnis hatte/ als qſ gegen ſe. Fiele dann ſ unter das r. ſo wuͤrde ſe kleiner ſeyn/ und das vorige ungereimte noch viel mehr folgen. Weil dann nun der Punct ſ ohne ungereimte Folge weder in r noch unter r fallen kan/ ſo muß derſelbe nohtwendig uͤber dem r, und alſo naͤher bey b, ſeyn.

Der VI. Lehrſatz.

Jnnerhalb einer gegebenen Parabel-Flaͤche iſt moͤglich ofter- waͤhnter maſſen ein Vielekk alſo zu verzeichnen/ daß die Zwiſchen- weite beyder Schwaͤre-Puncten/ der Parabel-Flaͤche nehmlich und des eingeſchriebenen Vielekkes/ kleiner ſey als eine jede gegebene gerade Lini.

Erlaͤuterung.

Es ſey gegeben eine Parabel-Flaͤche ABC, deren Schwaͤre-Punct iſt H; und in derſelben zu foͤrderſt deutlich-beſchrieben das Dreyekk ABC; und werde

gemachet wie BH gegen der gegebenen Lini F, alſo das Dreyekk ABC gegen einer Flaͤche K, nach Anleitung der Anmerkung des IV. Lehrſatzes. Ferner werde auch deutlich-ein- gezeichnet ein Vielekk AKBLC, alſo daß die uͤbrigen Abſchnittlein AK, KB, BL, LC, &c. zuſammen kleiner ſeyen als die Flaͤche K, nach Anleitung des 1ſten im X. und ſey beſagtes Vielekkes Schwaͤrepunct (weil er/ Krafft des vorhergehenden Lehrſatzes/ unter dem H ſeyn muß) zum Exempel in E. Soll nun bewieſen werden/ daß die Lini oder Zwiſchen- weite HE kleiner ſey als die gegebene Lini F.

Beweiß.

Dann ſo ſie nicht kleiner iſt/ ſo iſt ſie ihr entweder gleich oder groͤſſer. Nun hat das Vielekk AKBLC gegen denen uͤbergebliebenen Abſchnittlein (ſo da kleiner ſind als K) eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als das Dreyekk ABC gegen K, d.i. als BH gegen F, vermoͤg des 8ten im V. Es hat aber BH gegen HE entweder eine gleiche (wann HE dem F gleich iſt) oder (wann HE groͤſſer ſeyn ſoll als F) eine kleinere Verhaͤltnis als gegen F, Krafft des 7. und 8ten im V. Daher dann ebenfalls/ oder umb ſo viel mehr/ das Vielekk AKBLC gegen de- nen uͤbrigen Abſchnittlein eine groͤſſere Verhaͤltnis haben muß als BH gegen HE; und alſo die Lini/ welche gegen HE eben die Verhaͤltnis haben ſoll/ welche das Vielekk hat gegen denen Abſchnitten/ groͤſſer ſeyn wird als BH. Dieſelbe ſey/ zum Exempel/ GH.

Weil nun GH gegen HE ſich verhaͤlt/ wie das Vielekk AKBLC gegen denen uͤbrigen Abſchnitten/ und iſt der ganzen Parabel-Flaͤche Schwaͤrepunct in H, des weggenommenen Vielekkes aber in E (vermoͤg des obigen;) ſo muß (vermoͤg Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel. (vermoͤg des VI. und VII. Lehrſatzes im I. B.) derer uͤberbleibenden Abſchnitte Schwaͤrepunct in G ſeyn; Welches aber ungereimt und unmoͤglich iſt/ Krafft der 8. Forderung und deſſen was in dem Beweiß des XIII. Lehrſatzes im I. B. am End geſagt worden.

Der VII. Lehrſatz.

Zweyer aͤhnlicher Parabel-Flaͤchen Schwaͤre-Puncten teihlen ihre Durchmeſſer nach gleicher Verhaͤltnis.

Beweiß.

Es ſeyen zwey aͤhnliche Parabel-Flaͤchen EFG und ABC; ihre Durch- meſſer FH und BD, und ihre Schwaͤrepuncten L und K. Jſt nun zu bewei- ſen/ daß durch erſtgemeldte Puncten die Durchmeſſer FH und BD nach gleicher Verhaͤltnis geteihlet wer- den/ alſo daß/ wie FL gegen LH, alſo BK gegen KD ſich verhalte. Solches geſchihet folgender Ge- ſtalt: Wann ſich die Sache beſag- ter maſſen nicht verhaͤlt/ ſo verhalte ſich/ zum Exempel FM gegen MH, wie BK gegen KH; und werde in- nerhalb der Parabel-Flaͤche ein Vielekk deutlich alſo verzeichnet/ daß die/ zwiſchen ſeinem und der ganzen Parabel-Flaͤche Schwaͤre- punct fallende/ Lini kleiner ſey als LM, und alſo des Vielekkes Schwaͤ- re-Punct zwiſchen L und M (zum

Exempel in X) falle. Hiernaͤchſt beſchreibe man auch innerhalb der andern Parabel-Flaͤche ABC ein ſolches Vielekk von gleichvielen Seiten/ deſſen Schwaͤrepunct indeſſen heiſſe R. Dieweil nun die innerhalb beyder Parabel- Flaͤchen beſchriebene Vielekke gleichviele Seiten haben/ ſo teihlen ihre Schwaͤ- re-Puncten/ X und R, die Durchmeſſer FH und BD nach gleicher Verhaͤlt- nis/ alſo daß BR (es ſtehe das R auch wo es immer wolle) gegen RD ſich verhaͤlt/ wie FX gegen XH, vermoͤg obigen III. Lehrſatzes. Es iſt aber auch geſetzet/ daß BK gegen KD ſich verhalte wie FM gegen MH. Derowe- gen/ gleich wie das X naͤher bey B iſt als M, ſo muß auch R naͤher bey B ſeyn als K (dann BR iſt eben ein ſolcher Teihl von BD, wie FX von FH, und BK wiederumb ein ſolcher Teihl von BD, wie FM von FH; und aber FX iſt ein kleinerer Teihl von FH als FM: derowegen auch BR muß ein kleinerer Teihl von BD ſeyn als BK, und folgends R naͤher bey B als K.) Nun aber iſt K der ganzen Parabel-Flaͤche Schwaͤrepunct/ und R der Schwaͤrepunct des einge- zeichneten Vielekkes. So folgete demnach/ daß des eingeſchriebenen Vielekkes Schwaͤrepunct naͤher bey der Spitze B ſey/ als der Schwaͤrepunct der ganzen Parabel-Flaͤche: Welches aber dem obigen V. Lehrſatz ſchnurſtrakks zu wi- der iſt. Kan derowegen FM gegen MH (wann das M unter das L faͤllet) ſich nicht verhalten/ wie BK gegen KD.

L l iijAnmer- Archimedis Anderes Buch von derer Flaͤchen

Anmerkung.

Hierauf machet Archimedes alſobald den voͤlligen Schluß: So iſt nun offenbar/ daß BK gegen KD ſich verhalte/ wie FL gegen LH. Welches aber gleichwol noch nicht voͤl- lig folget. Dann ob ſchon bewieſen iſt/ daß/ wann das M unter dem L ſtehet/ FM gegen MH ſich nicht verhalte wie BK gegen KD; ſo iſt doch noch nicht richtig/ daß ſolches nicht ſeyn koͤnne/ wann das M uͤber das L geſetzet wuͤrde. Allein es hat Archimedes gar wol ge- ſehen/ daß in dieſem letzern Fall eben ſo ein ungereimter Schluß/ als in dem vorigen/ folgen wuͤrde: umb beliebter Kuͤrze willen aber hat er ſolches dem Nachdenken des Leſers uͤberlaſſen. Solcher Mangel nun kan folgender Geſtalt erſetzet werden: Man ſetze fuͤrs andere/ daß M uͤber dem L ſey/ und ſo dann FM gegen MH ſich verhalte/ wie BK gegen KD; und teihle fol- gends BD in N, wie FH in L geteihlet iſt/ alſo daß/ gleich wie das L unter M iſt/ auch das N unter K falle. Nachmals beſchreibe man innerhalb ABC ein Vielekk/ alſo daß die Lini zwiſchen deſſelben Schwaͤre-Punct/ und dem Schwaͤre-Punct der ganzen Flaͤche K, kleiner ſey als die Lini KN, d. i. der Schwaͤre-Punct des Vielekkes zwiſchen K und N falle/ nach vorhergehendem VI. Lehrſatz. Endlich beſchreibe man auch innerhalb der andern Flaͤche EFG ein ſolches Vielekk von gleichvielen Seiten; ſo wird deſſelben Schwaͤre-Punct noht- wendig zwiſchen M und L, und alſo uͤber L hinauf fallen/ nach dem III. Lehrſatz. Welches dann abermal ungereimt iſt und wider den V. Lehrſatz lauffet/ weil L der ganzen Parabel- Flaͤche Schwaͤre-Punct iſt.

Der VIII. Lehrſatz.

Einer jeden Parabel-Flaͤche Schwaͤre-Punct teihlet ihren Durchmeſſer alſo/ daß der obere Teihl bey dem Scheitelpunct an- derthalb-mal ſo groß iſt als der untere bey der Grund-Lini.

Beweiß.

Die beſagte Parabel-Flaͤche ſey ABC, ihr Durchmeſſer BD, und ihr Schwaͤre-Punct Q. Jſt nun geſagt/ BD werde in Q alſo geteihlet/ daß BQ anderthalb-mal ſo groß ſey als QD. Solches zu beweiſen/ ſey innerhalb der

Parabel-Flaͤche ofterwaͤhnter maſſen beſchrieben das Dreyekk ABC, deſſen Schwaͤre-Punct iſt E. Beyde Seiten des Drey- ekkes/ BA und BC teihle man ferner in zwey gleiche Teihle/ in F und G, und ziehe ſo dann FK und GL gleichlauffend mit BD; welchem nach FK und GL bey- der Parabel-Stuͤkke AKB und BLC ihre Durchmeſſer ſeyn werden (Laut der 2ten Betrachtung in V.) Jhre Schwaͤre-Puncten aber ſeyen M und N, und werden endlich gezogen die Quehr-Lineen MN, KL, FG, welche alle gleichlauffend ſind. Dann KF und LG ſind gleich/ (Krafft der 2. Anmerkung des Anhangs bey dem I. Lehrſatz) und gleichlauffend/ vermoͤg der Vorbereitung: darumb muͤſſen auch KL und FG gleich und gleichlauffend ſeyn/ Laut des 33ſten im I. B. Jtem/ weil KF und LG in M und N gleichfoͤrmig geteihlet und alſo MF und NG gleich ſind/ nach dem vorhergehenden VII. Lehrſatz/ ſo muͤſſen/ aus vorigem Grund/ auch MN und FG gleich und gleichlauffend ſeyn.

Dieweil nun Q, M und N die Durchmeſſere BD, KF, LG gleichfoͤrmig teihlen/ Krafft des vorhergehenden VII. Lehrſatzes/ d.i. wie BQ gegen QD, alſo Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel. alſo KF gegen MF und LN gegen NG, und zuſammgeſetzet/ wie BD gegen QD, alſo KF gegen MF, und verwechſelt/ wie BD gegen KF, alſo QD ge- gen MF ſich verhalten; BD aber viermal ſo groß iſt als KF (vermoͤg fol- gender 1. Anmerkung) ſo muß auch QD viermal ſo groß als MF, und fol- gends auch BQ viermal ſo groß als KM, d.i. als SH ſeyn. (nb. Der Buch- ſtab H iſt in der Figur ansgelaſſen/ und muß dahin geſetzt werden/ wo BD und MN einander durchſchneiden.) Dieweil ferner BS gegen SD ſich ver- haͤlt wie 1 gegen 3, nach dem Anhang des 1. Lehrſatzes/ ſo iſt BD viermal ſo groß als BS. Nun ſey SX, der dritte Teihl von BS; ſo wird BD drey- mal ſo groß ſeyn als BX (dann wann SX eins iſt/ ſo iſt BS drey/ und BD zwoͤlf; zwoͤlf aber iſt dreymal ſo groß als 3 und 1, d. i. als BS und SX, oder mit einem Wort/ als BX;) Es iſt aber BD auch dreymal ſo groß als ED, vermoͤg der 2. Anmerkung des XV. Lehrſatzes im I. B. Derowegen ſind BX und ED, und folgends auch XE einander gleich. Wiederumb/ weil Q der ganzen Parabel-Flaͤche/ E aber des Dreyekkes ABC Schwaͤre-Punct iſt/ ſo muß auch (nach dem VIII. des I. B.) der uͤbrigen/ aus AKB und BLC zuſammgeſetzten/ Groͤſſe Schwaͤre-Punct in der Lini BD, nehmlich (weil er auch/ vermoͤg des VI. oder VII. im I. B. in MN iſt) der Punct H ſeyn/ und (Krafft erſtangezogener zweyer Lehrſaͤtze) HQ gegen QE ſich verhalten wie das Dreyekk ABC gegen beyden Parabel-Stuͤkken AKB und BLC, d. i. wie 3 gegen 1, (dann die ganze Parabel-Flaͤche ABC verhaͤlt ſich gegen dem eingeſchriebenen Dreyekk/ wie 4 gegen 3, und alſo das Dreyekk gegen denen uͤbrigen Stuͤkken/ wie 3 gegen 1, nach dem XVII. oder XXIV. Lehrſatz des Buchs von der Parabel-Vierung.) Hierauf ſchlieſſen wir alſo: BQ iſt viermal ſo groß als SH, und folgends/ wann SH einmal aus BQ hinweg genommen wird/ BS und HQ zuſammen noch dreymal ſo groß als SH. Es iſt aber BS dreymal ſo groß als SX (ein Teihl von SH.) So muß derowegen HQ dreymal ſo groß ſeyn als der andere Teihl von SH, nehmlich als XH. Zuvor aber iſt erwieſen/ daß HQ auch dreymal ſo groß ſey als QE. Derohalben ſind XH und QE einander gleich/ und XE fuͤnf- mal/ XQ aber viermal ſo groß als QE. Es ſind aber dem XE gleich BX und ED, vermoͤg des obigen. Derowegen iſt QD ſechsmal/ BQ aber (das iſt/ BX und XQ zuſammen) neunmal ſo groß als QE, und verhaͤlt ſich al- ſo BQ gegen QD, wie 9 gegen 6, das iſt/ wie 3 gegen 2. Welches hat ſol- len bewieſen werden.

Anmerkung.

Noch ein einiges iſt uͤbrig zu erlaͤutern (die uͤbrige Zweiffel ſind in dem Beweiß ſelbſten ſchon benommen worden) nehmlich dieſes/ daß Archimedes fuͤr bekannt annimbt/ und ander- werts zu erweiſen verſpricht/ oder ſchon erwieſen zu ſeyn vorgibt/ der Durchmeſſer BD ſey vier- mal ſo groß als der Durchmeſſer KF. Daſſelbe erhellet nun alſo: Aus obigem iſt bekannt/ daß BS gegen SD ſey wie 1 gegen 3, und alſo der vierdte Teihl von BD. Nun iſt AB in F, und folgends auch BD in R (NB. Der Buchſtab R ſoll ſtehen wo BD und FG einander durchſchneiden) halbgeteihlet/ nach dem 2ten des VI. und darumb BS die Helfte von BR; oder BS und SR, d. i. KF, einander gleich. Weil dann nun BD viermal ſo groß als BS iſt/ wird ſie auch viermal ſo groß als KF ſeyn.

Euto- Archimedis Anderes Buch von derer Flaͤchen

Eutokius beweiſet eben dieſes/ durch Huͤlfe beygeſetzter/ etwas wenigs geaͤnderter/ Fi- gur/ folgender Geſtalt: Es ſey eine Parabel ABC, deren Durchmeſſer BD, und AD auf

BD ordentlich gezogen; Man ziehe ferner AB und teihle ſie in F halb: durch F ziehe man EF gleich- ſtehend mit BD (welche alſo des Parabel-Stuͤkkes AEB Durchmeſſer wird) und endlich EG und FH ordentlich oder gleichlauffend mit AD. So iſt nun BA zweymal ſo groß als BF, und BD zweymal ſo groß als BH, und AD zweymal ſo groß als FH, oder EG, Laut des 2. und 4ten im VI. Derowegen iſt die Vierung von AD viermal ſo groß als die Vierung von EG, vermoͤg des 20ſten im VI. und folgends (vermoͤg der bekannten Paraboliſchen Eigenſchafft) BD viermal ſo groß als BG. Es iſt aber BG ſo groß als EF, (dann BG, als ¼ von BD iſt ½ von BH, und darumb BG und GH, d. i. EF, einander gleich;) Derowegen iſt BD viermal ſo groß als EF.

Der IX. Lehrſatz.

Wann vier fortgeſetzt-gleichverhaltende Lineen ſind/ und/ wie die kleineſte gegen dem Uberreſt der groͤſſeſten uͤber die kleineſte/ alſo eine andere genommene gegen drey Fuͤnfteihl des Uberreſts der groͤſſeſten uͤber die dritte/ ſich verhaͤlt: und wiederumb/ wie die Summe der groͤſſeſten zweymal- der andern viermal- der dritten ſechsmal- und der vierdten dreymal-genommen/ gegen der Sum- me der groͤſſeſten fuͤnfmal/ der andern und dritten zehenmal/ und der vierdten wieder fuͤnfmal-genommen; alſo abermal eine an- dere genommene gegen dem Uberreſt der groͤſſeſten uͤber die dritte: ſo werden die zwey erſtgenommene Lineen zuſammen zwey Fuͤnf- teihl der groͤſſeſten Gleichverhaltenden ſeyn.

Anmerkung.

Ehe wir des Archimedis weitlaͤuffigen und ſchwaͤren Beweiß anbeyfuͤgen/ wollen wir des Lehrſatzes Meinung und Waarheit zu foͤrderſt durch Zahlen erklaͤren/ hernach einen all- gemeinen und viel kuͤrzern Beweiß durch die Buchſtaben-Rechnung voranſetzen; auf daß nicht allein erhelle/ wie dieſer Lehrſatz auf alle andere gleichverhaltende Dinge ſo wol/ als auf die Lineen gehe; ſondern auch Archimedis folgende Schluͤß deſto leichter gefaſſet werden moͤgen.

So ſeyen demnach Exempels-weiſe gegeben vier Lineen in fortgeſetzter gedoppelter Ver- haͤltnis/ nehmlich 8, 4, 2, 1.

Der Groͤſſeſten Uberreſt uͤber die Kleineſte iſt 7, uͤber die Dritte aber 6; davon drey Fuͤnf- teihl machen 3⅗ oder \frac {18}{5}. Die Summe/ ſo da beſtehet aus zweymal 8, viermal 4, ſechs- mal 2, und dreymal 1, iſt 47: Die andere Summ/ aus fuͤnfmal 8, zehenmal 4, zehenmal 2, und fuͤnfmal 1, iſt 105. Nun verhalte ſich erſtlich Wie 1 gegen 7, alſo (eine aufs neu genommene Zahl) \frac {18}{35} gegen \frac {18}{5}.

Fuͤrs ander: Wie 47 gegen 105, alſo (wieder eine andere neue Zahl/ nehmlich) \frac {94}{35} gegen 6.

So wird Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel.

So wird nun geſagt/ die beyde neu-angenommene Zahlen (nehmlich \frac {18}{35} und \frac {94}{35}) zuſammen machen ſo viel als zwey Fuͤnfteihl von 8, d. i. 3⅕. Daß nun deme alſo ſey/ iſt fuͤr Augen. Dann/ ſo man \frac {18}{35} und \frac {94}{35} in eine Summe bringet/ kommen \frac {112}{35}; So man dann 112 teihlet durch 35, kommt heraus 3\frac {7}{35}, d. i. 3⅕, &c.

Allgemeiner Beweiß des Lehrſatzes.

Was nun hier in einem einigen Exempel durch Zahlen gewieſen worden/ kan durch Bey- huͤlfe der allgemeinen Buchſtaben-Rechnung folgender Geſtalt allgemein werden/ und alſo einen vollkommenen Beweiß abgeben: Es ſeyen gegeben vier Dinge in fortgeſetzter Ver- haͤltnis/ Des groͤſſeſten Uberreſt uͤber das kleineſte wird alſo ſeyn e3a-a, uͤber das dritte aber e3a-ea, davon drey Fuͤnfteihl machen ⅗e3a-⅗ea. Die erſte obbeſchriebene Summa wird ſeyn/ Die andere aber: II. 5e3a+10e2a+10ea+5a. Nun verhalte ſich erſtlich/

Wie a gegen e3a-a, alſo (ein anders aufs neu darzu genommenes/ das wir kurz A nennen wollen/ nehmlich) gegen ⅗e3a-⅗ea.

(NB. Dieſes neu-angenommene/ finde ich/ wann ich umbgekehrt mache wie e3a-a gegen a; alſo ⅗e3a-⅗ea gegen einem vierdten.)

Fuͤrs andere verhalte ſich/

Wie die I. Summ gegen der II. alſo/ (B) gegen e3a-ea.

So wird nun geſagt/ die beyde neu-angenommene Dinge/ nehmlich beyde Bruͤche A und B zuſammen/ machen ſo viel als 2. Fuͤnfteihl des groͤſſeſten Gleichverhaltenden/ d. i. ⅖e3a. Daß deme alſo ſey/ kan abermals der Augenſchein kuͤndig machen. Dann wann ich (dem/ in der gemeinen Rechen-Kunſt bekannten Weg nach) beyde Bruͤche A und B zuvor/ auf ei- nerley Nennung/ und hernach in eine Summe bringe/ ſo machen ſie zuſammen/ Dieſer Bruch aber/ ſo er aufgehebt (d. i. das obere mit dem untern geteihlet) wird/ machet juſt ⅖e3a; Wie ein jeder/ dieſer Art Rechnung nur ein wenig Erfahrner/ ſpielend fin- den wird.

Hiernaͤchſt wollen wir nun auch Archimedis ſelbſt-eigenen Beweiß auf das deutlichſte/ als moͤglich ſeyn wird/ in folgenden unterſchiedlichen Schluͤſſen fuͤrſtellen:

Archimedis Beweiß uͤber obgeſetzten Lehrſatz.

Es ſeyen zum Exempel vier/ in gleicher Verhaͤltnis auf einander folgende/ Lineen AB, BC, BD und BE; und/ wie ſich verhaͤlt BE gegen EA, ſo verhal- te ſich eine genommene Lini FG gegen ⅗ von AD; und wiederumb/ wie ſich ver- haͤlt eine Lini/ welche ſo groß iſt als zwo AB, vier BC, ſechs BD und drey BE miteinander/ gegen einer andern/ welche ſo groß iſt als fuͤnf AB, zehen BC, M mzehen Archimedis Anderes Buch von derer Flaͤchen zehen BD und fuͤnf BE; ſo verhalte ſich eine andere genommene Lini GH gegen AD:

Soll nun bewieſen werden/ daß beyde neu-angenommene Lineen FG und GH zuſammen/ d.i. die Lini FH zwey Fuͤnfteihl von AB ſey. Schlieſſen demnach alſo:

I. Dieweilen AB, BC, BD, BE vier gleichverhaltende Lineen ſind/ ſo werden auch ihre Reſte/ mit welchem eine die andere uͤbertrifft/ nehmlich AC, CD und DE eben dieſelbe Verhaͤltnis gegen einander haben/ Krafft folgender 2. Anmerkung. Verhaͤlt ſich demnach/ wie AB gegen BC, alſo AC gegen CD, und zuſammgeſetzet/ wie AB+BC gegen BC, alſo AC ſambt CD (d.i. AD) gegen CD; Es verhaͤlt ſich aber auch ferner wie BC gegen BD, alſo CD gegen DE: Derowegen auch gleichdurchgehend/ wie AB+BC gegen BD, alſo AD gegen DE, nach dem 22ſten des V. B. und folgends/ Laut des 15den/ wie zwey AB ſambt zwey BC gegen zwey BD, alſo AD gegen DE. Auf gleiche Weiſe folget (weil wie BC gegen BD, alſo AC gegen CD ſich verhaͤlt/ und ferner wie BD gegen BE, alſo CD gegen DE) daß/ wie BC ſambt BD gegen BE, alſo AD gegen DE ſich verhalte; Woraus dann endlich folget/ daß auch/ wie BC ſambt BD ſich verhaͤlt ge- gen BE, alſo zwey AB ſambt zwey BC gegen zwey BD ſich verhalte/ Krafft des 11ten im V. und ferner/ nach dem 12ten des V. wie BC ſambt BD ge- gen BE (d. i. wie AD gegen DE) alſo zwey AB, drey BC und BD zuſam- men/ gegen zwey BD ſambt BE.

II. Nun aber iſt zwey AB ſambt drey BC und BD weniger als zwey AB ſambt vier BC und vier BD und zwey BE; und derowegen hat dieſe leztere Summ gegen zwey BD ſambt BE eine groͤſſere Verhaͤltnis als jene/ d. i. als AD gegen DE, vermoͤg des 8ten im V. und folgends/ wie ſich gemeldte letzere Summ gegen zwey BD ſambt BE verhaͤlt/ ſo muß AD ſich verhalten gegen einer kleinern als DE, welche wir indeſſen DO nennen wollen: alſo daß auch umbgekehrt/ wie DO gegen AD, alſo 2BD ſambt BE gegen beſagter letzern Summ von 2AB+4BC+4BD+2BE, ſich verhalten muß; und zu- ſammgeſetzet/ wie OA gegen AD, alſo 2AB+4BC+6BD+3BE gegen 2AB+4BC+4BD+2BE.

III. Es iſt aber ferner (Krafft obigen Satzes) verwirret/ wie AD ge- gen GH, alſo 5AB+10BC+10BD+5BE gegen 2AB+4BC+ 6BD+3BE. Derowegen iſt auch gleichdurchgehend/ wie OA gegen GH, alſo 5AB+10BC+10BD+5BE gegen 2AB+4BC+4BD+2BE, vermoͤg des 23ſten im V. B. Nun verhalten ſich dieſe beyde letztere gegen einander wie 5 gegen 2. Derowegen verhaͤlt ſich auch OA gegen GH wie 5 gegen 2.

IV. Wiederumb/ weil oben im II. Schluß erwieſen worden/ daß OD gegen AD ſich verhalte wie 2BD+BE gegen 2AB+4BC+4BD+2BE; und ferner wie AD gegen DE, alſo verwirret/ 2AB+3BC+BD gegen 2BD+BE, vermoͤg des I. Schluſſes: ſo wird ſich auch gleichdurchgehend OD ge- Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel. OD gegen DE verhalten/ wie 2AB+3BC+BD gegen 2AB+4BC+ 4BD+2BE, Laut des 23ſten im V. B. und umbgekehret DE gegen DO, wie 2AB+4BC+4BD+2BE gegen 2AB+3BC+BD; und (nach der 2ten Folge des 19den im V.) DE gegen dem uͤbrigen EO (als ſeinem Reſt/ mit welchem es DO uͤbertrifft) wie 2AB+4BC+4BD+2BE gegen BC +3BD+2BE (wiederumb gegen ſeinem Reſt uͤber 2AB+3BC+BD) und abermals umbgekehret/ EO gegen DE, wie BC+3BD+2BE gegen 2AB+4BC+4BD+2BE.

V. Nun iſt/ Krafft obigen Satzes/ AB gegen BC wie BD gegen BE; und zerteihlet/ AC gegen BC wie DE gegen BE; und/ aus gleichem Grund/ CD gegen BD, wie DE gegen BE. Derowegen verhalten ſich auch 3CD gegen 3BD wie DE gegen BE, und ingleichen 2DE gegen 2BE, wie DE gegen BE, Krafft des 15den im V. und folgends verſamblet/ AC+3CD+2DE gegen BC+ 3BD+2BE, wie DE gegen BE, nach dem 12ten des V.

VI. Es verhielt ſich aber in dem vorigen IV. Schluß wie EO gegen DE, alſo BC+3BD+2BE gegen 2AB+4BC+4BD+2BE; und jezt ver- haͤlt ſich ferner wie DE gegen BE, alſo verwirret AC+3CD+2DE gegen BC+3BD+2BE: Weswegen dann unfehlbar und gleichdurchgehend/ wie EO gegen BE, alſo AC+3CD+2DE gegen 2AB+4BC+4BD+2BE, vermoͤg des 23ſten im V. und zuſammgeſetzet/ EO+BE (d. i. OB) gegen BE, wie AC+3CD+2DE+2AB+4BC+4BD+2BE, gegen 2AB+ 4BC+4BD+2BE, nach dem 18den des V. Nun iſt aber AC+3CD+ 2DE+2AB+4BC+4BD+2BE ſo viel als 3AB+6BC+3BD (dann 2AB ſind wuͤrklich fuͤrhanden/ AC und ein BC machen wieder ein AB, und bleiben alſo 3BC von vieren uͤbrig; 3CD aber und 3BD machen wieder 3BC alſo daß 6BC werden und ein BD uͤbrig bleibet; endlich aber machen 2BE und 2DE zuſam̃en ſo viel als 2BD, und werden alſo 3BD.) Derowegen verhaͤlt ſich OB gegen BE wie 3AB+6BC+3BD gegen 2AB+4BC+4BD+2BE.

VII. Ferner/ weil ED, DC, CA gleiche Verhaͤltnis gegen einander hab en mit EB, BD, BC und BA, nach folgender 2. Anmerkung; wird/ Krafft der 3. Anmerkung/ wie ED gegen DC+CA (d. i. gegen DA) alſo EB+BD gegen DB+2BC+BA ſich verhalten; und zuſam̃geſetzet/ wie EA gegen DA, alſo EB+2BD+2BC+BA, gegen DB+2BC+BA; und ferner (nach dem 15den des V.) wie EA gegen DA, alſo verdoppelt 2EB+4BD+4BC+2BA gegen 2DB+4BC+2BA; und noch weiter (aus gleichem Grund) wie EA gegen ⅗ von DA, alſo 2EB+4BD+4BC+2BA gegen ⅗ von 2DB+4BC +2BA (d. i. gegen \frac {6}{5}DB+\frac {12}{5}BC+\frac {6}{5}BA.) Wie aber EA gegen ⅗DA, ſo ver- haͤlt ſich auch/ obigem verwechſelten Satz nach/ EB gegen FG. Derowegen verhaͤlt ſich endlich wie EB gegen FG, alſo 2EB+4BD+4BC+2BA gegen \frac {6}{5}DB+\frac {12}{5}BC+\frac {6}{5}BA.

VIII. Nun iſt vorhero im VI. Schluß bewieſen worden/ daß OB gegen EB ſich verhalte/ wie 3AB+6BC+3BD gegen 2AB+4BC+4BD+2BE; und im vorhergehenden VII, daß ferner wie EB gegen FG, alſo 2AB+4BC +4BD+2EB gegen \frac {6}{5}DB+\frac {12}{5}BC+\frac {6}{5}BA. Daher dann auch gleichdurch- gehend/ wie OB gegen FG, alſo 3AB+6BC+3BD gegen \frac {6}{5}DB+\frac {12}{5}BC+ \frac {6}{5}BA. Es verhaͤlt ſich aber 3AB+6BC+3BD (d. i. \frac {15}{5}AB+\frac {30}{5}BC+ \frac{15}{5}BD) gegen \frac {6}{5}BD+\frac {12}{5}BC+\frac {6}{5}BA, wie 15 gegen 6, d. i. wie 5 gegen 2. Derowegen verhaͤlt ſich auch OB gegen FG, wie 5 gegen 2.

M ijIX. Oben Archimedis Anderes Buch von derer Flaͤchen

IX. Oben aber iſt (im III. Schluß) bewieſen/ daß auch OA gegen GH ſich verhalte/ wie 5 gegen 2. Derohalben iſt nun der endliche Schluß/ Krafft des 12ten im V. daß OB+OA (d. i. die ganze Lini AB) gegen FG+GH (d. i. gegen der ganzen Lini FH) ſich verhalte wie 5 gegen 2; oder (welches gleich viel iſt) daß FH ⅖ von AB ſey. Welches hat ſollen be- wieſen werden.

Anmerkungen.

2. Dieweil/ dem erſten Satz nach/ AB gegen BC ſich verhaͤlt/ wie BC gegen BD und wie BD gegen BE; ſo verhaͤlt ſich auch zerteihlet AC gegen BC wie CD gegen BD und wie DE gegen EB, nach dem 17den des V. und wechſelweiß/ AC gegen CD wie BC gegen BD, und CD gegen DE wie BD gegen BE, d. i. wie AB gegen BC, Krafft des 16den im V. &c.

3. Aus dieſem folget dann ferner/ weil ED, DC, CA ſich eben ſo gegen einander ver- halten/ wie EB, BD, BC und BA, daß auch umbgekehret/ CA gegen DC wie BA gegen BC ſich verhalte; und zuſammgeſetzet CA+DC gegen DC, wie BA+BC gegen BC. Es verhaͤlt ſich aber DC ferner gegen ED wie BC gegen BD: derowegen auch gleichdurch- gehend CA+DC gegen ED, wie BA+BC gegen BD. Auf gleichen Schlag folget/ daß BC+BD gegen EB ſich verhalte wie CA+DC gegen ED, oder wie BA+BC gegen BD: Weswegen dann auch verſammlet BC+BD+BA+BC gegen EB+BD ſich verhaͤlt wie BA+BC gegen BD, nach dem 12ten des V. d. i. wie CA+DC ge- gen ED; und wieder umbgekehret/ EB+BD gegen BC+BA+BD+BC (d. i. gegen 2BC+BA+BD) wie ED gegen CA+DC; Welches eben in obigem VII. Schluß fuͤr bekannt angenommen/ hier aber billich bekraͤftiget worden.

Der X. Lehrſatz.

Eines jeden/ von einer Parabel-Flaͤche abgenommenen/ Stuͤkkes Schwaͤre-Punct iſt auf dem mittlern Fuͤnfteihl ſeines/ in fuͤnf gleiche Teihle geteihlten/ Durchmeſſers; und zwar alſo ge- ſetzet/ daß der Teihl ſolches mittlern Fuͤnfteihls/ welches der kleineſten Grund-Lini des Stuͤkkes am naͤchſten iſt/ gegen dem uͤbrigen Teihl eben die Verhaͤltnis habe/ welche da hat eine Coͤr- perliche Figur/ deren Grundflaͤche iſt die Vierung von der groͤſ- ſeſten Grund-Lini des Stuͤkkes/ die Hoͤhe aber gleich der gedop- pelten kleinern Grund-Lini ſambt der groͤſſern; gegen einer andern Coͤrperlichen Figur/ deren Grundflaͤche iſt die Vierung von der kleineſten Grund-Lini/ die Hoͤhe aber gleich der gedoppelten groͤſ- ſern ſambt der kleinen.

Erlaͤuterung.

Es ſey/ Exempels halben/ gegeben die Parabel-Flaͤche ABC, und von derſelben durch die/ mit AC gleichlauffende/ Lini DE abgeſchnitten das Stuͤkk ADEC, deſſen Durchmeſſer ſey GF, nehmlich das abgeſchnittene Stuͤkk von dem Durchmeſſer BF. Ferner ſey gegeben eine Coͤrperliche Figur oder Ekk- Saͤule/ welche zur Grundflaͤche hat die Vierung von AC, zur Hoͤhe aber eine Lini/ die da gleich iſt 2DE+AC (oder aber/ welche zur Grundflaͤche hat die Vie- Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel. die Vierung von AF, zur Hoͤhe aber 2DG+AF) welche Figur wir in- deſſen a nennen wollen; Und wiederumb eine andere Coͤrperliche Figur oder Ekk-Saͤule/ deren Grund- flaͤche iſt die Vierung von DE, die Hoͤhe aber gleich 2AC+DE (oder deren Grundflaͤche iſt die Vierung von DG, die Hoͤhe aber gleich 2AF+DG;) und dieſe heiſ- ſe indeſſen b. Endlich werde der Durchmeſſer GF in fuͤnf gleiche Teihle/ der mittlere fuͤnfte Teihl HK aber in I al-

ſo geteihlet/ daß HI gegen IK ſich verhalte wie a gegen b. Soll nun bewieſen werden/ daß des Stuͤkkes ADEC Schwaͤre-Punct in I ſey.

Beweiß.

Zu deſſen leichterer Bekraͤftigung nehme man eine Lini MN gleich dem Durchmeſſer BF, und mache NO gleich BG. Zwiſchen MN und NO aber ſey die mittlere gleichverhaltende NX, nach dem 13den des VI. B. Endlich finde man zu dieſen dreyen die vierdte gleichverhaltende TN, und mache zu letzt wie TM gegen TN, alſo FH gegen einer aus I gezogenen Lini/ nehmlich IR, nach dem 12ten des VI. Da dann zu merken/ daß nichts daran gele- gen ſey/ ob der Punct R zwiſchen F und G oder zwiſchen B und G falle. Hier- auf ſchlieſſe man folgender Geſtalt:

Dieweil AC und DE gleichlauffend durch den Durchmeſſer BF gezogen ſind/ ſo verhaͤlt ſich/ wie die Vierung AF gegen der Vierung DG, alſo BF gegen BG, d. i. MN gegen NO; (Laut der I. Betr. 7der Folge in V.) Wie ſich aber verhaͤlt MN gegen NO, ſo verhaͤlt ſich die Vierung MN ge- gen der Vierung NX, Krafft des 20ſten im VI. Derowegen/ wie ſich ver- haͤlt die Vierung AF gegen der Vierung DG, alſo verhaͤlt ſich auch die Vie- rung MN gegen NX; und folgends/ (nach dem 22ſten des VI.) wie die Lini AF gegen DG, alſo MN gegen NX; und noch ferner (vermoͤg des 37ſten im XI. B.) wie der Wuͤrfel (eubus) von AF gegen dem Wuͤrfel DG, alſo der Wuͤrfel MN gegen dem Wuͤrfel NX. Wie ſich aber der Wuͤr- fel AF gegen dem Wuͤrfel DG verhaͤlt (d. i. der Wuͤrfel MN gegen dem Wuͤrfel NX) ſo verhaͤlt ſich die Parabel-Flaͤche ABC gegen der Parabel- Flaͤche DBE (Beſihe folgende 1. Anmerkung) und derowegen auch/ (nach der Folge des 33ſten im XI. B. weil MN die erſte/ NT aber die vierdte gleichverhaltende iſt) wie MN gegen NT, alſo die Parabel ABC gegen der Parabel DBE; und zerteihlet/ wie MT gegen TN, alſo das Stuͤkk ADEC gegen der Parabel DBE. Es iſt aber oben gemachet/ wie MT gegen TN, alſo FH gegen IR. Derowegen/ wie FH (d. i. ⅗ von FG) gegen IR, alſo verhaͤlt ſich ADEC gegen DBE. Dieweil nun ferner die Coͤrperliche Figur a und der Wuͤrfel von AF einerley Grundflaͤchen haben/ ſo werden ſie ſich gegen einander verhalten wie ihre Hoͤhen/ vermoͤg des 31ſten im XI. und M m iijdero Archimedis Anderes Buch von derer Flaͤchen derowegen der Wuͤrfel von AF gegen a ſich verhalten/ wie AF gegen 2DG+ AF, (oder/ welches gleich viel iſt/ wie AC gegen 2DE+AC) d. i. vermoͤg obbewieſenens/ wie MN gegen 2NX+MN; [Auf gleiche Weiſe folget/ daß der Wuͤrfel von DG gegen b ſich verhalte wie DG gegen 2AF+DG, d. i. wie NX gegen 2MN+NX, d. i. wie NT gegen 2NO+NT.] Wei- len dann nun auch umbgekehret/ a gegen dem Wuͤrfel von AF auf einer Sei- ten ſich verhaͤlt/ wie auf der andern 2NX+MN gegen MN; ferner aber in der erſten Reihe der Wuͤrfel von AF gegen dem Wuͤrfel DG, wie in der an- dern MN gegen NT; (als obbewieſen) und noch weiter in der erſten Reihe der Wuͤrfel DG gegen b, wie in der andern NT gegen 2NO+NT: ſo ver- haͤlt ſich auch gleichdurchgehend/ a gegen b (d. i. vermoͤg obigen Satzes/ HI gegen IK) wie 2NX+MN gegen 2NO+NT, Krafft des 22ſten im V. B. und zuſammgeſetzet (nach dem 18den des V.) HK gegen IK, wie 2NX+2NO+MN+NT gegen 2NO+NT. Derohalben/ ſo man in beyden gleichen Verhaͤltniſſen die forderſte gleichverhaltende fuͤnf-fach ſetzet/ ver- halten ſich auch 5HK (d. i. GF) gegen IK, wie 10NX+10NO+5MN +5NT, gegen 2NO+NT. Es verhaͤlt ſich aber auch GF gegen KF (nehm- lich 5 gegen 2) wie 10NX+10NO+5MN+5NT, gegen 4NX+ 4NO+2MN+2NT. Derowegen verhaͤlt ſich auch ebenberuͤhrte Lini GF gegen IK und KF zuſammen (d.i. gegen IF) wie 10NX+10NO+5MN +5NT gegen 2NO+NT, und 4NX+4NO+2MN+2NT zu- ſammen (d. i. gegen 4NX+6NO+2MN+3NT) vermoͤg folgender 2. Anmerkung. Jetzund erinnere man ſich/ daß oben MN gleich genommen ſey der ganzen Lini BF; NO aber gleich BG, und folgends auch MO gleich FG: Jtem daß wie TM gegen TN, alſo FH gegen RI gemachet ſey/ und alſo auch umbgekehret wie NT gegen TM, alſo IR gegen FH, d. i. ⅗ von FG oder MO ſich verhalte. Endlich bemerke man/ daß es hier mit denen vier gleichver- haltenden Lineen/ MN, NX, NO und NT, allerdings die Beſchaffenheit ha- be/ welche in vorhergehendem IX. Lehrſatz enthalten iſt (dann die kleineſte NT verhaͤlt ſich gegen TM, dem Uberreſt der groͤſſeſten uͤber die kleineſte/ wie eine angenommene Lini IR gegen ⅗ von MO, dem Uberreſt der groͤſſeſten uͤber die dritte: und wiederumb/ wie die Summa aus 2MN+4NX+6NO+ 3NT gegen der Summe von 5MN+10NX+10NO+5NT, alſo ver- haͤlt ſich eine andere neu-angenommene Lini IF gegen GF, d. i. gegen MO, dem Uberreſt der groͤſſeſten uͤber die dritte/ wie bißhero erwieſen.) Daher dann endlich (vermoͤg beſagten IX. Lehrſatzes) folget/ daß RF ⅖ ſey von MN, d. i. von BF; und alſo/ Krafft des vorhergehenden VIII. Lehrſatzes/ der Punct R der Parabel-Flaͤche ABC Schwaͤre-Punct ſey. So ich nun ſetze den Schwaͤre-Punct der Parabel-Flaͤche DBE zu ſeyn in Q, ſo verhaͤlt ſich BQ gegen QG wie 3 gegen 2, Krafft des VIII. Lehrſatzes/ und folgends BG gegen BQ wie 5 gegen 3. Es vorhaͤlt ſich aber auch BF gegen BR, wie 5 ge- gen 3. Derowegen/ wie die ganze BF gegen der ganzen BR, alſo der Teihl BG gegen dem Teihl BQ: Weswegen dann auch die uͤbrige GF gegen der uͤbrigen QR ſich verhalten wird wie BF gegen BR, d. i. wie 5 gegen 3; und alſo QR ⅗ von GF ſeyn. Es iſt aber auch FH ⅗ von GF; und darumb ſind QR und FH einander gleich. Oben aber iſt bewieſen/ daß das Stuͤkk AD EC gegen der uͤbrigen Parabel-Flaͤche DBE ſich verhalte/ wie FH (d. i. QR) Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel. QR) gegen RI: Woraus dann nun endlich folget (vermoͤg des VIII. Lehr- ſatzes im I. Buch) daß I der Schwaͤre-Punct des abgenommenen Stuͤkkes ADEC ſey: Welches eben hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkungen.

1. Hier muß zu foͤrderſt dieſes noch gewiß gemachet werden/ daß ABC gegen DBE ſich verhalte/ wie der Wuͤrfel AF gegen dem Wuͤrfel DG. Solches nun wird/ nach An- leitung Eutokii/ folgender Geſtalt verrichtet: Wann man im Sinn innerhalb beyden Para- beln beſchreibet die Dreyekke ABC, DBE, ſo verhaͤlt ſich (vermoͤg der Parabel-Vierung) wie die Parabel ABC gegen ihrem gleichſo-genannten Dreyekk/ alſo die Parabel DBE ge- gen ihrem Dreyekk; und verwechſelt/ die Parabeln gegen einander/ wie ihre Dreyekke/ oder (welches gleich viel iſt/ vermoͤg des 15den im V. B.) wie die Helften ihrer Dreyekke/ nehmlich wie ABF gegen DBG. Nun aber haben dieſe beyde Dreyekke ABF und DBG bey G und F gleiche Winkel/ weil AF und DG gleichlauffen/ nach dem 29ſten im I. B. Derowegen iſt ihre Verhaͤltnis (und alſo auch die Verhaͤltnis der Parabel ABC gegen der Parabel DBG) zuſammgeſetzet aus beyden Verhaͤltniſſen/ der Lini AF gegen DG und BF gegen BG, vermoͤg der Folge des 23ſten im VI. B. Es verhaͤlt ſich aber wie BF gegen BG, alſo die Vierung AF gegen der Vierung DG (Laut der I. Betr. 7der Folge in V.) Derohalben iſt die Verhaͤltnis der Parabel ABC gegen der Parabel DBG zuſammgeſetzet aus zweyen Verhaͤltniſſen/ nehmlich der Lini AF gegen der Lini DG und der Vierung von AF gegen der Vierung von DG. Eben aus dieſen beyden Verhaͤltniſſen aber iſt zuſammge- ſetzet die Verhaͤltnis des Wuͤrfels von AF gegen dem Wuͤrfel von DG, vermoͤg des 33ſten im XI. B. und der 10den Worterklaͤrung im V. B. [Beſihe hierbeneben unſere 1. Anmerkung bey dem IV. Lehrſatz des II. Buchs von der Kugel und Rund- Saͤule;] Daß alſo ſchließlichen die Parabel ABC gegen der Parabel DBG eben die Ver- haͤltnis hat/ welche da hat der Wuͤrfel von AF gegen dem Wuͤrfel von DG.

2. Noch eines iſt/ zu mehrerer Gewißheit obigen Beweiſes/ zu erlaͤutern/ nehmlich die Waarheit dieſes allgemeinen Lehrſatzes/

Daß/ wann ein Ding gegen zweyen (gegen jedem inſonderheit) ſich verhaͤlt/ wie ein anders gegen zweyen anderen/ auch abſonderlich; alsdann auch das erſte gegen ſeinen zweyen zuſammgenommenen ſich verhalte wie das andere gegen ſeinen zweyen auch zuſammgenommen.

Zum Exempel/ wann a gegen b ſich verhaͤlt wie ea gegen eb, und wiederumb a gegen c wie ea gegen ec; daß auch a gegen b+c ſich verhalte/ wie ea gegen eb+ec: Wie dann in dieſem allgemeinen Exempel die Waarheit des Lehrſatzes allbereit fuͤr Augen liget.

Zugab.

BEy Beſchluß dieſes Andern Buches Archimedis/ wollen wir denen Anfaͤnglingen zum beſten (gleich wie wir bey dem Erſten auch gethan) die Haupt-Betrachtungen deſſelben Frags- oder Aufgabs-weiſe fuͤrſtellen. Sey derowegen

Die Erſte Aufgab.

Einer jeden gegebenen Parabel-Flaͤche Gewicht-Mittel finden.

Es ſey gegeben eine Parabel-Flaͤche ABC (Nimm fuͤr dich die Figur des obigen VIII. Lehrſatzes) und zu finden ihr Gewicht-Mittel oder Schwaͤre-Punct. Solches zu vollbringen teihle den Durchmeſſer BD in Q, alſo daß BQ anderthalbmal ſo groß ſey als QD; oder deutlicher/ teihle BD in fuͤnf gleiche Teihle/ und zehle von D an aufwerts zwey/ oder von B an herunterwerts drey/ ſolche Teihle biß in Q: ſo wird eben der Punct Q das be- gehrte Gewicht-Mittel ſeyn/ vermoͤg erſtangezogenen VIII. Lehrſatzes.

Die Archim. Anderes B. von derer Flaͤchen Gleichwicht. und Gewicht-Mittel.

Die Andere Aufgab.

Eines jeden/ von einer Parabel-Flaͤche mit deroſelben Grund-Lini gleichlauffend-abgeſchnittenen/ Stuͤkkes Schwaͤre-Punct zu beſtimmen.

Es ſey (in der Figur des vorhergehenden X. Lehrſatzes) von einer Parabel-Flaͤche ABC abgeſchnitten das Stukk ADEC, durch eine mit AC gleichlauffende Lini DE. Soll nun bemeldten Stuͤkkes Schwaͤre-Punct kunſtrichtig beſtimmet werden; Welches dann folgender Geſtalt verrichtet wird: Nimm eine Lini MN gleich dem Durchmeſſer der ganzen Parabel-Flaͤche BF; und teihle dieſelbe in O, wie BF in G geteihlet iſt/ nach dem 30den des VI. B. Finde ſo dann zwiſchen MN und NO die mittlere gleichverhaltende NX, nach dem 13den/ und endlich zu dieſen dreyen die vierdte gleichverhaltende NT, nach dem 12en deſſelben VI. B. Teihle ferner des gegebenen Parabel-Stuͤkkes Durchmeſſer GF in fuͤnf gleiche Teihle/ und das mittlere Fuͤnfteihl HK endlich in I alſo/ daß HI gegen IK ſich verhalte/ wie NX zweymal genommen ſambt MN gegen NO zweymal ſambt NT, nach Anleitung des 10den im VI. ſo wird I der verlangte Schwaͤre-Punct ſeyn.

Dann in dem Beweiß des vorhergehenden X. Lehrſatzes iſt unter andern geſchloſſen wor- den/ daß 2NX+MN gegen 2NO+NT ſich verhalte wie a gegen b, (d. i. wie eine Coͤrperliche Figur/ deren Grundflaͤche iſt die Vierung von AF, die Hoͤhe aber gleich 2DG +AF, gegen einer andern Coͤrperlichen Figur/ welche zur Grundflaͤche hat die Vierung von DG, die Hoͤhe aber gleich 2AF+DG.) Dieweil nun die Aufloͤſung gegenwaͤrtiger Aufgab machet HI gegen IK wie 2NX+M gegen 2NO+NT, ſo muß auch HI ge- gen IK ſich verhalten wie a gegen b, und alſo (Krafft bemeldten X. Lehrſatzes) I der Schwaͤre-Punct des Stuͤkkes ADEC ſeyn.

Aus dieſem bißher-geſagtem nun wird hoffentlich der goͤnſtige Leſer dieſe ſchoͤne Betrach- tungen Archimedis von derer Flaͤchen Schwaͤre-Puncten zur genuͤge gefaſſet haben; dar- bey aber zugleich beobachten eine anmuhtige Aehnlichkeit zwiſchen beyden lezten Lehrſaͤtzen des Erſten/ und denen beyden lezten des Andern Buchs/ welches er/ ohne mein ferneres Anweiſen/ leichtlich ſelbſten/ und nicht ohne Beluſtigung/ bemerken wird. So ſey demnach/ mit GOtt/

Das Ende derer Buͤcher Archimedis von denen Gleichwichtigen.

NB. Welcher geſtalt dieſe zwey Aufgaben/ als der Zwekk dieſes ganzen Buchs/ vermittelſt der Buchſtaben-Rechnung/ ohne vorhergehende weitlaͤuffige Beweißtuhme Archimedis/ moͤgen aufgeloͤſet werden/ wollen wir am Ende des folgenden Buchs/ von der Parabel-Vierung/ weiſen.

Archimedis Parabel-Vierung.

Der XVII. und XXIV. Lehrſatz. Ein Dreyekk zur Parabel-Flaͤche in gleicher Hoͤh/ auf gleichem Fuß/ Sich jederzeit (diß ich verſpreche) wie 3 zu 4 verhalten muß.

Kimſtliebender geneigter Leſer!

GLeich wie dieſes gegenwaͤrtige Buͤchlein ſich in ſeinen Beweiß- thumen unterſchiedlich auf das Erſte Buch von denen Gleichwich- tigen gruͤndet: ſo beruhet im Gegenteihl die Beſtimmung des Schwaͤrepuncts in einer Parabelflaͤche (welches der endliche Zwekk iſt des Andern Buchs von denen Gleichwichtigen) einig und allein auf der Para- bel-Vierung/ als dem Jnnhalt dieſes vorhabenden Werkleins/ allermaſ- ſen aus dem Beweiß des VIII. Lehrſatzes in gedachtem andern Buch von denen Gleichwichtigen klaͤrlich zu erſehen iſt; alſo daß/ wann man der Ordnung genau nachgehen wolte/ dieſes Buch mitten zwiſchen die zwey vorhergehende muͤſte geſetzet werden/ und bißher bloß darumb jenen nach- geſetzet worden/ damit nicht durch dieſes Zwiſchenkunft die alte Benen- nung des erſten und andern Buchs von denen Gleichwichtigen muͤſte ver- aͤndert und unterbrochen werden. Welches hier alſo/ gleichſam im Vor- beygehen/ billich hat ſollen erinnert werden.

Archimedis Parabel-Vierung.

Archimedes dem Doſitheo alles Wol- ergehen!

NAch dem ich vernommen hatte/ daß Conon/ unſer noch einiger Freund/ geſtorben/ du aber ehdeſſen demſelben wol bekannt geweſen/ und in der Meßkunſt wol erfahren waͤreſt; hab ich zwar den Todt eines ſo geneigten Freundes/ und in denen Mathematiſchen Wiſſenſchafften verwunderli- chen Sinnes/ hertzlich betrauret/ darneben aber mir alsbald fuͤrgenommen/ Dir/ wie vorhin dem Conon oft geſchehen/ zu uͤberſenden eine meiner Geo- metriſchen Betrachtungen/ welche vorhero zwar von niemanden beruͤhret/ jezt aber von uns/ und zwar erſtlichen mechaniſch oder handgriffs-weiß/ erfun- den/ nachmals auch kunſtrichtig erwieſen worden. Es haben ſich zwar etli- che/ vor uns in der Meßkunſt geuͤbte/ Sinnen bemuͤhet zu erweiſen die Moͤg- lichkeit/ Einer jeden gegebenen Scheibe oder Scheibenſtuͤkk ein glei- ches Rechtekk zu finden; und nachmals verſuchet (a) die/ von eines gan- zen Kegels Durchſchnitt und einer geraden Lini begriffene Flaͤche in eine Vie- rung zu verwandeln/ hierzu als bekannt annehmende etliche nicht leicht zugeb- liche Saͤtze/ welche von denen meiſten/ weil ſie dieſelbe wahr zu ſeyn nicht be- finden koͤnnen/ verworfen worden. Niemand aber wiſſen wir/ der ſich unter- fangen haͤtte/ die/ von eines rechtwinklichten Kegels Durchſchnitt begriffene/ Flaͤche (eine Parabel-Flaͤche) in eine Vierung zu bringen/ welches jeziger Zeit von uns erfunden iſt. Dann es wird erwieſen: (b) Daß jede/ von einer geraden Lini und dem Durchſchnitt eines rechtwinklichten Kegels begriffene/ Flaͤche uͤberdreyteihlig (ſesquitertia) ſey des Dreyekkes/ welches mit derſelben einerley Grund-Lini und gleiche Hoͤhe hat; und ſolches durch Huͤlfe dieſes folgenden Lehenſatzes: (c) Daß nehmlich moͤglich ſey/ den Reſt zweyer ungleichen Groͤſſen/ mit welchem die kleineſte von der groͤſſeſten uͤbertroffen wird/ ſo oftmals ihme ſelb- ſten zuzuſetzen/ biß endlich die Summe jede fuͤrgegebene/ nicht un- endliche Groͤſſe uͤbertreffe; Welches Huͤlf-Satzes auch die alte Meß- kuͤnſtler ſich bereit bedienet haben. Dann hierdurch haben ſie bewieſen/ (d) Daß alle und jede Scheiben eine zweyfache/ und alle Kugeln eine N ijdrey- Archimedis dreyfache/ Verhaͤltnis ihrer Durchmeſſer gegen einander haben. Jtem/ Daß jede Spitz-Saͤule der dritte Teihl ſey einer Ekk-Saͤule/ welche mit jener einerley Grundflaͤche und gleiche Hoͤhe hat. Jn- gleichen/ Daß jeder Kegel der dritte Teihl ſey einer Rund-Saͤule/ die mit ihm einerley Grundflaͤche und gleiche Hoͤhe hat. Und dan- noch hat man alle erſtbeſagte Betrachtungen nichts ungewiſſer zu ſeyn erachtet/ als andere/ ſo ohne ſolchen Huͤlf-Satz erwieſen worden. Daher wir dann auch unſere obgemeldte ſicher auf gleichem Grund geſtellet haben/ und Dir dieſelbe hiermit uͤberſchikken/ und zwar wie wir dieſelbe erſtlich handgriffs-weiß nach Anleitung der Waagkunſt erforſchet/ und ſo dann auch aus unfehlbaren Gruͤnden der Meßkunſt erwieſen haben. Zu welchem Ende wir auch etliche Gruͤnde von denen Kegel-Lineen voran ſchikken/ deren wir in beſagtem Beweiß- thum werden benoͤhtiget ſeyn. Lebe wol!

Anmerkungen. (a) Dieſe Vorrede Archimedis iſt in ihrer eigentlichen Grund-Sprach voller Schreib- Fehler und deswegen ſehr unverſtaͤndlich. Daher wir uns dann bemuͤhet/ mehr ſeine Mei- nung als ſeine Wort zu uͤberſetzen. Hier zwar ſind wir vielmehr bey ſeinen Worten geblieben/ weil wir ihrer Meinung nicht allerdings verſichert waren; in dem nehmlich ungewiß/ was durch eines ganzen Kegels Durchſchnitt muͤſſe verſtanden werden. Es ſcheinet zwar/ als ob hierdurch die jenige Lini gemeinet waͤre/ die er ſonſten eines ſpitzwinklichten Kegels Durch- ſchnitt heiſſet/ wir aber eine ablange Rundung zu nennen pflegen: dann in Erzielung derſelben wird der Kegel ganz von einer Seite biß auf die andere durchſchnitten/ da hingegen die Para- boliſche und Hyperboliſche Schnitte nicht durch den ganzen Kegel/ ſondern nur durch einen Teihl deſſelben gehen; und ſchikket ſich im uͤbrigen die Sache wol auf das vorhergehende/ weil aus erfundener Kreiß- oder Scheiben-Vierung die Vierungen ſolcher ablangen Rundungen fuͤr ſich ſelbſten folgen/ vermoͤg deſſen/ was im VI. Lehrſatz von denen Kegel- und Kugel-aͤhnli- chen Figuren erwieſen worden. Allein bey ſo geſtalten Sachen muͤſte es nur heiſſen/ die von eines ganzen Kegels Durchſchnitt begriffene Flaͤche/ ꝛc. die uͤbrige Wort aber/ (und einer geraden Lini) muͤſten auſſen bleiben; wie ſie dann ohne das ſcheinen verſetzet zu ſeyn/ weil ſie in denen bald hernach folgenden Worten ermangeln/ da ſie billich ſolten geſetzet ſeyn/ in dem es heiſſen ſolte: Niemand aber wiſſen wir/ der ſich unterfangen haͤtte/ die/ von ei- nes rechtwinklichten Kegels Durchſchnitt (NB.) und einer geraden Lini begriffene Flaͤche/ ꝛc. (b) Jn folgenden XVII. und XXIV. Lehrſaͤtzen. (c) Dieſes iſt ein unbeweißlicher oder Beweiſens nicht benoͤhtigter Grundſatz/ wann man nehmlich (welches fuͤr ſich ſelbſten iſt) ſolche Groͤſſen mit einander vergleichet/ welche einerley Art und Geſchlechtes ſind/ nehmlich Lineen mit Lineen/ Flaͤchen mit Flaͤchen/ ꝛc. Dann wei- len zu jeder gegebenen Groͤſſe immerfort unendlich etwas hinzugeſetzet kan werden/ nehmlich entweder etwas anders ihres gleichen oder ſie ſelbſten/ ſo muß dieſelbe durch oftmalige Verviel- faͤltigung ihrer ſelbſten endlich jede gegebene Groͤſſe erreichen und folgends auch uͤberſteigen. Dann wo ſolches nicht geſchaͤhe/ muͤſte die gegebene Groͤſſe unendlich ſeyn/ deſſen Widerſpiel doch in beſagtem Grundſatz geſetzet iſt. (d) Dieſe nacheinander folgende Betrachtungen ſind zu finden beym Euclide in dem 2. 18. 7. und 10den Lehrſaͤtzen des X. Buchs; welche zwar unmittelbar nicht auf dieſem Grund- ſatz Archimedis/ aber doch auf dem 1ſten des X. beruhen/ deſſen einige Stuͤtze und Grund-Saͤule jener iſt.

Der Parabel-Vierung.

Der I. Lehrſatz.

Wann in einer Parabel ABC eine gerade Lini BD entweder dem Durchmeſſer gleichſtehend/ oder der Durchmeſſer ſelbſten iſt; AC aber gleichlauffet der jenigen Lini/ welche die Parabel in B be- ruͤhret/ ſo werden AD und DC einander gleich ſeyn: Und wann AD und DC einander gleich ſind/ ſo werden AC und die Beruͤh- rende in B einander gleichlauffen.

Beweiß.

Dieſes iſt allbereit erwieſen in der 5ten und 6ten Folge der Erſten/ und in der zweyten Betr. in V. Dahin dann der goͤnſtige Leſer hier- mit gewieſen wird; bevor ab wann er des Apol- lonii Buͤcher nicht zur Hand hat/ allwo ſonſten eben dieſes/ nehmlich (wie ſie Flurantius anzie- het) in dem 46ſten des I. und dem 5ten des II. Buchs/ zu finden iſt.

Der II. Lehrſatz.

Wann in einer Parabel/ ABC, eine gerade Lini/ BD, entwe- der dem Durchmeſſer gleichſtehend/ oder der ſelbſte Durchmeſſer iſt; AC aber gleich- lauffet der/ in B beruͤhrenden/ Lini; und endlich EC die Parabel in C beruͤhret: ſo werden BD und BE einander gleich ſeyn.

Beweiß.

Dieſes iſt abermal die ſelbſte 2te Folge der zweyten Betrachtung in V. ſonſten (nach Fluran- tii Zeugnis) von Apollonio bewieſen im 35ſten des I. Buchs.

Der III. Lehrſatz.

Wann in einer Parabel/ ABC, eine gerade Lini/ BD, entwe- der dem Durchmeſſer gleichſtehend/ oder der Durchmeſſer ſelbſten iſt; und der/ in B beruͤhrenden etliche gleichlauffende/ AD und EF, gezogen werden/ ſo verhaͤlt ſich BD gegen BF, wie die Vierung AD gegen der Vierung EF.

N n iijBeweiß. Archimedis

Beweiß.

Wiederumb krafft der 7den Folge der Er- ſten und der ſelbſten zweyten Betrachtung in V. oder des 20ſten im I. Buch Apollonii. Und daher kombt es nun/ daß Archimedes (wel- cher/ Flurantii Meinung nach/ eben der Urſchrei- ber ſolcher Buͤcher iſt) allen dieſen dreyen Lehr- ſaͤtzen keinen Beweiß beyfuͤget/ ſondern nach deroſelben bloſſer Erzehlung/ endlich ſchlieſſet: Dieſes aber iſt in denen Anfangs-Buͤchern von denen Kegel- Lineen erwieſen worden.

Der IV. Lehrſatz.

Es ſey eine Parabel-Flaͤche ABC, und mitten aus AC aufge- zogen die Lini BD, welche da ſey dem Durchmeſſer gleichlauffend/ oder der Durchmeſſer ſelbſten; und die durch B und C gezogene Lini werde nach Belieben verlaͤngert: So man nun noch eine andere/ mit BD gleichlauffende und die beyde AC und CB durchſchneiden- de/ Lini/ FHG oder FGH, ziehet/ wird FH gegen GH ſich verhal- ten/ wie AD gegen DF.

Beweiß.

So man ziehet KG gleichlauffend mit AC, ſo verhaͤlt ſich wie BD gegen BK, d. i. (Laut des 2ten im VI.) wie BC gegen BI, alſo/ vermoͤg des vorher- gehenden III. Lehrſatzes/ die Vierung AD oder DC gegen der Vierung KG oder DF, d. i. (abermal krafft des 2ten und 22ſten im VI.) die Vierung CB gegen der Vierung BH. So ſind nun (vermoͤg des umbgekehrten 20ſten im VI. B.) die drey Lineen BC, BH und BI ordentlich-gleichverhaltend/ und ver- haͤlt ſich wie CH gegen HI, alſo CB gegen BH, Laut folgender Anmerkung. Wie aber CB gegen BH, alſo CD gegen DF. Derowegen verhaͤlt ſich auch wie CH gegen HI, alſo CD gegen DF. Wie aber CH gegen HI, alſo verhaͤlt ſich FH gegen HG, abermal krafft des 2. und 4ten im VI. Derowegen ver- haͤlt ſich endlich wie CD oder AD gegen DF, alſo FH gegen HG. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmer- Parabel-Vierung.

Anmerkung.

Dieweil BC, BH und BI ordentlich-gleichverhaltend ſind/ und alſo im erſten Fall/ oder in der erſten Figur/ die ganze BC gegen der ganzen BH ſich verhaͤlt/ wie BH, ein Teihl des vorigen ganzen/ gegen BI, einem Teihl des andern ganzen/ ſo wird auch CH das uͤbrige gegen dem andern uͤbrigen HI ſich verhalten/ wie die ganze CB gegen der ganzen BH. Jngleichen/ weil in der andern Figur BC gegen BH ſich verhaͤlt wie BH gegen BI, und umbgekehret BH gegen BC, wie BI gegen BH; ſo wird auch zuſammgeſetzet CH gegen CB ſich verhalten wie HI gegen BH; und wechſelweiß abermal CH gegen HI wie CB gegen BH.

Der V. Lehrſatz.

Es ſey eine Parabel-Flaͤche ABC, und aus A die Lini AF auf- gezogen gleichſtehend dem Durchmeſſer BD: durch C ſtreiche fer- ner eine beruͤhrende/ und die vorige betreffende in F. So man nun innerhalb des Dreyekkes AFC ziehet eine andere/ mit AF gleichlauffende Lini (wie DE oder KL) ſo wird dieſe letzere gezogene von der Parabel in gleicher Verhaͤltnis zerteihlet/ wie die Lini AC von eben derſelben letztgezogenen.

Beweiß.

Das iſt/ DB wird gegen BE ſich verhalten wie AD gegen DC, oder KH gegen HL, wie AK gegen KC. Dann im erſten Fall/ wann BD der Durch- meſſer iſt/ erhellet die Sache alſobald aus obigem I. und II. Lehrſatz. Jn denen andern Faͤllen/ weil KL dem BE gleichlauffet/ und BD dem BE gleich iſt/ ſo muͤſſen auch (wann man durch B aus C eine Lini ziehet) KI und IL einander gleich ſeyn/ ver- moͤg des 2ten im VI. und alſo IL gegen KI ſich verhalten wie CD gegen DA; und zuſammgeſetzet KL gegen KI, wie CA gegen DA; und wechſelweiß KL gegen CA, wie KI gegen DA. Nun verhaͤlt ſich aber KI gegen DA (Krafft folgender 1. An- merkung) wie KH gegen AK: derowegen auch KL gegen CA, wie KH gegen AK, und folgends auch das uͤbrige Teihl HL gegen dem uͤbrigen Teihl KC, wie KH gegen AK, Laut des 19den im V. B. Und endlich auch wechſelweiß/ HL gegen KH wie KC ge- gen AK; und umbgekehret/ KH gegen HL, wie AK gegen KC. Welches zu beweiſen war.

Anmerkungen.

1. Vermoͤg des vorhergehenden IV. Lehrſatzes/ verhaͤlt ſich KI gegen IH, wie DA ge- gen DK, und dahero zuſammgeſetzet KH gegen IH, wie AK gegen DK; und verkehret/ (nach der 2. Folge des 19den im V. B.) KH gegen KI, wie AK gegen DA; und umb- gewendet KI gegen KH, wie DA gegen AK; und wechſelweiß KI gegen DA, wie KH gegen AK.

2. Dieweil naͤchſt am End geſchloſſen worden/ daß HL gegen HK ſich verhalte/ wie KC gegen AK, ſo verhaͤlt ſich auch zuſammgeſetzet/ LK gegen HK, wie AC gegen AK; Welches Schluſſes wir beſſer unten werden benoͤhtiget ſeyn.

Der Archimedis

Der VI. Lehrſatz.

Man bilde ihm nun das bißher-betrachtete ein/ als waag- oder Horizont-gleich/ auf einer geraden Lini ABC; und zwar alſo/ daß die Teihle bey D unter ſich/ die gegen uͤber ſtehende aber uͤber ſich gerichtet ſeyen: Das Dreyekk BDC ſey rechtwinklicht bey B, und die Seite BC gleich dem halben Teihl der Waag-Stange AC. Wann nun alſo AB dem BC gleich/ das Dreyekk aber in denen Puncten B und C aufgehaͤnget iſt/ und eine andere/ in A aufge- haͤngte Flaͤche/ F, dem Dreyekk BDC gleichwiget: ſo ſage ich/ ſolche Flaͤche F ſey der dritte Teihl des Dreyekkes BDC.

Beweiß.

Wann man BC in E alſo teihlet/ daß EC zweymal ſo groß als BE, oder BE der dritte Teihl von BC iſt; nachmals EK gleichlauffend mit BD ziehet/

und in H halbteihlet/ ſo iſt H der Schwaͤre-Punct des Dreyekkes BDC, Laut des XV. Lehrſatzes 2ter An- merkung im I. B. von denen Gleichwichtigen. Dieweil nun das Dreyekk BDC, wann es alſo ganz an der Waag-Stange BC hanget/ der Flaͤche F gleich wiget/ ſo wird es auch eben derſelben gleichwaͤgen/ wann es nur bey ſeinem Schwaͤre- Punct H in E aufgehaͤnget wird/ vermoͤg nachfolgender Anmerkung: und dannenhero muß gedachtes Dreyekk BDC gegen der Flaͤche F ſich verhalten/ wie die Weite AB gegen der Weite BE, Krafft des VI. oder VII. Lehrſatzes im I. B. von denen Gleichwichtigen. Nun iſt aber AB oder BC dreymal ſo groß als BE, Laut obiger Vorbereitung; und derowegen auch BDC drey- mal ſo groß als F. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkung.

Das einige bedarf hier Erlaͤuterns/ daß/ wann das Dreyekk BDC von der Waag- Stange BC abgeloͤſet/ und nur mit ſeinem Schwaͤre-Punct H, in dem Punct E nach der ſenkrechten Lini KE aufgehaͤnget werde/ es der Flaͤche F dannoch wie zuvor gleichwaͤge; Wel-

ches dann folgender Geſtalt erhel- let/ und ſo dann auf jede andere gleichwichtige Dinge/ als allgemein kan gezogen werden: Derer beyden Teihle des Dreyekkes/ welche die Lini ek machet/ Schwaͤrepuncten ſeyen g und i, zuſammgezogen durch die Lini gi, welche nohtwendig durch h ſtreichet/ vermoͤg des VIII. Lehrſatzes 2ter Anmerkung im I. Buch von denen Gleichwich- eigen. Wie ſich nun ih gegen hg, oder (Krafft des 2ten im VI.) me gegen el verhaͤlt/ ſo ver- Parabel-Vierung. ſo verhaͤlt ſich das Teihl bk gegen dem Teihl kec, weil ſie in h gleichwaͤgen/ Krafft des VI. oder VII. Lehrſatzes in angezogenem Buch. Und muͤſſen alſo umbgekehret/ beſagte Teihle auch in e gleichwaͤgen in denen Weiten le und em. Derowegen wigt das ganze Dreyekk bdc, wann es in e aufgehaͤnget wird/ eben ſo viel/ als beyde in l und m aufge- haͤngte Teihle bk und ekc, oder als alle andere Teihle/ in welche das Dreyekk koͤnnte geteih- let werden/ wann ſie nach denen/ aus ihren Schwaͤrepuncten aufgezogenen/ ſenkrechten Li- neen angehaͤnget werden; d. i. als das ganze Dreyekk bdc, wann es alſo ganz an der Waag- Stange bc hanget. W. Z. B. W.

Folge.

Hieraus iſt auch offenbar/ daß/ wann F der dritte Teihl iſt von BDC, ſie in vorigen Weiten gleichwaͤgen oder inne ſtehen.

Der VII. Lehrſatz.

Es ſey wiederumb eine Waag-Stange die Lini AC, deren Mit- tel B, und werde bey B und C angehaͤnget CDG ein ſtumpfwink- lichtes Dreyekk/ deſſen Grund-Lini iſt DG, die Hoͤhe aber gleich der halben Waag-Stange BC; aus A aber werde aufgehaͤnget eine Flaͤche F, die da gleichwaͤge dem Dreyekk CDG in ſeiner gegen- waͤrtigen Stellung: So wird nun gleicher geſtalt erwieſen/ daß die Flaͤche der dritte Teihl des Dreyekkes CDG ſey.

Beweiß.

Zu deſſen leichterem Beweiß/ haͤnge man neben der Flaͤche F, aus dem Punct A auf noch eine andere Flaͤche L, die da gleichwaͤge dem Dreyekk BGC, und alſo/ vermoͤg des vorher- gehenden Lehrſatzes/ deſſelben dritter Teihl ſey. Dieweil nun L gleichwigt dem Dreyekk BGC, und F dem CGD, ſo muß auch L ſambt F gleichwaͤgen dem gan- zen Dreyekk BDC, und alſo/ Laut vorhergehenden Lehr- ſatzes/ deſſelben dritter Teihl

ſeyn. Nun iſt aber das weggenommene L der dritte Teihl des weggenomme- nen Dreyekkes BGC. Derowegen muß auch (vermoͤg des 19den im V. B.) das uͤbrige F des uͤbrigen Dreyekkes CGD dritter Teihl ſeyn. W. Z. B. W.

Der VIII. Lehrſatz.

Es ſey abermal eine Waag-Stange AC, und dero Mittel B; hinter dem B aber/ in E und C, werde aufgehangen ein/ bey E recht- winklichtes/ Dreyekk EDC; aus A aber die Flaͤche F, welche beſag- tem Dreyekk in ſeiner jezigen Stellung gleichwaͤge; wie ſich aber verhaͤlt AB gegen BE, ſo verhalte ſich das Dreyekk EDC gegen einer andern Flaͤche/ K: So ſage ich nun/ die Flaͤche F ſey kleiner als das Dreyekk EDC, groͤſſer aber als die Flaͤche K.

O oBeweiß. Archimedis

Beweiß.

Man finde (nach der 1. Aufgab im Anhang des I. Buchs von denen Gleichwichtigen) den Schwaͤrepunct des Dreyekkes H, und ziehe aus dem-

ſelben auf die ſenkrechte Lini HG. Dieweil nun (Laut der Anmer- kung des vorhergehenden VI. Lehrſatzes) das Dreyekk EDC aus dem Punct G gleichwigt der Flaͤche F, ſo verhaͤlt ſich F gegen CDE, wie BG gegen AB, nach dem VI. und VII. des I. Buchs von denen Gleichwichtigen; und iſt daher F kleiner als EDC. Eben aber dieſes Dreyekk EDC verhaͤlt ſich gegen der Flaͤche K (Krafft obi- gen Satzes) wie AB gegen BE, gegen F aber wie AB gegen BG; Es hat aber AB gegen BE eine groͤſſere Verhaͤltnis als gegen BG, Laut des 8ten im V. Derowegen hat auch das Dreyekk EDC gegen K eine groͤſſere Ver- haͤltnis als gegen F, und iſt deswegen F nohtwendig groͤſſer als K, Krafft des 10den im V. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Der IX. Lehrſatz.

Es ſey wiederumb eine Waag-Stange AC, und dero Mittel B; hinter dem B aber/ in E und C, aufgehangen ein ſtumpfwinklich- tes Dreyekk CKD, deſſen Grund-Lini iſt KD, die Hoͤhe aber EC: aus A aber werde aufgehangen die Flaͤche F, welche dem Dreyekk in beſagter Stellung gleichwaͤge; wie ſich aber verhaͤlt AB gegen BE, ſo verhalte ſich abermal das Dreyekk CKD gegen einer andern

Flaͤche L: So ſage ich nun wiederumb/ F ſey kleiner als CKD, und groͤſſer als L.

Beweiß.

Der Beweiß iſt dem vori- gen ganz gleich/ und dahero un- noͤhtig denſelben zu widerholen.

Der X. Lehrſatz.

Es ſey abermal eine Waag-Stange ABC, und dero Mittel- punct B; ein/ nur zwey gleichlauffende Seiten habendes/ bey B und G aber rechtwinklichtes/ Vierekk BDKG, werde aufgehangen bey B und G; und ſtreiche deſſelben eine Seite DK gerad auf C zu; wie ſich aber verhaͤlt AB gegen BG, ſo verhalte ſich gemeldtes Vier- Parabel-Vierung. Vierekk gegen einer andern Flaͤche L; und werde endlich aus A auf- gehangen die Flaͤche F, welche beſagtem Vierekk in gegenwertiger Stellung gleichwaͤge: So ſage ich nun/ die Flaͤche F ſey kleiner als die Flaͤche L.

Beweiß.

Man finde/ nach der 3. Aufgab im Anhang des I. B. von denen Gleich- wichtigen/ den Schwaͤrepunct des Vierekkes H (NB. Archimedes lehret ihn finden durch den XV. Lehrſatz beſagten I. Buchs/ in dem er befihlet/ man ſolle BG in E alſo teihlen/ daß EG gegen BE ſich verhalte wie 2DB+KG gegen 2KG+DB, und ſo dann die Lini EN gleichlauffend mit BD ziehen/ in H aber halbteihlen/ da dann die Lini/ welche mitten aus GK mitten durch BD und EN gezogen wuͤrde/ gleichfalls geteihlt waͤre wie zuvor BG, &c.) und ziehe aus demſelben auf die ſenkrechte Lini HE. Wann nun das Vier- ekk bey E allein aufgehaͤnget wird/ ſo verbleibt es dem F gleich- waͤgend wie zuvor/ Laut des obigen VI. Lehrſatzes Anmer- kung; und verhaͤlt ſich demnach gegen gemeldtem F, wie AB gegen BE, d. i. in groͤſſerer Ver- haͤltnis als AB gegen BG, d. i.

als eben daſſelbe Vierekk gegen der Flaͤche L, alles aus obangezogenen Gruͤn- den. Woraus dann endlich folget/ daß F kleiner ſey als L, Laut des 10den im V. Welches zu beweiſen war.

Der XI. Lehrſatz.

Wiederumb ſey eine Waag-Stange ABC, und ihr Mittel B; Es ſeyen aber des Vierekkes DKTR zwey Seiten DK und RT, gerad auf C gerichtet/ die andern aber/ DR und KT ſenkrecht auf BC, und falle die verlaͤngerte DR gerad in B; wie ſich aber ver- haͤlt AB gegen BG, ſo verhalte ſich bemeldtes Vierekk gegen der Flaͤche L; und zwar das Vierekk ſey aufgehangen aus denen Puncten B und G; aus A aber die Flaͤche F, welche dem Vierekk in beſagter Stellung gleich- waͤge: So wird gleichfalls/ wie zuvor erwieſen/ daß die Flaͤche F kleiner ſey als die Flaͤche L.

Beweiß.

Wie das vorige/ eben alſo wird auch dieſes erwieſen/ und deswegen unnoͤhtige wiederholte Weitlaͤuffigkeit billich vermieden.

O o ijDer Archimedis

Der XII. Lehrſatz.

Es ſey ingleichen eine Waag-Stange AC, und dero Mittel B; ein/ bey E und G rechtwinklichtes und nur zwey gleichlauffende Seiten habendes/ Vierekk aber EDKG, deſſen beyde Seiten DK und EG gerad auf C zuſtreichen: Und wie ſich verhaͤlt AB gegen BG, ſo verhalte ſich das Vierekk EDKG gegen der Flaͤche M; wie aber AB gegen BE, alſo eben daſſelbe Vierekk gegen L. Es ſey endlich oftbeſagtes Vierekk aufgehaͤnget in E und G; aus A aber die Flaͤche F, welche gedachtem Vierekk/ in beſagter Stel- lung/ gleichwaͤge: So ſage ich nun/ F ſey groͤſſer als L, kleiner aber als M.

Beweiß.

Man finde/ wie in vorigen Beweißtuhmen/ den Schwaͤrepunct H, und ziehe HI gleichlauffend mit DE. Wann nun das Vierekk in E und G abge-

loͤſet und allein in I aufgehaͤnget wird/ muß es gleichfalls/ wie zuvor/ dem F gleichwaͤgen/ Laut der Anmerkung des obigen VI. Lehrſatzes/ und derowegen (Krafft des VI. und VII. im I. B. von denen Gleichwichti- gen) gegen F ſich verhalten/ wie AB gegen BI, d. i. in kleinerer Verhaͤltnis als AB gegen BE, oder/ als ebenbeſagtes Vierekk gegen L; in groͤſſerer Verhaͤltnis aber als AB gegen BG, d. i. als das ſelbſte Vierekk gegen M: Woraus dann (vermoͤg des 10den im V.) unfehlbar folget/ daß F groͤſſer ſey als L, und kleiner als M. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Der XIII. Lehrſatz.

Wiederumb ſey eine Waag-Stange ABC, und ein/ nicht rechtwinklichtes Vierekk KDTR, deſſen zwo Seiten DK und TR

gerad auf C zu ſtreichen/ die uͤbrige/ DT und KR, aber ſenkrecht auf BC ge- richtet ſind/ ſey aufge- haͤnget in E und G; aus A aber die Flaͤche F; ſo da dem Vierekk/ in beſagtem Stand/ gleichwaͤge; und wie ſich verhaͤlt AB gegen BE, ſo ver- halte Parabel-Vierung. halte ſich das Vierekk KDTR gegen L; wie aber AB gegen BG, alſo eben daſſelbe Vierekk gegen M: So wird gleichfalls/ wie zuvor erwieſen/ daß F groͤſſer ſey als L, und kleiner als M.

Der Beweiß iſt in allem wie der vorige/ und darf alſo nur hieher ge- zogen werden.

Der XIV. Lehrſatz.

Es ſey eine Parabel-Flaͤche BHC, und zwar erſtlich BC waag- recht auf deroſelben Durchmeſſer; aus B werde ſo dann gezogen BD gleichlauffend mit dem Durchmeſſer/ aus C aber CD alſo/ daß ſie die Parabel in C beruͤhre/ und dahero BCD ein rechtwink- lichtes Dreyekk werde. Alsdann werde BC in etliche beliebige Teihle/ als BE, EF, FG, GI, und IC, geteihlet/ und aus ſolchen Teihlungs-Puncten gezogen dem Durchmeſſer gleichſtehende Li- neen/ ES, FT, GY, IX; durch die jenige Puncten aber/ in wel- chen dieſe die Parabel durchſchneiden/ ziehe man aus C hinaus die Lineen CK, CL, CM, &c. So ſage ich nun/ das Dreyekk BDC ſey nicht gar dreymal ſo groß als die Vierekke KE, LF, MG, NI ſambt dem Dreyekk ICX; mehr aber dann dreymal ſo groß als die Vierekke UF, HG, PI, ſambt dem Dreyekk IOC.

Beweiß.

Man verlaͤngere CB in A, alſo daß AB dem BC gleich werde/ und haͤnge in A auf eine Flaͤche R, ſo da gleichwaͤge dem Vierekke DE; ſo dann auch die uͤbrige Flaͤchen Q, Z, 9, ∆, gleichwaͤgend denen uͤbrigen Vierekken SF, TG, YI und dem Dreyekk ICX; alſo daß die ganze Flaͤche RQZ 9 ∆ dem ganzen Dreyekk BCD gleichwaͤge/ und (Krafft des VI. Lehrſatzes) deſſel- ben dritter Teihl ſey. Nun verhaͤlt ſich (vermoͤg obiger Vorbereitung und des V. Lehrſatzes) wie BE gegen EC, alſo EU gegen US, und zuſammgeſetzet/ BC gegen EC, wie ES gegen US, und verkehret (Laut der 2. Fol- ge des 19den im V.) BC oder AB gegen BE, wie ES gegen

EU. Derowegen verhaͤlt ſich auch (Krafft folgender Anmerkung) wie BA O o iijgegen Archimedis gegen BE, alſo das Vierekk DE gegen dem Vierekk KE. Gleicher geſtalt wird erwieſen/ daß ſich verhalte/ wie AB gegen BF, alſo das Vierekk SF gegen dem Vierekk LF, und wie AB gegen BI, alſo YI gegen NI, &c. und endlich (weil ſich verhaͤlt wie BC oder AB gegen BI, alſo IX gegen IO, nach der 2. Anmer- kung des V. Lehrſatzes; wie aber IX gegen IO, alſo das Dreyekk ICX gegen dem Dreyekk ICO, Krafft des 1ſten im VI.) wie AB gegen BI, alſo auch das Dreyekk ICX gegen dem Dreyekk ICO.

So iſt nun DE ein Vierekk/ wie der X. Lehrſatz eines beſchreibet/ und ver- haͤlt ſich gegen einer Flaͤche KE, wie AB gegen BE, wigt aber gleich der Flaͤ- che R, alles aus bißher-bewieſenem: derowegen iſt/ Krafft angezogenen X. Lehrſatzes/ KE groͤſſer als die Flaͤche R. Alſo iſt auf gleiche Weiſe LF groͤſſer als Q, MG aber als Z, NI groͤſſer als 9, und endlich/ Laut obigen VIII. Lehrſatzes/ das Dreyekk ICX groͤſſer als ∆; und folgends alle beſagte Vier- ekke/ KE, LF, MG, NI, zuſammen ſambt dem Dreyekk ICX, ſind groͤſſer als die ganze Flaͤche RQZ 9 ∆. Dieweil nun das Dreyekk BDC eben drey- mal ſo groß iſt als erſtbeſagte ganze Flaͤche/ wie obbewieſen; ſo muß eben daſſelbe Dreyekk BDC nicht gar dreymal ſo groß ſeyn als vorermeldte Vier- ekke miteinander/ ſambt dem Dreyekk ICX. Und diß iſt eines.

Ferner/ weil AB gegen BE ſich verhaͤlt wie ES gegen EU, als oben be- wieſen worden/ ſo verhaͤlt ſich auch/ Krafft folgender Anmerkung/ wie AB ge- gen BE, alſo das Vierekk SF gegen dem Vierekk UF, und iſt dahero UF klei- ner als Q, nach obigem XII. Lehrſatz. Gleicher geſtalt wird erwieſen/ daß HG kleiner ſey als Z, und PI kleiner als 9, und endlich (vermoͤg des VIII. Lehrſatzes) das Dreyekk ICO kleiner als ∆; alſo daß alle beſagte Vierekke/ UF, HG, PI zuſammen ſambt dem Dreyekk ICO kleiner ſind als die Flaͤche QZ 9 ∆. Weilen dann nun das Dreyekk BDC mehr dann dreymal ſo groß iſt als QZ 9 ∆ (dann es iſt dreymal ſo groß als QZ 9 ∆ ſambt R) ſo iſt daſ- ſelbe umb ſo viel gewiſſer mehr dann dreymal ſo groß/ als UF und HG und PI ſambt dem Dreyekk ICO. Und diß iſt das andere/ welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkung.

Es verhaͤlt ſich BC oder AB gegen BE, wie ES gegen EU, d. i. wie das Dreyekk ESC gegen dem Dreyekk EUC, Laut des 1ſten im VI. Wiederumb wie BC gegen EC, alſo verhaͤlt ſich (nach dem 4ten im VI.) BD gegen ES, und BK gegen EU, und folgends wie BD gegen ES, alſo BK gegen EU, und verwechſelt/ BD gegen BK, wie ES gegen EU, d. i. das Dreyekk BDC gegen dem Dreyekk BKC, wie das Dreyekk ESC gegen dem Dreyekk EUC. Dieweil nun das ganze Dreyekk BDC gegen dem ganzen BKC ſich verhaͤlt/ wie das weggenommene ESC gegen dem weggenommenen EUC; ſo wird auch das uͤbrige Vierekk DE gegen dem uͤbrigen KE ſich verhalten/ wie ESC gegen EUC, d. i. wie ES gegen EU, oder (Krafft obbeſagtens) wie AB gegen BE, &c.

Auf ganz gleiche Weiſe folget/ daß SF gegen UF ſich verhalte wie AB gegen BE. Dann/ wie EC gegen FC, alſo ES gegen FT, und EU gegen F□ (NB. Dieſes Zeichen □ ſoll ſtehen/ wo FT und CK einander durchſchneiden) und alſo ES gegen FT wie EU ge- gen F□, und verwechſelt ES gegen EU wie FT gegen F□, d. i. das ganze Dreyekk ESC gegen dem ganzen EUC, wie das weggenommene FTC gegen dem weggenommenen F□C; und deswegen auch das uͤbrige SF gegen dem uͤbrigen UF, wie ESC gegen EUC, d. i. ES gegen EU, oder AB gegen BE.

Der Parabel-Vierung.

Der XV. Lehrſatz.

Es ſey wieder eine Parabel-Flaͤche BHC, und BC nicht waag- recht auf den Durchmeſſer. So iſt nun vonnoͤhten/ daß entweder die/ mit dem Durchmeſſer gleichlauffende/ BD, oder die beruͤh- rende CD, mit BC einen ſtumpfen Winkel mache. Sey dem- nach BD dieſelbe/ welche den ſtumpfen Winkel machet/ und werde BC abermal in etliche beliebige gleiche Teihle geteihlet/ und aus denen Teihlungs-Puncten gezogen die/ dem Durchmeſſer gleich- lauffende ES, FT, &c. wie auch durch die Puncten/ in welchen die Parabel zerſchnitten wird/ die Lineen CU, CHL, &c. So ſage ich nun wiederumb/ das Dreyekk BDC ſey nicht gar dreymal ſo groß als BU, LF, MG, NI, ſambt dem Dreyekk ICX; mehr aber dann dreymal ſo groß als UF, HG, PI, ſambt dem Dreyekk IOC.

Beweiß.

Man verlaͤngere BD aufwerts/ und ziehe auf dieſelbe aus C waagrecht die Lini CK, biß in A, alſo daß KC und AK einander gleich werden. Jn A ſeyen aufgehaͤnget die Flaͤchen R, Q, Z, 9, ∆, aus welchen R gleichwaͤge dem Vierekk DE, und Q dem SF, und Z dem TG und 9 dem YI, und ∆ endlich dem Dreyekk ICX, alſo daß auch die ganze Flaͤche RQZ 9 ∆ dem ganzen Dreyekk BDC gleichwaͤge/ und folgends (ver- moͤg des obigen VII. Lehrſa- tzes) deſſelben dritter Teihl ſey. Jm uͤbrigen trifft des gegen- waͤrtigen voͤlliger Beweiß mit dem vorhergehenden von Wort zu Wort uͤberein/ wann man nur/ wo dorten der X. und XII. Lehrſatz iſt angezogen worden/ hier des XI. und XIII. ſich be- dienet. Dahero dann/ das ſchon einmal geſagte zu wider- holen/ nicht rahtſam ſcheinet.

Der XVI. Lehrſatz.

Es ſey abermal eine Parabel-Flaͤche BHC, und durch B ge- zogen BD gleichlauffend mit dem Durchmeſſer/ aus C aber die/ in C Archimedis in C beruͤhrende/ CD; Und ſey des Dreyekkes BDC dritter Teihl die Flaͤche F. So ſage ich nun/ die Parabel-Flaͤche BHC ſey gleich der Flaͤche F.

Beweiß.

Dann wo ſie derſelben nicht gleich iſt/ ſo muß ſie entweder groͤſſer oder kleiner ſeyn.

I. Satz. Man ſetze fuͤrs erſte/ ſie ſey groͤſſer. So kan nun der Reſt/ mit wel- chem BHC das F uͤbertrifft/ ihme ſelbſten ſo oft zugeſetzet werden/ biß die Summa uͤbertreffe das Dreyekk BDC, vermoͤg des in der Vorred Archimedis gelegten Grundes; und dannenhero (nach Anlei- tung des 1ſten im X. B.) ein gewiſſer auf- hebender Teihl des Dreyekkes BDC gege- ben werden/ der da kleiner ſey als gemeldter Reſt/ zum Exempel das Dreyekk BEC; alſo daß/ weil BEC das Dreyekk BDC aufhebet/ auch BE die Lini BD aufheben kan/ Krafft des 1ſten im VI. in dem nehm- lich EK, KI, IG, GD alle dem BE gleich werden. Nun ziehe man durch die Teih- lungs-Puncten K, I, G aus C die Lineen CK, CI, CG; und wo dieſelbe die Parabel durchſchneiden/ daſelbſten durch ziehe man andere/ dem Durchmeſſer oder der Lini BD gleichlauffende/ Lineen MU, NR, XH, PS; wordurch dann eben der jenige Fall ſich er- eignet/ von welchem obiger XIV. Lehrſatz redet/ vermoͤg folgender 1. Anmerkung. Dieweil nun das Dreyekk BEC kleiner iſt als der Reſt/ mit welchem die Parabel- Flaͤche BHC die Flaͤche F uͤbertrifft/ ſo muͤſ- ſen nohtwendig die Flaͤche F und das Drey- ekk BEC zuſammen kleiner ſeyn als die Parabel-Flaͤche BHC; und folgends/ wann von BHC etwas genommen wird/ ſo da eben ſo groß oder kleiner iſt als das Dreyekk BEC. ſo muß das uͤbrige groͤſſer ſeyn als die Flaͤche F. Nun ſind dem Dreyekk BEC gleich die Vierekke EM, UL, HR und HO ſambt dem Dreyekk COS, vermoͤg folgender 2. Anmerkung. Derowegen wann dieſe alle miteinander von der Parabel-Flaͤche BHC voͤllig hinweg genommen wuͤr- den/ ſo muͤſte das uͤbrige groͤſſer ſeyn als F. Umb ſo viel mehr nun/ weil ſie nicht voͤllig hinweg genommen werden/ ſondern ein guter Teihl davon auſſer der Pa- rabel-Flaͤche faͤllet/ muͤſſen die uͤbrige Vierekke ML, XR, und PH, ſambt dem Dreyekk POC groͤſſer ſeyn als die Flaͤche F; und dannenhero das Dreyekk BDC, welches juſt dreymal ſo groß iſt als F, weniger dann dreymal ſo groß ſeyn als ML, XR, PH und POC zuſammen; da doch das Gegenteihl viel- mehr Parabel-Vierung. mehr in obigem XIV. und XV. Lehrſatz erwieſen worden. Kan derowegen (weil ſonſten widrige Dinge folgeten) die Parabel-Flaͤche BHC nicht groͤſſer ſeyn als die Flaͤche F.

II. Satz. Man ſetze fuͤrs andere/ ſie ſey kleiner/ und laſſe die Vorbe- reitung bleiben wie oben. Dieweil nun das Dreyekk BEC kleiner iſt als der Reſt/ mit welchem die Parabel-Flaͤche von der Flaͤche F uͤbertroffen wird/ ſo muß nohtwendig die Parabel-Flaͤche BHC ſambt dem Dreyekk BEC klei- ner ſeyn als die Flaͤche F. Nun iſt aber ferner die Flaͤche F kleiner als die Vier- ekke EM, UN, ZX, TP ſambt dem Dreyekk CPS, Laut obigen XIV. Lehr- ſatzes. Weswegen dann umb ſo viel mehr die Parabel-Flaͤche BHC ſambt dem Dreyekk BEC kleiner ſeyn muß als EM, UN, ZX, TP und CPS zu- ſammen. So man nun beyderſeits die Parabel-Flaͤche BHC hinweg nimmt/ muͤſte das Dreyekk BEC annoch kleiner ſeyn als die uͤbrige Teihle von EM, UN, ZX, TP und CPS, ſo auſſer der Parabel fallen/ nehmlich als SCO, TOH, ZHR, &c. da es doch (Krafft folgender 2. Anmerkung) groͤſſer/ und denen ganzen Vierekken EM, UL, HR, HO ſambt dem ganzen Dreyekk COS gleich iſt. Kan derowegen die Parabel-Flaͤche BHC nicht kleiner ſeyn als die Flaͤche F, ſondern (weil ſie auch nicht groͤſſer iſt) muß derſelben noht- wendig gleich/ und alſo der dritte Teihl des Dreyekkes BDC ſeyn. Welches hat ſollen erwieſen werden.

Anmerkungen.

1. Daß durch obige Vorbereitung der Fall des XIV. Lehrſatzes ſich ereigne/ erhellet daher/ weil durch gleiche Einteilung der Lini BD und durch die gleichlauffende M1, N2, X3, PS (NB. Mit 1, 2 und 3 ſolten die uͤbrige Teihlungen der Lini CD bemerket ſeyn) die Lini BC auch in gleiche Teihle geteihlet wird: dann wie ſich verhaͤlt DE gegen EB, alſo IY gegen YM, d. i. (Laut des V. Lehrſatzes) CM gegen MB; und ferner wie DK gegen KB, alſo 2 R gegen RN, d. i. CN gegen NB; und noch weiter/ wie DI gegen IB, alſo 3 H gegen HX, d. i. CX gegen XB, &c.

2. Daß dem Dreyekk BEC die Vierekke EM, UL, HR und HO ſambt dem Drey- ekk COS gleich ſeyen/ wird alſo gewiß; BE und EK, wie auch MY und YU (NB. Y ſoll ſtehen/ wo MU und CE einander durchſchneiden) und folgends die Dreyekke BCE und ECK, wie auch MCY und YCU, ſind einander gleich/ alles aus bekannten Gruͤnden. So man nun dieſe letzere gleiche Dreyekke von denen erſten gleichen hinweg nimmt/ ſo bleiben die beyde Vierekke EM und EU auch einander gleich. Auf gleiche Weiſe folget/ daß UL dem ML, RH dem LX, HO dem XQ, und endlich auch das Dreyekk COS dem Drey- ekk PCQ gleich ſey/ und alſo UL, ſambt RH, HO und COS dem Dreyekk MCY. So man nun beyderſeits EM darzu nimmt/ werden EM, UL, RH, HO und COS zuſammen dem Dreyekk BCE gleich ſeyn.

Der XVII. Lehrſatz.

Aus dieſem bißher-erwieſenen iſt offenbar/ daß jede Parabel- Flaͤche uͤberdritteihlig ſey des jenigen Dreyekkes/ welches mit ihr einerley Grund-Lini und gleiche Hoͤhe hat.

P pBeweiß. Archimedis

Beweiß.

Es ſey zum Exempel eine Parabel-Flaͤche BHC, ihr Scheitelpunct H, und ihr Durchmeſſer HE, welcher BC in zwey gleiche Teihle teihlet. Jnner-

halb der Parabel-Flaͤche auf eben der Grund- Lini BC und in der Hoͤhe HE ſey beſchrieben ein gleich ſo genanntes Dreyekk BHC. Soll nun bewieſen werden/ daß die Parabel-Flaͤche des Dreyekkes uͤberdritteihlig ſey/ d. i. gegen demſelben ſich verhalte wie 4 gegen 3.

So ziehe man nun aus B die Lini BD gleichſtehend dem Durchmeſſer EH, und CD, welche die Parabel in C beruͤhre; verlaͤngere ſo dann EH biß in K; ſo werden EH und HK, Laut obigen II. Lehrſatzes/ und alſo (Krafft des 38ſten im I. oder des 1ſten im VI. B.) die Dreyekke HCK, ECH und EBH, einander gleich/ d. i. EKC dem BHC gleich ſeyn. Nun ſind die Dreyekke EKC und BDC einander aͤhnlich/ und hat daher BDC gegen EKC eine zweyfache Verhaͤltnis der jenigen/ welche da hat BC gegen EC; d. i. (weil BC zweymal ſo groß iſt als EC) das Dreyekk BDC iſt viermal ſo groß als das Dreyekk EKC oder BHC, vermoͤg des 19den im VI. B. Eben dieſes Dreyekk BDC iſt dreymal ſo groß als die Parabel-Flaͤche BHC, Laut des vorher- gehenden XVI. Lehrſatzes. Derowegen/ wann das Dreyekk BDC 12 iſt/ ſo wird die Parabel-Flaͤche 4, das Dreyekk BHC aber 3 ſeyn. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkung.

Und dieſes iſt alſo der erſte/ gleichſam handgreiffliche und denen Sinnen etwas naͤhere Beweiß Archimedis/ jedoch alſo beſchaffen/ daß er den vorgeſetzten Zwekk unfehlbar und ſon- der einigen Zweiffel erreichet. Folget nun auch der andere dem Verſtand und der Kunſt ge- maͤſſere/ zu deſſen mehrerer Deutlichkeit Archimedes nachfolgende Worterklaͤrungen voran ſchikket/ und ſo dann ſeine/ zu Erhebung des Werkes/ noͤhtige/ Lehrſaͤtze in voriger Ordnung hinbeyfuͤget.

I. Die gerade Lini einer Parabel- Flaͤche nenne ich ihre Grund-Lini. Als ac.

II. Jhre Hoͤhe aber die groͤſſeſte ſenkrechte Lini/ welche von der Kruͤm- me auf die Grund-Lini herunter faͤllet. Als bd.

III. Die Parabel-Vierung.

III. Die Spitze oder Scheitel endlich den jenigen Punct/ aus welchem beſagte groͤſſeſte Senk-Lini herunter faͤllet.

Der XVIII. Lehrſatz.

Wann in einer Parabel-Flaͤche mitten aus der Grund-Lini eine/ mit dem Durchmeſſer gleichlauffende/ Liniaufgezogen wird/ ſo iſt der jenige Punct/ in welchem dieſe gleichlauffende die Parabel durchſchneidet/ der Parabel-Flaͤche Scheitelpunct.

Beweiß.

Dieſer Lehrſatz ſambt ſeinem Beweiß iſt allbereit wuͤrklich begriffen in un- ſerer II. Betrachtung in V. von dannen er hieher moͤchte geholet werden.

Wir wollen aber gleichwol verneh- men/ wie Archimedes ſolches aus ſeinen vorangeſchikkten Worterklaͤrungen kuͤrz- lich herleite. So verrichtet er es aber durch beygeſetzte Figur: Weil DB aus der Mitte AC dem Durchmeſſer gleich- lauffend gezogen/ und daher AD dem

DC gleich iſt/ ſo iſt die in B beruͤhrende Lini gleichlauffend der Grund-Lini AC, Laut des obigen I. Lehrſatzes; und deswegen die aus B ſenkrecht herun- ter gelaſſene Lini die allergroͤſſeſte unter denen/ welche aus einem Punct der krummen Lini ſenkrecht herunter fallen/ wie die Vernunft lehret. So iſt dem- nach/ Laut vorhergehender III. Worterklaͤrung/ B der Parabel-Flaͤche Scheitelpunct. W. Z. B. W.

Der XIX. Lehrſatz.

Jn einer jeden Parabel-Flaͤche verhaͤlt ſich die jenige Lini/ wel- che mitten aus der Grund Lini/ dem Durchmeſſer gleichlauffend/ gezogen wird/ gegen einer andern/ mitten aus der halben Grund- Lini/ dem Durchmeſſer auch gleichlauffenden/ uͤberdritteihlig/ d.i. wie 4 gegen 3.

Mit einem Wort/ DB ſoll ſich gegen EF verhalten/ wie 4 gegen 3.

Beweiß.

Wie die Vierung AD gegen der Vie- rung FH, ſo verhaͤlt ſich BD gegen BH, Laut des obigen III. Lehrſatzes. Nun iſt die Vierung AD viermal ſo groß als die Vierung FH, (weil AD zweymal ſo groß iſt als FH) Laut des 20ſten im VI.

Derowegen iſt BD viermal ſo groß als BH; und derowegen/ wann BD 4 iſt/ ſo iſt HD, das iſt EF, ſo viel als 3. Welches hat ſollen bewieſen werden.

P p ijDer Archimedis

Der XX. Lehrſatz.

Wann innerhalb einer Parabel-Flaͤche ein Dreyekk beſchrieben wird/ welches mit ihr einerley Grund-Lini und gleiche Hoͤhe hat; ſo iſt das eingeſchriebene Dreyekk groͤſſer denn die Helfte der Para- bel-Flaͤche.

Beweiß.

Durch die Spitze ſo wol der Parabel-Flaͤche als des Dreyekkes B ziehe man eine gleichlauffende mit AC, und mitten aus AC eine gleichlauffende mit

dem Durchmeſſer/ und werde alſo vollfuͤhret das gleichlauffendſeitige Vierekk ADEC. Dieweil nun AD und CE ganz auſſerhalb der Parabel ABC fallen/ Krafft der I. Betr. 1ſter Folge in V. ſo iſt das Vierekk AE groͤſſer als die Parabel-Flaͤche. Nun iſt aber das Dreyekk ABC die Helfte des Vierekkes AE, Laut des 41ſten im I. B. Derowegen iſt auch gemeldtes Dreyekk groͤſ- ſer als die halbe Parabel-Flaͤche. W. Z. B. W.

Folge.

Hieraus iſt offenbar/ daß innnerhalb jeder Parabel-Flaͤche moͤglich ſey ein Vielekk zu beſchreiben/ alſo/ daß die uͤbrige Ab- ſchnitte kleiner ſeyen denn jede fuͤrgegebene Flaͤche.

Dann weil jedes Dreyekk mehr hinweg nimmt als die Helfte von einer Parabel-Flaͤche/ wann von denen abgeſchnittenen Parabel-Flaͤchen wieder ih- re eingeſchriebene Dreyekke hinweg genommen werden/ und ſo fort; muͤſſen endlich die uͤbrige Teihle kleiner ſeyn als eine vorgegebene Flaͤche/ nach dem 1ſten im X. B.

Der XXI. Lehrſatz.

Wann in einer Parabel-Flaͤche ein Dreyekk/ auf einerley Grund-Lini und in gleicher Hoͤhe/ beſchrieben wird; und eben der- gleichen Dreyekke in denen abgeſchnittenen Parabel-Flaͤchen be- ſchrieben werden: ſo iſt das/ innerhalb der ganzen Parabel-Flaͤche beſchriebene/ Dreyekk achtmal ſo groß als eines derer andern/ die in denen uͤbrigen Abſchnitten beſchrieben worden.

Beweiß.

Es ſey/ zum Exempel eine Parabel-Flaͤche ABC, und deroſelben Grund- Lini AC. Aus deren Mitte D ziehe DB gleichlauffend dem Durchmeſſer/ alſo daß B der Parabel-Flaͤche Scheitelpunct werde/ Laut des XVIII. Lehr- ſatzes/ Parabel-Vierung. ſatzes. Jnnerhalb der Parabel-Flaͤche ſey auf bemeldte Weiſe beſchrieben das Dreyekk ABC, und eben dergleichen auch in denen Abſchnitten AFB und BGC, &c. deren Grund-Lineen AB und BC gleichfalls in F, &c. halbgeteihlet/ und durch ſolche Mittelpuncten die Lineen FE, &c. mit BD auch gleichlauffend ge- zogen ſeyn muͤſſen; alſo daß (Krafft des 2. und 4ten im VI.) auch AD und DC von denenſelben halbgeteihlet werden. So ſoll nun bewieſen werden/ daß das Drey-

ekk ABC achtmal ſo groß ſey als das Dreyekk AFB; und/ wann innerhalb derer Abſchnitte AF und FB wieder dergleichen Dreyekke beſchrieben wuͤrden/ daß AFB wieder achtmal ſo groß ſey als eines deroſelben/ ꝛc.

Dann/ nach dem ich BE gezogen/ ſchlieſſe ich alſo: DB iſt 1⅓ mal ſo groß als EF, Laut des vorhergehenden XIX. Lehrſatzes/ und zweymal ſo groß als EH, vermoͤg des 2. und 4ten im VI. Derowegen/ wann DB iſt 4, ſo iſt EF 3 und EH 2, und HF 1, und folgends EH zweymal ſo groß als HF. Weswegen dann auch das Dreyekk HBE zweymal ſo groß iſt als HFB, Laut des 1ſten im VI. und aus gleichem Grund HAE zweymal ſo groß als HFA. Derohalben auch das ganze Dreyekk AEB zweymal ſo groß als das ganze AFB. Nun iſt dem Dreyekk AEB gleich das Dreyekk EDB, alſo daß nunmehr das ganze Dreyekk ADB viermal ſo groß iſt als AFB. Endlich iſt ABC zweymal ſo groß als ABD, und folgends achtmal ſo groß als AFB, &c. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Der XXII. Lehrſatz.

Wann eine Parabel-Flaͤche/ und darbeneben etliche andere Flaͤchen in vierfacher ordentlicher Verhaͤltnis gegeben werden/ de- ren groͤſſeſte gleich iſt dem Dreyekk/ welches auf einerley Grund- Lini und in gleicher Hoͤhe mit der Parabel-Flaͤche beſchrieben wird: ſo ſind alle ſolche ordentlich-gleichverhaltende Flaͤchen zuſammen kleiner als die Parabel-Flaͤche.

Beweiß.

So ſey nun eine Parabel-Flaͤche ADBEC, und darbeneben gegeben etliche andere Flaͤchen F, G, H, I, alſo daß jederzeit die vordere viermal ſo groß ſey als die folgende/ die groͤſſeſte/ F aber gleich dem Dreyekk ABC. Soll nun erwieſen werden/ daß alle beſagte Flaͤchen F, G, H, I zuſammen kleiner ſeyen als die Parabel-Flaͤche ADBEC. Solches iſt nun leicht zu erweiſen: dann das Dreyekk ABC, d. i. die Flaͤche F, iſt viermal ſo groß als die beyde Dreyekke ADB und BEC, welche in denen uͤbrigen Abſchnitten beſchrieben werden/ vermoͤg des vorhergehenden XXI. Lehrſatzes. Und alſo ſind bey- de Dreyekke ADB und BEC gleich der Flaͤche G. Gleicher geſtalt und aus P p iijgleichem Archimedis

gleichem Grund ſind beyde Dreyekke ADB und BEC, d. i. die Flaͤche G, viermal ſo groß als die vier fernere/ innerhalb AD, DB, BE und EC beſchriebene/ Dreyekke/ und alſo dieſe viere zuſammen gleich der Flaͤ- che H. Alſo wird auch bewieſen/ daß die noch fernere acht eingeſchriebene Dreyekke der Flaͤche I, und alſo alle eingeſchriebene Drey- ekke allen Flaͤchen F, G, H, I, &c. gleich ſeyen. Nun iſt aber auſſer Zweifel/ daß alle eingeſchriebene Deyekke zuſammen kleiner ſeyen als die ganze Parabel-Flaͤche: dero- wegen ſind auch alle gegebene Flaͤchen F, G, H, I, &c. zuſammen kleiner als beſagte Parabel-Flaͤche. W. Z. B. W.

Der XXIII. Lehrſatz.

Wann etliche Groͤſſen nacheinander in vierfacher Verhaͤltnis geſetzet werden; ſo verhalten ſich dieſelbe alle zuſammen/ ſambt noch dem dritten Teihl des kleineſten/ gegen der groͤſſeſten uͤber- dritteihlig: d. i. wie 4 gegen 3.

Beweiß.

So ſeyen nun ſolcher Groͤſſen etliche A, B, C, D, E, und die groͤſſeſte darunter A. Es ſey aber F ⅓ von B, und G ⅓ von C, und H ⅓ von D, und

I ⅓ von E. Dieweil nun B iſt ¼ von A, ſo machen B und F zuſammen ⅓ A, vermoͤg folgender 1. An- merkung. Und gleicher geſtalt machen C und G ⅓ B, D und H ⅓ C, endlich E und I ⅓ D. Dero- wegen machen B+C+D+E +F+G+H+I miteinander ⅓ von A+B+C+D. Nun ſind aber/ Laut des naͤchſten Satzes/ F+G+H ⅓ von B+ C+D. So werden demnach auch die uͤbrige/ B+C+D+ E+I ⅓ von dem uͤbrigen A ſeyn. So man nun zu den vorigen das A, als das groͤſſeſte noch darzu nimmt/ ſo ſind A+B+C+D+E+I (das iſt/ alle gegebene Groͤſſen/ ſambt noch dem dritten Teihl der kleineſten/ nehmlich I) 1⅓ A. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmer- Parabel-Vierung.

Anmerkungen.

1. Dieweil B ¼ A iſt/ und F ⅓ B, (d. i. ⅓ von ¼ A oder \frac {1}{12} A) ſo machen B und F (d. i. ¼ A oder \frac {3}{12} A und \frac {1}{12} A) zuſammen \frac {4}{12} oder ⅓ A, wie geſagt worden.

2. Wann man die Waarheit dieſes Lehrſatzes mit Augen ſehen will/ ſo kan man fuͤr jede ſolche in vierfacher Verhaͤltnis geſetzte Flaͤchen ſetzen/ A, 4 A, 16 A, 64 A, &c. Dieſe alle zuſammen nun ſambt ⅓ des kleineſten A, machen zuſammen 85 ⅓ A, d. i. \frac {256}{3} A: das groͤſ- ſeſte aber iſt 64 A oder \frac {192}{3} A. Nun verhaͤlt ſich aber 256 gegen 192, wie 4 gegen 3. Dann ſo man 256 mit 64 aufhebt/ kommt 4, und ſo man 192 auch mit 64 aufhebt/ kommt 3. Oder aber/ wann man 256 teihlet durch 192, ſo iſt das Facit 1\frac {64}{194}, d. i. 1⅓; und erſcheinet alſo beyderſeits die Waarheit des geſagten.

Der XXIV. Lehrſatz.

Eine jede Parabel-Flaͤche verhaͤlt ſich gegen dem Dreyekk/ welches mit ihr einerley Grund-Lini und gleiche Hoͤhe hat/ uͤber- dreyteihlig/ das iſt/ wie 4 gegen 3.

Beweiß.

Es ſoll bewieſen werden/ daß die Parabel-Flaͤche ADBEC gegen dem Dreyekk ABC ſich verhalte wie 4 gegen 3; oder (wann eine Flaͤche K gege- ben wird/ welche gegen dem Dreyekk ABC ſich verhaͤlt wie 4 gegen 3) daß die Parabel-Flaͤche ADBEC der Flaͤche K gleich ſey.

Dann wo ſie derſelben nicht gleich iſt/ ſo muß ſie entweder groͤſſer oder klei- ner ſeyn.

I. Satz. Man ſetze fuͤrs erſte/ ſie ſey groͤſſer/ und beſchreibe innerhalb der uͤbrigen Abſchnitte die Dreyekke ADB und BEC. in denen folgenden abermals andere/ biß endlich alle uͤbrige Abſchnitt- lein zuſammen kleiner ſind als der Reſt/ mit welchem die Parabel-Flaͤche AD BEC und die Flaͤche K einander uͤber- treffen/ nach der Folge des 20ſten Lehrſatzes/ alſo daß das eingeſchriebe- ne Vielekk noch groͤſſer iſt als die Flaͤ- che K. Man ſetze nun etliche Flaͤchen F, G, H, I, in vierfacher ordentlicher Verhaͤltnis/ und deroſelben ſo viel als vielmal die obige Einſchreibung derer Dreyekke wiederholet worden; und

zwar die erſte F, ſey gleich dem Dreyekk ABC. So ſind nun alle ſolche Flaͤ- chen F, G, H, I miteinander gleich dem gantzen eingeſchriebenen Vielekk/ wie aus dem Beweiß des XXII. Lehrſatzes erhellet. Derowegen/ weil eben beſagte Flaͤchen alle mit einander nicht gar uͤberdritteihlig ſind des Dreyekkes ABC, Archimedis ABC, Krafft des 23ſten Lehrſatzes; die Flaͤche K aber iſt deſſelben uͤber- dritteihlig; ſo muͤſſen beſagte Flaͤchen zuſammen/ d. i. das ganze eingeſchrie- bene Vielekk/ kleiner ſeyn als die Flaͤche K: da es doch oben groͤſſer zu ſeyn er- wieſen worden. Kan derowegen die Parabel-Flaͤche ADBEC (weil ſonſten unmoͤgliche Dinge folgeten) nicht groͤſſer ſeyn als die Flaͤche K.

II. Satz. Man ſetze fuͤrs andere/ ſie ſey kleiner/ und laſſe das andere wie oben/ und ſeyen derer/ in vierfacher Verhaͤltnis geſetzter/ Flaͤchen ſo viel/ biß die kleineſte/ I, kleiner ſey als der Reſt/ mit welchen die Parabel-Flaͤche ADBEC von K uͤbertroffen wird.

Dieweil nun die Flaͤchen F, G, H, I zu ſambt noch ⅓ von I uͤberdritteih- lig ſind der Flaͤche F, d.i. des Dreyekkes ABC, Lant des vorhergehenden XXIII. Lehrſatzes; und die Flaͤche K iſt auch uͤberdritteihlig deſſelben Drey- ekkes ABC, ſo muͤſſen beſagte geſambte Flaͤchen F, G, H, I ſambt noch ⅓ I der Flaͤche K gleich ſeyn. So iſt nun (vermoͤg obigen Satzes) der Reſt/ mit welchen die Flaͤche K die geſambte Flaͤchen F, G, H, I uͤbertrifft (nehmlich ⅓ I) kleiner als der Reſt/ mit welchem eben dieſelbe Flaͤche K die Parabel-Flaͤche ADBEC uͤbertrifft. Woraus dann unfehlbar folget/ daß oftgemeldte ge- ſambte Flaͤchen F, G, H, I groͤſſer ſeyen als die Parabel-Flaͤche; welches aber- mal ungereimt/ und dem XXII. Lehrſatz ſchnurſtrakks zu wider iſt. Kan derowegen ofterwaͤhnte Parabel-Flaͤche nicht kleiner ſeyn als die Flaͤche K, ſondern muß (weil ſie auch/ Laut des obigen/ nicht groͤſſer iſt) dero- ſelben nohtwendig gleich ſeyn. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Ende der Parabel-Vierung Archimedis.

Anhang Parabel-Vierung.

Anhang oder Zugab noch dreyer unterſchied- licher Wege/ nach welchen Franciſcus van Schooten/ Prof. Math. zu Leyden/ die Parabel-Vierung gefunden hat.

Der Erſte Weg/

Welcher die Sache vollfuͤhret vermittelſt der gefundenen Verhaͤltnis derer Lineen AC und BE.

Es werde geſetzt LC gleich a, ſo wird LF oder FC ſeyn ½ a.

CA ſey gleich b, und

EB gleich z.

Dieweil nun/ (nach dem dieſes alſo geſetzet und BF dem Durchmeſſer AC gleichlauffend ge- zogen worden/ und alſo/ Krafft der II. Betr. in V. auch ein Durchmeſſer iſt) wegen Aehnlich- keit beyder Dreyekke LCA und LFE, wie LC

gegen CA, d. i. a gegen b, alſo LF, d. i. ½ a, gegen FE ſich verhaͤlt; ſo muß nohtwen- dig FE gleich ſeyn ½ b. So man nun zu FE ſetzet EB, d. i. z, ſo iſt die ganze Lini FB oder CG gleich ½ b+z, und derowegen das uͤbrige GA ½ b-z.

Darnach/ weil vermoͤg einer Paraboliſchen Eigenſchafft/ CA gegen GA, d. i. b gegen ½ b-z ſich verhaͤlt/ wie die Vierung LC gegen der Vierung BG oder FC das iſt/ wie aa gegen ¼aa, oder wie 4 gegen 1: ſo wird (wann man beyde aͤuſſerſte und beyde mittlere durcheinander fuͤhret) b gleich 2b-4z; oder/ (ſo man beyderſeits 4z darzu thut) b+4z gleich 2b; und/ (ſo man beyderſeits b hinweg nimmt) 4z gleich b; und endlich/ (ſo man beyderſeits durch 4 teihlet) z gleich ¼ b. Woraus dann folget/ daß CA viermal ſo groß ſey als EB.

Hierdurch iſt nun leicht zu finden die Verhaͤltnis des Dreyekkes EBA gegen dem Dreyekk LAC. Dann/ weil EB und AC gleichlauffen/ und daher/ wegen Gleich- heit derer Winkel BEA und LAC, gedachte beyde Dreyekke ſich gegen einander ver- halten wie das Rechtekk aus BE in EA gegen dem Rechtekk aus CA in AL: (wel- ches aus dem 41ſten des I. und 22ſten des VI. zu erachten) ſo werden/ wann fuͤr LE oder EA geſetzet wird c, beſagte beyde Dreyekke ſich gegen einander verhalten wie ¼ bc gegen 2bc, d. i. wie 1 gegen 8; alſo daß folgends das ganze Dreyekk LBA gegen dem Dreyekk LAC ſich verhalten muß/ wie 1 gegen 4.

Gleicher geſtalt/ weiln auch das Dreyekk APD gegen dem Dreyekk DAC ſich verhaͤlt wie 1 gegen 4, ſo muͤſſen auch beyde Dreyekke LBA und APD zuſammen gegen dem ganzen Dreyekk LAD ſich verhalten wie 1 gegen 4. Und dieſes iſt/ aus gleichem Grund/ von allen andern Dreyekken zu verſtehen/ welche in denen uͤbrigen Ab- ſchnitten fort und fort moͤgen beſchrieben/ oder als beſchrieben unendlich hinaus gedacht werden.

Derowegen/ weil das/ innerhalb der Parabel beſchriebene/ groͤſſeſte Dreyekk gegen denen groͤſſeſten in beyden folgenden Abſchnitten ſich verhaͤlt/ wie 4 gegen 1; und dieſe beyde wieder gegen denen folgenden/ wie 4 gegen 1, und alſo unendlich fort: ſo iſt of- fenbar/ daß/ wann das allergroͤſſeſte deroſelben LAD geſetzet wird zu ſeyn 3, derer uͤbrigen aller voͤllige Summ/ d. i. die ganze Parabel-Flaͤche LBAPD, ſeyn muͤſſe 4. W. Z. W. B.

Q qNB. Des Archimedis

NB. Des allerletzten Schluſſes Grund/ welchen van Schooten abſonderlich an einem andern Ort behandelt/ muͤſſen wir noch/ aufs kuͤrzeſte als moͤglich/ erlaͤutern- Derſelbe iſt nun dieſer Satz:

Wann etliche gleichverhaltende Dinge ordentlich auf einander fol- gen/ ſo verhaͤlt ſich das erſte gegen dem andern/ wie die Summe aller miteinander ohne das letzte/ gegen der ganzen Summ ohne das erſte.

Das iſt/ wann eine Reihe iſt a, ea, e3a, e4a, &c. ſo verhaͤlt ſich wie a gegen ea, alſo a+ea+e3a gegen ea+e3a+e4a. Deſſen Waarheit dann vor Augen ligt/ wann man nur die beyde letztere und beyde mittlere in einander fuͤhret.

Daher iſt klar und leicht/ wann in einer ſolchen Verhaͤltnis-Reihe das erſte/ andere und lezte bekannt iſt/ die ganze Summa aller miteinander zu finden. Dann/ wann das erſte iſt a, das andere b, und das lezte c, und geſuchet wird die voͤllige Summ aller uͤbri- gen ſambt dieſen/ welche indeſſen z heiſſen ſoll: ſo verhaͤlt ſich/ Laut erſtbeſagtens/ a gegen b, wie z-c gegen z-a; und wird alſo (wann man beyde aͤuſſere und beyde mittlere durcheinander fuͤhret) az-aa gleich bz-bc.

Wann nun a groͤſſer zu ſeyn geſetzt wird als b, und alſo die gleichverhaltende Dinge in einer unendlichen Verhaͤltnis-Reihe unendlich-kleiner und kleiner werden; ſo wird end- lich [wo man anderſt hier endlich ſagen darf] c gleich o: und daher bc aufgehoben oder nichts: alſo daß in ſolchem Fall/ der vorigen Vergleichung nach/ ſeyn wird/ az-aa gleich bz. Oder ſo man beyderſeits aa darzu ſetzet/ az gleich aa+bz; Oder ſo man beyderſeits bz hinweg nimmt/ az-bz gleich aa; Und endlich/ ſo man beyderſeits durch a-b teihlet/ z gleich \frac {aa}{a-b.} Welches ſo viel geſagt iſt:

Wann/ in erſtgeſetztem Fall/ welcher auch in obigem Schluß ſich ereignet/ das erſte mit ſich ſelbſt vervielfaͤltiget/ und das kommende durch den Reſt des erſten uͤber das andere geteihlet wird/ ſo kombt heraus die Summa aller gleichverhaltenden miteinander.

Dieweil nun in obigem Schluß/ das erſte gleichverhaltende iſt 3, und die Verhaͤlt- nis unterwerts vierfach iſt/ ſo muß das andere ſeyn ¾, und der Reſt des erſten uͤber das an- dere 2¼. Das erſte aber mit ſich ſelbſt vervielfaͤltiget/ gibt 9. So ich nun 9 mit 2¼ teihle/ kombt heraus 4: Daß alſo/ wann das Dreyekk LAD 3 iſt/ die ganze Parabel- Flaͤche LBAPD 4 ſeyn muß.

Und dieſes iſt alſo/ dem Jnnhalt und der Sache ſelbſten nach/ eben der Weg/ durch welchen Archimedes im lezten Teihl ſeines Buchs die Parabel-Vierung ge- funden hat.

Der Parabel-Vierung.

Der Zweyte Weg/

Durch die Verhaͤltnis derer Lineen/ NO, NQ und NP;

Wann nehmlich zwiſchen AC und MD eine gleichlauffende NO gezogen wird. Beſagte Verhaͤltnis nun wird alſo gefunden. Wann man der Parabel Mitmeſſer (latus rectum) ſetzet gleich r.

AC oder NO gleich x. NQ gleich y, und AR oder NP gleich z;

So iſt (vermoͤg der I. Betrachtung in V.) die Vierung von CD oder AM gleich rx, und alſo die Lini AM gleich √.rx. Aus gleichem Grund iſt RP oder AN gleich √.rz. Dieweil nun/ wegen Aehnlichkeit beyder Dreyekke AMD, ANQ, AM (d. i. √.rx) gegen MD oder AC (d. i. gegen x) ſich verhaͤlt/ wie AN (d. i. √.rz) gegen NQ (d. i. gegen y) ſo muß y √. r x, das kommende aus beyden aͤuſſerſten/ gleich ſeyn x √. rz, dem kommenden von beyden mittlern; oder/ ſo man beydes in ſich ſelbſt fuͤhret/ yy, rx gleich xx, rz; oder/ ſo man beydes durch rx teihlet/ yy gleich xz. Welches ſo viel geſagt iſt/ als: Die Vierung von NQ ſey gleich dem Rechtekk aus NO in NP; oder (vermoͤg des 17den im VI. B.) NO verhalte ſich gegen NQ, wie NQ gegen NP. Und dieſes muß von einer jeden Lini NO, welche zwiſchen AC und MD gleichlauffend ſtehet/ verſtanden werden.

Wann man ihme nun hiernaͤchſt einbildet einen Kegel und eine Rund-Saͤule auf ei- nerley Grund-Flaͤche und in gleicher Hoͤhe/ alſo nehmlich/ daß die Scheibe umb den Halbmeſſer MD ihre Grund-Flaͤche und ihrer beyder Achſe AM ſey; weil NO, NQ und NP ordentlich-gleichverhaltend ſind/ und daher die erſte NO gegen der dritten NP ſich verhaͤlt wie die Vierung der erſten NO gegen der Vierung der andern NQ [und ſolches unendlich von allen Lineen NO und NP, und von allen Vierungen NO und NQ, muß verſtanden werden:] ſo werden alle Lineen des Vierekkes ACDM gegen allen Lineen der dreyekkichten Figur APDM (nehmlich allezeit NO gegen NP) ſich verhalten wie alle Vierungen der Rund-Saͤule gegen allen Vierungen des Kegels/ oder (nach dem 2ten des XII.) wie alle Scheiben der Rund-Saͤule gegen allen Scheiben des Kegels. Nun aber/ wie ſich verhalten alle Lineen des Vierekkes ACDM gegen allen Lineen der dreyekkichten Figur APDM, ſo verhaͤlt ſich (nach dem Methodo In- diviſibilium Cavallerii) das Vierekk ſelbſten gegen der dreyekkichten Figur: Und glei- cher geſtalt/ wie ſich verhalten alle Scheiben oder Vierungen der Rund-Saͤule gegen allen Scheiben oder Vierungen des Kegels/ ſo verhaͤlt ſich auch die Rund-Saͤule gegen dem Kegel. Derowegen wird auch das Vierekk ACDM gegen der Figur APDM ſich verhalten wie die Rund-Saͤule gegen dem Kegel/ das iſt (Laut des 10den im XII.) wie 3 gegen 1. Wann demnach das Vierekk ACDM, oder (Krafft des 41ſten im I. B.) das Dreyekk LAD, 3 iſt/ ſo muß APDM 1, und die halbe Parabel CAPD 2, und folgends die ganze LAPD 4 ſeyn. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Q q ijDer Archimedis

Der Dritte Weg/

Welcher in folgenden Saͤtzen enthalten iſt.

Wann in einer Parabel-Flaͤche LAD der Durchmeſſer iſt AC, und auf denſelben ordentlich-gezogen die Grund-Lini LCD: So dann AD gezogen und das gleichlauffend-ſeitige Vierekk CM vollfuͤhret/ innerhalb deſſelben aber nach Belieben gezogen wird die mit AC oder DM gleichlauffende/ NO, welche AM und CD betreffe in N und O, AD aber durchſchneide in Q, und die Parabel in P; So ſage ich/ ON verhalte ſich gegen QN, wie QN gegen NP.

Dieſe Verhaͤltnis iſt durch vorhergehenden zweyten Weg gefunden worden; wird aber dannoch hier folgender Geſtalt beſtaͤttiget: Dieweil AC ge- den AS ſich verhaͤlt wie CD gegen SQ oder RP, Laut des 4ten im VI. AC aber gegen AR wie die Vierung CD gegen der Vierung RP, Krafft der I. Betr. 7der Folge in V. das iſt/ wie die Vierung AC gegen der Vierung AS, nach dem 22ſten des VI. ſo folget/ daß AC, AS und AR ordentlich- gleichverhaltend ſeyen/ d. i. AC oder NO gegen AS oder NQ ſich verhalte/ wie AS oder NQ gegen AR oder NP.

II.

Wann in ſolchem Fall AM in gleiche Teihle/ nach Belieben/ geteih- let wird/ und aus denen Teihlungs-Puncten N, T, V die/ mit AC gleichlauffende/ Lineen NO, TW, VX gezogen werden/ welche die gerade Lini AD in Q, Z und b, die Parabel aber in P, Y und a zer- ſchneiden: So ſage ich/ NO, TW, VX und MD zuſammen verhal- ten ſich gegen NP, TY, Va und MD zuſammen/ wie alle Vierungen von NO, TW, VX und MD miteinander/ gegen allen Vierungen von NQ, TZ, Vb und MD miteinander. Jtem/ NO, TW, VX und MD znſammen gegen NP, TY, Va zuſammen/ wie alle Vierungen NO, TW, VX und MD miteinander/ gegen allen Vierungen NQ, TZ und Vb miteinander.

Die Waarheit dieſes Satzes iſt abermals in dem vorhergehenden Weg bereit erſchie- nen; wird aber dannoch hier alſo erwieſen: Es verhaͤlt ſich/ Krafft vorhergehenden

Satzes/ ON gegen NQ, wie NQ gegen NP: derowegen auch ON gegen NP, wie die Vie- rung ON gegen der Vierung NQ. Auf gleiche Weiſe/ wird TW gegen TY ſich verhalten wie die Vierung TW gegen der Vierung TZ; und VX gegen Va, wie die Vierung VX gegen der Vierung Vb: derowegen alle Lineen/ ON, TW, VX, verhalten ſich gegen NP, TY, Va zuſammen/ wie alle Vierungen/ ON, TW, VX, gegen allen Vierungen NQ, TZ, Vb, mitein- Parabel-Vierung. miteinander. Es verhaͤlt ſich aber auch die Lini DM gegen der Lini MD, wie die Vierung von DM gegen der Vierung von MD. Derowegen alle Lineen/ ON, TW, VX und DM miteinander verhalten ſich gegen allen Lineen/ NP, TY, Va und MD zuſammen/ wie alle Vierungen ON, TW, VX und DM, gegen allen Vierungen NQ, TZ, Vb und MD, miteinander. Und diß iſt eines.

Nun dann allererſt erwieſen worden/ daß ON, TW und VX zuſammen/ gegen NP, TY, und Va zuſammen ſich verhalten/ wie die Vierungen ON, TW, VX ge- gen denen Vierungen NQ, TZ, Vb, miteinder; und aber die Lineen ON, TW, VX einander gleich ſind; ſo verhaͤlt ſich auch ⅓ von ihnen (nehmlich eine allein) gegen NP, TY und Va zuſammen wie ⅓ von denen Vierungen ON, TW, VX (nehmlich wie- der eine allein) gegen denen Vierungen NQ, TZ, Vb miteinander/ Krafft des 15den im V. B. und aus gleichem Grund/ die einige Lini wieder viermal genommen/ d. i. ON, TW, VX ſambt MD gegen NP, TY und Va zuſammen/ wie die einige Vierung viermal genommen/ nehmlich die Vierungen ON, TW, VX ſambt der Vierung MD, gegen denen Vierungen NQ, TZ, Vb, miteinander. Welches fuͤrs andere ſolte bewieſen werden.

III.

Nun ziehe man durch P, Y und a die/ mit AM oder LD gleich- lauffende/ Lineen/ welche die beyderſeits-naͤchſte Lineen in c, d, e, f, g und h durchſchneiden: So ſage ich/ das Vierekk CM ſey nicht gar dreymal ſo groß als die Vierekke cN, eT, gV und XM; mehr aber dann dreymal ſo groß/ als die Vierekke PT, YV und aM.

Dann/ weil MD, Vb, TZ und NQ einander ordentlich gleich-uͤbertreffen (wie aus dem 4ten des VI. leichtlich zu ſchlieſſen) alſo zwar/ daß der Ubertreffungs-Reſt allerſeits gleich iſt der kleineſten NQ; und eben ſo viel andere/ MD, VX, TW und NO, alle und jede der groͤſſeſten MD gleich ſind: ſo muͤſſen (vermoͤg des X. Lehr- ſatzes im folgenden Buch Archimedis von denen Schnekken-Lineen) die Vie- rungen derer gleichen Lineen MD, VX, TW und NO ſambt der Vierung der groͤſ- ſeſten unter denen Ungleichen/ nehmlich der Vierung MD, und noch uͤber dieſes dem Rechtekk/ welches aus der kleineſten NQ und einer Lini/ ſo da gleich iſt allen gleich- uͤbertreffenden miteinander/ gemachet wird/ miteinander dreymal ſo groß ſeyn als die Vierungen derer ungleichen Lineen MD, Vb, TZ und NQ, zuſammen. Woraus dann folget/ daß die Vierungen MD, VX, TW und NO allein (ohne das uͤbrige vorhinbeygeſetzte) nicht gar dreymal ſo groß ſeyen als die Vierungen MD, Vb, TZ und NQ zuſammen. Dieweil aber aus dem vorhergehenden Satz bekannt iſt/ daß die Vierungen MD, VX, TW und NO gegen denen Vierungen MD, Vb, TZ und NQ ſich verhal- ten/ wie die Lineen MD, VX, TW und NO, gegen denen Lineen/ MD, Va, TY und NP: ſo folget/ daß auch die Lineen MD, VX, TW und NO zuſammen nicht gar dreymal ſo groß ſeyen als MD, Va, TY und NP miteinander; d. i. (Krafft des 1ſten im VI.) alle Vierekke XM, WV, OT, CN zuſammen/ oder das ganze Vier- ekk CM, nicht gar dreymal ſo groß/ als die Vier- ekke XM, gV, eT und cN. Und diß iſt eines.

Krafft angezogenen Lehrſatzes Archimedis iſt auch offenbar/ daß die Vierungen MD, VX, TW und NO zuſammen mehr dann dreymal ſo groß ſeyen als die Vierungen Vb, TZ und NQ mit-

einander. Dieweil nun/ Laut des vorhergehenden Satzes/ die Vierungen MD, Q q iijVX, Archimedis VX, TW und NO gegen denen Vierungen Vb, TZ und NQ ſich verhalten/ wie die Lineen MD, VX, TW und NO, gegen denen Lineen Va, TY und NP; ſo fol- get/ daß auch alle Lineen MD, VX, TW und NO zuſammen mehr dann dreymal ſo groß ſeyen als Va, TY und NP miteinander; und alſo (Krafft des 1ſten im VI.) die Vierekk XM, WV, OT und CN zuſammen/ d. i. das Vierekk CM, mehr dann dreymal ſo groß als die Vierekke aM, YV und PT zuſammen. Welches fuͤrs andere hat ſollen bewieſen werden.

NB. Damit man des Archimedis angezogenen Lehrſatz gar nicht beduͤrfe/ kan/ daß die Vierungen MD, VX, TW und NO zuſammen nicht gar dreymal ſo groß ſeyen als die Vierungen MD, Vb, TZ und NQ; mehr aber dann dreymal ſo groß als die Vierungen Vb, TZ und NQ, fuͤr ſich ſelbſten alſo bewieſen werden: Man ſetze fuͤr NQ, b, ſo iſt TZ 2b, Vb 3b und MD 4b. Derer Vierungen zuſammen machen 30bb. Die Vierungen de- rer drey erſten aber ohne MD, machen 14bb. Alle Vierungen aber derer gleichen Lineen/ deren jede iſt 4b, machen zuſammen 64bb. So iſt nun offenbar/ daß 64 nicht gar dreymal ſo groß ſey als 30, mehr aber dann dreymal ſo groß als 14.

IV.

So man nun/ uͤber bißher-beſagtes/ die Flaͤche i ſetzet zu ſeyn den dritten Teihl des Vierekkes CM; ſo ſage ich/ die dreyekkichte Flaͤche APYaDM ſey der Flaͤche i gleich.

Dann/ wo ſie derſelben nicht gleich iſt/ ſo wird ſie entweder groͤſſer oder klei- ner ſeyn.

I. Satz. Man ſetze fuͤrs erſte/ ſie ſey groͤſſer/ und vervielfaͤltige den Uberreſt ſo oft/ biß die Summ uͤbertreffe das Vierekk CM. So kan demnach ein gewiſſer auf- hebender Teihl des bemeldten Vierekkes gegeben werden/ welcher kleiner iſt als beſagter Reſt/ zum Exempel das Vierekk CN; welchem nach auch AN ein gewiſſer aufheben- der Teihl der Lini AM ſeyn wird. So teihle man dann die ganze AM in lauter ſolche Teihle wie AN, und verrichte das uͤbrige/ was oben geſagt worden. Dieweil nun CN kleiner iſt als der Reſt/ mit welchem APYaDM das i uͤbertrifft/ ſo folget/ daß CN ſambt i kleiner ſey als erſtgenannte Flaͤche APYaDM; und umb ſo viel mehr kleiner als die Vierekke cN, eT, gV und XM. Nun ſind aber dem Vierekk CN gleich die Vierekke cN, ed, gf und Xh. Derowegen/ ſo man beyderſeits erſterwaͤhnte Vier- ekke hinweg thut/ ſo bleibt i kleiner als PT, YV und aM; und weil CM dreymal ſo groß iſt als i, ſo muß folgends CM nicht gar dreymal ſo groß ſeyn als PT, YV, und aM: Welches aber unmoͤglich/ und vorhergehenden III. Satz zu wider iſt. Kan dere- wegen die Flaͤche APYaDM nicht groͤſſer ſeyn als i.

II. Satz. Man ſetze fuͤrs andere/ ſie ſey kleiner/ und ſetze den Uberreſt des i uͤber beſagte Flaͤche wieder ſo oft zu ihm ſelber/ biß die Summ uͤbertreffe das Vierekk CM, &c. wie oben.

Dieweil nun CN kleiner iſt als der Reſt des i uͤber APYaDM, ſo iſt APY aDM ſambt CN kleiner als i. Es iſt aber i kleiner als die Vierekke cN, eT, gV und XM zuſammen; [dann CM iſt dreymal ſo groß als i geſetzet/ und aber nicht gar dreymal ſo groß als erzehlte Vierekke/ Laut vorhergehenden III. Satzes.] Dero- wegen iſt umb ſo viel mehr APYaDM ſambt CN kleiner als cN, eT, gV und XM zuſammen. So man nun beyderſeits die Flaͤche APYaDM hinweg nimmt/ ſo muß CN annoch kleiner bleiben als die uͤbrige Flaͤchen cAP, ePY, gYa und XaD: Wel- ches aber unmoͤglich iſt/ ſintemal CN gleich iſt dem cN ſambt ed, gf und Xh. Kan derowegen die Flaͤche APYaDM nicht kleiner ſeyn als i, ſondern muß (weil ſie auch nicht groͤſſer iſt) demſelben nohtwendig gleich ſeyn. W. Z. B. W.

V. Hier- Parabel-Vierung.

Hieraus iſt nun offenbar/ daß jede Parabel-Flaͤche uͤberdritteihlig ſey des Dreyekkes/ welches mit ihr einerley Grund-Lini und gleiche Hoͤhe hat.

Die Sache iſt klar/ wann man in voriger Figur die Lini LA ziehet. Dann das Dreyekk LAD iſt gleich dem Vierekk CM. Derowegen/ wann LAD 3 iſt/ ſo iſt (vermoͤg des naͤchſten Beweiſes) APYaDM 1; die uͤbrige Flaͤche APYaDC aber 2, und folgends die ganze Parabel-Flaͤche LAPYaD, 4. Welches hat ſollen be- wieſen werden.

NB. Dieſer Weg iſt/ ſonderlich in denen beyden lezten Saͤtzen/ des Archimedis ſeinem Er- ſten/ in dem XVI. und XVII. Lehrſatz enthaltenen/ ſehr aͤhnlich/ wie aus dero Ge- geneinanderhaltung erſcheinen wird. Jm uͤbrigen wollen wir zum Beſchluß noch verſuchen/ unſerem/ am End des II. Buchs von denen Gleichwichtigen und Schwaͤrepuncten geſchehenen/ Verſprechen ein Genuͤgen zu leiſten/ und folgende beyde Aufgaben vermittelſt der Buchſtaben-Rechnung aufzuloͤſen.

Die Erſte Aufgab.

Einer jeden fuͤrgegebenen Parabel-Flaͤche (als LBAPD) Schwaͤrepunct zu finden.

Man ſetze/ K ſey der begehrte Schwaͤrepunct/ und S der Schwaͤrepunct des Drey- ekkes LAD, V und X aber die Schwaͤrepuncten beyder Parabel-Stuͤkke LBA und APD: Welchem nach T, der/ aus beſagten Parabel-Stuͤkken zuſammgeſetzten/ Groͤſſe Schwaͤrepunct ſeyn wird.

So man nun fuͤr CA ſetzet a, ſo wird EB oder IP ¼ a, (wie im 1. Weg dieſes Anhangs bewieſen worden) und AS ⅔ a. Darnach ſo man fuͤr AK ſetzet z, iſt CK gleich a-z. Dieweil nun CA gegen KA, d. i. a gegen z, ſich verhaͤlt/ wie EB oder IP (d. i. ¼ a) gegen BV oder PX; ſo iſt BV oder PX gleich ¼ z, und folgends EV oder IX ¼ a-¼ z, oder \frac {a-z}{4}. So man aber FE oder HI (d. i. ½ a) hinzu ſetzet/ wird FV, oder HX, oder CT, ¾a-¼z oder \frac {3a-z}{4}.

Ferner/ wann CK (a-z) von CT (das iſt/ von \frac {3a-z}{4}) genommen wird/ ſo bleibt KT gleich \frac {3z-a}{4}. Wann aber AK, d. i. z, von AS (⅔a) genommen wird/ bleibt KS gleich ⅔a-z. Nun verhaͤlt ſich aber KT gegen KS, wie das Dreyekk LAD gegen denen beyden Parabel-Stuͤkken LBA und APD zuſammen/ d. i. (Krafft vorhergehender Parabel-Vierung) wie 3 gegen 1. Derowegen ver- haͤlt ſich Wie \frac {3z-a}{4} gegen ⅔a-z, alſo 3 gegen 1. So man nun beyde aͤuſſere und beyde mittlere ineinander fuͤhret/ wird \frac {3z-a}{4} gleich 2a-3z. Und ſo man beydes mit 4 vervielfaͤltiget/ 3z-a gleich 8a-12z; und/ ſo man beyderſeits a darzu thut/ 3z gleich 9a-12z; und ſo man beyderſeits 12z darzu thut/ 15z gleich 9a; und endlich/ ſo man beydes durch 15 teihlet/ z gleich \frac {9}{15}a, d. i. ⅗a. Woraus dann erhellet/ daß/ zu Beſtimmung des Schwaͤrepunctes K, AC muͤſſe in 5 gleiche Teihl geteihlet/ und fuͤr AK 3 deroſelben genommen werden; Welches dann mit unſers Archimedis VIII. Lehrſatz im II. Buch von denen Gleichwichtigen richtig uͤber- ein ſtimmet.

Die Archimedis Parabel-Vierung.

Die Andere Aufgab.

Eines jeden/ von einer Parabel-Flaͤche mit deroſelben Grund- Lini gleichlauffend-abgeſchnittenen/ Stuͤkkes Schwaͤrepunct zu be- ſtimmen.

Ein ſolches abgeſchnittenes Parabel-Stuͤkk ſey ADEC, und fuͤr deſſelben Schwaͤrepunct ge- ſetzet/ I: der ganzen Parabel Schwaͤrepunct aber ſey R, und der uͤbrigen Parabel DBE ihrer/ Q. So ſind nun (vermoͤg der vorigen Aufgab) BQ und BR, und folgends auch QR bekannt; RI aber wird geſuchet/ und gefunden/ wann die Verhaͤltnis des Stuͤkkes ADEC gegen der Pa- rabel-Flaͤche DBE zuvor bekannt iſt: dann wie ſich verhaͤlt ADEC gegen DBE, ſo verhaͤlt ſich QR gegen RI.

Man ſetze demnach fuͤr BG, a und fuͤr GF, b, ſo iſt BF, a+b. BQ ⅗a. BR ⅗a+⅗b. und alſo QR ⅗b. RI ſey gleich/ x. und DE, c und AC, d. So iſt demnach die Parabel-Flaͤche DBE, gleich dem Rechtekk aus ½a in \frac {4}{3}c, das iſt/ ⅔ac, vermoͤg der Parabel-Vierung und des 41ſten im I. B. Die ganze Parabel ABC aber iſt gleich dem Rechtekk aus ½a+½b in \frac {4}{3}d, das iſt/ ⅔ad+⅔bd. So man DBE von ABC abziehet/ iſt das Stuͤkk ADEC gleich ⅔ad+⅔bd-⅔ac.

So verhaͤlt ſich demnach/ als obgeſagt/ wie ADEC gegen DBE, alſo QR gegen RI; d. i. Wie ⅔ad+⅔bd-⅔ac gegen ⅔ac, alſo ⅗b gegen x. Derowegen/ ſo man die zwey aͤuſſere und die zwey mittlere durcheinander fuͤhret/ iſt ⅔adx+⅔bdx-⅔acx gleich ⅖acb; Und/ ſo man beyde Teihle durch ⅔ad+⅔bd-⅔ac teihlet/ bleibt — — x gleich ⅖acb/ ⅔ad+⅔bd—⅔ac. Jn welcher letzten Vergleichung dann die voͤllige Aufloͤſung obiger Aufgab/ nehmlich die Beſtimmung der Lini RI, wuͤrklich enthalten iſt/ und aus denen bekannten Regeln der Meßkunſt leichtlich gar ins Werk geſetzet wird.

Archimedis Buch Von Denen Kegel- und Kugel-aͤhnlichen Fi- guren.

Des ganzen Buchs fuͤrnehmſte Betrachtungen.

Der XXIX. Lehrſatz. Ein After-Kugel wird viermal dem Kegel gleichen/ Der auf dem Mittelkreiß die Spitze kan erreichen.

Der XXIII. Lehrſatz. Der After-Kegel hier zum rechten (der ſich ſtellt gleich-hoch auf einem Grund) wie drey zu zwey ſich haͤlt.

Archimedes Von Denen Kegel- und Kugel- aͤhnlichen Figuren.

Archimedes dem Doſitheo Heil und Wolfahrt!

GJerbey uͤberſchikke ich dir/ in dieſem Buch ver- faſſet/ die Beweißtuhme derer noch uͤbrigen Betrachtun- gen/ ſo dir unter denen vorigen nicht zukommen ſind; wie auch etlicher anderer juͤngſt-erfundener/ welche/ nach etlichmahligem Verſuch/ einige Schwaͤrigkeit zu haben ſchienen/ und an ihrer Ergruͤndung mich faſt verzweifflen machten: daher es auch kommen/ daß ich dieſelbe mit denen andern zugleich nicht habe heraus geben koͤnnen. Endlich aber hab ich/ auf embſigeres Nach- ſinnen das Werk gehoben/ an deſſen Vollkommenheit ich anfaͤnglich faſt ver- zweiffelt hatte. Es handelten aber die/ von denen vorigen noch uͤbrige/ Be- trachtungen von der geradwinklichten Kegel-aͤhnlichen Figur; dieſe leztere/ endlich durchgruͤndete/ aber von der ſtumpfwinklichten/ und von denen Kugel- aͤhnlichen Figuren/ deren ich etliche/ Ablange/ etliche/ Breite zu nennen pflege.

Worterklaͤrungen.

Und zwar bey jenen erſten von der geradwinklichten Kegel-aͤhnlichen Figur (oder dem geradwinklichten Afterkegel) wurden dieſe folgende Vorbetrachtun- gen vorangeſetzet:

Wann eines rechtwinklichten Kegels Durchſchnitt umb ſei- nen unbewegten Durchmeſſer beweget wird/ ſo lang/ biß er wie- der an ſeine erſte Stelle kommet/ ſo wird/ durch ſolche ſeine Be- wegung beſchrieben eine Coͤrperliche Figur/ die wir einen recht- winklichten Afterkegel nennen wollen; Seine Achſe oder Mittel- Lini aber den/ beſagter maſſen/ unbewegten Durchmeſſer: und ſeinen Scheitelpunct/ oder die Spitze/ den jenigen Punct/ in wel- chem die Achſe des Afterkegels Flaͤche beruͤhret.

R r ijAnmer- Archimedes von denen Kegel- und

Anmerkung.

Durch den Durchſchnitt eines rechtwinklichten Kegels verſtehet Archlmedes anders nichts/ als die/ hernach ſo ge- nannte Parabel; und zwar nicht die bloſſe Lini def, die ſonſt eigentlich dieſen Nahmen fuͤhret/ ſondern die Flaͤche defd, welche von erſtbeſagter paraboliſchen/ und der Grundlini df beſchloſſen iſt. Von dieſer paraboliſchen Flaͤche nun ſagt Archimedes/ wann ſie umb ihren Durchmeſſer eg (welcher unbeweglich ſtehen bleibet) rund-umb (verſtehe von f gegen h, durch i wieder in f) gefuͤhret werde/ beſchreibe ſie eine Coͤr- perliche Figur defhd, welche er eine Kegel-aͤhnliche/ oder einen Afterkegel (wegen einiger Aehnlichkeit/ die ſie mit ei- nem Kegel hat) nennet; und zwar einen geradwinklichten/ weil die beſchreibende Flaͤche entſtehet durch eines rechtwink- lichten Kegels abc, auf eine ſeiner Seiten/ ab, ſenkrecht ge- ſchehenen/ Durchſchnitt. Die unbewegliche Lini eg, welche zuvor der beſchreibenden Flaͤche Durchmeſſer hieſſe/ nennet er nun die Achſe oder Mittel-Lini des Afterkegels; und den Punct e, in welchem gedachte Mittel-Lini die aͤuſſere Flaͤ- che des Afterkegels beruͤhret/ ſeine Spitze oder den Scheitel- punct. Sonſten kan ein jeder/ der die Augen offen hat/ leichtlich ſehen/ daß ein ſolcher Afterkegel von einem waar- haften unter andern anch darinnen unterſchieden ſey/ daß je- der Kegel oben eine rechte Spitze hat/ dieſer aber allezeit kumpfigt und zugerundet iſt; und daß von eines rechten Ke- gels Spitze auf den Umbkreiß ſeiner Grundſcheibe unzaͤhlig viel gerade Lineen herunter ſtreichen/ da hingegen des Afterkegels Flaͤche keine andere/ als krumme/ zulaͤſſet.

Und wann eine Flaͤche einen ſolchen rechtwinklichten After- Kegel beruͤhret/ eine andere aber/ der vorigen gleichlauffende/ ein Stuͤkk davon abſchneidet; ſo wird die jenige Flaͤche/ welche der Abſchnitt des Afterkegels auf der durchſchneidenden Flaͤche be- greiffet/ gedachtes Abſchnittes Grundflaͤche: der Punct aber/ in welchem die andere Flaͤche den Afterkegel beruͤhret/ ſein Scheitel- punct: und endlich das/ innerhalb des Abſchnittes begriffene/ Teihl der geraden Lini/ welche aus deſſelben Scheitelpunct/ der Achſe des After-Kegels gleichlauffend/ herunter gezogen wird/ ſei- ne Achſe oder Mittel-Lini genennet.

Anmerkung.

Zum Exempel/ wann ich an ſtatt der Lini ab mir ein- bilde eine Flaͤche/ welche den Afterkegel beruͤhret in dem Punct c, und durch ef eine andere/ welche/ der vorigen gleichlauffend/ das Stuͤkk ecfgh abſchneidet/ ſo iſt ehfge (es ſey gleich ein Kreiß/ oder ablange Rundung/ ꝛc.) des Abſchnittes Grundflaͤche/ c ſein Scheitelpunct/ cd aber die Achſe oder Mittel-Lini. Naͤchſt dieſen Erklaͤrungen/ be- merket Archimedes zugleich zum Voraus zwey ſonderbare Eigenſchafften dieſes rechtwinklichten Afterkegels/ welche unten in dem XXIII. und XXVI. Lehrſatz bewieſen und deswe- Kugel-aͤhnlichen Figuren. deswegen hier von uns ausgelaſſen werden. Und dieſes ſind alſo die Erklaͤrungen derer Kunſt- woͤrter/ welche in Behandlung des rechtwinklichten Afterkegels vorkommen.

Von dem ſtumpfwinklichten Afterkegel aber (faͤhrt Archimedes fort) haben wir nach- folgendes zum Voraus geſetzet:

Wann eines ſtumpfwinklichten Kegels Durchſchnitt mit ſei- nem Durchmeſſer/ und denen beyden Lineen/ welche des Durch- ſchnittes naͤchſte genennet werden/ auf einer Ebene iſt/ und umb ſeinen unbewegten Dnrchmeſſer gedachte Ebene oder Flaͤche/ in welcher beſagte Lineen ſind/ beweget wird/ ſo lang/ biß ſie wieder an ihre erſte Stelle kommet; ſo iſt offenbar/ daß eben dieſelbe/ dem Kegelſchnitt naͤchſte/ Lineen einen gleichſeitigen Kegel beſchreiben/ deſſen Spitze iſt der Punct/ in welchem beyde Lineen zuſammen- lauffen: ſeine Achſe aber der unbewegte Durchmeſſer. Die von dem Kegelſchnitt ſelbſten beſchriebene Figur aber wird ein ſtumpf- winklichter Afterkegel: der bleibende Durchmeſſer ſeine Achs oder Mittel-Lini/ und der Punct/ in welchem dieſe Achſe des After- kegels Flaͤche berühret/ die Spitze oder der Scheitelpunct genen- net. Der/ voriger Weiſe beſchriebene Kegel/ ſoll des Afterkegels Begreiffender/ und die Lini zwiſchen des Kegels und Afterkegels Spitzen/ der Achſe Zugab/ heiſſen.

Anmerkung.

Der Durchſchnitt eines ſtumpfwinklichten Kegels/ iſt/ wie ſchon oben weitlaͤuffig erin- nert worden/ nichts anders/ als die ſo genannte Hyperbole/ oder vielmehr die Flaͤche/ wel- che von der Hyperboliſchen Lini def und der Grund-Lini df beſchloſſen iſt. Durch die Li-

neen/ welche hier Archimedes des Durchſchnittes Naͤchſte nennet/ verſtehet er keine andere/ als die jenige/ welche nachmals die Unberuͤhrenden (intactæ) oder niemals-zuſammkom- mende (ἀσύμπωοι) genennet worden/ deswegen/ weil ſie die Eigenſchafft haben/ daß ſie zwar immer naͤher und naͤher zu der Hyperboliſchen Lini kommen/ nimmermehr aber/ wann ſie auch unendlich hinaus verlaͤngert wuͤrden/ dieſelbe beruͤhren oder belangen moͤgen; wie ſchon anderwerts bewieſen worden/ und von Archimede hier als bekannt geſetzet wird. Der- gleichen Lineen nun werden in beygeſetzten Figuren durch hi und hk angedeutet. Wann nun (ſagt Archimedes) der Hyperboliſche Durchſchnitt defd, ſambt ſeinem Durchmeſſer ge und beyden naͤchſten oder unberuͤhrenden Lineen hi und hk auf einer Ebene oder Flaͤche ſich befinden: und folgends die ganze Flaͤche ihki umb den unbeweglichen Durchmeſſer hg, R r iijrund- Archimedes von denen Kegel- und rund-umb (verſtehe von k gegen q durch r wieder in k) gefuͤhret wird/ ſo beſchreiben die beyde naͤchſte Lineen hi und hk mit ihrer Grund-Lini/ einen gleichſeitigen Kegel/ hiqkr, deſſen Spitze iſt h, die Achſe aber gh: Der Kegelſchnitt defd aber beſchreibe eine Kegel- aͤhnliche Figur edofpd, welche er (weil die Flaͤche defd aus einem ſtumpfwinklichten Kegel herkommet) einen ſtumpfwinklichten Afterkegel nennen wolle; deſſen Achſe ſey eg, die Spitze oder Scheitelpunct aber e. Und/ weil ferner dieſer Afterkegel von dem vorigen rechten ganz eingeſchloſſen und umbfangen wird: jenes Achſe auch die Achſe dieſes uͤberſteiget/ ſo ſolle der vorige Kegel des Afterkegels Begreiffender/ der Unterſcheid aber beyder Achſen oder Mittel-Lineen/ eh der Achſe Zugab/ genennet werden.

Und wann eine ebene Flaͤche einen ſolchen ſtumpfwinklichten Afterkegel beruͤhret/ eine andere aber/ der vorigen gleichlauffende/ ein Stuͤkk davon abſchneidet; ſo wird die jenige Flaͤche/ welche der Abſchnitt des Afterkegels auf der durchſchneidenden Flaͤche be- greiffet/ gedachtes Abſchnittes Grundflaͤche: der Punct aber/ in welchem der Afterkegel von der andern Flaͤche beruͤhret wird/ ſein Scheitelpunct: das/ innerhalb des Abſchnittes begriffene/ Teihl der geraden Lini/ welche aus der Spitze des begreiffenden Kegels durch gedachten Scheitelpunct herunter gezogen wird/ die Achſe oder Mittel-Lini: und endlich/ die/ zwiſchen beyden beſagten Spi- tzen oder Scheitelpuncten enthaltene Lini/ der Achſe Zugab/ ge- nennet.

Anmerkung.

Dieſe vierdte Wort-Erklaͤrung kommt mit der vorher- gehenden zweyten in allen Stuͤkken/ biß auf ein einiges/ uͤberein/ und kan daher umb ſo viel eher verſtanden werden. Die Lini ab deutet an die beruͤhrende Flaͤche/ ef die durch- ſchneidende: ecfgh iſt der Abſchnitt des Afterkegels: ehfge deſſelben Grundſcheibe: c der Scheitelpunct: cd endlich die Achſe oder Mittel-Lini. Jn dem einigen iſt der Unterſchied/ daß in dem rechtwinklichten oder paraboliſchen Afterkegel die Achſe des Abſchnitts cd, der Achſe des Af- terkegels gleich lauffet: da hingegen hier beyde in dem Scheitelpunct des begreiffenden Kegels i zuſammen treffen. Endlich wird auch hier noch ei- ne Lini beobachtet/ welche dorten nicht vorkommen/ nehmlich die Lini ci, welche zwiſchen beyden Scheitelpuncten des Abſchnittes und des begreiffenden Kegels begriffen/ und der Achſe cd ihre Zugab genennet/ wird.

Die rechtwinklichten Afterkegel nun ſind alle einander aͤhnlich: Unter denen ſtumpfwinklichten aber ſollen die jenige einander aͤhn- lich genennet werden/ deren begreiffende Kegel einander aͤhn- lich ſind.

Anmerkung.

Alle Coͤrperliche Figuren/ welche durch gleiche Bewegung aͤhnlicher Flaͤchen gleichſam gezeuget und hervor gebracht werden/ ſind auch einander aͤhnlich. Weil nun alle rechtwink- lichte Kegelſchnitt oder Paraboliſche Flaͤchen einander aͤhnlich ſind; unter denen ſtumpfwink- lichten Kugel-aͤhnlichen Figuren. lichten Kegelſchnitten oder Hyperboliſchen Flaͤchen aber/ die jenige erſt einander aͤhnlich ſind/ deren naͤchſte oder unberuͤhrende Lineen (oder deutlicher/ deren begreifſende Dreyekke/ wie in voriger Figur ihk) durch ihren Umblauf aͤhnliche Kegel hervor bringen (als wir bey ande- rer Gelegenheit beweiſen wollen) ſo muͤſſen nohtwendig auch alle rechtwinklichte oder para- boliſche Afterkegel ſchlechter dings; unter denen ſtumpfwinklichten und Hyperboliſchen aber die jenige/ einander aͤhnlich ſeyn/ deren begreiffende Kegel einander aͤhnlich ſind. Und im End/ was bedarf es hier viel Beweiſens/ ſintemal die Worterklaͤrungen bey denen Kuͤnſtlern will- kuͤhrliche Saͤtze ſind/ und genug iſt/ daß Archimedes hier ſagt/ welche er aͤhnliche Figuren nennen wolle/ wann nur hernachmals das jenige/ was von dieſen alſo genenneten geſagt und vorgebracht wird/ unfehlbar kan bewieſen werden. Sonſten haͤnget Archimedes/ altem Ge- brauch nach/ bey dieſer Wort-Erklaͤrung abermals mit an zwey ſonderbare Eigenſchafften des ſtumpfwinklichten Afterkegels/ die vor andern zu betrachten ſeyen/ und in folgenden XXVII. und XXVIII. Lehrſaͤtzen bewieſen werden. Weswegen wir dieſelbe auch dahin verſparen/ und indeſſen ſehen wollen/ was Archimedes ferner fuͤr Wort. Erklaͤrungen in Betrachtung derer Kugel-aͤhnlichen Figuren oder Afterkugeln voranſchikket. Es ſind aber folgende:

Wann eines ſpitzwinklichten Kegels Durchſchnitt umb ſeinen laͤngſten Durchmeſſer (welcher unbeweglich bleibet) rundumb ge- führet wird/ biß er wieder an ſeine erſte Stelle kommet/ ſo wird die/ daher entſtehende/ Figur eine ablange Afterkugel genennet: wann aber ſolche Bewegung umb den kuͤrzeſten Durchmeſſer ge- ſchihet/ ſoll die dadurch erwachſende Figur eine breite After-Kugel heiſſen. Die Achſe oder Mittel-Lini iſt beyderſeits der bleibende Durchmeſſer: Die Scheitel oder Spitze der jenige Punct/ in wel- chem dieſe Achſe der After-Kugel Flaͤche beruͤhret: Der Mittel- punct die Mitte der Achſe: Der Durchmeſſer endlich die jenige Lini/ welche durch den Mittelpunct ſenkrecht auf die Achſe gezo- gen wird.

Anmerkung.

Eines ſpitzwinklichten Kegels Durchſchnitt iſt hier abermals nichts anders als die ſo ge- nannte Ellipſis (ablange oder Ey-Rundung) welche entſtehet/ wann ein ſpitzwinklichter Ke- gel (zum Exempel abc) auf eine ſei- ner Seiten/ ab, winkelrecht durch- ſchnitten wird: als hier iſt die ablange Rundflaͤche dfeg, deren laͤngeſter Durchmeſſer iſt de, der kuͤrzeſte fg. So nun erſtlich der laͤngeſte Durch- meſſer de unbeweglich ſtehet/ und umb denſelben die ablange Rundung Kreiß weiß gefuͤhret wird/ entſtehet daher eine ablang-runde Figur/ ohn- gefehr in Geſtalt eines Eyes/ welche Archimedes eine ablange Afterkugel

nennet/ deren Mittel-Lini oder Achſe iſt DE; die Spitzen oder Scheitelpuncten d und e; der Mittelpunct h; der Durchmeſſer endlich fg. Wann aber der kuͤrzeſte Durchmeſſer fg un- beweglich bleibet/ und eben dieſe ablange Rundung umb denſelben von e gegen d rings-umb ge- fuhret wird/ beſchreibet dieſelbe eine plattrunde Figur/ ohngefehr in geſtalt eines Hollaͤndi- ſchen Kaͤſes/ welche Archimedes eine breite oder platte Afterkugel heiſſet/ deren Achſe iſt fg; die Scheitelpuncten f und g; der Mittelpunct h, und endlich der Durchmeſſer de.

7. Und Archimedes von denen Kegel- und

Und wann eine ſolche After-Kugel (es ſey gleich welche wolle) von gleichlauffenden ebenen Flaͤchen beruͤhret/ und von einer an- dern/ jenen auch gleichlauffenden/ durchſchnitten wird; ſo iſt das Stuͤkk/ welches beyde/ daher entſtehende/ Abſchnitte der After- Kugel auf der durchſchneidenden Flaͤche begreiffen/ gedachter Ab- ſchnitte Grund-Flaͤche: die jenige Puncten aber/ in welchen die andere Flaͤchen die After-Kugel beruͤhren/ ſind ihre Scheitelpun- cten: und die/ innerhalb beyder Abſchnitte begriffene Teihle der Lini/ welche von einem Scheitelpunct zu dem andern gezogen wird/ ihre Achſen oder Mittel-Lineen.

Anmerkung.

Zum Exempel/ wann ich mir an ſtatt beyder Lineen ab, einbilde zwo gleichlauffende Flaͤchen/ welche die Afterkugel beyderſeits beruͤhren in c; und an ſtatt der Lini ef eine an- dere/ denen vorigen gleichlauffende/ Flaͤche/ welche die Af- terkugel durchſchneidet und in zwey Teihle/ ecfgh, einteih- let/ ſo iſt ehfge beyder ſolcher Teihle oder Abſchnitte Grund- flaͤche; c beyderſeits der Scheitelpunct; cd aber die Achſe oder Mittel-Lini. Hierbeneben bemerket Archimedes zu- gleich/ daß ſolche anruͤhrende Flaͤchen die Afterkugel nur in einem einigen Punct beruͤhren/ und daß die/ von einem Punct des Anruͤhrens zu dem andern (von c gegen c) gezogene/ Lini durch den Mittelpunct der Afterkugel ſtreiche. Weil er aber ſolches in dem folgenden (nehmlich dem XVII. und XVIII. Lehrſatz) zu erweiſen verſpricht/ laſſen wir es auch dahin verſchoben ſeyn/ und fahren indeſſen in ſeinen Wort- erklaͤrungen alſo fort:

Die jenige Kugel-aͤhnliche Figuren oder Aſterkugeln werden einander aͤhnlich genennet/ deren Achſen oder Mittel-Lineen gegen ihre Durchmeſſer gleiche Verhaͤltnis haben. Aehnliche Teihle oder Abſchnitte derer Kegel- und Kugel-aͤhnlichen Figuren/ heiſſen wir die jenige/ welche von aͤhnlichen Figuren abgeſchnitten wer- den/ und aͤhnliche Grundflaͤchen haben/ und deren Achſen oder Mittel-Lineen entweder ſenkrecht auf ihren Grundflaͤchen ſtehen/ oder gleiche Winkel mit denen Durchmeſſern ihrer Grundſcheiben machen; und endlich gegen eben dieſe Durchmeſſer ihrer Grund- flaͤchen gleiche Verhaͤltnis haben.

Anmerkung.

Alle Afterkugeln oder Kugel-aͤhnliche Figuren ſind einander aͤhnlich/ welche durch Be- wegung oder Umbwaͤlzung aͤhnlicher ablangen Rundungen hervor gebracht werden. Aehn- liche Kugel-aͤhnlichen Figuren. liche ablange Rundungen aber ſind deren laͤngeſte Durchmeſſer gegen ihren kuͤrzeſten gleiche Verhaͤltnis haben. Daraus folget nun die/ von Archimede beſchriebene/ Aehnlichkeit derer Kugel-aͤhnlichen Figuren/ in welchen die Achſe und Durchmeſſer nichts anderſt ſind/ als der laͤngſte und kuͤrzeſte Durchmeſſer ihrer beſchreibenden Ey Rundungen. Was die Aehnlich- keit derer Abſchnitte belanget/ erfordert dieſelbe unterſchiedliche Bedingungen/ welche in Ar- chimedis Worten ſelbſten deutlich genug ausgedruͤkket und erklaͤret ſind. Was aber Archi- medes hier abermal zum Voraus gedencket von etlichen Eigenſchafften derer Kugel-aͤhnlichen Figuren/ laſſen wir hier abermal ſtillſchweigends vorbey ſtreichen/ dieweil unten/ in denen XXIX. XXXII. XXX. XXXIV. &c. Lehrſaͤtzen/ dieſelbe aus dem Grund behandelt werden. Dieſes aber muͤſſen wir hier nicht auslaſſen/ was Archimedes hierauf alſobald mit anfuͤget; daß nehmlich/ wann erſtbemeldte Lehrſaͤtze bewieſen und gewiß ſind/ vermittelſt deroſelben viel andere Betrachtungen und Aufgaben erfunden und kund werden/ als zum Exempel: Daß al- le/ einander aͤhnliche/ Afterkugeln oder Kegel-aͤhnliche Figuren/ wie auch deroſelben (und nicht weniger derer After-Kegel) aͤhnliche Abſchnitte/ eine dreyfache Verhaͤlt- nis ihrer Achſen gegen einander haben. Und wiederumb: Daß in gleichen After- kugeln/ die Vierungen derer Durchmeſſer eine wiederkchrliche Verhaͤltnis haben mit ihren Achſen; und wann die Vierungen derer Durchmeſſer/ in zweyen Afterkugeln/ mit ihren Achſen eine wiederkehrliche Verhaͤltnis haben/ alsdann beſagte After- kugeln einander gleich ſeyen. Jtem dieſe folgende Aufgab: Von einem gegebenen Afterkegel-oder Kugel-Stuͤkk/ mit einer/ der gegebenen gleichlauffenden/ Flaͤche/ wieder ein Stükk abſchneiden/ welches einem gegebenen Kegel oder einer gegebenen Rund-Saͤule oder Kugel gleich ſey. Es beweiſet aber Archimedes dieſe erzehlte Lehr- ſaͤtze und Betrachtungen in ſeinem Buch nicht: Flurantius aber bemuͤhet ſich am End des Buchs deroſelben Beweißthume zu geben/ die wir dann/ zu mehrerer Vollkommenheit des Werkes/ zum Beſchluß auch mit anhaͤngen wollen. Jndeſſen ſchlieſſen wir mit unſerm Ar- chimede dieſe ſeine Vorrede an Doſitheum/ mit folgenden Worten: Nach dem wir nun etli- che Huͤlf-Saͤtze und Vorbetrachtungen/ ſo zu folgenden Beweißthumen vonnoͤthen ſind/ wer- den vorangeſchikket haben/ wollen wir dir das vorgegebene (verſtehe die zum Voraus bemer- merkete Eigenſchafften derer Kegel- und Kugel-aͤhnlichen Figuren) ordentlich beſchreiben. Lebe wol!

Die noͤhtige Huͤlf-Saͤtze/ deren er gedenket/ ſind dieſe folgende:

Der I. Huͤlf-Satz.

Wann ein Kegel von einer Flaͤche/ nach allen ſeinen Seiten durchſchnitten wird/ ſo iſt der Durchſchnitt entweder eine Scheibe oder eine ablange Rundung.

Der Kegel iſt entweder gleichſeitig oder hat ungleiche Seiten; und die durchſchneidende Flaͤche iſt entweder gleichlauffend mit der Grundſcheibe/ oder nicht. Wann die durchſchnei- dende Flaͤche mit der Grundſcheibe gleichlauffet/ ſo gibt der Durchſchnitt eine vollkommene Scheibe in beyden Arten der Kegel: wann ſie aber mit der Grundſcheibe nicht gleichlauffet/ ſo iſt der Durchſchnitt in einem gleichſeitigen Kegel allezeit/ in einem ungleichſeitigen aber mei- ſtenteihls/ eine ablange Rundung; kan aber in dem leztern/ auf einen gewiſſen Fall/ auch eine Scheibe werden: Welches bey anderer Gelegenheit weitlaͤuffig gewieſen wird.

II.

Wann nun der Durchſchnitt eine Scheibe iſt/ ſo wird das obere Stuͤkk/ von dieſer Scheibe an biß an des Kegels Spitze auch ein Kegel ſeyn.

III.

Wo aber der Durchſchnitt eine ablange Rundung iſt/ kan daſ- ſelbe obere Stuͤkk ein Abſchnitt des Kegels genennet werden: deſſen S sGrund- Archimedes von denen Kegel- und Grund-Flaͤche iſt gedachte ablange Rundung/ die Scheitel oder Spitze eben der Punct/ welcher des Kegels Spitze iſt; ſeine Achſe endlich die Lini/ welche von des Kegels Spitze durch den Mittel- punct der ablangen Rundung gezogen wird.

IV.

Und wann eine Rund-Saͤule von zweyen gleichlauffenden Flaͤchen/ nach allen ihren Seiten durchſchnitten wird/ ſo werden die Durchnitte entweder Scheiben oder ablange Rundungen/ und zwar einander gleich und aͤhnlich/ ſeyn.

Nehmlich wann die zwey gleichlauffenden Flaͤchen auch mit der Grundſcheibe gleichlauffen/ ſo gibt jeder Durchſchnitt auch eine Scheibe: wann ſie aber der Grundſcheibe nicht gleich- lauffen/ machen ſie ablange Rundungen/ wie von denen Alten ſchon laͤngſten erwieſen/ und fuͤr ſich ſelbſt genugſam bekannt iſt. Das uͤbrige iſt auch leicht zu faſſen. Dann/ wann beyde Dnrch- ſchnitte Scheiben ſind/ wie t, r, u, s, und v, y, x, z, iſt auſſer Zweiffel/ daß ſie nicht allein unter einander/ ſondern auch der Grund- und Dekkelſcheibe gleich und aͤhnlich ſeyen/ weil ihre Durchmeſſer rs, ux, ab, cd, &c. alle einander gleich ſind. Wann ſie aber ablange Rundungen machen/ wie ltnu und pyqz, kan gleichfalls (aus dem 34. des I. B. Euclidis) leichtlich geſchloſſen werden/ daß/ ſo wol die laͤngeſten Durch- meſſer ln und pq als die kuͤrzeſten tu und yz einander gleich ſeyen/ und folgends ln gegen tu ſich verhalte wie pq gegen yz; welches beydes dann der Grund iſt einer vollkommenen Gleichheit und Achnlichkeit beyder gleichlauffenden Durch- ſchnitte.

So nun beyde Durchſchnitte (rtsu und xyuz) Scheiben ſind/ iſt offenbar/ daß die/ von der Rund-Saͤule abgeſchnittene/ Figur (rsxv) auch eine Rund-Saͤule ſey.

VI.

Wo aber die Durchſchnitte ablange Rundungen ſind (wie ltnu und pyqz) ſolle das/ zwiſchen beyden gleichlauffenden Flaͤ- chen enthaltene und von der Rund-Saͤule abgenommene/ Stuͤkk (lnqp) ein Abſchnitt der Rund-Saͤule/ oder ein Rund-Saͤulen- Stuͤkk/ genennet werden: deſſen Grundflaͤche iſt eine aus denen ablangen Rundungen; ſeine Achſe oder Mittel-Lini aber die jeni- ge Lini/ welche von dem Mittelpunct der einen ablangen Rundung zu dem Mittelpunct der andern gezogen wird (wie mo) und mit der Achſe der ganzen Rund-Saͤule (ig) in eine gerade Lini faͤllet.

Und dieſes ſind alſo die Huͤlf-Saͤtze/ deren ſich Archimedes in Beweiſung etlicher fol- gender Lehrſaͤtze bedienet. Folgen nun die Lehrſaͤtze an ſich ſelbſten:

Der Kugel-aͤhnlichen Figuren.

Der I. Lehrſatz.

Wann etliche/ einander gleich-uͤbertreffende Groͤſſen ſind/ und der Reſt/ mit welchem eine die andere uͤbertrifft/ gleich iſt der klei- neſten unter denſelben; ſo dann eben ſo viel andere/ deren jede der groͤſſeſten unter den vorigen gleich iſt: ſo werden dieſe letzere mit- einander nicht gar zweymal ſo groß ſeyn als die vorigen alle mit- einander; mehr aber dann zweymal ſo groß als die vorigen alle ohne die groͤſſeſte.

Beweiß.

Archimedes ſagt/ der Beweiß dieſes Lehrſatzes ſey offenbar/ und laͤſſet deswegen denſelben gar aus: weswegen dann Flurantius denſelben auf zweyer- ley Weiſe zu erſetzen bemuͤhet iſt. Wir koͤnnen ſeine Waarheit folgender Geſtalt nicht nur kund/ ſondern zugleich allgemein machen/ daß ſie nicht nur von Lineen und Groͤſſen/ ſondern auch von allen andern Dingen/ in welchen einige Un- gleichheit ſtatt findet/ kan geſagt werden:

Es ſey der Unterſcheid oder Reſt etlicher gleich-uͤbertreffenden Dinge a, und alſo das kleineſte unter gemeldten gleich-uͤbertreffenden Dingen auch a, ſo wird das naͤchſte nach dem kleineſten ſeyn 2a, das folgende 3a, das fernere 4a, &c. Wann wir nun/ zum Exempel dieſe viere ſetzen/ welche alle zuſammen machen 10a; und ſo dann eben ſo viel andere nehmen/ deren jedes ſo groß iſt als das groͤſſeſte unter denen vorigen/ nehmlich als 4a; ſo machen dieſe vier letzere zuſammen 16a, welche dann nicht gar zweymal ſo viel ſind als die vori- ge 10a: wann aber das groͤſſeſte von denen vorigen hinweg kombt/ und alſo 6a verbleiben/ mehr als zweymal ſo viel/ wie offenbar und vor Augen iſt. Mangeln alſo dort zu voͤlliger Doppelung 4a, hier aber ſind uͤber die geſche- hene Doppelung 4a uͤbrig. So man die Reihe derer gleich-uͤbertreffenden umb eine Stelle verlaͤngert/ wird ihre Summ ſeyn 15a, die Summ aber derer letzern/ welche alle dem groͤſſeſten in jener Reihe (nehmlich 5a) gleich ſind/ 25a; und endlich der Mangel oder Uberreſt der Verdoppelung 5a. Und alſo/ wann man ferner gehet/ wird zugleich befunden werden/ daß ſolcher Mangel oder Uberreſt jederzeit gleich ſey dem groͤſſeſten in der Reihe derer gleich-uͤber- treffenden.

Der II. Lehrſatz.

Wann in zweyen Reihen gleich-vieler Groͤſſen/ allezeit zwey und zwey ordentlich-gleichverhaltend ſind; Die in der erſten Reihe aber entweder alle/ oder etliche/ gegen etlichen andern ſich wie- derumb eben ſo verhalten/ wie die in der andern Reihe wieder ge- gen etlichen andern: ſo wird die Summ der ganzen erſten Reihe gegen der Summ ihrer entgegen-geſetzten/ ſich eben ſo verhalten/ wie die Summ der andern Reihe gegen der Summ ihrer auch entgegen-geſetzten.

S s ijErklaͤ- Archimedes von denen Kegel- und

Erklaͤrung.

Es ſeyen zum Exempel zwey Reihen gleich-vieler Groͤſſen A, B, C, D, &c. und G, H, I, K, &c. alſo beſchaffen/ daß/ wie A gegen B, alſo G gegen H ſich verhalte/ und ferner/ wie B gegen C, alſo H gegen I, und ſo fort. Nachmals

ſeyen noch zwey andere Reihen gewiſſer Groͤſſen/ gegen beyden vorigen alſo ge- ſtellet/ daß/ wie A gegen N, alſo G gegen T, und ferner/ wie B gegen X, alſo H gegen U, &c. ſich verhalte. Soll nun bewieſen werden/ daß (bey ſo geſtal- ten Sachen) die in der erſten Reihe/ A, B, C, D, &c. alle miteinander gegen ih- ren gegen-uͤber geſetzten N, X, O, P, &c. zuſammen/ ſich eben ſo verhalten/ wie die in der andern Reihe/ G, H, I, K, &c. alle miteinander gegen ihren ent- gegen-geſetzten/ T, U, Y, Q, &c. auch allen zuſamm-genommen.

Beweiß.

Dieweil A gegen N ſich verhaͤlt/ wie G gegen T, und umbgekehrt N gegen A, wie T gegen G; wie aber A ferner gegen B, alſo G gegen H; ſo iſt auch gleich- durchgehend wie N gegen B, alſo T gegen H, vermoͤg des 22ſten im I. B. Eu- clidis. Und weil weiter iſt wie B gegen X, alſo H gegen U; wiederumb gleich- durchgehend/ wie N gegen X, alſo T gegen U. Auf gleiche Weiſe koͤnnen wir be- weiſen/ daß X gegen O ſich verhalte/ wie U zu Y, und O gegen P, wie Y gegen Q, &c. Uber dieſes iſt gewiß/ daß/ wie A gegen G ſich verhaͤlt/ ſo verhalten ſich A+B+C+D, &c. zuſammen gegen G+H+I+K, &c. zuſammen/ aus dem 12ten des V. B. und wechſelweiß/ wie A gegen ſeine ganze Reihe/ alſo G gegen ſeine ganze Reihe; (nb. aus welchem Grund gleicher geſtalt folget/ daß N gegen ſeine ganze Reihe ſich verhalte/ wie T gegen ſeine ganze Reihe) und umbgekehrt/ wie die ganze Reihe A+B+C+D, &c. gegen A, alſo die an- dere Reihe G+H+I+K, &c. gegen G. Wie aber A ferner ſich verhaͤlt ge- gen N, alſo verhaͤlt ſich (vermoͤg obigen Satzes) G gegen T; und wie noch weiter N gegen ſeiner ganzen Reihe/ N+X+O+P, &c. alſo T gegen ſeiner ganzen Reihe/ T+U+Y+Q, &c. (vermoͤg des naͤchſten nb.) Derowe- gen ſo verhaͤlt ſich auch gleichdurchgehend (nach dem 22ſten des V.) die erſte Reihe/ A+B+C+D, &c. gegen ihrer entgegen-geſetzten N+X+ O+P, &c. wie die andere Reihe/ G+H+I+K, &c. gegen ihrer entgegen- geſetzten/ T+U+Y+Q, &c. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmer- Kugel-aͤhnlichen Figuren.

Anmerkung.

Wir wollen dieſes durch einen augenſcheinlichen Beweiß (wie wir bißher oft gethan) alſo kund machen: Es ſey die erſte Reihe/ a, b, ea, die andere/ ea, eb, eea; da man dann mit Augen ſihet/ daß/ wie a gegen b, alſo ea gegen eb, und ferner wie b gegen ea, alſo eb gegen eea ſich verhalte. Nun ſey weiter der erſten Reihe entgegen geſetzet dieſe: xa, zb, yea; der andern dieſe: xea, zeb, yeea; da ſich dann abermals/ wie a gegen xa, alſo in der an- deren Reihe ea gegen xea, und wie b gegen zb, alſo eb gegen zeb, und wie endlich ea in der erſten Reihe gegen yea, alſo eea in der andern gegen yeea ſich verhaͤlt/ So ſage ich nun/ die ganze erſte Reihe verhalte ſich gegen ihrer entgegen-geſetzten (a+b+ ea gegen xa+zb+yea) wie die ganze andere Reihe gegen ihrer entgegen-geſetzten (ea+ eb+eea gegen xea+zeb+yea) welches dann/ ſo man das andere unter dieſen vieren durch das erſte/ und das vierdte durch das dritte teihlet/ alſo augenſcheinlich erhellet iſt gleich Wer die andere Prob gebrauchen/ und die beyde aͤuſſere/ wie auch die beyde mittlere durchein- ander fuͤhren will/ wird gleichfalls mit Augen ſehen/ daß einerley beyderſeits heraus komme/ und alſo wegen der gleichen Verhaͤltnis dieſer vier Summen deſto gewiſſer werden.

Es deutet aber Archimedes nicht allein in dem Lehrſatz ſelbſten an/ ſondern bemerket auch am End ſeines Beweißthumes/ daß eben der Schluß folge/ wann gleich nur etliche Dinge der erſten und anderen Reihe/ und nicht alle/ ihren Gegenſtand haben/ mit welchem ſie verglichen werden; alſo daß/ wann gleich/ zum Exempel/ nur a gegen xa und b gegen zb, ingleichen ea gegen xea und eb gegen zeb, die lezten aber/ ea und eea gegen nichts mehr/ gehalten wer- den/ dannoch a+b+ea gegen xa+zb ſich verhalte/ wie ea+eb+eea gegen xea +zeb. Daß dieſes gewiß ſey/ wird der Augenſchein geben/ wann wir die beyde aͤuſſere und die beyde mittlere durcheinander fuͤhren/ und beyderſeits einerley heraus bringen:

L. ε. D.

Der III. Lehrſatz.

Wann etliche gleiche Lineen (ſo viel man will) geſetzet ſind/ und jeder eine gewiſſe Flaͤche ſambt dem Reſt einer Vierung zu- kommet/ alſo zwar/ daß die Seiten ſolcher Reſt-Vierungen ein- ander ordentlich gleich-uͤbertreffen; der Ubertreffungs-Reſt aber gleich ſey der Seiten der kleineſten Vierung; nachmals eben ſo viel andere Flaͤchen genommen werden/ deren jede der groͤſſeſten unter denen vorigen (ſambt ihrer Vierung) gleich ſey: ſo werden alle dieſe lezte Flaͤchen zuſammen/ gegen allen vorigen miteinan- der eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als die jenige Lini/ welche aus der Seite der groͤſſeſten Vierung und einer aus denen gleichen erſtgeſetzten zuſammgeſetzet iſt/ gegen einer andern/ welche dem S s iijdritten Archimedes von denen Kegel- und dritten Teihl beſagter groͤſſeſten Vierungs-Seiten ſambt der Helf- te einer ſolcher gleichen Lini gleich iſt: eine groͤſſere aber/ wann die groͤſſeſte Flaͤche von denen vorigen hinweg genommen wird.

Erlaͤuterung.

Es ſeyen gegeben etliche gleiche Lineen/ alle mit A bezeichnet/ und werde/ zum Exempel/ zu der erſten ge- ſetzet ein Lini-Stuͤkklein G, zu der andern F, zu der dritten E, &c. alſo daß ſolche Zuſaͤtze einander ordent- lich gleich-uͤbertreffen/ und der Uberereffungs-Reſt gleich ſey dem erſten Zuſatz G, d. i. (deutlicher zu ſa- gen) die Lini F zweymal ſo groß ſey als G, E dreymal/ D viermal/ u. ſ. f. Auf alle ſolche Zuſaͤtze ſeyen ferner beſchrieben ihre Vierungen/ und/ nach Anleitung ſol- cher Vierungen/ erfuͤllet die Flaͤchen AB, AC, AD, &c. Es ſeyen hernachmals andere Flaͤchen/ an der Zahl eben ſo viel als derer vorigen/ der Groͤſſe nach aber alle gleich der groͤſſeſten unter denen vorigen/ AB; und ſeyen bezeichnet mit IL, und alſo geteihlet/ daß HL (welches jederzeit wieder in 3. gleiche Teihle zerſchnit- ten iſt) der groͤſſeſten Vierung B, I aber dem ange- haͤngten groͤſſeſten Rechtekk A, gleich ſey. Jſt nun zu beweiſen/ daß alle dieſe lezte/ mit IL bezeichnete/ Flaͤchen zuſammen/ gegen allen vorigen Flaͤchen/ AB, AC, AD, &c. auch zuſammen/ eine kleinere Verhaͤlt- nis haben/ als die ganze Lini AB (welche aus der groͤſſeſten Vierungs-Seiten und einer von denen glei- chen Lineen A zuſammgeſetzet iſt) gegen dem dritten Teihl von B ſambt der Helfte von A: eine groͤſſere aber/ wann die groͤſſeſte Flaͤche AB von denen vorigen hinweg gethan wird.

Beweiß.

Wie ſich die aufrechten Seiten derer/ mit A be- zeichneten/ Flaͤchen gegen einander verhalten/ ſo ver- halten ſich bemeldte Flaͤchen gegen einander/ vermoͤg des 1ſten im VI. B. Nun aber ſind/ vermoͤg des obigen Satzes/ gedachte Seiten gleich-uͤbertreffend/ und iſt ihr Ubertreffungs-Reſt der kleineſten gleich; derowegen ſind auch die Flaͤchen A ordentlich gleich- uͤbertreffend/ und iſt ihr Ubertreffungs-Reſt gleich der kleineſten und oberſten. Es ſind aber auch andere gleich- viele/ mit I bezeichnete/ Flaͤchen/ deren jede ſo groß iſt als die groͤſſeſte derer vorigen gleich-uͤbertreffenden/ wie oben dieſes alles geſetzet worden; derowegen ſind alle I zuſammen nicht gar zweymal ſo groß/ als alle A zuſammen; mehr aber als zweymal ſo groß/ wann das unterſte und groͤſſeſte A hinweg kommt/ nach vor- herge- Kugel-aͤhnlichen Figuren. hergehendem I. Lehrſatz. Woraus dann folget/ daß die Helfte aller I kleiner ſey als alle A, groͤſſer aber als alle A ohne das groͤſſeſte. Wiederumb ſind etliche Vierungen/ deren Seiten gleich-uͤbertreffend ſind/ nehmlich B, C, D, &c. und eben ſo viel andere/ mit HL bezeichnete und in 3. gleiche Teihl geteihlet/ deren jede ſo groß iſt als die Vierung B, d. i. als die groͤſſeſte unter denen vori- gen. Derowegen ſind alle dieſe Vierungen HL zuſammen nicht gar dreymal ſo groß als alle vorige Vierungen/ B, C, D, &c. auch zuſammen; mehr aber als dreymal ſo groß/ wann von denen vorigen die groͤſſeſte Vierung B hinweg kommt/ vermoͤg folgender 2. Anmerkung. Woraus wieder folget/ daß der dritte Teihl aller Vierungen HL (d. i. alle Flaͤchen H, oder K,) kleiner ſey als alle vorige Vierungen/ B, C, D, &c. groͤſſer aber/ wann die Vierung B hinweg kommet. Und folgends/ daß die Helfte aller I ſambt allen H kleiner ſeyen als alle A ſambt allen Vierungen B, C, D, &c. d. i. als alle Flaͤchen AB, AC, AD, &c. groͤſſer aber/ wann die groͤſſeſte AB hinweg kommt. Derowegen ha- ben alle ganze Flaͤchen IL zuſammen/ gegen allen ganzen Flaͤchen AB, AC, AD, &c. zuſammen eine kleinere Verhaͤltnis/ als gegen der Helfte aller I ſambt allen H; oder eine groͤſſere/ wann man dorten AB davon thut/ vermoͤg des 8ten im V. B. Nun aber/ wie ſich verhalten die ganzen Flaͤchen IL, gegen denen Helften von I ſambt denen Flaͤchen H, ſo verhaͤlt ſich auch die ganze Lini IL (d. i. AB) gegen der halben Lini I, (d. i. halb A) ſambt der Lini H (d. i. dem dritten Teihl von B) nach dem 1ſten im VI. B. Derowegen haben alle Flaͤchen IL zuſammen/ gegen allen Flaͤchen AB, AC, AD, &c. zuſammen eine kleinere Verhaͤltnis/ als die ganze Lini IL (d. i. AB) gegen ½ A ſambt ⅓ B, eine groͤſſere aber/ wann die groͤſſeſte Flaͤche AB von denen andern hinweg genom- men wird. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkungen.

1. Eben dieſes koͤnnen wir abermals ſichtlich und augenſcheinlich alſo beweiſen: Es ſeyen 6. gleiche Lineen a, und werde zu der erſten ein Stuͤkklein g geſetzet/ und folgends die an- dern ordentlich mit dieſem Zuſatz verlaͤngert/ daß ſie einander ordentlich gleich-uͤbertreffen. Welchem nach die erſte alſo verlaͤngerte Lini heiſſen wird a+g, die andere a+2g, die dritte a+3g, und ſo fort/ die letzte und ſechſte endlich a+6g. So wir nun jede ſolche Lini durch ihren Zuſatz oder Hoͤhe fuͤhren/ werden ihre Rechtekke oder Flaͤchen nachfolgender Geſtalt heraus kommen:

Die erſte und kleineſte Flaͤche iſt — — ag+gg. Die andere — — — 2ag+4gg. Die dritte — — — 3ag+9gg. Die vierdte — — — 4ag+16gg. Die fuͤnfte — — — 5ag+25gg. Die ſechſte endlich — — 6ag+36gg. Alſo daß dero- ſelben Summa iſt — — — 21ag+91gg.

Nun ſind neben dieſen ſechs andere Flaͤchen gegeben/ deren jede ſo groß iſt als die groͤſſeſte unter denen vorigen/ nehmlich 6ag+91gg, alſo daß ſie alle ſechſe zuſammen machen 36ag+ 216gg. Soll nun augenſcheinlich bewieſen werden

1. Daß 36ag+216gg gegen 21ag+91gg eine kleinere Verhaͤltnis habe als a+6g gegen ½a+2g.

2. Daß eben dieſelbe 36ag+216gg (d. i. die Summ aller gleichen Flaͤchen) gegen 15ag+55gg (der Summ aller ungleichen Flaͤchen/ ohne die groͤſſeſte) eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als a+6g gegen ½a+2g.

Hierzu muß nun wiederholet werden/ was wir oben/ in der 3. Anmerkung des VIII. Lehrſatzes im II. B. von der Kugel und Rund-Saͤule/ auf gleiche Art bewieſen haben; daß nehmlich/ wann Archimedes von denen Kegel- und wann vier Dinge gegeben ſind/ und das kommende aus dem erſten in das lezte kleiner iſt als das kommende aus beyden mittlern/ alsdann das erſte gegen dem andern eine kleinere Verhaͤlt- nis habe/ als das dritte gegen dem vierdten; eine groͤſſere aber/ wann jenes groͤſſer iſt als dieſes.

Dieſem nach kan die Probe beyder obiger Schluͤſſe mit Augen geſehen werden.

Jm 1. Schluß ſind/ Dieſes kleiner — als — jenes. Jm 2. Schluß ſind/ Dieſes groͤſſer — als — jenes. W. Z. B. W.

2. Gleicher Weiſe kan hier fuͤr Augen geleget werden das jenige/ was Archimedes in obigem Beweiß aus ſeinem Buch von denen Schnekken-Lineen/ dahin er ſich ausdruͤkklich be- ruffet/ will hergeholet haben/ nehmlich die beyde Folgen des daſelbſtigen 10den Lehrſatzes: daß/ wann etliche Vierungen gegeben werden/ deren Seiten ordentlich gleich-uͤbertreffend ſind/ alſo zwar/ daß der Ubertreffungs-Reſt gleich iſt der Seite der kleineſten Vierung; und dann eben ſo viel andere/ aber alle gleich der groͤſſeſten unter denen vorigen/ alsdann alle dieſe gleiche Vierungen miteinander nicht gar dreymal ſo groß ſeyen als alle jene ungleiche zuſam- men; mehr aber als dreymal ſo groß/ wann die groͤſſeſte unter denen ungleichen davon kommt. Solches erhellet aus dem vorhergehenden augenſcheinlich. Dann wann die erſte Seite iſt g, ſo iſt die andere 2g, die dritte 3g, &c. und kommen ihre Vierungen wie ſie oben nach einander ſtehen/ nehmlich

Die erſte und kleineſte — gg. Die andere — — — 4gg. Die dritte — — — 9gg. Die vierdte — — — 16gg. Die fuͤnfte — — — 25gg. Die ſechſte — — — 36gg. Alſo daß die Summa aller ungleichen Vierungen iſt — — — 91gg.

Die Summ aber gleichvieler/ und der groͤſſeſten unter dieſen gleicher/ Vierungen iſt 216gg. So ich nun 216gg durch 91gg teihle/ kommt heraus 2\frac {34}{91}, und zeiget alſo an/ daß jene Summ nicht gar dreymal ſo groß ſey als dieſe. So ich aber von der Summ derer ungleichen Vie- rungen (nehmlich von 91gg) die groͤſſeſte (36gg) hinweg nehme/ alſo daß 55gg uͤberbleibe/ und ſo dann die vorige 216gg mit 55gg teihle/ kommt heraus 3\frac {51}{55}, und zeiget an/ daß die Summ derer gleichen Vierungen die Summe derer ungleichen/ ohne die groͤſſeſte/ mehr als dreymal in ſich begreiffe. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Folge/ oder Anhang.

Wann etliche/ aus einem Punct gezogene/ gerade Lineen ei- nen Kegelſchnitt beruͤhren; und wiederumb etliche andere/ dieſen beruͤhrenden gleichlauffende/ und einander durchſchneidende/ durch den Ke- Kugel-aͤhnlichen Figuren. den Kegelſchnitt gezogen werden: ſo haben die/ von denen Teihlen derer durchſchneidenden Lineen begriffene/ Rechtekke/ gegen denen Vierungen ihrer gleichlauffenden Beruͤhrenden/ einerley Ver- baͤltnis.

Es ſey zum Exempel ein Kegelſchnitt eabf (nehmlich eine Parabel in der I. eine ablange Rundung in der II. und eine Hyperbel in der III. Fig.) und derſelbe beruͤhret von denen/ aus einem Punct t gezogenen/ Lineen tb und tn; und durch den Kegelſchnitt zwey an- dere einander durchſchneidende/ und mit je- nen Beruͤhrenden gleichlauffende/ ac und ef, gezogen/ alſo nehmlich/ daß ac mit tn und ef mit tb gleichlauffe. So ſagt nun Archimedes/ es ſey bereit in denen An- fangs-Buͤchern von denen Kegel-Lineen er-

wieſen/ daß in ſolchem Fall allezeit das Rechtekk aus ah in hc gegen der Vierung tn ſich berhalte/ wie das Rechtekk aus eh in hf gegen der Vierung bt.

Dieſes nun kan auch von einem Kreiß (dann oſtmals gibt ein Kegelſchnitt auch eine Kreiß-Lini) verſtanden/ und in ſolchem Fall am allerleichteſten bewieſen werden. Dann da iſt allezeit das Recht- ekk aus ah in hc gleich dem Rechtekk aus eh in hf, vermoͤg des 35ſten im III. und die Vierung tb gleich der Vierung tn, Laut der 2. Folge des 36ſten eben deſſelben Buchs. Daher dann un- ſehlbar folget/ daß das Rechtekk hac gegen dem Rechtekk ehf ſich verhalte/ wie die Vierung tn gegen der Vierung cb; und wechſel- weiß/ das Rechtekk ahc gegen der Vierung tn, wie das Rechtekk ehf gegen der Vierung bt.

Jn der ablangen Rundung iſt die Sache eben ſo leicht/ wann die beyde durchſchneidende Lineen die Durchmeſſer ſelbſten ſind/ oder eine ein Durchmeſſer und die andere dem andern Durchmeſſer gleichlauf- fend; dann da iſt (ver- moͤg der XII. Betrach- tung in V.) das Recht- ekk ahc, gegen dem Rechtekk ehf allezeit/ wie die Vierung bh. (d.i. die Vierung tn) gegen der Vierung hn (d.i. der Vierung bt) und daher auch wechſel- weiß das Rechtekk ahc gegen der Vierung tn,

wie das Rechtekk ehf gegen der Vierung bt. Jn denen uͤbrigen Faͤllen kan die Sache gleich- T tfalls Archimedes von denen Kegel- und falls/ ſo wol von jeder Kegel-Lini abſonderlich/ als auch durch einen allgemeinen Beweiß von allen auf einmal/ durch Beyhuͤlf obiger Betrachtungen in V, gewiß gemacht werden/ welches wir indeſſen dem kunſtliebenden Leſer zur Ubung hinterlaſſen wollen/ biß wir bey anderer Ge- legenheit mit mehrerem hiervon zu reden Urſach bekommen.

Der IV. Lehrſatz.

Wann von eines rechtwinklichten Kegels Durchſchnitt zwey Stuͤkke nach Gefallen abgeſchnitten werden/ deren Durchmeſſer einander gleich ſind: ſo werden auch dieſelbe Stuͤkke oder Abſchnitte einander gleich ſeyn: wie auch die/ innerhalb derſelben beſchriebe- ne Dreyekke/ ſo da einerley Grund-Lineen mit bemeldten Abſchnit- ten/ und einerley Hoͤhe haben.

Erlaͤuterung.

Es ſey eines rechtwinklichten Kegels Durchſchnitt (d.i. eine Parabel oder vergleichende Kegel-Lini) ABC, und von demſelben ſeyen abgeſchnitten zwey

Stuͤkke HBC und ADE, deren Durchmeſſer BG und DF einander gleich ſeyen. Soll nun bewieſen werden/ daß nicht nur dieſe beyde Abſchnitte HBC und ADE, ſondern auch die darinnen/ obbeſagter Weiſe/ beſchriebene/ und gleich ſo benahmſete Dreyekke/ einander gleich ſeyen.

Beweiß.

So ſey nun erſtlich HC winkelrecht auf BG, AE aber nicht winkelrecht auf eben dieſelbe BG, als den Durchmeſſer der fuͤrgegebenen Parabel ABC; und werde genommen die Lini M, als der Mitmeſſer (Parameter, oder Latus rectum, oder Linea juxta quam poſſunt ordinatim applicatæ, wie Archimedes mit denen Alten redet) der Parabel CBH, nach Anleitung der II. Betr. 4ter Folge in V. Aus A ſey ferner AK auf die verlaͤngerte DF ſenkrecht/ d.i. mit CH gleichlauffend/ gezogen; und endlich/ wie die Vierung AF (d.i. ½ AE, Laut der I. Betr. 5ter Folge in V.) gegen der Vierung AK, alſo verhalte ſich eine andere Lini N gegen dem vorigen Mitmeſſer M, alſo daß N (vermoͤg folgender Anmerkung) des andern Parabelſchnittes ADE Mitmeſſer ſeyn wird.

Dieweil Kugel-aͤhnlichen Figuren.

Dieweil nun (Laut der I. Betr. in V.) das Rechtekk aus N in DF gleich iſt der Vierung AF, und das Rechtekk aus M in BG, gleich der Vierung HG; und aber das Rechtekk aus N in DF gegen dem Rechtekk aus M in HG (weil ſie gleiche Hoͤhen DF und BG haben) ſich verhaͤlt/ wie N gegen M, Krafft des 1ſten im VI. B.) ſo verhaͤlt ſich auch die Vierung AF gegen der Vierung HG, wie N gegen M, d.i. (Krafft obiger Vorbereitung) wie die Vierung AF gegen der Vierung AK. Welchem nach (Laut des 9ten im V. B.) die Vie- rungen und Lineen HG und AK einander gleich ſeyn muͤſſen. Nun ſind aber auch BG und DF einander gleich. Derowegen muͤſſen auch die beyde Recht- ekke aus BG in HG und aus DF in AK, und folgends auch ihre Helften (nehm- lich/ vermoͤg des 34ſten oder 41ſten im I. B. das Dreyekk BGH, und das rechtwinklichte/ welches aus DF und KA gemachet wuͤrde/ d.i. vermoͤg des 38ſten im I. das Dreyekk DFA) und dann ferner dieſer Helften gedoppelte Dreyekke/ CBH und EDA, einander gleich ſeyn. Und diß iſt eines. Nun verhaͤlt ſich der Parabelſchnitt HBC gegen ſeinem Dreyekk CBH wie der an- dere Parabelſchnitt ADE gegen ſeinem Dreyekk EDA (beyderſeits nehmlich wie 4 gegen 3, nach dem 17den und 24ſten der Parabel-Vierung;) Dero- wegen muͤſſen auch beyde beſagte Parabelſchnitte HBC und ADE einander gleich ſeyn. Und diß iſt das andere/ welches zu beweiſen war.

Wann aber die beyde Abſchnitte alſo gegeben werden/ daß keine von denen abſchneidenden Lineen auf der gegebenen Parabel Durchmeſſer BG ſenkrecht faͤllet/ ſondern beyde ſchraͤg durchſtreichen/ wie EA; ſo darf man nur BG neh- men gleich DF oder des andern ſchraͤgen Abſchnitts Durchmeſſer/ und dann durch G die Lini CH ſenkrecht fuͤhren. So wird nun/ krafft vorigen Beweiſes/ folgen/ daß ſo wol ADE als auch der andere ſchraͤge Abſchnitt dem ſenkrechten Abſchnitt HBC, und folgends auch beyde ſchraͤge einander gleich ſeyen.

Folge.

Weil in dem Beweiß HG und AK einander gleich zu ſeyn bewieſen worden/ ſo erhellet/ daß/ wann zwey gleiche Stuͤkke von einer Parabel- Flaͤche abgeſchnitten/ und aus denen Endpuncten ihrer Grund-Lineen/ auf ihre Durchmeſſer/ ſenkrechte Lineen gezogen werden/ ſolche ſenkrechte Lineen einander gleich ſeyen.

Anmerkung.

Eines iſt noͤhtig zu eroͤrtern/ nehmlich dieſes: daß/ wann ſich verhaͤlt wie die Vierung AF gegen der Vierung AK, alſo eine gefundene Lini/ N, gegen M dem Mitmeſſer des Ab- ſchnittes HBC, alsdann ſolche gefundene Lini N des andern Abſchnittes ADE Mitmeſſer (Parameter) ſey. Oder/ die Sache allgemeiner zu geben (Beſihe unſere 3. Figureh bey der II. Betrachtung in V.)

Wann in einer Parabel (ham) zwey unterſchiedliche Durchmeſſer (ab und mo) und auf jeden deroſelben abſonderliche Lineen (nehmlich bm auf ab und ho auf mo) ordentlich-gezogen werden; endlich aus dem End- punct der einen Ordentlich-gezogenen (als aus h) auf deroſelben Durch- meſſer/ eine andere Lini (he) mit der andern Ordentlich-gezogenen gleich- lauffend/ ſtreichet: ſo verhaͤlt ſich die Vierung ho gegen der Vierung he wie der Mitmeſſer km gegen dem Mitmeſſer ac.

Die Meinung dieſes Satzes iſt ganz einerley mit dem obigen. Dann ſo man bm und ho verlaͤngert/ biß ſie die krumme Lini auf der andern Seite auch betreffen/ ſo werden von der T t ijParabel Archimedes von denen Kegel- und Parabel ham, vermittelſt zweyer Lineen bm, &c. und ho, &c. zwey Stuͤkke abgeſchnitten/ und aus dem Endpunct der einen Lini ho auf ihren Durchmeſſer die Lini he mit der andern abſchneidenden gleichlauffend gezogen/ ꝛc.

Beweiß.

Vermoͤg obangezogener II. Betrachtung in V. und ihrer Folgen/ iſt ia gleich ab, und verhaͤlt ſich wie ia gegen im, alſo im gegen km. Nun iſt/ wegen Gleichlauffung derer Li- neen im und ho, wie auch he, bm, und aq, offenbar/ daß die Dreyekke ohe und mrq einander aͤhnlich/ mrq aber und ari (wegen Gleichheit zweyer Seiten ai und qm, d.i. ab) nach allen Winkeln und Seiten auch einander gleich ſeyen. Welchem nach wir folgenden Schluß machen: Wie ſich verhaͤlt ho gegen he, ſo verhaͤlt ſich mr gegen rq oder ra, und (nach dem 15den des V. B.) wie mi gegen aq, d.i. bm. Derowegen verhaͤlt ſich auch (Krafft des 20ſten im VI.) die Vierung ho gegen der Vierung he, wie die Vierung im (d.i. wegen gleicher ordentlicher Verhaͤltnis derer Lineen ia, im, und km, und/ Krafft des 17den im VI. das Rechtekk aus km in ia oder ab) gegen der Vierung bm, d.i. (Krafft der I. Betr. in V.) gegen dem Rechtekk aus ac in ab. Nun verhaͤlt ſich aber das Rechtekk aus km in ab gegen dem Rechtekk aus ac in ab, wie km gegen ac, nach dem 1ſten im VI. Derowegen verhaͤlt ſich auch die Vierung ho gegen der Vierung he, wie km gegen ac; Welches zu beweiſen war.

Der V. Lehrſatz.

Eine jede/ von einem ſpitzwinklichten Kegelſchnitt (einer ablan- gen Rundung) begriffene Flaͤche verhaͤlt ſich gegen einer/ von ihrem groͤſſeſten Durchmeſſer beſchriebenen/ Scheibe/ wie ihr kleineſter Durchmeſſer gegen beſagtem groͤſſeſten.

Erlaͤuterung.

Es ſey eine ablange Rund-Flaͤche AB CD, und deroſelben groͤſſeſter Durchmeſſer AC, der kleineſte aber BD. Von AC ſey ferner beſchrieben eine Scheibe AECF. Soll nun erwieſen werden/ daß die ablange Rund-Flaͤche ABCD gegen der Scheibe AECF ſich verhalte/ wie BD gegen AC oder EF: Oder (welches gleich viel iſt) wann umb einen Durchmeſſer/ als Z, eine Scheibe beſchrieben wuͤrde/ die ſich gegen der Scheibe AECF verhielte/ wie BD ge- gen EF (nach Anleitung des 20ſten im VI. und des 2ten im XII.) daß ſolche Scheibe Z der ablangen Rund-Flaͤche AB CD gleich ſey.

Beweiß.

Dann ſo ſie derſelben nicht gleich iſt/ ſo muß ſie entweder groͤſſer oder klei- ner ſeyn. Man ſetze erſtlich/ die Scheibe Z ſey groͤſſer/ als gedachte ablange Flaͤche/ und werde in derſelben in Gedanken beſchrieben ein gleichſeitiges Viel- ekke/ alſo daß die uͤbrigen Abſchnittlein der Scheibe miteinander kleiner ſeyen dann der Uberreſt ſolcher Scheibe uͤber die ablange Flaͤche/ und folgends das Vielekk annoch groͤſſer als ofterwaͤhnte Rund-Flaͤche/ nach der andern Folge des V. Lehrſatzes im I. B. von der Kugel und Rund-Saͤule. Nachmals verzeichne maninnerhalb der Scheibe AECF eben dergleichen/ d.i. dem vori- gen Kugel-aͤhnlichen Figuren. gen aͤhnliches und gleichvielſeitiges Vielekk/ und laſſe aus allen deſſelben Win- keln ſenkrechte Lineen durch die ablange Rundung herunter (als da ſind KNL, EBHD, &c.) daß alſo daher auch in dieſer Rundung/ durch Zuſammenziehung derer Puncten N, B, &c. ein Vielekk entſtehe/ von eben ſo vielen Seiten als jene/ innerhalb beyder Kreiſſe oder Scheiben beſchriebene.

Dieweil nun die Vierung HE gegen der Vierung LK, und ingleichen die Vierung HB gegen der Vierung LN, ſich verhaͤlt/ wie das Rechtekk CHA gegen dem Rechtekk CLA, Laut der XII. Betr. 3. Folge in V. ſo verhaͤlt ſich auch die Vierung HE gegen der Vierung LK, wie die Vierung HB gegen der Vierung LN; und verwechſelt/ die Vierung HE gegen der Vierung HB, wie die Vierung LK gegen der Vierung LN, d.i. (vermoͤg des 22ſten im VI.) die Lini HE gegen HB, wie LK gegen LN; und ferner (Krafft des 1ſten im VI.) das Dreyekk HLE gegen dem Dreyekk HLB, wie das Dreyekk LKE gegen dem Dreyekk LNB, nehmlich beyderſeits wie HE gegen HB. Welchem nach dann endlich auch das ganze Vierekk HLKE gegen dem ganzen Vierekk HLNB (Laut des 12ten im V. B.) ſich verhalten wird wie HE gegen HB, d.i. wie EF gegen BD. Gleiche Verhaͤltnis kan von jeden andern zweyen Vierekken in der Scheibe und der ablangen Rundung bewieſen/ und endlich von beyden ganzen/ innerhalb der Scheibe und der ablangen Rundung beſchriebenen/ Viel- ekken geſchloſſen werden/ daß das in der Scheibe gegen dem in der ablangen Rundung ſich verhalte wie EF gegen BD. Nun verhaͤlt ſich aber auch das Vielekk in der Scheibe AECF gegen dem Vielekk in der Scheibe Z, wie EF gegen BD, vermoͤg obigen Satzes und des 1ſten im XII. Derowegen muͤſ- ſen beyde Vielekke/ das in der ablangen Rundung und das in der Scheibe Z einander gleich ſeyn/ Laut des 9ten im V. B. Oben aber war das Vielekk in der Scheibe Z groͤſſer als die ganze ablange Rundflaͤche zu ſeyn geſchloſſen/ wann die Scheibe Z groͤſſer waͤre als beſagte ablange Rundflaͤche; alſo daß das Vielekk in der Scheibe Z viel groͤſſer ſeyn muͤſte/ als das Vielekk in der ablangen Rundung/ dem es doch zuvor erwieſen iſt gleich zu ſeyn. Kan dero- wegen (weil ſonſten widerwaͤrtige Dinge folgeten) die Scheibe Z nicht groͤſſer ſeyn/ als ofterwaͤhnte ablange Rundflaͤche.

Daß ſie aber auch nicht kleiner ſeyn koͤnne/ wird auf gleichen Schlag er- wieſen. Dann ſo ſie kleiner waͤre/ koͤnnte abermals in der ablangen Rundung ein Vielekk beſchrieben werden/ welches annoch groͤſſer waͤre als bemeldte Schei- be Z; und ſo aus deſſelben Winkeln abermals die Lineen HB, LN, &c. auf AC ſenkrecht gezogen und biß an den Kreiß AECF verlaͤngert wuͤrden/ daß innerhalb des Kreiſſes ein gleichviel-ſeitiges Vielekk entſtuͤnde; endlich ein an- ders dieſem aͤhnliches in der Scheibe Z beſchrieben wuͤrde: muͤſte abermal das Vielekk der Scheibe AECF, ſo wol gegen dem Vielekk der ablangen Rundung/ als gegen dem in der Scheibe Z, ſich verhalten wie EF gegen BD; und fol- gends das Vielekk in Z dem Vielekk der ablangen Rundung gleich ſeyn. Wor- aus endlich folget/ daß die Scheibe Z groͤſſer waͤre als das Vielekk der ablan- gen Rundung/ da ſie doch zuvor kleiner zu ſeyn geſetzet worden. Kan derohal- ben die Scheibe Z nicht kleiner ſeyn als die ablange Rundflaͤche. Sie iſt aber auch nicht groͤſſer/ wie zuvor erwieſen; derowegen iſt ſie derſelben gleich/ ꝛc. Welches hat ſollen bewieſen werden.

T t iijAnmer- Archimedes von denen Kegel- und

Anmerkung.

Keines andern Beweiſes beduͤrfte man/ ſo man im Gegenteihl erweiſen wolte/ daß jede ablange Rundflaͤche gegen der Scheibe ihres kleineſten Durchmeſſers ſich ver- halte/ wie der groͤſſeſte gegen beſagtem kleineſten; wie ein jeder leichtlich ſelbſten ſehen wird/ wann er an ſtatt obiger dieſe I. beygefuͤgte/ etwas weniges veraͤnderte/ Figur betrachtet/ und im uͤbrigen allerdings wie oben verfaͤhret. Sonſten kan ſolches auch folgender geſtalt

vollbracht werden: Jnnerhalb des Kreiſſes abcd ſey beſchrieben einiges gleichſeitiges Vielekk/ und/ vermittelſt derer ſenkrechten Lineen cg, qp, &c. auch in die ablange Rundung efgh uͤbergetragen. Nun teihlen die/ hierdurch entſtehende Vierekke iklm, dbfh, qrop, &c. die Durchmeſſer ac und eg nach gleicher Verhaͤltnis/ als man abnehmen kan aus dem 2ten des VI. B. So haben auch alle Vierekke und Dreyekke in dem Kreiß/ gegen denen Vierekken und Dreyekken in der ablangen Rundung eben die Verhaͤltnis/ welche da haben die eingefan- gene Stuͤkke ihrer Durchmeſſer (zum Exempel iak gegen lem, wie ta gegen ſe) vermoͤg des 1ſten im VI. und darumb verhaͤlt ſich auch die ganze Fi- gur in dem Kreiß gegen der ganzen Figur in der ab- langen Rundung/ wie der Durchmeſſer ac gegen dem Durchmeſſer eg. Eben dieſes kan von zweyen/ umb den Kreiß und ablange Rundung beſchriebenen/ Vielekken bewieſen werden. Weswegen dann auch endlich der Kreiß oder die Scheibe ſelbſten gegen der ablangen Rundung eben die Verhaͤltnis haben muß/ die da hat der kleine Durchmeſſer ac gegen dem groſ- ſen eg. Wo nicht/ ſo muß die Verhaͤltnis groͤſſer oder kleiner ſeyn. Laſſt ſie fuͤrs erſte groͤſſer ſeyn. So muß demnach die Scheibe groͤſſer ſeyn als die je- nige Flaͤche/ welche gegen der ablangen Rundung ſich verhaͤlt/ wie ac gegen eg; und kan folgends inner- halb des Kreiſſes abcd ein Vielekk beſchrieben/ wel- ches zum wenigſten ſo groß iſt als gedachte Flaͤche/ und daher aufs wenigſte gegen der ablangen Rundflaͤche ſich verhaͤlt/ wie ac gegen eg. Eben aber ſolches Vielekk hat gegen einem Vielekk von gleichvielen Seiten in der ablangen Run- dung auch die Verhaͤltnis/ die da hat ac gegen eg, als oben bewieſen worden: daher dann folgete/ daß das Vielekk im Kreiß gegen dem Vielekk in der ablangen Rundung zum wenig- ſten eben ſo viel Verhaͤltnis habe/ als gegen der ablangen Rundung ſelbſten; welches aber un- gereimt und unmoͤglich iſt. Gleicher weiſe kan dargethan werden/ daß/ wann die Verhaͤlt- nis der Scheibe gegen der ablangen Rundflaͤche kleiner zu ſeyn geſetzet wird/ als die Verhaͤlt- nis ac gegen eg, etwas ungereimtes nnd unmoͤgliches folge: daher dann endlich geſchloſſen wird/ daß beſagte Scheibe gegen der ablangen Rundflaͤche ſich eben ſo verhalte/ wie ac gegen eg; und umbgekehrt/ die ablange Rundflaͤche gegen der Scheibe/ wie der groͤſſeſte Durchmeſ- ſer eg gegen dem kleineſten ac.

Eben ſo kan nun auch das Gegenteihl/ wie es in dieſem V. Lehrſatz Archimedis verfaſſet iſt/ erwieſen werden.

Der VI. Lehrſatz.

Eine jegliche/ von einem ſpitzwinklichten Kegelſchnitt (einer ab- langen Rundung) begriffene Flaͤche verhaͤlt ſich gegen jeder gege- benen Scheibe/ wie das Rechtekk aus beyden Durchmeſſern der ablan- Kugel-aͤhnlichen Figuren. ablangen Rundflaͤche gegen der Vierung des Durchmeſſers der gegebenen Scheibe.

Beweiß.

Es ſey eine ablange Rundflaͤche ABCD, deren beyde Durchmeſſer ſind AC und BD; und eine Scheibe Z, mit ihrem Durchmeſſer EF. Soll nun bewieſen werden/ daß die ablange Run- dung ABCD gegen der Scheibe Z ſich verhalte/ wie das Rechtekk aus AC in BD gegen der Vierung EF. Dann wann man umb den Durchmeſſer AC eine Scheibe beſchreibet/ ſo verhaͤlt ſich gegen demſelben die ablange Rundflaͤ- che ABCD, wie der kleine Durchmeſ-

ſer BD gegen dem groſſen AC, vermoͤg des vorhergehenden V. Lehrſatzes/ d.i. (nach dem 1ſten im VI. B.) wie das Rechtekk aus BD in AC gegen der Vierung AC. Es verhaͤlt ſich aber ferner (Krafft des 2ten im XII.) die Scheibe von AC gegen der Scheibe Z, wie die Vierung AC gegen der Vie- rung EF. Derowegen verhaͤlt ſich auch gleichdurchgehend (nach dem 22ſten des V.) die ablange Rundung ABCD gegen der Scheibe Z, wie das Recht- ekk aus BD in AC gegen der Vierung EF. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Der VII. Lehrſatz.

Jede ablange Rundflaͤchen verhalten ſich gegen einander wie die/ aus ihren Durchmeſſern gemachte Rechtekke.

Beweiß.

Es ſeyen/ zum Exempel zwey ablange Rundflaͤchen A und B, und CD das Rechtekk aus beyden Durchmeſſern der Rundung A; EF aber das Rechtekk aus beyden Durchmeſſern des B: Endlich eine Scheibe Z, und ihres Durch- meſſers Vierung KL. Soll nun bewieſen werden/ daß A gegen B ſich verhalte/ wie CD gegen EF.

Dann es verhaͤlt ſich die ablange Run- dung A gegen der Scheibe Z, wie CD

gegen KL, vermoͤg vorhergehenden VI. Lehrſatzes; und/ aus gleichem Grund/ verkehrt die Scheibe Z ferner gegen der ablangen Rundung B, wie die Vierung KL gegen dem Rechtekk EF. Derowegen verhalten ſich auch gleich- durchgehend/ A gegen B, wie CD gegen EF. Welches zu beweiſen war.

Folge.

Aus dieſem iſt offenbar/ daß jede zwey aͤhnliche ablange Run- dungen (ſpitzwinklichte Kegelſchnitte) ſich gegen einander verhal- ten Archimedes von denen Kegel- und ten wie die Vierungen entweder ihrer groͤſſeſten oder ihrer kleine- ſten Durchmeſſer.

Dann/ wie ſich verhaͤlt der kuͤrzeſte Durchmeſſer des A gegen dem laͤng- ſten/ ſo verhaͤlt ſich CD gegen der Vierung des laͤngeſten Durchmeſſers/ ver- moͤg des 1ſten im VI. Wie aber der kuͤrzeſte Durchmeſſer des A gegen ſeinem laͤngſten/ ſo verhaͤlt ſich auch der kuͤrzeſte des B gegen ſeinem laͤngſten (weil die Rundungen aͤhnlich ſind) d.i. EF gegen der Vierung von dem laͤngſten Durch- meſſer des B: und verwechſelt/ CD gegen EF (d.i. Krafft dieſes VII. Lehr- ſatzes/ A gegen B, wie die Vierung des laͤngſten Durchmeſſers in A gegen der Vierung des laͤngeſten Durchmeſſers in B.) Eben dieſes folget auf gleichen Schlag von denen beyden andern kuͤrzeſten Durchmeſſern.

Der VIII. Lehrſatz.

Wann eines ſpitzwinklichten Kegels Durchſchnitt (eine ablan- ge Rundung) gegeben/ und aus ihrem Mittelpunct/ auf die Flaͤ- che/ worauf ſie liget/ ſenkrecht eine Lini aufgezogen wird; ſo iſt moͤglich einen Kegel zu finden/ deſſen Spitze ſey der aufgezogenen Lini Endpunct/ und auf deſſen Flaͤche die gegebene ablange Run- dung ſich befinde.

Erlaͤuterung.

Es ſey gegeben eine ablange Rundung/ deren kleineſter Durchmeſſer ſey AB, und aus ihrem Mittelpunct D die Lini DC aufgezogen/ winkelrecht auf die Flaͤche/ da die ablange Rundung liget/ nach dem 12ten im XI. B. Durch den Durchmeſſer AB und die aufgerichtete Lini DC fuͤhre man in Gedanken eine ebene Flaͤche/ alſo daß die ablange Rundung umb den Durchmeſſer AB

auf der jenigen Flaͤche lige/ auf welcher die vorige ſenkrecht ſtehet/ und folgends der Durchmeſſer AB in beyder Flaͤchen Durchſchnitt falle. Wird nun geſagt/ es ſey moͤglich einen Kegel zu finden/ wel- cher zur Spitze habe den Punct C, und auf deſſen Flaͤche die gegebene ablange Rundung ſey.

Solches zu erweiſen/ ziehe man aus C durch A und B gerade Lineen hinaus nach Belieben/ und aus A, durch die ver- laͤngerte CD, auf die verlaͤngerte CB, eine andere AF, alſo daß das Rechtekk aus AE in EF gegen der Vierung EC ſich verhalte wie die Vierung des halben groͤſſeſten Durchmeſſers der ablangen Rundung gegen der Vierung DC; (dann ſolches iſt moͤglich/ weil die beſagte Verhaͤltnis groͤſſer iſt als die Verhaͤltnis des Rechtekkes aus AD in DB, d.i. der Vierung AD gegen der Vierung DC, Beſihe folgende 1. Anmerkung.) Durch die Lini AF fuͤhre man ferner in Gedanken eine ebene Flaͤche ſenkrecht auf die vorige/ auf welcher AC und AF ligen/ und beſchreibe umb AF auf gedachter neuen Flaͤche einen Kreiß/ und umb Kugel-aͤhnlichen Figuren. umb denſelben einen Kegel/ deſſen Spitze ſey C. Soll nun erwieſen werden/ daß die ganze gegebene ablange Rundung/ d.i. jeder beliebiger Punct derſelben/ auf dieſes Kegels Flaͤche lige. Man nehme nach Belieben einen deroſelben Puncten/ zum Exempel H, und ziehe aus H auf den kleinen Durchmeſſer AB, d.i. auf die Flaͤche ACBF, die Lini HK (in der Figur iſt HD fuͤr HK un- recht gezogen) ſenkrecht oder ordentlich; und durch K fuͤhre man die Lini CKL, und aus L ferner eine auf AF ſenkrechte Lini LM innerhalb der umb AF be- ſchriebenen Grundſcheibe/ daß alſo der Punct M in deroſelben Umbkreiß und folgends in der aͤuſſern Flaͤche des Kegels ſtehet. Endlich ziehe man PR durch E und XN durch L gleichlauffend mit AB. So gehet nun endlich der voͤllige Beweiß einig und allein dahin/ daß der/ in der ablangen Rundung nach Belie- ben genommene/ Punct H auf des erwaͤhnten Kegels aͤuſſerer Flaͤche ſey; wel- ches dann folgender Geſtalt erhellet:

Beweiß.

Dieweil das Rechtekk AEF gegen der Vierung EC ſich verhaͤlt wie die Vierung des halben groͤſſeſten Durchmeſſers gegen der Vierung DC; und aber (wegen Aehnlichkeit derer Dreyekke CPE, CAD) die Vierung EC gegen der Vierung EP, d.i. dem Rechtekk PER ſich ferner verhaͤlt/ wie die Vierung DC gegen dem Rechtekk ADB, nach dem 4ten des VI. B. ſo verhaͤlt ſich auch gleichdurchgehend das Rechtekk AEF gegen dem Rechtekk PER, wie die Vierung des halben groͤſſeſten Durchmeſſers gegen dem Rechtekk ADB, Laut des 22ſten im V. B. Wie aber AEF gegen PER, ſo verhaͤlt ſich auch ALF gegen XLN (Beſihe folgende 2. Anmerkung;) und wie die Vierung des hal- ben groͤſſeſten Durchmeſſers gegen dem Rechtekk ADB, ſo verhaͤlt ſich die Vie- rung HK gegen dem Rechtekk AKB, Krafft der XII. Betr. 3ter Folge in V. Welchem nach dann das Rechtekk ALF gegen dem Rechtekk XLN ſich ver- halten muß/ wie die Vierung HK gegen dem Rechtekk AKB. Es verhaͤlt ſich aber noch ferner XLN gegen der Vierung LC, wie AKB gegen der Vierung KC, Laut folgender 3. Anmerkung. Derowegen auch gleichdurchgehend/ ALF gegen der Vierung LC, wie die Vierung HK gegen der Vierung KC. Dem Rechtekk ALF aber iſt gleich die Vierung LM, vermoͤg des 13den und 17den im VI. (weil LM in obiger Vorbereitung in dem Halbkreiß umb AF ſenkrecht aufgezogen worden.) Folget derowegen/ daß die Vierung LM gegen der Vierung LC ſich verhalte/ wie die Vierung HK gegen der Vierung KC, d.i. auch die Lineen LM gegen LC, wie HK gegen KC; und daß alſo die aus C durch M ſtreichende Lini nohtwendig durch H gehen muͤſſe/ damit zwey aͤhn- liche Dreyekke CKH und CLM entſtehen/ vermoͤg des 4ten im VI. Buch. Nun iſt aber die Lini CM auf des Kegels Flaͤche/ weil M und C darauf ſind. Derowegen muß nohtwendig auch der Punct H (d.i. weil dieſer in der ablan- gen Rundung nach Belieben genommen worden/ die ganze ablange Rundung) auf beſagter Kegelflaͤche ſeyn. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkungen.

1. Jn der Vorbereitung oder Erlaͤuterung begehret Archimedes/ man ſolle AF durch die verlaͤngerte CD alſo ziehen/ daß das Rechtekk aus beyden hierdurch gemachten Teihlen der Lini AF, nehmlich aus AE in EF, gegen der Vierung EC ſich verhalte/ wie die Vie- rung des halben groͤſſeſten Durchmeſſers gegen der Vierung DC: Wie aber ſolches geſche- hen koͤnne/ oder den Weg ſolches zu verrichten/ zeiget er nicht; ſondern allein die Moͤglichkeit U uſolches Archimedes von denen Kegel- und ſolches ſeines Begehrens/ welche einig und allein darauf beruhet/ daß die gemeldte Verhaͤltnis des AEF gegen der Vierung EC (d.i. der Vierung des groͤſſeſten halben Durchmeſſers gegen der Vierung DC) groͤſſer iſt als die Vierung des kleinen halben Durchmeſſers AD oder das Rechtekk ADB, gegen eben derſelben Vierung DC, vermoͤg des 8ten im V. B. Nehmlich/ wann die Verhaͤltnis des AEF gegen der Vierung EC nicht groͤſſer ſeyn ſolte als des ADB gegen der Vierung DC, d.i. des PER gegen eben der vorigen Vierung EC; ſo koͤnnte AF die verlaͤngerte Lini CB nimmermehr erlangen. Dann in ſolchem Fall wuͤrden AEF und PER (weil ſie gegen der Vierung EC einerley Verhaͤltnis haben) einander gleich ſeyn/ Krafft des 9ten im V. und daher (Laut des 16den im VI.) AE gegen EP ſich verhalten wie EF gegen ER; d.i. die Dreyekke PEA, REF muͤſten (Krafft des 6ten im VI.) ganz gleichwinklicht/ und folgends (Laut des 27ſten im I. B.) AP und RF gleich- lauffend ſeyn; Welchem nach unmoͤglich waͤre/ daß der Punct F die verlaͤngerte Lini CB errei- chen ſolte. Weilen aber AEF gegen der Vierung EC eine groͤſſere Verhaͤltnis haben ſolle als PER gegen eben derſelben Vierung EC, d.i. als ADB gegen der Vierung D, ſo iſt es moͤglich/ daß der Punct F die Lini CB erlange/ und die Lini AF begehrter maſſen gezogen ſey. Es iſt aber in ſolchen Beweißthumen genug/ wann die Moͤglichkeit eines Begehrens ge- wiß iſt/ dieweil das Abſehen nicht iſt die kunſtrichtige Verrichtung des begehrten/ ſondern nur die Waarheit deſſen/ was da folget/ wann man das moͤgliche im Werk verrichtet zu ſeyn ſetzet.

Jedoch ſo jemand eine wuͤrkliche Aufloͤſung ſolcher Aufgab begehret/ dem wollen wir des Flurantii ſeine/ etwas weniges veraͤndert/ alſo vorſtellen:

Zu foͤrderſt mache man aus der Vierung des halben groͤſſeſten Durchmeſſers (den wir indeſſen A nennen wollen) ein Rechtekk/ deſſen Grund Lini gleich ſey der Lini cd, nach dem 45ſten des I. B. und trage deſſen gefundene Breite von d in u. Auf du beſchreibe man ſo dann einen Kreißſchnitt dsu, in welchem alle Winkel (wie usd) dem gegebenen Winkel dca gleich ſeyen/ nach dem 33ſten des III. B. Endlich ziehe man aus dem Punct s durch d die Lini st, und aus a, mit st gleichlauffend/ die Lini aef; ſo wird dem Begehren ein Genuͤgen ge- ſchehen ſeyn.

Zum Beweiß deſſen muͤſſen wir zum Voraus bemerken/ daß Wann in zweyen Reihen ordentlich ſich verhalten wie a gegen b alſo ea gegen ebund ferner wie b gegen c alſo eb gegen ec alsdann beyderſeits das kommende aus beyden aͤuſſerſten gegen dem Vermoͤgen des mittlern/ einerley Verhaͤltnis habe. Das iſt: ac gegen bb ſich verhalte/ wie eeac gegen eebb. Wie dann die Waarheit ſolches Satzes fuͤr Augen liget.

Dieweil nun in voriger Aufloͤſung die Winkel dsu, dct, wie auch beyde Scheitel- winkel bey d, und alſo auch die uͤbrigen/ dus, dtc, einander gleich ſind; ſo verhaͤlt ſich cd gegen ds, wie td gegen du, Krafft des 4ten im VI. und des 16den im V. und iſt dannenhero (vermoͤg des 16den im VI.) das Rechtekk cdu, d.i. (Krafft obiger Auf- loͤſung) die Vierung A, gleich dem Rechtekk tds. Nun verhaͤlt ſich auch td gegen dc, wie ae gegen ec, und ferner dc gegen ds, wie ec gegen ef, vermoͤg des 2ten im VI. B. Derowegen verhaͤlt ſich auch (Laut unſers voraus-bemerkten Huͤlf-Satzes) wie das Rechtekk tds (d.i. die Vierung A) gegen der Vierung cd, alſo das Rechtekk aef gegen der Vierung ec. Welches zu beweiſen war.

2. Daß aber/ wie das Rechtekk AEF gegen dem Rechtekk PER, alſo auch ALF gegen XLN ſich verhalte (welches Archimedes in obigem Beweiß auch fuͤr bekannt an- nimmet) wird alſo kund: Die Verhaͤltnis des Rechtekkes AEF gegen dem Rechtekke PER wird zuſammengeſetzet aus zweyen Verhaͤltniſſen/ nehmlich des AE gegen EP und des EF gegen ER; alſo auch die Verhaͤltnis des Rechtekkes ALF gegen dem Rechtekk XLN iſt zuſamm- Kugel-aͤhnlichen Figuren. zuſammgeſetzet aus zweyen Verhaͤltniſſen/ nehmlich des AL gegen LX und des LF gegen LN, vermoͤg des 23ſten im VI. Nun ſind aber jene beyde Verhaͤltniſſe dieſen beyden gleich (dann AE iſt gegen EP, wie hier AL gegen LX, und EF gegen ER, wie hier LF gegen LN, Krafft des 4ten im VI.) Derowegen muͤſſen auch beyde zuſammgeſetzte Ver- haͤltniſſen/ des Rechtekkes AEF gegen dem Rechtekk PER, und des Rechtekkes ALF ge- gen dem Rechtekk XLN, einander gleich ſeyn.

3. Endlich ſetzet Archimedes als gewiß/ daß XLN gegen der Vierung LC ſich verhal- te/ wie AKB gegen der Vierung KC; welches dann auf dem jenigen Satz beruhet/ den wir in der 1. Anmerkung beobachtet haben. Dann/ weil (Krafft des 4ten im VI.) XL ge- gen LC ſich verhaͤlt/ wie AK gegen KC, und ferner LC gegen LN, wie KC gegen KB; ſo muß auch das Rechtekk aus XL in LN gegen der Vierung LC (Laut bemeldten Satzes) ſich verhalten/ wie das Rechtekk aus AK in KB gegen der Vierung KC.

Der IX. Lehrſatz.

Wann eines ſpitzwinklichten Kegels Durchſchnitt (eine ab- lange Rundung) gegeben/ und aus ihrem Mittelpunct/ auf der Flaͤche/ welche durch den andern Durchmeſſer/ winkelrecht mit der untern Flaͤche der Rundung ſtreichet/ eine Lini nicht ſenkrecht auf- gezogen wird; ſo iſt abermal moͤglich einen Kegel zu finden/ deſ- ſen Spitze ſey der aufgezogenen Lini Endpunct/ und auf deſſen Flaͤche die gegebene ablange Rundung ſich befinde.

Erlaͤuterung.

Es ſey abermals gegeben eine ablange Rundung/ und deren einer Durch- meſſer AB; ſo dann aus dem Mittelpunct D eine Lini DC aufgezogen/ welche zwar weder auf der Flaͤche/ da die ablange Rundung liget/ noch auf den Durch- meſſer AB, ſenkrecht ſtehe/ jedennoch aber in der jenigen Flaͤche ſey/ welche uͤber der vorigen Flaͤche/ wo die Rundung iſt/ ſenkrecht aufgerichtet iſt/ und durch den Durchmeſſer AB ſtreichet. Wird nun geſagt/ es ſey moͤglich einen Kegel zu finden/ welcher zur Spitze ha- be den Punct C, und auf deſſen aͤuſſerer Flaͤche die gegebene ab- lange Rundung ſey.

Solches zu erweiſen/ ziehe man aus C durch A und B ge- rade Lineen hinaus nach Belie- ben; und/ weil CA, CB (wegen der geneigten Lini CD) nohtwen- dig ungleich ſind/ ſo ſey CE gleich CB, und werde gezogen EB, wie auch FG durch D, gleichlauffend mit EB. Durch FG ſtreiche fer- ner eine Flaͤche winkelrecht uͤber der Flaͤche ECB, welche die ab- lange Rundung (ſo auch winkel-

recht uͤber der Flaͤche ECB, und zwar nach der Lini AB, ſtehet) in ihrem Mittelpunct D durchſchneidet/ alſo daß der gemeine Durchſchnitt gibt den an- dern Durchmeſſer der ablangen Rundung/ deſſen Helfte gleich ſey der Lini N. U u ijDieſer/ Archimedes von denen Kegel- und Dieſer/ durch FG ſtreichenden/ Flaͤche/ werde noch eine andere durch EB gleich- lauffend gezogen/ und auf derſelben umb EB, als einen Durchmeſſer/ ein Kreiß oder eine ablange Rundung beſchrieben. [Ein Kreiß nehmlich/ wann die Vie- rung N dem Rechtekk aus FD in DG gleich iſt/ nach dem 35ſten im III. B. wann ſie aber demſelben nicht gleich iſt/ eine ſolche ablange Rundung/ daß die Vierung ihres andern Durchmeſſers gegen der Vierung EB ſich verhalte/ wie die Vierung N gegen dem Rechtekk FDG, nach Anleitung der XII. Betr. 3ter Folge in V.] Naͤchſt dieſem finde man einen Kegel/ deſſen Spitze iſt C, der Endpunct der mitten auf EB ſenkrecht ſtehenden Lini/ und auf deſſen aͤuſſerer Flaͤche gedachter Kreiß/ oder gedachte ablange Rundung ſich befinde/ nach dem vorhergehenden VIII. Lehrſatz. So ſoll nun bewieſen werden/ daß auf eben dieſes Kegels Flaͤche auch die gegebene ablange Rundung/ d.i. jeder beliebiger Punct derſelben/ ſich befinde. Man nehme nach Belieben einen deroſelben Puncten/ zum Exempel H, und ziehe auf AB die ſenkrechte Lini HK; ſo dann durch K die Lini CKL; und ziehe aus L ferner ſenkrecht auf/ d.i. mit HK gleichlauffend/ die Lini LM biß an die aͤuſſere Flaͤche des gefundenen Kegels. Endlich fuͤhre man durch L eine/ mit AB gleichlauffende/ und der verlaͤngerten CB in R begegnende/ Lini PR. Jſt demnach dieſes einige zu beweiſen/ daß der/ in der ablangen Rundung nach Belieben genommene/ Punct H auf erſter- waͤhnten Kegels aͤuſſerer Flaͤche ſey.

Beweiß.

So verhaͤlt ſich nun die Vierung N gegen dem Rechtekk FDG, wie die Vierung des/ zu EB gehoͤrigen/ Creutzmeſſers gegen der Vierung EB, oder wie die Vierung des halben Creutzmeſſers gegen der Vierung des halben EB, d.i. wie die Vierung LM gegen dem Rechtekk ELB, (nach der XII. Betr. 3ter Folge in V.) wie aber FDG ferner gegen ADB, alſo ELB ferner ge- gen PLR, vermoͤg des Schluſſes in der 2. Anmerkung des vorhergehen- den Lehrſatzes (weil die Dreyekke ADF, PLE, wie auch zur andern Seite GDB und BLR gleichwinklicht ſind.) Derowegen auch gleichdurchgehend/ die Vierung N gegen dem Rechtekk ADB, wie die Vierung LM gegen dem Rechtekk PLR, Krafft des 22ſten im V. Die Vierung N aber verhaͤlt ſich gegen ADB, wie die Vierung HK gegen dem Rechtekk AKB, Krafft an- gezogener 3. Folge der XII. Betrachtung in V. So verhaͤlt ſich demnach auch die Vierung LM gegen PLR, wie die Vierung HK gegen AKB. Nun verhaͤlt ſich aber ferner PLR gegen der Vierung LC, wie AKB ferner gegen der Vierung KC (wegen Aehnlichkeit derer Dreyekke CPL, CAK, CKB und CLR) vermoͤg der 3. Anmerkung des vorhergehenden Lehrſatzes: Derowegen abermals gleichdurchgehend/ die Vierung LM gegen der Vierung LC, wie die Vierung HK gegen der Vierung KC, d.i. (vermoͤg des 22ſten im VI.) LM gegen LC, wie HK gegen KC; und muß alſo die/ aus C durch M gezogene/ Lini CM nohtwendig durch H gehen/ damit zwey aͤhnliche Drey- ekke CKH und CLM entſtehen/ nach dem 4ten des VI. Nun iſt aber die ganze Lini CM auf des Kegels Flaͤche/ weil M und C darauf ſind. Dero- halben muß auch der/ in der ablangen Rundung nach Belieben genommene/ Punct H (d.i. die ganze ablange Rundung) auf beſagter Kegelflaͤche ſeyn. W. Z. B. W.

Der Kugel-aͤhnlichen Figuren.

Der X. Lehrſatz.

Wann eines ſpitzwinklichten Kegels Durchſchnitt (eine ablan- ge Rundung) gegeben/ und aus ihrem Mittelpunct/ durch die je- nige Flaͤche/ welche auf ihrem andern Durchmeſſer/ und zwar auf die Flaͤche/ wo die Rundung liget/ ſenkrecht ſtehet/ eine Lini aufgezogen wird: ſo iſt moͤglich eine Rund-Saͤule zu ſinden/ wel- che ihre Achſe oder Mittel-Lini in der aufgezogenen Lini/ und die gegebene ablange Rundung auf ihrer aͤuſſern Flaͤche habe.

Beweiß.

Es ſey gegeben eine ablange Rundung/ und deren einer Durchmeſſer AB; aus dem Mittelpunct D ſo dann beſagter maſſen aufgezogen die Lini DC, alſo daß die jenige Flaͤche/ welche durch CD und AB ſtreichet/ auf der an- dern/ wo die umb AB beſchriebene ablange Rundung liget/ ſenkrecht/ CD aber gleichwol auf AB nicht ſenkrecht/ ſtehe. Wird nun geſagt/ es ſey moͤg- lich eine Rund-Saͤule zu finden/ deren Achſe oder Mittel-Lini mit DC uͤber- eintreffe/ und auf deren aͤuſſerer Flaͤche die gegebene ablange Rundung ſey. Solches zu erweiſen/ ziehe man aus A und B, mit DC gleichlauffend/ die Lineen AF, BG, und ſo dann FCG winkelrecht auf DC. Dieſe Lini FCG nun wird entweder dem andern/ mit AB kreutzenden/ Durchmeſſer der ab- langen Rundung entweder gleich/ oder aber groͤſſer oder kleiner/ ſeyn.

Man ſetze ſie demſelben erſtlich gleich zu ſeyn/ und bilde ihm ein eine durch die Lini FG, auf CD ſenkrecht/ ſtreichende Flaͤche/ und auf derſelben umb FG, als einen Durchmeſſer/ beſchrieben einen Kreiß/ als die Grundſcheibe der Rund-Saͤule/ deren Achſe oder Mittel-Lini CD iſt. Soll nun bewieſen werden/ daß die gegebene ablange Rundung (d.i. alle ihre Puncten) auf dieſer Rund-Saͤule aͤuſſern Flaͤche ligen. Man nehme aber- mals den Punct H nach Belieben/ und ziehe HK ſenkrecht auf den Durchmeſſer AB; aus K ferner KL, gleichlauffend mit DC; wei- ter LM ſenkrecht auf FG biß an die aͤuſſere Flaͤche der Rund-Saͤule/ d.i. biß an den Umbkreiß der Grund- ſcheibe; und endlich HM.

Nun verhaͤlt ſich die Vierung HK gegen dem Rechtekk AKB, wie die Vie- rung des andern halben Durchmeſſers (nehmlich des FC, weil FG demſel- ben andern Durchmeſſer gleich geſetzet worden) gegen dem Rechtekk ADB, d.i. der Vierung AD, nach der XII. Betr. in V. Es verhaͤlt ſich aber auch das Rechtekk FLG gegen dem Rechtekk AKB, wie die Vierung FC gegen der Viernng AD, vermoͤg folgender 1. Anmerkung. Derowegen ſind die Vierung HK und das Rechtekk FLG einander gleich/ Krafft des 9ten im U u iijV. B. Archimedes von denen Kegel- und V. B. Es iſt aber auch das Rechtekk FLG gleich der Vierung LM, vermoͤg des 13den und 17den im VI. Derohalben muß auch die Vierung HK der Vierung LM, und die Lini HK der Lini LM gleich ſeyn. Nun ſind HK und LM auch gleichlauffend/ weil ſie beyde auf die Flaͤche ABGF winkelrecht ge- ſetzet ſind. Weswegen dann auch (Krafft des 33ſten im I.) KL und HM, und folgends auch DC (die Achſe) und HM gleichlauffend ſeyn muͤſſen. Welchem nach die ganze Lini HM (und alſo auch der Punct H, d.i. die ganze ablange Rundung) auf der aͤuſſern Flaͤche der Rund-Saͤule liget/ weil M auf derſelben geſetzet war; Welches hat ſollen bewieſen werden.

Man ſetze fuͤrs andere den andern/ mit AB kreutzenden/ Durchmeſſer der ablangen Rundung groͤſſer zu ſeyn als FG, gleich aber der Lini FP, und bil-

de ihm abermal ein/ eine/ durch die Lini FP, auf CD ſenkrecht/ ſtreichende Flaͤche/ und auf der- ſelben umb FP, als einen Durch- meſſer/ beſchrieben einen Kreiß; umb ſolchen Kreiß ferner eine Rund-Saͤule/ deren Achſe oder Mittel-Lini CD iſt: ſo wird eben auf vorige Weiſe bewieſen ſeyn/ daß die gegebene ablange Run- dung auf ſolcher gefundenen Rund-Saͤule aͤuſſeꝛn Flaͤche ſey.

Endlich ſetze man oberwaͤhnten andern Durchmeſſer kleiner zu ſeyn als FG; und der Uberreſt/ mit welchem die Vierung FC beſagtes andern halben Durchmeſſers Vierung uͤbertrifft/ ſey gleich der Vierung CX: Aus X wer- de ferner XN gleich dem halben andern Durchmeſſer aufgezogen/ ſenkrecht uͤber die Flaͤche/ auf welcher die Lineen AB und DCX ligen; alſo daß man ihme den Punct N in der Hoͤhe/ gleichſam in der Luft/ einbilden muß. So man nun aus dem Punct C aufwerts biß in N ziehet die Lini CN, wird die-

ſelbe der Lini FC gleich ſeyn/ weil die Vierung CN, wie zuvor die Vierung FC, gleich iſt der Vierung XN ſambt der Vierung CX, Laut des 47ſten im I. B. So man nun auf der Flaͤche/ wo die Lineen FG und CN ligen/ und welche alſo uͤber die Flaͤche ABGF nach dem Winkel NCX erhoͤhet iſt/ umb die Lini FG, als einen Durch- meſſer/ einen Kreiß beſchreibet/ wird derſelbe durch den Punct N gehen/ (weil CF und CN gleich ſind:) und ſo man umb ſolchen Kreiß ferner eine Rund-Saͤule beſchreibet/ deren Achſe die Lini DC iſt; ſo iſt zu erweiſen/ daß die gegebene ablange Rundung (d.i. jeglicher nach Belieben in derſelben genommener Punct) auf der aͤuſſern Flaͤche ſolcher Rund-Saͤule ſey. So nehme man nun abermal den Punct H nach Belieben/ und ziehe HK ſenkrecht auf AB; aus K ferner KL gleichlauffend mit DC; aus L Kugel-aͤhnlichen Figuren. aus L hernachmals/ in dem erhebten oder uͤberſich geneigten Halbkreiß FN MG, die Lini LM ſenkrecht auf FG; und endlich aus M, auf die untere Flaͤ- che/ oder auf die verlaͤngerte KL, wieder ſenkrecht herunter/ die Lini MO; zu allerlezt aber auch die Lini HM.

Nun verhaͤlt ſich die Vierung MO gegen der Vierung ML, wie die Vie- rung NX gegen der Vierung NC (wegen Aehnlichkeit beyder Dreyekke MLO, NCX, Beſihe folgende 2. Anmerkung;) Wie aber ferner die Vierung ML (d. i. das Rechtekk FLG) gegen dem Rechtekk AKB, ſo verhaͤlt ſich ferner die Vierung NC (d.i. FC) gegen der Vierung AD, vermoͤg folgender 1. An- merkung. Derowegen auch gleichdurchgehend die Vierung MO gegen dem Rechtekk AKB, wie die Vierung NX gegen der Vierung AD. Es verhaͤlt ſich aber auch die Vierung HK gegen dem Rechtekk AKB, wie die Vierung NX (nehmlich des halben andern Durchmeſſers) gegen der Vierung AD, nach der XII. Betr. 3. Folge in V. Woraus dann folget/ daß die beyde Vie- rungen/ und alſo auch die Lineen/ MO und HK einander gleich ſeyen/ Krafft des 9ten im V. B. Es ſind aber MO und HK auch gleichlauffend/ weil ſie beyde auf KLO ſenkrecht herunter gezogen werden/ Krafft des 29ſten im I. B. Weswegen dann auch HM und KO, und folgends auch die Achſe CD, gleichlauffend ſeyn muͤſſen/ nach dem 33ſten im I. alſo daß/ weil der Punct M auf der aͤuſſern Flaͤche der Rund-Saͤule iſt/ die ganze Lini HM, und alſo auch der Punct H (d.i. die ganze gegebene ablange Rundung) auf beſagter Flaͤche ſeyn muß. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkungen.

1. Zwey Saͤtze/ welche Archimedes in obigem Beweiß fuͤr bekannt angenommen/ muͤſſen hier/ mehrerer Deutlichkeit halben/ etwas erlaͤutert werden. Der erſte iſt: Daß/ ſo wol in der erſten als dritten Figur/ das Rechtekk FLG gegen dem Rechtekk AKB ſich ver- halte/ wie die Vierung FC gegen der Vierung AD; welches dann folgender Geſtalt erhellen wird: Weil FG auf CD ſenkrecht/ AB aber nicht ſenkrecht/ gezogen iſt/ ſo muͤſſen AB und FG, wann ſie verlaͤngert werden/ nohtwendig zuſammen lauffen. Und weil AF, DC, KL, BG, alle gleichlauffend ſind/ ſo folget aus dem 2ten im VI. gar leicht/ daß FC gegen CL und CL gegen LG ſich verhalte/ wie AD gegen DK, und DK gegen KB; und umbge- wendet LC gegen CF wie KD gegen DA; und zuſammgeſetzet LF gegen FC wie KA gegen AD; wie auch gleichdurchgehend FC ferner gegen LG wie AD gegen KB. Wor- aus dann endlich (vermoͤg des allgemeinen Satzes in der 1. Anmerkung des VIII. Lehrſatzes) folget/ daß das Rechtekk aus LF in LG gegen der Vierung FC ſich verhalte/ wie das Rechtekk aus KA in KB gegen der Vierung AD; und wechſelweiß das Rechtekk FLG gegen dem Rechtekk AKB, wie die Vierung FC gegen der Vierung AD.

2. Das andere iſt viel leichter/ und beduͤrfte faſt keiner Erlaͤuterung. Dann weil beyde Winkel NCX, und MLO, nach welchen der Halbkreiß erhoben iſt/ einander gleich/ und die bey O und X beyde gerad ſind/ ſo ſind auch die uͤbrigen bey N und M einander gleich/ und folget alſo (Krafft des 4ten im VI.) daß MO gegen ML, wie NX gegen NC, und (Laut des 22ſten im VI.) auch die Vierung MO gegen der Vierung ML, wie die Vie- rung NX gegen der Vierung NC ſich verhalte.

Der XI. Lehrſatz.

Daß jeder zweyer Kegel Verhaͤltnis/ aus denen Verhaͤltniſſen ihrer Grundſcheiben und ihrer Hoͤhen zuſammengeſetzet ſey/ iſt von unſern Vorfahren erwieſen worden. Eben derſelbe Beweiß aber lehret zugleich/ daß auch eines jeden Kegels Abſchnitt gegen dem Abſchnitt Archimedes von denen Kegel- und Abſchnitt eines andern Kegels eine zuſammgeſetzte Verhaͤltnis habe aus denen Verhaͤltniſſen ihrer Hoͤhen und Grundflaͤchen. Und daß jeder Abſchnitt einer Rund-Saͤule dreymal ſo groß ſey als eines Kegels Abſchnitt/ der mit jenem einerley Grundflaͤche und gleiche Hoͤhe hat; gibt eben derſelbe Beweiß/ welcher lehret/ daß jede Rund-Saͤule dreymal ſo groß ſey als der jenige Kegel/ welcher einerley Grundſcheibe mit ihr/ und gleiche Hoͤhe hat.

Anmerkung.

Den letzeren Beweiß findet man in dem 10den des XII. Buchs Euclidis. Wer aber un- ter Archimedis Vorfahren den erſten beſchrieben habe/ iſt nicht wiſſend. Bey ſeinen Rach- folgern aber/ und ſonderlich bey Flurantio, iſt derſelbe/ ſambt voͤlliger Ausfuͤhrung des uͤbri- gen weitlaͤuffig zu erſehen. Wir wollen uns darbey nicht aufhalten/ ſondern/ indeſſen dieſes als Lehen-Saͤtze annehmend/ zuſchauen was Archimedes hieraus neues und vorhin unbe- kandtes ſchlieſſen koͤnne.

Der XII. Lehrſatz.

1. Wann ein rechtwinklichter (oder Paraboliſcher) Afterkegel von einer Flaͤche nach ſeiner Achſe/ oder mit der Achſe gleichlauf- fend durchſchnitten wird/ ſo gibt ſolcher Durchſchnitt eben dieſelbe Parabel/ welche den Afterkegel beſchrieben hat: Jhr Durchmeſſer aber wird ſeyn der gemeine Durchſchnitt zweyer Flaͤchen/ nehm- lich der vorigen/ welche den Afterkegel zerſchnitten/ und einer an- dern/ welche durch die Mittel-Lini und durch jene zerſchneidende ſenkrecht ſtreichet. Wann aber der Afterkegel mit einer/ auf die Achſe winkelrechten/ Flaͤche zerſchnitten wird/ ſo gibt der Durch- ſchnitt eine Scheibe/ die ihren Mittelpunct in der Achſe hat.

2. Wann ein ſtumpfwinklichter (Hyperboliſcher) Afterkegel von einer Flaͤche nach ſeiner Achſe/ oder mit der Achſe gleichlauf- fend/ oder durch die Spitze des begreiffenden Kegels/ zerſchnitten wird/ ſo gibt der Durchſchnitt eine Hyperbel: Und zwar/ wann der Schnitt durch die Achſe geſchihet/ eben dieſelbe/ welche den Af- terkegel beſchrieben; wo aber gleichlauffend mit der Achſe/ eine ſol- che/ welche der vorigen aͤhnlich iſt: Endlich/ wann der Schnitt durch die Spitze des begreiffenden Kegels geſchehen/ ſo iſt die ent- ſtehende Hyperbel denen vorigen nicht aͤhnlich. Jhr Durchmeſſer aber wird allerſeits wieder ſeyn der gemeine Durchſchnitt/ ꝛc. wie oben.

3. Wann eine von beyderley Afterkugeln von einer ebenen Flaͤche nach ihrer Achſe/ oder mit der Achſe gleichlauffend/ durch- ſchnit- Kugel-aͤhnlichen Figuren. ſchnitten wird/ ſo gibt ſolcher Durchſchnitt eine ablange Run- dung; und zwar/ wann der Schnitt durch die Achſe geſchehen/ eben dieſelbe/ welche die Afterkugel beſchrieben hat; wo aber nur gleichlauffend mit der Achſe/ eine der vorigen aͤhnliche: Der Durchmeſſer aber wird beyderſeits ſeyn der gemeine Durchſchnitt zweyer Flaͤchen/ nehmlich der vorigen/ welche die Afterkugel zer- ſchnitten/ und einer andern/ ſo durch die Mittel-Lini und durch jene zerſchneidende Flaͤche ſenkrecht ſtreichet. Endlich/ wann der Schnitt ſenkrecht durch die Achſe gehet/ ſo gibt derſelbe abermal eine Scheibe/ die ihren Mittelpunct in der Achſe hat.

4. Letzlichen wann eine von beſagten Figuren (es ſey welche es wolle) nach der Achſe durchſchnitten wird/ ſo fallen alle Lineen/ die aus jeden Puncten der aͤuſſern Flaͤche/ ſo nicht in dem Durch- ſchnitt ſind/ auf die durchſchneidende Flaͤche ſenkrecht gezogen werden/ innerhalb des Durchſchnitts ſolcher Figur.

Anmerkung.

Der Beweißthum aber alles deſſen iſt leicht und fuͤr Augen. So ſchlieſſet Archi- medes/ und eilet alſo/ ſeine uͤbrige/ und des Beweiſens mehr benoͤhtigte/ Erfindungen herfuͤr zu geben. Nun iſt es zwar nicht ohne: das meiſte/ was er geſagt/ iſt fuͤr ſich ſelbſten klar ge- nug/ und aus der bloſſen Beſchreibung ſolcher Kegel- und Kugel-aͤhnlichen Figuren (die oben unter denen Worterklaͤrungen gefunden wird) leichtlich zu verſtehen. Jedennoch aber/ ſo jemand (ſonderlich was des Hyperboliſchen Afterkegels Durchſchnitte belanget) mehrere Ge- wißheit und Deutlichkeit verlanget/ kan ſolche indeſſen aus Commandino und Flurantio entlehnet werden/ biß die Gelegenheit/ und befoͤrchtliche allzugroſſe Unkoſten/ auch uns ein mehrers zulaſſen werden. Wir fahren demnach mit Archimede fort/ umb zu ſehen/ was er- folgen moͤchte/ wann bemeldte Afterkegel und Afterkugeln auf andere/ als beſagte/ Weiſ- durchſchnitten wuͤrden.

Der XIII. Lehrſatz.

Wann ein rechtwinklichter Afterkegel von einer ebenen Flaͤche durchſchnitten wird/ nicht zwar nach der Achſe/ noch gleichlauf- fend mit der Achſe/ noch ſenkrecht durch die Achſe; ſo gibt ſolcher Durchſchnitt eine ablange Rundung/ deren groͤſſeſter Durchmeſ- ſer iſt die jenige Lini/ nach welcher die vorgemeldte zerſchneidende Flaͤche/ und eine andere/ welche durch die Achſe/ auf die vorige winkelrecht gezogen iſt/ einander durchſchneiden: Der kleinere Durchmeſſer aber wird gleich ſeyn der Zwiſchenweite beyder/ durch die Endpuncten des groͤſſern Durchmeſſers/ mit der Achſe gleich- lauffenden Lineen.

X xErlaͤu- Archimedes von denen Kegel- und

Erlaͤuterung und Vorbereitung.

Es ſey ein rechtwinklichter/ oder Paraboliſcher/ Afterkegel beſagter maſſen durchſchnitten; vorher aber von einer andern Flaͤche/ auf die vorige winkelrecht/

nach der Achſe geteihlet/ alſo daß (vermoͤg des 1ſten im vorhergehen- den XII. Lehrſatz) daher entſtehe die Parabel ABC, d.i. eben dieſelbe/ wel- che den Afterkegel beſchrieben hat; gleich wie im Gegenteihl die andere/ hierbeſagter maſſen/ durchſchneidende Flaͤche durch die Lini AC angedeutet wird. Der Durchmeſſer ſo wol des Afterkegels als des Durchſchnitts ABC, ſey BD. Soll nun bewieſen werden/ daß der Durchſchnitt des Af- terkegels von der Flaͤche AC geſchehen/ eine ablange Rundung gebe/ deren groͤſ- ſeſter Durchmeſſer ſey AC, der kleine- ſte aber gleich der Lini AL, welche da iſt die Zwiſchenweite beyder Lineen/ welche durch A und C, mit BD gleichlauffend/ gezogen werden.

Zu deſſen mehrerer Gewißheit und Deutlichkeit halte man folgende und vorige Figur gegen einander/ und nehme in dem ſchraͤgen Durchſchnitt einen

Punct nach Belieben/ als k (wel- cher in der erſten Figur gleichſam unſichtbar iſt/ weil nehmlich/ wann man die Sache genau ſu- chet/ die durchſchneidende Flaͤche dem Geſicht ſchnurrecht entgegen ſtehet/ und alſo eine bloſſe Lini ac fuͤrbildet/ alles aber/ was hin- ter ſolcher Lini iſt/ verdekket; wel- ches aber in der andern Figur/ umb die Sache beſſer einzubilden/ ſo genau nicht in acht genommen worden) und ziehe kh ſenkrecht auf ac, d. i. auf die ganze Flaͤche abc. Durch h ziehe man ferner/ auf bd ſenkrecht eine Lini ef, und durch die Lini ef eine Flaͤche auch ſenkrecht auf die Flaͤche eabc, welche alſo zugleich durch die Lini hk ſtreichet/ und (Krafft des 1. im vorhergehenden XII. Lehrſatz) mit ihrem Durchſchnitt innerhalb des Afterkegels einen Kreiß oder Scheibe machet/ deſſen Mittelpunct d, und in deſſen Umbkreiß der Punct k ſeyn muß. Endlich ziehe man zwo beruͤhrende Lineen bt und tn, verlaͤngert in m, gleichlauffend mit ef und ac, nach der II. Betr. Kugel-aͤhnlichen Figuren. II. Betr. 3. Folge in V. So man nun beweiſen kan/ daß die Vierung hk ge- gen dem Rechtekk ahc ſich verhalte wie die Vierung al gegen der Vierung ac, ſo wird obenbeſagtes leichtlichen voͤllig geſchloſſen werden. Man kan aber je- nes/ und zwar alſo beweiſen:

Beweiß.

Dieweil hk in dem Halbkreiß umb ef ſenkrecht an den Umbkreiß gezogen iſt/ ſo iſt die Vierung hk gleich dem Rechtekk ehf, Laut des 13den und 17den im VI. Wie ſich aber das Rechtekk ehf verhaͤlt gegen dem Rechtekk ahc, ſo verhaͤlt ſich (nach dem Anhang des obigen III. Lehrſatzes) die Vierung bt gegen der Vierung tn, d.i. (weil tn und tm, wie bm und br, einander gleich ſind/ Krafft des 2ten im VI. und der II. Betr. 2ter Folge in V) gegen der Vierung tm. Derohalben verhaͤlt ſich auch die Vierung hk gegen dem Recht- ekk ahc wie die Vierung bt gegen der Vierung tm, d.i. (wegen augenſchein- licher Aehnlichkeit derer Dreyekke btm und lac) wie die Vierung la gegen der Vierung ac, nach dem 4ten des VI. Weil nun dieſes allezeit folget/ es wer- de der Punct k in dem Durchſchnitt genommen wo er wolle/ und die Lini hk falle auf ac wo ſie wolle/ ſo iſt offenbar/ daß/ wann H das Mittel iſt von ac, ebenfalls die Vierung HK gegen dem Rechtekk aHc, d.i. der Vierung aH (oder/ welches gleich viel iſt/ die Vierung der gedoppelten HK gegen der Vie- rung ac) ſich verhalte/ wie die Vierung al gegen der Vierung ac, d.i. wie die Vierung ah gegen dem Rechtekk ahc. Woraus dann ſchließlich erhellet/ daß erſtlich (Krafft des 9ten im V.) die Lini al und die gedoppelte HK ein- ander gleich ſeyen; fuͤrs andere (vermoͤg der XII. Betr. in V) der Durch- ſchnitt akca eine ablange Rundung/ und ac ihr groͤſſeſter/ die gedoppelte HK aber/ d.i. al, ihr kleineſter Durchmeſſer ſey: Welches hat ſollen bewie- ſen werden.

Der XIV. Lehrſatz.

Wann ein ſtumpfwinklichter Afterkegel von einer ebenen Flaͤ- che durch alle Seiten des begreiffenden Kegels/ jedoch nicht ſenk- recht auf die Achſe/ zerſchnitten wird: ſo gibt der Durchſchnitt eine ablange Rundung/ deren groͤſſeſter Durchmeſſer iſt die jenige Lini in dem Afterkegel/ nach welcher die vorgemeldte zerſchneidende Flaͤche/ und eine andere/ welche durch die Achſe auf die vorige winkelrecht gezogen wird/ einander durchſchneiden.

Beweiß.

Dieſer Beweiß iſt dem vorigen meiſtenteihls aͤhnlich/ wie auch die Figur mit der vorhergehenden faſt einerley iſt. Nehmlich/ nach dem die noͤhtige Vor- bereitung/ wie dorten/ geſchehen/ ſo ſchlieſſet man wieder/ daß die Vierung hk gegen dem Rechtekk ahc ſich verhalte (d.i. wann HK mitten durch ac gehet/ die Vierung des gedoppelten HK gegen der Vierung ac) wie die Vierung bt gegen der Vierung tm, und ſolches allezeit/ es ſey der Punct k genommen in dem Durchſchnitt wo er wolle. Woraus dann abermal (nach der XII. Be- trachtung in V) folget/ daß der Durchſchnitt akca eine ablange Rundung X x ijſey/ Archimedes von denen Kegel- und

ſey/ und ac ihr Durchmeſſer. Daß aber ac eben der groͤſſeſte Durchmeſſer ſey/ wird hier abſonderlich alſo bewieſen: Die gedoppelte HK (als der andere Durchmeſſer) verhaͤlt ſich gegen ac, wie bt gegen tn, weil die Vierungen ſol- cher Lineen oben gleichverhaltend waren/ vermoͤg des 22ſten im VI. B. Nun iſt aber (vermoͤg einer Hyperboliſchen Eigenſchafft/ die wir in folgender Anmerkung beweiſen wollen) bt kleiner als tn. Derowegen iſt auch die ge- doppelte HK kleiner als ac, und alſo ac der groͤſſeſte Durchmeſſer. W.Z.B.W.

Anmerkung.

Wie in vielen andern/ alſo auch in dieſem Stuͤkk ſind die Hyperbel und Parabel unter- ſchieden: Wann beyderſeits den Durchmeſſer eine beruͤhrende Lini oberhalb des Scheitel- puncts/ und eine aus dem Anruͤhrungspunct ordentlich-gezogene unterhalb deſſelben/ durch- ſchneidet (wie in beyden vorhergehenden Figuren nm und nr) ſo iſt in der Parabel der obere abgeſchnittene Teihl des Durchmeſſers/ nehmlich bm, dem untern/ br gleich/ wie aus der II. Betr. 2. Folge in V. zu erſehen; in der Hyperbel aber iſt bm allezeit kleiner als br, welches wir aus der X. Betr. in V. alſo erweiſen: Jn dem daſelbſtigen Aufriß iſt ci die be- ruͤhrende Lini/ an ſtatt nm, ch die ordentlich-gezogene/ an ſtatt nr, der Punct h fuͤr r, und k fuͤr b, und i fuͤr m; alſo daß wir nur beweiſen duͤrfen/ daß ik kleiner ſey als kh. Solches nun folget dergeſtalt: Vermoͤg derſelbigen Betrachtung/ verhaͤlt ſich ha gegen ka wie ka ge- gen ia. Derowegen auch der Reſt des ha uͤber ka, gegen dem Reſt des ka uͤber ia, d.i. hk gegen ki, wie ha gegen ka, welches fuͤr ſich ſelbſten bekannt genug/ und doch auch von uns in der 2. Anmerkung des IX. Lehrſatzes im II. B. von denen Gleichwichtigen bewieſen iſt. Nun iſt aber ha groͤſſer als ka, und darumb auch hk groͤſſer als ki, oder umb- gekehrt ki kleiner als kh, d.i. (in unſern gegenwaͤrtigen Figuren) bm kleiner als br. Wor- aus dann nun ferner folget/ daß auch mt kleiner ſey als tn, Krafft des 2ten im VI. und endlich (weil mt noch groͤſſer iſt als bt, vermoͤg des 19den im I.) bt umb ſo viel mehr klei- ner als tn: welches dann eben das jenige iſt/ worauf ſich obiger Beweiß beruffet.

Gleich wie nun in der Parabel/ oberwaͤhnter maſſen/ der obere Teihl des Durchmeſſers dem untern allezeit gleich/ in der Hyperbel aber der obere kleiner als der untere iſt; ſo iſt hin- gegen in der ablangen Rundung (deren wir in dieſem Fall auch noch gedenken muͤſſen) der obere Teihl allezeit groͤſſer als der untere. Vermittelſt nachfolgender Figur wollen wir ſol- ches kuͤrzlich auch noch beweiſen: ng iſt die beruͤhrende; aus n ziehe man in Gedanken eine Lini ordentlich/ d.i. gleichlauffend mit tb, und wo ſie den Durchmeſſer betrifft/ ſey x. Run iſt (vermoͤg der XVI. Betr. in V.) das Rechtekk aus xq in qg gleich der Vierung qb, d.i. (nach dem 17den des VI.) xq verhaͤlt ſich gegen qb wie qb gegen qg, oder umbge- kehrt qg gegen qb wie qb gegen qx; und derowegen auch der Reſt des qg uͤber qb, gegen dem Reſt des qb uͤber qx, d.i. gb gegen bx, wie qg gegen qb. Nun iſt aber qg groͤſſer als qb. Derowegen iſt auch gb groͤſſer als bx. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Der XV. Lehrſatz.

Wann eine ablange Afterkugel von einer ebenen Flaͤche/ ſchraͤg auf die Achſe/ zerſchnitten wird; ſo iſt ſolcher Durchſchnitt eine ab- lange Kugel-aͤhnlichen Figuren. lange Rundung: Jhr groͤſſeſter Durchmeſſer aber iſt wiederumb die Lini in der Afterkugel/ in welcher ſich bemeldte Flaͤche/ und ei- ne andere durch die Achſe/ und auf jene ſenkrecht/ lauffende/ ein- ander durchſchneiden.

Erlaͤuterung.

Es iſt gegeben eine ablange Afterkugel/ oder vielmehr deroſelben Durch- ſchnitt/ ſo durch die Achſe geſchehen/ und die Afterkugel durch ſeinen Umblauf beſchreibet/ bpdr, der laͤngeſte Durchmeſſer bd, der kuͤrzeſte pr. Ferner ac iſt die ſchraͤg-durch- ſchneidende Flaͤche; bt und tn zwey beruͤhren- de/ ml iſt gleichlauf- fend mit ac durch den Mittelpunct q, &c. Soll nun abermal be- wieſen werden/ daß der Durchſchnitt akca ei- ne ablange Rundung ſey.

Beweiß.

Es iſt aber eben der vorige Beweiß wieder/ wie aus der andern Fi- gur ſonderlich zu ſehen. Dann ſo ſchlieſſet man abermal: Die Vierung

hk verhaͤlt ſich gegen dem Rechtekk ahc, wie die Vierung bt gegen der Vie- rung tn, d.i. wie die Vierung der gedoppelten HK, als des einen Durchmeſ- ſers/ gegen der Vierung des andern/ ac. Datumb iſt akca eine ablange Run- dung/ Krafft der XII. Betr. in V. Daß aber der Durchmeſſer ac groͤſſer ſey als die gedoppelte HK, erhellet alſo: Das Rechtekk pqr verhaͤlt ſich gegen dem Rechtekk mql, wie die Vierung bt gegen der Vierung tn, nach dem An- hang des obigen III. Lehrſatzes. Nun iſt aber pqr kleiner als mql, weil pr kleiner iſt als ml. Derowegen iſt auch die Vierung bt kleiner als die Vierung tn, und folgends bt kleiner als tn. Wie ſich aber bt verhaͤlt gegen tn, ſo ver- haͤlt ſich die gedoppelte HK gegen ac (weil ihre Vierungen oben gleichverhal- tend waren) Krafft des 22ſten im VI. So iſt demnach auch die gedoppelte HK kleiner als ac. Welches hat ſollen bewieſen werden.

1. Folge.

Wann eine breite oder platte Afterkugel von einer Flaͤche ſchraͤg durchſchnitten wird/ ſo iſt zwar ſonſten alles wie zuvor: aber die Lini in der Afterkugel/ nach welcher obgemeldte beyde Flaͤchen einan- der durchſchneiden/ wird der kleineſte Durchmeſſer ſeyn.

X x iijDie Archimedes von denen Kegel- und

Die ganze Sache darf keines andern Be- weiſes/ als eben des vorigen/ wann man nur dieſes beobachtet/ daß/ wie in der ablangen Afterkugel die Achſe bd, (d.i. die Lini/ umb welche ſich die Rundung bp dr waͤlzen muß/ wann ſie die Afterkugel beſchreiben will) der laͤngeſie Durchmeſſer/ alſo in der breiten oder platten/ der kuͤrzeſte ſey. Welchem nach/ wann alle Lineen/ wie zuvor gezogen werden/ das Rechtekk pqr hier groͤſſer wird als lqm, und darumb auch die Vierung oder Lini bt groͤſſer als die Vierung oder Lini tn, d.i. die gedoppelte HK groͤſ- ſer als ac.

2. Folge.

Und hieraus iſt offenbar/ daß in allen bißher behandelten Fi- guren/ wann ſie von gleichlauffenden Flaͤchen durchſchnitten wer- den/ alle daher entſtehende Durchſchnitte oder Rundungen einan- der aͤhnlich ſeyen: dann die Vierungen derer ſenkrechten Lineen (wie bißher hk, oder HK) werden gegen denen/ aus derer Durchmeſ- ſers-Teihlungen gemachten/ Rechtekken (wie bißher gegen ahc, oder aHc) alle einerley Verhaͤltnis haben (nehmlich allenthalben wie die Vie- rung bt gegen der Vierung tn.)

Woraus dann folget/ daß auch allenthalben die gedoppelte HK gegen ac, d.i. ein Durchmeſſer gegen dem andern einerley Verhaͤltnis habe; welches das eigentliche Kennzeichen iſt der Aehnlichkeit in ſolchen ablangen Rundungen.

Der XVI. Lehrſatz.

1. Wann aus jedem beliebigen Punct auf der aͤuſſern Flaͤche eines rechtwinklichten Afterkegels gerade Lineen/ mit der Achſe gleichlauffend gezogen werden; ſo fallen die jenigen/ welche von ge- meldtem Punct dahinaus ſtreichen/ wo des Afterkegels Kruͤmme oder Bukkel hinſihet/ auſſerhalb: die/ nach widriger Gegend gezo- gene aber/ innerhalb des Afterkegels.

2. Alſo auch/ wann aus jedem beliebigen Punct auf der aͤuſ- ſern Flaͤche eines ſtumpfwinklichten Afterkegels gerade Lineen ge- zogen werden/ gleichlauffend mit einer Lini/ ſo da durch den After- kegel aus der Spitze des begreiffenden Kegels ſtreichet; ſo fallen abermals die jenigen/ welche nach der Gegend/ wo die Kruͤmme der Figur hinſihet/ auſſerhalb: die widrig-gezogene aber innerhalb des Afterkegels.

Anmerkung.

Die Sache iſt beyderſeits fuͤr ſich ſelbſten klar/ und keines Beweiſes beduͤrftig; wiewol Archimedes/ umb mehrerer Deutlichkeit willen/ erinnert/ daß man beyderſeits durch den ge- gebenen Kugel-aͤhnlichen Figuren. gebenen Punct und durch die Achſe oder (im andern Fall) durch die/ aus der Spitze des begreif- fenden Kegels gezogene/ Lini/ eine Flaͤche in Gedanken fuͤhren/ und alſo den Afterkegel durch- ſchneiden ſolle; ſo werde jener Durchſchnitt eine Parabel/ dieſer aber eine Hyperbel geben/ nach dem 1. und 2. Teihl des XII. Lehrſatzes; und folgends in ſolchen das beſagte noch klaͤ- rer vor Augen ligen. Dann ſo man/ zum Exempel/ in folgender Figur aus dem Punct h eine Lini zoͤge gegen der Seite hinaus/ wo die Kruͤmme bh hinſihet/ nehmlich aufwerts/ und zwar gleichlauffend mit bd; ſo iſt ja handgreifflich/ daß ſolche Lini auſſerhalb des Durchſchnitts abc fallen muͤſte; innerhalb deſſelben aber/ wann beſagte Lini aus h nach der andern Seite/ d.i. unterwerts/ mit bd gleichlauffend/ gezogen wuͤrde.

3. Wann eine ebene Flaͤche einen Afterkegel beruͤhret/ alſo daß ſie denſelben nicht durchſchneide; ſo geſchihet ſolche Beruͤhrung nur in einem einigen Punct: und die jenige Flaͤche/ ſo durch den An- ruͤhrungspunct und die Achſe gezogen wird/ ſtreichet ſenkrecht auf die vorige beruͤhrende Flaͤche.

Beweiß.

Dann/ (was das erſte betrifft) wann beſagte Flaͤche den Afterkegel in mehr als einem Punct/ zum Exempel in e und f beruͤhret/ und aus beyden Puncten die/ mit bd gleichlauffende/ Lineen eg, fh gezogen werden/ durch beyde ſolche Lineen aber eine ebene Flaͤche gefuͤhret wird; ſo wird ſolche Flaͤche entweder zu- gleich durch die Achſe ſtreichen/ oder doch der Achſe gleichlauffen/ alſo daß ihr Durch- ſchnitt eine Parabel oder Hyperbel abgibet/ nach dem 1. und 2. Teihl des XII. Lehr- ſatzes/ und beyde Puncten e und f in der krummen Lini abc ſeyn muͤſſen. Daher dann folget (vermoͤg der I. Betr. 2ter Folge und der III. Betr. in V.) daß die gerade Lini/ ſo von e in f kan gezogen werden/ ganz in- nerhalb der krummen Lini ab, und alſo auch innerhalb des Afterkegels falle. Nun aber

iſt dieſe Lini ef, und folgends auch beyde Puncten e und f in der beruͤhrenden Flaͤche. Derowegen muß beſagte Flaͤche innerhalb des Afterkegels fallen/ und alſo denſelben durchſchneiden; welches aber ungereimt und wider obigen Satz iſt.

Den andern Teihl belangend/ wann die beſagte Flaͤche den Afterkegel in ſeinem Schei- telpunct beruͤhret/ wie zum Exempel ik, und der Afterkegel nach ſeiner Achſe Creutzweiß durchſchnitten wird/ ſo entſtehen zwey Para- beln oder Hyperbeln/ welche beyde einerley Achſe/ BD, haben; und die jenige Lineen in der beruͤhrenden Flaͤche/ welche beyde Hy- perbeln oder Parabeln in B beruͤhren/ ma- chen beyde mit BD gerade Winkel/ alſo daß auch die ganze beruͤhrende Flaͤche auf der

Achſe BD, d.i. auf jeder durch BD ſtreichenden Flaͤche/ ſenkrecht ſtehet.

Wann aber die beruͤhrende Flaͤche den Afterkegel nicht in ſeinem Scheitel- punct/ ſondern anderſtwo beruͤhret/ wie EF in dem Punct H, in der andern Fi- gur; Archimedes von denen Kegel- und gur; und ſo dann der Afterkegel ſo wol durch die Achſe BD und gedachten Punct H, als auch durch eben dieſen Punct H und ſenkrecht auf die Achſe/ nach der Lini HK, durchſchnitten wird/ da dann jener Durchſchnitt die Parabel oder Hyperbel ABC, dieſer aber einen Kreiß oder Scheibe gibt/ nach dem 1. und 2. Teihl des XII. Lehrſatzes; ſo wird bemeldte Scheibe in H beruͤhret von der je- nigen Lini/ in welcher die/ durch HK ſtreichende/ Flaͤche/ und die beruͤhrende EF einander durchſchneiden/ und muß ſolche beruͤhrende Lini (vermoͤg des 18den im III.) mit HK, d.i. (vermoͤg des 18den im XI.) die ganze beruͤhrende Flaͤ- che mit der jenigen Flaͤche/ in welcher HK und BD ſind/ gerade Winkel machen: Welches hat ſollen bewieſen werden.

Der XVII. Lehrſatz.

1. Wann eine ebene Flaͤche eine Afterkugel (es ſey welche wol- le) alſo beruͤhret/ daß ſie dieſelbe nicht durchſchneide/ ſo geſchicht ſolche Beruͤhrung abermal in einem einigen Punct; und die jenige Flaͤche/ ſo durch den Anruͤhrungs-Punct und die Achſe gezogen wird/ ſtreichet ſenkrecht durch die vorige beruͤhrende Flaͤche.

2. Wann eine Afterkugel von einer ebenen Flaͤche nach der Achſe durchſchnitten/ und die/ daher entſtehende/ ablange Run- dung von einer geraden Lini beruͤhret; endlich durch ſolche beruͤh- rende Lini eine Flaͤche/ ſenkrecht auf die vorige durchſchneidende/ gefuͤhret wird: ſo beruͤhret dieſe letzere Flaͤche die Afterkugel in eben demſelben Punct (und ſonſt in keinem mehr) in welchem obige ge- rade Lini die ablange Rundung beruͤhret.

Beweiß.

Des erſten Teihls Beweißthum iſt ganz einerley mit dem naͤchſt-vorher- gehenden/ und deswegen unnoͤhtig zu widerholen. Den andern (ob er ſchon fuͤr ſich ſelbſten klar iſt) beweiſet Archimedes alſo: Wann die beſagte Flaͤche die Afterkugel noch in einem andern Punct auch beruͤhrete/ ſo muͤſte die/ aus ſol- chem andern Punct auf die vorige durchſchneidende Flaͤche ſenkrecht-gezogene/ Lini (vermoͤg des 38ſten im XI. B.) auf die Lini/ welche die ablange Rundung beruͤhret/ und alſo auſſerhalb der ablangen Rundung/ fallen; Welches aber ungereimt und wider den 4. Teihl des obigen XII. Lehrſatzes lauffet.

Folge.

Eben dieſes wird auf gleiche Weiſe von denen Afterkegeln erwieſen.

Der XVIII. Lehrſatz.

Wann eine Afterkugel von zweyen gleichlauffenden Flaͤchen beruͤhret wird/ ſo wird die/ von einem Berührungspunct zu dem andern gezogene/ Lini durch den Mittelpunct der Afterkugel gehen.

Beweiß. Kugel-aͤhnlichen Figuren.

Beweiß.

Wann beyde beruͤhrende Flaͤchen durch beyde Endpuncten der Achſe ſtrei- chen/ und alſo mit der Achſe einen geraden Winkel machen/ ſo iſt die Sache of- fenbar und fuͤr Augen. Wann aber die Beruͤhrung anderſtwo/ als in b und e geſchihet/ ſo iſt die jenige Flaͤche/ welche durch die Achſe gh und den einen Anruͤhrungspunct e ſtrei- chet/ ſenkrecht auf die beruͤhrende Flaͤche df, ver- moͤg vorhergehenden XVII. Lehrſatzes 1. Teihls/ und alſo auch auf die andere beruͤhrende Flaͤche abc, Krafft des 14den und 16den im XI. Dahero dann nohtwendig beſagte/ durch e und die Achſe gh gezo- gene/ Flaͤche auch durch den andern Anruͤhrungs- punct b ſtreichet/ Laut folgender 1. Anmerkung. Es machet aber ſolcher Flaͤche Durchſchnitt eine ablange Rundung/ Krafft des XIII. Lehrſatzes 3. Teihls; und ſind (vermoͤg des 16den im XI. B.) die Lineen def und abc, (in welchen beyde beruͤhrende und die

gemeine/ durch beyde Anruͤhrungspuncten gezogene/ Flaͤchen einander durch- ſchneiden) gleichlauffend: Woraus endlich (Laut folgender 2. Anmerkung) unfehlbar folget/ daß die Lini be durch den Mittelpunct der ablangen Run- dung/ oder (welches gleich viel iſt) der Afterkugel bgeh, ſtreiche. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkungen.

1. Umb mehrerer Deutlichkeit willen muß erſtlich dieſes gewiß gemachet werden/ daß die jenige Flaͤche/ welche durch den Punct e und die Achſe gh auf beyde beruͤhrende Flaͤchen ſenkrecht ſtreichet/ auch nohtwendig durch den andern Anruͤhrungspunct b gehe; welches alſo erhellet: Wann ſie nicht durch b, ſondern nebenhin gehet/ und man eine andere durch beſag- ten Punct b und die Achſe gh ziehet/ ſo iſt dieſe letzere winkelrecht auf die beruͤhrende Flaͤche ac, nach des XII. Lehrſatzes 3. Teihl. Nun war aber auch die vorige/ welche gleichfalls durch die Achſe gh, aber nicht durch b gieng/ winkelrecht auf erſtbemeldte beruͤhrende ac. Muͤſten demnach zwey Flaͤchen/ ſo beyde durch eine Lini gh ſtreichen und daſelbſt einander durchſchneiden/ zugleich einander gleichlauffen/ Krafft des 14den im XI. weil ſie nehmlich beyde auf einer Flaͤche ſenkrecht ſtehen; welches aber ungereimt und unmoͤglich iſt.

2. Das andere iſt: Wann eine ablange Rundung/ als bheg von zweyen gleichlauf- fenden Lineen/ ac und df, beruͤhret wird/ daß alsdann die von einem Anruͤhrungspunct zum andern gezogene Lini be durch der Rundung Mittelpunct ſtreiche. Dann wann i der Mit- telpunct nicht iſt/ ſo ſey es zum Exempel k, und werde von e durch k gezogen der Durchmeſſer em. Wann man nun durch den Punct m eine Lini/ mit denen Ordentlich-gezogenen/ d.i. (Krafft der XVII. Betr. 1. Folge in V) mit der beruͤhrenden def gleichlauffend/ ziehet/ muͤſte dieſelbe/ vermoͤg des 30ſten im I. B. auch mit der andern beruͤhrenden abc gleich- lauffen/ und folgends (weil der Punct m unter der Lini abc iſt) die ablange Rundung durch- ſchneiden/ da ſie doch zuvor dieſelbe in dem einigen Punct m beruͤhrt zu haben geſetzet worden. Muß alſo (weil ſonſten etwas ungereimtes folget) i nohtwendig der ablangen Rundung Mittelpunct ſeyn.

Der XIX. Lehrſatz.

Wann eine Afterkugel von zweyen gleichlauffenden Flaͤchen beruͤhret/ und eine andere Flaͤche durch den Mittelpunct/ mit die- ſen beruͤhrenden auch gleichlauffend/ gefuͤhret wird; ſo fallen die je- Y ynige Archimedes von denen Kegel- und nige Lineen/ welche mit der/ von einem Anruͤhrungspunct zum andern gezogenen/ gleichlauffend/ durch jeden beliebigen Punct des mittlern Durchſchnitts gezogen werden/ auſſerhalb der Afterkugel.

Erlaͤuterung.

Es ſey eine Afterkugel beruͤhret von zweyen gleichlauffenden Flaͤchen FBE und GDH, und in dem Mittelpunct von einer andern/ mit jenen auch gleich- lauffenden/ durchſchnitten/ alſo daß/ vermoͤg ſolches Durchſchnittes/ eine ab- lange oder Kreiß-Rundung entſtehe/ Laut des 3. Teihls des XII. Lehrſatzes. Jn ſolcher Rundung ſey nach Belieben genommen der Punct C, und durch den- ſelben und die Lini BD (welche von einem Beruͤhrungspunct zum andern ſtrei- chet) eine Flaͤche gefuͤhret/ alſo daß hierdurch entſtehet abermal entweder eine Kreiß- oder ablange Rundung ABCD, deren beyde Creutzmeſſer (vermoͤg des vorhergehenden XVIII. Lehrſatzes und der XIII. Betr. 4. Folge in V) ſind AC und BD. Soll nun bewieſen werden/ daß die/ durch C oder A mit BD

gleichlauffend-gezogene/ Lineen auſſerhalb der ablangen Rundung/ und folgends auch auſſer der Afterkugel fallen/ und dieſelbe nur in C oder A beruͤhren.

Beweiß.

Der ganze Beweiß beruhet nun voͤllig auf der XIII. Betr. 4. Folge in V. und daher fer- nerer Weitlaͤuffigkeit nicht beduͤrftig.

Anhang.

Wann aber die durchſchneidende/ oder mit beyden Beruͤhren- den gleichlauffende/ Flaͤche nicht durch den Mittelpunct ſtreichet/ wie KL; ſo iſt offenbar/ daß die jenige Lineen/ welche aus K oder L nach der Seite des kleinen Abſchnittes/ KBL, hinaus/ mit BD gleichlauffend gezogen werden/ auſſerhalb der Afterkugel: die wi- drig-gezogene aber/ innerhalb derſelben/ fallen.

Der XX. Lehrſatz.

Eine jede Afterkugel wird von einer jeden/ durch ihren Mittel- punct ſtreichenden/ Flaͤche/ in zwey gleiche Teihle zerſchnitten/ ſo wol die Kugel an ihr ſelbſt als auch ihre aͤuſſere Flaͤche.

Beweiß.

Dann die ſothane Zerſchneidung der Afterkugel geſchihet entweder nach der Achſe/ oder winkelrecht auf die Achſe/ oder endlich ſchraͤg uͤber die Achſe her. Jn beyden erſten Faͤllen iſt die Sache handgreifflich und aus der 6. Worterklaͤ- rung leichtlich abzunehmen. Jn dem lezten Fall/ da die Zerſchneidung geſchihet/ zum Exempel/ nach der Lini AC, nimmt Archimedes noch eine andere/ der vo- rigen ganz gleiche und aͤhnliche/ wie auch auf ganz gleiche Weiß zerſchnittene After- Kugel-aͤhnlichen Figuren. Afterkugel; und in dem er bey- de auch nach ihren Achſen BD, EG durchſchnitten/ und alſo die beyde ganz gleiche und aͤhnliche ablange Rundungen ABCD und FENG herausgebracht hat; leget er endlich in Gedan- ken den Abſchnitt FEN, wel- ches dem ABC gleich iſt/ auf den Abſchnitt ADC alſo/ daß E auf D, und F auf C, und N auf A kommet: da ſich dann

befindet/ daß ſolche beyde Abſchnitte gaͤnzlich auf einander treffen und allerdings einander gleich und aͤhnlich ſeyen. Woraus endlich Archimedes ſchlieſſet/ daß auch beyde Coͤrperliche Abſchnitte ABC und CDA, und folgends auch ihre aͤuſſere Flaͤchen einander gleich ſeyen. Es lauffet aber doch endlich die Sache auf obigen Grund der 6. Worterklaͤrung hinaus: dann weil die Abſchnitte ABC und CDA einander gleich und aͤhnlich ſind/ beſchreiben ſie auch durch ihren Umblauff gleiche und aͤhnliche Coͤrperliche Stuͤkke und Fluͤchen.

Der XXI. Lehrſatz.

Wann ein Abſchnitt eines jeden beliebigen Afterkegels gegeben iſt/ ſo von einer/ auf die Achſe ſenkrechten/ Flaͤche abgeſchnitten wor- den; oder ein/ gleichmaͤſſig abgeſchnittenes/ Stuͤkk einer After- kugel/ ſo nicht groͤſſer iſt als die Helfte derſelben: ſo iſt moͤglich/ daß innerhalb deſſelben eine/ aus lauter Rund-Saͤulen beſtehende/ Coͤrperliche Figur/ und eine andere auſſerhalb umb dieſelbe/ in glei- cher Hoͤhe mit dem gegebenen Abſchnitt/ alſo beſchrieben werde/ daß der Uberreſt der umbgeſchriebenen Figur uͤber die eingeſchrie- bene kleiner ſey als jede fuͤrgegebene Coͤrperliche Groͤſſe.

Erlaͤuterung.

So ſey nun beſagter maſſen gege- ben eines Afterkegels oder einer After- kugel Abſchnitt ABC, von einer auf BD ſenkrechten Flaͤche AC abge- ſchnitten/ alſo daß die Grundflaͤche ſolches Abſchnittes wird eine Scheibe/ nach obigem XII. Lehrſatz/ deſſen Durchmeſſer iſt die Lini AC. Umb dieſe Scheibe ſey nun auf gerichtet eine Rund-Saͤule/ welche zur Achſe habe die Lini BD, und deren Flaͤche noht- wendig ganz auſſerhalb des gegebenen Abſchnittes ABC fallen muß/ ver-

moͤg des XVI. und des Anhangs des XIX. Lehrſatzes. Dieſe Rund- Y y ijSaͤule/ Archimedes von denen Kegel- und Saͤule/ oder (welches gleich viel iſt) ihre Achſe BD werde von einer ſenkrech- ten Flaͤche in zwey gleiche Teihle zerſchnitten/ und die Helfte wieder halbgeteih- let/ ſo lang und viel/ biß ein ſo kleines Rund-Saͤuligen heraus kommet/ wel- ches kleiner ſey als eine fuͤrgegebene Coͤrperliche Groͤſſe/ nach der Folge des 1ſten im X. B. Und ſey beſagtes Rund-Saͤuligen das jenige/ deſſen Grund- ſcheibe iſt AC, die Hoͤhe aber DE. Dieweil nun/ vermittelſt vorbemeldter fort- geſetzter Halbteihlung/ die Achſe BD in lauter gleiche Teihle/ DE, EX, XP, &c. zerſchnitten worden/ auch krafft ſolcher ſenkrechten Durchſchnitte in dem Ab- ſchnitt ABC eben ſo viel Scheiben entſtanden ſind/ deren Mittelpuncten ſind E, X, P, &c. ſo beſchreibe man nun umb jede ſolche Scheibe (zum Exempel umb die Scheibe KG) zwey Rund-Saͤulen in der Hoͤhe ED oder RO, oder OP, &c. eine unterwerts gegen D, (wie KL, welche alſo ganz innerhalb des Abſchnittes ABC faͤllet/ vermoͤg obigen XVI. und XIX. Lehrſatzes) die andere aufwerts gegen B, (wie KM, deſſen aͤuſſere Flaͤche ganz auſſerhalb faͤllet) ſo wird end- lich ſo wol inn- als auſſerhalb des Abſchnittes ABC eine/ aus lauter Rund- Saͤulen beſtehende Coͤrperliche Figur beſchrieben ſeyn; Von welchen beyden dann dieſes ſolle bewieſen werden: Daß der Umbgeſchriebenen Uberreſt/ mit welchem ſie die Eingeſchriebene uͤbertrifft/ kleiner ſey als eine nach Belieben gegebene Coͤrperliche Groͤſſe.

Beweiß.

Jede aͤuſſere Rund-Saͤule iſt gleich ihrer innern/ welche mit ihr einerley Grundſcheibe hat/ weil auch die Hoͤhen alle gleich ſind/ zum Exempel die Rund- Saͤule HI der innern HG, und KM der innern KL, &c. Die letzere aͤuſſere/ deren Grundſcheibe AC, die Hoͤhe aber DE iſt/ bleibt allein uͤber und hat kei- ne gleiche mehr innerhalb des Abſchnittes; alſo daß eben ſie der Uberreſt iſt/ mit welchem die umbgeſchriebene oder aͤuſſere ganze Figur die innere oder ein- geſchriebene uͤbertrifft. Nun iſt aber eben dieſelbe Rund-Saͤule kleiner als die gegebene Coͤrperliche Groͤſſe/ Krafft obiger Vorbereitung. Derowegen ſo iſt auch nunmehr erwieſen/ was hat ſollen bewieſen werden.

Der XXII. Lehrſatz.

Wann auch ein Abſchnitt eines Afterkegels/ ſo von einer/ auf die Achſe nicht ſenkrechten/ Flaͤche abgeſchnitten worden; oder ein gleichmaͤſſig-abgeſchnittenes Stuͤkk einer Afterkugel/ ſo nicht groͤſ- ſer iſt als ihre Helfte/ gegeben wird: iſt abermal moͤglich/ inner- halb deſſelben eine/ aus lauter Rund-Saͤulen-Stuͤkken beſtehende/ Coͤrperliche Figur/ und eine andere auſſerhalb umb daſſelbe/ alſo zu beſchreiben/ daß der Umbgeſchriebenen Uberreſt uͤber die Ein- geſchriebene kleiner ſey als jede fuͤrgegebene Coͤrperliche Groͤſſe.

Erlaͤuterung.

Dieſe iſt der vorigen ganz aͤhnlich/ und nur in dieſen folgenden wenigen Puncten unterſchieden. 1. Die Mittel-Lini oder der Durchmeſſer BD (weil ſie wegen ſchraͤger Abſchneidung des Afterkegels oder der Afterkugel/ mit dero- ſelben Achſe nicht uͤbereintrifft) muß erſt gefunden werden/ nach der II. Betr. 1/ der V. Kugel-aͤhnlichen Figuren. der V. 7/ und der XII. 4. Folge in V. oder aber nach Anleitung ohiger 2/ 4/ und 7. Worterklaͤrungen. 2. Die Grundflaͤche des Abſchnittes umb den Durchmeſſer AC, wie auch die an- dern Durchſchnitte KG, &c. werden keine Scheiben/ ſon- dern ablange Run- dungen/ vermoͤg obigen XII. Lehr- ſatzes/ ſo aber ein- ander alle aͤhnlich ſind/ nach des XV.

Lehrſatzes 2. Folge. 3. Werden hier/ an ſtatt derer Rund-Saͤulen/ umb beſagte ablange Rundungen lauter Rund-Saͤulen-Stuͤkke beſchrieben/ als AU, KL, &c. nach Anleitung des obigen X. Lehrſatzes; das uͤbrige bleibt al- les wie in der vorigen Erlaͤuterung.

Beweiß.

Dieſer iſt dem vorigen ebenfalls ganz gleich. Nehmlich es wird geſchloſſen/ daß das Rund-Saͤulen-Stuͤkke/ deſſen Grundſcheibe iſt die Rundung AC, die Hoͤhe oder Mittel-Lini aber DE, ſey eben der umbgeſchriebenen Figur Uberreſt uͤber die eingeſchriebene; und zwar/ vermoͤg der Vorbereitung/ kleiner als eine nach Belieben gegebene Coͤrperliche Groͤſſe.

Anmerkung.

Unmittelbar auf dieſen Beweiß ſetzet Archimedes dieſe Wort: Nach dem nun dieſes alſo bißher vorangeſchikket worden/ wollen wir jezt das jenige von denen Figuren beweiſen/ welches wir ehdeſſen aufgegeben oder fuͤrgenommen haben. Zeiget hiermit an/ daß alle vorhergehende Lehrſaͤtze einig und allein umb derer folgenden willen bewieſen ſeyen/ als welche der eigentliche Zwekk dieſes Buches ſind/ und die jenige Eigenſchafften derer Kegel- und Kugel-aͤhnlichen Figuren behandeln/ welche er oben ſchon bey der 2/ 5/ und 8. Wort- erkkaͤrung zum Voraus bemerket/ wir aber biß hieher/ als in ihren eigenthumlichen Sitz/ ver- ſchoben haben; nunmehr aber ordentlich nach einander betrachten wollen.

Der XXIII. Lehrſatz.

Eines jeden rechtwinklichten (oder paraboliſchen) Afterkegels Abſchnitt/ ſo von einer/ auf die Achſe ſenkrechten Flaͤche abge- ſchnitten worden/ iſt anderthalbmal ſo groß als der jenige Ke- gel/ welcher mit beſagtem Abſchnitt einerley Grundflaͤche und Achſe hat.

Beweiß.

Es ſey eines Paraboliſchen Afterkegels ſenkrechter Abſchnitt/ ABC, ſo hier durch ſeine beſchreibende Parabelflaͤche angedeutet wird. Die abſchneidende/ auf die Achſe BD ſenkrechte/ Flaͤche ſey AC. Es ſey ferner ein Kegel/ der mit beſagtem Abſchnitt einerley Grundflaͤche und Achſe/ und ſeine Spitze in B hat. Soll nun bewieſen werden/ daß beſagter Abſchnitt des Afterkegels anderthalb- mal ſo groß ſey als erſtbemeldter rechter Kegel: d.i. (wann der Kegel Z andert- Y y iijhalb- Archimedes von denen Kegel- und halbmal ſo groß geſetzet wird als der Kegel/ deſſen Grundſcheibe AC, die Hoͤhe aber BD iſt) daß der Abſchnitt des Afterkegels ABC, dem Kegel Z gleich ſey.

Dann ſo er demſelben nicht gleich iſt/ ſo muß er entweder groͤſſer oder klei- ner ſeyn.

I. Satz. Man ſetze fuͤrs erſte/ er ſey groͤſſer/ und zwar umb einen gewiſ- ſen Reſt/ den wir indeſſen a nennen wollen; und beſchreibe ſo dann innerhalb

des Abſchnittes eine/ aus lau- ter Rund-Saͤulen beſtehende Coͤrperliche Figur/ und eine andere umb denſelben/ alſo daß der Umbgeſchriebenen Uberreſt uͤber die Eingeſchrie- bene kleiner ſey als die Groͤſſe a, mit welcher der Abſchnitt ABC den Kegel Z uͤbertrifft/ allerdings nach vorherge- hendem XXI. Lehrſatz. Wor- aus dann zu foͤrderſt folget/ daß die eingeſchriebene Coͤr- perliche Figur groͤſſer ſey als der Kegel Z. Beſihe folgen- de 1. Anmerkung. Und diß iſt eines. Wann man nun ferner alle Grundflaͤ- chen derer umbgeſchriebenen Rund-Saͤuligen hinaus fuͤhret biß an die aͤuſſere Flaͤche der groſſen umbgeſchriebenen Rund-Saͤule/ deren Mittel-Lini BD iſt/ ſo wird dieſelbe hierdurch in eben ſo viel gleiche Rundſaͤuligen geteihlt werden/ als viel umb den Abſchnitt ungleiche beſchrieben worden/ und zwar jene alle ſind gleich dem groͤſſeſten unter dieſen/ nehmlich dem/ deſſen Grundſcheibe iſt AC, die Hoͤhe aber DE: Es ſind aber ferner die Ungleichen ordentlich-gleichuͤber- treffend/ und zwar der Reſt/ mit welchem eines das andere uͤbertrifft/ iſt gleich dem kleineſten unter ihnen/ vermoͤg folgender 2. Anmerkung. Daher dann folget (Krafft des I. Lehrſatzes in dieſem Buch) daß alle gleiche Rundſaͤuli- gen zuſammen/ d.i. die ganze groſſe Rund-Saͤule/ nicht gar zweymal ſo groß ſey als alle ungleiche zuſammen/ d.i. als die ganze umbgeſchriebene Coͤrperli- che Figur/ mehr aber dann zweymal ſo groß als eben dieſelbe ungleiche Rund- ſaͤuligen/ ohne die groͤſſeſte/ d.i. (nach dem Beweiß des XXI. Lehrſatzes) als die eingeſchriebene Coͤrperliche Figur. Eben aber dieſelbe ganze groſſe Rund- Saͤule iſt nicht mehr dann zweymal ſo groß als der Kegel Z [dann der Kegel Z iſt anderthalbmal/ die Rund-Saͤule aber dreymal ſo groß als der Kegel ABC, Laut des 10den im XII. B.] Woraus dann unfehlbar folget/ daß der Kegel Z groͤſſer ſey als die eingeſchriebene Figur; da doch oben das Wider- ſpiel/ daß nehmlich die eingeſchriebene Figur groͤſſer ſey als der Kegel Z, erwie- ſen worden. Kan derowegen der Abſchnitt des Paraboliſchen Afterkegels ABC nicht groͤſſer ſeyn als der Kegel Z; weil ſonſten etwas ungereimtes erfolget.

II. Satz. Man ſetze fuͤrs andere/ er ſey kleiner/ und mache das uͤbrige wie oben: So folget zu foͤrderſt/ daß die umb geſchriebene Figur kleiner ſey als der Kegel Z, Laut folgender 1. Anmerkung; fuͤrs andere/ eben wie zuvor/ daß die ganze Rund-Saͤule BD nicht gar zweymal ſo groß als die umbgeſchriebene Coͤrper- Kugel-aͤhnlichen Figuren. Coͤrperliche Figur/ nach dem I. Lehrſatz. Woraus dann endlich folget/ (weil eben dieſe Rund-Saͤule zweymal ſo groß iſt als der Kegel Z) daß dieſer Kegel Z kleiner ſey als die umbgeſchriebene Coͤrperliche Figur/ da doch kurz vorher das Gegenſpiel erwieſen worden. Kan derowegen der Abſchnitt ABC nicht kleiner ſeyn als der Kegel Z. Er iſt aber auch nicht groͤſſer/ wie zuvor erwieſen. Derohalben muß er demſelben gleich/ und folgends anderthalbmal ſo groß als der Kegel ABC ſeyn. Welches hat ſollen erwieſen werden.

Anmerkungen.

1. Jn dem erſten Satz ſind vier unterſchiedliche Groͤſſen/ als die umbgeſchriebene Figur/ der Abſchnitt des Afterkegels/ die eingeſchriebene Figur/ und endlich der Kegel Z; und zwar iſt die erſte groͤſſer als die andere/ der erſten Uberreſt uͤber die dritte aber kleiner als der zweyten ih- rer uͤber die vierdte: daraus iſt geſchloſſen worden/ daß die dritte (d.i. die eingeſchriebene Figur) groͤſſer ſey als die vierdte (nehmlich als der Kegel Z.) Welches Schluſſes Waarheit dann aus beygeſetztem allgemeinen Exempel (in welchem b groͤſſer als c, und c groͤſſer als d zu ſeyn geſetzet iſt) klaͤrlich kan erſehen werden.

Jn dem andern Satz ſind abermal vier unterſchiedliche Groͤſſen/ nehmlich die eingeſchrie- bene Figur/ der Abſchnitt des Afterkegels/ die umbgeſchriebene Figur/ und endlich der Kegel Z; und zwar iſt umbgekehrt die erſte kleiner als die andere/ der dritten Uberreſt uͤber die erſte aber auch kleiner als der vierdten ihrer uͤber die zweyte: daraus iſt geſchloſſen worden/ daß die dritte (nehmlich die umbgeſchriebene Figur) kleiner ſey als die vierdte/ d.i. als der Kegel Z. Wel- ches Schluſſes Gewißheit abermal aus beygeſetztem allgemeinen Exempel erhellet:

2. Daß die/ umb den Abſchnitt ABC beſchriebene/ Rundſaͤuligen einander gleichuͤber- treffen/ und zwar der Uberreſt des einen uͤber das andere allezeit gleich ſey dem kleineſten Rund- ſaͤuligen/ deſſen Grundſcheibe iſt ST, die Hoͤhe aber BH; wird alſo erwieſen: Das erſte groͤſ- ſeſte Rundſaͤuligen/ deſſen Grundſcheibe AC iſt/ verhaͤlt ſich gegen dem kleineſten/ auf der Grundſcheibe ST, wie die Vierung AC gegen der Vierung ST, oder wie die Vierung AD gegen der Vierung SH, Krafft des 11ten und 2. im XII. B. oder/ wann die Grund- flaͤchen ablange und einander aͤhnliche Rundungen ſind/ nach der Folge des obigen VII. Lehrſatzes; d.i. (nach der I. Betr. 7. Folge in V) wie BD gegen BH, d.i. wie 6 gegen 1, alſo daß das groͤſſeſte Rundſaͤuligen hier ſechsmal ſo groß iſt als das kleineſte. Gleicher wei- ſe wird geſchloſſen/ daß das andere fuͤnfmal/ das dritte viermal/ das vierdte dreymal/ das fuͤnfte endlich zweymal ſo groß ſey als das kleineſte und letzte: welches dann eben das jenige iſt/ das oben geſagt worden. Worbey noch zu merken/ daß Archimedis Beweiß in dieſem Stuͤkk ein wenig anderſt gehe/ aber/ meines Bedunkens/ nicht ſo leicht und deutlich; daß dannenhero nicht ohne Urſach dieſer Weg zu ſchlieſſen vor jenem beliebet worden.

Der XXIV. Lehrſatz.

Wann auch gleich der Abſchnitt eines Paraboliſchen After- kegels von einer/ auf die Achſe nicht ſenkrechten/ Flaͤche abge- ſchnitten worden; ſo iſt derſelbe dannoch anderthalbmal ſo groß als der Abſchnitt eines Kegels/ welcher mit ihm einerley Grund- flaͤche und Achſe/ oder Hoͤhe/ hat.

Beweiß.

Dieſer iſt dem vorigen ganz aͤhnlich/ wann man nur etliche wenige Puncten beobachtet. 1. Daß die Grundflaͤchen AC, KL, ST, &c. welche zuvor Schei- ben ge- Archimedes von denen Kegel- und ben geweſen/ hier ablange und zwar einander aͤhnliche Rundungen worden/ vermoͤg des XIII. Lehrſatzes und des XV. 2. Folge; Und daß 2. an ſtatt derer vorigen Rund-Saͤulen hier Rund-Saͤulen-Stuͤkke muͤſſen beſchrieben

werden/ nach Anleitung des X. Lehr- ſatzes/ die umbgeſchriebene und einge- ſchriebene Figur aber nach dem XXII. Lehrſatz. Wann nun der Kegel/ oder Abſchnitt eines Kegels/ Z, andert- halbmal ſo groß geſetzet wird alsdas Kegelſtuͤkk ABC, d.i. halb ſo groß als das Rund-Saͤulen-Stuͤkk AY UC, und man will nicht geſtehen/ daß der Abſchnitt des Afterkegels ABC dem Kegel Z gleich ſey; ſo muß er abermal entweder groͤſſer oder kleiner ſeyn.

Jm 1. Satz ſchlieſſet man/ eben wie zuvor/ 1. Daß die eingeſchriebene Coͤrperliche Figur groͤſſer ſey als der Kegel Z. 2. Daß das groſſe Rund- Saͤulen-Stuͤkk AYUC in eben ſo viel kleine/ und alle dem unterſten AKLC, gleiche geteihlt werde/ als viel die umbgeſchriebene Coͤrperliche Figur ungleiche hat. 3. Daß dieſe unglei- che einander gleich-uͤbertreffen/ und zwar der Uberreſt des einen uͤber das an- dere gleich ſey dem kleineſten auf der Grundflaͤche ST. 4. Hier aus ferner/ daß das ganze Rund-Saͤulen-Stuͤkk AYUC mehr dann zweymal ſo groß ſey als die eingeſchriebene Coͤrperliche Figur; und dannenhero eben dieſe eingeſchrie- bene Figur kleiner als der Kegel Z, da ſie doch vorhero groͤſſer zu ſeyn erwieſen worden.

Jn dem 2. Satz folget abermal alles/ wie in vorigem Beweiß/ und end- lich auch der begehrte Schluß/ daß der Abſchnitt des Afterkegels ABC dem Kegel Z gleich/ und folgends anderthalbmal ſo groß ſey als das Kegel-Stuͤkk/ welches mit beſagtem Afterkegel-Stuͤkk einerley Grundflaͤche und Achſe hat.

Der XXV. Lehrſatz.

Wann von einem rechtwinklichten (paraboliſchen) Afterkegel zwey Stuͤkke abgeſchnitten werden/ durch zwey Flaͤchen/ deren eine ſenkrecht/ die andere nicht ſenkrecht auf die Achſe ſtreichet; und zwar alſo/ daß beyder Abſchnitte Achſen einander gleich ſind: ſo werden auch die beyde Abſchnitte einander gleich ſeyn.

Beweiß.

Es ſeyen von einem Paraboliſchen Afterkegel abgeſchnitten zwey Stuͤkke/ nehmlich CBE ſenkrecht/ und FLA nicht ſenkrecht auf die Achſe; und ſeyen beyder Abſchnitte Durchmeſſer oder Achſen/ BH und KL, einander gleich. Soll Kugel-aͤhnlichen Figuren. Soll nun erwieſen werden/ daß auch beyde beſagte Abſchnitte einander gleich ſeyen. Wann man nun den Afterkegel auch nach ſeiner Achſe durchſchneidet/ ſo gibt ſolcher Durchſchnitt die zwey Parabelflaͤchen/ CBE und FBA, deren Durchmeſſer/ HB und KL einander gleich ſind/ alſo daß auch (vermoͤg des IV. Lehr- ſatzes) die Parabelflaͤchen uñ ihꝛe eingeſchriebene Drey- ekke einander gleich ſind. Man ziehe ferner AQ ſenkrecht auf die verlaͤngerte LK, ſo wer- den AQ und EH (ver- moͤg der Folge des IV. Lehr- ſatzes) einander gleich ſeyn.

Endlich beſchreibe man innerhalb des Abſchnittes CBE einen Kegel/ ſo mit ihm einerley Grundſcheibe und Hoͤhe hat; wie ingleichen in dem andern Abſchnitt FLA (weil ſeine Grundflaͤche/ Krafft des XIII. Lehrſatzes/ eine ablange Rundung iſt) ein Kegelſtuͤkk/ welches auch einerley Grundflaͤche und Achſe mit demſelben habe/ nach Anleitung des IX. Lehrſatzes; und laſſe leztlichen auf AF ſenkrecht herunter die Lini LM, als die Hoͤhe des erſtbeſagten Kegelſtuͤkkes.

So iſt nun die Verhaͤltnis des Kegelſtuͤkkes FLA gegen dem Kegel CBE zuſammengeſetzet aus der Verhaͤltnis der ablangen Rundung umb AF gegen der Scheibe EC, und aus der Verhaͤltnis der Hoͤhe LM gegen der Hoͤhe BH, nach der Anmerkung des XI. Lehrſatzes/ d.i. aus der Verhaͤltnis/ welches da hat das Rechtekk beyder Durchmeſſer in der ablangen Rundung gegen der Vierung des Durchmeſſers EC, Laut obigen VI. Lehrſatzes/ und aus der Verhaͤltnis der Hoͤhe LM gegen der Hoͤhe BH; d.i. (weil beſagtes Rechtekk und die Vierung EC einerley Hoͤhe haben/ dann EC iſt gleich dem kleinen Durchmeſſer der ablangen Rundung umb AF) Laut des 1ſten im VI. aus der Verhaͤltnis AF gegen EC, oder AK gegen EH, und aus der Verhaͤltnis LM gegen BH. Es verhaͤlt ſich aber (wegen Aehnlichkeit derer Dreyekke KLM und KAQ) KL gegen LM wie AK gegen AQ, Krafft des 4ten im VI. B. Derowegen iſt die Verhaͤltnis des Kegelſtuͤkkes gegen dem Kegel zuſammge- ſetzet/ aus der Verhaͤltnis AK gegen EH, oder (weil EH dem AQ gleich iſt) AK gegen AQ, d.i. KL gegen LM, und aus der Verhaͤltnis LM gegen BH. Aus eben dieſen beyden Verhaͤltniſſen/ KL gegen LM und LM gegen BH, aber iſt auch zuſammgeſetzet die Verhaͤltnis KL gegen BH. Derohalben verhaͤlt ſich oftgemeldtes Kegelſtuͤkk gegen dem Kegel wie KL gegen BH. Es ſind aber KL und BH, Krafft obigen Satzes/ einander gleich. So muͤſſen demnach auch das Kegelſtuͤkk und der Kegel/ und folgends auch ihre/ nach vorhergehendem XXIII. und XXIV. Lehrſatz anderthalbige/ Afterkegel-Stuͤkke/ oder Abſchnitte/ CBE und FLA, einander gleich ſeyn. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Z zDer Archimedes von denen Kegel- und

Der XXVI. Lehrſatz.

Wann von einem rechtwinklichten (paraboliſchen) Afterkegel zwey Stuͤkke nach Belieben abgeſchnitten werden/ ſo verhalten ſie ſich gegen einander wie die Vierungen ihrer Achſen oder Durch- meſſer.

Beweiß.

Es ſeyen/ zum Exempel/ von einem Paraboliſchen Afterkegel zwey Stuͤkke abgeſchnitten/ deren Achſen oder Durchmeſſer ſeyen K und L. Wann nun K dem L gleich iſt/ ſo ſind auch ihre Vierungen gleich/ und iſt auch ein Abſchnitt dem andern gleich/ d.i. beyderſeits einerley Verhaͤltnis. Wann aber K und L nicht

gleich iſt/ ſo ſchneide man von der Achſe des Afterkegels/ durch eine ſenkrechte Flaͤche/ ab BH gleich dem L, und BD gleich dem K; ſo werden/ vermoͤg des vorhergehenden XXV. Lehrſatzes/ die ſenkrechte Abſchnitte EBF und ABC, jeden zweyen andern Abſchnitten/ deren Achſen L und K ſind/ gleich ſeyn. So man nun in beyden vorigen Abſchnitten Kegel beſchrei- bet/ deren Spitze B, die Grundſcheiben aber AC und EF ſind/ ſo iſt die Verhaͤltnis des Ke- gels ABC gegen dem Kegel EBF zuſammge- ſetzet aus der Verhaͤltnis der Vierung AD gegen der Vierung HE, und der Verhaͤltnis BD gegen BH, Laut des obigen XI. Lehrſatzes und des 2ten im XII. d.i. (Krafft der I. Betr. 7. Folge in V) aus der Verhaͤltnis BD gegen BH und der Verhaͤltnis wieder des BD gegen BH; alſo daß der Kegel ABC gegen dem Kegel EBF eine gedoppelte Verhaͤltnis hat des BD gegen BH. Eben aber ſolche gedoppelte Verhaͤltnis hat die Vierung BD gegen der Vierung BH, Laut des 20ſten im VI. B. Verhaͤlt ſich demnach der Kegel ABC gegen dem Kegel EBF, d.i. Krafft des XXIII. Lehrſatzes und des 15den im V. B. ein Abſchnitt des Afterkegels gegen dem andern (deren Achſen BD und BH oder K und L ſind) wie die Vierung BD gegen der Vierung BH, d.i. wie die Vie- rung K gegen der Vierung L: Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkung.

Hieraus flieſſet/ weil alle Paraboliſche Afterkegel einander aͤhnlich ſind/ Laut obiger 5. Worterklaͤrung/ daß auch unterſchiedlicher Paraboliſcher Afterkegel Abſchnitte/ wann ſie gleiche Achſen oder Durchmeſſer haben/ einander gleich ſeyen; wann aber die Achſen ungleich ſind/ ſich alſo gegen einander verhalten/ wie die Vierungen eben deroſelben Achſen oder Durchmeſſer.

Der XXVII. Lehrſatz.

Eines jeden ſtumpfwinklichten (Hyperboliſchen) Afterkegels Abſchnitt/ ſo von einer/ auf die Achſe ſenkrechten/ Flaͤche abge- ſchnitten worden/ verhaͤlt ſich gegen dem jenigen Kegel/ welcher mit beſagtem Abſchnitt einerley Grundflaͤche und Achſe hat/ wie die Kugel-aͤhnlichen Figuren. die Lini/ welche aus der Achſe des Abſchnittes und deroſelben drey- fachen Zugab zuſammengeſetzet iſt/ gegen einer andern Lini/ ſo da gleich iſt erſtbemeldter Achſe ſambt ihrer doppelten Zugab.

Beweiß.

Es ſey eines Hyperboliſchen Afterkegels waagrechter Abſchnitt ABC, welcher hier durch ſeine beſchreibende Hyperbelflaͤche angedeutet wird: die ab- ſchneidende/ auf die Achſe BD ſenkrechte/ Flaͤche ſey AC: der Achſe Zugab BH gleich HF oder FG. Soll nun bewieſen werden/ daß beſagter Abſchnitt des Af- terkegels gegen einem rechten Kegel/ ſo da einerley Grundflaͤche und Achſe mit jenem hat/ ſich verhalte wie die Lini GD gegen der Lini DF; d.i. (wann ein anderer Kegel/ Z, geſetzet wird/ welcher ſich gegen dem vorigen verhalte wie GD gegen DF) daß beſagter Abſchnitt des Afterkegels ABC dem Kegel Z gleich ſey. Und zwar folgender Geſtalt:

Wann er ihm nicht gleich iſt/ ſo muß er entweder groͤſſer oder klei- ner ſeyn.

I. Satz. Man ſetze fuͤrs erſte/ er ſey groͤſſer/ und zwar umb einen gewiſſen Reſt/ den wir indeſſen a nennen wollen; und beſchreibe ſo dann innerhalb des Abſchnittes eine/ aus lauter Rund-Saͤulen be- ſtehende/ Coͤrperliche Figur/ und eine andere auſſerhalb umb denſel- ben/ alſo daß der Umbgeſchriebenen Reſt uͤber die eingeſchriebene kleiner ſey als die Groͤſſe a, mit welcher der Abſchnitt ABC den Kegel Z uͤbertrifft/ allerdings nach vor- heꝛgehendem XXI. Lehrſatz. Wor- aus dann zu foͤrderſt folget/ daß die eingeſchriebene Coͤrperliche Fi- gur groͤſſer ſey als der Kegel Z,

Laut der 1. Anmerkung des vorhergehenden XXIII. Lehrſatzes. Und diß iſt eines. Wann man nun ferner alle Grundflaͤchen derer umbgeſchriebenen Rund-Saͤuligen hinaus fuͤhret biß an die aͤuſſere Flaͤche der groſſen umbge- ſchriebenen Rund-Saͤule AYUC, deren Achſe oder Mittel-Lini BD iſt/ ſo wird dieſelbe hierdurch in eben ſo viel gleiche Rund-Saͤuligen geteihlet/ als viel umb den Abſchnitt ungleiche beſchrieben worden; und zwar jene alle ſind gleich dem groͤſſeſten unter dieſen/ nehmlich dem/ deſſen Grundſcheibe iſt AC, die Hoͤhe aber DE. (NB. Biß hieher kommet alles mit dem Beweiß des XXIII. Lehr- ſatzes gaͤnzlich uͤberein.) Und diß iſt das andere. Nun ſey BR der dritte Teihl von BD, ſo wird (weil BH auch der dritte Teihl von BG iſt) die ganze Lini GD dreymal ſo groß ſeyn als HR, und folgends die Rund-Saͤule AY UC gegen dem Kegel/ welcher mit ihr einerley Grundſcheibe und Hoͤhe hat/ (weil ſie/ vermoͤg des 10den im XII. auch dreymal ſo groß iſt als derſelbe) ſich Z z ijver- Archimedes von denen Kegel- und verhalten/ wie GD gegen HR. Es verhaͤlt ſich aber ferner/ und zwar verwir- ret/ vorbeſagter Kegel gegen dem Kegel Z, Krafft obigen Satzes/ wie FD ge- gen GD: derowegen auch gleichdurchgehend/ die Kund-Saͤule AYUC gegen dem Kegel Z, wie FD gegen HR. Und diß iſt das dritte. Jezt ſetze man ſo viel gerade Lineen/ als viel Rundſaͤuligen die umbgeſchriebene Figur/ oder als viel Teihle die Lini BD, hat/ welche alle und jede mit X bezeichnet und der Lini FB gleich ſeyen. Jeder deroſelben Lineen eigne man (nach Anleitung des 29ſten im VI. B.) zu eine gewiſſe Flaͤche mit einem Vierungs-Reſt/ alſo zwar/ daß die groͤſſeſte Flaͤche (als XM) gleich ſey dem Rechtekk aus FD in DB [welches ge- ſchihet/ wann man an die Lini X ſetzet M gleich DB, und die Breite der Flaͤche ſolchem Zuſatz auch gleich machet] die kleineſte aber gleich dem Rechtekk aus FO in OB [welches geſchihet/ wann der Zuſatz und Breite ſolcher Flaͤche gleich wird dem BO.] Welchem nach die Seiten derer Reſt-Vierungen/ M, N, &c. einander ordentlich-gleichuͤbertreffen/ und der Ubertreffungs-Reſt der Seiten der kleineſten Vierung/ d.i. der Lini BO, gleich ſeyn wird; weil nehmlich BD in gleiche Teihle geteihlet worden iſt. Und diß iſt das vierdte. Endlichen/ ſo viel hier ungleiche Flaͤchen genommen worden/ eben ſo viel andere einander gleiche ſetze man/ und zwar alle in der Groͤſſe des groͤſſeſten unter denen vorigen/ nehm- lich alle der Flaͤche XM gleich; und ſchlieſſe ſo dann folgender maſſen: Das duſſere Rundſaͤuligen auf der Grundſcheibe AC, in der Hoͤhe DE verhaͤlt ſich gegen dem innern/ KL, oder gegen dem andern aͤuſſern (Krafft des 11ten und 2ten im XII. B.) wie die Vierung AC gegen der Vierung KL, oder die Vie- rung AD gegen der Vierung KE; d.i. (vermoͤg der IX. Betr. 3ter Folge in V) wie das Rechtekk aus FD in DB gegen dem Rechtekk aus FE in EB. oder endlich (Krafft obiger Vorbereitung) wie die erſte Flaͤche XM gegen der andern XN, als welche beyde denen vorigen beyden Rechtekken gleich gemachet worden. Gleicher geſtalt wird erwieſen/ daß das andere von denen gleichen Rund-Saͤuligen gegen dem andern eingeſchriebenen ſich verhalte wie die andere von denen gleichen Flaͤchen/ d.i. wie abermal XM, gegen der dritten ungleichen Flaͤche/ ꝛc. Alſo daß wir endlich einerſeits fuͤnf gleiche Rund-Saͤuligen/ ander- ſeits fuͤnf gleiche Flaͤchen (wie XM) haben/ und zwar vier von bemeldten glei- chen Rund-Saͤuligen gegen denen vier ungleichen der eingeſchriebenen Coͤrperli- chen Figur/ eben die Verhaͤltnis haben/ als die viere von denen gleichen Flaͤchen (d.i. als XM viermal widerholet) gegen denen vier lezten von denen ungleichen; das fuͤnfte gleiche Rund-Saͤuligen aber gegen nichts mehr/ wie auch die fuͤnfte von denen gleichen Flaͤchen gegen nichts mehr/ gehalten oder verglichen wird. Daher dann (Krafft des obigen II. Lehrſatzes) folget/ daß alle fuͤnf gleiche Rund-Saͤuligen zuſamm/ d.i. die ganze Rund-Saͤule AYUC, gegen der gan- zen eingeſchriebenen Coͤrperlichen Figur ſich verhalte/ wie alle fuͤnf gleiche Flaͤ- chen (d.i. XM fuͤnfmal genommen) gegen allen ungleichen/ ohne die groͤſſeſte. Nun aber haben die fuͤnf (dem XM) gleiche Flaͤchen gegen allen ungleichen/ oh- ne die groͤſſeſte/ d.i. gegen denen letzern vier ungleichen eine groͤſſere Verhaͤltnis als die Lini FD gegen der Lini HR. Derowegen hat auch die ganze Rundſaͤule AYUC gegen der eingeſchriebenen Figur eine groͤſſere Verhaͤltnis als FD gegen HR; d.i. (Krafft obigen dritten Schluſſes) als eben dieſelbe Rund-Saͤule AYUC gegen dem Kegel Z. Woraus dann ſchließlichen (vermoͤg des 10den im V. B.) folget/ daß die eingeſchriebene Figur kleiner ſey als der Kegel Z, da ſie doch oben (im erſten Schluß) groͤſſer zu ſeyn erwieſen worden. Jſt demnach die- ſer Kugel-aͤhnlichen Figuren. ſer erſte Satz unmoͤglich/ weil etwas ungereimtes daraus folget/ und alſo der Abſchnitt ABC nicht groͤſſer als der Kegel Z.

II. Satz. Man ſetze fuͤrs andere/ er ſey kleiner/ nehmlich wieder umb den Reſt a, und widerhole obige Vorbereitung: So wird zu foͤrderſt (abermals krafft des XXIII. Lehrſatzes 1. Anmerkung) folgen/ daß die umbgeſchriebene Figur kleiner ſey als der Kegel Z. So dann/ aus obangezogenen Gruͤnden/ ferner/ daß das erſte von denen gleichen Rund-Saͤuligen gegen dem erſten von denen ungleichen der umbgeſchriebenen Figur ſich verhalte wie die erſte von denen gleichen Flaͤchen gegen der erſten von denen ungleichen; und alſo fort/ das an- dere gleiche dorten gegen dem andern ungleichen/ wie hier die andere gleiche ge- gen der andern ungleichen/ ꝛc. d.i. endlich die ganze Rund-Saͤule AYUC ge- gen der ganzen umbgeſchriebenen Figur/ wie alle gleiche Flaͤchen zuſammen ge- gen allen ungleichen zuſammen. Nun haben aber alle gleiche Flaͤchen gegen al- len ungleichen zuſammen eine kleinere Verhaͤltnis als FD gegen HR, vermoͤg obigen III. Lehrſatzes. Derowegen muß auch die Rund-Saͤule AYUC ge- gen der umbgeſchriebenen Figur eine kleinere Verhaͤltnis haben als FD gegen HR, d.i. als ebenbemeldte Rund-Saͤule gegen dem Kegel Z; und alſo folgends die umbgeſchriebene Figur groͤſſer ſeyn als der Kegel Z, da ſie doch oben kleiner zu ſeyn erwieſen worden. Folget alſo auch aus dieſem andern Satz wieder et- was ungereimtes/ und kan daher der Abſchnitt des Afterkegels ABC nicht klei- ner ſeyn als der Kegel Z, ſondern muß (weil er auch nicht groͤſſer iſt/ wie oben bewieſen) demſelben nohtwendig gleich ſeyn. W. Z. B. W.

Der XXVIII. Lehrſatz.

Wann auch gleich der Abſchnitt eines Hyperboliſchen After- kegels/ von einer/ auf die Achſe nicht ſenkrechten/ Flaͤche geſchehen; ſo verhaͤlt ſich dannoch derſelbe gegen dem Ab- ſchnitt eines Kegels/ wel- cher mit dem vorigen ei- nerley Grundflaͤche und Achſe hat/ wie die/ aus der Achſe und deroſelben dreyfachen Zugab zuſam̃- geſetzte/ Lini gegen einer andern/ ſo da gleich iſt erſt- bemeldter Achſe ſambt ih- rer doppelten Zugab.

Beweiß.

Dieſer Beweiß iſt dem vo- rigen ganz aͤhnlich/ und daher

dem goͤnſtigen Leſer/ wann er jenen verſtehet/ gegenwaͤrtige Figur gegen der Z z iijvori- Archimedes von denen Kegel- und vorigen haͤlt/ und darbeneben Anleitung nimmet aus dem Beweiß des obigen XXIV. Lehrſatzes/ und des vorhergehenden XXIII. 2ter Anmerkung/ gar leicht zu vollziehen. Weswegen wir dann/ unnoͤhtige Weitlaͤuffigkeit zu ver- meiden/ denſelben ausfuͤhrlich nicht hierbey ſetzen wollen/ auch kuͤnftig in an- dern dergleichen Faͤllen zu verfahren geſonnen ſind.

Der XXIX. Lehrſatz.

Einer jeden/ durch ihren Mittelpunct von einer/ auf die Achſe ſenkrechten/ Flaͤche durchſchnittenen/ Afterkugel halber Teihl iſt zweymal ſo groß als der jenige Kegel/ der mit demſelben einerley Grundſcheibe und Achſe hat.

Beweiß.

Es ſey eine Afterkugel ABCD, ſo hier durch ihre beſchreibende ablange Rundung angedeutet wird: die abſchneidende/ auf die Achſe BD ſenkrechte/ und durch den Mittelpunct H ſtreichende/ Flaͤche ſey AC. Soll nun bewieſen werden/ daß die halbe Afterkugel ABC zweymal ſo groß ſey als der jenige Ke- gel/ ſo mit ihr einerley Grundflaͤche (nehmlich die Scheibe umb AC) und ſeine

Spitze in B hat; d.i. (wann der Kegel Z zweymal ſo groß geſetzet wird als der erſtbemeldte) daß die halbe Afterkugel ABC dem Kegel Z gleich ſey.

Dann/ wo ſie demſelben nicht gleich iſt/ ſo muß ſie entweder groͤſſer oder kleiner ſeyn.

I. Satz. Man ſetze fuͤrs erſte/ ſie ſey groͤſſer/ und zwar umb einen gewiſſen Reſt/ den wir indeſſen a nennen wollen; und beſchreibe ſo dann innerhalb der halben Afterkugel eine/ aus lauter Rund-Saͤulen beſtehende/ Coͤrperliche Fi- gur/ und eine andere auſſerhalb umb dieſelbe/ alſo daß der Umbgeſchriebenen Uberreſt uͤber die Eingeſchriebene kleiner ſey als die Groͤſſe a, allerdings nach vorhergehendem XXI. Lehrſatz. Woraus dann abermal zu foͤrderſt folget/ daß Kugel-aͤhnlichen Figuren. daß die eingeſchriebene Figur groͤſſer ſey als der Kegel Z, Laut der 1. Anmer- kung des vorhergehenden XXIII. Lehrſatzes. Und diß iſt eines. Wann man nun ferner alle Grundflaͤchen derer umbgeſchriebenen Rund-Saͤuligen hinaus fuͤhret biß an die aͤuſſere Flaͤche der groſſen umbgeſchriebenen Rund-Saͤule/ deren Mittel-Lini BD iſt/ ſo wird dieſelbe hierdurch in eben ſo viel gleiche Rund- Saͤuligen geteihlt/ als viel ungleiche die umbgeſchriebene Figur begreiffet; und zwar jene alle ſind gleich dem groͤſſeſten unter dieſen/ nehmlich dem/ deſſen Grund- flaͤche iſt AC, die Hoͤhe aber HO, (nb. Biß hieher kommet alles mit dem Be- weiß des XXIII. und XXVII. Lehrſatzes uͤberein.) Und diß iſt das andere. Jezt ſetze man ſo viel gerade Lineen/ als viel Rund-Saͤuligen die umbgeſchrie- bene Figur/ oder als viel Teihle die Lini BH hat/ welche alle und jede mit X be- zeichnet/ und der Lini BH gleich/ ſeyen. Auf jeder deroſelben Lineen beſchreibe man eine Vierung/ und nehme von der lezten Vierung hinweg den Winkelhaken (Gnomonem) XS in der Breite BI, von der naͤchſten einen andern Winkel- haken in gedoppelter Breite BQ; von der folgenden in dreyfacher Breite/ ꝛc. ſo wird der kleineſte Winkelhaak XS gleich ſeyn dem Rechtekk aus BI in ID; (dann/ Krafft des 5ten im II. B. iſt die Vierung BH, [d.i. die ganze Vierung X] gleich der Vierung HI [d.i. der Vierung XS, welche der Winkelhat XS uͤbrig laͤſſet] ſambt dem Rechtekk aus BI in ID [d.i. dem Winkelhaken XS] und gleichfalls der folgende Winkelhak dem Rechtekk aus BQ in QD, der dritte dem Rechtekk aus BP in PD, und der vierdte endlich dem Rechtekk aus BO in OD. Da dann zugleich erhellet/ daß die Seiten derer Vierungen X, XS, XT, XU, und XY einander ordentlich-gleichuͤbertreffen/ und der Ubertref- fungs-Reſt gleich ſey der Seite der kleineſten Vierung/ d.i. der Lini HO, weil BH in gleiche Teihle geteihlet worden. Hierauf ſchlieſſe man folgender maſ- ſen: Das aͤuſſere Rund-Saͤuligen auf der Grundſcheibe AC, in der Hoͤhe HO, (d.i. das erſte von denen gleichen) verhaͤlt ſich gegen dem erſten unglei- chen der eingeſchriebenen Figur/ wie die Vierung AH gegen der Vierung KO, Laut des 11ten und 2ten im XII. B. das iſt/ (vermoͤg der XII. Betrachtung 3ter Folge in V) wie das Rechtekk aus BH in HD gegen dem Rechtekk aus BO in OD, d.i. (Krafft obbeſagtens) wie die erſte Vierung X gegen dem Winkelhaken der andern/ XY. Gleicher geſtalt wird erwieſen/ daß das andere aͤuſſer gleiche Rund-Saͤuligen gegen dem andern innern und ungleichen ſich ver- halte/ wie die andere gleiche Vierung X gegen dem Winkelhaken der dritten Vie- rung/ XU, &c. Das lezte von denen gleichen aͤuſſern Rund-Saͤuligen aber hat kein inneres mehr/ gegen dem es gehalten wuͤrde/ und die lezte von denen gleichen Vierungen X hat keinen Winkelhaken mehr/ gegen dem es koͤnnte verglichen werden. Daher dann folget/ daß alle aͤuſſere gleiche Rund-Saͤuligen zu- ſammen/ d.i. die ganze groſſe Rund-Saͤule gegen allen innern ungleichen Rund-Saͤuligen/ oder der ganzen eingeſchriebenen Figur/ ſich verhalte/ wie alle gleiche Vierungen X zuſammen/ gegen allen obbemeldten Winkelhaken/ Laut des obigen II. Lehrſatzes. Nun aber ſind alle gleiche Vierungen X zu- ſammen mehr als anderthalbmal ſo groß als alle beſagte Winkelhaken zu- ſammen/ vermoͤg folgender Anmerkung. Derowegen iſt auch die ganze Rund-Saͤule ABC mehr als anderthalbmal ſo groß dann die eingeſchrie- bene Figur. Eben dieſe Rund-Saͤule aber iſt nur anderthalbmal ſo groß als der Kegel Z: (dann ſie iſt dreymal ſo groß als der Kegel/ welcher mit ihr einerley Grund- Archimedes von denen Kegel- und Grundflaͤche und Achſe hat/ Laut des 10den im XII. der Kegel Z aber zwey- mal ſo groß als eben der vorige Kegel/ Krafft obigen Satzes; alſo daß die Rund-Saͤule gegen dem Kegel Z ſich verhaͤlt wie 3 gegen 2.) Worausdann endlich folget/ daß die eingeſchriebene Figur muͤſte kleiner ſeyn als der Kegel Z, da ſie doch oben/ im I. Schluß/ groͤſſer zu ſeyn bewieſen worden. Jſt demnach dieſer I. Satz unmoͤglich/ und die halbe Afterkugel ABC nicht groͤſſer als der Kegel Z.

II. Satz. Man ſetze fuͤrs andere/ ſie ſey kleiner/ nehmlich wieder umb den Reſt a, und widerhole obige Vorbereitung. So wird aus obigen Gruͤnden zu foͤrderſt (allermaſſen wie in dem II. Satz des XXVII. Lehrſatzes) geſchloſſen werden/ daß die umbgeſchriebene Figur kleiner ſey als der Kegel Z: Hernach daß die ganze Rund-Saͤule gegen der ganzen umbgeſchriebenen Figur ſich ver- halte/ wie alle gleiche Vierungen X, gegen allen ungleichen Winkelhaken ſambt noch einer gleichen Vierung X. Nun aber ſind alle gleiche Vierungen X zuſam- men nicht gar anderthalbmal ſo groß als eine Vierung X ſambt allen unglei- chen Winkelhaken/ vermoͤg folgender Anmerkung. Derowegen iſt auch die ganze aͤuſſere Rund-Saͤule nicht gar anderthalbmal ſo groß als die umbge- ſchriebene Figur. Sie iſt aber anderthalbmal ſo groß als der Kegel Z, als oben bewieſen: Muͤſte demnach die umbgeſchriebene Figur groͤſſer ſeyn als der Kegel Z, da ſie doch vorhero kleiner zu ſeyn erwieſen worden. Jſt demnach auch dieſer andere Satz (weil etwas ungereimtes daraus erfolget) unmoͤglich/ und die halbe Afterkugel nicht kleiner als der Kegel Z. So muß ſie demnach ſchließlichen (weil ſie auch nicht groͤſſer iſt) demſelben nohtwendig gleich ſeyn. W. Z. B. W.

Anmerkung.

Jn dem I. Satz des obigen Beweiſes iſt kundt worden/ daß die Seiten derer ungleichen Vierungen X, XS, XT, XU, XY einander ordentlich gleich-uͤbertreffen/ und zwar der Ubertreffungs-Reſt allenthalben gleich der kleineſten Seite XY; und daß ferner eben ſo viel andere/ und zwar alle der Vierung X gleiche/ Vierungen gegeben ſind. Woraus dann Archi- medes in ſeinem Buch von denen Schnekken-Lineen/ (dahin er ſich dann auch diß Orts beruf- fet) wir aber in des obigen III. Lehrſatzes 2. Anmerkung/ beweiſen: daß alle gleiche Vierungen miteinander nicht gar dreymal ſo groß ſeyen als alle jene ungleiche zuſammen; mehr aber als dreymal ſo groß/ wann die groͤſſeſte unter denen ungleichen davon kommt. Hieraus folget nun ferner leichtlich/ was Archimedes in beyden obigen Saͤtzen fuͤr gewiß annimmet: Einmal nehmlich/ weil alle fuͤnf ungleiche Vierungen/ XY, XU, XT, XS und X mehr als ⅓ von allen fuͤnf gleichen ſind/ daß nohtwendig die vier uͤbrige Winkelhaken weniger ſeyen als ⅔, und alſo alle fuͤnf gleiche Vierungen gegen gedachten vier Winkelhaken eine groͤſſere Ver- haͤltnis haben als 3 gegen 2, d.i. mehr als anderthalbmal ſo groß ſeyen; Andersmal/ weil alle ungleiche Vierungen/ ohne die groͤſſeſte X, weniger ſind als ⅓ von allen fuͤnf gleichen/ daß noht- wendig die vier uͤbrige Winkelhaken ſambt der noch ganzen uͤbrigen Vierung X mehr als ⅔ ſeyen/ und dannenhero alle fuͤnf gleiche Vierungen gegen gedachten vier Winkelhaken ſambt der Vie- rung X eine kleinere Verhaͤltnis haben als 3 gegen 2, d.i. nicht gar anderthalbmal ſo großſeyen.

Es kan aber beydes auch auf die jenige Weiſe dargethan werden/ deren wir uns in des III. Lehrſatzes 2. Anmerkung bedienet haben. Dann/ ſo die Vierung XY wird geſetzet gleich gg, ſo iſt die Vierung XU gleich 4gg, XT 9gg, XS 16gg, und endlich die ganze X gleich 25gg. Welchem nach der erſte Winkelhakk iſt 24gg, der andere 21, der dritte 16, der vierdte endlich 9gg. Die Summa nun aller fuͤnf gleicher Vierungen iſt folgends 125gg. Die Sum- ma derer vier Winkelhaken iſt 70gg. Die Summa aber eben dieſer fuͤnf Winkelhaken ſambt der ganzen Vierung X, macht 95gg. Nun aber iſt augenſcheinlich 125 mehr dann andert- halbmal ſo groß als 70; nicht gar anderthalbmal ſo groß aber als 95.

Der Kugel-aͤhnlichen Figuren.

Der XXX. Lehrſatz.

Wann auch gleich die halbe Afterkugel von einer/ auf die Achſe nicht ſenkrechten/ Flaͤche abgeſchnitten worden; ſo iſt ſie dennoch zweymal ſo groß als der Abſchnitt eines Kegels/ der mit ihr einer- ley Grundflaͤche und Achſe hat.

Beweiß.

Der ganze vorige Beweiß gehoͤret auch hieher/ ausgenommen daß er in etlichen wenigen Puncten muß veraͤndert werden/ und zwar nach Anleitung des jenigen/ was wir in dem Beweiß des XXIV. und XXVIII. Lehrſatzes erinnert haben. Weswegen wir dann/ unnoͤhtige Weitlaͤuffigkeit zu verhuͤt- ten/ die Sache des vernuͤnftigen Leſers Nachdenken uͤberlaſſen wollen; vorhin weil Archimedes ſelbſten den Beweiß nicht voͤllig ausfuͤhret/ ſondern den Leſer auf das vorhergehende zu rukk weiſet.

Der XXXI. Lehrſatz.

Der kleinere Teihl einer jeden/ nicht durch den Mittelpunct/ aber doch ſenkrecht auf die Achſe durchſchnittenen/ Afterkugel ver- haͤlt ſich gegen dem jenigen Kegel/ der mit beſagtem Teihl einerley Grundſcheibe und Achſe hat/ wie die Lini/ welche aus der halben Achſe der Afterkugel und der Achſe des groͤſſern Teihls zuſamm- geſetzet wird/ gegen eben derſelben Achſe des groͤſſern Teihls.

Beweiß.

Es ſey eine Afterkugel ABCF, ſo hier durch ihre beſchreibende ablange Rundung angedeutet wird: die abſchneidende/ auf die Achſe BF ſenkrechte/ aber nicht durch den Mittelpunct H ſtreichende/ Flaͤche ſey AC; und werde FG gleich FH. Soll nun bewieſen werden/ daß der abgeſchnittene kleinere Teihl ABC gegen dem Kegel/ ſo eben dieſelbe Grundſcheibe AC und die Hoͤhe BD hat/ ſich verhalte/ wie DG gegen DF; das iſt/ (wann ein anderer Kegel Z ge- ſetzet wird/ der ſich gegen dem vorigen verhalte wie DG gegen DF) daß der Abſchnitt ABC dem Kegel Z gleich ſey. Daſſelbe vollfuͤhren wir nun folgen- der Geſtalt:

Wann der Abſchnitt ABC dem Kegel Z nicht gleich iſt/ ſo muß er entwe- der groͤſſer oder kleiner ſeyn.

I. Satz. Man ſetze fuͤrs erſte/ er ſey groͤſſer/ nehmlich umb eine gewiſſe Groͤſſe/ die wir indeſſen a nennen wollen; und beſchreibe ſo dann innerhalb des Abſchnittes eine/ aus lauter Rund-Saͤulen beſtehende/ Coͤrperliche Figur/ und eine andere auſſer halb umb denſelben/ alſo daß der Umbgeſchriebenen Reſt uͤber die Eingeſchriebene kleiner ſey als die Groͤſſe a, allerdings nach vorher- gehendem XXI. Lehrſatz. Woraus dann abermal zu foͤrderſt folget/ daß A a adie Archimedes von denen Kegel- und

die eingeſchriebene Figur groͤſſer ſey als der Kegel Z, Laut der 1. Anmerkung des XXIII. Lehr- ſatzes. Und diß iſt eines. Nun ſey BR der dritte Teihl von BD; ſo wird (weil BH auch der drit- te Teihl von BG iſt) HR der dritte Teihl von DG, d.i. DG dreymal ſo groß ſeyn als HR, und folgends die aͤuſſere groſſe Rund-Saͤule auf AC in der Hoͤhe BD gegen dem Kegel/ der mit ihr einerley Grundſcheibe und Hoͤhe hat (weil ſie/ ver- moͤg des 10den im XII. B. auch dreymal ſo groß iſt als derſelbe) ſich verhalten wie DG gegen HR. Es verhaͤlt ſich aber fer- ner/ und zwar in verwirꝛter Ordnung/ vorbeſagter Kegel gegen dem Kegel Z (Krafft obigen Satzes) wie DF gegen DG. Derowegen auch gleichdurchgehend die Rund-Saͤule auf AC gegen dem Kegel Z, wie FD gegen HR, nach dem 23ſten im V. B. Und diß iſt das andere. [nb. Biß hieher alles wie in dem Beweiß des XXVII. Lehrſatzes.] Jezt ſetze man ſo viel gerade Lineen/ als viel Rund-Saͤuligen die umbgeſchriebene Figur/ oder als viel Teihle die Lini BD hat/ welche alle und jede mit XN bezeichnet und der Lini DF gleich ſeyen/ von jeder aber ab- geſchnitten XO gleich BD, alſo daß ON allezeit zweymal ſo groß wird als DH. Auf jede Lini XN werde ferner beſchrieben ein Rechtekk in der Breite XO oder BD, welche alſo alle dem Rechtekk aus FD in DB gleich ſeyn wer- den. Von dem erſten aber nehme man ſo dann hinweg einen Winkelhaken in der Breite BE; von dem andern wieder einen in der Breite BQ, &c. ſo wird der erſte und groͤſſeſte Winkelhaak gleich ſeyn dem Rechtekk aus BE in EF; der andere dem Rechtekk aus BQ in QF, &c. vermoͤg folgender Anmerkung. Und diß iſt das dritte. Bleibet alſo ferner jeder von denen gleichen Lineen NO, eine gewiſſe Flaͤche zugeeignet ſambt einem Vierungs-Reſt/ und zwar derge- ſtalt/ daß die Seiten ſolcher Reſt-Vierungen einander ordentlich gleich-uͤber- treffen/ der Ubertreffungs-Reſt aber allerſeits gleich iſt der Seite der kleineſten Vierung; wie aus bißher-geſagtem leichtlich zu erachten. Und diß iſt das vierdte. Hierauf ſchlieſſen wir ferner alſo: Das aͤuſſere Rund-Saͤuligen auf der Grundſcheibe AC in der Hoͤhe DE, (d.i. das erſte von denen gleichen/ in welche die groſſe ganze Rund-Saͤule/ oftberuͤhrter maſſen/ geteihlet worden) verhaͤlt ſich gegen dem erſten ungleichen der eingeſchriebenen Figur/ wie die Vie- rung DC gegen der Vierung KE, Laut des 11ten und 2ten im XII. B. das iſt/ (vermoͤg der XII. Betr. 3ter Folge in V) wie das Rechtekk aus BD in DF gegen dem Rechtekk aus BE in EF; das iſt (Krafft obbeſagtens) wie das erſte Vierekk oder Rechtekk XN gegen dem erſten Winkelhaaken. Gleicher ge- ſtalt wird das andere von denen gleichen Rund-Saͤuligen gegen dem andern unglei- Kugel-aͤhnlichen Figuren. ungleichen ſich verhalten/ wie das andere von denen gleichen Rechtekken XN gegen dem andern Winkelhaaken/ ꝛc. Und daher folgends (weil das lezte von denen gleichen Rund-Saͤuligen/ wie auch das lezte Rechtekk XN, gegen nichts mehr gehalten werden) alle gleiche Rund-Saͤuligen gegen allen un- gleichen/ d.i. die ganze groſſe Rund-Saͤule gegen der ganzen eingeſchriebenen Figur/ wie alle gleiche Rechtekke von XN miteinander gegen allen Winkel- haaken zuſammen/ vermoͤg obigen II. Lehrſatzes. Und diß iſt das fuͤnfte. Weiter ſind hier etliche gleiche Lineen NO, und jeder deroſelben eine Flaͤche zu- geeignet ſambt dem Reſt einer Vierung/ alſo daß die Seiten ſolcher Reſt-Vie- rungen einander ordentlich gleich-uͤbertreffen/ nehmlich allerſeits in der Groͤſſe der kleineſten Seiten; nachmals eben ſo viel andere/ aber alle der groͤſſeſten unter denen vorigen/ nehmlich dem Rechtekk XN, gleiche/ Flaͤchen: daher dann folget/ (Krafft des obigen III. Lehrſatzes) daß alle ſolche gleiche Flaͤ- chen XN gegen allen vorigen ungleichen miteinander eine kleinere Verhaͤltnis haben als die aus XO und ON zuſammgeſetzte Lini XN gegen dem dritten Teihl von XO ſambt der halben ON. Nun aber/ wann man von XN hin- weg nimmt ⅓ XO ſambt ½ ON, ſo bleibet ⅔ XO+½ON; und/ wann man von denen gleichen Flaͤchen XN die ungleiche auf NO mit ihren Reſt-Vie- rungen hinweg nimmt/ ſo bleiben obgedachte Winkelhaaken: Folget dannen- hero (Laut folgender Anmerkung) daß alle gleiche Flaͤchen XN zuſammen gegen allen oftberuͤhrten Winkelhaaken miteinander/ d.i. Krafft obigen fuͤnf- ten Schluſſes/ die ganze Rund-Saͤule auf AC gegen der eingeſchriebenen Fi- gur/ eine groͤſſere Verhaͤltnis haben/ als die Lini XN gegen ⅔ XO+½ ON, d.i. als DF gegen DR ſambt HD, oder mit einem Wort/ gegen HR; d.i. (vermoͤg obigen zweyten Schluſſes) als eben dieſelbe Rund-Saͤule auf AC gegen dem Kegel Z. Welchem nach ſchließlichen die eingeſchriebene Figur (Laut des 10den im V. B.) kleiner ſeyn muͤſte als der Kegel Z; da ſie doch oben/ im erſten Schluß/ groͤſſer zu ſeyn erwieſen worden. Jſt dannenhero (weil ſonſten etwas ungereimtes erfolget) der Abſchnitt ABC nicht groͤſſer als der Kegel Z.

II. Satz. Man ſetze fuͤrs andere/ er ſey kleiner/ nehmlich abermal umb die Groͤſſe a, und widerhole obige Vorbereitung. So wird aus obigen Gruͤn- den abermal geſchloſſen/ 1. Daß die umbgeſchriebene Figur kleiner ſey als der Kegel Z. 2. Daß die ganze groſſe Rund-Saͤule gegen der ganzen umbge- ſchriebenen Figur ſich verhalte/ wie alle gleiche Flaͤchen auf XN gegen al- len ungleichen Winkelhaaken ſambt einer gleichen Flaͤche XN; (dann das erſte unter denen gleichen Rund-Saͤuligen in der groſſen Rund-Saͤule ver- haͤlt ſich gegen dem erſten ungleichen in der umbgeſchriebenen Figur/ wie eine von denen gleichen Flaͤchen auf XN gegen ſich ſelbſt: das andere gleiche ge- gen dem andern ungleichen aber/ wie die andere gleiche Flaͤche XN gegen dem Winkelhaaken der andern/ ꝛc.) 3. Weil/ Krafft des III. Lehrſatzes/ alle gleiche Flaͤchen XN zuſammen/ gegen allen ungleichen auf NO ſambt ihren Reſt-Vierungen/ nur die groͤſſeſte Flaͤche ausgenommen/ eine groͤſ- ſere Verhaͤltnis haben als XN gegen ⅓ XO+½ ON; daß folgends alle gleiche Flaͤchen XN miteinander gegen allen uͤbrigen Winkelhaaken derer un- A a a ijgleichen Archimedes von denen Kegel- und gleichen/ ſambt der vorigen weggenommenen groͤſſeſten/ (d.i. ſambt einer Flaͤ- che XN) das iſt/ Krafft des 2. die ganze groſſe Rund-Saͤule gegen der umb- geſchriebenen Figur/ eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als XN gegen ⅔ XO+ ½ ON, oder als DF gegen HR, das iſt (vermoͤg des zweyten Schluſſes im I. Satz) als eben dieſelbe Rund-Saͤule gegen dem Kegel Z. Welchem nach ſchließlichen die umbgeſchriebene Figur groͤſſer ſeyn muͤſte als der Kegel Z, da ſie doch im 1. Schluß kleiner zu ſeyn erwieſen worden. Kan dannenhero (weil abermal etwas ungereimtes folget) der Abſchnitt ABC nicht kleiner ſeyn als der Kegel Z; ſondern muß nohtwendig (weil er auch nicht groͤſſer iſt/ als zu- vor erwieſen) demſelben gleich ſeyn. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkung.

Ein einiges iſt hier noch zu erlaͤutern/ und zwar vermittelſt folgenden Satzes:

Wann ein ganzes gegen ſeinem weggenommenen Teihl eine groͤſſere kleinere Ver- haͤltnis hat als ein anderes ganzes gegen ſeinem auch abgenommenen Teihl/ ſo hat umbgekehrt das erſte ganze gegen ſeinem uͤbrigen Teihl eine kleinere groͤſſere Verhaͤltnis als das andere ganze gegen ſeinem uͤbrigen.

Jede zwey ſolche nach Belieben geteihlte ganze koͤnnen wir nennen ea+a und ib+b. So wir nun ſetzen/ daß ea groͤſſer ſey als a und ib groͤſſer als b, ſo hat ea+a gegen a eine groͤſſere Verhaͤltnis als ib+b gegen ib: dahero auch umbgekehrt/ ea+a gegen ea eine kleinere als ib+b gegen b, &c.

Dieweil nun oben in des I. Satzes Beſchluß/ zwey ganze ſind/ nehmlich alle gleiche Flaͤ- chen XN und die ganze Lini XN, d.i. XO+ON. Und aber jenes ganze gegen ſeinem abgenommenen Teihl (nehmlich allen ungleichen Flaͤchen auf NO ſambt ihren Reſt-Vierun- gen) eine kleinere Verhaͤltnis hat/ als dieſes ganze gegen ſeinem abgenommenen Teihl (nehm- lich ⅓ XO ſambt ½ ON;) ſo muß umbgekehrt jenes ganze gegen ſeinem uͤbrigen Teihl (nehm- lich gegen allen uͤbrigen Winkelhaaken) eine groͤſſere Verhaͤltnis haben als dieſes ganze gegen ſeinem uͤbrigen Teihl (nehmlich gegen ⅔ XO+½ ON.)

Und weil im II. Satz jenes ganze gegen ſeinem abgenommenen Teihl (nehmlich gegen al- len ungleichen Flaͤchen auf NO, ohne die groͤſſeſte XN) Laut des III. Lehrſatzes/ eine groͤſſere Verhaͤltnis hat/ als dieſes ganze gegen ſeinem abgenommenen Teihl/ ⅓ XO+½ ON; ſo muß abermal umbgewendet/ jenes ganze gegen ſeinem uͤbrigen Teihl (nehmlich allen uͤbri- gen Winkelhaken ſambt der uͤbrigen ganzen groͤſſeſten Flaͤche XN) eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als dieſes ganze gegen ſeinem uͤbrigen Teihl/ (nehmlich ⅔ XO+½ ON.)

Der XXXII. Lehrſatz.

Wann auch gleich der Abſchnitt einer Afterkugel nicht ſenk- recht auf die Achſe noch durch den Mittelpunct geſchihet/ ſo ver- haͤlt ſich doch der kleinere Teihl gegen einem Kegelſtuͤkk/ welches mit bemeldtem Teihl einerley Grundflaͤche und Achſe hat/ wie die aus der halben Achſe der Afterkugel und der Achſe des groͤſſern Teihls zuſammgeſetzte Lini/ gegen der Achſe des groͤſſern Teihls.

Beweiß. Kugel-aͤhnlichen Figuren.

Beweiß.

Aus dem vorhergehenden Be- weiß kan dieſer abermals ohne eini- ge Muͤhe verfertiget werden/ ſinte- mal der Unterſcheid nur in etlichen wenigen Puncten beſtehet/ von wel- chen oben ſchon/ in dem Beweiß des XXIV. und XXVIII. Lehr- ſatzes genugſame Erinnerung ge- ſchehen.

Der XXXIII. Lehrſatz.

Der groͤſſere Teihl einer jeden/ nicht durch den Mittelpunct/ aber doch ſenkrecht auf die Achſe/ durchſchnittenen Afterkugel ver- haͤlt ſich gegen dem jenigen Kegel/ der mit beſagtem Teihl einer- ley Grundflaͤche und Achſe hat/ wie die/ aus der halben Achſe der Afterkugel und der Achſe des kleinern Teihls/ zuſammgeſetzte Lini/ gegen eben derſelben Achſe des kleinern Teihls.

Beweiß.

Es ſey eine breite oder platte Afterkugel ABCD, ſo hier abermal durch ihre beſchreibende ablange Rundung angedeutet wird/ die abſchneidende/ auf die Achſe BD ſenkrechte/ aber nicht durch den Mittelpunct H ſtreichende/ Flaͤche ſey AC; und werden DG und BF gleich DH. Soll nun bewieſen werden/ daß der abgeſchnittene groͤſſere Teihl ABC, gegen dem Kegel/ der eben dieſelbe Grundſcheibe AC und die Hoͤhe BE hat/ ſich verhal- te/ wie EG gegen ED. Solches nun wird folgender maſſen kundt werden: Es werde die Afterkugel von einer/ auf die Achſe BD ſenk- rechten/ Flaͤche KL, in ihrem Mittelpunct H duꝛchſchnitten/ und ſo dann in Gedanken beſchrieben die Kegel KDL, ADC, ABC. Dieweil nun die halbe Afterkugel

KADCL zweymal ſo groß iſt als der Kegel KDL, Laut des XXIX. Lehr- ſatzes; ſo wird die ganze Afterkugel viermal ſo groß/ als beſagter Kegel/ ſeyn. A a a iijEs Archimedes von denen Kegel- und Es iſt aber die Verhaͤltnis dieſes Kegels KDL gegen dem Kegel ADC (Laut obigen XI. Lehrſatzes) zuſammgeſetzet aus der Verhaͤltnis HD gegen ED und aus der Verhaͤltnis der Vierung KH gegen der Vierung AE, d.i. (Krafft der XII. Betr. 3ter Folge in V) des Rechtekkes BHD gegen dem Rechtekk BED. Nun mache man/ wie ED gegen HD, alſo HD gegen XD, nach dem 11ten im VI. B. ſo daß auch umbgekehrt HD gegen ED wie XD gegen HD ſich verhalte; ſo wird die Verhaͤltnis des Kegels KDL gegen dem Kegel ADC zuſammgeſetzet ſeyn/ aus der Verhaͤltnis XD gegen HD, d.i. (ſo man beyderſeits einerley Hoͤhe BH nimmet) Laut des 1ſten im VI. des Rechtekkes aus XD in BH gegen dem Rechtekk aus HD in BH, und aus der Verhaͤltnis des Rechtekkes HD in BH gegen dem Rechtekk aus BE in ED. Aus eben dieſen beyden Verhaͤltniſſen aber iſt zuſammgeſetzet die Verhaͤltnis des Recht- ekkes XD in BH gegen dem Rechtekk BE in ED, Krafft der 1. Anmerkung des IV. Lehrſatzes im II. B. von der Kugel und Rund-Saͤule. Derowegen verhaͤlt ſich der Kegel KDL gegen dem Kegel ADC, wie das Rechtekk aus XD in BH gegen dem Rechtekk aus BE in ED. Und diß iſt eines. Nun aber verhaͤlt ſich ferner der Kegel ADC gegen ſeinem gleich ſo genannten Afterku- gel-Stuͤkk/ wie die Lini BE gegen der Lini EF, Laut des umbgewendeten XXXI. Lehrſatzes; das iſt (nach dem 1ſten im VI. wann man beyderſeits ei- nerley Hoͤhe ED nimmt) wie das Rechtekk aus BE in ED gegen dem Recht- ekk aus FE in ED. Derohalben verhaͤlt ſich auch gleichdurchgehend der Ke- gel KDL gegen dem kleinern Afterkugel-Stuͤkk ADC wie das Rechtekk aus XD in BH gegen dem Rechtekk aus FE in ED. Und diß iſt das andere. Fer- ner/ weil FG viermal ſo groß iſt als DH, ſo iſt auch (ſo man beyderſeits ei- nerley Hoͤhe XD nimmet) das Rechtekk aus FG in XD viermal ſo groß als das Rechtekk aus DH in XD; und verhaͤlt ſich derowegen (vermoͤg obbe- wieſenens) wie die ganze Afterkugel gegen dem Kegel KDL, alſo das Recht- ekk aus FG in XD gegen dem Rechtekk aus DH oder BH in XD: Wie aber ferner der Kegel KDL gegen dem kleinern Afterkugel-Stuͤkk ADC, alſo ver- haͤlt ſich ferner (Laut des naͤchſten andern Schluſſes) das Rechtekk aus BH in XD gegen dem Rechtekk aus FE in ED. Dannenhero muß abermal gleichdurchgehend die ganze Afterkugel gegen dem kleinern Afterkugel-Stuͤkk ABC ſich verhalten wie das Rechtekk aus FG in XD gegen dem Rechtekk aus FE in ED, Krafft des 22ſten im V. B. Und zerteihlet (nach dem 17den des V. B.) das groͤſſere Afterkegel-Stuͤkk gegen dem kleinern/ wie das Rechtekk aus FG in XD weniger des Rechtekkes aus FE in ED, das iſt/ (vermoͤg folgender 1. Anmerkung) wie das Rechtekk aus XD in EG ſambt dem Rechtekk aus FE in EX, gegen dem Rechtekk aus FE in ED. Es ver- haͤlt ſich aber ferner das kleinere Afterkegel-Stuͤkk gegen dem Kegel ADC, wie die Lini FE gegen der Lini BE, (Laut des XXXI. Lehrſatzes) d.i. (ſo man beyderſeits einerley Hoͤhe ED nimmt) wie das Rechtekk aus FE in ED gegen dem Rechtekk aus BE in ED; Und noch ferner der Kegel ADC gegen dem Kegel ABC (Laut des 14den im XII. B.) wie ED gegen EB, d.i. (abermal nach dem 1ſten im VI.) wie das Rechtekk aus ED in EB gegen der Vierung EB. So Kugel-aͤhnlichen Figuren. So muß demnach abermal gleichdurchgehend das groͤſſere Afterkegel-Stuͤkk AKBLC gegen ſeinem Kegel ABC ſich verhalten/ wie das Rechtekk aus XD in EG ſambt dem Rechtekk aus FE in EX gegen der Vierung EB. Dieſe letzere Verhaͤltnis aber iſt eben die/ welche da hat EG gegen ED, vermoͤg folgender 2. Anmerkung. Derowegen verhaͤlt ſich ſchließlichen das groͤſſere After- kegel-Stuͤkk gegen dem Kegel ABC, wie EG gegen ED. Welches hat ſol- len bewieſen werden.

Anmerkungen.

1. Muß hier gewiß gemacht werden/ daß/ wann von dem Rechtekk aus FG in XD das Rechtekk FED hinweg genommen wird/ alsdann der Reſt gleich ſey dem Rechtekk XD in EG ſambt dem Rechtekk aus FE in EX. Solches nun erhellet aus dem 1ſten des II. B. folgender Geſtalt: Es ſind zwey Lineen/ FG zerteihlet in E, und XD unzerteihlet. Dero- wegen iſt das Rechtekk aus FG in XD gleich zweyen Rechtekken aus FE in XD und aus EG in XD. Das erſte aber aus dieſen beyden iſt/ aus gleichem Grund/ gleich zweyen an- dern aus FE in XE und aus FE in ED. Derowegen ſo iſt das obige allererſte Rechtekk aus FG in XD gleich dieſen dreyen Rechtekken/ aus EG in XD und aus FE in XE und aus FE in ED. So man nun dieſes lezte von der ganzen Summ hinweg nimmt/ bleiben nohtwendig jene zwey uͤber.

2. Jſt noch zu erweiſen/ daß ermeldte zwey Rechtekke/ aus EG in XD und aus FE in XE zuſammen gegen der Vierung EB ſich verhalten/ wie EG gegen ED; und zwar alſo: Das Rechtekk aus EG in XD verhaͤlt ſich gegen dem Rechtekk aus ED in XD (Laut des 1ſten im VI. B.) wie EG gegen ED; und gleichfalls das Rechtekk aus FE in XE verhaͤlt ſich gegen dem Rechtekk aus FE in HE, wie XE gegen HE, das iſt/ auch wie EG gegen ED [dann/ weil die ganze XD gegen der ganzen HD ſich verhaͤlt/ wie die wegge- nommene HD gegen der weggenom̃enen ED, Krafft obiger Vorbereitung des I. Schluſ- ſes; ſo wird auch (Laut des 19den im V. B.) die uͤbrige XH gegen der uͤbrigen HE ſich verhalten wie die ganze gegen der ganzen oder die abgenommene HD gegen der abgenom- menen ED; und zuſammgeſetzet XE gegen HE, wie HD+ED, (d.i. EG) gegen ED.] Derowegen verhalten ſich die zwey Rechtekke aus EG in XD und aus FE in XE gegen denen zweyen Rechtekken aus ED in XD und aus FE in HE, wie EG gegen ED. Die zwey letzere Rechtekke aber/ aus ED in XD und aus FE in HE zuſammen ſind gleich der Vierung EB, [dann die Vierung EB iſt/ Laut des 4ten im II. B. gleich denen beyden Vierungen von BH und HE ſambt zweyen Rechtekken aus BH in HE; die Vierung BH, d.i. HD, aber iſt gleich dem Rechtekk aus ED in XD, weil XD, HD, und ED ordent- lich gleichverhaltend ſind: und die Vierung HE ſambt denen beyden Rechtekken aus BH oder BF in HE, iſt gleich dem Rechtekk aus FE in HE, vermoͤg des 1ſten im II. B. weil EH eine unzerteihlte/ FE aber in B und H zerteihlte/ Lini iſt.] Derohalben verhalten ſich die zwey Rechtekke aus EG in XD und aus FE in XE zuſammen/ gegen der Vierung BE, wie EG gegen ED. Welches zu beweiſen war.

Der XXXIV. Lehrſatz.

Wann auch gleich der Abſchnitt einer Afterkugel nicht ſenkrecht auf die Achſe/ noch durch den Mittelpunct geſchihet/ ſo verhaͤlt ſich doch der groͤſſere Teihl gegen einem Kegelſtuͤkk/ welches mit bemeldtem Teihl einerley Grundflaͤche und Achſe hat/ wie die/ aus der halben Achſe der ganzen Afterkugel und der Achſe des klei- nern Teihls zuſammgeſetzte/ Lini gegen eben derſelben Achſe des kleinern Teihls.

A a a iiijBeweiß. Archimedes von denen Kegel- und

Beweiß.

Weil dieſer Lehrſatz keinen andern Grund hat als der vorige/ und hierinn einig und allein unterſchieden iſt/ daß an ſtatt obiger Kegel KDL, ADC, und ABC, hier Kegels-Abſchnitte oder Kegelſtuͤkke fuͤrkommen/ wie aus Gegen- einanderhaltung beyder Figuren leichtlich erhellet: als wollen wir uns mit ver- drießlicher Widerholung des vorigen nicht aufhalten.

Ende des Buchs Archimedis von denen Kegel- und Kugel-aͤhnlichen Figuren.

Anhang. Kugel-aͤhnlichen Figuren.

Anhang.

AR ſtatt einer Zugab muͤſſen wir noch mit anfuͤgen die jenige zwey Betrachtungen ſambt einer Aufgab/ deren Archimedes im Eingang dieſes Buchs gedacht/ und welche wir am End zu beweiſen uns vorgenommen/ nehmlich dieſe folgende:

Alle aͤhnliche Afterkugeln und Afterkegel/ wie auch deroſelben aͤhnliche Abſchnitte haben gegen einander eine dreyfache Verhaͤltnis ihrer Achſen.

Beweiß.

I. Es ſeyen fuͤrs erſte gegeben zwey aͤhnliche Afterkugeln/ abcg und defh, deren Achſen ſind ag, dh; oder zwey aͤhnliche Halbkugeln abc, def, mit ihren Achſen ai und dk. Soll nun beyderſeits bewieſen werden/ daß ſo wol die ganze als halbe Afterkugeln ſich gegen einander in drey- facher Verhaͤltnis verhalten/ des ag gegen dh oder des ai gegen dk. So ſeyen demnach auf dem Durchſchnitt bc (welcher in der I. Fig. eine Schei- be/ in der II. eine ablange Rundung wird/ Laut des obigen XII. und XV. Lehrſatzes) beſchrie- ben die Kegel oder Kegels-Abſchnitte abc, def, und werde ferner alſo geſchloſſen: Dieweil ſo wol die ganze als halbe Kugeln einander aͤhnlich geſetzet worden/ ſo verhaͤlt ſich ag gegen bc wie dh gegen ef, oder ai gegen bc wie dk gegen ef, vermoͤg obiger 8. Worterklaͤrung. Derowegen ſind die Kegel und Kegels-Abſchnitte bac und edf einander aͤhnlich/ Krafft der 24ſten Worterklaͤ- rung im XI. B. Euclidis/ und des obigen XI. Lehrſatzes in dieſem Buch. Nun aber haben

gedachte Kegel und Kegels-Abſchnitte gegen einander eine dreyfache Verhaͤltnis ihrer Achſen ai und dk, nach dem 12ten im XII. B. und unſerm obigen XI. Lehrſatz. Wie ſich aber der Kegel oder Kegels-Abſchnitt bac verhaͤlt gegen ſeiner ganzen oder halben Afterkugel/ ſo verhaͤlt ſich der andere gegen der ſeinigen/ Krafft des obigen XXIX. und XXX. Lehr- ſatzes. Derowegen haben auch wechſelweiß die Afterkugeln oder ihre Helften eben die Ver- haͤltnis gegen einander/ welche da haben die Kegel oder Kegels-Abſchnitte bac gegen edf, d.i. eine dreyfache der Achſe ai gegen der Achſe dk, oder (welches gleich viel iſt) ag gegen dh. W. Z. B. W.

II. Es ſeyen fuͤrs andere zwey aͤhnliche Afterkugel-Stuͤkke abc und def gegeben/ ſo da groͤſſer ſind als die Helfte/ und ſoll gleiches von ihnen bewieſen werden. Man beſchreibe demnach die Kegel und Kegels-Abſchnitte bac und edf, wie oben. Dieweil nun die Af- terkugel-Stuͤkke einander aͤhnlich geſetzet ſind/ ſo verhaͤlt ſich abermal (Krafft obiger 8. Worterklaͤrung) ai gegen bc, wie dk gegen ef; und wechſelweiß ai gegen dk wie bc gegen ef. Daher dann die Kegel bac und edf wieder einander aͤhnlich ſind und gegen ein- ander eine dreyfache Verhaͤltnis des bc gegen ef, oder der Achſe ai gegen der Achſe dk haben/ aus obangezogenen Gruͤnden. Wie ſich aber der Kegel oder Kegels-Abſchnitt bac gegen ſeinem Afterkugel-Stuͤkk verhaͤlt/ ſo verhaͤlt ſich der andere edf gegen dem ſeini- gen Archimedes von denen Kegel- und

gen (jener nehmlich wie ir gegen ig, dieſer wie ks gegen kh, welche beyde Verhaͤltniſſen einerley ſind/ als der verſtaͤndige Leſer leichtlich erachten wird/ Krafft des obigen XXXIII. Lehrſatzes. Derowegen auch verwechſelt ein Afterkugel-Stuͤkk gegen dem andern/ wie ein Kegel gegen dem andern/ d.i. wie die drey- fache Verhaͤltnis ai gegen dk, &c. Ein glei- cher Schluß iſt/ wann die kleineren Stuͤkke genommen werden; wiewol die Sache von de- nen kleinern Stuͤkken aus bißher-bewieſenem/ vermittelſt des 19den im V. B. auch leichtlich kan gewiß gemachet werden.

III. Auf ganz gleichen Schlag wird die Sache von allen aͤhnlichen Afterkegeln und Afterkegel-Stuͤkken bewieſen. Dann ſo man/ wie zuvor/ innerhalb derſelben rechte Kegel und Kegels-Abſchnitte beſchreibet/ wird aus der obigen 7. Worterklaͤrung abermal erwieſen/ daß beſagte Kegel abermal einander aͤhnlich und gegen einander in dreyfacher Verhaͤltnis ihrer Achſen ſeyen. Weilen aber ferner ein Kegel gegen ſeinem Afterkegel ſich verhaͤlt/ wie der andere gegen dem ſeinigen/ Krafft obiger XXIII. XXIV. XXVII. und XXVIII. Lehrſaͤtze/ ſo iſt auch wechſelweiß wie ein Ke- gel gegen dem andern/ alſo ein Afterkegel gegen dem andern/ ꝛc. wordurch dann die Waarheit des begehrten abermal am Tag ligt.

II.

Jn gleichen Afterkugeln haben die Vierungen derer Durchmeſſer eine widerkehrliche Verhaͤltnis mit ihren Achſen: Und wann die Vierungen derer Durchmeſſer in zweyen Afterkugeln mit ihren Achſen eine wiederkehr- liche Verhaͤltnis haben/ ſo ſind beſagte zwey Afterkugeln einander gleich.

Beweiß.

Es ſeyen zwey gleiche Afterkugeln abci und defk, mit ihren Durchmeſſern ac, df, und Achſen bi, ek. Soll nun bewieſen wer- den/ daß/ wie die Vierung ac gegen der Vie- rung df, alſo widerkehrlich ek gegen bi ſich verhalte. So durchſchneide man nun beyde Afterkugeln ſenkrecht auf ihre Achſen/ durch den Mittelpunct l und m; und beſchreibe ſo dann auf denen daher entſtehenden Scheiben die Kegel ahc und dgf, alſo daß ſie ihren Halbkugeln gleich ſeyen/ welches aus dem obi- gen XXIX. Lehrſatz gar leicht iſt/ wann man nur lh zweymal ſo groß als bl, d.i. der Achſe bi gleich/ und mg ebenfalls der Achſe ek gleich machet. Dieweil nun die Afterkugeln gleich geſetzet ſind/ ſo muͤſſen auch nohtwendig die Ke- gel ahc und dgf einander gleich ſeyn/ und daher ihre Grundſcheiben und Hoͤhen eine wider- kehrliche Verhaͤltnis haben/ nach dem 15den im XII. d.i. die Scheibe ac muß gegen der Scheibe df (oder die Vierung ac gegen der Vierung df, Krafft des 2. im XII.) ſich verhalten/ wie gm gegen hl, d.i. wie ck gegen bi.

Jm Kugel-aͤhnlichen Figuten.

Jm widrigen fall/ wann die Vierung oder Scheibe ac gegen der Vierung oder Schei- be df ſich verhaͤlt/ wie ek gegen bi, d.i. wie gm gegen hl, ſo ſind die Kegel ahc und dgf (Krafft des 15den im XII.) und ſolgends auch (Krafft des obigen XXIX. Lehr- ſatzes) die halbe und ganze Afterkugeln einander gleich. Welches hat ſollen bewieſen werden.

III.

Von einem gegebenen Afterkegel- oder Kugel-Stuͤkk mit einer/ der gegebenen gleichlauffenden/ Flaͤche wieder ein Stuͤkk abſchneiden/ welches einem gegebenen Kegel/ oder einer gegebenen Kugel oder Rund-Saͤule gleich ſey.

Aufloͤſung.

Es ſey zum Exempel gegeben erſtlich eine Afterkugel abcd und ein Kegel S und eine Flaͤche yz. Soll nun von der Afterkugel oder einem Stuͤkk derſelben [welches aber noht- wendig groͤſſer ſeyn muß als der Kegel S, weil ſonſten die Aufgab unmoͤglich ſeyn wuͤrde] wie- der/ durch einen mit yf gleichlauffenden Schnitt/ ein Stuͤkk abgeſchnitten werden/ welches dem gegebenen Kegel S gleich ſey. So finde man nun einen Kegel/ der da gleich ſey der gan- zen Afterkugel/ nach Anleitung des XXIX. Lehrſatzes/ welchen wir indeſſen P nennen wollen; von welchem/ wann man abziehet den gegebenen Kegel S, uͤber- bleibe ein anderer Kegel (den wir indeſſen T heiſſen) welcher alſo

ſambt S gleich iſt dem Kegel P oder der Afterkugel abcd. [Dieſes aber kan alles kunſtrich- tig geſchehen/ wann man beyde Kegel P und S zuvorhero auf gleiche Grundſcheiben bringet/ und ſo dann des einen Hoͤhe von der Hoͤhe des andern abziehet/ nach Anleitung des 14den im XII. B. wie der verſtaͤndige Leſer leichtlich finden wird.] Wann nun die gegebene Flaͤche die Afterkugel beruͤhret/ ſo iſt die Sache ſchon gut; wo nicht/ ſo muß man zuvor eine andere ziehen/ welche die Kugel beruͤhre und der vorigen gleichlauffe/ nach Anleitung der XIV. Betrachtung und deroſelben 2ter Folge in V. und ſolche beruͤhrende Flaͤche ſey yz. Wann nun aus dem Anruͤhrungspunct b durch den Mittelpunct k, die Achſe bd gezo- gen iſt/ ſo iſt ferner nichts zu thun/ als daß die Afterkugel durch ac alſo geteihlet werde/ daß das Stuͤkk adc gegen dem Stuͤkk abc ſich verhalte/ wie der Kegel T gegen dem Kegel S, oder [ſo man dieſe Verhaͤltnis in Lineen gibt nach dem 12ten im XII.] wie p gegen ſ. Dieſe Teihlung aber kan allerdings verrichtet werden wie die Teihlung einer rechten Kugel in dem IV. Lehrſatz des II. Buchs von der Kugel und Rund-Saͤnle/ deſſen Aufloͤſung und Beweiß von Wort zu Wort hieher kan gezogen werden; wie dann die Aehnlichkeit dieſer und ſelbiger Figur (welche wir mit ganzem Fleiß beobachtet und deswegen Flurantii Abriß et- was geaͤndert haben) genugſame Anleitung geben wird.

Es ſey fuͤrs andere gegeben ein Paraboliſcher Afterkegel abc, von welchem ſolle ein Stuͤkk abge- ſchnitten werden/ ſo da gleich ſey einem gegebenen Kegel N, durch eine Flaͤche/ welche einer andern gegebenen Flaͤche o gleichlauffe Wann nun erſtbeſagte Flaͤche o der Grundflaͤche ac gleichlauffet (wie in der I. Fig.) ſo mache man den Kegel amc gleich dem After- kegel abc, nach Anleitung des

obigen XXIII. Lehrſatzes; welcher gegen dem gegebenen Kegel N ſich verhalte wie die Lini Archimedes von denen Kegel- und Kugel-aͤhnlichen Figuren. Lini e gegen der Lini g. Zwiſchen e und g ſey ſo dann die mittlere gleichverhaltende f. Wie ſich nun e verhaͤlt gegen f, alſo mache man bd gegen bh, und durch h ſchneide man mit ac gleichlauffend ab das Stuͤkk ibk. So ſage ich/ dieſes Stuͤkk ibk, oder der Kegel ilk, wel- cher nach dem XXIII. Lehrſatz demſelben gleich gemachet worden/ ſey gleich dem gegebe- nen Kegel N. Dann die Vierung ad verhaͤlt ſich gegen der Vierung ih (oder/ nach dem 2ten im XII. die Scheibe ac gegen der Scheibe ik) wie bd gegen bh, nach der I. Betr. 7der Folge in V, d.i. Krafft obiger Aufloͤſung/ wie c gegen f. Jngleichen verhaͤlt ſich md gegen bd, wie lh gegen bh, (weil md anderthalbmal ſo groß iſt als bd, und ld andert- halbmal ſo groß als bh, vermoͤg des XXIII. Lehrſatzes) und verwechſelt md gegen lh wie bd gegen bh, d.i. wiederumb wie e gegen f. Nun aber hat der Kegel amc gegen dem Kegel ilk eine zuſammgeſetzte Verhaͤltnis aus der/ welche da hat die Scheibe ac gegen der Scheibe ik, und aus der/ welche da hat die Hoͤhe md gegen der Hoͤhe lh; d.i. der Kegel amc verhaͤlt ſich gegen dem Kegel ilk (oder der Afterkegel abc gegen dem Afterkegelſtuͤkk ibk) wie e gegen f zweymal/ d.i. wie e gegen g. Eben aber beſagter Kegel amc verhielte ſich zuvor auch gegen dem gegebenen Kegel N, wie c gegen g. So iſt demnach der Kegel ilk (oder das abgeſchnittene Afterkegel-Stukk ibk) dem gegebenen Kegel N gleich. Wel- ches zu beweiſen war.

Wann aber die Flaͤche o mit der Grundſcheibe ac, wie ſie in der erſten Figur ſtehet/ nicht gleichlauffet und alſo auf die Achſe nicht ſenkrecht ſtehet/ ſo kan man aus einem Punct deroſel- ben Flaͤche o durch den Afterkegel eine Lini herunter laſſen/ welche mit der Achſe gleichlauf- fet/ wie nd in der II. F. So man dann hernachmals bd gleich machet der Achſe/ welche in der I. F. auch bd geheiſſen/ und durch d eine mit o gleichlauffende Flaͤche ac ziehet/ ſo iſt der Abſchnitt abc gleich dem vorigen abc in der I. Fig. vermoͤg obigen XXV. Lehrſatzes/ und kan alſo im uͤbrigen/ ſo wol der Aufloͤſung als des Beweiſes halben/ allerdings wie zuvor verfahren werden; alſo daß ganz kein Unterſchied iſt/ auſſer daß amc und ilk hier keine Ke- gel/ ſondern Kegels-Abſchnitte werden/ und daher an ſtatt des obangezogenen XXIII. hier der XXIV. Lehrſatz muß gebraucht werden.

Und alſo iſt gelehret/ wie man von einer Afterkugel oder einem Afterkegel/ oder von einem Stukk deſſelben (dann diß iſt eines) wiederumb ein Stukk begehrter maſſen abſchneiden ſolle/ welches einem gegebenen Kegel gleich ſey. Waͤre nun eine Kugel oder Rund-Saͤule gege- ben/ ſo darf dieſelde nur in einen Kegel verwandelt/ und im uͤbrigen wie vorhin verfahren werden.

Welcher geſtalt wir dann hoffentlich unſerm Verſprechen ein Genuͤgen gethan haben/ und zwar durch Anleitung Flurantii, deſſen Beweißthume wir meiſtenteihls behalten/ aber doch viel kuͤrzer verfaſſet und mehr als umb die Helfte eingezogen haben.

ENDE.

Archimedis Buch Von Denen Schnekken- Lineen und Schnekken- Flaͤchen.

Des ganzen Buches Haupt-Zwekk.

Der XVIII. Lehrſatz. Der lang-gerade Strich muß hier der Kruͤmme gleichen/ Dem Umbkreiß/ deſſen Maaß die Kunſt nie kunnt erreichen.

Der XXIV. Lehrſatz. Was hier der Schnekken- und ge- rade Zug ſchlieſſt ein/ Wird juſt der dritte Teihl der gan- zen Scheiben ſeyn.

Archimedes Von Denen Schnekken-Lineen.

Archimedes dem Doſitheo ſeinen Gruß!

DEn meiſten Teihl derer/ an Konon abgeſchikkten/ Betrachtungen/ deren Beweißthume du ſo vielfaltig von mir begehreſt/ haſt du allbereit unter denen Sachen/ welche dir vom Hercule uͤberbracht worden ſind/ wuͤrklich em- pfangen: etliche aber hab ich in dieſes Buch zuſammge- ſchrieben/ die ich dann hiermit auch uͤberſende. Du darfſt dich aber nicht verwundern/ daß ich eine geraume Zeit mit Ausfertigung ih- rer Beweißthume zugebracht habe; ſintemal ſolches iſt daher kommen/ dieweil ich wolte/ daß vorher andere dieſer Wiſſenſchafften erfahrne/ und auf Erfor- ſchung dieſer Dinge ſchon bedachte/ ihre Gedanken zu Tage gaͤben. Dann wie viel finden ſich doch Betrachtungen in der Meßkunſt/ die da anfaͤnglich zwar kaum-er gruͤndlich ſcheinen/ mit der Zeit aber dannoch ihre Vollkommenheit erreichen? Konon hat zwar das Gluͤkk nicht gehabt/ genugſame Zeit auf Durchſuchung ſolcher Dinge zu wenden/ ſondern/ von dem Todt uͤbereilet/ die- ſelbe in einiger Dunkelheit und Unvollkommenheit hinterlaſſen muͤſſen/ ob er ſchon alles gefunden hatte/ neben vielen andern Dingen/ durch welche er die Meßkunſt umb ein merkliches erweitert hat. Dann wir wiſſen/ daß er ein Mann geweſen/ eines nicht gemeinen Verſtandes/ und eines uͤbermaͤſſigen Fleiſſes in denen Mathematiſchen Wiſſenſchafften. Nach des Konons Todt aber ſind viel Jahre vtrgangen/ da/ meines Wiſſens/ niemand einige von die- ſen Aufgaben beruͤhret hat/ welche ich jezund alle nacheinander zu behandeln geſonnen bin. Es werden zwar auch zwey (oder drey) von Konon ausgeſon- derte Betrachtungen/ ſo ihre Vollkommenheit nicht erreichet hatten/ mit einge- menget; auf daß die jenigen/ ſo ſich ruͤhmen alles erfunden zu haben und doch keinen Beweiß aufbringen/ beſchaͤmet werden/ als die jenige/ welche ſich un- moͤglicher Dinge Erfindung ruͤhmen. Was nun dieſes fuͤr Aufgaben ſeyen/ will ich dir naͤchſt denen/ deren Beweißthume du allbereit haſt/ wie auch denen uͤbrigen/ ſo in dieſem Buch fuͤrkommen und von mir fuͤr gut gehalten werden/ jezund kundt machen. Die erſte war: Eine ebene Flaͤche finden/ wel- che der aͤuſſern Flaͤche einer gegebenen Kugel gleich ſey; welche dann auch zum erſten aufgeloͤſet worden in dem Buch/ welches ich von der Kugel heraus gegeben habe. Dann/ weil daſelbſten (a) bewieſen worden/ daß einer B b b ijjeden Archimedes von denen jeden Kugel ganze Flaͤche viermal ſo groß ſey als die groͤſſeſte Schei- be innerhalb der Kugel/ ſo iſt offenbar/ daß moͤglich ſey eine ebene Flaͤche zu geben/ welche beſagter Kugelflaͤche gleich ſey. Die andere war: Einem ge- gebenen Kegel oder einer gegebenen Rund-Saͤule eine gleiche Ku- gel zu finden. Die dritte aber: Eine gegebene Kugel mit einer Flaͤche alſo durchſchneiden/ daß beyde Kugeſtuͤkke die gegebene Verhaͤlt- nis haben. Die vierdte: Eine gegebene Kugel mit einer Flaͤche al- ſo durchſchneiden/ daß derer Teihle aͤuſſere Flaͤchen die gegebene Verhaͤltnis haben. Die fuͤnfte: Ein gegebenes Kugelſtuͤkk einem gegebenen Kugelſtuͤkk aͤhnlich zu machen. Die ſechſte: Wann zwey Stuͤkke/ entweder einer oder unterſchiedlicher Kugeln/ gegeben ſind/ ein anders Kugelſtuͤkk finden/ welches dem einen gegebenen aͤhn- lich/ und deſſen Flaͤche des andern gegebenen Stuͤkkes Flaͤche gleich/ ſey. Die ſiebende endlich: Von einer gegebenen Kugel ein Stuͤkk abſchneiden/ alſo daß ſelbiges gegen dem Kegel/ welcher mit ihm einerley Grundſcheibe und gleiche Hoͤhe hat/ die gegebene Verhaͤltnis habe/ nehmlich nicht groͤſſer als drey gegen zwey. (b) Aller dieſer bißher-beſagter Aufgaben Aufloͤſungen und Beweißthume hat Hercules mit ihm gebracht. Das jenige aber/ was naͤchſt dieſen ausgeſondert ſtunde/ war falſch/ nehmlich dieſes: Wann eine Kugel von einer Flaͤche in zwey ungleiche Teihle zerſchnitten wird/ ſo hat der groͤſſeſte Teihl gegen dem kleineren eine zweyfache Verhaͤltnis der jenigen/ wel- che da hat die groſſere Flaͤche gegen der kleinern. Dann daß dieſes falſch ſey/ iſt aus denen vorangeſchikkten Betrachtungen offenbar. (Es war aber auch dieſes abgeſondert: Wann eine Kugel von einer Flaͤche/ auf einen von ihren Duchmeſſern ſenkrecht/ in ungleiche Teihle zer- ſchnitten wird/ ſo verhaͤlt ſich der groͤſſere Teihl gegen dem kleinern/ wie der groͤſſeſte Teihl des Durchmeſſers gegen dem kleinern;) Dann (c) das groͤſſere Kugelſtuͤkk hat gegen dem kleinern eine kleinere Verhaͤlt- nis als die gedoppelte der groͤſſern Flaͤche gegen der kleinern; eine groͤſſere aber als eben deroſelben Flaͤchen anderthalbige. Es war aber auch die lezte abge- ſonderte Aufgab falſch: Daß nehmlich/ wann einer Kugel Durchmeſ- ſer alſo geteihlet wird/ daß die Vierung des groͤſſeſten Teihls drey- mal ſo groß ſey als die Vierung des kleinern/ und durch den Teih- lungspunct eine ebene Flaͤche ſenkrecht ſtreichet/ alsdann die Kugel alſo zerteihlet werde/ daß das groͤſſere Kugelſtuͤkk das groͤſſeſte ſey unter allen Kugelſtuͤkken/ die da gleiche Flaͤchen haben. Dann daß dieſes falſch ſey/ erhellet abermal aus denen vorangeſchikkten Betrachtungen. Dann daſelbſten (d) iſt erwieſen/ daß die Halbkugel das groͤſſeſte Kugelſtuͤkk ſey unter allen denen/ die gleiche Flaͤchen haben.

Naͤchſt Schnekken-Lineen.

Naͤchſt dieſem iſt von dem Kegel dieſes nachfolgende fuͤrgefallen: Wann eines rechtwinklichten Kegels Durchſchnitt umb den unbewegli- chen Durchmeſſer/ als ſeine Achſe/ herumb gefuͤhret wird; ſo ſoll die hierdurch beſchriebene Figur ein Afterkegel heiſſen. Und/ wann einen ſolchen Afterkegel eine Flaͤche beruͤhret/ eine andere aber/ der vorigen gleichlauffende/ ein Stuͤkk von dem Afterkegel abſchnei- det; ſo ſolle die abſchneidende Flaͤche des abgeſchnittenen Stuͤkkes Grundflaͤche/ ſein Scheitelpunct aber der jenige Punct/ heiſſen/ in welchem die andere Flaͤche den Afterkegel beruͤhret. Ferner/ wann beſagte Kegel-aͤhnliche Figur von einer Flaͤche/ ſenkrecht auf die Achſe/ durchſchnitten wird/ ſo iſt offenbar/ daß der Durch- ſchnitt ein Kreiß oder eine Scheibe ſeyn werde. Daß aber das ab- geſchnittene Stuͤkk anderthalbig ſey des jenigen Kegels/ welcher mit demſelben einerley Grundſcheibe und gleiche Hoͤhe hat/ muß erwieſen werden. Und/ wann von einem Afterkegel zwey Stuͤk- ke/ durch zwey nach Belieben gezogene Flaͤchen/ abgeſchnitten werden/ daß alsdann ſolche Durchſchnitte ablange Rundungen ſeyn werden/ iſt abermal offenbar. Daß aber/ wann die durch- ſchneidende Flaͤchen nicht ſenkrecht durch die Achſe ſtreichen/ die Abſchnitte ſich gegen einander verhalten wie die Vierungen derer Lineen/ welche aus ihren Scheitelpuncten biß auf die durchſchnei- dende Flaͤchen/ mit der Achſe gleichlauffend/ gezogen werden; iſt wiederumb zu erweiſen. Dieſer Dinge Beweißthume aber ſind dir noch nicht uͤberſchikket. (e)

Endlich ſind von denen Schnekken-Lineen nachfolgende Saͤtze fuͤrgefallen/ welche ganz eines andern Geſchlechtes ſind/ und mit vorbeſagten gar keine Ge- meinſchafft haben. Deroſelben Beweißthume ſind in dieſem Buch beſchrieben; und verhaͤlt ſich die Sache mit denenſelben folgender Geſtalt: (f)

Anmerkungen. (a) Jn dem XXXI. Lehrſatz des I. Buchs von der Kugel und Rund-Saͤule. (b) Beſihe hiervon ordentlich den I. IV. III. V. VI. und VII. Lehrſatz des II. Buchs von der Kugel und Rund-Saͤule. (c) Jſt bewieſen im VIII. Lehrſatz erſtangezogenen II. Buchs. (d) Und dieſes in dem IX. deſſelben. (e) Zu finden aber neben andern mehrern in dem Buch von denen Kegel- und Kugel- aͤhnlichen Figuren; abſonderlich/ was hier angezogen wird/ in der 1/ 2/ ꝛc. Worterklaͤrungen/ und in dem XII. XIII. XXIII. und XXIV. Lehrſaͤtzen. (f) NB. Hier ſetzet Archimedes/ derer Alten Gewohnheit nach/ abermal zum Vor- aus die Haupt-Lehr-Saͤtze/ welche in dieſem Buch ſollen bewieſen werden; die wir aber/ umb unnoͤhtige Weitlaͤuffigkeit zu vermeiden/ hier auslaſſen/ und den goͤnſtigen Leſer (wo ihm ſol- che zum Voraus zu wiſſen beliebet) indeſſen auf folgende XXIV. XVIII. XXVII. XXVIII. &c. Lehrſaͤtze hinweiſen.

B b b iijWort- Archimedes von denen

Worterklaͤrungen.

Wann eine gerade/ in dem einen Endpunct unbewegt-ſtehen- de/ Lini auf einer ebenen Flaͤche Kreiß-weiß/ und zwar in ſtaͤter gleichfoͤrmiger Bewegung/ herumb gefuͤhret wird/ biß ſie wieder dahin kommt/ wo ſie angefangen: indeſſen aber ein Punct in der- ſelben Lini auch mit ſtaͤter/ und ihr ſelbſt allzeit gleicher/ Geſchwin- digkeit gerades Wegs fort lauffet/ anfangend von dem unbeweg- lichen Endpunct: ſo wird ſolcher Punct eine Schnekken-Lini auf gedachter Flaͤche beſchreiben.

Zum Exempel/ wann die Lini ab umb den unbeweglichen Punct b, aus a durch c ge- gen d, &c. gleichfoͤrmig herumb lauffet/ indeſſen aber/ biß ſie ganz herumb kombt/ und der

Punct a die Kreiß-Lini acde beſchreibet/ ein Punct auf der Lini ba von b biß in a in ſtaͤter glei- cher Geſchwindigkeit lauffet; ſo beſchreibet derſelbe durch ſolche ſeine Bewegung einen krum̃en Strich/ welchen Archimedes von ſeiner Form eine Wir- bel- oder Schnekken-Lini nennet; dergleichen in beygeſetzter Figur iſt die Lini bfga.

Und dieſes iſt alſo gleichſam eine einfache Schnekken-Lini/ welche entſtehet/ wann die Lini ba ihren Kreiß acde, und der bewegliche Punct ſeinen geraden Lauf ba, miteinander und zugleich vollfuͤhren. Gleich wie es aber geſchehen kan/ daß der Punct eher durch ſeine Lini/ als die Lini durch ihren Kreiß komme (da dann keine rechte vollkom- mene Schnekken-Lini entſtehet;) alſo kan auch/ im Gegenteihl die Bewegung des Puncts ſo lang- ſam ſeyn/ daß die Lini zwey dreymal ihren Kreiß durchlauffet/ biß der Punct einmal durch ſeine Lini kommet; zum Exempel/ daß die Lini ba den voͤlli- gen Kreiß aik durchlauffe/ biß der Punct aus b in c lauffe/ und c den Kreiß cef beſchreibe; und wie- derumb/ biß der Punct aus c in d fortrukket/ aber- mal ein voͤlliger Kreiß-Lauff ſo wol des Punctes a, als des Punctes d, vollfuͤhret werde: in welchem fall eine vielfache Schnekken-Lini befcghdika beſchrieben wird.

So heiſſe nun der unbewegliche Endpunct der umblauffenden Lini/ der Schnekken-Lini Anfangspunct.

Der erſte Stand aber der umblauffenden Lini/ von welchem ihre Bewegung anfaͤnget/ des Umblaufs Anfang.

4. Fer- Schnekken Lineen.

Ferner das jenige Teihl der geraden Lini/ welches der beweg- liche Punct/ in wehrendem erſten Umblauff/ durchſtrichen/ nen- nen wir die erſte Lini; das folgende/ ſo ſie in dem andern Umblauff zu rukk leget/ die andere; und ſo dann die uͤbrige nach der Vielfaͤltigkeit des widerholten Kreiß-Lauffes.

Die Flaͤche aber/ welche begriffen wird/ von der/ im erſten Umblauff beſchriebenen Schnekken-Lini und der geraden erſten Lini/ ſoll die erſte Schnekkenflaͤche; die folgende/ zwiſchen der im andern Umblauff beſchriebenen Schnekken- und der gera- den andern Lini begriffene/ die andere; u.ſ.f. genennet ſeyn.

Aus beyden obigen Aufriſſen iſt dieſes alles gar leicht zu faſſen. Dann in beyden Figuren iſt b der Schnekken-Lini Anfangs-Punct; ba, in ſolcher erſten Stellung/ des Umblaufs Anfang: bc iſt in der II. Fig. die erſte/ cd die andere/ da die dritte Lini: und befcb die erſte/ befcdhgc die andere; und endlich cghdakid die dritte Flaͤche/ ꝛc.

Wann aus dem Anfangspunct der Schnekken-Lini eine gera- de Lini gezogen wird/ ſo hat alles das jenige/ was diſſeit ſolcher Lini/ wo der Kreiß-Lauf hingehet/ ſich befindet/ den Nahmen des Vorhergehenden oder Vordern; das uͤbrige des Folgenden.

Alſo/ wann in obiger I. Fig. die Lini bfh gezogen wird/ ſo heiſſet alles auf der linken Sei- ten/ als die Schnekken-Lini fga, die Flaͤche dga, und der Kreißbogen hea, das Vorgehen- de oder das Vordere; die uͤbrige Schnekken-Lini fb aber/ die Flaͤche fca, und der Kreiß- bogen hca heiſſen die Hindern oder Folgenden.

Der jenige Kreiß aber/ welcher aus dem Anfangspunct/ in der Weite der erſten Lini beſchrieben wird/ heiſſe der erſte Kreiß; Der/ aus eben demſelben Mittelpunct/ aber in gedoppelter Weite beſchriebene/ der andere; u.ſ.f.

So iſt/ zum Exempel/ in obiger II. Fig. cfec der erſte/ dhgd der andere/ und akia der dritte Kreiß. Und dieſes ſind alſo die noͤhtige Worterklaͤrungen/ welche Archimedes zwar erſt unten vor dem XII. Lehrſatz geſetzet/ wir aber mit Flurantio, der Ordnung halben/ hieher gezogen haben. Folgen demnach nun die Lehrſaͤtze ſelbſten/ deren vorderſte zwar nur noͤhtige Vorbereitungen ſind zu fuͤglicherm Beweiß derer folgenden/ welche eigentlich von denen Schnekken-Lineen handeln und bey dem XII. Lehrſatz erſt ihren Anfang nehmen. Vor allen aber ſchikket Archimedes noch einen unbeweißlichen Huͤlf-Satz voran; welcher aber/ weil er in des Archimedis Vorrede von der Parabel Vierung allbereit vorkommen und er- klaͤret worden/ hier nicht widerholet wird.

Der Archimedes von denen

Der I. Lehrſatz.

Wann ein Punct nach einer geraden Lini in ſtaͤts-gleicher Ge- ſchwindigkeit beweget wird; und in derſelben zwey Lineen/ nach Belieben/ genommen werden: ſo werden ſolche genommene Li- neen ſich gegen einander verhalten wie die Zeiten/ in welchen der Punct dieſelbe durchloffen hat.

Beweiß.

So lauffe nun ein Punct in ſtaͤter gleichfoͤrmiger Geſchwindigkeit durch die Lini AB, und in der Lini AB nehme man zwey Lineen nach Belieben/ CD

und DE: die Zeit/ in welcher der Punct durch CD gelauffen/ ſey FG; die andere aber/ in welcher er DE durchſtrichen/ GH. Soll nun bewieſen werden/ daß CD ge- gen DE ſich verhalte/ wie FG gegen GH. Und ſolches alſo: Man vervielfaͤl- tige ſo wol CD als DE etlichmal/ jedes abſonderlich nach Belieben/ jedoch alſo/ daß AD, die vielfaͤltige des CD, uͤbertreffe DB, als des DE vielfaͤltige: und als oft AD in ſich begreiffet CD, ſo oft begreiffe LG in ſich FG; Jtem als oft DE iſt in DB, ſo oft ſey GH in GK.

Dieweil nun die Bewegung des Punctes ſtaͤt und gleichfoͤrmig geſetzet iſt/ ſo iſt gewiß/ daß/ weil er in der Zeit FG die Lini CD durchlauffet/ er in glei- cher Zeit jeden/ dem CD gleichen/ Teihl/ und alſo in der ganzen Zeit LG die ganze Lini AD durchlauffe. Gleicher geſtalt wird GK die Zeit ſeyn/ in welcher er die ganze Lini DB durchſtreichet. Nun aber die Lini AD (Krafft obiger Vorbe- reitung) groͤſſer iſt als DB, ſo muß auch die Zeit LG groͤſſer ſeyn als die Zeit GK: Und eben ſo wird bewieſen/ daß/ wann AD kleiner genommen wird als DB, auch LG kleiner ſeyn muͤſſe als GK; und/ wann AD dem DB gleich iſt/ auch LG gleich ſey dem GK. Derowegen iſt offenbar (Laut der 6ten Wort- erklaͤrung im V. B.) daß CD gegen DE ſich verhalte/ wie FG gegen GH. W. Z. B. W.

Folge.

Was hier von geraden Lineen erwieſen worden/ iſt aus ganz gleichem Grund von Kreiß-Lineen oder Kreiß-Boͤgen zu verſtehen.

Der II. Lehrſatz.

Wann zweene Puncten auf zweyen Lineen/ jeder fuͤr ſich gleich- foͤrmig (ob ſchon einer dem andern ungleich) beweget/ und in jeder Lini zwey Lineen genommen werden/ deren erſte von beyden Pun- cten in einer Zeit durchloffen worden/ wie auch die beyde andere: ſo werden die genommene Lineen einerley Verhaͤltnis gegen einan- der haben.

Beweiß.

Die zwey Lineen/ auf welchen zweene Puncten/ jeder fuͤr ſich gleich ge- ſchwind/ fortlauffen/ ſeyen AB und KL; und in denenſelben genommen/ einer- ſeits Schnekken-Lineen. ſeits CD und DE, anderſeits FG und GH, alſo daß in gleicher Zeit (zum Exempel MN) biß der erſte Punct CD, der andere FG, durchlauffe/ und wie- der in gleicher Zeit (NX) jener durch DE, dieſer durch GH, ſtrei- chen: Soll nun bewieſen werden/ daß CD gegen DE ſich verhalte/ wie FG gegen GH.

Solches geſchicht nun gar leicht alſo: Es verhaͤlt ſich CD gegen DE, wie MN gegen NX, und gleichfalls FG gegen GH, wie MN gegen NX, vermoͤg vorhergehenden I. Lehrſatzes. Derowegen verhaͤlt ſich auch CD gegen DE wie FG gegen GH, Krafft des 11 ten im V. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Der III. Lehrſatz/ Und Sie Erſte Aufgab.

Wann etliche Kreiß-Lineen nach Belieben gegeben ſind/ ſo iſt moͤglich/ eine gerade Lini zu geben/ die da groͤſſer ſey als alle gege- bene Kreiß-Lineen miteinander.

Beweiß.

Die Sache ligt fuͤr Augen: dann wann man umb jeden gegebenen Kreiß ein Vielekk beſchreibet/ ſo iſt unfehlbar die jenige gerade Lini/ welche aus allen Seiten derer umbſchriebenen Vielekke zuſammgeſetzet wird/ groͤſſer als alle Kreiß-Lineen miteinander.

Der IV. Lehrſatz/ Und Sie Zweyte Aufgab.

Wann zwey ungleiche/ eine Kreiß- und eine gerade/ Lineen ge- geben ſind/ ſo iſt moͤglich/ eine gerade Lini zu geben/ die da groͤſſer ſey als die kleineſte unter beyden gegebenen/ kleiner aber als die groͤſſeſte.

Beweiß.

Es ſeyen gegeben der Kreiß a und die gerade Lini bc; und ſey bc groͤſſer als a, umb den Reſt f. Soll nun eine gerade Lini gegeben werden/ welche groͤſſer ſey als der Umb- kreiß a und kleiner als bc.

So ſetze man nun f ſo oft zu ihme ſelbſten/ biß de groͤſſer werde als bc; und ſo oft f in de

enthalten iſt/ in eben ſo viel gleiche Teihle zerſchneide man bc; deren jeder C c cdann/ Archimedes von denen dann/ als bg, kleiner ſeyn muß als f. So man nun von bc abſchneidet bh gleich f (welches der Unterſcheid iſt zwiſchen dem Kreiß a und der geraden Lini bc) ſo muß hc gedachter Kreiß-Lini gleich ſeyn. So iſt demnach gc eine ſolche Lini/ die da groͤſſer iſt als hc, d. i. als die Kreiß-Lini a, und kleiner als bc.

Jſt dann die Kreiß-Lini groͤſſer als die gerade bc, ſo ſetzet man (nach Ver- richtung des obigen) zu bc einen Teihl bi, gleich bg, und alſo kleiner als f: welchem nach dann ic zwar kleiner bleibt als die Kreiß-Lini a, groͤſſer aber wird als die gerade bc.

Der V. Lehrſatz/ Und Sie Sritte Aufgab.

Wann ein gegebener Kreiß von einer geraden Lini beruͤhret wird/ ſo kan aus des Kreiſſes Mittelpunct/ an die Beruͤhrende/ eine ge- rade Lini alſo hinaus gezogen werden/ daß deroſelben/ zwiſchen die Beruͤhrende und des Kreiſſes Umblauf fallender/ Teihl gegen des Kreiſſes Halbmeſſer eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als der/ zwi- ſchen dem Beruͤhrungspunct und der hinaus-gezogenen Lini ent- haltene/ Kreiß-Bogen gegen jeder gegebenen Kreiß-Lini.

Beweiß.

Es ſey gegeben der Kreiß ABC, beruͤhret von DF in B; und naͤchſt dieſem eine andere Kreiß-Lini/ oder an deren Stell eine gerade E, ſo da groͤſſer ſey als

die Kreiß-Lini/ nach vorhergehendem III. Lehrſatz. So man nun durch den Mittel- punct K ziehet AG gleichſtehend mit DF, und HG, gleich E, alſo ziehet/ daß ſie gerad auf B zuſtreiche; endlich aus K durch H biß an die Beruͤhrende ziehet KHF; ſo wird (wie ob- begehret) HF gegen HK eine kleinere Verhaͤlt- nis haben/ als der Kreißbogen BH gegen der gegebenen Kreiß-Lini.

Dann (wegen Aehnlichkeit beyder Dreyekke KHG und BHF) verhaͤlt ſich HF gegen HK wie die gerade Lini BH gegen HG, d. i. gegen E, Krafft des 4ten im VI. und des 16den im V. B. Nun aber hat der Kreiß-Bogen BH (weil er groͤſſer iſt als die gerade Lini BH) gegen E, und umb ſo viel mehr ge- gen der gegebenen Kreiß-Lini (welche kleiner iſt als E) eine groͤſſere Verhaͤlt- nis als die gerade Lini BH gegen HG oder E. Derowegen hat auch beſagter Kreiß-Bogen BH gegen der gegebenen Kreiß-Lini eine groͤſſere Verhaͤltnis als HF gegen HK. W. Z. B. W.

Anmerkung.

Richts zweiffelhaftiges iſt in dieſem Beweiß auſſer dieſes/ welcher geſtalt HG der Lini E ſoll gleich gemachet/ und zugleich alſo gezogen werden/ daß ſie gerad auf B zuſtreiche; oder/ wie aus eines Kreiſſes gegebenem Punct B eine Lini BG auf den verlaͤngerten Durchmeſſer ACG alſo ſolle gezogen werden/ daß ſie den Kreiß durchſchneide/ und zwar der aͤuſſere/ zwi- ſchen Schnekken-Lineen. ſchen dem Umbkreiß und dem verlaͤngerten Durchmeſſer enthaltene/ Teihl HG gleich werde einer gegebenen Lini E. Die ganze Sache beſtehet auf Beſtimmung des Punctes G; welche dann folgender Geſtalt kan verrichtet/ oder doch moͤglich zu ſeyn erwieſen werden: Mann be- merke in einer gewiſſen Lini das Stuͤkk HG gleich E, lege darnach dieſelbe in Gedanken auf ACG, alſo daß der Punct H in C falle: fuͤhre nachmals beſagten Punct H aus C aufwerts durch die Kreiß-Lini CHB, alſo/ daß der andere Punct G ſtaͤtigs auf dem verlaͤngerten Durch- meſſer KCG bleibe; ſo wird indeſſen die verlaͤngerte GH auf der andern Seiten den Kreiß- bogen AB ganz durchſtreichen und endlichen den gegebenen Punct B erreichen; da dann zu- gleich dem Begehren ein Genuͤgen wird geſchehen ſeyn. Flurantius, deſſen Unterricht/ ob ſchon etwas anderſt fuͤrgebracht/ endlich auf einen gleichen Zwekk hinaus lauffet/ vermeinet dieſer Weg ſey nicht kunſtmaͤffig genug/ und daher die Aufgab nicht recht kunſtrichtig aufzu- loͤſen. Allein/ zu geſchweigen deſſen/ was oben/ bey dem I. Lehrſatz des II. Buchs von der Kugel und Rund-Saͤule/ von dem Unterſcheid derer Mechaniſchen und Geometriſchen Lineen weitlaͤuffig erinnert worden/ und geſetzet/ daß dieſe Art aufzuloͤſen der Kunſt nicht voͤllig ge- maͤß ſey/ ſo iſt dennoch die Aufloͤſung gegenwaͤrtiger Aufgab bald und leicht zu ihrer voͤlligen Richtigkeit zu bringen. Dann es iſt eben nicht noͤhtig/ daß HG dem E juſt gleich werde/ ſon- dern genug/ wann ſie nicht kleiner/ und alſo groͤſſer dann die gegebene Kreiß-Lini wird. Sol- ches aber geſchihet bald und kunſtrichtig auf dieſe Weiſe: Man finde die Lini E, nach dem III. Lehrſatz/ daß ſie groͤſſer ſey als die gegebene Kreiß-Lini. Mache darnach/ in dem verlaͤngerten Durchmeſſer/ CG gleich dem E, und ziehe BG, ſo wird HG nohtwendig groͤſſer werden als CG oder E, Krafft des 8ten im III. und folgends auch groͤſſer als die gegebene Kreiß-Lini. Welchem nach dann/ wie vorhin/ geſchloſſen wird: Weil HF gegen HK ſich verhaͤlt/ wie BH gegen HG, daß der Bogen BH gegen HG, und umb ſo viel mehr gegen der gegebenen Kreiß- Lini/ eine groͤſſere Verhaͤltnis habe als HF gegen HK.

Der VI. Lehrſatz/ Und Sie Vierdte Aufgab.

Wann ein Kreiß gegeben iſt/ und innerhalb deſſelben eine Li- ni/ ſo da kleiner iſt als der Durchmeſſer; ſo kan aus des Kreiſſes Mittelpunct/ durch die gegebene Lini/ an den Umbkreiß eine an- dere alſo gezogen werden/ daß deroſelben/ zwiſchen dem Umbkreiß und vorbeſagter gegebenen Lini eingefangener Teihl gegen der Li- ni/ welche von dem Endpunct der letztgezogenen zu dem jenſeitigen Endpunct der erſtgegebenen ſtreichet/ eine ordentliche begehrte Ver- haͤltnis habe; wann nur die gegebene Verhaͤltnis kleiner iſt als die jenige/ welche da hat die Helfte der erſtgegebenen gegen der/ aus dem Mittelpunct auf dieſe ſenkrecht-gezogenen/ Lini.

Beweiß.

So ſey nun gegeben der Kreiß ABC mit ſeinem Mittelpunct K, und in- nerhalb des Kreiſſes die Lini AC, welche kleiner ſey als der Durchmeſſer/ d. i. die nicht durch den Mittelpunct gehe: Aus K ſey auf AC ſenkrecht gezogen KH; und endlich gegeben eine Verhaͤltnis des F gegen G, kleiner als da hat AH oder CH gegen HK.

Dem Begehren nun ein Genuͤgen zu leiſten/ ziehe man durch den Mittel- punct K die/ nach Belieben verlaͤngerte Lini KLN, und auf den Halbmeſſer KC aus C ſenkrecht CL, welche alſo den Kreiß in C beruͤhret (Laut des 16den C c c ijim III.) Archimedes von denen

im III.) und KN betrifft in L; daß dan- nenhero die beyde Dreyekke CHK und CKL einander aͤhnlich werden/ und (Laut des 4ten im VI.) wie CH gegen HK, alſo CK gegen CL ſich verhalten/ und folgends F gegen G eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als CK gegen CL. So mache man nun wie F gegen G, alſo CK gegen BN (nach dem 12ten im VI.) welche dann (Krafft des 8ten im VI.) nohtwendig groͤſſer ſeyn muß als CL. Dieſe BN ſey ſo dann geſetzet zwiſchen dem Umbkreiß und die verlaͤngerte Lini KLN, alſo zwar/ daß ſie zugleich durch den Punct C ſtreiche/ und (weil ſie groͤſſer iſt als CL) mit dem Teihl CN auſſerhalb des Kreiſſes falle. Wann ſolches geſchehen und KB ge- zogen worden/ welche AC durchſchneidet in E; ſo wird ſich EB gegen BC ver- halten wie KB, oder KC, gegen BN (Laut des 2ten im VI.) d. i. (vermoͤg obiger Vorbereitung) wie F gegen G; und alſo dem Begehren ein Genuͤgen geſchehen ſeyn.

Der VII. Lehrſatz/ Und Sie Fuͤnfte Aufgab.

Wann eben das vorige gegeben/ die innere Lini aber auſſerhalb des Kreiſſes hinaus verlaͤngert iſt; ſo kan aus des Kreiſſes Mittel- punct biß an gedachte Verlaͤngerung eine Lini alſo gezogen wer- den/ daß deroſelben/ zwiſchen dem Umbkreiß und vorbeſagter Ver- laͤngerung eingefangener Teihl gegen der Lini/ welche von dem Endpunct der innerhalb-gegebenen zu dem Punct/ in welchem der Kreiß die leztgezogene durchſchneidet/ gezogen wird/ die begehrte Verhaͤltnis habe; wann nur die gegebene Verhaͤltnis groͤſſer iſt als die jenige/ welche da hat die Helfte der erſtgegebenen gegen der/ aus dem Mittelpunct auf dieſe ſenkrecht-gezogenen/ Lini.

Beweiß.

Es bleibe demnach bey dem obgegebenen/ und AC werde nach Belieben ver- laͤngert; und F habe gegen G eine groͤſſere Verhaͤltnis als CH gegen HK, und

folgends auch groͤſſer als CK gegen CL, Krafft des vorigen Beweiſes.

So mache man nun wie F gegen G, al- ſo CK gegen einer kleinern als CL, zum Exempel gegen IN. Dieſe IN werde ſo dann zwiſchen den Umbkreiß und KNL alſo geſetzet/ daß ſie gerad auf C zuſtreiche/ nach der Anmerkung des V. Lehrſatzes/ und alſo CN innerhalb CL falle. Wann dieſes geſchehen/ und durch den Punct I die Lini Schnekken-Lineen. Lini KIE gezogen worden/ ſo wird ſich (Krafft des 4ten im VI.) EI gegen IC verhalten/ wie CK oder KI gegen IN, d. i. wie F gegen G; und alſo dem Begehren abermal ein Genuͤgen geſchehen ſeyn.

Der VIII. Lehrſatz/ Und Sie Sechſte Aufgab.

Wann ein Kreiß/ und innerhalb deſſelben eine Lini/ gegeben iſt/ die da kleiner ſey als der Durchmeſſer; in dem Endpunct aber dieſer Lini eine andere den Kreiß beruͤhret; ſo iſt moͤglich/ daß aus des Kreiſſes Mittelpunct/ durch die gegebene innere Lini/ eine an- dere alſo gezogen werde/ daß deroſelben/ zwiſchen dem Umbkreiß und vorbeſagter gegebenen Lini eingefangener/ Teihl/ gegen dem abgeſchnittenen Teihl der Beruͤhrenden die begehrte Verhaͤltnis habe; wann nur die gegebene Verhaͤltnis kleiner iſt als da hat die Helfte der gegebenen gegen der/ aus dem Mittelpunct ſenkrecht auf ſie gezogenen/ Lini.

Beweiß.

Es ſey gegeben der Kreiß ABC mit ſeinem Mittelpunct K, und innerhalb des Kreiſſes die Lini AC, welche kleiner ſey als der Durchmeſſer: d. i. die nicht durch den Mittelpunct gehe/ ꝛc. wie in denen vorigen. Jn C beruͤhre den Kreiß die Lini XL; und ſey endlich gegeben eine Verhaͤltnis des F gegen G, kleiner als da hat CH gegen HK, und alſo (Krafft vorhergehender Beweißthume) auch kleiner als CK gegen CL.

So mache man nun/ wie F gegen G, alſo CK gegen einer groͤſſern als CL, nehmlich gegen CX; und beſchreibe ſo dann umb die drey Puncten K, X und L einen Kreiß. Dieweil nun/ wann KC biß in M verlaͤngert wird/ dieſelbe XL in zwey ungleiche Teihle/ XC und CL, zerſchneidet/ und zwar nach geraden Winkeln/ ſo kan eine Lini IN gezogen werden/ die da gleich ſey der Lini CM, und gerad auf K zu ſtreiche/ (Be- ſihe folgende 1. Anmerkung) den Kreiß aber in B durchſchneide/ wann ſie biß in K ver- laͤngert wird. So nun dieſes geſchehen/ ſo wird KN die begehrte Lini ſeyn/ deren Teihl EB gegen dem abgeſchnittenen Teihl der be- ruͤhrenden/ IC ſich verhaͤlt wie F gegen G.

Dann das Rechtekk aus XI in IL ver- haͤlt ſich gegen dem Rechtekk aus KE in IL,

(weil ſie einerley Hoͤhe haben) wie XI gegen KE; und ingleichen das Rechtekk aus KI in IN gegen dem Rechtekk aus KI in CL, wie IN gegen CL, Krafft des 1 ſten im VI. Nun aber iſt das Rechtekk aus KI in IN gleich dem obigen C c c iijaus Archimedes von denen aus XI in IL, Laut des 35ſten im III. B. und das Rechtekk aus KI in CL iſt gleich dem obigen aus KE in IL, vermoͤg folgender 2. Anmerkung. De- rowegen verhaͤlt ſich auch KI in IN gegen KI in CL, d. i. IN gegen CL, oder CM gegen CL, oder (vermoͤg des erſtangezogenen 35ſten im III. und des 16den im VI.) XC gegen KC, oder XC gegen KB, wie XI gegen KE. Die- weil dann alſo das weggenommene XI gegen dem weggenommenen KE ſich verhaͤlt wie das ganze XC gegen dem ganzen KB, ſo wird auch das uͤbrige IC gegen dem uͤbrigen EB ſich verhalten wie XC gegen KB oder KC, Krafft des 19den im V. B. und umbgewendet EB gegen IC, wie CK gegen CX, d. i. (Laut obiger Vorbereitung) wie F gegen G. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkungen.

1. Eines iſt hier zu erlaͤutern/ daß nehmlich/ wann in einem Kreiß eine Lini KM eine andere/ XL, zwar ſenkrecht/ durch C, aber in ungleiche Teihle ſchneidet/ alsdann aus eben demſelben Punct K noch eine andere durchſchneidende Lini/ KN, alſo koͤnne gezogen werden/ daß der Teihl IN jenfeits der Lini XL gleich ſey der vorigen ihrem/ auch jenſeitigen Teihl CM.

Flurantius bemuͤhet ſich/ ſolches aus folgendem Grund zu erweiſen: Die weil aus k eine Lini koͤnne gezogen werden durch xl, alſo daß ihr aͤuſſerer Teihl/ von der Lini xl biß an den

Umbkreiß/ groͤſſer ſey als cm, und wieder eine an- dere/ deren aͤuſſerer Teihl kleiner ſey; ſo muͤſſe noht- wendig auch eine koͤnnen gezogen werden/ deren aͤuſſe- rer Teihl juſt dem cm gleich ſey; ſintemal in denen Groͤſſen einer Art von dem groͤſſern auf das kleinere zu kommen unmoͤglich ſey/ wo man nicht zuvor auf das mittlere und gleiche komme. Das erſte zwar (daß eine Lini aus k durch xl koͤnne gezogen werden/ de- ren aͤuſſerſter Teihl groͤſſer ſey als cm) beweiſet er richtig; in dem andern aber kommt er ganz von der Sache ab/ und beweiſet etwas viel anders/ als er ihm hatte fuͤrgenommen/ wie ein jeder Verſtaͤndiger (der es durchſuchen will) leichtlich finden wird. Wir wol- len demnach den Mangel erſetzen/ und beydes alſo gewiß machen:

Weil xl von km in zwey ungleiche Teihle zerſchnitten iſt/ ſo teihle man dieſelbe auch gleich in o, und ziehe kop, welche dann (Laut der Folge des 1 ſten im III.) durch den Mittelpunct ſtreichet und folgends (Krafft des 15den im III.) groͤſſer iſt als km. Wann man nun ziehet pm, ſo iſt ſo wol bey c (obigem Satz nach) als auch bey m (nach dem 31ſten des III.) ein gerader Winkel/ und dannenhero ſind oc und pm gleichlauffend/ Krafft des 28ſten im I. B. Derowegen verhaͤlt ſich ko gegen op, wie kc gegen cm, Laut des 2ten im VI. und wechſelweiß/ ko gegen kc, wie op gegen cm. Nun iſt aber ko groͤſſer als kc, vermoͤg des 19den oder 47ſten im I. B. Derowegen iſt auch op groͤſſer als cm. Und diß iſt eines.

Weil nun op groͤſſer iſt als cm, ſo ſchneide man von op ab rp gleich cm, und fuͤhre durch r die ſenkrechte Lini qrs; und durch den Punct t, in welchem xl und qs einander durchſchneiden/ die Lini ktu. Welchem nach/ weil ku kleiner iſt als kp, Laut des 15den im III. kt aber groͤſſer als kr, nach dem 19den im I. das uͤbrige tu nohtwendig kleiner ſeyn muß als das uͤbrige rp, d. i. als cm. Sind demnach aus dem Punct k zwey Lineen/ kp und ku, durch xl gezogen/ alſo daß der erſten aͤuſſerer Teihl op groͤſſer iſt/ der andern ihrer aber/ nehmlich tu, kleiner/ als cm. Daher dann/ obigem Grund nach/ zwi- ſchen dieſen beyden eine fallen/ (wie zum Exempel kn) deren aͤuſſerer Teihl/ in, eben ſo groß ſey als cm. Welches dann auch alſo augenſcheinlich erhellet/ wann man ihme einbil- det/ wie die Lini km durch xl alſo beweget werde/ daß der Punct c allezeit auf der Lini xl bleibe und mc gerad auf k zu ſtreiche/ (allermaſſen wie des Nicomedis Muſchel-Lini be- ſchrieben wird:) dann/ wann c in o kommt/ ſo kan der Punct m das p nicht erreichen/ weil op groͤſſer iſt als cm: biß aber c in t kommt/ muß m den Umbkreiß durchſchneiden/ und Schnekken-Lineen. und uͤber u hinaus reichen/ weil tu kleiner iſt als cm: derowegen muß cm nohtwendig zwiſchen op und tu an einem Ort/ wo ſie hernach uͤber den Umbkreiß hinaus ſtreichet (zum Exempel in in) juſt biß an den Umbkreiß reichen/ und dannenhero in dem cm gleich werden.

Es iſt aber wol zu merken (welches auch Archimedes klaͤrlich andeutet) daß dieſe gan- ze Sache auf der Lini xl ungleichen Teihlung ſich gruͤndet. Dann wann eine Lini/ als qs, von einer andern kp, innerhalb eines Kreiſſes/ nicht allein nach geraden Winkeln/ ſondern auch in gleiche Teihle/ qr und rs, zerſchnitten wird/ ſo iſt unmoͤglich aus k durch die Lini qs biß an den Umbkreiß noch eine andere Lini zu ziehen/ alſo daß ihr aͤuſſerer/ zwiſchen dem Umb- kreiß und gedachter Lini qs enthaltener/ Teihl gleich werde dem rp. Dann man ziehe eine nach Belieben/ zum Exempel km, welche qs durchſchneide in y. So iſt nun die ganze Lini km kleiner als kp, vermoͤg des 15den im III. hingegen aber (weil das Dreyekk kry bey r einen geraden Winkel hat) ky groͤſſer als kr. Laut des 19den im I. B. Muß de- rowegen das uͤbrige ym nohtwendig kleiner ſeyn als das uͤbrige rp; und ſolches wird glei- cher geſtalt von jeder andern/ aus k durch qs gezogenen/ Lini bewieſen.

2. Daß das Rechtekk aus KI in CL gleich ſey dem Rechtekk aus KE in IL, iſt daher zu ſchlieſſen: Wegen Gleichlauffung derer Lineen KL und EC, verhaͤlt ſich (Laut des 2ten im VI.) IE gegen KE, wie IC gegen CL, und zuſammgeſetzet/ KI gegen KE wie IL gegen CL. Derowegen das Rechtekk aus beyden aͤuſſern (aus KI in CL) iſt gleich dem Rechtekk aus beyden mittlern (aus KE in IL) Krafft des 16den im VI. Buch Euclidis.

Der IX. Lehrſatz/ Und Sie Siebende Aufgab.

Wann eben das vorige gegeben/ die innere Lini aber auſſerhalb des Kreiſſes verlaͤngert iſt; ſo iſt wieder moͤglich/ aus des Kreiſſes Mittelpunct biß an gedachte Verlaͤngerung eine Lini alſo zu zie- hen/ daß deroſelben/ zwiſchen dem Umbkreiß und erſtbeſagter Ver- laͤngerung eingefangener/ Teihl gegen dem abgeſchnittenen Teihl der Beruͤhrenden die begehrte Verhaͤltnis habe; wann nur die ge- gebene Verhaͤltnis groͤſſer iſt/ als da hat die Helfte der gegebenen innern/ gegen der/ aus dem Mittelpunct ſenkrecht auf ſie gezoge- nen/ Lini.

Beweiß.

Es ſey abermal gegeben ein Kreiß ABC, &c. und AC, die gegebene/ wer- de nach Belieben verlaͤngert/ und F habe gegen G eine groͤſſere Verhaͤltnis als CH gegen HK, d. i. (Laut obiger Beweiß- thume/ und ſonderlich des VI. Lehr- ſatzes) als CK gegen CL.

So mache man nun wie F gegen G, alſo CK gegen einer kleinern als CL, nehmlich gegen CX; und beſchreibe ſo dann umb die drey Puncten/ K, L, X, abermal einen Kreiß. Dieweil nun/

wann KC biß in M verlaͤngert wird/ dieſelbe XL in zwey ungleiche Teihle/ XC und Archimedes von denen XC und CL, zerſchneidet/ und zwar nach geraden Winkeln/ ſo kan abermal eine Lini IN gezogen werden/ die da gleich ſey der Lini CM, und gerad auf K zu ſtreiche/ (vermoͤg naͤchſtvorhergehender 1. Anmerkung) den Kreiß aber in B durchſchneide/ wann ſie biß in K verlaͤngert wird. So nun dieſes geſche- hen/ wird KN wieder die begehrte Lini ſeyn/ und EB gegen IC ſich verhalten wie F gegen G, &c. Alles von Wort zu Wort/ wie in vorhergehenden Beweiß.

Anmerkungen.

Nur die einige Gleichheit beyder Rechtekke aus KI in CL und KE in IL wird hier ein wenig anderſt/ als in vorhergehender 2. Anmerkung erwieſen: Nehmlich die beyde Dreyekke KIL und CIE ſind (Krafft des 15. und 29ſten im I.) gleichwinklicht/ und verhaͤlt ſich demnach (Laut des 4ten im VI. und 16den im V.) IE gegen KI wie IC gegen IL; und zuſammgeſetzet/ KE gegen KI wie CL gegen IL. Derowegen das Rechtekk aus KE in IL iſt gleich dem Rechtekk aus KI in CL, nach dem 16den des VI. B. W. Z. B. W.

2. Jm Beſchluß des Beweiſes muß es an ſtatt des vorigen heiſſen: Dieweil dann alſo das ganze XI gegen dem ganzen KE ſich verhaͤlt/ wie das weggenommene XC gegen dem weggenommenen KB, ſo verhaͤlt ſich auch das uͤbrige IC gegen dem uͤbrigen EB wie XC ge- gen KB, &c. wie oben.

Der X. Lehrſatz/ Und Sie Sritte Betrachtung.

Wann etliche einander gleichuͤbertreffende Lineen in beliebiger Anzahl geſetzet werden/ alſo daß der Ubertreffungs-Reſt gleich ſey der kleineſten unter denenſelben; und wiederumb eben ſo viel andere gegeben werden/ die aber alle der groͤſſeſten unter den vori- gen gleich ſeyen: ſo werden alle Vierungen dieſer gleichen Lineen/ ſambt der Vierung der groͤſſeſten unter denen ungleichen/ und noch einem Rechtekk/ ſo da gemachet wird aus der allerkleineſten und einer anderen Lini/ welche gleich iſt allen obigen gleichuͤbertreffen- den Lineen miteinander/ (dieſe alle zuſammen werden) dreymal ſo groß ſeyn als alle Vierungen derer gleichuͤbertreffenden Lineen.

1. Anmerkung.

Unſerer bißher oft gebrauchter Buchſtaben-Rechnung nach iſt die Sache gar leicht/ und zwar allgemein/ alſo zu beweiſen: Man ſetze fuͤr das kleineſte unter denen einander gleichuͤber- treffend en/ zum Exempel/ b; ſo werden ſeyn die gleichuͤbertreffende/ oder die ungleichen/ b, 2b, 3b, 4b, 5b, &c. die gleichen/ 5b, 5b, 5b, 5b, 5b.

Nun iſt jede Vierung dieſer lezten gleichen ſo viel als 25bb, und machen dahero alle zuſammen 125bb: darzu noch genommen die Vierung des groͤſſeſten unter denen ungleichen/ nehmlich auch 25bb, thut 150bb: endlich zu dieſem ferner geſetzet das jenige/ was da kommt aus b in b+2b+3b+4b+5b, nehmlich 15bb, kommen in allem 165bb. Die Vierungen aber aller ungleichen/ oder einander gleichuͤbertreffenden/ ſind bb+4bb+9bb+16bb +25bb, d. i. zuſammen 55bb. Nun ſind 165 juſt dreymal ſo viel als 55, und ligt alſo die allgemeine Waarheit des Lehrſatzes fuͤr Augen. Wir wollen aber dannoch jezt beſehen/ wel- cher geſtalt Archimedes denſelben von ſeinen Lineen abſonderlich beweiſe.

Archi- Schnekken-Lineen.

Archimedis Beweiß.

Es ſeyen etliche/ einander gleichuͤbertreffende/ Lineen/ A, B, C, D, E, F, G, H, und zwar die kleineſte H gleich dem Reſt/ mit welchem eine die andere uͤbertrifft. Hiernaͤchſt werde zu B geſetzet I gleich H, zu C aber K gleich G, und L gleich F zu D, ſo dann M gleich E zu E; ferner N gleich D zu F, und X gleich C zu G; endlich O, gleich B, zu H: Welchem nach alle dieſe alſo zuſammge- ſetzte Lineen einander/ und zwar der groͤſſeſten A, gleich ſeyn werden. (Beſihe folgende 2. Anmerkung.) Jſt nun zu erweiſen/ daß die Vierungen aller die- ſer gleichen Lineen/ ſambt noch einer Vierung von A und einem Rechtekk aus H in A+B+C+D+E+F+ G+H, dreymal ſo groß ſeyen/ als alle Vierungen von A und B und C und D und E und F und G und H zuſam- men. Der Beweiß iſt dieſer:

Die Vierung von B+I (d. i. A) iſt gleich denen bey- den Vierungen aus B und I ſambt noch zweyen Recht- ekken aus B in I, Krafft des 4ten im II. B. Euclidis. Gleicher geſtalt iſt die Vierung von C+K (d. i. A) gleich denen Vierungen aus C und K ſambt zweyen Recht-

ekken aus C in K; und ſo fortan/ alle Vierungen derer uͤbrigen/ dem A glei- chen/ Lineen ſind gleich denen Vierungen ihrer Teihle ſambt noch zweyen/ von beſagten Teihlen gemachten/ Rechtekken. Nun ſind die Vierungen von A, B, C, D, E, F, G, H, ſambt denen Vierungen von I, K, L, M, N, X, O, und noch ei- ner Vierung von A, zweymal ſo groß als die Vierungen aller erſtbemeldter un- gleicher Lineen/ A, B, C, D, E, F, G, H, vermoͤg folgender 3. Anmerkung. Alſo daß nunmehr dieſes einige zu beweiſen bleibet/ daß die uͤbrige gedoppelte Recht- ekke aus B in I, C in K, &c. ſambt noch einem Rechtekk aus H in A+B+C +D+E+F+G+H, oberwaͤhnten Vierungen von A, B, C, D, E, F, G, H zuſammen gleich ſeyen; Welches dann folgender Geſtalt vollfuͤhret wird:

Die zwey Rechtekke aus B in I, oder das Rechtekk aus I in 2B, iſt gleich dem Rechtekk aus H in 2B; und gleicher geſtalt das Rechtekk aus K in 2C iſt gleich dem aus H in 4C (weil H nur die Helfte von K iſt.) Jngleichen das Rechtekk aus L in 2D dem aus H in 6D (weil H ein Dritteihl von L iſt) &c. Alſo daß alle uͤbrige gedoppelte Rechtekke zuſammen gleich ſind denen Recht- ekken aus H in 2B, und in 4C und in 6D und in 8E, u. ſ. f. nach Ordnung derer folgenden geraden Zahlen. So man zu dieſen beyden gleichen gleiches hinzu thut/ ſo werden alle mehrerwaͤhnte gedoppelte Rechtekke/ ſambt dem Rechtekk aus H in A+B+C+D+E+F+G+H, gleich ſeyn denen Rechtekken aus H in A und in 3B und in 5C und in 7D, und in 9E, u. ſ. f. nach Ordnung derer folgenden ungeraden Zahlen. Eben dieſen Rechtekken aber ſind auch gleich alle Vierungen derer ungleichen Lineen/ A, B, C, D, E, F, G, H. [Dann die Vierung von A iſt gleich dem was wird aus H in alle gleiche Li- neen/ vermoͤg des 1 ſten im II. B. weil H ſo oftmals in A enthalten iſt/ als viel gleiche Lineen ſind; oder die Vierung von A iſt gleich dem/ was wird aus H in A und in 2B, und in 2C und in 2D und in 2E und in 2F und in 2G und in 2H; weil alle gleiche Lineen ohne A zweymal ſo groß ſind als B, C, D, E, F, G und H, Laut folgender 4. Anmerkung: Alſo iſt aus gleichem Grund D d ddie Archimedes von denen die Vierung von B gleich dem gemachten aus H in B und in 2C+2D+2E +2F+2G+2H: Jngleichen die Vierung von C gleich dem kommenden aus H in C und in 2D+2E+2F+2G+2H: die Vierung von D gleich dem gemachten aus H in D und in 2E+2F+2G+2H, und alſo fort die Vierungen derer uͤbrigen Lineen/ allezeit gleich dem Rechtekk aus H in jede Li- ni und das gedoppelte derer folgenden: alſo daß (wann man alles zuſammen zehlet) alle Vierungen ſolcher ungleichen Lineen zuſammen/ gleich ſind dem kommenden aus H in A und in 3B und in 5C und in 7D, &c. allermaſſen wie oben geſagt worden.] Derowegen ſind alle oben uͤbergebliebene gedoppelte Rechtekke ſambt dem Rechtekk aus H in A+B+C+D+E+F+G+H, gleich allen Vierungen derer ungleichen Lineen/ A, B, C, D, E, F, G, H; und iſt alſo die Waarheit des Lehrſatzes vollkommen erwieſen.

Anmerkungen.

2. Dann weil/ zum Exempel/ I gleich iſt dem H (als dem Reſt/ mit welchem A das B uͤbertrifft) ſo muß B+I nohtwendig dem A gleich ſeyn. Alſo iſt K gleich 2H, und dannen- hero C+2H gleich B+I, d. i. dem A. Gleicher geſtalt iſt D+L, d. i. D+3H gleich C+2H, d. i. abermals dem A, u. ſ. f. ꝛc.

3. Dann die Vierung von A wird ausdruͤkklich zweymal/ in dem folgenden aber nur einmal genommen: Die Vierungen aber von B und O ſind einander gleich/ wie auch die Vie- rungen von C und X, von D und N, von E und M, von F und L, von G und K, von H und I; alſo daß augenſcheinlich zwey Vierungen von A zweymal ſo groß ſind als in der folgenden Reihe eine Vierung von A, und die Vierungen B und O zuſammen zweymal ſo groß als die Vierung B; und die Vierungen C und X zweymal ſo groß als die Vierung C, und ſo fortan.

4. Rehmlich B und O ſind zweymal ſo groß als B; C und X zweymal ſo groß als C; D und N zweymal ſo groß als D; E und M zweymal ſo groß als E; F und L zweymal ſo groß als F; G und K zweymal ſo groß als G; und endlich H und I zweymal ſo groß als H. Dann/ allgemein von der Sache zu reden/ ſo kan aus obiger 1. Anmerkung abgenommen wer- den/ daß/ wann etliche gleichuͤbertreffende Dinge/ und eben ſo viel andere/ aber alle dem groͤſſe- ſten unter denen vorigen gleiche/ gegeben ſind/ alsdann alle gleiche ohn eines zweymal ſo groß ſeyen als alle ungleiche ohne das groͤſſeſte; ſintemal 5b viermal genommen/ d. i. 20b juſt zweymal ſo viel ſind/ als b+2b+3b+4b, d. i. als 10b.

Die Erſte Folge.

Hieraus iſt offenbar/ daß alle Vierungen derer gleichen Lineen nicht gar dreymal ſo groß ſeyen als alle Vierungen derer unglei- chen oder einander-gleichuͤbertreffenden;

Dieweil nehmlich/ wann jene dreymal ſo groß ſeyn ſollen als dieſe/ noch etwas darzu muß genommen werden/ nehmlich noch eine Vierung der groͤſſeſten unter denen ungleichen Lineen/ ſambt noch einem Rechtekk/ ꝛc. wie in dem Lehr- ſatz zu erſehen iſt.

Die Andere Folge.

Mehr aber denn dreymal ſo groß als beſagte Vierungen derer ungleichen Lineen/ ohne die groͤſſeſte;

Dieweil nehmlich das jenige/ was in dem Lehrſatz zu denen Vierungen de- rer gleichen Lineen geſetzet wird/ nicht gar dreymal ſo groß iſt als die groͤſſeſte Vierung derer ungleichen/ welche hier weggenommen wird/ vermoͤg deſſen/ was in dem [ ] des obigen Beweiſes geſagt worden. (Beſihe hier zugleich die Schnekken-Lineen. die 2. Anmerkung des III. Lehrſatzes im Buch von denen Kegel- und Kugel- aͤhnlichen Figuren; allwo dieſe beyde Folgen allgemein durch die Buch- ſtaben-Rechnung bewieſen ſind.

Die Dritte Folge.

Und alſo/ wann auf allen ſo wol gleichen als ungleichen Lineen/ andere aͤhnliche Figuren beſchrieben werden/ daß ebenfalls die Fi- guren aller gleichen Lineen nicht gar dreymal ſo groß ſeyen als die Figuren aller ungleichen; mehr aber denn dreymal ſo groß/ wann die groͤſſeſte derer ungleichen hinweg genommen wird.

Weil nehmlich ſolche aͤhnliche Figuren eben die Verhaͤltnis gegen einander haben/ wie die Vierungen ſolcher Lineen/ Krafft des 20ſten und 31. im VI. B.

Der XI. Lehrſatz/ Und Sie Vierdte Betrachtung.

Wann etliche/ einander gleich-uͤbertreffende/ Lineen in beliebi- ger Anzahl geſetzet/ und darbeneben etliche andere gegeben wer- den/ ſo an der Anzahl zwar umb eine weniger/ an Groͤſſe aber alle der groͤſſeſten unter denen vorigen gleich ſind: ſo haben die Vie- rungen aller gleichen Lineen gegen denen Vierungen aller unglei- chen ohne die kleineſte/ eine kleinere Verhaͤltnis als die Vierung der groͤſſeſten Lini gegen dem/ aus der groͤſſeſten und kleineſten gemach- ten/ Rechtekke ſambt dem dritten Teihl der Vierung des Reſtes/ mit welchem die kleineſte von der groͤſſeſten uͤbertroffen wird; eine groͤſſere aber/ als beſagte/ Verhaͤltnis/ wann von denen Vierun- gen derer ungleichen Lineen/ nicht die kleineſte/ ſondern die groͤſ- ſeſte hinweg genommen wird.

Anmerkung.

Vermittelſt der Buchſtaben-Rechnung wird die Sach abermal leicht und klar. Dann ſo man ſetzet fuͤr die ungleichen/ b, 2b, 3b, 4b, 5b; fuͤr die gleichen aber — 5b, 5b, 5b, 5b; ſo machen die Vierungen aller gleichen zuſammen 100bb; die Vierungen aller ungleichen/ ohne die kleineſte/ 54bb, ohne die groͤſſeſte aber 30bb. Die Vierung der groͤſſeſten Lini iſt 25bb: der Reſt des groͤſſeſten uͤber das kleineſte iſt 4b, und ein Dritteihl von deſſen Vie- rung/ \frac {16}{3}bb: Das gemachte endliche aus dem groͤſſeſten und kleineſten/ 5bb. Daß nun 100bb gegen 54bb eine kleinere/ gegen 30bb aber eine groͤſſere Verhaͤltnis habe als 25bb ge- gen 5bb+\frac {16}{3}bb, d. i. gegen 10⅓bb, iſt offenbar und fuͤr Augen. Und dieſes iſt der jenige Fall/ welchen Archimedes gleichſam ſtillſchweigend ſetzet/ da nehmlich der Ubertreffungs-Reſt gleich iſt dem kleineſten unter denen gegebenen. Jm widrigen Fall koͤnnte man an ſtatt der ungleichen gleich-uͤbertreffenden ſetzen/ a, a+b, a+2b, &c. und die Sache obangedeuter maſſen verſuchen. Wir wollen aber ohne fernern Umbſchweiff beſehen/ wie Archimedes ſei- nen Lehrſatz beweiſe.

D d d ijArchi- Archimedes von denen

Archimedis Beweiß.

Es ſeyen etliche/ einander gleichuͤbertreffende Lineen AB, CD, EF, GH, IK, LM und NX; und werde zu CD geſetzet CO gleich dem Ubertreffungs- Reſt/ zu EF, EP gleich zweyen/ zu GH, GR gleich dreyen Reſten/ u. ſ. f. alſo daß alle Lineen/ OD, PF, RH, &c. der erſten AB gleich werden. Jſt nun

zu erweiſen/ daß die Vierungen OD, PF, RH, &c. alle zuſammen/ gegen denen Vierungen AB, CD, EF, GH, IK, und LM, eine kleinere/ gegen denen Vierungen CD, EF, GH, IK, LM, und NX aber eine groͤſſere/ Verhaͤlt- nis haben/ als die Vierung AB gegen dem Rechtekk aus AB in NX ſambt dem dritten Teihl der Vierung NY. Zu mehrerer Erleichterung des Beweiſes ſchneide von al- len Lineen ab den Ubertreffungs-Reſt/ NX, 5M, 10K, &c. ſo wird ſich die Vierung AB gegen dem Rechtekk aus AB in UB ſambt dem dritten Teihl der Vierung AU eben ſo verhalten/ wie die Vierung OD gegen dem Rechtekk aus OD in QD ſambt ⅓ der Vierung OQ, oder wie die Vierung PF gegen dem Rechtekk aus PF in ZF ſambt ⅓ der Vierung PZ, &c. weil nehmlich die Lineen allerſeits gleich ſind; und dannenhero (Krafft des 12ten im V.) auch alle Vierungen von OD, PF, RH, &c. zuſammen gegen allen Rechtekken aus OD in QD und aus PF in ZF, und aus RH in 9H, &c. (d. i. gegen dem Rechtekk aus NX in OD+PF+RH, &c.) ſambt dem dritten Teihl aller Vierungen von OQ, PZ, R9, &c. wie die einige Vierung AB gegen dem einigen Rechtekk AB in UB oder in NX, ſambt dem dritten Teihl der Vierung AU, oder NY: daß alſo/ wann erwieſen wird/ daß alle gleiche Vierungen OD, PF, RH, &c. gegen allen ungleichen Vierungen AB, CD, EF, &c. ohne die kleineſte/ eine kleinere/ gegen eben dieſen allen aber ohne die groͤſſeſte eine groͤſſere/ Verhaͤltnis haben/ als gegen dem Rechtekk aus NX in OD+PF+RH, und alle fol- gende gleiche Lineen/ ſambt dem dritten Teihl aller gleicher Vierungen OQ, PZ, R9, &c. (d. i. Laut des 10den im V. daß das Rechtekk aus NX in OD +PF+RH, &c. ſambt dem dritten Teihl derer Vierungen OQ, PZ, R9, &c. kleiner ſey als alle ungleiche Vierungen ohne die kleineſte/ groͤſſer aber als eben dieſelben ohne die groͤſſeſte) die voͤllige Waarheit des Lehrſatzes am Tag liget.

Beydes nun erhellet ferner alſo: Das Rechtekk aus NX in OD+PF +RH, &c. iſt gleich denen Vierungen QD, ZF, 9H, &c. aller/ dem NX gleichen Lineen/ ſambt dem Rechtekk aus NX in OQ, PZ, R9, &c. Laut des 1 ſten im II. B. Die Vierungen aber aller ungleichen Lineen ohne die klei- neſte ſind gleich denen Vierungen von UB, QD, ZF, 9H, &c. NX nicht mit gezaͤhlet/ ſambt denen Vierungen von AU, CQ, EZ, G9, I10, L5, und noch einem Rechtekk aus UB oder NX in 2AU+2CQ+2EZ+ 2G9+2I10+2L5, Krafft des 4ten im II. B. So man nun an ſtatt derer obigen beyden Dinge/ welche gegen einander gehalten werden ſollen/ dieſe ihre gleiche ſetzet/ ſo finden ſich beyderſeits etliche Vierungen/ welche ein- ander gleich ſind/ nehmlich jenſeits die Vierungen QD, ZF, 9H, 10K, 5M und NX; diſſeits aber die Vierungen UB, QD, ZF, 9H, 10K und 5M: Alſo Schnekken-Lineen. Alſo daß (wann man ſolche gleiche Vierungen beyderſeits hinweg nimmt) uͤbrig bleibet zu erweiſen/ daß das Rechtekk aus NX in OQ+PZ+R9, +S10+T5,+YN ſambt dem dritten Teihl derer Vierungen OQ, PZ, R9, &c. kleiner ſey als die Vierungen von AU, CQ, EZ, G9, I10 und L5 ſambt dem Rechtekk aus NX in 2AU+2CQ+2EZ, &c. wie oben; wel- ches dann klar am Tag liget. Dann erſtgemeldtes Rechtekk aus NX in 2AU +2CQ+2EZ, &c. iſt groͤſſer als das Rechtekk aus NX in OQ+PZ +R9, &c. (ſintemal einmal AU+CQ+EZ+G9+I10+L5 iſt gleich denen Teihlen CO, EP, &c. biß YN; noch einmal AU+CQ+EZ, &c. aber iſt groͤſſer als die uͤbrige Teihle CQ+EZ, &c.) und die Vierungen von AU, CQ, EZ, G9, I10 und L5 ſind groͤſſer als der dritte Teihl derer Vie- rungen OQ, PZ, R9, &c. nach der Erſten Folge des vorhergehenden Lehr- ſatzes. Jſt derohalben offenbar/ daß das Rechtekk aus NX in OD+PF +RH, &c. ſambt ⅓ derer Vierungen OQ, PZ, R9, &c. kleiner ſey als alle ungleiche Vierungen ohne die kleineſte: Und diß iſt eines.

Jſt noch uͤbrig zu erweiſen/ daß eben daſſelbe Rechtekk aus NX in OD+ PF+RH, &c. (d. i. Krafft erſtbeſagtens/ die Vierungen QD, ZF, 9H, &c. mit dem Rechtekk aus NX in OQ, PZ, R9, &c.) ſambt dem dritten Teihl aller Vierungen von OQ, PZ, R9, &c. groͤſſer ſey als die Vierungen CD, EF, GH, IK, LM, NX, d. i. als die Vierungen CQ, EZ, G9, I10 und L5, ſambt denen Vierungen QD, ZF, 9H, 10K, 5M, NX, und noch einem Rechtekk aus NX in 2CQ+2EZ+2G9+2I10+2L5: Oder (ſo man beyderſeits gleiches hinweg thut/ nehmlich die gemeine ſechs Vierungen von QD, ZF, 9H, &c.) daß das Rechtekk aus NX in OQ+PZ+R9, &c. ſambt ⅓ derer Vierungen von OQ, PZ, R9, &c. groͤſſer ſey als das Rechtekk aus NX in 2CQ+2EZ, &c. ſambt denen Vierungen von CQ, EZ, G9, I10 und L5: welches abermal klar fuͤr Augen liget. Dann erſte beſagte Vie- rungen ſind kleiner als vorgemeldte Vierungs-Drittel/ Krafft der Andern Folge des vorhergehenden Lehrſatzes; und das Rechtekk aus NX in 2CQ +2EZ, &c. iſt kleiner als das Rechtekk aus NX in OQ+PZ, &c. ſintemal 2CQ ſind gleich CQ und TL, 2EZ gleich EZ und SI, 2G9 gleich R9, 2I10 gleich I10 und EP, und endlich 2L5 gleich L5 und CO; alſo daß diſſeits YN uͤberbleibt/ als der Reſt dieſer zuſammgeſetzten Lini uͤber jene/ und daher (we- gen gleicher Hoͤhe NX) dieſes Rechtekk nohtwendig groͤſſer ſeyn muß als jenes. Welches fuͤrs andere hat ſollen bewieſen werden.

Folge.

Und alſo/ wann auf allen ſo wol ungleichen als gleichen Li- neen andere aͤhnliche Figuren beſchrieben werden/ ſo haben eben- falls die Figuren aller gleichen Lineen/ gegen denen Figuren aller ungleichen/ ohne die kleineſte/ eine kleinere Verhaͤltnis/ als/ ꝛc.

Allermaſſen wie es in dem Lehrſatz von Wort zu Wort heiſſet/ und aus eben dem Grund/ welcher in des vorhergehenden Lehrſatzes dritter Folge be- merket worden.

D d d iijDer Archimedes von denen

Der XII. Lehrſatz/ Und Sie Fuͤnſte Betrachtung.

Wann auf eine/ durch einfachen Umblauf beſchriebene/ Schnek- ken-Lini/ aus dem Anfangspunct/ etliche Lineen alſo gezogen wer- den/ daß ſie untereinander gleiche Winkel begreiffen/ ſo werden ſol- che Lineen einander ordentlich-gleichuͤbertreffen.

Beweiß.

Es ſeyen auf eine Schnekken-Lini BCDEFG, aus dem Anfangspunct A gezogen die Lineen AB, AC, AD, &c. alſo daß die Winkel BAC, CAD, &c. alle einander gleich werden. Jſt nun zu erweiſen/ daß die Lineen AB, AC, AD, &c. einander ordentlich gleichuͤbertreffen/ d. i. daß AB von AC umb eben ſo viel uͤbertroffen werde/ als AC von AD, &c.

Dann in eben der Zeit/ in welcher die Lini AB den Winkel BAC durchloffen und auf AC kommen iſt/ hat der Punct B in der verlaͤngerten Lini AB durchloffen den Uberreſt/ umb welchen AC groͤſſer iſt als AB; und in eben der Zeit/ in welcher AC biß auf AD kommen/ hat erſtbemeldter Punct ferner durchloffen den Uberreſt/ umb welchen AD groͤſſer iſt als AC, &c. vermoͤg obiger 1. Worterklaͤrung. Nun aber ſind (aus eben dieſem Grund) die Zeiten/ in welchen AB auf AC und AC auf AD kommet/ einander gleich/ weil/ obigem Satz nach/ BAC und CAD gleiche Winkel ſind; Derohalben muͤſſen auch die Zeiten/ in welchen der lauffende Punct den Reſt des AC uͤber AB, und den Reſt des AD uͤber AC durchlauffet/ einander gleich ſeyn: Welchem nach dann auch bemeldte Uberreſte einander gleich/ und daher AB, AC, AD, &c. gleichuͤbertreffende Lineen/ ſind/ vermoͤg obigen I. Lehrſatzes. W. Z. B. W.

Der XIII. Lehrſatz/ Und Sie Sechſte Betrachtuug.

Wann eine gerade eine Schnekken-Lini beruͤhret/ ſo geſchihet ſolche Beruͤhrung in einem einigen Punct.

Beweiß.

Es beruͤhre die Schnekken-Lini ABCD eine gerade Lini EF; So ſage ich/ ſolche Be- ruͤhꝛung geſchehe nur in einem einigen Punct. Wo nicht/ ſo ſetze man/ daß ſolche Beruͤh- rung geſchehe in zweyen Puncten C und G, und ziehe aus dem Anfangspunct A die Li- neen AC und AG; teihle ſo dann den Win- kel CAG durch AH in zwey gleiche Teihle. Dieweil nun/ Laut des vorher- gehen- Schnekken-Lineen. gehenden XII. Lehrſatzes/ die Lineen AC, AH, AG, einander gleichuͤbertref- fen/ ſo ſind/ vermoͤg folgender 1. Anmerkung/ AC und AG zuſammen eben zweymal ſo groß als AH: Eben dieſe beyde aber/ AC und AG, zuſammen ſind mehr dann zweymal ſo groß als die Lini/ welche mitten durch den Winkel CAG aus A biß auf die gerade Lini EF faͤllet/ Krafft folgender 2. Anmer- kung. Derowegen iſt offenbar/ daß erſtbemeldte Lini (welche nohtwendig in die Lini AH faͤllet) kleiner ſey als AH, und alſo der Punct/ wo ſie auf die ge- rade EF trifft/ zwiſchen A und H falle. Welchem nach EF die Schnekken-Lini nicht beruͤhret/ ſondern durchſchneidet/ welches aber obigem Satz zu wider iſt. Kan demnach (weil ſonſien widrige Dinge folgen) die Beruͤhrung nur in ei- nem einigen Punct geſchehen. W. Z. B. W.

Anmerkungen.

1. Wann drey Dinge einander ordentlich gleich-uͤbertreffen (als a, a+b und a+2b) ſo ſind jederzeit das erſte und lezte zuſammen eben zweymal ſo groß als das mittlere/ maſſen dann deſſen Beweiß in dem gegebenen Exempel vor Augen liget.

2. Wann aus eines Dreyekkes Spitze auf deſſelben Grund-Lini eine Lini alſo herunter faͤllet/ daß ſie den Winkel der Spitze halbteihlet/ ſo ſind beyde/ ſolchen Winkel begreiffende/ Seiten zuſammen mehr dann zweymal ſo groß als beſagte herunter-fallende Lini.

Den Beweiß verfaſſen wir aus Flurantio kuͤrzlich alſo: Wann das Dreyekk gleichſeitig iſt/ wie fei, ſo iſt offenbar/ (vermoͤg des 47. oder 19den im I. B.) daß ſo wol ef als ei groͤſſer ſey dann el, und folgends ef und ei zuſammen/ mehr dann zweymal ſo groß ſeyen als el. Wann aber das Dreyekk ungleichſeitig iſt/ wie feg, und die herunter-fallen- de Lini eh, ſo iſt/ Laut des vorigen/ die Seite ef ſambt einem Stuͤkk ei der andern Seite eg, mehr dann zweymal ſo groß als el; und ferner das uͤbrige Stuͤkk ig mehr dann zweymal ſo groß als lh: weswegen dann abermal ef und eg zuſam- men mehr dann zweymal ſo groß ſeyn muͤſſen als lh. Daß aber ig mehr dann zweymal ſo groß ſey als lh, erhellet fol- gender Geſtalt: Wann man hn mit li und ir mit lh gleich-

lauffend machet/ ſo iſt zu ſoͤrderſt im gleich lh. Darnach/ weil hm und li, d. i. fl, einan- der gleich ſind/ wie auch die Winkel lfh und mhr, item die Winkel lim, d. i. flh, und hmr, Laut des 29ſten im I. B. ſo muß abermal mr dem lh (Laut des 26ſten im I. B.) gleich/ und alſo ir zweymal ſo groß als lh ſeyn. Weil aber irg ein ſtumpfer Winkel iſt/ Krafft des 13den im I. B. ſo iſt ig groͤſſer als ir, und folgends mehr dann zweymal ſo groß als lh.

Der XIV. Lehrſatz/ Und Die Siebende Betrachtung.

Wann auf eine/ im erſten Umblauff beſchriebene/ Schnekken- Lini zwey gerade Lineen aus dem Anfangspunct gezogen/ und biß an den erſten Kreiß verlaͤngert werden; ſo verhalten ſich beſagte Lineen gegen einander wie die Kreißboͤgen/ welche zwiſchen dem Endpunct der Schnekken-Lini und denen Endpuncten beſagter Li- neen enthalten/ und von dem Endpunct der Schnekken-Lini fuͤr ſich hinaus genommen/ ſind.

Beweiß. Archimedes von denen

Beweiß.

So ſey nun eine/ im erſten Umblauff beſchriebene/ Schnekken-Lini ABC DEH, und aus deroſelben Anfangspunct A gezogen die Lineen AD, AE, und verlaͤngert biß an des erſten Kreiſſes Umblauf in G und F. Soll nun erwie- ſen werden/ daß AE gegen AD ſich verhalte/ wie der Kreißbogen HKF gegen dem Kreißbogen HKG; welches folgender Geſtalt geſchihet: Vermoͤg obiger 1. Worterklaͤrung/ hat/ innerhalb eben der Zeit/ in welcher die Lini AH den Kreißbogen HKG durchſtrichen/ der Punct A die Lini AD durchloffen; und wiederumb/ innerhalb der Zeit/ in welcher AH durch HKF herumb gelauffen/ hat der Punct A die Lini AE beſchrieben. Nun verhaͤlt ſich die Lini AD gegen

der Lini AE, wie jene erſte Zeit gegen dieſer andern/ Krafft des obigen I. Lehrſatzes/ und ingleichen der Kreißbogen HKG gegen dem Kreißbogen HKF, wie jene erſte Zeit gegen dieſer andern/ nach der Folge be- ſagten Lehrſatzes. So muß demnach auch AD gegen AE ſich verhalten wie der Kreißbogen HKG gegen dem Kreißbogen HKF, Laut des 11ten im V. B. Wel- ches hat ſollen bewieſen werden.

Folge.

Wann eine von denen beyden Lineen die Lini AH ſelbſten waͤ- re/ welche durch den Endpunct der Schnekken-Lini ſtreichet/ ſo verhielte ſich AE gegen AH wie der Kreißbogen HKF gegen dem ganzen Kreiß HKH.

Der XV. Lehrſatz/ Und Die Achte Betrachtung.

Wann auf eine/ im andern Umblauf beſchriebene/ Schnek- ken-Lini gerade Lineen aus dem Anfangspunct gezogen werden/ ſo verhalten ſich dieſelbe gegen einander wie die obbeſagte Boͤgen ſambt dem ganzen/ beyderſeits darzu genommenen/ Umbkreiß.

Beweiß.

Es ſey eine Schnekken-Lini im erſten Umb- lauff beſchrieben ABCDH, und deroſelben im andern Umblauff beſchriebene Verlaͤnge- rung HLM; und ſeyen aus deroſelben An- fangspunct A gezogen zwo gerade Lineen AL und AE. Soll nun erwieſen werden/ daß AL gegen AE ſich verhalte wie der Kreißbo- gen HKF ſambt dem ganzen Kreiß HKH, gegen dem Kreißbogen HKG ſambt eben dem- ſelben ganzen Kreißbogen HKH. Nehmlich/ vermoͤg obiger 1. Worterklaͤrung/ innerhalb eben der Zeit/ in welcher der An- fangs- Schnekken-Lineen. fangspunct A die Lini AL beſchrieben/ hat die Lini AH den ganzen Kreiß HKH und noch darzu den Bogen HKF durchloffen: und wiederumb innerhalb eben der Zeit/ in welcher der Anfangspunct A die Lini AE vollfuͤhret/ hat AH den ganzen Kreiß/ und noch darzu den Bogen HKG durchſtrichen. Nun verhaͤlt ſich die Lini AL gegen der Lini AE wie jene erſte Zeit gegen dieſer andern/ und ingleichen der Kreißbogen HKF ſambt dem ganzen Kreiß gegen dem Kreißbo- gen HKG wie jene erſte Zeit gegen dieſer andern/ vermoͤg des I. Lehrſatzes und deſſelben Folge; und derowegen auch die Lini AL gegen der Lini AE wie der Kreißbogen HKF ſambt dem ganzen Kreiß gegen dem Kreißbogen HKG ſambt eben demſelben ganzen Kreiß/ Laut des 11ten im V. B. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Folge.

Gleicher geſtalt wird erwieſen/ daß/ wann auf eine im dritten Umblauff beſchriebene Schnekken-Lini aus dem Anfangspunct gerade Lineen gezogen werden/ dieſelbe ſich alſo gegen einander ver- halten wie die beſagte Kreißboͤgen ſambt dem beyderſeits zweymal darzu genommenen Umbkreiß. Jngleichen daß jede/ auf alle an- dere Schnekken-Lineen gezogene/ gerade Lineen ſich jederzeit gegen einander verhalten wie die vorbeſagte Kreißboͤgen ſambt dem gan- zen beyderſeits ſo oft darzu genommenen Umbkreiß/ als groß die Zahl des Umblauffs iſt/ weniger eins; wann auch gleich die eine Lini auf den Endpunct der Schnekken-Lini treffen ſolte. Beſihe die Folge des vorhergehenden Lehrſatzes.

Der XVI. Lehrſatz/ Und Die Neundte Betrachtung.

Wann eine/ im erſten Umblauff beſchriebene Schnekken-Lini von einer geraden Lini beruͤhret/ und aus dem Beruͤhrungspunct auf den Anfangspunct der Schnekken-Lini eine andere gezogen/ wird; ſo ſind die Winkel/ welche jene beruͤhrende mit dieſer letzt- gezogenen machet/ einander ungleich; und zwar der vorgehende iſt ſtumpf/ der folgende aber ſpitzig.

Beweiß.

Es ſey eine/ im erſten Umblauf beſchriebene/ Schnekken-Lini ABCDH, beruͤhret von der Lini EF in D, und aus D in A gezogen die gerade Lini AD. Soll nun erwieſen werden/ daß die beyde Winkel ADE und ADF einander ungleich/ und zwar der vordere ADF ſtumpf/ der folgende ADE aber ſpitzig ſey.

Zu deſſen Erlaͤuterung beſchreibe man einen andern Kreiß DRTN in der Weite AD, deſſen vorgehender oder vorderer Teihl dann DRT nohtwendig innerhalb/ der folgende aber auſſerhalb der Schnekken-Lini faͤllet/ weilen alle E e evor- Archimedes von denen

vorgehende/ aus A an die Schnekken-Lini gezogene/ Lineen groͤſſer/ alle folgende aber kleiner/ ſind als AD, vermoͤg der 1. Wort- erklaͤrung. Nun beruͤhret EF die Schnek- ken-Lini in dem einigen Punct D, Laut des obigen XIII. Lehrſatzes/ und faͤllt alſo deroſelben vorderer Teihl DF ganz auſſer der Schnekken-Lini/ und noch vielmehr auſſer dem Kreiß DRN: derowegen iſt der Winkel ADF groͤſſer als der vermiſchte Winkel des Halbkreiſſes ADR, d. i. Kraft des 16den im III. B. als jeder ſpitziger Winkel/ und deswegen entwedeꝛ gerad oder ſtumpf. Setzet man/ ADF ſey ein gerader Winkel/ ſo beruͤhret EDF den Kreiß in D, nach der Folge des erſtangezogenen 16den im III. und kan demnach aus A eine gerade Lini an dieſe Beruͤhrende ge- zogen werden/ zum Exempel AI, alſo daß ihr aͤuſſerer Teihl RI gegen dem Halbmeſſer AD oder AR eine kleinere Verhaͤltnis habe als der Kreißbogen RD gegen dem Kreißbogen DNT (NB. T ſolte ſtehen fuͤr C in der Lini AH) vermoͤg obigen V. Lehrſatzes; und zuſammgeſetzet AI gegen AR eine kleinere Verhaͤltnis als der Bogen RDNT gegen dem Bogen DNT, d. i. als der Kreißbogen SGEH (NB. G ſolte da ſtehen/ wo die verlaͤngerte Lini AD den aͤuſſerſten Kreiß betrifft) gegen dem Kreißbogen GEH; d. i. Krafft des XIV. Lehrſatzes/ als die Lini AL gegen der Lini AD oder AR. Welchem nach AL muͤſte groͤſſer ſeyn als AI, Laut des 10den im V. B. und alſo der Punct I, d. i. die Lini EF, innerhalb der Schnekken-Lini fallen/ welches aber unmoͤglich iſt. Kan derowegen ADF kein gerader/ ſondern muß nohtwendig (weil er obigem Beweiß nach nicht ſpitzig iſt) ein ſtumpfer/ und folgends der andere ADE ein ſpitziger Winkel ſeyn. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Folge.

Eben ſo wird erwieſen/ daß/ wann die Beruͤhrung in dem End- punct der Schnekken-Lini geſchicht/ ein gleiches erfolge.

Der XVII. Lehrſatz/ Und Die Zehende Betrachtung.

Ja/ wann eine/ in dem andern Umblauff beſchriebene/ Schnekken-Lini von einer geraden beruͤhret wird/ muß ſich eben dieſes wiederumb ereignen.

Beweiß.

Es ſey eine im andern Umblauff beſchriebene Schnekken-Lini HKDQT beruͤhret von EE in D, und aus D in A gezogen die Lini AD. Soll nun aber- mal erwieſen werden/ daß ADF ein ſtumpfer/ ADE aber ein ſpitziger Winkel ſey. Zu deſſen mehrerer Erlaͤuterung beſchreibe man den Kreiß DRTN in der Weite Schnekken-Lineen. Weite AD, deſſen vorderer Teihl DRT dann abermal innerhalb/ der folgende aber auſſerhalb der Schnekken-Liini faͤl- let. Daher dann eben wie in vorigem Beweiß geſchloſſen wird/ daß der Winkel ADF entweder gerad oder ſtumpf ſeyn muͤſſe. Daß er nicht gerad ſey/ wird al- lerdings wie zu vor erwieſen/ weil nehm- lich ſonſten folgete/ daß AI gegen AR eine kleinere Verhaͤltnis habe als der Kreiß- bogen RDNT ſambt dem ganzen Umb- kreiß RDNTR gegen dem Kreißbogen DNT ſambt dem ganzen Umbkreiß RD NTR, d. i. als der Kreißbogen SGKH ſambt dem ganzen Umbkreiß SKHS gegen

dem Kreißbogen GKH ſambt eben demſelben ganzen Umbkreiß SKHS; das iſt/ (Laut des XV. Lehrſatzes) als die Lini AQ gegen der Lini AR; welches aber- mal unmoͤglich iſt/ und dannenhero unfehlbar beweiſet/ daß der Winkel ADF ſtumpf/ und folgends (nach dem 13den im I. B.) der andere ADE ſpitzig ſey.

Folge.

Eben dieſes wird von einer jeden andern/ im dritten/ vierdten/ ꝛc. Umblauff beſchriebenen/ Schnekken-Lini erwieſen/ wann auch ſchon die Beruͤhrung in deroſelben Endpunct geſchicht.

Der XVIII. Lehrſatz/ Und Die Eilfte Betrachtung.

Wann eine/ im erſten Umblauff beſchriebene/ Schnekken-Lini von einer geraden Lini in ihrem Endpunct beruͤhret/ aus dem An- fangspunct aber/ winkelrecht auf die Lini/ welche des Umblauffs Anfang heiſſet/ eine gerade Lini aufgefuͤhret wird/ ſo muß dieſelbe die verlaͤngerte Beruͤhrende durchſchneiden/ und das Teihl dero- ſelben/ ſo zwiſchen der Beruͤhrenden und dem Anfangspunct ent- halten iſt/ wird gleich ſeyn dem Umblauff des erſten Kreiſſes.

Beweiß.

Es ſey eine/ im erſten Umblauff beſchriebene/ Schnekken-Lini ABCDH, in ihrem Endpunct H beruͤhret von HF, alſo daß der Winkel AHF, Laut des naͤchſten XVI. Lehrſatzes/ ſpitzig wird/ und daher die auf AH ſenkrecht ſtehen- de Lini AF die Beruͤhrende HF nohtwendig endlich durchſchneidet/ zum Exem- pel in F. So iſt nun zu erweiſen/ daß die Lini AF dem ganzen Umblauf des erſten Kreiſſes GHKG gleich ſey.

Dann wo ſie ihm nicht gleich iſt/ ſo muß ſie entweder groͤſſer oder klei- ner ſeyn.

E e e ijI. Satz. Archimedes von denen

I. Satz. Man ſetze fuͤrs erſte/ ſie ſey groͤſſer/ und nehme deswegen eine andere davon/ welche zwar kleiner ſey als AF, aber dannoch groͤſſer als beſag- ter Umbkreiß/ nach obigem IV. Lehrſatz; zum Exempel die Lini AL. So iſt

nun gegeben der Kreiß HGK, und in demſelben eine Lini HG, welche kleiner iſt als der Durchmeſſer/ Be- ſihe folgende 1. Anmerkung. Und iſt die Verhaͤltnis der Lini HA gegen AL groͤſſer als die Verhaͤltnis der halben HG gegen der Lini/ welche aus A ſenkrecht auf HG gezogen wird/ d. i. als die Verhaͤltnis HA gegen AF, Laut naͤchſter 2. Anmerkung. So kan demnach (vermoͤg obigen VII. Lehrſatzes) aus A auf die ver- laͤngerte Lini GH, d. i. auf HN, eine Lini AN alſo ge- zogen werden/ daß NR gegen HR eben die Verhaͤlt- nis habe/ welche da hat HA gegen AL. Daher dann auch wechſelweiß NR gegen HA, d. i. gegen RA, ſich verhaͤlt wie HR gegen AL. Nun iſt die gerade Lini HR kleiner als der Kreißbogen HR, und hingegen AL groͤſſer als der ganze Umbkreiß GHK, Laut obiger Vorbereitung. Derowegen hat die Lini HR gegen AL, d. i. NR gegen RA, eine kleinere Verhaͤltnis als der Kreißbogen HR gegen dem ganzen Umbkreiß HGK, Krafft des 8ten im V. und zuſammgeſetzet/ NA gegen RA eine kleinere als der Kreißbogen HR ſambt dem ganzen Umbkreiß HGK gegen eben dem- ſelben Umbkreiß HGK. Wie ſich aber verhaͤlt der Bogen HR ſambt dem ganzen Kreiß HGK gegen eben dieſem Kreiß/ ſo verhaͤlt ſich die Lini AQ (welche aus dem Anfangspunct auf die im andern Umblauff beſchriebene Schnekken-Lini HQ gezogen wird) gegen AH oder RA, nach dem XV. Lehrſatz und deſſen Folge. Derowegen muͤſte NA gegen RA eine kleinere Verhaͤltnis haben als QA gegen RA, welches aber unmoͤglich iſt/ weil der Punct auſſer der Schnekken-Lini faͤllet/ vermoͤg obigen XIII. Lehr- ſatzes. Kan derowegen (weil ſonſten etwas unmoͤgliches folget) die Lini AF nicht groͤſſer ſeyn als der Kreiß GHK.

II. Satz. Man ſetze fuͤrs andere/ ſie ſey kleiner/ und nehme abermal eine andere/ zum Exempel wieder AL, welche zwar groͤſſer ſey als AF, aber doch noch kleiner als der Kreiß GHK, nach obigem IV. Lehrſatz; und ziehe endlich HM gleichlauffend mit AF. So iſt nun abermal gegeben ein Kreiß und in demſelben eine Lini HG, kleiner als der Durchmeſſer: und iſt die Verhaͤltnis der Lini HA gegen AL kleiner als die Verhaͤltnis HA gegen AF, d. i. (Laut folgender 2. Anmerkung) der halben HG gegen der Lini/ welche aus A ſenk- recht auf HG gezogen wird; und der Kreiß wird in H beruͤhret von der Lini HM, Krafft des 29ſten im I. und des 16den im III. B. So kan demnach (vermoͤg obigen VIII. Lehrſatzes) aus A auf die Beruͤhrende/ die Lini AP alſo gezogen werden/ daß RN, der zwiſchen dem Umbkreiß und der Lini GH enthaltene Teihl (nehmlich R muß ſtehen/ wo die Lini AP den Kreiß/ N, wo ſie GH, und Q, wo ſie die Schnekken-Lini durchſchneidet) gegen HP, dem abgeſchnittenen Teihl der Beruͤhrenden ſich verhalte wie HA gegen AL. Da- her Schnekken-Lineen. her dann auch wechſelweiß RN gegen HA oder RA ſich verhalten wird wie HP gegen AL. Nun iſt die Lini HP groͤſſer als der Bogen HR, Laut folgender 3. Anmer- kung/ und hingegen AL kleiner als der ganze Umbkreiß HGK, Krafft obiger Vorbe- reitung. Derowegen hat HP gegen AL, d. i. RN gegen RA, eine groͤſſere Verhaͤlt- nis/ als der Bogen HR gegen dem ganzen Umbkreiß HGK, nach dem 8ten im V. B. und (Krafft der Anmerkung des XXXI. Lehrſatzes von denen Kegel- und Kugel- aͤhnlichen Figuren) verkehret/ RA gegen NA eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als der ganze Umbkreiß HGKG gegen dem Bogen HK GR, d. i. (vermoͤg des XIV. Lehrſatzes und deſſen Folge) als die Lini HA gegen AQ; welches abermal ungereimt iſt/ weil RA und HA gleich ſind/ NA aber groͤſſer iſt als AQ. Kan derohalben die Lini AF nicht kleiner ſeyn als der Kreiß GHK, ſon- dern muß nohtwendig (weil ſie auch nicht

groͤſſer iſt/ vermoͤg des 1. Satzes) demſelben gleich ſeyn. W. Z. B W.

Anmerkungen. 1. Daß HG innerhalb des Kreiſſes falle/ erhellet daher/ weil der Winkel AHF ſpitzig iſt/ vermoͤg der Folge des XVI. Lehrſatzes/ und daher HF den Kreiß nohtwendig durch- ſchneidet/ Krafft des 16den im III. B. daß aber ebenbeſagte Lini HG kleiner ſey als der Durchmeſſer/ iſt offenbar/ weil ſie nicht durch den Mittelpunct gehet/ nach dem 15den erſt- beſagten III. B. 2. Dann ſo man aus A auf HG eine ſenkrechte Lini ziehet/ teihlet dieſelbe HG in zwey gleiche Teihle/ zum Exempel in I, Laut des 3ten im III. B. und machet daher ein Dreyekk AIH, welches dem Dreyekk FAH gleichwinklicht iſt/ weilen der Winkel bey H beyden gemein/ bey A und I aber beyderſeits gerade Winkel ſind; alſo daß IH, oder ½HG, gegen AI ſich verhaͤlt/ wie HA gegen AF, nach dem 4ten im VI. und folgends/ HA gegen AL eine groͤſſere Verhaͤltnis haben muß als HA gegen AF, Krafft des 8ten im V. d. i. als IH, oder ½HG, gegen AI, welche aus A ſenkrecht auf HG gezogen werden: gleich wie hingegen im II. Satz HA gegen AL, aus gleichen Gruͤnden/ eine kleinere Verhaͤltnis haben muß als HA gegen AF, oder IH gegen AI, weilen in ſolchem Fall AL groͤſſer iſt als AF. 3. Wann in der andern Figur PG gezogen wuͤrde wie HP, ſo waͤre die ganze hole Lini HPG groͤſſer als der eingeſchloſſene ganze Bogen HRG, Krafft des III. Grund-Satzes im I. Buch von der Kugel und Rund-Saͤule/ ſo wird demnach auch die halbe HP groͤſ- ſer ſeyn als der Kreißbogen HR.

Der XIX. Lehrſatz/ Und Die Zwoͤlfte Betrachtung.

Wann aber eine/ im andern Umblauff beſchriebene/ Schnek- ken-Lini von einer geraden in ihrem Endpunct beruͤhret/ und aus E e e iijdem Archimedes von denen dem Anfangspunct/ winkelrecht auf die Lini/ welche des Umblaufs Anfang heiſſet/ eine gerade Lini aufgefuͤhret/ wird/ welche alſo die verlaͤngerte Beruͤhrende durchſchneidet; ſo wird das Teihl ſol- cher ſenkrechten Lini/ welches zwiſchen der Beruͤhrenden und dem Anfangspunct enthalten iſt/ zweymal ſo groß ſeyn als der Umb- lauff des andern Kreiſſes.

Beweiß.

Es ſey eine/ im andern Umblauff beſchriebene/ Schnekken-Lini HET, in ihrem Endpunct T beruͤhret von TF, alſo daß der Winkel ATF, Laut des naͤchſten XVI. Lehrſatzes/ ſpitzig wird/ und daher die auf AT ſenkrecht ſtehen- de Lini AF die Beruͤhrende TF nohtwendig endlich durchſchneidet/ zum Exem- pel in F. So iſt nun zu erweiſen/ daß die Lini AF zweymal ſo groß ſey als der Umblauff des andern Kreiſſes TMN.

Dann/ wo ſie nicht zweymal ſo groß iſt/ ſo muß ſie entweder mehr oder weniger dann zweymal ſo groß ſeyn.

I. Satz. Man ſetze fuͤrs erſte/ ſie ſey mehr dann zweymal ſo groß/ und nehme deswegen eine andere/ welche zwar kleiner ſey als AF, aber doch noch

mehr dann zweymal ſo groß als beſagter Umbkreiß TMN, nach obigem IV. Lehrſatz/ zum Exem- pel die Lini AL. So iſt nun aber- mal gegeben ein Kreiß TMN, und innerhalb deſſelben die Lini TN kleiner als der Durchmeſſer; und iſt die Verhaͤltnis der Lini TA gegen AL groͤſſer als TA gegen AF, d. i. als die Verhaͤltnis der halben TN gegen der aus A ſenk- recht auf TN gezogenen Lini/ al- les vermoͤg naͤchſtvorhergehen- der Anmerkungen. Kan dem- nach/ Laut des VII. Lehrſatzes/ aus A auf die verlaͤngerte TN eine Lini AS alſo gezogen werden/ daß SR gegen TR ſich verhalte wie TA gegen AL; und wechſel- weiß/ SR gegen TA wie TR ge- gen AL. Nun iſt die Lini TR klei- ner als der Kreißbogen TR, und hingegen AL groͤſſer als der ge- doppelte Umbkreiß TMN. De- rowegen hat die Lini TR gegen AL, d. i. SR gegen TA oder RA, eine kleinere Verhaͤltnis als der Kreißbogen TR gegen dem Umbkreiß TMN zweymal genommen; und zuſammgeſetzet SA gegen RA eine kleinere als der Kreiß- bogen TR ſambt dem gedoppelten Umbkreiß TMN, gegen eben dieſem ge- doppel- Schnekken-Lineen. doppelten Kreiß TMN. Wie ſich aber verhaͤlt der Kreißbogen TR ſambt zweyen Kreiſſen TMN gegen dieſen zweyen Kreiſſen TMN, ſo verhaͤlt ſich die Lini AQ (welche aus dem Anfangspunct auf die/ im dritten Umblauff be- ſchriebene Schnekken-Lini TQ gezogen wird) gegen der Lini TA oder RA, nach der Folge des XV. Lehrſatzes. [Beſihe hierbey folgende Anmerkung.] Derowegen muͤſte SA gegen RA eine kleinere Verhaͤltnis haben als QA ge- gen RA, welches aber unmoͤglich und wieder ungereimt iſt. Kan derowegen die Lini AF nicht mehr dann zweymal ſo groß ſeyn als der Umblauff des Kreiſſes TMN.

II. Satz. Daß ſie aber auch nicht weniger dann zweymal ſo groß ſey/ wird gleicher Weiſe erwieſen/ allermaſſen wie der II. Satz des vorher gehenden Lehrſatzes: Alſo daß unnoͤhtig ſich damit aufzuhalten/ weil aus beſagtem jed- weder Verſtaͤndiger den Beweiß leichtlich erſetzen kan.

Anmerkungen.

1. Ein einiges muß hier beobachtet werden/ welches den Leſer irꝛ machen koͤnnte; daß nehmlich Archimedes in dieſem ſeinem Beweiß fuͤr bekannt annimmt/ es verhalte ſich die Li- ni AQ gegen der Lini TA, wie des andern Kreiſſes Bogen TR ſambt dem gedoppelten andern Kreiß TMN gegen eben dieſem gedoppelten Kreiß TMN: da er doch in ſeinen obigen Be- weißthumen des XIV. und XV. Lehrſatzes/ wie auch in deroſelben Folgen ſcheinet einig und allein von dem erſten Kreiß geredet zu haben; alſo daß zum Exempel in der Folge des XV. Lehrſatzes ſeine Meinung ſey dieſe: Wann auf eine im dritten Umblauff beſchriebene Schnekken-Lini (wie hier auf TQ) aus dem Anfangspunct (A) gerade Lineen (AT und AQ) gezogen werden/ ſo verhalten ſich beſagte Lineen gegen einander wie die/ zwiſchen dem Endpunct der erſten Schnekken-Lini und gedachten Lineen ent- haltene/ Boͤgen des erſten Kreiſſes ſambt dem bey derſeits darzu genommenen ge- doppelten erſten Kreiß. D. i. AQ verhalte ſich gegen AT wie der Kreißbogen HU (NB. Das u ſolle ſtehen wo die Lini AQ den erſten Kreiß durchſchneidet) ſambt dem ge- doppelten Kreiß HKG gegen eben dieſem gedoppelten Kreiß HKG. Es iſt aber mit einem Wort nichts daran gelegen/ wann ſchon Archimedes dorten von dem erſten/ hier aber von dem andern Kreiß redet/ weil einen Weg als den andern einerley Verhaͤltnis bleibet/ ſintemal der Bogen TR ſambt dem gedoppelten Kreiß TMN gegen eben dieſem gedoppelten Kreiß TMN, eben die Verhaͤltnis hat/ welche da hat der Bogen HU ſambt dem gedoppelten Kreiß HKG gegen eben dieſem gedoppelten Kreiß HKG; allermaſſen aus dem 33ſten des VI. Buchs Euclidis und deſſen Folgen klaͤrlich zu erſehen iſt.

2. Und dieſes iſt alſo die tiefſinnige Erfindung Archimedis/ krafft welcher nun die ſo lang geſuchte Kreiß-Vierung vollkommen und kunſtrichtig koͤnnte verrichtet werden/ wann nur ein kunſtrichtiger Weg/ ſo wol die Schnekken-Lini als deroſelben Beruͤhrende zu ziehen ge- ſunden wuͤrde; wie hiervon im Buͤchlein von der Kreiß- und Scheiben-Meſſung mit mehrern geredet worden.

Folge.

Eben ſo wird erwieſen/ daß/ wann eine/ im dritten/ vierdten/ ꝛc. Umblauff beſchriebene/ Schnekken-Lini von einer geraden in ih- rem Endpunct berühret/ und aus dem Anfangspunct eine ſenk- rechte Lini auf den Anfang des Umblauffs geſetzet/ wird/ ꝛc. be- ſagte ſenkrechte Lini drey-viermal/ ꝛc. ſo groß ſey als der Umblauff des dritten/ vierdten/ ꝛc. Kreiſſes.

Der Archimedes von denen

Der XX. Lehrſatz/ Und Die Dreyzehende Betrachtung.

Wann eine/ im erſten Umblauff beſchriebene/ Schnekken-Lini von einer geraden/ nicht in ihrem Endpunct beruͤhret/ aus dem Punct der Anruͤhrung in den Anfangspunct eine gerade Lini ge- zogen/ und aus dem Anfangspunct in der Weite ſolcher Lini ein Kreiß beſchrieben/ endlich aus ebenbeſagtem Anfangspunct auf die vorgezogene Lini eine andere ſenkrecht geſetzet wird/ welche ver- laͤngert die Beruͤhrende endlich durchſchneidet; ſo wird dieſe ſenk- rechte/ zwiſchen der Beruͤhrenden und dem Anfangspunct enthal- tene/ Lini gleich ſeyn dem Kreißbogen/ welcher zwiſchen dem Punct des Anruͤhrens und der Lini/ die des Umblauffs Anfang heiſſet/ enthalten iſt/ fuͤr ſich hinaus von des Umblauffs Anfang ge- rechnet.

Erlaͤnterung.

Es ſey eine/ im erſten Umblauff beſchriebene/ Schnekken-Lini ABCD, be- ruͤhret von EF, nicht in ihrem Endpunct/ ſondern in einem andern/ als in D, und werde von D in A gezogen die Lini DA, welche mit DF, Laut des XVI. Lehrſatzes/ einen ſpitzigen Winkel machet/ alſo daß AF, die auf AD ſenkrecht gezogene/ und DF die beruͤhrende endlich in F zuſammen lauffen muͤſſen. So

iſt nun zu erweiſen/ daß/ wann aus A in der Weite AD ein Kꝛeiß beſchꝛiebẽ wiꝛd/ welcher des Umb- laufs Anfang/ nehm- lich die Lini AK, durchſchneidet in K, die ſenkrechte Lini AF gleich ſey dem Kreiß- bogen KMND, wel- cher zwiſchen des Umblauffs Anfang AK und dem Punct des Anruͤhrens D, fuͤr ſich hinaus ent- halten iſt.

Beweiß.

Dann ſo ſie ihm nicht gleich iſt/ ſo muß ſie entweder groͤſſer oder klei- ner ſeyn.

I. Satz. Schnekken-Lineen.

I. Satz. Man ſetze fuͤrs erſte/ ſie ſey groͤſſer/ und nehme AL kleiner als AF, aber dannoch groͤſſer als beſagter Kreißbogen/ nach dem IV. Lehrſatz. So iſt nun abermal gegeben in dem Kreiß KMN, eine Lini DN kleiner als der Durchmeſſer/ und die Verhaͤltnis AD gegen AL groͤſſer als AD gegen AF, d. i. als halb DN gegen der ſenkrechten aus A auf ND. Kan derowe- gen aus A auf die verlaͤngerte DN (nach dem VII. Lehrſatz) AE alſo gezogen werden/ daß ER gegen DR ſich verhalte/ wie AD gegen AL; und wechſel- weiß ER gegen AD, oder AR, wie DR gegen AL. Es hat aber DR gegen AL eine kleinere Verhaͤltnis als der Kreißbogen DR gegen dem Kreißbogen KMND. Derowegen hat auch ER gegen AR eine kleinere Verhaͤltnis als der Kreißbogen DR gegen dem Kreißbogen KMND, und zuſammgeſetzet AE gegen AR eine kleinere Verhaͤltnis als der Kreiß KMNDR gegen dem Kreiß- bogen KMND, d. i. (Krafft der Folge des XIV. Lehrſatzes) als die Lini AQ gegen der Lini AD, oder AR: welches unmoͤglich iſt/ und daher erzwinget/ daß AF nicht groͤſſer ſey als der Kreißbogen KMND.

II. Satz. Daß ſie aber auch nicht kleiner/ ſondern alſo nohtwendig dem- ſelben gleich ſey/ wird auf gleichen Schlag erwieſen/ allermaſſen aus dem II. Satz des XVIII. Lehrſatzes klaͤrlich zu erſehen/ und hier zu widerholen un- noͤhtig iſt.

Folge.

Gleicher geſtalt wird erwieſen/ daß/ wann eine im andern Umblauff beſchriebene Schnekken-Lini von einer geraden/ nicht in ihrem Endpunct/ beruͤhret/ und im uͤbrigen alles wie oben ge- ſetzet wird/ alsdann die ſenkrechte/ zwiſchen der beruͤhrenden und dem Anfangspunct enthaltene/ Lini gleich ſey dem ganzen beſchrie- benen Kreiß ſambt dem obiger maſſen eingefangenen Kreißbogen: Jngleichen/ wann eine/ im dritten/ vierdten/ ꝛc. Umblauf be- ſchriebene/ Schnekken-Lini beſagter maſſen beruͤhret wird/ ꝛc. daß die ſenkrechte Lini jederzeit gleich ſey einem ſolchen Kreißbogen ſambt dem ganzen Kreiß/ ſo vielmal genommen/ als groß die Zahl des Umblauffs iſt/ weniger eins.

Der XXI. Lehrſatz/ Und Die Achte Aufgab.

Umb jede/ zwiſchen einer im erſten Umblauff beſchriebenen/ Schnekken-Lini und der erſten Lini/ welche des Umblauffs An- fang heiſſet/ enthaltene Schnekken-Flaͤche iſt moͤglich eine Figur zu beſchreiben/ und eine andere/ aus aͤhnlichen Kreißſtükken be- ſtehende/ innerhalb derſelben Schnekken-Flaͤche; alſo daß die umb- F f fgeſchrie- Archimedes von denen geſchriebene Figur groͤſſer ſey als die eingeſchriebene umb weniger als jede beliebige fuͤrgegebene Flaͤche.

Aufloͤſung.

Es ſey eine/ im erſten Umblauff beſchriebene/ Schnekken-Lini HDCBA, und die erſte Lini/ oder des Umblauffs Anfang/ HA, welche beyde die Schnek- ken-Flaͤche HDCBAH beſchlieſſen. Dem Begehren nun ein Genuͤgen zu thun/ beſchreibe man aus H, in der Weite HA, den erſten Kreiß/ und teihle denſelben durch zwey kreutzende Durchmeſſer AG und FI in vier gleiche Teihl/ jeden deroſelben hernach wieder in zwey/ drey oder mehr Teihl/ biß endlich jeder hierdurch gemachter Kreißteihl/ als zum Exempel AHKA kleiner ſey als die fuͤrgegebene Flaͤche/ die wir indeſſen z nennen wollen. Weilen nun auf dieſe Weiſe die Schnekken-Lini von denen Teihlungen HK, HM, HR, HI, &c.

durchſchnitten wird/ ſo ſetze man den Cirkel in H, und beſchreibe alſo durch alle ſolche Durchſchnitte gewiſſe Kreißboͤgen/ alſo daß ſie zu beyden Seiten an die naͤchſte Lineen ſtoſſen/ der gleichen Kreißboͤgen ſind BQ, TS, RP, MO, &c. deren foͤrdere Teihle alle innerhalb/ die hindere aber alle auſſer- halb/ der Schnekken-Lini fallen/ und alſo ſo wol inn-als auſſerhalb der Schnekken- Flaͤche eine Figur beſchlieſſen. Jſt nun zu erweiſen/ daß die eingeſchriebene Figur von der umbgeſchriebenen umb etwas wenigers uͤbertroffen werde als da iſt die gegebene Flaͤche z.

Beweiß.

Der Kreißteihl der eingeſchriebenen Figur OHP iſt gleich dem Kreißteihl PHM der umbgeſchriebenen/ und ingleichen PHS dem SHR, und ſo fort alle Kreißteihle der eingeſchriebenen Figur ſind allezeit gleich dem naͤchſten Kreiß- teihl der umbgeſchriebenen/ d. i. die ganze eingeſchriebene Figur iſt gleich der ganzen umbgeſchriebenen/ biß auf den einigen Kreißteihl der umbgeſchriebenen HAK, welcher in der eingeſchriebenen keinen gleichen mehr hat/ und daher der Reſt iſt/ mit welchem dieſe von jener uͤbertroffen wird. Nun iſt der Kreißteihl HAK kleiner als die fuͤr gegebene Flaͤche z. Derowegen wird die eingeſchrie- bene Figur von der umbgeſchriebenen uͤbertroffen/ umb etwas wenigers/ als die fuͤrgegebene Flaͤche z. W. Z. B. W.

Folge.

Hier aus iſt offenbar/ daß umb beſagte Schnekken-Flaͤche der- gleichen Figur alſo koͤnne beſchrieben werden/ daß jene von dieſer uͤbertroffen werde/ umb etwas wenigers als jede fuͤrgegebene Flaͤ- che iſt: Und wiederumb/ daß innerhalb der Schnekken-Flaͤche ei- ne andere koͤnne beſchrieben werden/ alſo daß die eingeſchriebene Figur Schnekken-Lineen. Figur von der Schnekkenflaͤche abermal umb weniger/ als jede gegebene Flaͤche iſt/ uͤbertroffen werde.

Die Sach iſt Sonnen-klar. Dann die umbgeſchriebene Figur iſt groͤſſer/ die eingeſchriebene aber kleiner als die Schnekkenflaͤche. Wann nun die umb- geſchriebene Figur die eingeſchriebene umb nicht ſo viel uͤbertrifft/ als da iſt die gegebene Flaͤche z, ſo wird ſie noch viel weniger die Schnekkenflaͤche umb ſo viel uͤbertreffen: Und wann die eingeſchriebene Figur von der umbgeſchriebenen umb nicht ſo viel uͤbertroffen wird/ als da iſt die gegebene Flaͤche z, ſo wird ſie noch viel weniger von der Schnekkenflaͤche umb ſo viel uͤbertroffen werden.

Der XXII. Lehrſatz/ Und Die Neundte Aufgab.

Umb jede Schnekkenflaͤche/ ſo da zwiſchen einer/ im andern Umblauff beſchriebenen/ Schnekken-Lini und der zweyten Lini unter denen/ welche des Umblauffs Anfang machen/ enthalten iſt/ kan eine Figur/ und eine andere/ aus aͤhnlichen Kreißteihlen beſtehende/ innerhalb derſelben beſchrieben werden; alſo daß die eingeſchriebene von der umbgeſchriebenen umb etwas wenigers/ als jede gegebene Flaͤche ſeyn mag/ uͤbertroffen werde.

Aufloͤſung.

Es ſey eine/ im andern Umblauff beſchriebene/ Schnekken-Lini ABCDE, und die andere Lini aus denen/ welche des Umblauffs Anfang machen/ EA, zwiſchen welchen beyden die Schnekkenflaͤche enthalten iſt. So beſchreibe man nun den andern Kreiß AIGF, und verfahre mit deſſen Teihlung wie in der vorhergehenden Aufloͤ- ſung/ biß der Kreißteihl AHK klei- ner werde als die gegebene Flaͤche z, nach dem 1ſten im X. Ziehe naͤchſt dieſem die Kreißboͤgen/ wie an gemeldtem Ort geſchehen/ ſo wird das Begehren abermal voll- zogen ſeyn.

Beweiß.

Dann da wird ſich abermal befinden/ daß allezeit ein Kreißteihl der eingeſchriebenen Figur gleich ſey dem naͤchſtfolgenden Kreißteihl der umbgeſchriebenen/ und alſo auch

beyde Figuren einander gleich ſeyen/ biß auf den lezten Kreißteihl der eingeſchrie- benen/ nehmlich RHE, und den erſten der umbgeſchriebenen Figur/ nehmlich AHK, deren dieſer dort/ jener hier ſeines gleichen nicht hat; alſo daß die ganze F f f ijUn- Archimedes von denen Ungleichheit beyder Figuren in der Ungleichheit dieſer beyder Kreißteihle beſte- het. Dieweil nun der Kreißteihl AHK den Kreißteihl RHE umb weniger uͤbertrifft als AHK ſelbſten iſt; und aber AHK (Laut obiger Vorbereitung) ſchon kleiner iſt als die gegebene Flaͤche z; ſo iſt offenbar/ daß die eingeſchriebene Figur von der umbgeſchriebenen umb nicht ſo viel uͤbertroffen werde/ als die gegebene Flaͤche z iſt. Welches hat ſollen bewieſen werden.

1. Folge.

Hieraus iſt offenbar/ daß abermal umb beſagte Schnekken- flaͤche eine ſolche Figur koͤnne beſchrieben werden/ welche jene umb nicht ſo viel uͤbertreffe/ als eine gegebene Flaͤche iſt: und wie- derumb eine innerhalb derſelben Schnekkenflaͤche/ alſo daß jene von dieſer umb nicht ſo viel/ als eine gegebene Flaͤche iſt/ uͤbertroffen werde.

2. Folge.

So erhellet auch ferner/ daß eben dieſes bey und in jeder an- derer Schnekkenflaͤche geſchehen koͤnne/ ſo da von einer/ im dritten/ vierdten/ ꝛc. Umblauff beſchriebenen Schnekken-Lini/ und der drit- ten/ vierdten/ ꝛc. Lini unter denen/ welche des Umblauffs An- fang machen/ begriffen wird.

Dann in allen ſolchen Faͤllen werden jederzeit die vorige Urſachen und Be- weißthame gleiches falls ſtatt finden.

Der XXIII. Lehrſatz/ Und Die Zehende Aufgab.

Umb eine Schnekkenflaͤche/ ſo da begriffen wird von einer Schnekken-Lini/ welche kleiner iſt als die im erſten Umblauff be- ſchriebene/ auch den Anfangspunct nicht erreichet/ und von zweyen aus dem Anfangspunct gezogenen Lineen/ kan gleichs- falls eine Figur/ und eine andere innerhalb alſo beſchrieben wer- den/ daß die eingeſchriebene von der umbgeſchriebenen umb nicht

ſo viel/ als eine fuͤrgegebene Flaͤche iſt/ uͤbertroffen werde.

Aufloͤſung.

Eine erſtbeſagter maſſen beſchaffene Schnekkenflaͤche ſey zum Exempel HABC DEH. Dem Begehren nun ein Genuͤgen zu thun verfaͤhrt man allerdings wie oben in des XXI. Lehrſatzes Aufloͤſung. Nehm- lich man halb- oder vierteihlet/ wie dort den ganzen Kreiß/ alſo hier das Kreißſtuͤkk HFA, ſo lang und viel/ biß ein Kreißteihligen HAK wieder Schnekken-Lineen. wieder kleiner iſt als die vorgegebene Flaͤche/ u. ſ. f. So wird das begehrte voll- zogen/ und iſt zugleich der Beweiß dorther leichtlich zu holen/ hier aber des- wegen unnoͤhtige Weitlaͤuffigkeit zu meiden.

Folge.

Alſo iſt auch moͤglich/ umb eine ſolche Schnekkenflaͤche der- gleichen Figur zu beſchreiben/ alſo daß jene von dieſer umb nicht ſo viel/ als eine gegebene Flaͤche iſt/ uͤbertroffen werde: und wie- derumb innerhalb der Schnekkenflaͤche eine ſolche Figur zu be- ſchreiben/ daß dieſe von jener abermal umb ein kleiners Stukk/ als jede fuͤrgegebene Flaͤche iſt/ uͤbertroffen werde.

Der XXIV. Lehrſatz/ Und Die Vierzehende Betrachtung.

Eine jede Schnekkenflaͤche/ ſo da begriffen wird von der im erſten Umblauff beſchriebenen Schnekken-Lini und von der erſten Lini unter denen/ welche des Umblauffs Anfang machen/ iſt der dritte Teihl der erſten Scheibe.

Beweiß.

Es ſey eine/ im erſten Umblauff beſchriebene/ Schnekken-Lini ABCD EH, und die erſte Lini in des Umblauffs Anfang HA. Soll nun bewieſen werden/ daß die/ zwiſchen dieſen beyden begriffene/ Schnekkenflaͤche ABCDE HA, der dritte Teihl der Scheibe AFGI, d. i. (wann die Scheibe O/ fuͤr den dritten Teihl der vorigen Scheibe geſetzet wird) der Scheibe O/ gleich ſey.

Dann wo ſie derſelben nicht gleich iſt/ ſo muß ſie entweder groͤſſer oder kleiner ſeyn.

I. Satz. Man ſetze erſtlich/ die Schnekkenflaͤche ſey kleiner als die Scheibe O/ umb eine gewiſſe Groͤſſe/ und beſchreibe in Gedanken umb be- ſagte Flaͤche eine aus aͤhnlichen Kreiß- teihlen beſtehende Figur/ alſo daß der umbgeſchriebenen Figur ihr Reſt uͤber die Schnekkenflaͤche kleiner ſey als die Groͤſſe/ mit welcher eben dieſe Schnek- kenflaͤche von der Scheibe O/ uͤbertrof- fen wird/ nach der Folge des XXI.

Lehrſatzes; und ſey der groͤſſeſte Kreißteihl HAK, der kleineſte aber HEO. So iſt nun offenbar/ daß die umbgeſchriebene Figur kleiner ſey als die Scheibe O/: und entſtehen durch Umbſchreibung beſagter Figur etliche aus dem An- fangspunct an die Schnekken-Lini gezogene gerade ungleiche Lineen/ welche glei- che Winkel miteinander machen/ Krafft der Aufloͤſung des XXI. Lehrſatzes/ F f f iijund Archimedes von denen und daher einander ordentlich gleichuͤbertreffen/ alſo daß der Reſt zwiſchen jeden zweyen gleich iſt der kleineſten HE, vermoͤg des obigen XII. Lehrſatzes. Hier- beneben finden ſich eben ſo viel gleiche Lineen/ deren jede der groͤſſeſten HA gleich iſt; und ſind endlich auf allen/ ſo wol gleichen als ungleichen/ Lineen aͤhnliche Kreißteihle oder Kreißſtuͤkke beſchrieben. Derowegen ſind alle gleiche Kreiß- oder Scheiben-Teihle/ d.i. die ganze Scheibe AFGI, nicht gar dreymal ſo groß als alle ungleiche Scheiben-Teihle zuſammen/ d.i. als die ganze umbſchriebene Figur/ Krafft der dritten Folge des X. Lehrſatzes. Eben beſagte Scheibe aber iſt dreymal ſo groß als die Scheibe O/. Derowegen muͤſte die Scheibe O/ kleiner ſeyn als die umbgeſchriebene Figur; welches aber unmoͤglich iſt/ weil oben geſetzet worden/ daß die Schnekkenflaͤche von der Scheibe O/ umb ein groͤſ- ſers Stukk uͤbertroffen werde/ als von der umbſchriebenen Figur. Kan dero- wegen (weil ſonſten etwas unmoͤglichs folget) die Schnekkenflaͤche nicht klei- ner ſeyn als die Scheibe O/.

II. Satz. Setzet man dann/ ſie ſey groͤſſer/ ſo beſchreibe man abermal in Gedanken innerhalb der Schnekkenflaͤche eine Figur/ welche von der Schnek-

kenflaͤche uͤbertroffen werde umb etwas wenigers als da iſt der Keſt ebenbeſagter Flaͤche uͤber die Scheibe O/, abermals nach der Folge des XXI. Lehrſatzes. Woraus dann zu foͤrderſt folget/ daß die eingeſchriebene Figur groͤſſer ſey als die Scheibe O/. Zum andern ſich befin- den abermalen etliche ungleiche einander gleichuͤbertreffende Lineen/ HA, HR, HB, &c. und wiederumb eben ſo viel gleiche/ welche alle ſo groß ſind als die groͤſſeſte derer ungleichen. Wie nun auf allen gleichen Lineen/ alſo auch auf allen ungleichen/ ohne die groͤſſeſte/ ſind aber- mal aͤhnliche Kreißteihle beſchrieben (dann auf der groͤſſeſten unter denen un- gleichen iſt kein Kreißtheil innerhalb der Schnekken-Lini.) Derowegen ſind alle gleiche Kreiß- oder Scheiben-Teihle/ d. i. die ganze Scheibe AFGI, mehr dann dreymal ſo groß als alle ungleiche/ d. i. als die ganze eingeſchriebene Fi- gur/ Krafft der dritten Folge des X. Lehrſatzes. Dieweil aber ebenbeſagte Scheibe nur dreymal ſo groß/ als die Scheibe O/, geſetzet iſt/ muͤſte die einge- ſchriebene Figur kleiner ſeyn als die Scheibe O/, da ſie doch vorhin groͤſſer zu ſeyn bewieſen worden. Kan derowegen (weil ſonſten widrige Dinge folgen/ die oft- beſagte Schnekkenflaͤche nicht groͤſſer ſeyn als die Scheibe O/, ſondern muß alſo nohtwendig (weil ſie auch nicht groͤſſer iſt) deroſelben gleich ſeyn. W. Z. B. W.

Der XXV. Lehrſatz/ Und Die Fuͤnfzehende Betrachtung.

Eine jede Schnekkenflaͤche/ ſo da begriffen wird von einer/ im andern Umblauff beſchriebenen/ Schnekken-Lini und der andern gera- Schnekken-Lineen. geraden Lini unter denen/ welche des Umblauffs Anfang ma- chen/ verhaͤlt ſich gegen der andern Scheibe/ wie 7 gegen 12; oder (welches gleich viel iſt) wie das/ aus beyden Halbmeſſern der er- ſten und der andern Scheibe gemachte/ Rechtekk/ ſambt dem drit- ten Teihl der Vierung des Reſtes/ mit welchem der andern Schei- ben Halbmeſſer den Halbmeſſer des erſten uͤbertrifft/ gegen der Vie- rung des Halbmeſſers der andern Scheibe.

Erlaͤuterung.

Es ſey eine/ im andern Umblauff beſchriebene/ Schnekken-Lini ABCDE, und EA die andere gerade Lini unter denen/ welche des Umblauffs Anfang HA machen. Soll nun be- wieſen werden/ daß die zwi- ſchen dieſen beyden begriffene Schnekkenflaͤche/ gegen der andern Scheibe AFGI ſich verhalte wie 7 gegen 12; d. i. wie das Rechtekk aus HE in HA ſambt ⅓ der Vierung EA, gegen der Vierung HA. O- der/ es ſoll bewieſen werden/ wann eine Scheibe O/ gegeben wird/ deren Halbmeſſers Vie- rung gleich iſt dem Rechtekk aus HE in HA ſambt ⅓ der Vierung EA, daß alsdann obbeſagte Schnekken-Flaͤche

ſolcher Scheibe O/ gleich ſey. Und ſolches folgender geſtalt:

Beweiß.

Wann die Schnekkenflaͤche der Scheibe O/ nicht gleich iſt/ ſo muß ſie ent- weder kleiner oder groͤſſer ſeyn.

I. Satz. Man ſetze zu foͤrderſt/ ſie ſey kleiner/ und beſchreibe umbher eine Figur in Gedanken alſo/ daß der Reſt dieſer umbgeſchriebenen Figur uͤber die Schnekkenflaͤche/ kleiner ſey als der Reſt/ mit welchem eben dieſe Flaͤche von der Scheibe O/ uͤbertroffen wird/ nach der Folge des XXI. Lehrſatzes. Welchem nach die umbgeſchriebene Figur kleiner ſeyn muß als die Scheibe O/. Nun ent- ſtehen durch ſolche Beſchreibung abermal etliche ungleiche/ aber einander ordent- lich gleichuͤberteffende/ Lineen/ vermoͤg des XII. und der Aufloͤſung des XXI. Lehrſatzes/ unter welchen HE die kleineſte/ HO, HD, &c. die folgende/ und HA die groͤſſeſte iſt: darbeneben auch etliche gleiche/ welche alle zwar der groͤſſeſten unter denen ungleichen gleich/ an der Zahl aber umb eine weniger/ als die un- gleichen/ ſind/ nehmlich HA, HK, HI, &c. Und ſind endlich auf allen/ ſo wol gleichen als ungleichen/ (ausgenommen die kleineſte unter denen ungleichen) aͤhnliche Kreiß- oder Scheiben-Teihle beſchrieben. Woraus dann folget/ daß alle gleiche Scheiben-Teihle/ d. i. die ganze andere Scheibe AFGI, gegen alle ungleiche/ d. i. gegen der umbgeſchriebenen Figur/ eine kleinere Verhaͤltnis ha- ben/ Archimedes von denen ben/ als die Vierung der groͤſſeſten Lini (welche iſt der Halbmeſſer des andern Kreiſſes) gegen dem aus der groͤſſeſten und kleineſten (aus HA und HE) ge- machten Rechtekk/ ſambt ⅓ der Vierung EA, Krafft des XI. Lehrſatzes und deſſen Folge; und daß alſo die Scheibe O/ (weil obiger Vorbereitung nach ge- gen derſelben die Scheibe AFGI, keine kleinere als eben beſagte Verhaͤltnis hat) kleiner ſeyn muͤſſe als die umbgeſchriebene Figur/ da doch oben das Gegenteihl erwieſen worden. Kan derowegen (weil ſonſten widrige Schluͤſſe folgen) obbe- ſagte Schnekkenflaͤche nicht kleiner ſeyn als die Scheibe O/.

II. Satz. Setzet man dann/ ſie ſey groͤſſer/ und beſchreibt inner halb derſelben abermal eine Figur/ welche von ihr umb ein wenigers uͤbertroffen wird/ als die Scheibe O/ von eben derſelben Flaͤche uͤbertroffen wird/ aus dem bekannten

Grund; ſo wird zu foͤrderſt geſchloſſen/ daß die einge- ſchriebene Figur groͤſſer ſey als die Scheibe O/. Nachmals aber wird aus obigen Gruͤn- den erwieſen/ daß alle gleiche Scheiben-Teihle/ das iſt/ die ganze Scheibe AFGI, gegen allen ungleichen Scheiben- Teihlen ohne den groͤſſeſten/ d. i. gegen der eingeſchriebenen Figur eine groͤſſere Verhaͤlt- nis habe/ als die Vierung HA gegen dem Rechtekk aus HA in HE ſambt ⅓ der Vierung EA, nach der Folge des XI. Lehrſatzes/ und daß alſo (weil eben die Scheibe AFGI gegen der Scheibe O/ keine groͤſſere/ ſondern eben dieſelbe Verhaͤltnis hat) die eingeſchriebene Figur nohtwendig kleiner ſey als die Scheibe O/, welches dem obigen Schluß aber- mal ſchnurſtrakks zu wider iſt. Kan derowegen (weil ſonſten widrige Schluͤſſe folgen) die Schnekkenflaͤche nicht groͤſſer ſeyn als die Scheibe o/, ſondern muß (weil ſie auch nicht kleiner iſt) derſelben nohtwendig gleich ſeyn. W. Z. B. W.

Anmerkung.

Dieweil nun die Schnekkenflaͤche der Scheibe O/ gleich iſt/ die Scheibe O/ aber gegen der Scheibe AFGI ſich verhaͤlt wie die Vierungen ihrer Halbmeſſer/ nach dem 2ten im XII. B Nehmlich (Laut obiger Vorbereitung) wie das Rechtekk aus HE in HA ſambt ⅓ der Vierung EA, gegen der Vierung HA; ſo iſt offenbar/ daß auch die Schnekkenflaͤche gegen der Scheibe AFGI eben dieſelbe Verhaͤltnis habe/ Krafft des 7den im V. B. Daß aber dieſe Verhaͤltnis eben die ſey/ welche da hat 7 gegen 12, erhellet alſo: Wann fuͤr HA 2 ge- ſetzet wird/ ſo iſt HE 1 (dann wegen gleichfoͤrmiger Bewegung des beſchreibenden Puncten ſind die erſte/ die andere/ die dritte/ ꝛc. Lineen alle einander gleich) und EA auch 1. So iſt demnach das Rechtekk aus HE in HA ſo viel als 2, der dritte Teihl der Vierung EA ſo viel als ⅓, und alſo beydes zuſammen 2⅓ oder \frac {7}{3}. Die Vierung von HA aber iſt 4 oder \frac {12}{3}. Ver- haͤlt ſich demnach das Rechtekk aus HE in HA ſambt ⅓ der Vierung EA gegen der Vie- rung HA, wie \frac {7}{3} gegen \frac {12}{3}, d. i. wie 7 gegen 12. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Folge.

Auf gleiche Weiſe wird bewieſen/ daß jede Schnekkenflaͤche/ ſo da begriffen iſt zwiſchen einer/ im dritten/ vierdten/ ꝛc. Umblauff beſchrie- Schnekken-Lineen. beſchriebenen/ Schnekken- und der dritten/ vierdten/ ꝛc. geraden Lini/ jederzeit gegen der/ mit gleicher Zahl benahmten/ Scheibe ſich verhalte/ wie das Rechtekk/ welches gemacht wird aus dem Halb- meſſer dieſer/ und dem Halbmeſſer der naͤchſt-kleinern Scheibe/ ſambt dem dritten Teihl der Reſt-Vierung/ gegen der Vierung des vorigen groͤſſeſten Halbmeſſers.

Wann man nun dieſe Verhaͤltniſſen/ nach Anleitung vorhergehender An- merkung auch in gewiſſen Zahlen geben wolte/ ſo wird ſich befinden/ daß die dritte Art obbeſchriebener Schnekkenflaͤchen gegen der dritten Scheibe ſich ver- halte/ wie 19 gegen 27: die vierdte Art gegen der vierdten Scheibe/ wie 37 gegen 48: die fuͤnfte Art gegen der fuͤnften Scheibe/ wie 61 gegen 75, &c.

Der XXVI. Lehrſatz/ Und Die Sechzehende Betrachtung.

Eine jede Schnekkenflaͤche/ ſo da begriffen iſt zwiſchen einer Schnekken-Lini/ welche kleiner iſt als die im erſten Umblauff be- ſchriebene/ auch den Anfangspunct nicht erreichet/ und zwiſchen denen Lineen/ welche von der Schnekken-Lini aͤuſſerſten Puncten in den Anfangspunct gezogen werden/ veꝛhaͤlt ſich gegen dem Kreiß- oder Scheiben-Teihl/ welcher zwiſchen beſagten beyden Lineen/ von der groͤſſeſten als ſeinem Halbmeſſer/ beſchrieben wird; wie das/ aus beyden bemeldeten Lineen gemachte Rechtekk ſambt dem drit- ten Teihlihrer Reſt-Vierung/ gegen der Vierung der groͤſſeſten Lini.

Erlaͤuterung.

Es ſey eine Schnekken-Lini ABCDE, kleiner als die im erſten Umbiauff beſchriebene/ und aus deren aͤuſſerſten Puncten A und E, auf den Anfangs- punct gezogen die Lineen AH, EH, wel- che alſo ſambt vorbemeldter Schnekken- Lini die Schnekkenflaͤche ABCDEHA beſchlieſſen. Soll nun bewieſen werden/ daß/ wann aus H in der Weite HA das Kreiß- oder Scheiben-Stuͤkk HAK FH beſchrieben wird/ die vorerwaͤhnte Schnekkenflaͤche gegen dieſem Scheiben- Teihl ſich verhalte/ wie das Rechtekk aus HA in HE ſambt dem dritten Teihl der Vierung EF (welche der Reſt iſt/ wormit HE von HA uͤbertroffen wird) gegen der Vierung HE. Oder/ es ſoll be- wieſen werden/ daß/ wann von einer

Scheibe/ deren Halbmeſſers-Vierung dem Rechtekk aus HA in HE ſambt der G g gVie- Archimedes von denen Vierung EF gleich iſt/ ein dem AHF aͤhnlicher/ d. i. bey dem Mittelpunct gleichwinklichter Scheibenteihl abgeſchnitten wird; daß/ ſprich ich/ alsdann die oftbeſagte Schnekkenflaͤche ſolchem Scheibenteihl Q gleich ſey.

Beweiß.

Dann wo ſie ihm nicht gleich iſt/ ſo muß ſie entweder groͤſſer oder klei- ner ſeyn.

I. Satz. Setzet man/ ſie ſey kleiner/ ſo folget etwas ungereimtes/ allerdings wie in dem Beweiß des vorher gehenden Lehrſatzes. Dann weiln umb den Scheibenteihl eine Figur/ nach der Folge des XXI. Lehrſatzes/ (eben wie dort umb die ganze Scheibe) kan beſchrieben werden/ welche daher nohtwendig kleiner ſeyn muß als der Scheibenteihl Q; und naͤchſt dieſem etliche ungleiche einander gleichuͤbertreffende Lineen ſind/ als HA, HB, HC, HD, HE, und wiederumb etliche gleiche an der Zahl eine weniger als die vorige ungleiche (dann HF wird nicht mit gerechnet/ weil kein Kreißteihl darauf beſchrieben iſt/ ſo folget aber- mal nach der Folge des XI. Lehrſatzes/ daß alle gleiche Kreiß- oder Scheiben- teihle/ d. i. der ganze Scheibenteihl FHA, gegen allen ungleichen ohne den klei- neſten (welcher auch hier auf die kleineſte Lini HE nicht gemacht iſt) d. i. gegen der umbgeſchriebenen Figur eine kleinere Verhaͤltnis habe als das Rechtekk aus HA in HE ſambt ⅓ der Vierung EF gegen der Vierung HA; und daß alſo die umbgeſchriebene Figur groͤſſer ſeyn muͤſſe als der Scheibenteihl Q; deſſen Wi- derſpiel doch oben erwieſen worden.

II. Satz. Setzet man dann/ ſie ſey groͤſſer/ ſo wird vermittelſt einer oftbeſagter maſſen eingeſchriebenen Figur abermalder- gleichen Ungereimtheit geſchloſſen/ und hierdurch endlich unfehlbar erhalten/ daß die Schnekkenflaͤche ABCDEHA dem Scheibenteihl Q gleich ſey/ und alſo gegen dem Scheibenteihl AHFA die beſagte Verhaͤltnis habe; wie ſolches alles aus bißherbeſagtem/ und ſonderlich des vor- hergehenden Lehrſatzes II. Satz klaͤrlich zu erſehen/ deswegen hier zu widerholen un- noͤhtig iſt.

Der XXVII. Lehrſatz/ Und Die Siebenzehende Betrachtung.

Unter denen Schnekkenflaͤchen/ welche von Schnekken-Lineen und denen geraden ſo des Umblauffs Anfang machen begriffen ſind/ iſt die dritte zweyualſo groß als die andere/ die vierdte dreymal/ die fuͤnfte viermal/ u. ſ. f. allezeit die folgende begreifft die zweyte ſo vielmalin ſich als groß ihre Zahl iſt wenigereins: Die erſte Schnek- kenflaͤche aber iſt der ſechſte Theil der zweiten.

Anmer- Schnekken-Lineen.

Anmerkung.

Hier muß der kunſtliebende Leſer zu foͤrderſt fleiſſig merken den Unterſcheid/ welchen Archimedes haͤlt unter denen beyden Red-Arten/ die erſte/ andere/ dritte/ vierdte ꝛc. Schnekkenflaͤche/ und/ von einer im erſten/ andern/ dritten/ vierdten/ ꝛc. Umblauff beſchriebenen/ Schnekken-Lini begriffene Schnekkenflaͤche. Dieſe leztere Art zu re- den hat er in bißherigen Lehrſaͤtzen/ die erſte aber in gegen wertigen/ gebrauchet. Nehmlich/ wann eine vielfache Schnekken-Lini durch oftmal widerholten Umblauff der beſchreibenden Lini verzeichnet wird/ dergleichen eine die folgende Figur fuͤrſtellet/ ſo nennet er hier eigentlich die erſte Schnekkenflaͤche den jenigen Raum welcher von der erſten geraden Lini HA und von der erſten krummen Lini/ die aus H uͤber K biß in A gehet/ begriffen wird/ und hier mit K bezeichnet iſt: Die andere Schnekkenflaͤche iſt der naͤchſtfolgende Raum/ welcher von der an- dern geraden Lini AB und von der andern krummen aus B uͤber L biß in A lauffenden begrif- fen wird/ iedoch die Flaͤche K nicht mit genommen/ d. i. die krumme Flaͤche welche umb K her- umb gehet bey HA anfangend und bey AB wider aufhoͤrend/ welche hier mit L bezeichnet iſt: Alſo die dritte Schnekkenflaͤche die jenige welche umb die Flaͤche L herumbgewunden iſt/ bey AB anfangend und bey BC wider aufhoͤrend/ und hier M zum Gemerk hat. Auf glei- che weiſe iſt N die vierdte/ und X die funfte Schnekkenflaͤche/ ꝛc. Die vorige Art zu reden aber belangend/ ſo iſt zwar die/ von der im erſten Umblauff beſchriebenen Schnekken-Lini be- griffene Flaͤche eben die welche hier die erſte Schnekkenflaͤche genennet wird: Die/ von der im andern Umblauff beſchriebenen Schnekken-Lini begriffene/ Flaͤche aber iſt nicht eben ſo viel als hier die andere ſondern ſo viel als hier die andere/ ſamt der erſten/ d. i. L und K zuſamen. Alſo begreifft die dritte obige Art hier die dritte/ andere und erſte miteinander: Die vierte Art in denen obigen Lehrſaͤtzen hier die vierdte ſambt allen vorhergehenden/ u. ſ. f.

Wann man nun dieſes alſo fleiſſig beobachtet/ und darbeneben zu Huͤlf nimt was oben im XXIV. und XXV. Lehrſatz bewieſen/ und bey der Folge dieſes leztern angemerket worden/ ſo kan die Waarheit dieſes unterhanden habenden Lehrſatzes gar leicht fuͤr die Augen geleget wer- den. Dann im XXV. Lehrſatz iſt bewieſen/ daß die Schnekkenflaͤche welche hier K und L zuſamm begreiffet gegen der andern Scheibe/ deren Halbmeſſer HB waͤre/ ſich verhalte/ wie 7 gegen 12. Nun iſt die andere Scheibe viermal ſo groß als die erſte/ Krafft des 2. ten im XII. Buch (weil ihr Halbmeſſer HB zweymal ſo groß iſt als der Halbmeſſer HA) die erſte Scheibe aber dreymal ſo groß als die erſte Schnekkenflaͤche K, vermoͤg des XXIV. Lehr- ſatzes. Derowegen wann K und L zuſammen machen 7 und die andere Scheibe 12, ſo iſt die erſte Scheibe 3, und alſo die erſte Schnekkenflaͤche KI, die andere L aber allein ſo viel als 6. Daher dann fuͤr eines erhellet das lezte in dem gegenwaͤrtigen Lehrſatz/ daß nehmlich die erſte Schnekkenflaͤche K der andern L ſechſter Theil ſey. Nun ſind aus gleichem Grund alle/ oben bey der Folge des XXV. Lehrſatzes bemerkete/ Zahlen berechnet/ und alſo befunden worden/ daß/ wann K, I und L, 6, d. i. K und L zuſammen 7, machen/ alsdann K und L und M zu- ſammen 19; dieſe drey ferner ſambt dem N 37; dieſe vier ſambt dem X, 61, ꝛc. machen. Derowegen ſo man von den dreyen K und L, (d. i. 7.) hinweg nimmt/ kommt fuͤr die dritte Schnekkenflaͤche/ 12: ſo man von denen vieren K, L, und M (d. i. 19) hinweg nimmt/ kommt fuͤr die vierdte Schnekkenflaͤche N ſo viel als 18: und ſo man von denen fuͤnfen/ K, L, M. und N (nehmlich 37) hinweg nimmt/ kommt fuͤr X, die fuͤnfte Schnekkenflaͤche/ 24. Nun iſt 12 zweymal/ 18 dreymal/ 24 viermal/ ꝛc. ſo viel als 6, der zweyten Schnekkenflaͤche Jnn- halt; alſo daß nunmehr die voͤllige Waarheit des Lehrſatzes fuͤr Augen liget. Archimedes hat zwar eines Theils den Lehrſatz auch/ ſonderlich den lezten Theil/ aus derer oben gefun- denen Zahlen Verhaͤltnis erwieſen; das fordere aber (weilen er die Verhaͤltniſſen/ von wel- chen die Folge des XXV. Lehrſatzes redet/ mit gewiſſen Zahlen noch nicht benennt hatte) auf andere weiſe bekraͤftiget/ die wir alſo hier auch mit anfuͤgen muͤſſen.

Archimedeiſcher Beweiß des obigen Lehrſatzes.

Es ſey eine/ durch vielfachen Umblauff beſchriebene/ Schnekken-Lini/ deren Anfangspunct H, der Endpunct E iſt/ und welche vermittelſt derer Lineen HA, AB, BC, &c. unterſchiedliche Schnekkenflaͤchen (vorerklaͤrter maſſen) beſchlieſ- ſet/ deren erſte ſey K, die andere L, die dritte M, die vierdte N, die fuͤnfte X. Soll nun erwieſen werden/ daß X viermal/ N dreymal/ M zweymal ſo groß ſey als L, L aber ſechsmal ſo groß als K.

G g g ijVer- Archimedes von denen

Vermoͤg obigen XXV. Lehrſatzes und deſſen Folge/ verhalten ſich alle dieſe Schnekkenflaͤche K, L, M, N, X miteinander (d. i. die fuͤnfte daſelbſt be-

ſchriebene Art) gegen der Schei- be/ deren Halbmeſſer HE iſt/ wie das Rechtekk aus HE in HD ſambt ⅓ der Vierung DE gegen der Vierung HE: die Scheibe von HE aber verhaͤlt ſich ferner gegen der Scheibe HD, wie die Vierung von HE gegen der Vierung von HD, nach dem 2ten im XII. und noch ferner die Scheibe von HD gegen denen Schnekkenflaͤchen K, L, M, N miteinander/ wie die Vie- rung von HD gegen dem Recht- ekk aus HD in HC ſambt ⅓ der Vierung CD, abermal vermoͤg der Folge des XXV. Lehrſatzes. Derowegen verhaͤlt ſich auch gleichdurch- gehend die ganze aus K, L, M, N, X beſtehende Schnekkenflaͤche/ gegen K, L, M, N miteinander/ wie das Rechtekk aus HE in HD ſambt ⅓ der Vierung DE, gegen dem Rechtekk aus HD in HC ſambt ⅓ der Vierung CD, Krafft des 22ſten im V. B. und zerteihlet (nach dem 17den des V.) die fuͤnfte Schnekken- flaͤche/ X, verhaͤlt ſich zu denen uͤbrigen K, L, M, N miteinander/ wie der Reſt/ mit welchem das Rechtekk aus HE in HD ſambt ⅓ der Vierung DE das Recht- ekk aus HD in HC ſambt ⅓ der Vierung DC uͤbertrifft/ d. i. (wann beyderſeits gleiches hinweg genommen wird/ nehmlich dorten ⅓ der Vierung DE, hier ⅓ der Vierung CD) wie der Reſt des Rechtekkes aus HE in HD uͤber das Rechtekk aus HD in HC, gegen eben dieſem Rechtekk aus HD in HC ſambt ⅓ der Vie- rung CD. Nun iſt ſolcher Uberreſt des Rechtekkes HD in HE uͤber das Recht- ekk HD in HC gleich dem Rechtekk aus HD in CE, Krafft des 1ſten im II. Buch Eucl. (weil es gleich viel iſt/ ob ich HD durch die zwey Teihle HC und CE, oder auf einmal durch die ganze Lini HE fuͤhre.) Derowegen verhaͤlt ſich nun die Flaͤche X gegen denen uͤbrigen KLMN zuſammen/ wie das Rechtekk aus HD in CE gegen dem Rechtekk aus HD in HC ſambt ⅓ der Vierung CD. Gleicher geſtalt wird erwieſen/ daß die Flaͤche N ſich gegen denen uͤbrigen/ K, L, M zuſammen verhalte/ wie das Rechtekk aus HC in BD gegen dem Rechtekk aus HC in HB ſambt ⅓ der Vierung BC. Woraus dann ferner geſchloſſen wird/ daß auch zuſammgeſetzet die Flaͤche N gegen K, L, M, und N zuſammen ſich verhalte/ wie das Rechtekk aus HC in BD, gegen eben dieſem Rechtekk aus HC in BD und dem Rechtekk aus HC in HB, (d. i. abermal aus dem 1ſten im II. gegen dem Rechtekk aus HC in HD ſambt ⅓ der Vierung BC: und umb- gekehrt/ K, L, M, N zuſammen gegen N, wie HC in HD ſambt ⅓ der Vierung BC gegen HC in BD. Dieweil nun X gegen K, L, M, N zuſammen ſich ver- haͤlt wie HD in CE gegen HD in HC ſambt ⅓ der Vierung CD (oder BC, dann ſie ſind einander gleich) wie ob-erwieſen; und aber ferner K, L, M, N ge- gen N, wie HD in HC ſambt ⅓ der Vierung BC gegen HC in HB, Krafft erſtbeſagtens; ſo verhaͤlt ſich auch gleichdurchgehend/ X gegen N, wie das Rechtekk aus HD in CE gegen dem Rechtekk aus HC in BD, d. i. (weil CE und Schnekken-Lineen. und BD gleich ſind) wie die Lini HD gegen der Lini HC, nach dem 1ſten im VI. Eben ſo nun wird erwieſen/ daß die Flaͤche N gegen der Flaͤche M ſich verhalte wie HC gegen HB, und M gegen L wie HB gegen HA. Nun verhalten ſich aber HA, HB, HC, HD, gegen einander wie 1, 2, 3, 4. Derowegen verhalten ſich eben ſo nacheinander die Schnekkenflaͤchen/ L, M, N, X, und iſt alſo M zweymal/ N dreymal/ X viermal ſo groß als L. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Der XXVIII. Lehrſatz/ Und Die Achtzehende Betrachtung.

Wann in einer Schnekken-Lini/ ſie ſey durch ſo vielfachen Umb- lauff beſchrieben als ſie immer wolle/ zwey Puncten/ ſo nicht ihre End- puncten ſind/ genommen/ und aus denen ſelben auf den Anfangspunct gerade Lineen gezogen/ in der weite ſolcher Lineen aber zweene Kreiß aus dem Anfangspunct beſchrieben/ werden: ſo verhaͤlt ſich die Flaͤche/ welche der groͤſſeſte zwiſchen beſagten beyden Lineen enthaltene Kreis- bogen und die/ zwiſchen eben denen ſelben Lineen eingefangene/ Schnek- ken-Lini ſambt der einen verlaͤngerten geraden Lini/ beſchlieſſen/ gegen der andern Flaͤche/ welche der kleinere Kreisbogen und vorbeſagte Schnekken-ſambt der andern geraden Lini umbſchraͤncken; wie der Halbmeſſer des kleinern Bogens ſambt zweyen Dritteihlen des Re- ſtes/ mit welchen der groͤſſere Halbmeſſer den kleinern uͤbertrifft/ gegen dem Halbmeſſer des kleinern Bogens ſambt dem uͤbrigen Dritteihle beſagten Reſtes.

Beweiß.

Es ſey/ zum Exempel/ eine im erſten Umblauff beſchriebene Schnekken-Lini HABCD, und in derſelben nehme man zwey Puncten/ auſſer denen Endpuncten H und D, nehmlich A und C; ziehe von dar aus in H die Lineen HA, HC, und beſchreibe aus H in der Weite HA und HC zweene Kreiß; verlaͤngere endlich HA biß in G. Soll nun erwieſen werden/ daß die Flaͤche ABCGA (die wir forthin N heiſſen wollen) gegen der Flaͤche ABCPA (welche P heiſſen ſolle) ſich verhalte/ wie HA ſambt ⅔ von AG, gegen HA ſambt ⅓ von AG.

Dann es iſt erwieſen/ daß X und P zuſam- men/ gegen dem Scheibenteihl GCH ſich ver- halten/ wie das Rechtekk aus HC oder HG in HA ſambt ⅓ der Vierung AG, gegen der Vierung HG, im obigen XXVI. Lehrſatz. Daraus folget nun/ daß N gegen X und P zu- ſammen ſich verhalte wie HA in AG ſambt ⅔

der Vierung AG, gegen HG in HA ſambt ⅓ der Vierung AG. So wir nun dieſe Verhaͤltnis des N gegen X+P voran ſetzen/ und ſo dann ferner die vorige des G g g iijX+P Archimedes von denen X+P gegen dem Scheibenteihl GHC ordnen; uͤber dieſes noch weiter bemerken/ daß der Scheibenteihl GHC gegen dem kleinern Scheibenteihl X ſich verhalte wie die die Vierung HG gegen der Vierung HA, vermoͤg des 2ten im XII. und 33ſten im VI. So ſchlieſſet ſich endlich gleichdurchgehend (nach dem 22ſten im V.) daß N gegen X ſich verhalte/ wie HA in AG ſambt ⅔ der Vierung AG gegen der Vierung HA. Welchem nach N gegen dem uͤbrigen P ſich verhalten wird/ wie das Rechtekk aus HA in AG ſambt ⅔ der Vierung AG gegen dem Rechtekk aus HA in HG ſambt ⅓ der Vierung AG weniger der Vierung HA, Laut der Folge des 19den im V. Nun iſt aber das Rechtekk aus HA in HG (oder/ krafft des 1ſten im II. B. die Vierung HA ſambt dem Rechtekk aus HA in AG) ſambt ⅓ der Vierung AG, weniger der Vierung HA, ſo viel als das Rechtekk aus HA in AG ſambt ⅓ der Vierung AG. Derowegen verhaͤlt ſich N gegen P wie das Rechtekk aus HA in AG ſambt ⅔ der Vierung AG, gegen HA in AG ſambt ⅓ der Vierung AG, d. i. (Kraft des 1ſten im VI. weil beyderſeits einerley Hoͤhe iſt/ nehmlich AG) wie HA+⅔AG gegen HA+⅓AG. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkung.

Dieſes einige iſt umb mehrerer Gewißheit willen zu erinnern: Vermoͤg obigen XXVI. Lehrſatzes/ wann X+P ſo viel iſt als HG in HA ſambt ⅓ der Vierung AG, ſo iſt der Schei- benteihl GHC ſo viel als die Vierung HG. Derowegen wann ich X+P von dem Scheiben- teihl GHC (d. i. HG in HA+⅓ der Vierung AG von der Vierung HG) abziehe/ muß N nohtwendig uͤbrig bleiben. Nun iſt aber die Vierung HG (Laut des 4ten im II. B.) ſo viel als die Vierung HA ſambt der Vierung AG und noch 2HA in AG, d. i. (Krafft des 1ſten im II. B.) ſo viel als HA in HG+HA in AG ſambt der Vierung AG. So ich demnach von dieſer Summa abziehe (fuͤr X und P zuſammen) HA in HG+⅓ der Vierung AG, ſo bleibt fuͤr N uͤbrig HA in AG+⅔ der Vierung AG; allerdings wie oben in dem Beweiß ge- ſetzet worden.

Zugab.

Und dieſes ſind alſo die verwunderliche Erfindungen Archimedis von denen Schnekkenlineen und Schnek- kenflaͤchen/ dergleichen vor Jhme niemand/ nach Jhm aber wol ein und anderer tiefſinniger Kopf aufzubringen verſuchet hat. Pappus von Alexandria iſt deren einer/ aus deſſen Collectionibus Mathematicis Rivalt de Flu- rance zu obigen Lehrſaͤtzen Archimedis noch einen/ als den XXIX. hinzuſetzet/ den wir/ ſeiner ſonderlichen Nutz- barkeit halben/ auch noch mit anhaͤngen wollen. Es verhaͤlt ſich aber ſelbiger folgender Geſtalt:

Wann auf eine/ im erſten Umblauff beſchriebene/ Schnekkenlini eine gerade aus dem Anfangs-punct gezogen wird; ſo verhaͤlt ſich die ganze/ von der Schnek- ken- und der ſo genannten erſten Lini begriffene/ Schnekkenflaͤche/ gegen dem Stuͤkk welches von dem erſten Teihl der Schnekkenlini und der anfangs-gezo- genen geraden beſchloſſen wird/ wie der Wuͤrfel der erſten Lini gegen dem Wuͤr- fel beſagter neugezogenen.

Solches zu beweiſen/ ſey gegeben die/ im erſten Umblauff be- ſchriebene/ Schnekkenlini bhca, und auf dieſelbe aus dem Punct b gezogen die Lini bc. Soll nun bewieſen werden/ daß die ganze Schnekkenflaͤche bhcab gegen dem Stuͤkk bhcb ſich verhalte/ wie der Wuͤrſel von der Lini ba gegen dem Wuͤrfel der Lini bc.

Zu Erleichterung des Beweiſes beſchreibe man aus b, in der Weite ba den Erſten/ und in der Weite bc einen kleinen Kreiß/ und ziehe durch beyde die zwey kreutzende Durchmeſſer ao und de. Nun iſt die ganze Schnekkenflaͤche ⅓ der erſten Scheibe/ vermoͤg des XXIV. Lehrſatzes; und das Stuͤkk bhcb iſt auch ⅓ des Schei- benſtuͤkkes bcfgb, welches allerdings wie gemeldter XXIV. Lehr- ſatz kan bewieſen werden. Derowegen wie die erſte Scheibe ſich ver- haͤlt gegen dieſem Scheibenſtuͤkk/ ſo verhaͤlt ſich die ganze Schnekken- flaͤche gegen der Abgeſchnittenen. Nun aber iſt die Verhaͤltniß der erſten Scheibe gegen dem kleinen Scheibenſtuͤkk zuſammen geſetzet aus der Verhaͤltniß der erſten Scheibe gegen der ganzen kleinen Scheibe/ Schnekken-Lineen. Scheibe/ und aus der Verhaͤltniß der ganzen kleinen Scheibe gegen dem Scheibenſtukk/ laut der 1. Anmer- kung des IV. Lehrſatzes im II. Buch von der Kugel und Rund-Saͤule: D.i. aus der Verhaͤltniß der Vierung ba gegen der Vierung bg (Krafft des 2ten im XII.) und aus der Verhaͤltniß des ganzen Umb- kreiſes cfgc gegen dem Kreißbogen cfg, vermoͤg des 33ſten im VI. B. Wie ſich aber verhaͤlt der ganze Umb- kreiß cfgc gegen dem Bogen cfg, ſo verhaͤlt ſich die Lini ba gegen der Lini bc oder bg, laut obigen XIV. Lehr- ſatzes. So iſt derowegen die Verhaͤltniß der erſten Scheibe gegen dem Stuͤkk der kleinen Scheibe/ d.i. die Ver- haͤltniß der ganzen Schnekkenflaͤche gegen dem abgeſchnittenen Stukk bhcb, zuſammen geſetzet aus der Ver- haͤltniß der Vierung ba gegen der Vierung bg und aus der Verhaͤltniß der Lini ba gegen der Lini bg. Aus eben dieſen beyden Verhaͤltniſſen aber iſt zuſammengeſetzet die Verhaͤltniß des Wuͤrfels von ba gegen dem Wuͤrfel von bg, vermoͤg des 20ſten im VI. und 33ſten im XI. B. So verhaͤlt ſich demnach die ganze Schnekken- flaͤche gegen dem Stuͤkk bhcb, wie der Wuͤrfel von ba gegen dem Wuͤrfel von bg oder bc. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Schließlichen muß noch etwas weniges von der Nutzbarkeit dieſer ſo tieſſinnigen Betrachtungen erinnert werden. Oben haben wir ſchon an zweyen unterſchiedlichen Orten bemerket/ daß/ wann nur die Beſchreibung der Schnekken-Lini ihre vollkommene Kunſtrichtigkeit haͤtte/ alsdann die ſo lang geſuchte und unter die unauf- loͤßliche Aufgaben gerechnete Kreiß-Vierung/ vermoͤg obigen XVIII. Lehrſatzes vollkommen wuͤrde gefunden ſeyn. Es koͤnnten aber neben dieſer noch viel andere/ auch von Alters her fuͤr unauf loͤßlich gehaltene/ Aufga- ben/ von Einteihlung jedes Winkels in die begehrte Theile/ von Beſchreibung jedes beliebigen Viel- ekkes innerhalb eines gegebenen Kreiſſes/ von Erfindung/ zweyer mittlern gleichverhaltenden/ ꝛc. vermittelſt bißher beſehener Erfindungen kunſtrichtig aufgeloͤſet werden.

Dann das erſte belangend/ wie man jeden gegebenen Winkel in 3, 5, 7, ꝛc. Teihle teihlen/ oder von dem- ſelben jeden beliebigen Teihl abſchneiden ſolle/ und vermittelſt dieſer Betrachtungen koͤnnte/ wird aus nachfol- genden Exempel zuerſchen ſeyn: Es ſey gegeben der Winkel dba oder abl in der vorhergehenden Figur und be- gehrt/ daß man von demſelben den neundten Teihl abſchneiden ſolle. Wann man nun ld, den Uberꝛeſt der Lini ba uͤber bl in 9 Teihl zerſchneidet und einen davon zu bl ſetzet/ oder die uͤbrige 8. welche zum Exempel ga ſind/ von ba abziehet; nachmals aus b in der Weite bg den Kreiß gcf beſchreibet; und endlich aus b in c. wo ſich dieſer Kreiß und die Schnekken-Lini (welche vorhergezogen zu ſeyn geſetzet wird) durchſchneiden/ der Lini bc ziehet/ wird lbc der begehrte 9te Teihl des Winkels dba ſeyn.

Dann/ wie ſich verhaͤlt die Lini ab gegen bl, ſo verhalten ſich 4 gerade Winkel gegen denen Winkeln abc, ebo, obd zuſammen/ laut des obigen XIV. Lehrſatzes und des 33. ſten im VI. und wiederumb/ wie ſich verhaͤlt bl gegen bc, ſo verhalten ſich erſtbeſagte drey Winkel/ abe, ebo, obd, gegen denen drey Winkeln abe, ebo, obc. Derowegen wie ſich dorten verhaͤlt in der erſten Reihe der Reſt des erſten ab uͤber das andere/ bl (nehmlich ld) gegen dem Reſt des erſten/ ab, uͤber das dritte bc (nehmlich ga) ſo verhaͤlt ſich hier in der an- dern Reihe der Reſt des erſten/ 4. gerader Winkel abe, ebo, obd, (nehmlich der Winkel abd) gegen dem Reſt des erſten/ als wiederumb 4 gerader Winkel/ uͤber das andere/ als die drey Winkel abe, ebo, obc (nehm- lich gegen dem Winkel abc,) vermoͤg folgenden NB. Nun aber iſt ld, 9. und ga, 8. laut obiger Vorbe- reitung. Derowegen hat auch der Winkel dba 9 ſolcher Teihl deren abc 8 hat/ und iſt alſo dbc oder lbc der 9te Theil des Winkels dba; Welches hat ſollen bewieſen werden.

NB. Wann in zweyen Reihen a+b, a, a—b ea+eb, ea, ea—eb, die erſten gegen den andern/ und dann die andern gegen denen dritten/ einerley Verhaͤltnis haben; ſo verhaͤlt ſich auch der Reſt des erſten uͤber das andere/ ge- gen dem Reſt des erſten uͤber das dritte in einer Reihe/ wie der Reſt des erſten uͤber das andere gegen dem Reſt des erſten uͤber das dritte/ in der andern Reihe; nehmlich/ wie b gegen 2b, alſo eb gegen 2eb.

Wann nun die Teihlung eines jeden Winkels alſo richtig iſt/ ſo kan das andere/ nehmlich die Beſchrei- bung jeglichen beliebigen Vielekkes innerhalb eines Kreiſſes/ leichtlich vollzogen werden; ſintemal darzu mehr nicht von noͤthen iſt als erſterwieſene Winkel-Theilung. Dann wann ich zum Exempel ein Siebenekk inner- halb eines Kreiſſes beſchreiben ſolle/ ſo weiß ich daß ein ſolches Vielekk/ wann man aus allen Ekken Lineen in den Mittelpunct des Kreiſſes ziehet/ in 7. Dreyekke zerteihlet werde/ deren Winkel bey dem Mittelpunct alle einander gleich ſind/ und zuſammen 4 gerade Winkel machen; alſo daß jeder derſelben iſt \frac {4}{7} eines geraden Winkels. Wann ich nun/ vorgehenden Bericht nach in dem gegebenen Kreiß von einem geraden Winkel \frac {4}{7} abſchneide/ iſt des Vor- habens Grund geleget/ und das uͤbrige leichtlich zu vollziehen.

Gleicher weiſe/ weil/ der Gelehrten Urteihl nach/ zwey mittlere gleichverhaltende leichtlich zufinden ſind/ wann nur zuvor eine kunſtrichtige weiſe/ jeden Winkel in drey Teihl zu teihlen/ gegeben iſt; ſo wird jeder Ver- ſtaͤndiger leichtlich ſehen/ welcher geſtalt auch die Aufloͤſung dieſer Aufgab vermittelſt bißheriger Betrach- tung koͤnne vollfuͤhret werden. Wir verſparen deswegen weiteren Bericht hiervon auf andere Gelegenheit/ und machen indeſſen/ mit GOtt auch das Ende des Buchs Archimedis von denen Schnekken-Lineen.

Eingeſchlichene Drukkfehler!

BEneigter Leſer! Weilen das Werk in Abweſenheit des Authoris gedrukkt worden/ und von ihme ſelbſten nicht hat koͤnnen corrigirt werden; als finden ſich hier und dar einige begangene Drukkfehler/ von welchen folgende von dem Authore ſelbſten/ in denen ihme nach und nach zuge- ſendenten Bogen/ ſind bemerket und dem Leſer zu verbeſſern hier angeſetzet worden. Die uͤbrige Bogen/ weil ſie der Author theils wegen Mangel der Zeit/ fuͤrnehmlich aber wegen allzugroſſen Eilens des Verlegers nicht hat durchgehen koͤnnen/ wird ein jeder im durchleſen ſelbſten examini- ren/ und jede befindliche Maͤngel nach Anleitung der Umbſtaͤnde ſelbſten erſetzen.

Pag. 15. lin. 7. fuͤr LMN ſetze LMR. P. 46. lin. 36. liß (nehmlich bc.) Pag. 59. lin. 24. leſche aus die Parentheſin (die man auch als gezogen ihm einbilden muß.) Pag. 61. auf der lezten Zeil ſchreibe FNGM fuͤr FMGN. Pag. 132. NB. 1. Wo in der Figur das kleine e ſtehet ſolte der Buchſtab S noch ein- mal ſtehen/ und wird in dem Beweiß am erſten von dieſem geredet. 2. Das e, aber vielmehr ein groſſes E, gehoͤret zwiſchen die zwey S, wo die Lini AB und KL einander durchſchneiden. Pag. 136. lin. 45. fuͤr GL ſchreibe BL. Pag. 150. lin. 26. fuͤr AF liß AE. Pag. 151. in der 2. Anmerkung/ ſo oft BC ſtehet/ ſetze allezeit darfuͤr HC. Pag. 154. NB. muß in der Figur/ wo die Lini MC und die Lini BD einander durchſchneiden/ der Buchſtab K ſtehen. Pag. 166. NB. muß in der Figur der Buchſtab F weiter hinaus geſetzet werden zur linken Hand/ wo nehmlich die Lini EF auf die gerade Lini trifft/ welche aus M ſenkrecht in die Hoͤhe gezogen iſt; und eben dieſes iſt auch von dem Buchſtaben G, &c. zu verſtehen/ nach Anleitung der I. Fig. auf dem 170. Blat. Pag. 170. lin. 15. fuͤr Erzehlungen/ liß Er- findungen. Pag. 183. lin. 7. fuͤr 384 ſchrtibe 284. Pag. 198. lin. 4. fuͤr bgk ſetze bkg. Pag. 204. NB. ſind in der Figur die Buchſtaben von dem Holtzſchneider verſetzet worden: dann der Buchſtab d ſolte beſſer hin- auf gegen e und f ſtehen/ wo ai und kl einander durch- ſchneiden; und an die Stelle wo jezund das d ſtehet/ ſolte das naͤchſte b hinaufgerukket ſeyn. Jtem unten bey dem g ſteht auch ein c, das ſolte nicht auſſerhalb ſon- dern innerhalb der Hyperbel und hereinwerts ſtehen bey dem Punct wo die Hyperbel oder krumme Lini und die gerade he einander durchſchneiden: Jtem das un- terſte End der Lini ai ſolte ſo wol als das oberſte mit einem i bezeichnet ſeyn: Jtem oben gegen k ſolte das aͤuſ- ſerſte b auch beſſer hinauf gerukket ſeyn/ wo nehmlich kl und die aͤuſſerſte Lini ac einander durchſchneiden/ ꝛc. Pag. 206. NB in der II. Fig. muß g ſtehen/ wo h iſt/ und umbgekehrt h wo g iſt. Pag. 207. lin. 30. iſt der Buchſtab c ausgelaſſen und muß heiſſen: wird der Punct c in eben derſelben/ ꝛc. Pag. 242. muß in der unterſten Figur des X Lehrſatzes C ſtehen wo D iſt/ und umbgekehrt D wo C ſtehet. Pag. 243. lin. 13. fuͤr BD liß BC. Pag. 244. lin. 30. und 31. an ſtatt dieſer Wort/ wie BH gegen BG, liß umbgekehrt wie BG ge- gen GH. Pag. 251. lin. 10. fuͤr BC liß BE. Pag. 261. NB. in der 2. Anmerkung muß durch den Buchſtaben O, welcher gar oft fuͤrkommt/ allezeit das Q mit dem Puͤnctlein unten/ ſo in der vorgehenden Figur gerad zwiſchen B und C ſtehet verſtanden werden/ ꝛc.